ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA STAVEBNÍ MECHANIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE STOCHASTICKÁ OPTIMALIZACE NÁVRHU KONSTRUKCÍ

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA STAVEBNÍ MECHANIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE STOCHASTICKÁ OPTIMALIZACE NÁVRHU KONSTRUKCÍ Vypracova Bc. Josef Nosek Vedoucí práce Ing. Matěj Lepš, Ph.D. prosinec 8

Obsah Obsah...2 2 Anotace...4 3 Poděkování...5 4 Úvod...6 4. Současné poznání...6 4.2 Motivace...6 4.3 Cí práce...6 4.4 Rozděení úoh...7 4.5 Obsah práce...7 5 Proč se používá optimaizace...8 5. Cí optimaizace...8 5.2 Optimaizace ve stavebnictví...8 6 Meta-heuristické metody...9 6. Historie metod...9 6.2 Popis agoritmů... 6.3 Diferenciání evouce (DE)... 6.4 Ladění parametrů DE...2 6.5 Evouční strategie (ES)...3 7 Hodnocení testů...4 7. Zastavovací podmínky...4 7.2 Kriteria hodnocení...5 7.3 Efektivita...6 8 Test DE vs. ES na sadě ANDRE...6 8. Matematické testovací funkce...6 8.2 Vstupní předpokady...6 8.3 Průběh testu...7 8.4 Vyhodnocení na sadě funkcí...7 8.5 Vyhodnocení v jednotivých řezech...22 9 Test DE vs. ES na testovacích konstrukcích...26 9. Testovací konstrukce...26 9.2 Testovací konstrukce the ten-bar truss...27 9.3 Testovací konstrukce the 25-bar truss...33 9.4 Testovací konstrukce the 72-bar truss...38 Závěr...44 2 /59

. Dosavadní testy...44.2 Testy na sadě ANDRE...45.3 Testy na reáných konstrukcích...45.4 Interpretace výsedků...45.5 Doporučení...45.6 Daší kroky...46 Reference...47 2 Příohy...49 2. T-test...49 2.2 Sada funkcí ANDRE...5 2.3 Deformační metoda...55 3 Čestné prohášení...59 4 CD s daty a agoritmy...6 3 /59

2 Anotace Dipomová práce se zabývá probémem srovnání různých optimaizačních metod a jejich vhodnosti pro různé typy optimaizace. Také poukazuje na neexistenci jednotného postupu jak testovat a hodnotit tyto metody. V tom práce shedává jeden z největších nedostatků dosud pubikovaných čánků. Kíčová sova: Stochastická optimaizace, diferenciání evouce, evouční strategie, meta-heuristika, optimaizace konstrukcí, gobání optimaizace This thesis deas with the probem of comparing severa optimization methods and thein suitabiity for different types of optimization. Presented work shows ack of methodoogy of aready known testing agorithms and proposes a better scenario. Key word: Stochastic optimization, differentia evoution, evoution strategy, metaheuristics, structura optimization, goba optimization. 4 /59

3 Poděkování Na tomto místě bych chtě vřee poděkovat vedoucímu dipomové práce Ing. Matěji Lepšovi, Ph.D. za vekou trpěivost, podporu, veké množství konzutací a zodpovězení mnoha otázek při vypracování této práce. Dáe bych rád poděkova i ostatním za jejich postřehy a rady, zejména Ing. Anně Kučerové, Ph.D. a Ing. Janu Zemanovi, Ph.D. 5 /59

4 Úvod 4. Současné poznání V současné době je navrženo mnoho stochastických metod optimaizace. Jsou známé i některé přednosti a nedostatky metod. Co však považujeme za neprozkoumané je využití těchto metod v inženýrské praxi. Neze totiž tvrdit, že metoda, která se matematikovi jeví jako dobrá se bude stejně jevit i inženýrovi a naopak. Proto se pokusíme ukázat metodiku srovnání optimaizačních metod tak, aby bya použitená pro inženýrské využití. 4.2 Motivace Vysoký pokrok výpočetní techniky a současný rozvoj materiáového inženýrství umožňuje vytvářet vemi přesné modey stavebních konstrukcí do nejmenších detaiů, včetně všech jejich vastností. Běžným pojmem, který se pro tyto pokročié metody dnes používá, je BIM (Buiding Information Modeing) [2]. Snahou této práce je poukázat na možnosti nejnovějších přístupů k optimaizaci. Optimaizovat se dají zejména násedující poožky konstrukce (z hediska statiky). Tvar (shape optimization), topoogie (topoogy optimization), rozměry (size optimization) a skadba (ayout optimization). Každá z těchto optimaizací má jiné vastnosti z hediska spojitosti a omezujících podmínek. Z toho vypývá potřeba různých optimaizačních metod pro jednotivé úohy. Ve skutečnosti se většinou jedná o kombinaci optimaizačních probémů, ae kombinace optimaizačních metod je vemi obtížná. Proto se snažíme najít takové metody, které obstojně zvádají většinu probémů. V současnosti je napsáno mnoho čánků o jednotivých optimaizačních metodách. Obvyke se snaží autor propagovat jednu metodu na úkor ostatních. Největším nedostatkem je obvyke metodika porovnání metod. Proto se budeme snažit ukázat jednu metodiku, která je pode nás fairpay. 4.3 Cí práce Cí této práce je ukázat srovnání metod a jejich výkonnost na jednotivých testovaných probémech. Aby to byo možné uděat, tak musíme upravit některé zažité 6 /59

postupy a hodnocení testů. V dosud pubikovaných pracích je ukázáno mnoho testů a srovnání jednotivých metod. Srovnání obvyke pracují se znaostí optima, což je u praktických probémů vemi sožité. 4.4 Rozděení úoh V současné době je obvyke jednou z nejobtížnějších fází optimaizace samotná formuace zadání a zatřídění probému. Když víme jaká úoha před námi stojí, tak obvyke dokážeme najít nástroj, který ji zvádne vyřešit, resp. dokážeme najít patřičnou třídu optimaizačních agoritmů, které nám ji pomůžou vyřešit. Na Obr. 4.4- můžeme vidět jeden z možných způsobů, jak se dají kasifikovat optimaizační úohy []. Obr. 4.4- kasifikace optimaizačních probémů 4.5 Obsah práce Práce se zabývá metodikou srovnání optimaizačních metod. Po obecném úvodu k optimaizacím je podrobně vysvěten agoritmus diferenciání evouce [2]. V daší části je popsán test na sadě testovacích funkcí ANDRE [27] a jeho vyhodnocení. Posední vekou kapitou, kterou se práce zabývá, tvoří srovnání diferenciání evouce [2] a evouční strategie [24] na reáných prutových konstrukcích. Práce si nekade za cí upřednostnit a pozvednou některou z metod, ae snaží se o seriozní srovnání obou. Tomu jsou přizpůsobena i testovací 7 /59

kriteria tak, aby žádnou metodu nezvýhodňovaa. Jestiže v práci není napsáno jinak, tak se budeme vždy snažit o minimaizaci dané objektivní funkce. 5 Proč se používá optimaizace 5. Cí optimaizace Optimaizace si kade za cí najít nejepší řešení. Z inženýrského hediska je zbytečné tvrdit, že potřebujeme vždy znát nejepší řešení. Vemi často stačí najít epší řešení než doposud známé (sub-optimum). Matematik se obvyke snaží najít opravdu nejepší řešení probému a současně mít jistotu, že je to opravdu nejepší možné řešení (gobání minimum nebo maximum). V některých případech je z inženýrského hediska podstatně výhodnější zůstat pouze v okáním minimu / maximu, které je stabiní a robustní [5]. 5.2 Optimaizace ve stavebnictví Dnešní vemi rychý svět kade značné nároky na všechny, kteří se účastní procesu výstavby. Finanční trhy jsou vemi nestabiní a tak se investoři snaží stačit dobu výstavby na co nejkratší čas. Je zcea běžné, že ještě není hotová projektová dokumentace k ceé stavbě, ae již se napříkad provádí spodní stavba. To kade obrovské nároky na projektanta, který se tím dostává do časové tísně. Přitom většina projektantů je vybavena vysokým výpočetním výkonem. Bohuže samostatný výpočetní výkon nic neznamená. Je třeba mít i vhodný software. V současné době moderní software nabízí parametrické modeování, které je vemi dobrou výchozí půdou pro násednou optimaizaci. Tím že projektant zadá do softwaru konstrukci, vytvoří matematický mode, který ze chápat jako funkci mnoha proměnných. Zadáním daších požadavků (např. minimáním stupněm vyztužení, maximáním průhybem, omezením napětí, konstrukčními zásadami) tvoří okrajové podmínky pro danou funkci. Tím je vytvořena živná půda pro optimaizaci. V současné době dostupný veký výpočetní výkon, který obvyke většinu času pouze moráně stárne (není aktivně využit) a postupem času se z něj stává pouze kus žeeza usnadňuje využití optimaizace. Morání stárnutí předbíhá o někoik řádů stárnutí fyzické, není proto žádný důvod nechat počítače nevyužité. 8 /59

Otázkou je proč se ve stavebnictví již optimaizace neupatňuje. Je zde někoik důvodů. Pojďme se podívat na ty nedůežitější. Ve stavebnictví se nejedná o hromadnou, ae o kusovou výrobu. Můžeme tvrdit, že když se budeme snažit postavit dva stejné domy, tak ve výsedku budou jiné. Stačí se podívat napříkad na zákadové poměry, které se mohou išit dost výrazně i v rámci jednoho staveniště. Daším faktorem je rozmanitost výroby. Každý investor chce být pokud možno originání a architekt se mu snaží vyhovět. Neehký úko má pak projektant, který na zákadě zkušeností musí dát budově reáný rozměr. Často se stane, že se projektant snaží vyhnout kompikovanějším konstrukcím a tak se objekt pokouší vystavět na jednoduchých prvcích. Vemi často tomu napomáhá již zmíněná časová tíseň. I když si projektant dá vemi mnoho práce (jestiže ji bude investor ochoten zapatit), tak se nikdy nemůže dostat na úroveň optimaizace návrhu, který ze dosáhnout softwarem. Jen pro úpnost bychom měi podotknout, že je vždy potřeba automaticky navrhnuté optimání řešení prozkoumat z hediska proveditenosti a zda opravdu spňuje všechny námi požadované vastnosti. Stačí když chybně zadáme okrajové podmínky probému (třeba krytí výztuže) a agoritmus může naší chyby využít pro svůj prospěch. Bohuže stáe za správnost projektu ručí projektant, nikoiv počítač a dokonce ani programátor, který moh v apikaci uděat chybu. Ovšem nejčastěji uděá chybu uživate, který svou neznaostí nebo nedbaostí nazadá patřičně konstrukci do programu. 6 Meta-heuristické metody Heuristiku můžeme charakterizovat jako metodu jak naézt rozumné řešení daného probému. Heuristické postupy nezaručují téměř nic. Nezaručují naezení nejepšího řešení a ani to, že najdou řešení v krátkém čase. V mnoha případech však tyto metody pracují vemi dobře. Předponou meta se snažíme vyjádřit vstup okoností do metody. Jde jen o částečně náhodný agoritmus, který se snaží využívat předchozích znaostí. Nutno podotknout, že může dávat i horší výsedky než heuristický agoritmus [22]. 6. Historie metod První návrhy okoo meta-heuristik jsou z pooviny minuého stoetí [23], kdy vznikay první evouční strategie a jako samostatné odvětví i evouční programování. Tyto metody se snažiy napodobením evouce optimaizovat probém. Asi o 2 et později vznikají genetické agoritmy a s nimi svázané genetické programování. V roce 983 a 985 nezávise na sobě představují Kirkpatrick a Černý metodu simuovaného žíhání. O rok později je pubikována 9 /59

Tabu search metoda, která jako první zavádí do agoritmu paměť a začíná se hovořit o pojmu meta-heuristiky. Daší prudký rozvoj nasta v poovině devadesátých et minuého stoetí, kdy je představena metoda partice swarm optimization a o dva roky později diferenciání evouce. V současném stoetí byy představeny napříkad agoritmy honey bee agorithm [25] a artifica bee agorithm [26]. Jak je zřejmé, tak metod je mnoho a stáe se vyvíjejí nové, které mají za cí překonat již známé. Abychom mohi všechny tyto metody porovnávat, tak je nutno nejdříve stanovit provnávací kritéria. Je zde však někoik probémů, které je nutno zmínit. První je neexistence standardního benchmarku, druhý probém tvoří metodoogie testů a interpretace výsedků. Oba probémy podrobněji rozebereme dáe. 6.2 Popis agoritmů Nejjednodušším agoritmem je metoda Monte Caro. Metoda zcea náhodně voí body, v nich počítá funkční hodnoty. Jestiže je naezená řešení epší než doposud známé, pak ho nahradí a pokračuje se dá. Tato metoda se dá považovat za metodu hrubé síy. Za daší meta-heuristickou metodu můžeme považovat horoezecký agoritmus. Tento agoritmus prohedá okoí daného bodu a na zákadě spádnic se rozhodne kam půjde dá. Obvyke skončí v nějakém optimu, ae většinou v okáním. Opakovanými starty z různých bodů, se snažíme dojít do gobáního optima. Evouční strategie je jako jeden z řady evoučních agoritmů. Tyto agoritmy jako první zavedi adaptaci sama-sebe. Podrobný popis této metody ze naézt v [9]. Diferenciání evouce je reativně madá metoda. Protože bya zvoena jako havní metoda, tak jí věnujeme ceou kapitou. 6.3 Diferenciání evouce (DE) Jedná se o poměrně novou metodu, která bya představena až v roce 995 [2]. Tato metoda má pouze 2 parametry a přesto je poměrně robustní. Metoda pracuje způsobem, který ze shrnout do někoika máo bodů: a) Stanovení parametrů řídí cykus NP počet jedinců v popuaci, obvyke se stanovuje na x D, kde D je počet neznámých F konstanta, která určuje veikost kroku mutace C (crossover) určuje práh křížení /59

b) Tvorba popuace první generace Novou generaci obvyke stanovujeme náhodně v zadaných mezích de 6.3- i, x = x + rand x, x ) ( 6.3-) d d,min ( d,min d, max c) Reprodukční cykus Pro každého jedince (rodiče) je vygenerován zkušební jedinec násedujícím způsobem. Jsou vybráni tři jedinci aktuání generace. Rozdí prvních dvou vynásobený konstantou F je přičten ke třetímu jedinci. Tím je vytvořený zmutovaný jedinec. Poté je pro každou sožku generováno náhodné číso <,>. Pokud je náhodné číso menší než práh křížení (C) je zmutovanému jedinci pro aktuání rozměr přiřazen parametr ze zmutovaného jedince. Tím máme vytvořeného zkušebního jedince (tria vector). d) Testování funkční hodnoty zkušebního jedince e) Sestavení nové generace Jestiže funkční hodnota zkušebního jedince je epší než rodiče, pak postoupí zkušební jedinec. V opačném případě postoupí rodič beze změny. Tím je zajištěno, že se do nové popuace nedostane horší jedinec než rodič. f) Postup c-e opakujeme do dosažení zastavovacích podmínek. Je nutno zmínit, že toto je jen jedna z možných variant DE. Existují i daší, kde napříkad v násedující popuaci je vícekrát zastoupen nejepší jedinec. Nejépe ceý proces popsaný v bodech a-f vystihuje Obr. 6.3-. /59

Obr. 6.3- schéma funkce diferenciání evouce 6.4 Ladění parametrů DE Diferenciání evouce má pouze již zmíněné dva parametry. C crossover, který vyjadřuje pravděpodobnost křížení a parametr F, který udává veikost kroku mutace. Ladění parametrů proběho na sadě funkcí ANDRE (viz příoha). Na jednoduchém benchmarku byo ukázáno, že nastavení parametru C je vhodné voit okoo hodnoty,8 ±,. Otázka nastavení parametru F je poněkud sožitější. Zde se totiž nabízí otázka jesti musí být parametr F konstantní během všech iterací. V tradiční formuaci DE tomu tak je, ae my jsme se této myšenky nedržei a F jsme měnii během optimaizace. Nastavení parametru F byo provedeno násedujícím způsobem. Jestiže agoritmus stagnuje (nedaří se najít epší řešení) tak předpokádáme, že mohy nastat 3 situace. V prvním případě jsme v optimu a každý daší pokus je zbytečný. Ve druhém jsme se dostai někam do okáního minima a nedaří se z něj dostat ven. V posedním případě jsme vemi bízko optima, ae většina nových vektorů ho přestřeí. Na každý případ se dá vemi vhodně naadit parametr F tak, aby postupně ošetři jednotivé případy. 2 /59

) Jestiže jsme již v gobáním minimu, tak každý daší pokus je zbytečný. Proto můžeme nastavit F ibovoně a epší řešení nenajdeme. Jestiže ano, tak jsme jinde než si mysíme. 2) V případě pádu do okáního minima potřebujeme dostat do systému vemi odišné možnosti, abychom se dostai mimo toto minimum. To ze vemi snadno uděat tak, že parametr F nastavíme na dostatečně vysokou hodnotu. 3) Jestiže se nacházíme vemi bízko optima, tak naopak F snížíme a tím se přibížíme k optimu ještě bíže. Pozorný čtenář si povšimne, že jsme nezmínii jak zjistíme, který případ nasta. Rozhodující je počet iterací po které jsme nenaši takový vektor, který má stejnou nebo epší funkční hodnotu. V první fázi po k iterací tvrdíme, že nasta případ 2. Jestiže během této doby nenaezneme epší řešení, tak předpokádáme že jsme v případu 3. Když najdeme kdykoiv nový (epší nebo stejný) vektor tak se ceý proces opakuje od začátku. Hodnota k je závisá na počtu dimenzí a maximáním počtu iterací vztahem k=.3*d*itermax, kde D je počet dimenzí a itermax je maximání počet iterací. S takto nastavovaným parametrem F dostáváme epší výsedky než když máme F fixní, resp. dosahujeme epší úspěšnosti v naezení optima. Ceý tento proces je anaogií k /5 pravidu v ES, které je ukázáno v násedujícím odstavci. 6.5 Evouční strategie (ES) Jedná se o metodu, která bya navržena v 6. a 7. etech minuého stoetí. Jako první tato metoda zavádí úpravu sama sebe (sef-adaptation). Metodu ze popsat v někoika násedujících krocích. a) Zadání vstupních parametrů. Můžeme voit násedující parametry. Countmax počet iterací po které se nebude měnit sigma Sigma určuje veikost kroku Cekový počet iterací b) K nejepšímu známému vektoru přičteme náhodný vektor (v rozsahu prohedávaného prostoru), který vynásobíme parametrem sigma. c) Ověříme zda vytvořený testovací vektor eží v dovoených hranicích. Jestiže ne, tak ho tam posuneme. 3 /59

d) Ohodnotíme testovací vektor a přičteme do proměnné countmax. Jestiže je úspěšnější než aktuáně známý, tak ho označíme za nejepší a zapamatujeme si, že jsme měi úspěch (přičteme do proměnné success). e) Kroky b d opakujeme až do dosažení maximáního počtu voání (countmax) s danou sigmou. f) Po dosažení maximáního počtu voání s danou sigmou změníme sigmu pode pravida /5 úspěšnosti. Nejépe to ze vyjádřit násedovně. C =.65 -opravný součinite [.6 ] Ps = success / countmax Když ps >.2 Sigma = sigma / c Když ps <.2 Sigma = sigma * c Jinak sigma = sigma původní -poměr úspěšných voání Po změně parametru sigma opět opakujeme cykus b-e g) Ceý cykus b - f opakujeme do dosažení zastavovacích podmínek. 7 Hodnocení testů Jakékoiv testy má smys děat pouze tehdy, když máme definováno i zpracování jejich výsedků. V opačném případě to můžeme považovat za házení kamení do studny. 7. Zastavovací podmínky Dnes neexistuje žádný, nám známý konsenzus, který by stanovova, kdy a jak mají zastavit iterační optimaizační agoritmy. Tradiční přístup, který hodnotí nezbytný počet voání funkce k naezení optima a procentuání úspěšnost naezení optima s danou odchykou, je pode nás naprosto nevyhovující. Zastavovat při naezení optima ze pouze u benchmarků, kde známe optimum. U praktických probémů je to nepoužitené. Navíc je zde probém přesnosti optima. Obvyke se posuzuje pouze funkční hodnota s danou toerancí. Jestiže je toerance příiš veká, tak může dojít k pádu do okáního optima, které má funkční hodnotu bízkou gobánímu optimu. Daší možností je dosažení určitého počtu voání funkce (iterací). To je proveditené u reáných úoh, ae je zde otázka, koik iterací se má spočítat. Na tuto 4 /59

otázku neexistuje jednotná odpověď. Daší možností je stanovení časového úseku a výpočetní síy, kterou jsme ochotni probému obětovat. To se již bíží reáným úohám. 7.2 Kriteria hodnocení Při hodnocení je třeba rozděit úohy na ty, kde známe optimum (benchmarky) a ostatní. Jestiže známe optimum, pak je vemi výhodné hodnotit agoritmus pode toho, zda jej dosáh či nikoiv. Zde ae musíme dát veký pozor na toeranci s jakou budeme optimum posuzovat. Jak již byo zmíněno, jestiže bude toerance příiš veká, pak může dojít k vyhodnocení okáního optima jako gobáního. U běžné úohy, kde neznáme optimum, toto hodnocení nemůžeme uděat. Je však možné sedovat vývoj hodnot postupně po jednotivých iteracích metody. V našem případě budeme sedovat jaké řešení najde agoritmus po n voání funkce. Z takto získaných dat můžeme říci, které agoritmy jsou vhodné pro přesnou a které pro rychou optimaizaci. Vemi dobře náš probém vystihuje Obr. 7.2-. Pohybujeme se po pomysné křivce. Jestiže necháme agoritmus běžet příiš krátce, tak nedostaneme dobrý výsedek. V opačném případě budeme jen pýtvat strojovým časem. Je na nás tedy neehký úko. Musíme rozhodnout koik času dáme metodě. I úspěšnost agoritmu závisí na množství času, který probému obětujeme. Jesti budeme hovořit o množství času nebo počtu iterací, je pro naše pokusné účey záměnné. Obr. 7.2-7.3 Efektivita Zákadním hnacím motorem vývoje optimaizačních agoritmů je úspora zdrojů. Můžeme muvit o prostředcích v ibovoné formě. Proto i při samotných optimaizačních úohách bychom měi brát ohed na vynaožené prostředky, na jejich vývoj a impementaci. 5 /59

Měi bychom brát na zřete dva havní vstupy a to čas čověka a čas stroje. Každý vstup má danou hodnotu (cenu) a naší snahou je minimaizovat jejich součet. Tím chceme iustrovat příkad, že někdy může být výhodnější metoda, která je sice trochu pomaejší, ae mnohem jednodušší na impementaci. Nejen proto je hodnocení optimaizačních agoritmů vemi sožitý probém. 8 Test DE vs. ES na sadě ANDRE Naší snahou je porovnat optimaizační agoritmy a pokusit se je charakterizovat. Na zákadě popisu chování těchto agoritmů na širokém poi funkcí se můžeme snažit získat třídu úoh, pro které se hodí. Předem je třeba říci, že se chceme vyvarovat jakéhokoiv generaizování, proto říkáme, že ten či onen agoritmus bude pravděpodobně vhodnější. 8. Matematické testovací funkce Zatím bohuže neexistuje sada standardních testovacích funkcí. My použijeme sadu ANDRE [27]. Sada obsahuje 2 různých funkcí. Funkce mají od jedné do 2 proměnných a testují různé aspekty. Seznam funkcí je uveden v příoze. Tato sada bya již použita jako testovací sada pro mnoho jiných agoritmů, proto předpokádáme, že je dostatečně výstižná pro postihnutí běžných typů funkcí. 8.2 Vstupní předpokady Budeme testovat dva agoritmy. Prvním z nich bude diferenciání evouce a jako soupeře jí poožíme evouční strategii. Maximání počet voání funkce jsme stanovii na x x D, kde D je počet proměnných funkce. Tento počet by zvoen úmysně. x D je totiž veikost popuace u DE. Obě metody spustíme na každé funkci x, aby výsedky měy statisticky vypovídající hodnotu. 8.3 Průběh testu Na provedení testu by sestaven program v apikaci MATLAB. Program má tři úrovně. V nejnižší jsou samotné funkce, vstupním parametrem je zde sada proměnných a výstupním je hodnota v zadaném bodě. Funkce jsou zcea totožné pro DE i ES. 6 /59

Druhou úroveň tvoří samotný agoritmus. Zde se provádí změny bodů ve kterých chceme počítat hodnoty. Dá se říci, že je zde uoženo jádro agoritmu. Třetí úroveň pouze voá samotné metody, zadává jim vstupní parametry a ukádá výsedky jednotivých testů. 8.4 Vyhodnocení na sadě funkcí Na vypočtené sadě dat je spuštěn statistický T-test s hadinou spoehivosti 95%, který vyhodnocuje, zda-i je rozožení dvou porovnávaných výsedků z dvou různých metod (DE a ES) různé. Princip statistické funkce T-test je popsán v příoze. Tím zjišťujeme, zda je možné od sebe obě rozděení odišit. Pro epší přehednost vždy vykresíme do jednoho grafu funkce o stejném počtu proměnných. Je nutno podotknout, že obecně neexistuje ineární vztah mezi počtem proměnných funkce a její sožitostí. Pro tento úče by byo vhodné rozděit funkce do jednotivých tříd, ae to je mimo rámec této práce. Ve všech násedujících grafech ukazujeme výsedky testu. Na vodorovné ose je počet voání funkce poděený x D (počtem čenů popuace). Proto i kdekoiv dáe budeme muvit o počtu iterací, máme namysi počet voání funkce poděený x D. Hodnoty na svisé ose mají význam de násedující tabuky: DE má nižší průměrnou hodnotu o více jak -2, DE má nižší průměrnou hodnotu o méně jak -2 - ES má nižší průměrnou hodnotu o více jak -2 -, ES má nižší průměrnou hodnotu o méně jak -2 Jednotivé průběhy neze odišit Na Gr. 8.4- jsou vykreseny funkce proměnné. Konkrétně, funkce F a F3. 7 /59

,25,75 F F3,5,25 -,25 -,5 -,75 - -,25 Gr. 8.4- - T-test na funkcích proměnné v závisosti na počtu iterací Na Gr. 8.4-2 jsou vykreseny funkce 2 proměnných. Těchto funkcí je cekem 7. To již ze považovat za reprezentativnější vzorek než předchozí případ. Probém je v tom, že každá funkce má jiný aspekt obtížnosti (je z jiné třídy). Jedna má ostrá okání minima, jiná má zase veké údoí, které je mírně svažité. 8 /59

,25,75,5,25 -,25 -,5 -,75 - Branin Cameback Godprice Pshubert Pshubert 2 Quartic Shubert -,25 Gr. 8.4-2 - T-test na funkcích 2 proměnných v závisosti na počtu iterací V Gr. 8.4-3 až Gr. 8.4-7 zobrazujeme úspěšnost metod na jednotivých funkcích.,25,75 Hartman,5,25 -,25 -,5 -,75 - -,25 Gr. 8.4-3 - T-test na funkci 3 proměnných v závisosti na počtu iterací 9 /59

,25,75,5,25 -,25 -,5 -,75 - Sheke Sheke 2 Sheke 3 -,25 Gr. 8.4-4 - T-test na funkcích 4 proměnných v závisosti na počtu iterací,25,75 Hartman 2,5,25 -,25 -,5 -,75 - -,25 Gr. 8.4-5 -T-test na funkci 6 proměnných v závisosti na počtu iterací 2 /59

,25,75 Hosc 45,5,25 -,25 -,5 -,75 - -,25 Gr. 8.4-6 - T-test na funkci proměnných v závisosti na počtu iterací,25,75,5,25 -,25 -,5 -,75 - Brown Brown 3 F5n Fn F5n -,25 Gr. 8.4-7 - T-test na funkcích 2 proměnných v závisosti na počtu iterací 2 /59

Z většiny uvedených grafů je zřejmé, že neze jednoznačně říci, že je jedna metoda epší než druhá. Co však pozorné oko uvidí je, že při nízkém počtu iterací dává většinou epší výsedky ES a při vyšším DE. Toto povšimnutí bíže rozebereme v daších kapitoách. 8.5 Vyhodnocení v jednotivých řezech Jestiže vezmeme výsedky z funkce Hartman 2, a uděáme rozožení hodnot při, a iteracích, tak získáme vemi zajímavé rozožení hodnot. Na Gr. 8.5- vidíme procentuání rozožení hodnot při iteracích. Na svisé ose je dosažená hodnota. Je zřejmé, že diferenciání evouce (modrá) se teprve začíná orientovat, zatímco ES má mnohem užší rozožení výsedků. Při sto iteracích (Gr. 8.5-2) již jasně vidíme, že u ES jasně převádají pouze dvě hodnoty. Kde jedna je gobání optimum (57%) a druhá je okání minimum (37%). DE je při tomto počtu iterací pouze z 32% v gobáním optimu a z 23% v okáním minimu. V ostatních případech se pohubuje někde mezi. V této situaci také T-test ukáza, že neze odděit tyto dva případy. Vemi důežitý je ae Gr. 8.5-3, který ukazuje situaci při iteracích. Zde je jednoznačně vidět robustnost DE, která nespada do okáního minima toikrát jako ES. Je zřejmé že DE dosáha správného gobáního optima v 78% a ES jen v 57%. Tento rozdí je poměrně veký. Stojí ovšem za úvahu zda opakovaným restartem ES neze dosáhnout epších výsedků. Napříkad jestiže bychom x restartovai ES a vždy ji nechai dojít pouze do iterací a ona nám pokaždé se 48% pravděpodobností naša gobání optimum, pak pravděpodobnost, že optimum nenajdeme je rovna,52 =,4. To znamená mnohem méně než %, a cekem jsme provedi jen iterací. Tento závěr ovšem neze generaizovat. Je to jen spekuativní úvaha. 22 /59

-2,2-2,28-2,36-2,44-2,52-2,6-2,68-2,76-2,84-2,92-3 -3,8-3,6-3,24-3,32-3,4-3,48 DE- ES- % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Gr. 8.5- procentuání rozožení naezených hodnot po iteracích na funkci Hartman 2-2,2-2,28-2,36-2,44-2,52-2,6-2,68-2,76-2,84-2,92-3 -3,8-3,6-3,24-3,32-3,4-3,48 DE- ES- % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Gr. 8.5-2 procentuání rozožení naezených hodnot po iteracích na funkci Hartman 2 23 /59

-2,2-2,28-2,36-2,44-2,52-2,6-2,68-2,76-2,84-2,92-3 -3,8-3,6-3,24-3,32-3,4-3,48 DE- ES- % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Gr. 8.5-3 procentuání rozožení naezených hodnot po iteracích na funkci Hartman 2 Dáe si můžeme ukázat vývoj naezených hodnot funkce s počtem iterací. Na Gr. 8.5-4 můžeme vidět, jak postupně kesá funkční hodnota naezených bodů. U každé metody máme znázorněny 3 hodnoty. Jedná se o minimum, maximum a průměr v dané iteraci. Jak je vidět u ES již mezi iterací a neprobíhají žádné změny. Proto nemá smys tuto metodu iterovat tak douho. Naopak u DE probíhají změny zhruba do iterace, pak se opět již nic neděje. Proto v předešém odstavci nebyy zobrazovány řezy v iteracích, byy by zcea stejné jako při iteracích. 24 /59

- -,5-2 DE-min DE-avg DE-max ES-min ES-avg ES-max -2,5-3 -3,5 Gr. 8.5-4 rozpty naezených hodnot v závisosti na počtu iterací na funkci Hartman 2 Pro přehednost můžeme ještě ukázat Tab. 8.5-, která názorně ukazuje, která metoda na dané funkci při určitém počtu iterací má nižší průměrnou hodnotu. Jestiže je poe červené, pak je to DE. Zeená barva poe značí, že na daném segmentu je epší ES. Jestiže poe nemá barvu, pak statistický T-test nedokáza rozhodnou na hadině pravděpodobnosti 95%, která metoda je epší. 25 /59

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 F F3 Branin - - - - - - - - - - Cameback - - - - - - - - - - Godprice Pshubert - - Pshubert 2 - - Quartic - Shubert Hartman Sheke - - - Sheke 2 - - - Sheke 3 - - - Hartman 2 - - - - - - Hosc 45 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Brown - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Brown 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - F5n - - - - - - Fn F5n Tab. 8.5- znázornění, která metoda naeza epší výsedky na dané funkci v závisosti na počtu iterací (- ES, + DE, pat). 9 Test DE vs. ES na testovacích konstrukcích Abychom netestovai agoritmy jen na funkcích, které jsou čistě matematické, tak jsme provedi testy i na někoika konstrukcích. Jedná se o jednoduché konstrukce, které již byy v iteratuře testovány a jsou u nich známé výsedky z ostatních metod. 9. Testovací konstrukce V násedujících odstavcích se pokusíme na někoika jednoduchých (až eementárních) konstrukcích otestovat agoritmy. Budeme měnit pouze průřezy prutů, proto se jedná o tzv. rozměrovou optimaizaci *. Na těchto konstrukcích se épe ukáže praktická použitenost agoritmů. * z ang. size optimization 26 /59

Zde již řešíme skutečné probémy, včetně všech dopadů. Jedním z prvních faktorů, s kterými se musíme vyrovnat, jsou omezující podmínky. V našem případě se jedná o omezení průhybů a napětí v jednotivých místech konstrukce. Tento probém budeme řešit pomocí penaizačních funkcí [4]. V našem případě jsme použii jednu z nejprimitivnějších penaizačních funkcí ve tvaru f tot = f * (P cac /P im ) n, kterou můžeme vyjádřit Obr. 9.-. Hodnota parametru n bya v počítaných úohách poožena n = 2, f je funkční hodnota, P cac je hodnota parametru, která vyša z výpočtu a P im je maximání povoená hodnota. Obr. 9.- vývoj penaizační funkce Specifika těchto testů spočívají také v tom, že se jedná i o úohy diskrétní, které tvoří samostatnou kapitou na rozdí od úoh nad spojitým prostorem. Všechny násedující konstrukce byy převzaty z čánku [6]. 9.2 Testovací konstrukce the ten-bar truss Konstrukce je vyobrazená na Obr. 9.2-. Vše je v imperiáních jednotkách. Je to tím, že příkady přebíráme ze zahraniční iteratury v původním znění, aby naše výsedky byo možno srovnat s výsedky jiných prací. Konstrukce je sožena z prutů. Naším cíem je minimaizace hmotnosti konstrukce při spnění omezujících podmínek. Povoené imitní napětí je ± 25 kpsi * a průhyb je imitován na 2 in ve směru x i ve směru y. Modu pružnosti je uvažován E = 4 ksi a hustota materiáu je, b / in 3. V uzech 4 a 2 je apikováno zatížení P o veikosti kips. Uvažujeme případ spojitý a diskrétní. V prvním případě uvažujeme, že průřez prutů může být ibovoné reáné číso, minimáně však, in 2. V případě diskrétního probému * tak těesa o váze iber na čtvereční paec, kpsi 6 894 KPa čtverečný paec, in 2 = 645,6 mm 2 27 /59

můžeme vybírat profiy pouze ze sady čtyřiceti dvou předem daných hodnot. Hodnoty jsou:.62,.8,.99, 2.3, 2.38, 2.62, 2.63, 2.88, 2.93, 3.9, 3.3, 3.38, 3.48, 3.55, 3.63, 3.84, 3.87, 3.88, 4.8, 4.22, 4.49, 4.59, 4.8, 4.87, 5.2, 5.74, 7.22, 7.97,.5, 3.5, 3.9. 4.2, 5.5, 6., 6.9, 8.8, 9.9, 22., 22.9, 26.5, 3., 33.5. Tím máme definováno kompetní zadání. Obr. 9.2- konstrukce the ten-bar truss" Pro řešení úohy nad spojitým prostorem jsou některá známá řešení vypsaná v Tab. 9.2-. v posedním soupci je uvedeno i naše nejepší řešení, které byo vypočteno za pomoci DE. Naše řešení spňuje okrajové podmínky (posun uzu je roven 2 in a největší napětí je 24.998 kpsi. Dáe již budeme rozebírat pouze řešení diskrétní, které jsou u těchto typů konstrukcí obvykejší. 28 /59

A j Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Ref. Naše [7] [8] [9] [] [2] [3] výsedky 3.35 3.57 25.73 33.432 3.46 3.5 3.4725 2..369.9..28..2 3 2.3 23.97 24.85 24.26 23.48 23.29 23.728 4 5.6 4.73 6.35 4.26 4.95 5.428 5.2 5.4..6.... 6.24.364.9...2.564 7 8.35 8.547 8.7 8.388 8.696 7.649 7.464 8 22.2 2. 2.4 2.74 2.84 2.98 2.887 9 22.6 2.77 22.3 9.69 2.77 2.88 2.5265..32.22..86.. W 52. 57.3 595.65 589. 584.9 58. 56.9 Tab. 9.2- - naezená řešení nad spojitým prostorem na konstrukci the ten-bar truss V Tab. 9.2-2 jsou uvedeny výsedky ze třech různých zdrojů pro diskrétní hodnoty průřezu prutů. V posedním soupci jsou uvedeny hodnoty, které jsme spočeti my. Jak je vidět, tak ve všech třech referencích jsou uvedené hodnoty průhybu vyšší než je povoeno. Pro zajištění správnosti jsme dai do našeho agoritmu vektory z [7] a vyšy nám stejné hodnoty jaké jsou uvedeny. Při tom samém testu s hodnotami z [8] nám vyšy zcea odišné hodnoty (jak posunutí, tak hmotnosti konstrukce). Z tohoto důvodu jsme se rozhodi vypočítat hmotnost konstrukce s pruty z [8] průkazně v Tab. 9.2-3. Stejná hmotnost nám vyša i v agoritmu. Proto považujeme hodnoty z reference [8] za chybné a dáe s nimi nebudeme pracovat. Při přepočtení dat z [9] jsme se dostai ke shodným výsedkům. Proto považujeme agoritmus za správný a vypočtená data za věrohodná. Jak je vidět v Tab. 9.2-2, tak jsme se dostai s hmotností konstrukce níže než uvedené reference až na výjimku [8] a navíc je spněna podmínka posunutí. Je nutno zmínit, že se nikde nepíše o napětí, i když ve formuaci úohy bya omezující podmínka. Je to z důvodu veké rezervy v této podmínce. V žádném z uvedených příkadů jsme se k dovoeným 25 ksi ani nepřibížii (u našich dat je to cca 4 ksi). 29 /59

A j Reference Reference Reference Naše [7] [8] [9] výsedky 33.5 33.5 33.5 33.5 2.62.62.62.62 3 22. 22. 22. 22.9 4 5.5 4.2 3.9 4.2 5.62.62.62.62 6.62.62.62.62 7 4.2 7.97 7.97 7.97 8 9.9 22.9 22.9 22.9 9 9.9 2. 22.9 22. 2.62.62.62.62 W 563.58 5458.3 5493.36 549.738 u max 2.75 2.227 2.74.9989 Tab. 9.2-2 -naezená řešení s diskrétními průřezy na konstrukci the ten-bar truss Pocha [in 2 ] Déka [in] Hustota [b/in 3 ] Hmotnost [b] 33,5 36, 26,62 36, 58,32 22, 36, 792 4,2 36, 5,2,62 36, 58,32,62 36, 58,32 7,97 59,68825, 45,766553 22,9 59,68825, 65,87766 2, 59,68825, 8,233765,62 59,68825, 82,47693496 Cekem 5356,5456 Tab. 9.2-3 výpočet hmotnosti konstrukce s pruty de [8] Na Gr. 9.2- je znázorněn vývoj dosažených hodnot v závisosti na počtu iterací. Je zde vemi názorně vidět jak ES již v prvních desítkách iterací získává zajímavé hodnoty, zatímco DE až koem sta iterací. 3 /59

6 59 58 DEmin DEavg ESmin ESavg ESmax DEmax 57 56 55 54 Gr. 9.2- rozožení naezených hodnot na konstrukci the ten-bar truss v závisosti na počtu iterací Neméně zajímavé jsou dosažené hodnoty v jednotivých iteracích. Rozožení těchto hodnot při iteracích je na Gr. 9.2-2. Je zde vemi dobře patrné, jaký náskok má ES před DE. Na Gr. 9.2-3 je vidět stejné rozožení při sto iteracích. A na posedním Gr. 9.2-4 je vidět rozožení při tisíci iteracích. Je ještě nutné upozornit na rozdíné hodnoty na svisé ose. 3 /59

834 8 786 ES- DE- 762 738 74 69 666 642 68 594 57 558 549,737892 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.2-2 procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the ten-bar truss při iteracích 582 578 ES- DE- 574 57 566 562 558 554 55 549,737892 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.2-3 procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the ten-bar truss při iteracích 32 /59

553,462784 5522,9722 ES- DE- 553,423347 553,37373 557,75842 5499,35426 549,77373 549,737892 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.2-4 procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the ten-bar truss při iteracích 9.3 Testovací konstrukce the 25-bar truss Tato testovací konstrukce je sožena z 25 prutů a je ukázána na Obr. 9.3-. Okrajové podmínky vyžadují, aby napětí v prutech byo v intervau [-4, +4] kpsi a aby maximání posun bodu a 2 by menší nebo roven.35 in v každém směru. Zatížení jednotivých uzů je de Tab. 9.3-. Jedná se o diskrétní úohu, tudíž budeme průřezy prutů vybírat z definovaných hodnot (.,.2,.3,.4.5,.6,.7,.8,.9,.,.,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9, 2., 2., 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 3., 3.2, 3.4). Navíc jsou jednotivé pruty součeny do osmi skupin (de Tab. 9.3-2). Tím kesá počet proměnných, které můžeme měnit. Uze Fx Fy Fz -. -. 2 -. -. 3.5 6.6 Tab. 9.3- zatížení v uzech [kips] 33 /59

Skupina Propojení uzů A -2 A 2-4,2-3, -5, 2-6 A 3 2-5, 2-4, -3, -6 A 4 3-6, 4-5 A 5 3-4, 5-6 A 6 3-, 6-7, 4-9, 5-8 A 7 3-8, 4-7, 6-9, 5- A 8 3-7, 4-8, 5-9, 6- Tab. 9.3-2 skupiny prutů Obr. 9.3- konstrukce the 25-bar truss Výsedky, které jsme dostai, jsme srovnai s výsedky, které se objeviy v dostupné iteratuře. Souhrn můžeme vidět v Tab. 9.3-3. Jak je vidět, dostai jsme ještě epší hodnoty než uvádí iteratura. I zde jsme zkoušei pustit agoritmus s jednotivými pochami z citované iteratury, abychom ověřii správnost výpočtu. V případě zdrojů [], [4], [5] jsme se dostai ke stejným výsedkům. Tím se dá říci, že agoritmus počítá správně. V případě reference [6] jsme obdržei mírně jiné hodnoty a proto si mysíme že tato reference je chybně vypočtená. 34 /59

Proměnná [] [4] [5] [6] Náš výsedek A....2. A 2.8.9.2.5.4 A 3 2.3 2.6 3.2 3.4 3.4 A 4.2.... A 5....5 2.2 A 6.8.8.9.9 A 7.8 2..4.6.4 A 8 3. 2.6 3.4 3.4 3.4 W 546. 562.93 493.8 486.29 484.33 u y -.348 -.3486 -.3499 -.3495 -.34795 u y2 -.3477 -.3482 -.3479 -.3479 -.34996 Tab. 9.3-3 naezená řešení na konstrukci the 25-bar truss Na Gr. 9.3- můžeme vidět vývoj hodnot při jednotivých iteracích. Stejně jako v předchozím případě je vemi pěkně vidět o koik rycheji najde ES dobrou hodnotu. 6 58 56 DEmin DEavg ESmin ESavg ESmax DEmax 54 52 5 48 Gr. 9.3- procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 25-bar truss 35 /59

Můžeme si i ukázat rozožení naezených hodnot v jednotivých iteracích. Stav při iteracích ukazuje Gr. 9.3-2. Dáe na Gr. 9.3-3 vidíme stav při sto iteracích. I při tomto počtu se dá říci, že ES je na tom épe. V posedním ze série grafů (Gr. 9.3-4) je znázorněno rozožení naezených hodnot při tisíci iteracích. Zde již zcea jasně převádá DE. 685 67 655 ES- DE- 64 625 6 595 58 565 55 535 52 55 496,9663237 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.3-2 - procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 25-bar truss při iteracích 36 /59

495 494 ES- DE- 493 492 49 49 489 488 487 486 485 484,3286442 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.3-3 - procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 25-bar truss při iteracích 485,786772 ES- DE- 485,339 485,243456 484,5892655 484,4988929 484,3286442 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.3-4 - procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 25-bar truss při iteracích 37 /59

9.4 Testovací konstrukce the 72-bar truss Daší testovaná konstrukce je prostorová příhrada ukázána na Obr. 9.4-. Na této konstrukci budeme optimaizovat hmotnost ceé konstrukce. Jako proměnné jsou průřezy prutů. Pruty jsou uspořádány do 6 skupin (Tab. 9.4-), čímž se snižuje počet proměnných, ae zvyšuje obtížnost. Minimání průřez prutu je stanoven na. in 2, maximání není nastaven a mezi těmito mezemi se mění průřez spojitě. Posun každého bodu je imitován na,25 in v každém směru. Maximání napětí v prutu musí být v rozsahu [-25, 25] ksi. Hustota materiáu je, b/in 3 a modu pružnosti 4 ksi. V této konstrukci jsou definovány dva zatěžovací stavy (Tab. 9.4-2). Obr. 9.4- konstrukce the 72 bar truss 38 /59

Skupina Pruty A,2,3,4 A 2 5, 6, 7, 8, 9,,, 2 A 3 3, 4, 5, 6 A 4 7, 8 A 5 9, 2, 2, 22 A 6 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 A 7 3, 32, 33, 34 A 8 35, 36 A 9 37, 38, 39, 4 A 4, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 A 49, 5, 5, 52 A 2 53, 54 A 3 55, 56, 57, 58 A 4 59, 6, 6, 62, 63, 64, 65, 66 A 5 67, 68, 69, 7 A 6 7, 72 Tab. 9.4- seřazení prutů do skupin Zatěžovací stav Uze F x F y F z 5 5-5 2-5 2-5 3-5 4-5 Tab. 9.4-2 zatěžovací stavy (kips) Zajímavostí na této konstrukci bude, že srovnáme nejen výkonnost agoritmů DE a ES, ae přidáme ještě jeden navíc. Nebude se jednat o žádný z běžných agoritmů, ae o modifikaci DE. Modifikace bude spočívat v násedujícím. Nebudeme vytvářet ceou zmutovanou popuaci, ae pouze jednoho jedince, na něm pak provedeme crossover a modifukujeme popuaci. Tím se tato metoda zařadí mezi steady-state agoritmy. U verze DE2 je zachována veikost popuace *D, kdežto u verze DE3 je veikost popuace snížena na 2*D. V Tab. 9.4-3 jsou ukázány naše dosažené výsedky ve srovnání s výsedky z některých referencí. Toto srovnání jsme děai havně pro ověření správnosti výpočtu. 39 /59

Srovnávai jsme hmotnost ceé konstrukce. U každé reference jsme vypočeti hmotnost, posun uzu i maximání napětí. S referencemi jsme srovnávai pouze hmotnost ceé konstrukce. Jak je vidět, jsou zde pouze drobné odchyky způsobené zaokrouhováním. Proměnná [2] [7] [] [5] Náš výsedek A.6.492.582.55.565 A 2.557.7733.5936.532.5497 A 3.373.4534.344.48.492 A 4.56.347.676.53.5763 A 5.6.552.2643.46.58 A 6.532.684.548.53.593 A 7....2. A 8...59.65. A 9.246.235.67.55.2878 A.524.542.5793.585.59 A..... A 2..... A 3.88.4636 2.784.755.8842 A 4.524.527.534.55.56 A 5....5.2 A 6....55. W reference 38.2 395.97 388.63 385.76 W vypočteno 38.9 396.84 388.64 386.2 379.68 Napětí 25.8 25.522 25.5 24.743 24.998 U max.24348.24974.2998.25599.25 Tab. 9.4-3 srovnání výsedků na konstrukci the 72-bar truss Na Gr. 9.4- můžeme vidět průběh naezených hodnot po jednotivých iteracích. Jak je vidět i na této konstrukci se chovají agoritmy jako na všech předešých. Navíc zde máme ukázán modifikovaný agoritmus DE (na grafech je značen jako DE2 a DE3). Jak je vidět 4 /59

modifikace DE přináší úspěch v začátcích, kde konverguje épe, ae při iteracích je horší než původní DE a dokonce i než ES. 76 7 66 6 56 DEmin DEavg ESmin ESavg ESmax DEmax DE2min DE2avg DE2max DE3min DE3avg DE3max 5 46 4 36 Gr. 9.4- vývoj naezených hodnot na konstrukci the 72 bar truss Na Gr. 9.4-2 až Gr. 9.4-4 je vidět rozožení naezených hodnot při, a iteracích. Z rozožení jasně vypývá, že pro rychý nástře je epší ES, ae pro doiterování do nejepšího optima je vhodnější DE. Dáe je vidět nevýhodnost agoritmu DE2 (modifikovaná diferenciání evouce). 4 /59

5 5 DE3- DE2- ES- DE- 95 9 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.4-2 procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 72-bar truss při iteracích 57 DE3- DE2-55 ES- DE- 53 5 49 47 45 43 4 39 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.4-3 - procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 72-bar truss při iteracích 42 /59

45 4 DE3- DE2- ES- DE- 45 4 395 39 385 38 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % Gr. 9.4-4 - procentuání rozožení naezených hodnot na konstrukci the 72-bar truss při iteracích Závěr. Dosavadní testy Tato práce se snaží ukázat vhodnost jednotivých agoritmů pro konkrétní použití. Proto se i v závěru omezíme na konstatování, která jsou zřejmá z vypočtených hodnot. Nebudeme tvrdit, že některý agoritmus je epší než jiný. Na toto téma byo již napsáno mnoho prací, ae pode nás naprosto neuspokojivých. Jak byo napříkad zmíněno v kapitoe 9.2, někdy jsou i uvedené hodnoty chybné. Proto jsme se snažii o co největší transparentnost v průběhu ceé práce i pubikovaných výsedků. To je doprovázeno zveřejněním všech použitých zdrojových kódů a vypočtených hodnot. Všechny tyto kroky vedou také k opakovatenosti všech testů. 43 /59

.2 Testy na sadě ANDRE Na této teoretické sadě byy získány charakteristické rysy konvergence dvou vybraných metod. Jak je vidět z grafů v kap. 8, tak ES většinou vemi ryche najde okání optimum, v kterém bohuže vemi často zůstane. Naopak DE je vemi robustní metoda, má podstatně vyšší úspěšnost naezení gobáního optima, ae tyto vastnosti jsou vykoupeny její pomaou konvergencí..3 Testy na reáných konstrukcích Na všech testovaných prutových konstrukcích vykazovaa ES mnohem epší výsedky při maém počtu iterací. Naopak při dostatečném počtu iterací zdánivě vychází épe DE. Jednoznačný závěr ovšem uděat neze. Když budeme pouštět ES pouze na maém počtu iterací a budeme ji restartovat, tak v mnohých případech dopadne ES épe než DE při vysokém počtu iterací. Jediné co ze říci, že ES je vhodná pro první nástřey konstrukcí, protože vemi ryche dává uspokojivé výsedky. Jak již byo zmíněno, většinou pro inženýra není nutné znát optimum (minimum) funkce (konstrukce), ae často stačí epší řešení než doposud známé. Je nutné zmínit, že jsme zde prováděi pouze rozměrové optimaizace, ae máme mnoho daších druhů optimaizací. Na nich nemusí patit zde uvedené závěry..4 Interpretace výsedků Snahou této práce byo vytvořit začátek jakési kuchařky pro běžné inženýry, kteří potřebují zoptimaizovat své konstrukce. Výsedky této práce se dají použit při daším vývoji SW pro optimaizaci stavebních konstrukcí. V optimaizačním nástroji si inženýr vybere koik času je ochoten obětovat optimaizaci. Apikace na zákadě tohoto výběru, typu konstrukce, počtu prvků a daších parametrů se pokusí vybrat nejvhodnější metodu..5 Doporučení Je třeba se vyvarovat jakéhokoiv generaizování uvedených výsedků. Všechny výsedky jsou podmíněny uvedenými skutečnostmi. V daších pracích je třeba ověřit uvedené 44 /59

skutečnosti na širokém spektru konstrukcí. Vybraná sada funkcí (ANDRE) ani uvedené konstrukce rozhodně nepostihují mnohé aspekty..6 Daší kroky V daších pracích by byo zajímavé ověřit, zda by nebya vhodná kombinace ES a DE tak, že ES by v prvních iteracích napočeta zajímavé sady vstupních parametrů, které by násedně tvořii část popuace v DE. Byo by třeba se vypořádat s eitismem (abychom naopak nezhoršii vastnosti DE), ae současně by to moho vemi urychit konvergenci agoritmu. Je to však jen domněnka, kterou je třeba ověřit. 45 /59

. Reference [] http://www-fp.mcsman.gov/otc/guide/optweb [2] Storn, R and Price, K (995) "Differentia Evoution - A Simpe and Efficient Adaptive Scheme for Goba Optimization over Continuous Spaces": Technica Report, Internationa Computer Science Institute, Berkey. [3] Hebák P., Bíková D., Svobodová.: Praktikum k výuce matematické statistiky II: Testování hypotéz, ISBN 8 245 82-5 [4] Coeo C.A. (2) Theoretica and numerica constraint-handing techniques used with evoutionary agorithms: a survey of the state of the art, Computer methods in Appied Mechanics and Engineering, Voume 9, Number, 245-287(43) [5] Hans-Georg Beyer, Bernard Sendhoff, Robust optimization A comprehensive survey, Comput. Methods App. Mech.Engrg. 96(27) 39-328 [6] A.C.C.Lemonge, H.J.C. Barbosa (24) - An adaptive penaty schneme for genetic agorithm in structura optimization, Int.J. Numer. Metho. Engng. (24), 59:73-736 [7] Geaty R.A., Berke L., Optiona structura design, Technica Report AFFDL-TR-7-65, Air Force Fight Dynamice Laboratorz (97) [8] Schmit A.L., Miura H., A new structura anaysis/synthesis capabiity: access. AIAA Journa 976; 4:66-67 [9] Ghasemi M.R., Hinton E., Wood R.D. Optimization of trusses using genetic agorithms for discrete and continous variabes, Engineering Computations 997; 6:272-3 [] Schimit L.A., Farsi B., Some approximation concepts in structura synthesis AIAA Journa 974; 2:692-699 [] Krishnamoorty CS, Rajeev S., Discrete optimization of structures using genetic agorithms, Journa of Structura Engineering 992; 8(5):233-25 [2] Venkayya VB, Khot NS, Reddy VS, Energy distributoin in an optima structura desing, Technica Report AFFDL-TR-68-56, Fight Dynamics Laboratory, Wright- Patterson ABF, Ohio, 969 [3] Dobbs MV, Neson RB, Apication of optimaity criteria in automated structura design, AIAA Journa 976; 4:436-443 46 /59

[4] Zhu DM, An improved Tempeman s agorith for optimum design of trusses with discrete member sizes, Engineering Optimization 986; 9:33-32 [5] Erbatur F, Hasancebi O, Tütüncü I, Kic H, Optima design of panar and space structures with genetic agorithms, Computers and Structures 2; 75:29-224. [6] Wu SJ, Chow PT, Steady-state genetic agorithms for discrete optimization of trusses, Computers and Structures 995; 56(6):979-99 [7] Krishnamoorty CS, Rajeev S. Discrete optimization of structures using genetic agorithms, Journa of Structura Engineering 992, 8(5):233-25 [8] Gaante M, Genetic agorithms as an approach to optimize rea-word trusses, Internationa Journa for Numerica Methods in Engineering, 996; 39:36-382 [9] A.E. Eiben, J. E. Smith (23). Introduction to Evoutionary Computing. Springer [2] Venkayya VB. Desing of optimum structures, Journa of Computers and Structures 97; 265-39 [2] http://en.wikipedia.org/wiki/buiding_information_modeing [22] http://en.wikipedia.org/wiki/meta_heuristic [23] Robbins, H. and Monro, S., A Stochastic Approximation Method, Annas of Mathematica Statistics, vo. 22, pp. 4-47, 95 [24] Rechenberg, I., Cybernetic Soution Path of an Experimenta Probem, Roya Aircraft Estabishment Library Transation, 965 [25] Nakrani S. and Tovey S., On honey bees and dynamic server aocation in Internet hosting centers, Adaptive Behaviour, vo. 2, 223 (24) [26] Karaboga D. and Basturk B., On the performance of artificia bee coony agorithm, Appied Soft Computing, vo. 8, 687 (28) [27] Hrstka O.,Kučerová A. Improvements of Rea Coded Genetic Agorithms Based on Differentia Operators Preventing the Premature Konvergence, Advances in Engineering Software, Voume 35, Issues 3-4, Pages 237-246, (24) [28] http://cs.wikipedia.org/wiki/t_test [29] http://fast.vsb.cz/konecny/fies/sskii/cv_3.ppt#287,2,lokaizace zkrácený tvar 47 /59

2 Příohy 2. T-test [28] Zde si ukážeme jak funguje statistický T-test pro porovnání dvou rozděení abychom épe porozuměni předchozím pasážím. Jestiže označíme jednotivé hodnoty prvního výběru jako x, x 2, x 3,. x n a hodnoty druhého jako x 2, x 22, x 23,. x 2n, pak můžeme psát, že výběrový průměr prvního výběru je roven X = n n i= x i A výběrový rozpty prvního výběru spočteme jako S n 2 2 = ( x i X ) n i= Obdobně spočteme charakteristiky i pro druhý výběr. Dáe budeme předpokádat, že δ = µ µ 2 Kde µ, µ 2 jsou střední hodnoty výběru. Pak můžeme psát X Y δ T = n( n ) 2 S 2 ( n ) S + ( n ) 2 V případě, že T přestoupí hadinu pravděpodobnosti, tak říkáme, že výběry na dané hadině neze rozišit. 48 /59

2.2 Sada funkcí ANDRE F: where F3: where Branin: where a =, b = 5,/4π 2, c = 5/π, d = 6, h =, f = /8π, Cameback: where 49 /59

Godprice where PShubert and 2: where for PShubert: β =,5 for PShubert2: β = Quartic: where Shubert: where 5 /59

Hartman: where i 3 3,3689,7,2673 2, 35,2,4699,4387,747 3 3 3 3,9,8732,5547 4, 35 3,2,385,5743,8828 Sheke,2 and 3: where, for Sheke: m =5, for Sheke2: m = 7, for Sheke3: m =. i 4, 4, 4, 4,, 2,,,,,2 3 8, 8, 8, 8,,2 4 6, 6, 6, 6,,4 5 3, 7, 3, 7,,4 6 2, 9, 2, 9,,6 7 5, 5, 3, 3,,6 8 8,, 8,,,7 9 6, 2, 6, 2,,5 7, 3,6 7, 3,6,5 5 /59

Hartman2: where i, 3, 7, 3,5,7 8,, 2,5, 7,, 8, 4,,2 3 3, 3,5,7, 7, 8, 3, 4 7, 8,,5,, 4, 3,2 i,32,696,5569,24,8283,5886 2,2329,435,837,3736,4,999 3,2348,45,3522,2883,347,665 4,447,8828,8732,5743,9,38 Hosc45: where Brown: where 52 /59

Brown3: F5n: where Fn: F5n: 53 /59

/59 54 2.3 Deformační metoda Pro výpočet konstrukcí bya použita deformační metoda. Proto zde ukážeme aespoň zákadní myšenky. Obr. 2.3- Budeme předpokádat prismatický prut. Jeden konec je pevně držen a druhý posuneme ve směru jeho osy o u, pak síe k tomu potřebná je rovna u k F * = Kde k je tuhost prutu, která je rovna A E k * = = x x x x u u k k k k F F 2 2 Za předpokadu F z = F 2z = můžeme předcházející rovnici rozšířit = z x z x z x z x u u u u k k k k F F F F 2 2 2 2