Přemysl Bejda.

premyslbejda@gmail.com 2010

Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika

Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika

Obsah 1 2 3 Obchodovatelnost Cena rizika

Itôovo lemma Lemma (Itôovo) Necht X t je stochastický proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt a f je deterministická dvakrát diferencovatelná funkce. Potom Y t = f (X t ) je také stochastický proces a platí: dy t = (σ t f (X t )) dw t + (µ t f (X t ) + 1 2 σ2 t f (X t )) dt První krok Neobchodovatelný

Martingaly Lemma Necht X je stochastický proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt, který splňuje podmínku E [( T 0 σ2 sds) 2 ] <. W t je Brownův pohyb. Pak platí: X t je martingal X je bez driftu (µ t 0). Věta (O reprezentaci martingalů) Necht M t je martingal vzhledem k míře Q, jehož volatilita σ t je s.j. nenulová. Pokud N t je libovolný martingal vzhledem k míře Q, pak existuje F t -previsible proces φ t tak, že s.j. platí T 0 φ2 t σt 2 dt < a N t lze psát jako: N t = N 0 + t 0 φ sdm s. Proces φ t je navíc určen jednoznačně. 1 První krok Kroky 2 a 3

Cameron - Martin - Girsanov Věta (Cameron - Martin - Girsanov) Necht W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P a γ t je F t -adaptovaný proces, který splňuje podmínku E P exp { 1 2 T 0 γ2 t dt} <. Pak existuje míra Q taková, že platí: 1 Q je ekvivalentní s P 2 dq dp = exp { T 0 γ tdw t 1 2 T 0 γ2 t dt} 3 Wt = W t + t 0 γ sds je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. Tedy W t je Brownův pohyb vzhledem k míře Q s driftem γ t v čase t. První krok Shodné hodnoty

Samofinancující a replikační strategie Samofinancující strategie je taková, kdy nemusíme doplňovat portfolio žádnými penězi navíc, ale také není možné z něj jakékoli peníze odčerpat. Tj. změna hodnoty portfolia závisí pouze na změnách cen jednotlivých komponent našeho portfolia. Výpočty Věta (Samofinancující strategie a ekvivalentní tvrzení) Máme-li nějaké portfolio s cenou akcie S t a množstvím jednotek této akcie φ t. Dále máme-li dluhopis B t v počtu ψ t. Dvojici (φ t, ψ t ) označme za strategii. Naše portfolio má hodnotu V t = φ t S t + ψ t B t. Diskontovanou hodnotu E t = φ t Z t + ψ t, kde Z t = Bt 1 S t. Pak z definice je strategie samofinancující pokud dv t = φ t ds t + ψ t db t, což je ekvivalentní s de t = φ t dz t. Replikační strategie je samofinancující a navíc hodnota portfolia přesně zajišt uje nějakou budoucí platbu. 3 kroky

Identifikace normality Věta (Identifikace normality) Náhodná veličina X je normálně rozdělená vzhledem k míře P, právě tehdy když pro každé θ E P (exp(θx )) = exp(θµ + 1 2 θ2 σ 2 ). Tato věta je speciální případ věty o charakteristické funkci normálního rozdělení. Forward Shodné hodnoty

Radonova Nikodýmova věta Věta (Procesy do času T ) Předpokládejme, že P a Q jsou ekvivalentní míry (vzájemně absolutně spojité). Můžeme definovat kladnou reálnou náhodnou veličinu dp dq splňující 1 E Q (X T ) = E P ( dp dq X T ), pro každou X T platbu, jež bude známa v čase T. 2 E Q (X T F s ) = ζs 1 E P (ζ T X T F s ), pokud s t T, kde ζ t = E P ( dp dq F t). Tato věta také ukazuje vlastnosti Radonovi Nikodýmovi derivace, ale bylo by třeba dokázat ekvivalenci. Shodné hodnoty

Definice V čase T, dojde k platbě X. t [0, T ] je čas. Úroková míra pro dolar je r, pro libru u. Směnný kurz v čase t je C t. Blackův-Scholesův model pro měny Dluhopis na dolar B t = e rt. Dluhopis na libru D t = e ut. Kurz libry vůči dolaru C t = C 0 exp(σw t + µt), kde W t je Brownův pohyb vzhledem k P a r, u, σ, µ jsou konstanty.

Investor s dolary B t je obchodovatelné. S t = C t D t cena dluhopisu na jednu libru vyjádřená v dolarech. Je obchodovatelná pro našeho investora. C t samo není obchodovatelné, protože ze samotných peněz nemáme zisk. V rizikově neutrálním světě budu mít vždy pouze výnos, který se řídí úrokovou mírou r, aby mělo S t význam jako martingal, je třeba diskontovat. Tři kroky k replikační strategii Strategie 1 Najdi míru Q, Z t = Bt 1 C t D t je martingal. 2 Vytvoř proces E t = E Q (B 1 T X F t). 3 Najdi previsible proces φ t, tak že de t = φ t dz t.

První krok 1 Máme tedy Z t = C 0 exp(σw t + (µ + u r)t). (1) Dále postupujeme jako předchozí přednášku: Definuj Y t = σw t + (µ + u r)t, pak stochastická diferenciální rovnice je dy t = σdw t + (µ + u r)dt. Jelikož Z t = exp(y t ) dostanu z Itôova lemmatu dz t = σz t dw t + (µ + u r + 1 2 σ2 )Z t dt. (2) Itôovo lemma Podle tvrzení o martingalech, aby Z t bylo martingal, nesmí mít drift. Martingaly Nyní označíme konstantní proces γ t = γ = (µ + u r + 1 2 σ2 )/σ.

První krok Podle C-M-G můžeme nalézt míru Q, při které W t = W t + γt je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. C-M-G Po substituci W t = W t γt do (2) dostaneme dz t = σz t d W t. Takže podle věty o martingalech nemá (vzhledem ke Q) Z t drift a tedy je martingal vzhledem ke Q. Nyní dosadíme do (1) W t = W t ((µ + u r + 1 2 σ2 )/σ) t tím dostaneme Z t = C 0 exp(σ W t 1 2 σ2 t) a tedy C t = C 0 exp(σ W t + (r u 1 2 σ2 )t). Forward Shodné hodnoty

Druhý a třetí krok 2 Proces E t = E Q (B 1 T X F t) jak to vypadá s platbou X, pokud jsem v čase t. Je to martingal. 3 Podle věty o reprezentaci martingalů existuje F previsible proces φ t, takový že E t = E 0 + t 0 φ sdz s. Martingaly Strategie Budeme držet φ t jednotek dluhopisu v librách. ψ t = E t φ t Z t jednotek dolarového dluhopisu. Forward

Několik výpočtů Chceme, aby strategie byla replikační tj. aby V T = X, kde V t je hodnota našeho portfolia. Také chceme, aby byla strategie (φ t, ψ t ) samofinancující. Strategie Díky větě o reprezentaci martingalů máme (viz předchozí slide) de t = φ t dz t, což je ekvivalentní podmínka pro samofinancující strategii. Hodnota našeho portfolia v čase t za strategie (φ t, ψ t ) a po jednoduchém výpočtu je V t = φ t S t + ψ t B t = B t E t, nebot ψ t = E t φ t Bt 1 S t. Z toho V T = B T E T, ale E T = BT 1 X takže naše portfolio je replikační, nebot má v čase T hodnotu X.

Oceňovací vzorec pro cizí měny Z předchozích výpočtů vyplývá následující vztah. Oceňovací vzorec pro cizí měny Portfolio s reprodukční strategií na dosažení platby X v čase T, má v čase t hodnotu V t = B t E Q (B 1 T X F t) (3) kde Q je míra vzhledem ke které je Z t martingalem. Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy počítat hodnotu nějaké platby X v budoucnu na trhu s cizí měnou. Nebot naše portfolio mělo takovou hodnotu, abychom byli schopni tuto platbu v budoucnu uskutečnit. L Shodné hodnoty

Forward Za jakou cenu k bychom měli souhlasit s nákupem jedné libry v čase T? V čase T budeme muset zaplatit rozdíl mezi cenou na burze a dohodnutou cenou, tedy X = C T k. Z našeho vzorce na předchozím slidu plyne, že hodnota tohoto forwardu v čase t je V t = B t E Q (Bt 1 X F t ), což je e r(t t) E Q (C T k F t ). Protože počítáme v rizikově neutrálním světě je V 0 = 0, což dává k = E Q (C T ). Odtud a z Vzorec C t k = E Q (C 0 exp(σ W T + (r u 1 2 σ2 )T )) = e (r u)t C 0 kde jsme využili vlastnosti Brownova pohybu W T N(0, T ) a Identifikace normality.

Forward Vzorec z předchozího slidu použijeme, ale místo z 0 vyjdeme z t dostaneme E Q (C T F t ) = e (r u)(t t) C t. Pak můžeme počítat V t = e r(t t) E Q (C T k F t ) = e r(t t) (E Q (C T F t ) e (r u)t C 0 ) = = e ut (e ut C t e rt C 0 ). Z předchozího víme, že V t = B t E t a Z t = Bt 1 C t D t = e rt C t e ut takže diskontovaná hodnota portfolia je E t = Bt 1 V t = e ut Z t e ut C 0. Z toho dostaneme de t = e ut dz t takže pro strategii φ t (vzhledem ke vzorci Kroky 2 a 3 ) dostaneme e ut. Pro ψ t pak ψ t = E t φ t Z t = e ut C 0.

Call opce Hledáme cenu opce: můžeme nakoupit jednu libru za k dolarů v čase T. Platba v dolarech v čase T je X = (C T k) +. Opět využijeme vztahu V t = B t E Q (BT 1X F t). Protože C T má logaritmicko-normální rozdělení využijeme vztahu: Vztah pro logaritmicko normální rozdělení Jestliže Z N(0, 1) a F, σ, k jsou konstanty, pak E ((F exp( σz 1 2 σ2 ) k) + ) = FΦ log F k + 1 2 σ2 σ kφ log F k 1 2 σ2 σ.

Call opce Pomocí předchozího vztahu a obdobných metod, které jsme využili pro forward se dospěje k následujícímu vztahu. F = E Q (C T ) je cena forwardu. V 0 = e rt FΦ log F k + 1 2 σ2 T σ T kφ log F k 1 2 σ2 T σ. T Pro strategie vycházejí obdobné vzorce.

Investice v librách Musíme pouze celou situaci zrcadlově převrátit. Definice a značení C 1 t představuje cenu jednoho dolaru v librách. U t je cena našeho portfolia v čase t. D t jako dřív hodnota dluhopisu v librách. B t hodnota dolarového dluhopisu. Y t = Dt 1 Ct 1 B t = C0 1 exp( σw t (µ + u r)t) diskontovaná cena dolarového dluhopisu v librách.

Investice v librách Nyní stačí získat proces W L t = W t + σ 1 t(µ + u r 1 2 σ2 ), tak aby proces Y t byl martingalem, ale nyní k míře Q L. Toto potřebujeme k tomu, abychom mohli sledovat tři kroky co vedou k replikační strategii, jen používáme převrácené značení. Z tohoto dostaneme: Oceňovací vzorec pro cizí měny (vzhledem k librám) Portfolio s reprodukční strategií na dosažení platby v librách X v čase T, má v čase t hodnotu U t = D t E Q L(D 1 T X F t) kde Q L je míra vzhledem ke které je Y t martingalem. Jen pro kontrolu. $ Shodné hodnoty

Přijme Angličan jinou cenu, než Američan? Otázku formalizujeme do tvaru: C t U t = V t? Protože z předchozích úvah víme, že W t = W t + σ 1 t(µ + u r + 1 2 σ2 ), pak W t L = W t σt. Nyní můžeme opět použít C-M-G s γ = σ. Dostaneme dql dq = exp(σ W T 1 2 σ2 T ). Dále zaved me ζ t = E Q ( dql dq F t) = exp(σ W t 1 2 σ2 t). Identifikace normality

Přijme Angličan jinou cenu, než Američan? Dříve jsme spočetli První krok, z toho máme C 0 ζ t = Z t = Bt 1 C t D t. Z věty R-N plyne EQ L(X F t ) = ζt 1 E Q (ζ T X F t ). Ze vzorce L dostáváme C t U t = C t D t E Q L(DT 1C 1 C t D t ζt 1 E Q (ζ T DT 1C 1 T X F t). X je dolarová pltaba, proto Angličan raději v T zaplatí C 1 T T X F t) = X, nebot cena je v dolarech. Po dosazení a ze vzorce $ dostaneme C t U t = B t E Q (B 1 T X F t) = V t. Což jsme chtěli ukázat.

Spojité výnosy Představme si, že jsme vlastníky nějakého aktiva, které přináší stálý a jistý výnos, či ztrátu. Pro jednoduchost budeme mluvit o akciích. Akciový model se spojitými výplatami Necht se cena akcie vyvíjí podle Blackova-Scholesova modelu, S t = S 0 exp(σw t + µ t ) a B t = exp(rt) je dluhopis s konstantní úrokovou mírou. Pak necht platba dividendy v časovém intervalu dt počínajícím v čase t má hodnotu δs t dt. Problém spočívá v neobchodovatelnosti procesu S t, nebot pokud koupíme za S 0 a pak prodáváme v čase T, již nemáme pouze počáteční množství. Máme navíc to, co jsme získaly na dividendách (což dohromady stojí víc než S T ).

Spojité výnosy Tj. pokud se budeme řídit pouze S t oceníme nezbytně nějaký derivát nižší hodnotou, než jaká by měla být, aby nedošlo k arbitráži (pokud δ > 0). Potřebujeme proces, který má souvislost s S t, ale je obchodovatelný. Představme si, že nakoupíme za každou utrženou dividendu, které se ovšem vyplácí spojitě, ihned akcii, z které dividendy dostáváme. Což je to samé jako spojité úročení, takže se cena mého portfolia musí ještě násobit exp(δt). Obchodovatelný proces bude vypadat takto S t = S 0 exp(σw t + (µ + δ)t).

Výsledky u spojitých výnosů S tímto procesem již můžeme pracovat a hledat replikační strategii. Postupujeme obdobně jako v předchozím případě. Pro forward vychází jeho hodnota F = e (r δ)t S 0. δ(t t) Přičemž replikační strategie říká: držte φ t = e jednotek akcie a ψ t = Fe rt jednotek dluhopisu.

Periodicky placené výnosy Model pro akcie s periodickými dividendami Necht v časech T 1, T 2,... jsou vypláceny dividendy definované jako nějaké δ (0, 1) násobené cenou akcie v momentu vyplácení. Tržní cena akcie je modelována vztahem S t = S 0 (1 δ) n[t] exp(σw t + µt) kde n[t] = max{i T i t} je počet vyplacených dividend do času t. Je zde také obvyklá cena dluhopisu v čase t na jednotku měny B t = exp(rt). W t je Brownův pohyb, µ, σ jsou konstanty.

Periodicky placené výnosy Nyní čelíme dvěma problémům: 1 Opět S t není obchodovatelné, protože nepočítáme s tím, že dostaneme dividendy. 2 Mimo časy T 1, T 2,... se sice proces S t řídí stochastickou diferenciální rovnicí ds t = S t (σdw t + (µ + 1 2 σ2 )dt), nicméně v těchto časech má skoky. Stačí ovšem postupovat jako v předchozím případě. Dividendy, které dostaneme, ihned investujeme do nákupu akcie. Tím pádem to dopadne, jako kdybychom žádné dividendy nevypláceli. Tedy máme obchodovatelný proces beze skoků S t = (1 δ) n[t] S t = S 0 exp(σw t + µt). S tímto procesem již pracujeme standardně. Dostaneme např. cenu forwardu jako F = S 0 (1 δ) n[t ] e rt.

Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Bohužel jsem v knize Financial Calculus nenašel vhodnou definici obchodovatelnosti, z které by bylo možno vycházet. Budeme postupovat pouze intuitivně. Obchodovatelné aktivum bude pro nás takové, které nevytváří arbitrážní příležitosti. Mějme obchodovatelný martinagal Z t = B 1 t míře Q. Jiný F t adaptovaný proces E t = B 1 t S t vzhledem k V t vzhledem k míře Q, který je taktéž Q martingalem. B t představuje obchodovatelný dluhopis. Je pak proces E t také obchodovatelný? Stačí spočítat replikační strategii, díky které dospějeme k E T pomocí S t a B t.

Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Jenže tohle umíme z předchozích výpočtů máme tedy samofinancující strategii, která používá obchodovatelné portfolio a kopíruje hodnotu E t. Nemůže zde tedy být arbitráž, nebot se hodnota E t neodchyluje od hodnoty portfolia, které tvoří obchodovatelné (bez možnosti arbitráže) komponenty a toto portfolio je samofinancující se. Co kdyby E Q (BT 1V T F s ) Bs 1 V s a současně by V t bylo obchodovatelné? Definujme jiný proces U t = B t E Q (BT 1V T F t ). Pak ovšem jev U s V s je pravděpodobný. Tj. máme dva obchodovatelné procesy, shodné v čase T, ale různé v čase s. Tato různost n8m nabízí možnost arbitráže.

Obchodovatelnost Cena rizika Martingaly jsou obchodovatelné Na základě předchozích hrubých úvah napíšeme následující větu (která ovšem platí). Věta (Obchodovatelná aktiva) Necht je dán nějaký dluhopis se spojitým úročením B t a obchodovatelné aktivum S t. Proces V t je obchodovatelný, právě když Bt 1 V t je martingal vzhledem k míře Q. Kde Q je míra, při které je diskontované aktivum Bt 1 S t martingalem.

Odvození ceny rizika Obchodovatelnost Cena rizika Řekněme, že model se vyvíjí podle stochastické diferenciální rovnice ds t = S t (σdw t + µdt). Budeme takové procesy mít dva, ale budou se vyvíjet podle stejného Brownova pohybu ds i t = S i t(σ i dw t + µ i dt), kde i {1, 2}. Aby tato aktiva byla obchodovatelná musí jejich diskontované hodnoty být martingaly vzhledem ke stejné míře Q. Budeme používat nejjednodušší Blackův-Scholesův model, jako v minulé přednášce, B t = exp(rt). Z toho máme W t = W t + ( µi r σ i ) t. Chceme, aby toto byl Brownův pohyb při stejné míře.

Odvození ceny rizika Obchodovatelnost Cena rizika To je ovšem možné pouze tehdy, pokud µ 1 r σ = µ 2 r 1 σ. 2 σ bude nyní míra rizikovosti, r bezriziková úroková míra, pak γ = µ r σ představuje zisk navíc na jednu jednotku rizika. Anglicky se tomuto číslu říká market price of risk. V obecnějším případě kdy se model řídí stochastickou diferenciální rovnicí ds t = S t (σ t dw t + µ t dt) lze ukázat, že hodnoty jsou shodné a také udávají tržní cenu rizika. µt r σ t

Neobchodovatelná aktiva Obchodovatelnost Cena rizika Někdy se stane, že chceme zjistit Stochastickou diferenciální rovnici, či tržní cenu rizika pro neobchodovatelné aktivum. Tuto situaci jsme již řešili pro kurz cizí měny. Mějme tedy neobchodovatelné X t, které se řídí stochastickou diferenciální rovnicí dx t = σ t dw t + µ t dt. Dále předpokládejme, že toto aktivum je spojené s obchodovatelným aktivem Y t pomocí funkce f, tedy Y t = f (X t ). Z Itôova lemmatu Itôovo lemma dostaneme dy t = σ t f (X t )dw t + (µ t f (X t ) + 1 2 σ2 t f (X t )) dt.

Neobchodovatelná aktiva Obchodovatelnost Cena rizika Pokud r je konstantní, můžeme napsat tržní cenu rizika Y t (postupujeme jako dříve, zbavíme se driftu u dy t, pomocí W t, aby diskontované Y t bylo martingal, riziko je právě ten drift) γ t = µ tf (X t ) + 1 2 σ2 t f (X t ) rf (X t ). σ t f (X t ) Protože tímto postupem jsme v podstatě přecházeli od míry P k míře Q, můžeme napsat také stochastickou diferenciální rovnici pro proces X t při míře Q dx t = σ t d W t + rf (X t) 1 2 σ2 t f (X t ) dt. f (X t )

Bibliography Obchodovatelnost Cena rizika M. Baxter, A. Rennie. Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, 1996. J. C. Hull. Options Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 2002.

Závěr Obchodovatelnost Cena rizika Čas na dotazy

Závěr Obchodovatelnost Cena rizika Děkuji za pozornost