KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0; c) k : x 2 0 + x 0x 1 2x 0 x 2 + x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 = 0. a) regulární; b) singulární hodnosti 2; c) singulární hodnosti 1. 2. Rozhodněte, zda kuželosečka x 2 xy y 2 + x + 1 = 0 je regulární či singulární. regulární. Určete f tak, aby kuželosečka 2x 2 + 2xy + y 2 + y + f = 0 byla singulární. f = 8.. Ukažte, že body A = (1,, 0) a B = (1,, ) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce k : 1x 2 0 9x2 1 16x2 2 = 0. 5. Na přímce p : x 0 +x 1 +x 2 = 0 najděte bod polárně sdružený s bodem (1, 5, 1) vzhledem ke kuželosečce k : 7x 2 0 + 6x 2 1 + 9x 2 2 12x 0 x 1 + 1x 0 x 2 6x 1 x 2 = 0. (1, 7, 2) 6. Najděte singulární body kuželosečky k: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0; c) k : x 2 0 + x 0x 1 2x 0 x 2 + x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 = 0. a) nemá singulární body; b) (1,-1,0); c) přímka singulárních bodů x 0 + 2x 1 x 2 = 0. 7. Určete singulární body kuželosečky x 2 y 2 + x + y + 2 = 0. 2, 1 2 ]. 8. Najděte všechny singulární body kuželosečky x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0. všechny body přímky x + y + 1 = 0. 9. V prostoru A C je dána kvadrika x 0 x 1 + x 0 x 2 + 2x 2 1 + 2x 1 x 2 x 1 x x 2 x = 0. Určete hodnost kvadriky a najděte její singulární body (existují-li). h = 2; přímka singulárních bodů generovaná např. body (0, 1, 1, 2) a ( 2, 1, 1, 0) 10. Jaká je vzájemná poloha přímky x + y + 1 = 0 a kuželosečky x 2 y 2 + x + y + 2 = 0? přímka je částí kuželosečky. 1

11. Určete průsečíky kvadriky 5x 0 x 1 + x 1 x 2 x 2 x + x 2 = 0 s přímkou p = AB; A = (1, 0, 5, 10), B = (0, 1,, 7). P1 = (1, 2, 1, ), P 2 = (1, 1, 2, ) 12. Ukažte, že přímka p : X = 0, 0, ] + t(, 2, 1) je tvořící přímka kvadriky Q : 5x 2 + 9y 2 + 9z 2 12xy 6xz + 12x 6z = 0. 1. Určete průnik kvadriky Q s rovinou ϱ: a) Q : 2x 2 0 + 2x2 1 x2 2 x 0x 1 x 0 x 2 x 0 x + x 1 x 2 + x 1 x + x 2 x = 0, ϱ : x 0 x 1 x 2 = 0; b) Q : x 2 1 + x2 2 x 0x 1 + x 0 x 2 x 0 x 2x 1 x 2 + x 1 x + 5x 2 x = 0, ϱ : x 2 = 0; a) ϱ Q; b) Průnikem je singulární kuželosečka v rovině ϱ 1. Ukažte, že přímka t je tečnou kuželosečky k a určete bod dotyku: t : x 0 x 1 x 2 = 0, k : x 2 0 + x2 1 x2 2 + 6x 0x 1 + x 0 x 2 + 2x 1 x 2 = 0; T = (1, 0, 1) 15. V prostoru P C je dána kvadrika Q x 2 0 + 2x 0 x x 2 1 + 6x 1 x 2 x 2 x + 2x 2 = 0. Přesvědčte se, že bod A = (, 1, 2, 1) je bod kvadriky Q, a určete rovnici tečné roviny v bodě A. 2x0 7x 1 + x 2 + x = 0 16. Kuželosečka je dána rovnicí x 2 0 + x 0 x 1 + 2x 0 x 2 + x 2 1 2x 1 x 2 = 0. Napište rovnice jejích tečen (včetně bodů dotyku) procházejících bodem A = (1, 0, 1). T1 = (, 1, 1), T 2 = ( 1, 1, 1); t 1 : x 0 x 1 x 2 = 0, t 2 : x 0 + x 2 = 0 17. Napište rovnici tečny kuželosečky 5x 2 + 2xy + y 2 = 5 v jejím bodě 1, 0]. 5x + y 5 = 0. 18. Určete tečny kuželosečky x 2 + 2xy y 2 + 6x = 0 v jejích průsečících s osou x. x = 0, x + 2y + 6 = 0 19. Napište rovnici tečny kuželosečky x 2 + xy + 5y 2 7x 8y = 0 vedené jejím bodem T?, 1]. 1, 1], 9x + 2y + 7 = 0; 2, 1], 9x + 10y 28 = 0. 20. Ukažte, že přímka q : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 0 je tečnou kvadriky Q : x 2 2y 2 + z 2 2xy + xz yz + x 5z = 0 a určete její bod dotyku. T =, 0, 0] 21. Určete poláru p bodu P vzhledem ke kuželosečce k: a) P = 2, 1], k : 2x 2 xy y 2 15x + y 18 = 0; b) P = 1, 1], k : 9x 2 xy + 6y 2 + 6x 8y + 2 = 0; c) P je nevlastní bod přímky x + y 1 = 0, k : 5x 2 + xy + 8y 2 2x 56y + 80 = 0. 2

a) p : 2x y + = 0; b) p : 1x 12y + 9 = 0; c) p : x 2y + = 0 22. Určete pól přímky x y 2 = 0 vzhledem ke kuželosečce x 2 + y 2 xy + 1 = 0. 2. Určete polární rovinu bodu P = (1, 1, 2, 0) vzhledem ke kvadrice Q : x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 x 2 x 0 x 1 + 2x 0 x + 2x 1 x 2 = 0. x0 + x 1 + 7x 2 + x = 0 2. Veďte bodem, ] tečny ke kuželosečce 2x 2 xy + y 2 2x + 6y = 0. 7x 2y 1 = 0, x = 0 25. V prostoru A C je dána kvadrika Q x 2 0 + x 0 x 1 2x 1 x + 2x 2 2 + x 2 = 0. Určete rovnice tečných rovin τ 1, τ 2 kvadriky Q procházejících přímkou AB, kde A = (, 1, 2, ), B = (22, 0, 7, ). Nalezněte body dotyku T 1, T 2. τ1 : 9x 0 + x 1 + x 2 + 5x = 0, τ 2 : 5x 0 + 5x 1 + 6x 2 + 2x = 0; T 1 = (1,, 2, 1) a T 2 = (, 1,, 1) 26. V afinní rovině A 2 je dána kuželosečka rovnicí x 2 2xy + y 2 2x + y = 0 Určete tečny této kuželosečky tak, aby jejich zaměření obsahovalo vektor u = (, 2). 2x y 7 = 0, 2x y + 2 = 0 27. Určete tečny regulární kuželosečky x 2 +xy +y 2 +2x+y = 0 rovnoběžné s přímkou x+y 7 = 0 včetně bodů dotyku. x + y 1 = 0, 1, 0] a x + y + 1 = 0, 5, 8 ] 28. Určete asymptotické směry kuželosečky 2x 2 xy + y 2 2x + 6y = 0. (2 ± 2, 2). 29. Určete asymptotické směry kuželosečky x 2 2xy y 2 x 6y + = 0. (, 1), (1, 1). 0. Pro které p má kuželosečka x 2 + 2pxy + y 2 = 0 právě jeden asymptotický směr. pro p = 1 směr (1, 1), pro p = 1 směr (1, 1). 1. Určete asymptoty kuželosečky x 2 2xy + 2x + y 5 = 0. x 2 = 0, x 2y + = 0 2. Určete asymptotickou rovinu kvadriky x 2 + y 2 z 2 2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + z = 0 v nevlastním bodě určeném směrem vektoru u = (1, 1, 0). z 1 = 0

. Veďte bodem 2, ] tečny a asymptoty ke kuželosečce x 2 2xy + 2x + y 5 = 0. asymptota x 2 = 0, tečna x y + 10 = 0.. Určete střed kuželosečky k: a) k : x 2 2xy + 2y 2 x 6y + = 0; b) k : x 2 + 10xy + 5y 2 2x y + = 0; c) k : x 2 2xy + y 2 x 6y + = 0; d) k : x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y = 0. a) 7, 5] b) 1, 5] c) nemá vlastní střed, nevlstní střed je určen směrem vektoru (1, 1) d) přímka středů x + y + 1 = 0 5. Určete všechny středy kvadriky a) x 2 + 2y 2 + 12z 2 xy + 8yz + 12xz + 1x 10y + 7 = 0; b) 5x 2 + 9y 2 + 9z 2 12xy 6xz + 12x 6z = 0; c) 5x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy yz + 2xz y z + = 0; a) S = 1, 2, 0] ; b) přímka středů 2x y = x z + 6 = 0; c) neexistuje vlastní střed, nevlastní střed ve směru vektoru u = (0, 1, 1) 6. Určete průměr kuželosečky k a) procházející bodem M = 1, 2], k : x 2 2xy + y 2 + x + y = 0; b) rovnoběžný s přímkou 2x y + 5 = 0, k : 2x 2 + xy + 5y 2 8x + 6 = 0. a) x + 2y + = 0; b) 2x y 8 = 0. 7. Určete průměrovou rovinu kvadriky x 2 + 6y 2 + z 2 + xz 8x z + = 0, která prochází počátkem a bodem, 6, 2]. 2y + z = 0 8. Je dána kvadrika Q : 2x 2 y 2 z 2 + xy + 6xz 8yz + 2x 8y 11z 2 = 0. Určete průměrovou rovinu a) sdruženou se směrem (1,, 2). b) procházející body A = 0, 0, 1], B =, 1, 1]. Určete také směr s ní sdružený. c) rovnoběžnou s rovinou ϱ : 2x y + z + 7 = 0. d) obsahující přímku p : X =, 0, 1] + t(2, 5, ). a) σ : 2x + y + 1z + 2 = 0; b) σ : 2x + 6y 5z + 5 = 0, (91, 156, 16) ; c) σ : 2x y + z 2 = 0; d) σ : 16x 19y + 21z 27 = 0. 9. Napište rovnici kuželosečky v rovině A C 2, jestliže přímka p o rovnici x 2y + 1 = 0 je průměr sdružený se směrem určeným vektorem u = (1, 1); přímka t o rovnici x + y = 0 je tečna kuželosečky s bodem dotyku T = 1, 1]. Vektor a = (1, 0) určuje směr asymptoty. 2xy y 2 + 6x y 5 = 0 0. Určete rovnici kvadriky Q, znáte-li její bod M = 2, 0, 1], střed S = 0, 0, 1] a její průnik s rovinou z = 0 je kuželosečka k : x 2 xy 1 = 0. Q : x 2 + z 2 xy + 6z 1 = 0 1. Určete asymptotickou kuželovou plochu kvadriky Q : + + + + + =.

x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 6xz 2yz + 2x 6y 2z + 1 = 0 2. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky a) x 2 + xy + 5y 2 + 2x y + 7 = 0; b) x 2 + 6xy 7y 2 + x = 0; c) x 2 + xy + y 2 + 2x + y = 0; d) x 2 + y 2 x + 6y 2 = 0. a) λ 2 8λ + 11 = 0, λ 1,2 = ± 5, u 1,2 = (2, 1 ± 5); b) λ 2 + 6λ 16 = 0, λ 1 = 2, λ 2 = 8, u 1 = (, 1), u 2 = ( 1, ); c) λ 2 5λ = 0, λ 1 = 5, λ 2 = 0, u 1 = (1, 2), u 2 = (2, 1); d) λ 2 2λ + 1 = 0, λ 1,2 = 1 a každý směr je hlavní.. Určete hlavní směry kvadriky a) x 2 y 2 + z 2 + 6xz + x + 16y z 16 = 0; b) x 2 + 2y 2 + z 2 2xz 2x 2z + = 0. a) u1 = (1, 0, 1), u 2 = (1, 0, 1), u = (0, 1, 0); b) u1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 1, 0), u = (1, 0, 1).. Určete osy kuželosečky a) k : x 2 + 2xy + 75y 2 6x + 6y + 1 = 0; b) k : 7x 2 + 26xy + 7y 2 + 2x = 0. a) o1 : x + 6y = 0, o 2 : 6x y 7 = 0; b) o 1 : 20x + 20y + 21 = 0, o 2 : 2x 2y 7 = 0. 5. Určete osy a vrcholy kuželosečky k: a) k : x 2 + 2xy + y 2 + 6x 2y 5 = 0; b) k : y 2 + 2x 6y + 5 = 0. a) o1 : 2x + 2y + 1 = 0, V 1 = 5+ V 2 = ] 8, 8, o 2 : x y + 1 = 0, V = 5 V = ] 19, 19 ; 5 ] 8, + 8, 5+ ] 19, + 19, b) o : y 1 = 0, V = 1, 1]. 6. Určete osové roviny kvadriky a) x 2 y 2 + z 2 + 6xz + x + 16y z 16 = 0; b) x 2 + 2y 2 + z 2 2xz 2x 2z + = 0. a) ω1 : x z 2 = 0, ω 2 : x + z = 0, ω : y 2 = 0; b) svazek osových rovin, jež jsou generovány např. rovinami x z = 0 a y = 0 7. Ukažte, že rovnicí y 2 xy 5x + 7y + 10 = 0 je dána singulární kuželosečka. Určete podrobněji, o jakou singulární kuželosečku jde. různoběžky y + 5 = 0 a x y 2 = 0 8. Ze kterých přímek se skládá kuželosečka x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y = 0? různé rovnoběžky x + y + 1 ± 5 = 0. 9. Určete p, q tak, aby kuželosečka x 2 + 2pxy + y 2 + 2x + 2qy = 0 byla dvojicí rovnoběžných přímek. Napište jejich rovnice. p = q = 1 x + y 1 = 0 a x + y + = 0; p = q = 1 x y 1 = 0 a x y + = 0. 5

50. Určete druh následujících regulárních kuželoseček: a) y 2 10x 2y = 0; b) x 2 y 2 x + 6y 6 = 0; c) x 2 xy y 2 + x + 1 = 0; d) x 2 + 2xy + 2y 2 + 2x 2y + 6 = 0; e) x 2 2xy + y 2 + x + y = 0; f) 2x 2 + xy + 5y 2 6x 8y 100 = 0; g) x 2 12xy y 2 + 12x + 8y + 5 = 0; h) 2y 2 + 2x y + 1 = 0. a) parabola b) hyperbola c) hyperbola d) imaginární elipsa e) elipsa f) elipsa g) hyperbola h) parabola 51. Určete druh následujících kvadrik: a) 2x 2 + 2y 2 5z 2 + 2xy 2x 2y z + 2 = 0; b) 7x 2 + 6y 2 + 5z 2 xy yz 6x 2y + 18z + 0 = 0; c) x 2 + y 2 + 5z 2 6xy 2xz + 2yz 6x + 6y 6z + 9 = 0; d) x 2 + y 2 z 2 2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + z = 0; e) 5x 2 + 8y 2 + 5z 2 + xy 8xz + yz 27 = 0; f) 6x 2 2y 2 + 6z 2 + xz + 8x y 8z + 1 = 0; g) x 2 + 5y 2 + 6z 2 xy + yz + x + 6y + z 27 = 0; h) x 2 + y 2 + 5z 2 + xy 12x + 6y 9 = 0. a) dvojdílný hyperboloid b) reálný elipsoid c) reálná kuželová plocha d) jednodílný hyperboloid e) reálná eliptická válcová plocha (rotační), f) jednodílný hyperboloid g) reálný elipsoid h) eliptický (rotační) paraboloid 6