Dopraní kinemaika a grafy Sudijní ex pro řešiele F a oaní zájemce o fyziku Přemyl Šediý Io Volf bah 1 Základní pojmy dopraní kinemaiky 1.1 Poloha.... 1. Rychlo... 3 1.3 Zrychlení.... 5 Grafy dopraní kinemaice 7.1 Kinemaika a grafické znázornění ronoměrného pohybu.... 8. Modeloání reálného pohybu pomocí ronoměrných pohybů.. 11.3 Určení okamžié rychloi z grafu dráhy při neronoměrném pohybu... 16.4 Určení dráhy neronoměrného pohybu z grafu rychloi.... 17.5 Kinemaika a grafické znázornění ronoměrně zrychleného a ronoměrnězpomalenéhopohybu..... 18.6 Modeloání reálných pohybů pomocí ronoměrných a ronoměrněproměnnýchpohybů... 0 Výledky úloh 3 1
1 Základní pojmy dopraní kinemaiky 1.1 Poloha Pohyby dopraních proředků laků, ilničních ozidel po železničních raích a ilnicích popiujeme fyzikálně jako pohyby hmoných bodů ázaných na pené rajekorie. Poloha akoého hmoného bodu na rajekorii je doaečně určena jedinou ouřadnicí definoanou jako zdáleno od určiého zažného bodu. Abychom yačili kladnými ouřadnicemi, olíme zažný bod ždy na jednom konci železniční rai nebo ilnice. Souřadnicemi jou určeny aké polohy ýznač- ných objeků rozmíěných podél rajekorie. Například pro dálnici D1 Praha Brno Vyškojezažnýbodnajejímzačáku Praze na Kačeroě. Schéma éo dálnice, keré je příloze auomapy a jehožčájenaobr.1,náinformuje,že na ouřadnici 0,5 km je křižoaka Spořilo ýjezdem na Teplice, Ml. Bolela a Hr. Králoé, na črém kilomeru přijíždíme k prnímu benzinoému čerpadlu. něcodálebychomedoěděli,žeýjezd na Šoky a Věrný Jeníko má ouřadnici přeně 100 km ad. Pro orienaci řidičů jou odděloacím pruhu dálnice rozmíěnypokaždém0,5kmabulkyyznačením ouřadnice daného mía. Vzdáleno na ilnici amozřejmě neměříme zdušnoučarou.jeodélkarajekorie mezi zažným bodem a daným míem neboli dráha, kerou muí urazi ozidlo, aby e ze zažného bodu doalo do daného mía. br.1
1. Rychlo Řidič auomobilu leduje obykle průběh jízdy pomocí náramkoých hodinek a achomeru (rychloměru) umíěného na přírojoé dece před olanem (obr. ). Jeho ručka ukazuje eliko okamžié rychloi ozidla a na počíadle kilomerů čeme celkoou dráhu ujeou auomobilem od jeho uedení do proozu. Z fyzikálního hledika je okamžiá rychloauomobilu ekoroá eličina určená elikoí a měrem. Můžeme ji yjádři e aru =, kde jeelikookamžiérychloia jejednokoýměroýekor(obr.3). Připřímočarémpohybuležíekorya rajekorii(bod A),přikřiočarém pohybu leží ečně k rajekorii(bod B). Malý úek křié rajekorie můžeme ždy poažoa za čá kružnice určené ředem křioi S a poloměrem n křioi R. Jednokoý ekornměřující do ředu křioi e nazýá normáloý ekor. 80 100 A 60 10 B 40 3137 S R 140 0 0 130, km/h 180 160 br. br.3 Směr okamžié rychloi ozidla je ošem dán umíěním ilnice krajině, nemůžeme jej olini, a pokud nezabloudíme, ěšinou e o něj příliš nezajímáme. Za důležiou poažujeme jen eliko okamžié rychloi. Pro zjednodušení edy praxi obykle říkáme, že na achomeru čeme okamžiou rychlo ozidla. Nemůže-li dojí k nejanoi, yjadřujeme e někdy ako zkráceně i e fyzikálních úlohách. Konrolu achomeru můžeme jednoduše proé při jízdě álou rychloí, edy při ronoměrném pohybu. Jeliže údaj počíadla kilomerů zroe z hodnoy 1 čae 1 nahodnou čae,plaí = 1 1 =. 3
Příklad 1 Údaj počíadla kilomerů na achomeru e při jízdě álou rychloí zěšil o10kmza7minua0ekund.jakelkájerychloauomobilu? Řešení Při ýpoču můžeme použí hlaní jednoky SI, nebo počía jednokami kilomer, hodina a kilomer za hodinu: = = 10000m 440 =,7m 1. =3m 1, 10km ( 7 60 + 0 ) =81,8km/h =8km/h.. h 3600 V éo a podobných úlohách dáme parně předno ýledku km/h. Nebude-li pohyb auomobilu přeně ronoměrný, zíkáme předcházejícím ýpočem pouze průměrnou rychlo p = 1 1 =. Noější achomery jou ybaeny i z. denním počíadlem kilomerů. To můžeme před jízdou ynuloa a měři jen dráhu dané jízdy. Použijeme-li pro měření jízdní doby opky, keré puíme okamžiku aru, můžeme průměrnou rychlo jízdy urči z jednoduššího zahu p =. Chceme-li urči okamžiou rychlo ozidla při neronoměrném pohybu, muíme změři dobu, za kerou projede ozidlo elmi malý přírůek dráhy. Výpoče zapiujeme e aru = ( ) pro 0 neboli = lim 0 =d d. Tako určují okamžiou rychlo cyklocompuery monoané na poroní kola(obr. 4), keré ukazují na dipleji podíl obodu kola a doby jednoho oběhu změřené pomocí magneického nímače. Tyo přiroje mají ošem ješě řadu dalších funkcí. Vedle okamžié rychloi mohou ukazoa i průměrnou rychlo od začáku jízdy, maximální rychlo, dobu jízdy, poče ujeých kilomerů od začáku jízdy nebo od doby uedení compuerudoproozu,frekencišlapáníaj. 4 br.4
1.3 Zrychlení Během jízdy ozidla e mění eliko jeho okamžié rychloi a zaáčkách i její měr.proberemeinejprepodleobr.5jízduzaáčkou.zadobu eozidlo přemíízbodu Adobodu Bajehorychloezměníz1na.Bude-lidoba elmi kráká, změní e eliko i měr rychloi jen neparně:.. 1 = =, α 5. V akoém případě můžeme z obr. 5a,b ododi n zahy: = 1= ( )= +, a = = α= 1 R = R, = Rn. A c) A α 1 an 1 B B α 1 S R a) b) d) =d br.5 kamžié zrychlení definoané zahem ( ) a= pro 0 nebolia= lim 0 d pak můžeme yjádři e aru: a= + = +. Rn=a+an Zrychlení při křiočarém pohybu můžeme edy rozloži na dě ložky: Tečnézrychlenía= a =a máeliko =. a a a an 5
Určuje čaoou změnu elikoi okamžié rychloi. Jeliže e rychlo zěšuje, jezlomek kladný a ečné zrychlení má měr ekoru okamžié rychloi (obr.5c).zmenšuje-lierychlo,jezlomek zápornýaečnézrychlenímá opačný měr než ekor okamžié rychloi(obr. 5d). Při ronoměrném pohybu je ečné zrychlení nuloé. Normáloénebolidořediézrychlenían= an =a Rnmáeliko n = R a míří ždy do ředu křioi daného úeku rajekorie. Určuje čaoou změnu měru okamžié rychloi. Při přímočarém pohybu je normáloé zrychlení nuloé a celkoé zrychlení chápeme i jako zrychlení ečné:a=a. V dopraní kinemaice, kde ná zajímá předeším eliko okamžié rychloi, e uplaní zrychlení ečné. Normáloé zrychlení je naopak důležié při řešení úloh z dynamiky jízdy zaáčce, kerými e omo exu nebudeme zabýa. 6
Grafy dopraní kinemaice K zíkání názorné předay o průběhu určiého pohybu použíáme grafy zobrazující záilo polohy nebo rychloi na čae. Polohu ozidla na ilnici můžeme urči dráhou, kerou ozidlo projelo, jeho zdálenoí od zažného bodu nebo polohoou ouřadnicí. U rychloi ozidla můžeme ledoa, jak e mění její eliko nebo polohoá ouřadnice. Ukážeme i o zjednodušeně na příkladu kuličky, kerou položíme na nakloněnou roinu do bodu A a udělíme ji počáeční rychlo0 zhůru podél nakloněnéroiny(obr.6).kuličkačae 1 doáhnenejyššíhobodu B,pake racízpěačae projedebodem Aměremdolů.Pohybpopíšemezhledem kezažnéouaě,jejížpočáekjebodě Aaoa xměřujezhůru podélnakloněnéroiny.jezřejmé,žečaoémineralu 0, 1 nenírozdíl mezidráhou,zdálenoí dodpočákuaouřadnicí x.nelišíeanieliko rychloi aouřadnice x.podoaženíbodu Bdráha dáleroe,alezdáleno d od počáku a ouřadnice x e zmenšují. Souřadnice rychloi změní znaménkoanadáleplaí x =.Poprůjezdubodem Aezměníznaménko ouřadnice x na záporné, ale zdáleno d po doažení nuly e opě zěšuje a nadáleplaí x= d. B x x d x 0 y A 1 d x 1 x br.6 Také při grafickém znázornění pohybu dopraního proředku nemuíme někerých případech rozlišoa dráhu, zdáleno od zažného bodu a polohoou ouřadnici, případně eliko rychloi a její ouřadnici. Jindy naopak muíme k rozdílům mezi nimi přihlíže. 7
.1 Kinemaika a grafické znázornění ronoměrného pohybu Naobr.7jougrafyrychoi ()adráhy () ronoměrného pohybu, při kerém e čaoém ineralu 1, zěšiladráhaz 1 na.plaí () = 1 = ( 1 )=. Přírůek dráhy je edy číelně roen obahu yšrafoaného obdélníka grafu rychloi. Dráha je lineární funkcí čau, graf dráhy ronoměrného pohybu je edy čáí přímky. Její ronici můžeme yjádři e aru: 1 1 α () 1 1 = 1 1 =, =( 1 )+ 1. 1 br.7 Zolíme-li na odoroné a ilé oe ejná měříka, j. jednoce čau přiřadíme na odoroné oe ejně elký dílek jako jednoce dráhy na ilé oe, plaí pro odchylku α grafu dráhy od odoroné oy g α= { } { } = {}. Směrnice grafu g α je číelně rona elikoi rychloi ronoměrného pohybu.čímrmějšíjegrafdráhy,íměšíjerychlo.(toošemplaíipři jakékoli jiné olbě měříek na oách.) Vhodnou olbou počáečních podmínek pohybu můžeme dojí i k jiným ronicím grafu dráhy, uedeným na obr. 8. =+ 0 d 0 1 = =( 1) 1 P d 0 d1= 1( 1) d = d 0 ( ) br.8 br.9 8
Chceme-li jednom grafu zobrazi pohyby několika dopraních proředků, keré e po komunikaci pohybují oběma měry, použijeme mío grafu dráhy grafzdálenoiodzažnéhobodu d().jeliženapř.čae 1 yjedezmía Anějakéozidloálourychloí 1 měremkmíu Bležícímezdálenoi d 0 ačae yjededruhéozidlozmía Bálourychloí měremkmíu A, můžeme jejich pohyby popa ronicemi d 1 = 1 = 1 ( 1 )), 1 < < 1 + d 0 1, d = d 0 = d 0 ( )), < < + d 0, azobraziepolečnémgrafupodleobr.9.zprůečíku Poboučarpaknadno určímečaekáníobouozidelapolohumía,kdekekánídojde.keejnémuýledkudojdemeiřešenímronice d 1 = d. Příklad. Nákladníauomobilyjel7h00minzPrahydoBrnapodálniciD1apohyboaleálourychloí80km/h.Vzdálenoobouměje00km.V7h30min za ním yjel oobní auomobil jedoucí álou rychloí 110 km/h. Ve ejném okamžikuyjelnadálnicizbrnaměremnaprahujinýoobníauomobilaudržoal álou rychlo 100 km/h. Určee, kdy a kde e nákladní auomobil eká oběma oobními auomobily. Úlohu řeše nejpre graficky, poom počeně. Řešení Graf znázorňující, jak e mění zdálenoi šech ří ozidel od Prahy záiloi na čae, je na obr. 10. K jeho erojení byly použiy body zobrazující odjezdy jednoliých ozidel z jednoho měa a příjezdy do druhého měa. NákladníauomobilpojedezPrahydoBrna,5hapřijedeam9h30min. Prníoobníauomobilpojede(00/110)h. =1h49minadoBrnapřijede už9h19min. DruhýoobníauomobilpojedehapřijededoPrahy9h30min. Zpolohyprůečíků P 1 a P yčeme,ženákladníauomobilenejpreeká oobnímauomobilemjedoucímodbrnaao8h3 minezdálenoi 111kmodPrahy.obníauomobiljedoucíodPrahyjejpředjede8h50min e zdálenoi 147 km od Prahy. Pro počení řešení napíšeme nejpre ronice jednoliých pohybů: Nákladní auomobil: d 1 = 1 ( 1 ), 1 =80km/h, 1 =7,0h, 1. oobní auomobil: d = ( ), =110km/h, =7,5h, 9
. oobní auomobil: d 3 = d 0 3 ( 3 ), d 0 =00km, 3 =100km/h, 3 =7,5h, Při ýpoču použijeme jednoky km, h a km/h. Vzdálenoi, kde došlo k ekáníozidel,označíme d a d,přílušnéčay a.proauomobilyjedoucí ýmžměremřešímeronici d 1 = d : 1 ( 1 )= ( ) = 1 1 1 =8,833h=8h50min, d = 1 ( 1 )=147km. Proauomobilyjedoucíopačnýmměremřešímeronici d 1 = d 3 : 1 ( 1 )=d 0 3 ( 3 ) = d 0+ 1 1 + 3 3 1 + 3 =8,389h=8h3min, d = 1 ( 1 )=111km. Počení řešení úlohy není příliš ložié, ale nadno něm přehlédneme numerickou chybu. Čení z grafu je polehliější a dáá i doaečně přené ýledky, zejména když použijeme milimeroý papír. d km Brno 00 o P 1 100 n P o 1 Praha 0 7 8 9 10 br. 10 h 10
. Modeloání reálného pohybu pomocí ronoměrných pohybů V příkladu. jme řešili úlohu o pohybech po dálnici, kde za ideálních podmínek můžeme je álou rychloí. Někdy je možné i ložiější pohyby přibližně popa jako několik na ebe naazujících ronoměrných pohybů. Příklad 3 Cykliické záody mládeže budou probíha na rai dlouhé 9,5 km. čekáámenáledujícíprůběhjízdy:prníúekdélky6,0kmjeporoiněacyklié pojedou rychloí 30 km/h. Na druhém úeku délky,0 km je mírné oupání, cykliézmírnína0km/h.náledujeprudšíoupánídélce4,5km,kdee rychlo cykliů zmenší na 15 km/h, a odoroný úek délky 9,0 km, kerý projedou opě rychloí 30 km/h. Do cíle zbýá mírné kleání a cíloá roinka, kde předpokládáme rychlo 36,0 km/h. a) Určee celkoou dobu jízdy a průměrnou rychlo. b) Seroje grafy rychloi a dráhy. Poroneje celkoou dráhu a obah obrazce omezeného oou čau a grafem rychloi. Řešení a) Nejpre určíme doby průjezdu jednoliých úeků a celkoou dobu jízdy. 1 = 1 1 =0,0h=1min, = =0,10h=6min, 3 = 3 3 =0,30h=18min, 4 = 4 4 =0,30h=18min, 5 = 5 5 =0,0h=1min, Průměrná rychlo bude = 1 + + 3 + 4 + 5 =1,10h. p = =6,8km/h. b) Výledky ýpočů yužijeme k erojení grafů na obr. 11. brazec ohraničený oou čau a grafem rychloi e kládá z obdélníků, jejichž plošné obahy joučíelněronyoučinům 1 = 1 1, = až 5 = 5 5. Jednokoý plošný obah má yšrafoaný obdélníček leém dolním rohu obrazce, neboť 10km/h 0,1h=1km.Celkoýplošnýobahobrazceječíelněroencelkoé drázezáodníků, = 1 + + 3 + 4 + 5.Čaoýprůběhdráhyjezobrazen grafu (). 11
km/h 40 30 0 10 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1 3 4 5 h br. 11 km 5 0 ronoměrný pohyb průměrnou rychloí 15 10 5 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 h V železniční praxi e ekááme grafickým jízdním řádem(grafikonem), kerý znázorňuje, jak e mění polohy šech laků na určié rai záiloi na čae.naobr.1idímečáakoéhografikonuproraťhalíčkůbrod Kolín Nymburk hl.n. Na horním a dolním okraji grafikonu je čaoá oa rozdělená po 10 minuách. U průečíku jednoliých grafů ynášecími čarami anic jou umíěny malé čílice, keré čaoý údaj upřeňují na minuy, případně půlminuy(podrženéčílice např.6čemejako6min30).napraéraně grafikonu je ilá oa, na keré čeme kilomeroé polohy anic, edy jejich ouřadnice. Podobně jako na dálnicích i podél železnic e nacházejí ouřadnicoé značky. Jou zhooeny jako paníky rozmíěné praidelně po 100 merech. Šikmé čáry grafikonu zobrazují záiloi poloh laků na čae. Pohyby laků obou měrech jou ošem idealizoány, jako by e kládaly ze amých ronoměrných pohybů. Grafikon edy popiuje reálné pohyby laků jen přibližně. 1
br. 1 13
Úloha 1 Z grafikonu na obr. 1 určee průměrné rychloi rychlíku č. 70 ANTNÍN DVŘÁKúecíchSělánadSázaou GolčůJeníkoaGolčůJeníko Kolín. Kilomeroé polohy anic jou 33,9 km, 67,1 km a 98,3 km. Příklad 4 Cykliické záody mládeže byly upořádány na okruhu délky 4 km, kerý mueli záodníci proje 5krá. Pael doáhl průměrné rychloi 40 km/h, Kája uraziljedenokruhza7min 30aJirkadoáhlcelkoéhočau4min 30. a) Určee pořadí záodníků cíli. b) Seroje graf záiloi polohy záodníků na čae a odhadněe, kdy a kde došlo k předjeí někerého pomalejšího z uedených ří záodníků záodníkem rychlejším. Řešení a)paelbylnejrychlejší,jedenokruhprojelza0,1h=6min.jirkabylnejpomalejší,jedenokruhprojelza8min 30.Pořadícíli:Pael,Kája,Jirka. b) Pro určení polohy záodníka na okruhu použijeme ouřadnici x 0, 4 km. Nakonciokruhueouřadnicezáodníkazměníze4kmna0kmaznoue začínázěšoa.zgrafunaobr.13idíme,žepaelpředjeljirkuojednokolo při ém črém okruhu. Ča a mío předjeí určíme ýpočem: 1 = 3 +4000m, kde 1 =11,11m 1, 3 =7,843m 1. = 4000m 1 3 =14. =0,4min, x= 1 1000m. =1600m. V okamžiku, kdy Pael dojížděl do cíle, zbýalo Kájoi ješě jedno kolo. x km 4 3 Pael Kája Jirka 1 0 10 0 30 40 br. 13 min 14
Úloha Auobuoá linka MHD pojuje mía A, B. Jejich zdáleno je 18 km a auobu ji překoná za 4 minu. Prní auobu yjíždí z koncoé anice A 6h0 min,dalšípraidelnýchineralech10 min.vkoncoéanici B čekají8 minaracejíepoejnéraezpě.zpáečníjízdarároněž4 minu. Kolik auobuů jedoucích proiměru poká ceující, kerý yjíždí ze anice A7h0min,akolikceující,kerýyjíždízeanice A8h0min? V jakých čaoých ineralech je budou pokáa? V auobuoé a nákladní dopraě e použíají achografy, keré zapiují na koouček papíru okamžiou rychlo ozidla a ujeou dráhu záiloi na čae.čáakoéhozáznamujenaobr.14.čára1jegrafokamžiérychloi. Čára popiuje činno řidiče(řízení, jiná práce, čekací doba, odpočinek). Zubaá čára 3 regiruje chod počíadla kilomerů během přechodu z jedné krajní polohy do druhé ujede ozidlo 5 km. Na rozdíl od železničního grafikonu, kerý je přibližný, pokyuje záznam z achografu přené informace o kuečném průběhu ledoané jízdy. br. 14 1 3 Vnašíukázceeauomobilpohyboalod16h5mindo18h0minpo dálniciaod18h30mindo19h0minpookreníilnicihuýmproozem. Prní čá jízdy e dá přibližně modeloa ronoměrným pohybem, při kerém 15
auomobilujelza88 mindráhu114km(odečenozčáry3)apohyboale rychloí 78 km/h. Druhá čá jízdy byla mnohem ložiější. Auomobil e několikrá muel zaaiaznourozje.za50 minujeljen40kmadoáhlprůměrnérychloi 48 km/h. Takoýo komplikoaný děj už nemůžeme ýižně modeloa ronoměrnými pohyby. Jednoliá rozjíždění a zaaení e šak dají doi přeně popa jako pohyby ronoměrně zrychlené a ronoměrně zpomalené..3 Určení okamžié rychloi z grafu dráhy při neronoměrném pohybu Včlánku.1jmeezabýaligrafemdráhy ronoměrného pohybu. Ten leží přímce, jejíž měrnice je, pokud zolíme na oe čauejnéměříkojakonaoedráhy,číelně rona elikoi konanní rychloi pohybu. Grafem dráhy neronoměrného pohybu je křika(obr. 15). Směrnice ečny grafu, kerá prochází bodem A o ouřadnicích [ 1, 1 ]abodem Boouřadnicích[, ], je číelně rona průměrné rychloi čaoémineralu 1, : g α= { 1 } { 1 } = { } { } = { p}. 1 A α 1 B B () B 1 br. 15 Chceme-liurčiokamžiourychločae 1,muímečaoýineral zmenšiknule.bod Bepřebody B, B přiblížíkbodu Aaečnagrafu přejdeečnubodě A.Velikookamžiérychloičae 1 jeedyčíelně ronaměrniciečnygrafubodě A: 1 ) ( 1 )=g α 1. Při pohybu dopraního proředku e okamžiá rychlo ždy mění pojiě (pokud ošem nedojde k nějaké haárii). Proo e pojiě mění i klon grafu dráhy. Graf má podobu hladké čáry bez orých zlomů. 1 Práěpopanýpoupeeyššímaemaicenazýáderioánífunkce ()bodě = 1 a zapiuje e zahem ( ( 1 )= lim 1 + ) ( 1 ). 0 α 16
.4 Určení dráhy neronoměrného pohybu z grafu rychloi Známe-li graf rychloi neronoměrného pohybu a chceme-li urči přírůek dráhyčaoémineralu 1,,můžemepoupoapodobnějakopříkladu 3 a nahradi neronoměrný pohyb řadou po obě jdoucích ronoměrných pohybů. Čaoý ineral rozdělíme na malé dílčí ineraly elikoi, e kerých e eliko okamžié rychloi změní jen neparně. Můžeme edy pohyby ěcho dílčích ineralech přibližně nahradi ronoměrnými pohyby rychlomi ronými kuečným okamžiým rychloem na počácích dílčích ineralů.grafemrychloiakozíkanéhonáhradníhopohybuje chodoá čára, kerá e liší od grafu kuečného pohybu ím méně, čím kraší ineraly zolíme(obr. 16). Elemenární přírůek dráhy náhradního pohybu = každém dílčím ineralu je číelně roen obahu jednoho obdélníkoého proužku( obr. 16 yznačeno šrafoaně). Celá dráha náhradního pohybu je číelně rona obahu yečkoané plochy. Při elmi jemném dělení ( 0) e náhradní pohyb prakicky neliší od kuečného pohybu a yečkoaná plocha přejde obrazec omezený grafem rychloi kuečného pohybu a oou čau(obr. 17). Vzahmezipočáečníhodnooudráhy 1,konečnouhodnooudráhy a obahem yečkoaného obrazce P je edy 1 = P, přičemž jednokoý obah má obdélník, jehož jednu ranu oří jednokoá úečka na oe čau a druhou ranu jednokoá úečka na oe rychloi. Jeliže čaynášímeekundácharychlom 1,odpoídájednokoémuobahu dráha1m.vynášíme-ličahodinácharychlokm h 1 jakopříkladu3, odpoídájednokoémuobahudráha1km. ) = () P () 1 1 br. 16 br. 17 Práěpopanýpoupeeyššímaemaicenazýáinegracefunkce ()ineralu 1, azíkanýýledekezapiujezahem 1 = d. 1 17
.5 Kinemaika a grafické znázornění ronoměrně zrychleného a ronoměrně zpomaleného pohybu Ronoměrně zrychlený je každý pohyb, při kerém e eliko okamžié rychloi záiloi na čae ronoměrně zěšuje. Tečné zrychlenía má konanní eliko a ejný měr jako okamžiá rychlo. Při ronoměrně zpomaleném pohybu e eliko okamžié rychloi záiloi na čae ronoměrně zmenšuje. Tečné zrychlenía má konanní eliko a opačný měr než okamžiá rychlo. Je-li pohyb přímočarý, nezniká normáloé zrychlení a celkoé zrychlenía e uplaňuje jako zrychlení ečné,a =a. V úlohách z dopraní kinemaiky čao použíáme označeníapro ečné zrychlení i případech, kdy e jedná o pohyb křiočarý, ale zajímáme e jen o eliko okamžié rychloi a její měr ná nezajímá. Téo nepřenoi e dopuíme i náledujících odacích. Ronoměrně zrychlené a ronoměrně zpomalené pohyby probíhají obykle jen na krákých úecích rajekorie. Proo je hodné při ýpočech použía pouze hlaní jednoky ouay SI. Budeme edy dráhu určoa merech, ča ekundách,rychlom 1 azrychlením. Průběh ronoměrně zrychleného pohybu nuloou počáeční rychloí znázorňují grafy na obr. 18. Ze zákona rychloi = a =a ododíme zákon dráhy. Dráha uražená od začáku pohybu je číelně rona obahu rojúhelníka omezenéhografemrychloi.položíme-li 0 =0(před arem ynulujeme počíadlo kilomerů), plaí = 1 a = =1 a = a. br. 18 18
= 0+ a Průběh ronoměrně zrychleného pohybu nenuloou počáeční rychloí0 znázorňují grafy na obr. 19. Zákon rychloi má ar 0 ( 0+ ) = a+ 0. = 0+ 1 a 0 Dráhu uraženou čaoém ineralu 0, určíme jakoobahlichoběžníka.položíme-liopě 0 =0, plaí = ( 0+ ) = ( 0+ 0 + a) = 0 + 1 a. br. 19 Průběh ronoměrně zpomaleného pohybu počáeční rychloí0 znázorňují grafy na obr. 0. Pohyb může probíha až do zaaení po dobu b,kerounazýámebrzdnádoba.zákonrychloi má ar = 0 a, dráhu uraženou čaoém ineralu 0,, kde < b, určíme opě jako obah lichoběžníka. Položíme-li 0 =0,plaí = ( 0+ ) = ( 0+ 0 a) = 0 1 a. 0 b ( 0+ ) = 0 a 0 b = 0 1 a obr. 0 Celkoádráha b ronoměrnězpomalenéhopohybuenazýábrzdnádráha. Vzahymezibrzdnoudobou b,počáečnírychloí 0,brzdnoudráhou b aelikoí ečného zrychlení a připomínají zákony ronoměrně zrychleného pohybu nuloou počáeční rychloí: b = 0 a, b= 0 b = 1 a b= 0 a Kdybychom oiž nafilmoali ronoměrně zpomalený pohyb nějakého ozidla až do zaaení a pak film puili pozpáku, doali bychom ronoměrně zrychlený pohyb nuloou počáeční rychloí, při kerém by couající ozidlo čae = b doáhlorychloi = 0. b 19
.6 Modeloání reálných pohybů pomocí ronoměrných a ronoměrně proměnných pohybů Příklad 4 Auomobil jedoucí rychloí 110 km/h začal brzdi a zaail e na dráze 100 m. Jakou rychloí e pohyboal e zdálenoi 10 m před míem zaaení? Řešení Budeme předpokláda, že celé brzdění proběhlo jako pohyb ronoměrně zpomalenýpočáečnírychloí 0 =110km/hacelkooubrzdnoudráhou b = 100m.Dopoledníhoúekubrzdnédráhyodélce 1 =10mjelauomobil počáečnírychloí 1.Zezahuproýpočebrzdnédráhyyjádřímeeliko zrychlení: b = 0 a, a= 0 = 1 =kon.. b 1 Úpraou doaneme: ( ) 1 = 1 1, 0 1 = 0 =10km h b 1 0,10=35km h 1. b Ke ejnému ýledku můžeme dojí z grafu rychloi na obr. 1. Celkoá brzdná dráha a polední úek brzdné dráhy jou číelně rony obahům yšrafoaného a ybareného rojúhelníka. Poměr obahů podobných rojúhelníků je roen druhé mocnině poměru podobnoi: ( ) 1 = k 1 =. b 0 0 1 br. 1 Příklad 5 Určee, jakou dobu pořebuje oobní lak k překonání zdálenoi,4 km mezi ouedními anicemi, jeliže e rozjíždí e álým zrychlením o elikoi 0,70m,podoaženímaximálnírychloi90km/hepohybujeronoměrně anakonecbrzdíezrychlenímoelikoi0,55m aždozaaení.seroje graf rychloi a graf dráhy popaného pohybu. Řešení značení daných eličin: c =400m, m =90km h 1 =5m 1, a 1 =0,70m, a 3 =0,55m. Rozjezd a zaaení laku budeme nejpre yšeřoa jako amoané pohyby.vlakpořeboalkrozjezdudráhu 1,kerouprojelzadobu 1.Brzdění b 0
proběhlonadráze 3 zadobu 3.Plaí: 1 = m a 1. =36, 1 = m a 1. =450m, 3 = m a 3. =45, 3 = m a 3. =570m. Naronoměrnýpohybzbýádráha,keroulakprojedezadobu : = c 1 3. =1380m, = m =55 Celkoádobajízdyje c = 1 + + 3 =136. Graf rychloi na obr. má ar lichoběžníka. Z něj můžeme ododi jednodušší ýpoče celkoé doby jízdy. Plaí: c = m c m 1 m 3, c = c m + 1 + 3 = c m + m a 1 + m a 3. Grafdráhynaobr.ekládázúečkyadouúekůparaboly.Jednolié čái na ebe plynule naazují. Parabolu prním úeku popiuje funkce = 1 a 1.Parabolueřeímúekupopiujefunkce = c 1 a 3( c ). (Uaže, jak by ypadal pozpáku pušěný filmoý záznam pohybu.) Při krelení grafu byla použia abulka: / 0 10 0 36 91 116 16 136 m 0 35 140 450 1830 90 370 400 m m 1 30 000 () 0 1000 10 () br. 1 50 1+ 100 c 150 1
Úloha 3 Auomobilerozjíždělak,žepřizařazené jedničce doáhlběhemprních douekundrychloi7km/h,běhemdalšíchříekundpřizařazené dojce doáhlrychloi54km/h.pakřidičzařadil rojku aběhemdalšíchříekund doáhlrychloi7km/h,zařadil čyřku aběhempěiekunddoáhlrychloi90km/h,zařadil pěku apokračoaljízděálourychloí90km/h. Po deei ekundách ronoměrného pohybu i řidič šiml, že nemá dobře upeněný náklad, začal brzdi a během deíi ekund zaail, aby záadu odranil. Rozjezd poažuje za érii ronoměrně zrychlených pohybů a brzdění za ronoměrně zpomalený pohyb. Nakrelee graf rychloi a určee celkoou dráhu auomobilu. Úloha 4 Sprinerproběhldráhu100mza9,90.Předpokládejme,žeprních30me rozbíhal ronoměrně zrychleným pohybem, a pak běžel álou rychloí až do cíle. Určee rychlo druhé čái pohybu. Úloha 5 Nakřižoacezaaila načerenou děozidlaouedníchjízdníchpruzích. Pozměněěelnéignalizace nazelenou yrazilaoběozidlaak,žeprní ozidlodoáhlorychloi60km/h,kerájeomoúekupoolena,za8,3a druhéozidloza1,5. a) Rozjezd obou ozidel zakrelee do grafu (). Do éhož grafu aké zakrelee, jak e měnila záiloi na čae eliko relainí rychloi ozidel, j. eliko rychloi, kerou mělo jedno ozidlo e zažné ouaě pojené druhým ozidlem. b) Seroje graf, kerý znázorňuje, jak e během rozjezdu měnila zájemná zdáleno obou ozidel záiloi na čae. Pořebné zahy odoďe z grafu relainí rychloi.
Výledky úloh 1.69km/h,87km/h. Úlohu nejnáze yřešíme pomocí jednoduchého grafikonu. Z něj yčeme, že prní ceující poká 6 auobuů jedoucích proiměru a druhý jich poká 9. Budou-li e auobuy pohyboa álou rychloí, bude je pokáa praidelně každých 5 minu. x km 18 3. m 1 0 6 7 8 9 br. 3 h 10 10 0 30 br. 4 = 1 1 +( 1+ ) + ( + 3 ) 3 + ( 3+ 4 ) 4 + 4 5 + 4 6. =570m. 3
4. Z grafu rychloi ododíme: m c = 1 +, m br.5 m = 1+ c = 130m 9,9 = 1 =13,1m 1 =47,3km h 1. c 5.Danéeličiny: m =60km/h=16,7m 1, 1 =8,3, =1,5. a)grafrychloijenaobr.6.relainírychlo r ozidelenejpre ronoměrnězěšoalaačae 1 doáhlamaximálníhodnoy rm = m m 1 = m 1. Podoaženímaximaeronoměrnězmenšoalaačae klelananulu. b) Vzájemná zdáleno ozidel určiém čae je číelně rona obahu obrazce ohraničeného grafem relainí rychloi. Pro 0 < < 1 plaí: r = rm 1, d= r = m( 1 ) 1.. =3m. Včae = 1 doááme: d 1 = rm 1 = m( 1 ) 1 Včae = doáhnezdálenoozidelhodnoy d m = rm = m( 1 ). =35m adálejižneroe(obr.7). m 1 0 Pro 1 < < plaí: r = rm 1, d=d m r( ) m 10 1 = m( 1 ) m( ) = m( 1 ). d m 40 d m 30 d 1 0 rm r 10 0 5 1 10 15 0 5 1 10 15 br. 6 br. 7 4