Fyzikajekolemnás(Polohaajejízměny) Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová.

Transkript

1 Fyzikajekolemnás(Polohaajejízměny) Sudijní ex pro řešiele F a osaní zájemce o fyziku Io Volf Miroslaa Jarešoá bsah Sloo úodem 3 1 Popis polohy ělesa Jednorozměrnýprosor Příklad1 jízdapodálnici Úloha1 jízdaexpresu Úloha2 jízdaexpresu Dojrozměrnýprosor Příklad2 žebřík Úloha3 ýškabudoy Úloha4 měřenízdálenosí Kóoanésouřadniceroině Příklad3 přesnosleeckéhosnímkoání Karézskésouřadnice Doplněk1 sférickésouřadnice Příklad4 Polárka Úloha5 úhloáýškaslunce Zeměpisnésouřadnice Příklad5 zeměpisnápoloha Úloha6 zeměpisnápoloha Inerne Příklad6 zdálenosnamapě Úloha7 zdálenos Inerne Jakčaszáisínapolozeobjeku? Příklad7 časoápásma Úloha8 pásmoýčas Úloha9 leleadlem Příklad8 rychlosčlunu Úloha10 zdálenosi Doplněk2 omapách Doplněk3 GPS

2 2 Změnypolohyačas Průměrnárychlos Příklad9 leleadlem Příklad10 cesoánílakem Úloha11 průměrnárychlos Úloha12 průměrnárychlos Úloha13 průměrnárychlos Jednoduchýmodeljednorozměrnéhopohybu Příklad11 jízdamerem Příklad12 elekrickálakoásoupraa Úloha14 auomobil Úloha15 leadlo Několikproblémůorychlosi Úloha16 cyklisé Úloha17 nákladnílak Úloha18 puk Úloha19 spriner Úloha20 spriner rekordman Úloha21 rambus Roinnýneronoměrnýpohyb Příklad13 auomobilzaáčce Skládánípohybů Příklad14 enisoýmíček Příklad15 hopík Úloha21 enisoýmíček Úloha23 loďky Úloha24 loďky Úloha25 pohybměsíce Grafzáislosidráhynačasearychlospohybu Příklad15 rhmíčku Úloha26 olnýpádmíčkusodporemprosředí Výsledky úloh 37 2

3 Sloo úodem Když se čloěk e fyzice dozí, že žije e čyřrozměrném prosoročase, může mí zohonejprerochušok.zkusmesišakuoěublížeobjasni.pokudsezamyslímenadím,jakjeonapř.smapami,můžemeříci,žedoroinnéplochy umíme zabudoa rojrozměrný sě. Pokud bychom se na nějakou roinnou mapu podíali, uidíme zde bareně znázorněné hory a nížiny, na přesnějších mapách nalezneme aké údaje o nadmořské ýšce(např. Sněžka 1602 m), popř. i rsenice. Tyo údaje nám nahrazují řeí prosoroou souřadnici. Analogickýmzpůsobemjemožnopopsaakédějereálnémsěě.Vběžnémžioě íme,žesenesačídomluinaschůzceak,žesiřeknemekdesesejdeme;důležiéjeio,kdysesejdeme.informaceosekáníproomusíobsahoaúdaj o poloze(ři souřadnice) a o době sekání(črá souřadnice). Míso prosoru jsme popsali pomocí čyř souřadnic: řemi prosoroými a jednou časoou jinak řečeno proádíme popis prosoročase. Tao publikace je zaměřena na o, abychom si uědomili, že pro přesný popis realiy pořebujeme nejpre sanoi údaje o poloze a čase; y se během jeůadějůpochopielněbudouměni.časběžíneusálealzeho zasai např. jen na foografii. Souřadnice polohy se měni nemusí(ěleso je klidu) nebo se mění alespoň jedna z nich(nasane pohyb ělesa). Naším úkolem býá časo předpoída další ýoj pohybu, a ak musíme naléz funkční záislosi, jakzměnysouřadnicpolohyzáisínačase.omjseseučilikinemaice; mysepokusímenašíbrožuřepodíanapohybzrochujinéhopohledu. Brožura, kerou ám předkládáme, je prní díl celého cyklu Fyzika je kolemnás.mechanikabuderozpracoána8brožuráchpodlekapioleaší učebnici.důrazšakklademenasloa kolemnás.tomuodpoídájakýklad, ak aké zolené problémy k řešení. Problémy ybíráme sice jednoduché (pro zájemce o fyziku), ale přeso podsaně složiější než školní úlohy na procičoání probraných zorců. Pamaujme na o, že školská fyzika nejsou na sebe naazující zorečky, keré semusíe našroi,abysezládlipísemky.školskáfyzikabysesiceměla opíra o poznaky, ale podsané je předeším použií ěcho znalosí praxi, edypřiřešeníproblémů.anaomjezaložennášpřísupkmechanice. Auoři 3

4 1 Popis polohy ělesa V éo čási se budeme zabýa jen jednoduchými ělesy. Abychom si popis polohy i jejich změn ješě ulehčili, budeme popisoa ělesa elmi malých rozměrů, kerá e fyzice nazýáme hmoné body. Tím bude ěleso zcela jednoduše idenifikoáno co nejmenším počem údajů. Z fyzikálního pohledu edy ělesu ponecháme jeho hmonos m; objem, husoa ani ar nás nebudou zajíma získááme idealizoaný objek: hmoný bod. Kpopisupořebujemezná,kdyakdeseenohmonýbodnachází.Proo popis polohy hmoného bodu zhledem k přímce, na níž se nachází, musí obsahoa údaj o zdálenosi a čase. Popis polohy hmoného bodu roině bude určen děma souřadnicemi pro polohu a časoým údajem, ad. To znamená, že fyzika popisuje hmoné body a událosi s nimi spojené ždycky prosoročase. Pro rojrozměrný prosor budeme udáa ždy ři prosoroésouřadniceačasoýúdaj,edyjakjenámjižznámozhodinzeměpisu, pořebujeme k jednoznačnému určení polohy bodu na Zemi zná ři souřadnice: zeměpisnou šířku ϕ, zeměpisnou délku λ, nadmořskou ýšku h a časoý údaj. K fyzikálnímu popisu mechanických dějů musíme přida např. hmonos m hmonéhobodu,uělesobjemaar,propohybyblízkosiporchuzemě íhoézrychlení g,prozářeníhusoualakzduchuaj. K jednoznačnému sanoení událosi nebo děje prosoročase pořebujeme mí určié ýchozí a neměnné údaje. Proo ždy ješě než začneme cokoli popisoa musíme ymezi sousau souřadnic. Aby naše práce byla zajímaější a prakicky použielná, neoddělujeme popis polohy a změnu polohy srikně od sebe. 1.1 Jednorozměrný prosor Haárii na dálnici D1 ěšinou idenifikuje policie jednak délkoým údajem, dále pak údajem časoým. Kpopisupolohymísanadálnici sačí jediný údaj. Máme celkem ři možnosi pro sanoení sousay lineárních souřadnic: a) Počáek zolíme na začáku dálnice Praze; poom každé míso na dálnici má jednoznačně kladnou souřadnici x >0(izobr.2a)). br.1mapadálniced1 4

5 b)počáekzolímenazačákudálnicebrně;každýbodnadálnicimá jednoznačně kladnou souřadnici x > 0(iz obr. 2b)). c)počáekzolímemísě MmeziPrahouaBrnem;pakkaždémísomezi MaPrahoumásouřadnici x <0,mísomezi MaBrnemmásouřadnici x >0(izobr.2c)). V posledním případě lze kladné a záporné souřadnice yměni, j. mísa mezi MaPrahoumají x >0,mezi MaBrnemmají x <0. a) b) c) x >0 x >0 x <0 x >0 x x P B P B P M B br. 2 Volba počáku sousay souřadnic Zbýá ješě časoý údaj. Pro sanoení času na dálnici přijmeme planý sředoeropskýčas,ycházejícízměřeníčasuna15.d.,popř.planýlení sředoeropskýčas 1 = +1h. Poom každé událosi na dálnici D1 můžeme přiřadi časoprosoroé souřadnice(x;).časoéineralymeziudálosmi,popsanýmisouřadnicemi(x 1 ; 1 ), (x 2 ; 2 )určímejako = 2 1,zdálenosimezipolohami x=x 2 x 1. Příklad1 jízdapodálnici Přijízděpodálniciseřidičpřiprůjezdukolemznačky78kmpodíalnahodinky azjisilčasoýúdaj14h28min30s.ponějakédobějízdypřečelúdaje93km, 14h36min00s.Určee,jakouzdálenosřidičujel,jakýčaspřiomuplynul a jakou průměrnou rychlosí jel. Řešení Ujeázdálenos: s= x=93km 78km=15km. Uplynulýčas: = =14:36:00h 14:28:30h=7:30min. Průměrnárychlos p = s =33,3m s 1 =120km h 1. Na principu záznamu polohy hmoného bodu jednorozměrném prosoru jsou založeny železniční a auobusoé jízdní řády. Např. pro rasu Praha Wien a zpě jsme ybrali dousměrný expres Anonín Dořák. 5

6 Tabulka 1 jízdní řád expresu Anonín Dořák Sanice km EC 71 EC 70 km Praha 0 5:00 23: Kolín 62 5:41 5:42 22:23 22: Pardubice 104 6:04 6:05 21:59 22: ČeskáTřeboá 164 6:39 6:40 21:24 21: Brno 255 7:41 7:43 20:21 20: Břecla 314 8:14 8:23 19:33 19:50 90 Wien 410 9:28 18:33 0 Poznámka: Rozdíl e zdálenosi je způsoben jízdou po různých rasách okolí Vídně. Úloha1 jízdaexpresu1 Zjisěe průměrné rychlosi expresu jednoliých úsecích raě Praha Wien azpě.vkerémúsekujedeexpresnejrychleji?jakáčászudanédobypřipadá najízduajakánazasáky?jakájeprůměrnárychlosexpresunacelérase Praha WienneboWien Praha? Úloha2-jízdaexpresu2 Znázorněe graficky záislos dráhy na čase expresu pro oba směry(pro každý směr zlášť). Předpokládeje, že expres jede každém úseku ronoměrným pohybem průměrnou rychlosí o elikosi, kerou jse určili úloze 1. Dobu zasáek expresu s ýjimkou zasáky Břeclai poažuje za zanedbaelně malou zhledem k době jízdy jednoliých úsecích. 1.2 Dojrozměrný prosor Velmi časo nám pro orienaci prosoru posačuje plán, mapa, globus zkráka dojrozměrné zobrazení. Použíají ho sabaři při sabě domu nebo při rekonsrukci inženýrských síí, orienační běžci při záodech, urisé při přepraě na ýleu, na mapách hledáme a nacházíme mnoho užiečných informací. Při zobrazení sěa do dojrozměrného prosoru ycházíme z geomerických úah. Zolíme osu x(zpraidla zlea dopraa), kerou rozdělíme bodem (= origo počáek)naděpolopřímky+xa x.bodem edemekolmicinaosu x znikneosa y(směremnahoru+y,směremdolů y). 6

7 +y x +x y br. 3 Dojrozměrný prosor Ikdyžoběosyležíéobrožuřee odoroné roině, říkáme zpraidla ose xosaodoroná,ose yosasislá (obr. 3). Je o praděpodobně důsledek školní ýuky a zobrazoání na abuli. Jesliže práě pracujee s počíačemadíáesenamonior,dáe nám za pradu. +y X[x, y] x +x y br.4bodedojrozměrném prosoru Každý bod X, umísěný roinné sousaě souřadnic xy je přesně určen co do polohy uspořádanou dojicí souřadnic[x; y](obr. 4). Předpokládáme-li šak, že se s časem může poloha bodu X měni, musíme doda ješě časoý údaj. Jednoznačné umísění bodu X je poom dáno řemi souřadnicemi doj rozměrném prosoru, j. můžeme psá X[x, y; ]. Zde je příležios definoa mechanický pohyb hmoného bodu: Čas se mění(empusfugi časběžíazasaímehopouzeefoografii),aleobědalší souřadniceseměninemusí(x=kons., y= kons. hmonýbodjeklidu); jesliže se alespoň jedna ze souřadnic polohy mění, jde o mechanický pohyb. +y X[x, y;] B y d x x +x x A y br. 5 Vzdálenos bodu od počáku Zúdajůpolohybodu Xmůžemeurči zdálenos X (zdálenos bodu X od počáku sousay souřadnic). Zobr.5plyne,žerojúhelníky AX i BXjsoupraoúhlé,aproo X =d x = x 2 + y 2. becnějizolíme-liroině xydabody A, Bsesouřadnicemi[a 1,a 2 ] a[b 1,b 2 ],poomdokážemesanoi délku +y úsečky B[b 1,b 2 ; 2 ] AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2. A[a 1,a 2 ; 1 ] a 2 x +x a 1 b 1 y br. 6 Vzdálenos dou bodů b 2 Musímedádobrýpozornaznaménko u souřadnic; e ýrazu pro délku úsečky musíme určoa rozdíl souřadnic. Také zde dokážeme urči průměrnou rychlos pohybu mezibody A, B,ao p = AB, kde =

8 V prakickém žioě nahrazujeme časo mírně zakřiené plochy roinou, nemůžeme šak dospě ke zcela přesným ýsledkům. Možná, že by bylo hodné sledoa polohu bodu X[x, y; ] jen na základě jedné eličiny. j y i r ϕ A X x br. 7 Polohoý ekor Spojímeproobod X spočákem,poom nám úsečka X ymezuje z. polohoý ekor r,kerýdanémčasoémokamžikumásouřadnicepolohy x, y,j.prodanýčasoýokamžik můžeme psá r(x, y). Zaedeme-li z. jednokoé ekory i esměruosy xaj e směru osy y(obr. 7), poom polohoý ekor r= xi+ yj. Too yjádření nám později zjednoduší naše yjadřoání změn polohy meodou změn souřadnic polohoého ekoru. Mohli bychom yjí z oho, že rojúhelník AX je praoúhlý. Poom můžeme psá x r =cosϕ, y r =sinϕ, r=(rcosϕ)i+(rsinϕ)j, kde r= r = x 2 + y 2 značíelikospolohoéhoekoru. Poznámka Ješakřebasiuědomi,žeýšenapsanýzahplaíprourčiýčasoý okamžik.becněedymůžemepsá r()=x()i+ y()j. Příklad2 žebřík Žebříkjeopřenezdálenosi1,8modsislésěnydomuaopíráseoparape oknaeýšce4,8m.určeedélkužebříkuaúhelsklonu. Řešení y B y l Zaedeme sousau souřadnic dle obr. 8. Žebřík je opřen na odoroné podložce e zdálenosi x = =1,8m,edybodě A[1,8m;0],osěnujeopřen ezdálenosi y = 4,8 m,bodě B[0;4,8 m]. Délka l žebříku se určí pomocí Pyhagoroy ěy, j. α x br. 8 Žebřík A x l= x 2 + y 2 = 1,8 2 +4,8 2 m=5,1m. Úhelsklonu αseurčípomocíg α= y x,zčehož α=69,5. 8

9 Úloha3 ýškabudoy h l 1 l 2 d a br. 9 Měření ýšky budoy Výšku h budoy obklopené drobnými sabami nedokázali žáci gymnázia změři, a ak je napadlo jiné řešení pomocí proázku zjisili délky l 1 =42m, l 2 =48madokázaliješězměři zdálenos a = 12 m,alenejižzdálenos d (obr.9).sačíyonaměřenéúdajekomu,aby sejiždalaurčiýška hbudoy?pokudano, ypočěe ji. Náod Zole počáek sousay souřadnic nedosupnémbodě (obr.9). Úloha 4 měření zdálenosí Na adrese najděe možnosi, keré ám Inerne poskyuje: a) sezname se se základní mapou, foomapou a urisickou mapou okolí sého bydlišě, dále aké s mapou okolí sé školy, kerou našěujee. Pokuse se orienoa e foomapě a yužije možnosí, keré dáají funkce GPS a funkce Měření. b) Prohlédněe si určiou lokaliu(např. Václaské náměsí Praze, okolí Sněžky Krkonoších, náměsí Sobody Brně) a sezname se s informacemi, keré můžee získa užiím foomapy. c)podíejesepomocífoomapynaleišěpraha Ruzyňaurčee,jak dlouhé jsou rozleoé a přisáací raneje. 1.3 Kóoané souřadnice roině V prakickém žioě se leckdy můžeme seka s ím, že bychom pořeboali do dojrozměrné sousay loži další souřadnici. Může o bý časoý údaj nebo údajoýšcebodunadroinou xy,kerouymezujíosysouřadnic x, y,keré obě zolíme e odoroné roině. V geomerii maemaici ymysleli, jak oo echnickyproés(obr.10).naprnípohledbysezdálo,žeřeírozměrsdělený pomocí dodakoé informace je něco neobyklého. Podíáme-li se šak do urisické mapy(obr. 11), poom u řady ýznamných bodů najdeme údaj o nadmořské ýšce. Dokonce pro lepší předsaios nacházíme na podrobnější mapě členios erénu doplněnou o z. rsenice(spojnice mís o sejné nadmořské ýšce),zpraidlaýškoémrozdílupo5mči10m,aošrafoání,yjadřujícím geomerii porchu(prudké či pozolnější soupání). 9

10 +y x y 2:00 min 2:30 min 3:00 min +x br. 10 Vložení další souřadnice br. 11 Turisická mapa Zajímaé je na mapách znázorněných na sererech nebo na jednak měření zdálenosí, jednak elmi přesné údaje zjišěné přes GPS, keré obsahují jednak sanoení zeměpisných souřadnic(zeměpisná délka λ, zeměpisná šířka ϕ), ale i nadmořské ýšky. Aťjdeokerýkolizpůsobzáznamu,zajímaánaněmjeiskuečnos,žedokážeme do dojrozměrného prosoru(j. do roiny) znázorni další souřadnice nuné pro přesnější idenifikaci e čyřrozměrném časoprosoru. Příklad 3 přesnos leeckého snímkoání Na sereru leecké snímkoání se poloha bodu určuje s přesnosína0,001.zjisěe,sjakoupřesnosílzepracoasleeckýmsnímkoáním na 50. ronoběžce a 15. poledníku. Řešení Délka15.poledníkujeronaasi40008km R p. =6367,5km,délkana1 je111,1km,úhlu1 odpoídádélka1,852km,naúhel1 připadáasi30,9m. Přesnosnaseinyúhloéeřinyznamenáúdajasi0,3m. =1sopa.Vesměru ýchod západjepřesnosna50.ronoběžceasi20mna1eřinu. Určee, s jakou přesnosí je možno pracoa s leeckým snímkoáním na roníku R e =6378,2kma40.ronoběžce. 10

11 1.4 Karézské souřadnice Podíáme-li se do olného dolního rohu mísnosi( obýáku, učebně), můžeme pozoroa ři kolmice, jež se sýkají jednom bodě, z. počáku zaedené sousay souřadnic.danémubodu X danémčasoém okamžiku přiřadíme ři souřadnice polohy:zbodu X spusímekolmicikroině xy, její délka je zároeň souřadnice z, z= XX p (je-li z >0,jebod Xnadroinou,pro z <0jebod X podroinou xy). Nyní se nacházíme roině xy, nížbudemepopisoapolohubodu X p ; získáme souřadnice x, y. x x z X[x, y,z;] z X p br. 12 Zaedení karézské sousay souřadnic Celkoěedymámepropolohubodu Xčyřisouřadnice x, y, z;. bdobně jako roině zaedeme rojrozměrném prosoru ři jednokoé ekory i, j, kapolohoýekor r(plaí X = r ). Dle obr. 13 zapíšeme r= xi+ yj+ zk, X = r = x 2 + y 2 + z 2. Analogicky jako dojrozměrném prosoru můžeme pro zdálenos dou bodů A[a 1,a 2,a 3 ]ab[b 1,b 2,b 3 ]rojrozměrném prosoru psá(užiím lasnosí karézské sousay souřadnic) x x i z z k X r j X p br. 13 Karézská sousaa souřadnic AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) 2. Při popisu pohybu poom zjišťujeme, zda při časoé proměně došlo či nedošlo ke změně alespoň jedné ze ří souřadnic polohy. y y y y 11

12 1.5 Doplněk 1 sférické souřadnice značme úhel, kerý sírá polohoý ekor sosou zjakoúhel ψ,úhelprůměudoroiny xysosou xjako ϕ.poommůžeme psá z= XX 0 =r cosψ; X 0 =r sinψ, x=r sinψ cosϕ, y=r sinψ sinϕ. br. 14 Sférické souřadnice Jak poznáme později při analyické geomerii, můžeme urči x x z z ψ r x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ψcos 2 ϕ+r 2 sin 2 ψsin 2 ϕ+r 2 sin 2 ψ= ϕ X X 0 = r 2 sin 2 ψ(cos 2 ϕ+sin 2 ϕ)+r 2 cos 2 ψ= = r 2 sin 2 ψ+ r 2 cos 2 ψ= r 2, neboťcos 2 ϕ+sin 2 ϕ=1(cožplynezpyhagoroyěy). Vidíme,žeprobod X lzepoužídoumožnosízápisupolohybodu X sousaě souřadnic (x,y,z;)nebo(r,ϕ,ψ;). bě možnosi jsou ekialenní, proože můžeme ze znalosi souřadnic r, ϕ, ψurčisouřadnice x, y, zanaopak.souřadnice x, y, znazýámekarézské. Souřadnice r, ϕ, ψ popisují bod na porchu koule zhledem k sousaě spojené sesředemkouleanazýámejesférické. S použiím sférických souřadnic souisí dě prakické aplikace. Při pozoroání oblohy pozoroael na porchu Země může popsa objeky na obloze pomocí několika měřielných údajů. Nuno poznamena, že asronomoé dnes sice umějí docela dobře zjisi zdálenos řady objeků na obloze, ale minulosi měli yo možnosi značně omezené, umisťoali šude nebeská ělesa na z. nebeskou sféru, kerá byla dosaečně daleko a pnula se nad mísem pozoroaele, kerý sál e sředu éo nebeské sféry. Nebeská sféra se oáčela kolem osy roace, kerá spojoala z. sěoý pól s mísem pozoroaele. Pozoroael ycházel z úahy, že odoroná roina omezuje nebeskou sféru kružnicí, jež se nazýá maemaický horizon(z. skuečný horizon je čára na obodu, kerá bere úahu reálné zdálené předměy krajiny). y y 12

13 Sislice proíná nebeskou sféru bodě Z Z (zeni = nadhlaník), sislá roina obsahujícíbody P, Z, P S proínámaemaický P S horizon bodech N(seerní bod obzoru), N E S (jižní bod obzoru) a pomocí průchodu P Slunce ouo roinou určujeme z. mísní S poledne, na jehož základě definujeme z. W mísní čas daném mísě. Sislá roina kolmá k éo roině proíná maemaický br. 15 Maemaický horizon horizon bodech E(ýchodní bod obzoru) a W(západní bod obzoru). Každý objek na nebeské sféře je daný okamžik charakerizoán děma údaji, keré pochopíme, budeme-li se día na oblohu sarým námořním dalekohledem, upeněným oáčiě e sojanu. Nejpre zaměříme dalekohled na seerní bod obzoru a směrem pohybu hodinoých ručiček oáčíme dalekohledem kolemsisléosyakdlouho,až refímesměrnapříslušnýobjek ;enoúhel označíme A(azimu). Poom budeme osu dalekohledu zeda směrem zhůru, až se osoý kříž dalekohledu dokne objeku; úhel směru osy s odoronou roinouoznačíme h(ýška).víme,že0 A 360,0 h 90 (prozeni). Kůli obecnosi musíme záži, že proipól zeniu je bod N(nadir, podnožník nepodhlaník),jemužodpoídá h= 90.Výškaobjekunanebeskésféře můžedosahoahodno 90 h 90. Prooženebeskásféraroujekolemsěoéosy P S P,měníseprůběžněsčasem obě souřadnice A, h, a ak asronomoé po nějaké době sousau obzorníkoých souřadnic opusili: zajímaé je, že pro dě z. sálice se sice souřadnice A 1, A 2, h 1, h 2 mění,alejejichrozdíly A, hzůsáajísálé.vybereme-lisi hodný referenční bod na obloze, hodí se pro rychlou orienaci. Příklad 4 Polárka dhadněe úhloou ýšku Polárky nad obzorem. Řešení Vezmeme papír a pomocí úhloměru označíme úhly po 5. Papír přiložíme kolmo na odoronou desku(obr. 16) a hledíme přes papír směrem k Polárce. Přiložíme oko k mísu a špendlíkem propíchneme papírak,žejepřesněmeziokemapolárkou. Přečemeúdaj(asi50 ). br. 16 Princip sexanu 13

14 Úloha5 úhloáýškaslunce Zjisěe úhloou ýšku Slunce nad obzorem přesněpoledne(lenímobdobíobude asie13hodin).využijekomudélku d sínusisléyčeodélce h(obr.17)azahu g α= h d. Do Slunce se nedíeje! h α d br. 17 Úhloá ýška Slunce 1.6 Zeměpisné souřadnice V hodinách zeměpisu se dozídáme, že každému mísu na porchu Země odpoídají určié zeměpisné souřadnice. Jsou jimi zeměpisná šířka ϕ(dosahující0 ϕ 90 s.š.,0 ϕ 90 j.š.),zeměpisnádélka λ(dosahující 0 λ 180.d.,0 λ 180 z.d.)asamozřejměz.nadmořskáýška (k níž zolíme jakousi základní(nuloou) referenční ýšku a objeky nad ouo úronímají h >0 MonBlanc4807m,objekypodouoúronímají h <0 Mrémoře 412m). Podíejme se na zeměpisné souřadnice z pohledu fyzikálního. Tar Země zjednodušíme na ideální kouli, a poom se pokusíme ysěli zah zeměpisných a sférických souřadnic. Země má osu roace, kerá proíná porch Země bodech P N (seerní zeměpisnýpól)ap S (jižnízeměpisnýpól), a prochází sředem Země (obr. 18). Roinykolmékéooseymezujínaporchu Země kružnice, keré se nazýají ronoběžky, o různých poloměrech. Poloroiny obsahujícíosuroaceadanémíso Mproínají porch Země půlkružnicích, keré nazýáme poledníky(meridiány). Ve šech mísech jednoho poledníku dochází e sejném okamžiku k horní kulminaci Slunce (j. nasáá poledne). S λ P N P S M ϕ br. 18 Zeměpisné souřadnice Poledník, procházející známou hězdárnou Greenwich Londýně, označímejakonuloý.úhel λ,kerýsírároinamísníhopoledníkubodu MsroinoupoledníkuGreenwichského,nazýámezeměpisnádélka.Tadosahuje0 až 14

15 180.d.směremnaýchod,maemaicky 0 ;180 a0 až180 z.d.směrem nazápad,maemaicky 180 ;0. Úhel, kerý sírá spojnice M S daného mísa se sředem ideální koule s roinouroníku,senazýázeměpisnášířka ϕadosahuje0 až90 s.š.,maemaicky 0 ;90 naseernípolokoulia0 až90 j.š.,maemaicky 90 ;0 najižní polokouli. V daný okamžik má edy každý objek jednu uspořádanou dojici (λ;ϕ).problémjeom,žekroměmalýchčlunůnaoceánech(aleiamo nebude plai přesně), má určié míso ješě z. nadmořskou ýšku h. V souislosi s pohybem objeků po porchu Země se mohou souřadnice polohy měni s časem a k jednoznačnému yjádření se musíme yjadřoa časoprosoroě. Změny polohoých souřadnic nacházíme jednak na mapách, moderní době nám je aké udáají elmi přesně meody užíající měření GPS. Příklad 5 zeměpisná poloha Podle údajů ze zeměpisného alasu určee nejseernější, nejjižnější, nejzápadnější a nejýchodnější bod koninenu Afrika. Řešení DlealasujenejseernějšímísoBinzar(Bizera) 10.d.,39 s.š.,nejjižnější mísocapeagulhas(sřelkoýmys) 20.d.,35 j.š.,nejzápadnějšímíso CapVeruDakaru 17 z.d.,15 s.š.,nejýchodnějšímísotooxin 52.d., 12 s.š.. Poznámka V zeměpisné lierauře se uádí, že nejseernější bod je mys Rás Ben Sekka (Tunisko) s.š.,nejjižnějšíbodjemyscapeagulhas(jar) j.š.,nejzápadnějšíbodjemyspoinedesalmadies 17 38z.d.anejýchodnější mísojemysráshafun d.. Úloha 6 zeměpisná poloha Inerne ěře ýsledky příkladu 5 pomocí Inerneu na Jak se ýsledky liší? Příklad6 zdálenosnamapě Zjisěe, jak daleko jsou leošní olympijské hry Pekingu(Beijing) od mísa jejich zrodu Ahénách. V alasu zjisíe, že se zeměpisná šířka obou mís příliš neliší(ahény ϕ A =38 s.š.,beijing ϕ B =40 s.š.).měřeníalasuproeďe 15

16 naronoběžce39,poronejeýsledkyměřenízdálenosialasusýsledky měření pomocí glóbusu. Řešení Měřením e školním zeměpisném alasu ychází zdálenos asi km, měřením pomocí glóbusu ychází zdálenos asi km. Úloha 7 zdálenos Inerne Pokuse se oěři ýsledek příkladu 7 měřením na Pokuse se o zdůodnění případných rozdílů. 1.7 Jak čas záisí na poloze objeku? NašeZeměroujekolemséosysdobouroace23h56min04s,j.86164s. d saroěku íme, že z. sřední sluneční den, j. sřední časoý ineral mezi děma po sobě následujícími horními kulminacemi Slunce je šak roen 1den=24h=86400s. Budeme-li se pohyboa po 50. ronoběžce, zjisíme, že doba kulminace Slunce(praépoledne),sebudečasoěposunoa zadobu24hsezeměoočí ccao360,cožčiníúhloourychlos15 /h.mísa,jejichžzeměpisnádélkase lišío15,simohouoličasrozdílnýo1h.takzniklamyšlenkaz.pásmoéhočasu.zazákladbylr.1884doporučenčasnanulém Greenwichském poledníku(z. sěoý čas- Uniersal Time UT nebo Greenwich Mean Time GMT),zanýněkdyWorldTimeWT. Časoá pásma pak yužíají přeážně časoé údaje podle sředního poledníku(0.d.,15.d.,30.d.).zprakickéhodůodušaknesledujíjen zeměpisnou délku, ale i hranice sáů nebo oblasí(např. Ausrálii se užíají aočasoápásma:wesernausraliagt+8h( d.),SouhAusraliaGT+9h30min( d.),NewSouhWalesGT+10h( ). Měli bychom si zjisi, zda daných mísech neplaí sezónní změna času (lení či zimní čas). Poznámka: Málokdojiždnesí,žeminulosibylnulýpoledníkposununazápad ak, že procházel zoleným mísem na osroě Ferro(Kanárské osroy, dnes Hierros), ale eno údaj najdee ješě na elmi sarých mapách z konce 19. soleí. 16

17 Příklad7 časoápásma Sanoe,jakselišíčasoéúdajePrazeaSydneyčiSanFrancisku. Řešení Prahaležína14 20.d.aziměníplaíz.sředoeropskýčasGT+1h, Sydneyna151 aplaíz.ýchodoausralskýčasgt+10h,sanfrancisco na122 z.d.aplaíz.pacifickýčasgt-8h.podlezeměpisnýchúdajůje rozdílzeměpisnýchdélekmeziprahouasydney137,j.časoýrozdíl9h,pro SanFranciscojerozdíl137,j.časoýrozdíl9h.Tyoúdajeodpoídají.Pozor musíme dá při zaádění leního dekreoého času. Úloha8 pásmoýčas Na si najděe heslo Pásmoý čas(zone ime) a prosuduje ho.udělejesipřehledozměnáchpásmoéhočasu.jakmůžee předběhnou čas? Úloha9 leleadlem Přesněe12:00hyleíeleadlemoprůměrnérychlosi900km h 1 změsa slodospeerburgu.zpěleíleadlozespeerburgu19:00h.kdydoleíe dospeerburguakdyzpědosla? Příklad 8 rychlos člunu Chmurné fuurisické předpoědi naznačují, že koncem léa 2015 by mohlo bý kolemseerníhopóluolnémoře.přesněnamísě0.d.a89 s.š.senachází člunsýzkumníky,keříchějíoěři,žeenodenlze zasaičas,j.dosáhnou oho, že se mohou pohyboa sejnou relainí rychlosí jako Slunce(a bude edy sále 12:00 h). Jakou rychlos musejí yinou? Řešení Doseerníhopóluzbýá1,j.111km,obodkružnice,sledující89.ronoběžku,činí697km,cožznamenázískarychlos29km h 1 =15,7uzlu.Toho lze mooroým člunem dosáhnou. Zbýá yřeši problém s z. daoáním. Čassezasaí,alenadaoéčářejenunopřičíscelýden.Tohoedydosáhnou nelze. Úloha 10 zdálenosi Cojedál?BeijingodAhénneboKapskéměsoodSockholmu?Údajeopoloze si najděe alase nebo na Jak je o s časoým rozdílem? 17

18 1.8 Doplněk2 omapách... V našem exu jsme se zaím zabýali určoáním zdálenosí použiím map. Přesnos určení zdálenosi ímo způsobem je šak oliněna mapou, keroukomupoužijeme,cožjemj.akédánoím,jakýmzpůsobemjemapa yořena. Základním problémem, kerý je nuno při orbě mapy yřeši, je promínuí polohy bodu na zemském porchu do roiny mapy. Než se začnou promía polohy jednoliých bodů na zemském porchu, je řeba yoři z. referenční plochu. Členiý zemský porch se proo nejpre nahrazuje z. nuloou hladinoou plochou. Nuloé hladinoé plochy jsou uzařené plochy, keré jsoukaždémboděkolmékíhoésíle.tyonuloéplochypakyářejí základní plochu zemského ělesa, keré se nazýá geoid. Jelikož geoid je pro sůj složiý ar nehodný k dalšímu maemaickému zpracoání, nahrazuje se roačním elipsoidem, a proože eno zemský elipsoid má jen malé zplošění, nahrazuje se mnoha případech koulí. Přesně znázorni porch ýše popsaných ploch do roiny není možné, a proo se praxi použíají různé ypy projekcí s ohledem na požadaky, keré namapyklademe.pokudbychomchělizobrazi maléúzemí,cožjenapř. územínašírepubliky,použijemekonformnízobrazení 1 (nezkreslujeúhly,přesné znázornění zdálenosí a ploch). Too zobrazení se šak nehodí pro mapy sěa, o pak nežádoucím způsobem oliňuje přesnos určoání elkých zdálenosí na mapě. Zabýa se ím šak dále nebudeme(překročilo by o rozsah ohoo exu), ale přeso je nuné brá uo skuečnos úahu. Časoseukazujejakohodnějšípoužíéosiuaciglóbus,aleienmá sé přednosi i nedosaky. Mezi elké ýhody paří např. yoření názorného geomerického modelu krajiny, lepší možnos měření elkých zdálenosí než na roinné mapě. Budeme-li šak mí pouze plošný glóbus, pak nasáá siuace, že se liší elikosi rsenic na glóbusu od elikosí rsenic na roinné mapě, což je způsobeno odlišným způsobem promíání rsenic na roinnou mapu a glóbus(eno problém je podrobněji rozebrán např. [1]). V omo případě je nuno použí roinnou mapu. Při měření elkých zdálenosí dnes je elkým pomocníkem Inerne, jak bylo již dříe uedeno. Sačí oeří prohlížeč googleearh.com, zada do pařičných mís požadoané údaje, počíač pak še yhodnoí a ypíše ýsledek. Prohlížeč googleearh.com poskyuje elmi kaliní informace díky omu, že naporchemzeměkroužíeýšce681kmdružicegeoeye1 aobleízemi danáckrá za den. Bližší údaje o éo družici je možno naléz na Inerneu, např. na sránkách hp:// Google-nabidne-nejpodrobnejsi -saelini-snimky-sea/sc-3-a /defaul.aspx. 1 Podrobnějemožnonaléznapř.publikaci:[1]NVÁK,V.;MURDYCH,Z.Karografie a opografie. Praha: SPN,

19 Někeré služby prohlížeče googleearh.com se šak neobejdou bez použií GPS,čímžsebudemezabýanásledujícímdoplňku Doplněk3 GPS Nazáěréokapiolysiješěněcořeknemeoměřenípolohyajejízměnydnes, neboli o Globálním Polohoém Sysému(GPS). GPS yinulo Miniserso obrany USA. Too zařízení bylo půodně yinuo pro ojenské účely. Prní družice sysému GPS byla ypušěna roce 1978,ašakplněfunkčnísesysémsalroce1995. GPSseskládáze24družic,kroužícíchokoloZeměeýšceasi18isíckilomerů. Tyo družice ysílají signály, keré jsou zachyceny přijímači GPS, en jepakyužíákezjišěnísépolohynazemi.polohanazemijepozpracoání da uedena pomocí zeměpisné délky, šířky a ýšky nad porchem Země. Princip práce GPS Jak již bylo dříe uedeno, přijímač GPS ypočíáá sou přesnou polohu pomocí měření z družicoých rádioých signálů, keré pak dále zpracoáá. Sysém pracuje na geomerickém principu, kerý si nejpre popíšeme na příkladu roině, pak přejdeme do prosoru. Předsae si, že se nacházíe na nějakém ám neznámém mísě. Pokáe čloěka a zepáe se ho, kdesenacházíe.námodpoí,ženěkdeezdálenosi 20 km od Čáslai. Tao informace není příliš Čásla Chrudim dosačující, proože geomericky o znamená, že jse někdenakružnici,jejížsředječáslaiapoloměr br. 38 Dě kružnice éokružniceje20km.zepáe-liseznounaoéž dalšíhočloěkaaenámodpoíobdobně,žejseezdálenosi14kmod Chrudimi, můžee již na základě ěcho informací nakresli dě kružnice, keré sepronouedoubodech(obr.38). Nyníužíme,žepřicházejíúahuděmísa,kde bychom se mohli nacháze. Abychom zjisili, keré zěchdoumísoje,pořebujemeješěřeíinformaci. Když se objeil další čloěk, odpoěděl na oázku o naší poloze, že se nacházíme 27 km od Halíčkoa Brodu. Sesrojímeedyješěřeíkružnici,aanámjižposkyne přesnou informaci o naší poloze (obr. 39). Díky posupu ří kružnic zjisíme, že se nacházíme blízkosi Sečské přehrady. 19 Čásla Halíčků Brod Chrudim br. 39 Tři kružnice

20 Na sejném principu pracuje GPS. V omo případě, proože jsme prosoru, šak míso ří kružnic budeme pořeboa čyři kuloé plochy, jejichž sředy se budou nacháze na čyřech nezáislých družicích. Pak bude ješě řeba zjisi poloměry ěcho kuloých ploch. Tedy přijímač GPS musí zjisi pomocí signálů a družic sysému GPS sou přesnou zdálenos od každé ze čyř družic. Jesliže přijímač GPS obdrží signály od čyř družic, je schopen urči sou polohu prosoru. Na základě údajů o Zemi pak přijímač ypíše na displeji zeměpisnou délku, šířku a ýšku nad porchem Země. Tím, že si přijímač GPS naměřené údaje uchoáá, může ypočía aké akuální(okamžiou) rychlos, průměrnou rychlos a uraženou zdálenos. Znašichúahdáleyplýá,žekomu,abypřijímačGPSurčilpolohuobjeku, pořebuje da údaje: polohu nejméně čyř družic sysému GPS a zdálenos mezi objekem a každou z ěcho družic. Zjišěnípolohydružicseopíráoskuečnos,žesepohybujíasi18isíckilomerů nad porchem Země(dále aké uažujeme, že amosféra éo ýšce nemá li). Pak je možno zdálenos poměrně snadno odhadnou, proože přijímač má paměi informace o pohybu šech družic kerémkoli časoém okamžiku. Určiý problém zde ale přece jen nasáá: graiační působení Slunce a Měsíce malé míře rajekorie pohybu družic oliňuje. Z ohoo důodu Miniserso obrany USA sleduje přesun poloh družic a ysílá případné opray do šech přijímačů GPS(jako součás signálu ysílaného družicí). Přiměřenízdálenosisesysémopíráozah s=,kde jerychlos šířenírádioýchln, jedobašířenílnzdružicedopřijímače.zdealenasáádalšíproblém,žerádioélnysesiceeakuušířírychlosísěla c,ale amosféra eno pohyb zpomaluje. Přijímač GPS odhaduje skuečnou rychlos signálu pomocí složiých maemaických modelů zahrnujících sobě i celou řadu amosférických podmínek. Jako součás sého rádioého signálu ysílají družice i informace o počasí. Kroměměřenírychlosiješakřebaakézměřičas.Komujeřeba,aby ysílač a přijímač měly synchronizoané a přesné hodiny. Každá družice aké k času přidáá sůj kód, podle kerého přijímač rozpoznáá signály jednoliých družic. Poznámka Ve skuečnosi je o se synchronizací ak, že družice mají nejpřesnější aomoé hodiny, zaímco přijímač GPS méně finančně nákladné hodiny křemíkoé (z důodů přijaelné ceny GPS přijímače). Přesnosi aomoých hodin pak přijímač dosahuje ak, že měří chybu sého sysému a podle ní uprauje ýpočy. Nazáěrjeedymožnoříci,žepřijímačGPSpřisépráciproádíznačné množsí ýpočů(ýpoče přesné polohy každé družice, doba než signál dorazí 20

21 z družice do přijímače, zjišťoání chyby sých niřních hodin). Věšina přijímačů pak kombinuje yo údaje ješě např. s mapami, což značně usnadňuje jejich použíání. GPS přijímačů dnes exisuje celá řada majících různou úroeň proedení a omu odpoídajích cenoých relacích. S ohledem na uo skuečnos exisují u někerých přijímačů určiá rychlosní a eploní omezení, kerá je řeba dodržoa, aby přijímač GPS spráně fungoal e ymezených podmínkách (hp:// 2 Změnypolohyačas Je zajímaé, že prakickém žioě se málokdy nasupuje do rozjeého dopraního prosředku nebo naopak se z jedoucího ozidla málokdy ysupuje. Ve sarých pražských ramajích, keré neměly deře a nasupoalo se do oeřeného prosoru, o 1 bylo dokonce přísně zakázáno a za eno přesupek byla uděloána pokua. br. 19 Sará ramaj Narozdílodrealiysežácieškoleučízlášťopohyburonoměrnémpřímočarém jako nejjednodušším modelu pohybu, ale s ímo pohybem se dopraě sekááme málokdy. 2.1 Průměrná rychlos V někerých případech je pro naše odhady důležié nebo ýhodné zjednoduši pohyb ělesa naolik, že nás období rozjíždění z klidu a získáání určié rychlosi, popř. brzdění, změny rychlosi důsledku oho, že je naší poinnosí přizpůsobi jízdu ozoce a dopraním podmínkám, zase olik nezajímají. V ěcho případech je důležié zná, jakou dráhu s ěleso urazilo a jaký čas uplynul. Podíl ěchoúdajů p = s senazýáprůměrnárychlos.zpraxeíme,ženapř.při jízdě po dálnici se skuečná rychlos é průměrné může blíži, ašak pro případ jízdy členiým erénem ozidlo ěšinou éo rychlosi nedosahuje. Zapamaujme si základní poučku: průměrnou rychlos ělesa ypočíáme, jesliže celkoou dráhu, kerou ěleso urazilo, dělíme celkoou dobou, kerou na o spořeboalo. 21

22 Příklad9 leleadlem Leecký speciál leí bez mezipřisání z Prahy do kanadského Vancoueru ak, že podsaě sleduje 50. ronoběžku. Celá rasa bez saroního a přisáacího manéru rá necelých 10,5 h. Určee průměrnou rychlos leadla. Dále ysal doaz, zda by nebylo ekonomičější leě přes seerní pól. Jak dlouho by rala rasa při dosažení sejné průměrné rychlosi? Řešení rienačníúdajeopoloze:praha50 s.š.,14,5.d.,vancouer49 s.š.,123 z.d.. Úlohubudemeřešizhledemkronoběžce49,5.Délkaronoběžky(R= =6371km)je l=2πrcosϕ=26000km,na1 připadá72,2km,rozdílzeměpisnýchdélekje137,5,j.9930km.průměrnárychlos p =945km h 1. Trasapřesseernípól:délkapoledníkůje l 180 =20002km,na1 připadá 111km,zPrahynaseernípóljeo40,zpóludoVancoueru41,edyje ocelkem81,j.rasa9000km.časoějepřisejnéprůměrnérychlosidoba leu9h30min. pimálnírasabymělabýedenapoz.loxodromě,j.kružniciosejném poloměru jako je poloměr kuloé Země, ašak roině, kerá obsahuje sřed Země a obě zolená mísa. Poznámka: Teno ýpoče je šak jen přibližný, pokud bychom chěli počía přesněji, jeřebauažoasím,želeadloleíeýšce10kmnadmořemaproés příslušné přepočy údajů proeďe sami. Příklad 10 cesoání lakem Podle Inerneoého yhledáače spojení lze cesu ze Sockholmu do Prahy lakemabsoloaak,žesenejpreydámee23:06hdohässleholmu,kamlak NZ1dorazíe4:45hpoabsoloání508km.V5:42hpřesednemedoosobního lakus1019apo117kmdorazímedokoebenhanu,kde7:42hpřesednemedoexpresuice38apoujeí662kmdorazímee14:27hdoberlína. VBerlíněpřesednemee14:35hdoexpresuEC379CarlMariaonWeber, kerýnásdoezepoujeí394km19:18hdosanicepraha Holešoice. Určee průměrnou rychlos jednoliých úsecích i na celé rase. 22

23 Řešení Sockholm Hässleholm: s 1 =508km, 1 =5h39min, p1 = 508km 5,65h = =90km h 1. Hässleholm Koebenhan: s 2 =117km, 2 =2h, p2 =58,5km h 1. Koebenhan Berlín: s 3 =662km, 3 =6,75h, p3 =98km h 1. Berlín Praha: s 4 =394km, 4 =4,72h, p4 =83,5km h 1. Celkoě p = 1681km 20,2h =83,2km h 1. Úloha11 průměrnárychlos1 Na rai Paříž- Lyon Marseille jezdí rychlolaky TGV; jeden z nich opouší PařížskéLyonskénádraží6:16haMarseillepoujeírasy499kmje9:33h. Určee jeho průměrnou rychlos. Úloha12 průměrnárychlos2 NejrychlejšíexpresnaraiMoska SPeerburgurazíraťodélce639km zadobu4:30h.jakájejehoprůměrnárychlos? Úloha13 průměrnárychlos3 Cyklisajelporase72kmak,žecesuamurazilzadobu2h12min,zpáeční absoloal60kmrychlosí45km h 1 azbyekmuseljípěškyza1,5h.určee a) průměrnou rychlos jednoliých úsecích, b) dobu pohybu, c) průměrnou rychlos na celé rase. 2.2 Jednoduchý model jednorozměrného pohybu Při jízdě lakem mera nebo jiného elekrolaku se bude eno dopraní prosředek pohyboa ako: nejpre se po dobu 50 s rozjíždí, až dosáhne rychlosi72km h 1,poése100spohybujeouorychlosíanásledujících100s brzdí, až zasaí následující sanici. Pro lepší pochopení našich úah si zakreslíme graf (); j. znázorníme, jak se mění rychlos záislosi na čase. Proo ješě budeme předpokláda, že zyšoání i snižoání rychlosi nasáá lineárněsezměnamičasu.vdoběod50.do150.sekundyseozidlopohybujeronoměrněaurazídráhu s 2 = 0 2 =2000m.Můžemeedypozoroa, žegrafu ()(obr.20)jedráhaprezenoánaobsahemobdélníka s 2.Pro 23

24 úsekzrychlení s 1 = =500m(obsahrojúhelníku s 1 ),proúsekzpomaleníje s 3 = =1000m.Celkoádráha,kerouelekrolakurazil,je s=s 1 + s 2 + s 3 =3500m,aozadobu =250s. Průměrná rychlos p =14m s 1 =50,4km h 1. Při ýpoču průměrné rychlosi edy můžeme říci, že lichoběžník z obr. 20 nahrazujeme obdélníkem(jehož jedna srana yjadřuje čas) o sejně elkém plošném obsahu(j. druhá srana obdélníku předsauje průměrnou rychlos p ). Příklad 11 jízda merem m s 1 s 2 s 1 s br. 20 Pohyb laku mera Vlak mera(nebo jiný elekrolak) zdoláá rasu mezi děma sanicemi o zdálenosi1800mak,žedosáhnenejěšírychlosi54km h 1 ahnedbrzdípo sejnérasejakoserozjíždí.jakdlouhorájízdamezisanicemiajakájejeho průměrná rychlos? Řešení Prorozjížděníplaí s 1 = ,zčehož 1 = 2s 1 =120s. 0 Analogicky bychom určili dobu zpomaloání 2 = 1 =120s.Procelkooudobupohybu pakplaí = =240s. Průměrná rychlos pohybu je pak dána zahem p = 1800m =7,5m s 240s 1 =27km h m s 1 s s br.21jízdameramezi děma sanicemi Vidíme,žeprníčásipohybu přizrychloání jerychloslineární funkcí času(sručněji: rychlos zrůsá ronoměrně s časem), edy, což spoužiímkonsany azapíšeme = a,kde a= jez.zrychlenípohybu (akcelerace).podosaženínejěší rychlosi k serychlosnaopakzmenšuje lineárněsčasem,j. = k a. 24

25 Pro dráhu ronoměrně zrychleného pohybu s nuloou počáeční rychlosí(obr. 21) edy plaí =a, s= 1 2 =1 2 a =1 2 a2. Jde-liopohyb,přiněmžsehmonýbod zrychlujezpočáečnínenuloérychlosi 0 (obr.23),poom = 0 + a,aedy = a s= 1 2 br. 22 Ronoměrně zrychlený pohybspočáečnírychlosí 0=0 s= 1 2 ( 0+ )= 1 2 ( a)= a2. Vpřípaděronoměrnězpomalenéhopohybuspočáečnírychlosíoelikosi 0 (obr.24)bude = 0 a,aedy s= 1 2 ( 0+ )= 1 2 ( 0+ 0 a)= a2. Podíejmesenasiuaci,kdyžělesozasaí.Zezahu = 0 amusínuně yjíokamžiáhodnoarychlosi =0m s 1,edy0= 0 a z.dudlze určidobununoukzasaení z = 0 a adráhununoukomuozasaení s b = 0 0 a 1 2 a 2 0 a 2=2 0 2a. 0 = 0 + a s= 1 2 ( 0+ ) br. 23 Ronoměrně zrychlený pohybspočáečnírychlosí 0 0 = 0 a s= 1 2 ( 0+ ) z br. 24 Ronoměrně zpomalený pohyb spočáečnírychlosí 0 Příklad 12 elekrická lakoá soupraa Elekrická lakoá soupraa se rozjíždí i zasauje na sejně dlouhé rase a od okamžiku, kdy se rozjíždí ze sanice, až do okamžiku zasaení urazí za dobu3min20srasu2,40km,přičemždosáhnenejyššírychlosi72km h 1. Určee další paramery pohybu lakoé soupray. 25

26 Řešení Doba pohybu je = 200 s, nejyššírychlosje m = 20 m s 1, dráha m. Uažujme nejpre (jako minulém příkladu), že se lakoásoupraarozjíždípodobu 1 = 100s,zasaujepodobu 2 =100s, koncoá rychlos při rozjíždění (a počáeční rychlos při zpomaloání) je m,poomdráharozjíždění m s br. 25 Pohyb laku s s 1 = 1 2 m 1 =1000m,dráhaprozpomaloání s 2 =1000m,edycelkoá dráha s=s 1 + s 2 =2000m<2400m? Zkusmenaopakurčizrychlení a 1 = a 2 = 2 m = 400 2s 4800 m s 2 =0,083m s 2, poomdobarozjíždění 1 = 2s = 4800 s=240s>!musímeedyyjí m 20 z jiného modelu pohybu elekrické lakoé soupray, a o dle úahy na začáku éokapioly:lakoásoupraaserozjíždípodobu 1,urazídráhu s 1,pakjede ronoměrnýmpohybempodobu 2 aurazídráhu s 2 ;nakoneczpomalujepo dobu 3 = 1 aurazídráhu s 3 = s 1.Prooplaí = = a 2s 1 + s 2 = s.musímešakpsáaké2 1 2 m 1 + m 2 = s. Proože = s asoučasně m m s =,dosanemepoúpraě 1 = s =200s 2400 s=80s. m 20 dud 3 = 1 =80s, 2 =40s, s 1 = 1 2 m 1 =800m, s 2 = m 2 =800m. Graf e spráných proporcích je pak znázorněn na obr. 26. Úloha 14 auomobil br. 26 Pohyb laku Moderníauomobilysposiloačembrzddokážouyinouzpomalení5m s 2 až7,5m s 2.Určee,zajakdlouhoanajakédrázezasaíauomobil,jedoucírychlosí90km h 1 (120km h 1,144km h 1,180km h 1 )podálnici, jesliže reakční doba(doba od zpozoroání překážky na silnici po začáek brždění) je 1,2 s. Údaje sesae do abulky. s 26

27 Úloha15 leadlo Velkédopraníleadlopřisáárychlosíasi240 km h 1.Podobu5spo doykusranejíyronááronoáhuapoombrzdíak,žeseběhem50s zasaí. Jak dlouhou brzdnou dráhu pořebuje k bezpečnému přisání? Jaké je zpomalení leadla? 2.3 Několik problémů o rychlosi V éo čási si shrneme dosaadní probrané poznaky při řešení různých problémů. Úloha 16 cyklisé Mladí cyklisé si yyčili rasu ak, že 40% rasy jeli po roině sálou rychlosí 28,8km h 1,dalšímúsekuodélce40%rasyjelidomírnéhokopcerychlosí18km h 1 azbyekrasyzmírnéhokopceaždomísasarurychlosí 45km h 1.Jakouprůměrnourychlosíjelipocelérase?Poomšakzměnili směr na opačný, ale jednolié rychlosi dosahoané na roině, do kopce a s kopce udržoali sejně elké jako půodním směru. Jak se změnila průměrná rychlos? Jaký byl poměr dob, za něž urazili yyčenou rasu? Úloha17 nákladnílak Nákladnílakodélce420mserozjíždělznádražísezrychlením0,2m s 2,až dosáhlrychlosi54km h 1,cožbylookamžiku,kdylokomoiajíždělana mosodélce180m.pomosuselakpohyboalronoměrně.vokamžiku,kdy poslední agón laku opoušěl mos, musel srojůdce začí brzdi a po době 120 s se zasail následující sanici. Jak dlouho lak jel a jakou zdálenos urazil? Nakreslee graf záislosi změny rychlosi laku na čase. Úloha18 puk Puk se po ledoé ploše může pohyboa s mírným zpomalením. Hráč sojí proi hrazeníaúderemuedlpukdopohybupočáečnírychlosíoelikosi6,0m s 1 e zdálenosi 12,0 m od hrazení. Puk dopadne kolmo na hrazení rychlosí oelikosi3,6m s 1 aodrazíserychlosíoelikosi3,0m s 1 zpěsměrem k hráči. Kde se puk zasaí? K řešení si nakreslee graf záislosi elikosi rychlosi na čase. Dobu rání nárazu puku na hrazení zanedbeje. 27

28 Úloha 19 spriner Sprinernakrákéraě(např.100m)sepřisaruzblokůnejpreronoměrnězrychleněrozbíháak,žeza5,5surazí33mapozbýajícíčásirai běží ronoměrně ouo dosaženou rychlosí. Nakreslee graf záislosi elikosi rychlosinačaseaurčee,zajakdlouhouběhnedráhu100m. Úloha 20 spriner rekordman Rekordmaninasěoémžebříčku(na100m)uběhnouprních33mza4,8s. Jakého ýsledku dosáhnou, běží-li až do cíle ronoměrně? Následující úloha se poněkud liší od úloh předchozích, kdy jsme pohybující se objeky nahrazoali hmonými body. V případě následující úlohy je již nuné uažoa s rozměry pohybujících se objeků. Úloha21 rambus Rozměrnýnáklad,kerýmjepřeážensaebníjeřáb,mádélku32majede sálourychlosí45km h 1.Trambusslekemocelkoédélce18mdojíždí enonákladrychlosí54km h 1.Vezdálenosi24mzakoncemnákladuřidič rambusu zkonroluje, zda je olná rasa, a začne předjíždě. Předjíždění ukončí okamžiku, kdy zadní čás rambusu je e zdálenosi 20 m před nákladem. Určee, jak dlouho rá předjíždění a jaké zdálenosi obě ozidla urazí. 2.4 Roinný neronoměrný pohyb Ukázali jsme si, že roině můžeme okamžiou polohu hmoného bodu poměrně snadno yjádři pomocí z. polohoého ekoru r(), kerý se může s časem měni. Vyjádříme-li y r 1 = x 1 i+ y 1 j, r 2 = x 2 i+ y 2 j, poom r= r 2 r 1 = xi+ yj. Proože změna nasáá za dobu, pak r = x i+ y j. Jesližesisanoíme,že x = x, y = y,poom r = xi+ y j. r 1 r 2 X 1 X 2 x br. 27 Polohoý ekor 28

29 Předpokládejmedále,žehmonýbodsepohybujepopřímce X 1 X 2.Poom můžemepomocí r ymezipojemrychlosi,aojakcodoelikosi,akico do směru, edy ekor rychlosi = x i+ y j. Pokud = kons, bude se jedna o pohyb ronoměrný přímočarý. Vpřípadě,že 1 2,ale 1 2,půjde y o pohyb přímočarý, ale neronoměrný. 2 B Pro 2 > 1 jdeopohybzrychlený,pro s 1 2 < 1 opohybzpomalený. r 2 A r Můžesesá,že 1 = 2,aleběhemdoby 1 ϕ sezměnísměrrychlosi půjdeopohyb ronoměrný, ale křiočarý(nejjedno- x dušší bude pohyb po kružnici). br. 28 Rychlos becněmůžemenapsa = x i+ y j = a xi+ a y j.veličině a= říkámezrychlení.proelmikrákoudobu,edypro 0szaádíme okamžiou rychlos a okamžié zrychlení. kamžiézrychlenímáedyděsložky a(a x,a y ),kerésměřujízáislosi na sousaě souřadnic. To šak nám nepřináší ěšinou noé informace. Někdy je lepší zjisi změnu rychlosi, kde = 2 1 (obr. 29) esměruečnykrajekoriidaném boděaesměrujejínormály.velikos změny ečném směru = 2 1, kerá ypoídá o změně elikosi zrychlení, z. ečné zrychlení poom má elikos a =. y A A 1 n 2 1 B 2 ϕ 2 br. 29 Změna rychlosi Další změna je e směru kolmém ke směru rychlosi(z.normáloý směr), jež edekz.normáloému(dosřediému)zrychlení a n.proelmimalé 0 můžemedleobr.28,29psá ϕ= = s r,zčehož = s,kde rje r poloměrkřiosirajekoriedanémbodě(eličina 1 r senazýákřios). x 29

30 Poom a n = n = = s r = 2 r. Pokud bychom zaedli míso jednokoých ekorů e směru roinných souřadnic ia jjinédaekory,ao 0 jednokoýečnýekor,pakmůžemepsá, že a = 0, n 0 jednokoýnormáloýekor,pakplaí,že a n = 2 r n0. Zrychlení pohybu je poom dáno zahem a= a + a n = r n0. Velikos zrychlení je dána zahem ( ) 2 ( ) 2 2 a = +. r Příklad 13 auomobil zaáčce Auomobiljedezaáčceopoloměru r=50maprůběhu5szýšísou rychloszhodnoy 0 =18km h 1 na =54km h 1.Určeezrychlení pohybu a dráhu, kerou při om auomobil urazí. Řešení Tečnézrychlenímáelikos a = = 10 5 m s 2 =2m s 2.Normáloé zrychlenínapočákuúsekumáelikos a n0 = 2 0 r = m s 2 =0,5m s 2, normáloézrychlenínakonciúsekumáelikos a n = 2 r = m s 2 = =4,5m s 2.Velikoscelkoéhozrychlení a 0 = a 2 + a2 n0 = ,5 2 m s 2 =2,1m s 2, a= a 2 + a 2 n= ,5 2 m s 2 =4,9m s 2 Dráha, kerou při om auomobil urazil, je pak dána zahem s= 1 2 ( 0+ ) =50m. 30

31 2.5 Skládání pohybů Pokudjedeloďkapoklidnéoděpojezeřesálourychlosí2,0m s 1,nemáme poížepřiřešeníproblému,zajakdlouhopřeplujezdálenos600m: = s = =300s=5min. Jesliže se šak loďka nachází na hladině ody řece, jejíž proud eče rychlosíoelikosi u =0,5 m s 1, poom se loďka zhledem ke břehům pohybuje různou rychlosí záislosi na směru pohybu loďky zhledem kprouduřeky(obr.30). u u br. 30 Pohyb loďky Vešechřechpřípadechdleobr.30(j.pohybpoproudu,proiproudu a kolmo na směr pohybu proudu) dochází ke skládání rychlosí, což můžeme ekoroě zapsa e aru ysl = + u. Při pohybu loďky rychlosí po proudu plaí pro elikos ýsledné rychlosi ysl =+u,proiproudu ysl = u( > u)apřipohybukolmokproudu ysl = 2 + u 2. Too ošem není ýče šech možnosí, keré mohou nasa. Loďku lze aké nasměroa šikmo proi proudu ak, aby ýsledný pohyb byl kolmý ke břehům řeky;akoýpohybječasoopimální(praxijeproudřekyrůznýchmísech různý a přeplou řeku na spráné míso na druhém břehu yžaduje dobrou naigaci např. při pohybu na mísech, kde nejsou mosy). Časo se aké sekááme se siuacemi, kdy jeden pohyb myšlenkoě rozložíme na da jednodušší pohyby, keré dokážeme lépe popsa. Příkladem akoého pohybu může bý rh sisle zhůru( našich úahách nebudeme uažoa odpor prosředí). V omo případě yhodíme malé ěleso sisle zhůru počáečnírychlosíoelikosi 0.Tělesošaksoučasněaképadásměremdolů rychlosíoelikosi p = g. Poomyužijeme skládánípohybů : = 0 g, s= g2.rychlosklesá,ažseělesozasaí nejěšíýšce(zadobu b odzačákurhu)apak začnepadadolůolnýmpádem.plaí0= 0 g b, zčehož b = 0 g.poom h max = 0 0 g 1 2 g 2 0 g 2=2 0 2g. 0 u b br. 31 Rychlos rhu sisle zhůru 31

32 Příklad 14 enisoý míček Tenisoýmíčekpoodpálenísislýmsměrempočáečnírychlosíoelikosi 0 ysoupil až do ýšky 62,5 m. Jakou měl počáeční rychlos? Za jak dlouho dopadlnazem?dporprosředízanedbeje, g=9,81m s 2. Řešení Pro pohyb bez odporu prosředí plaí = 0 g, s= g2.počáeční rychlosurčíme ze zahu h m = 2 0 2g, zčehož 0 = 2gh m = 35,4 m s 1. 2hm Dobapáduje p = = 3,57 s, g celkoádobapohybupakje T=7,1s. m s 1 35,4 0 3,57 7,1 s br. 32 Rychlos pohybu enisoého míčku Příklad15 hopík Z balkónu e řeím paře hodil chlapec míček hopík směrem dolů počáeční rychlosí 0.Míčekopusilrukueýšce15m,dopadlnabeonooupodložkua odrazil se rychlosí ronou 0,8 rychlosi dopadu ak, že yskočil zase do půodní ýšky,akžehochlapecchyildoruky.určeeelikosrychlosi 0. Řešení Úlohubudemeřeši odzadu.poodrazuzískalmíčekrychlos 2 = 2gh= =17,1m s 1,rychlosdopadubyla21,4m s 1.Kdybypadalmíčekzpůodní ýškyolnýmpádem,dopadlbynazemrychlosí 1 =17,1m s 1.Diferencí (21,4 17,1)m s 1 =4,3m s 1 jedánaelikospočáečnírychlosi 0. Úloha 22 enisoý míček Přienisuodpálilhráčmíčekeýšce h=2,4modoronýmsměremamíček dopadl mimo hřišě e odoroné zdálenosi 24,5 m od podáajícího. Jak elká byla počáeční rychlos míčku? Jakou rychlosí dopadl míček na hřišě? Úloha23 loďky1 PaelaHankasipůjčililodičkukprojížďcepořece.Říčníproudmárychlos oelikosi u=0,4m s 1,esloánímdokážePaeludržerychlosoelikosi =0,8m s 1 ůčiklidnéodníhladině.jakdlouhoajakdalekopoproudu 32

33 neboproiproudumůželoďkaplou,abysesihliráiza60minuzpědo přísaišě? Úloha24 loďky2 Zasejnýchpodmínekjakoúloze23seydalPaelsHankouesměrukolmo kbřehůmřeky,kerámádanémmísěšířku120m.vkerémmísěpřisanou? Jak dlouho rá, než se dosanou přes řeku? Úloha25 pohybměsíce Předpokládejme, že se sřed Měsíce pohybuje kolem sředu Země sálou rychlosí po kružnici ak, že poloměr rajekorie je km a doba oběhu 27,32 dne. Sřed Země se pohybuje kolem sředu Slunce po rajekorii aru éměřkružniceopoloměru149, kmzadobu365,24dne.jakounejěšía jakou nejmenší rychlosí se pohybuje sřed Měsíce zhledem ke sředu Slunce? 2.6 Graf záislosi dráhy na čase a rychlos pohybu Ronoměrný pohyb Předsame si auomobil, kerý yjel z mísa označeného jako počáek a jede ronoměrným pohybem po dálnici. Při sé jízdě míjí kilomerickou značku. V okamžiku, kdy auomobil míjí kilomerickou značku(na keré je obecně nějakýúdaj s 0 ),zmáčknespolujezdecřidičeauomobilusopkyaodohoo okamžiku začne měři dobu jízdy auomobilu. Za dobu bude auomobil projíždě kolem další kilomerické značky. Proože se auomobil pohybuje ronoměrně rychlosí o elikosi, můžeme yjádři dráhu, kerou auomobil urazil od počáku, zahem s=+s 0. Teno pohyb je možno aké popsa pomocí grafu záislosi dráhy na čase (obr.33). s y s 0 s q y x x br. 33 Záislos dráhy na čase br. 34 Graf přímky 33