Obsah. Fyzika je kolem nás (Poloha a její změny) s 1 = 470 m; s 2 = 564 m. 2h 22. t =

Transkript

1 1 = 470 m; 2 = 564 m. 2h 22. = celk = g =0,7, 0 = 24,5 0,7 m 1 =35m 1, = g = 2hg =6,9 m 1, =35,7 m = = + u + u, z čehož = 2 u 2 = m. Poom 2 1 = + u = u 2 = 1 4 =15min, 2 = u = + u 2 = 3 4 =45min. 24. = 1200,8 = 150 = 2,5 min, odoroná zdáleno počáku a konce plab měřená po proudu řek je l =0,4 150 m = 60 m, loďka urazila dráhu = u = 134 m. 25. Sřed Měíce obíhá kolem ředu Země rchloí o elikoi M = km h 1, řed Země kolem ředu Slunce rchloí o elikoi Z = km h 1. Maimální rchlo pohbu Měíce ůči ředu Slunce pak je ma = Z + M = km h 1, minimální rchlo je min = = Z M = km h Ronice regree zíkaná pomocí Ecelu je = 4, ,0164+2,9987, poom a = 8,0 m 2, 0 =0,0 m 1, h 0 =3,0 m; =0,8; čae0,5 je =4m 1. bah Fzika je kolem ná (Poloha a její změn) Sudijní e pro řešiele F a oaní zájemce o fziku Io Volf Mirolaa Jarešoá Sloo úodem 3 1 Popi poloh ělea Jednorozměrný proor Příklad 1 jízda po dálnici Úloha1 jízdaepreu Úloha2 jízdaepreu Dojrozměrný proor Příklad 2 žebřík Úloha 3 ýška budo Úloha4 měřenízdálenoí Kóoané ouřadnice roině Příklad 3 přeno leeckého nímkoání Karézké ouřadnice Doplněk 1 férické ouřadnice Příklad 4 Polárka Úloha 5 úhloá ýška Slunce Zeměpiné ouřadnice Příklad 5 zeměpiná poloha Úloha 6 zeměpiná poloha Inerne Příklad 6 zdáleno na mapě Úloha7 zdáleno Inerne Jak ča záií na poloze objeku? Příklad 7 čaoá páma Úloha8 pámoýča Úloha9 leleadlem Příklad 8 rchlo člunu Úloha 10 zdálenoi Doplněk 2 o mapách Doplněk 3 GPS

2 6. Dle není nejeernější mío Binzar, ale ýběžek jeho blízkoi š., d., nejjižnější mío m j.š., d., nejzápadnější mío není Dakar, ale ýběžek blízkoi Dakaru š., z.d., nejýchodnější mío je ýběžek blízkoi Tooinu š., d.. 7. Pomocí chází km zde je měření oliněno různými ýškoými pohled, při práci alaem, kde jme e omezili jen na určiou ronoběžku. Podrobněji o om pojednáá Doplněk Vzdáleno lo S Peergurg zjišěná pomocí map je km, cea leadlem rá 1,15 hod., přičeme-li 1 hod. na změnu čaoého páma, pak do S Peerburgu leadlo doleí e 14 hod 9 min. Vleí-li leadlo ze S Peerburgu 19:00 hod, pak do la doleí zhledem k čaoému pounu 19 hod 9 min. Pomocí Inerneu ( je zdáleno lo S Peerburg km, cea leadlem pak rá 1,21 hod.. Vzhledem k ča. pámu leadlo doleí do S Peerburgu e 14 hod 13 min. Vleí-li leadlo ze S Peerburgu 19:00 hod, pak do la doleí zhledem k čaoému pounu 19 hod 13 min. 10. Podle map zdáleno Ahén (23, 5.d.) Beijing (117.d.) je km (čaoý poun je +8 hod - (+2 hod) = +6 hod), Cape Town (20.d.) Sockholm (18.d.) je km (není čaoý poun). Podle Inerneu je zdáleno Ahén Beijing km, zdáleno Sockholm Cape Town je km. Dále je ed Kapké měo. 11. p = 152 km h p = 142 km h a) p1 =33km h 1, p2 =45km h 1, p3 =8km h 1 ; b) = 5 hod 2 min; c) p =28,6; km h = 0 r a. Pro a 1 =5m 2 : m m 92,5 164, Pro a 2 =7,5 m 2 : m m Sloo úodem Kdž e čloěk e fzice dozí, že žije e čřrozměrném prooročae, může mí z oho nejpre rochu šok. Zkume i šak uo ěu blíže objani. Pokud e zamlíme nad ím, jak je o např. mapami, můžeme říci, že do roinné ploch umíme zabudoa rojrozměrný ě. Pokud bchom e na nějakou roinnou mapu podíali, uidíme zde bareně znázorněné hor a nížin, na přenějších mapách nalezneme aké údaje o nadmořké ýšce (např. Sněžka 1602 m), popř. i renice. To údaje nám nahrazují řeí prooroou ouřadnici. Analogickým způobem je možno popa aké děje reálném ěě. V běžném žioě íme, že e neačí domlui na chůzce ak, že i řekneme KDE e ejdeme; důležié je i o, KDY e ejdeme. Informace o ekání proo muí obahoa údaj o poloze (ři ouřadnice) a o době ekání (črá ouřadnice). Mío prooru jme popali pomocí čř ouřadnic: řemi prooroými a jednou čaoou jinak řečeno proádíme popi prooročae. Tao publikace je zaměřena na o, abchom i uědomili, že pro přený popi reali pořebujeme nejpre anoi údaje o poloze a čae; e během jeů a dějů pochopielně budou měni. Ča běží neuále a lze ho zaai např. jen na foografii. Souřadnice poloh e měni nemuí (ěleo je klidu) nebo e mění alepoň jedna z nich (naane pohb ělea). Naším úkolem býá čao předpoída další ýoj pohbu, a ak muíme naléz funkční záiloi, jak změn ouřadnic poloh záií na čae. om je e učili kinemaice; m e pokuíme naší brožuře podía na pohb z rochu jiného pohledu. Brožura, kerou ám předkládáme, je prní díl celého cklu Fzika je kolem ná. Mechanika bude rozpracoána 8 brožurách podle kapiol e aší učebnici. Důraz šak klademe na loa kolem ná. Tomu odpoídá jak ýklad, ak aké zolené problém k řešení. Problém bíráme ice jednoduché (pro zájemce o fziku), ale přeo podaně ložiější než školní úloh na procičoání probraných zorců. Pamaujme na o, že školká fzika nejou na ebe naazující zorečk, keré e muíe našroi, abe zládli píemk. Školká fzika b e ice měla opíra o poznak, ale podané je předeším použií ěcho znaloí prai, ed při řešení problémů. A na om je založen náš příup k mechanice. Auoři 15. = =( ) m = m Půodní měr: 1 =0,4; 2 =0,4; 3 =0,2; 1 =28,8 km h 1 ; 2 = =18km h 1 ; 3 =45km h

3 Čaoou záilo rchloi pohbu je pak možno přepa do aru = = 0 + a, j.{} =6,00 8,5{}. Po doazení hodno =0,3 doaneme =3,45 m 1. Přibližně ejný ýledek bchom měli aké obdrže ze klonu nakrelené ečn (zkue ami). h 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 = 4, , ,0008 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 br. 37 Graf záiloi ýšk nad porchem země na čae Úloha 26 olný pád míčku odporem proředí Analýzou ideozáznamu olného pádu míčku z ýšk 3,00 m bl zíkán o údaje: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 h m 3,00 2,96 2,84 2,64 2,36 2,01 1,56 1,04 0,44 a) Seroje z ěcho údajů bodoý graf Ecelu. b) Určee ronici regree jako polnomu 2. upně. c) Z ronice regrení funkce zjiěe počáeční rchlo a zrchlení pohbu. d) Napiše ronici rchloi pohbu záiloi na čae. e) Serojeečnukegrafučae0,5. f) Ze klonu ečn určee eliko okamžié rchloi pohbu a poroneje ji hodnoou zíkanou ýpočem. b) Počáek zolíme na začáku dálnice Brně; každý bod na dálnici má jednoznačně kladnou ouřadnici >0 (iz obr. 2b)). c) Počáek zolíme míě M mezi Prahou a Brnem; pak každé mío mezi M a Prahou má ouřadnici <0, mío mezi M a Brnem má ouřadnici >0 (iz obr. 2c)). V poledním případě lze kladné a záporné ouřadnice měni, j. mía mezi M aprahoumají>0, mezi M abrnemmají<0. a) b) c) >0 >0 <0 >0 P B P B P M B br. 2 Volba počáku oua ouřadnic Zbýá ješě čaoý údaj. Pro anoení čau na dálnici přijmeme planý ředoeropký ča, cházející z měření čau na 15.d., popř. planý lení ředoeropký ča 1 = +1h. Poom každé událoi na dálnici D1 můžeme přiřadi čaoprooroé ouřadnice (; ). Čaoé ineral mezi událomi, popanými ouřadnicemi ( 1 ; 1 ), ( 2 ; 2 )určímejakoδ = 2 1, zdálenoi mezi polohami Δ = 2 1. Příklad 1 jízda po dálnici Při jízdě po dálnici e řidič při průjezdu kolem značk 78 km podíal na hodink a zjiil čaoý údaj 14 h 28 min 30. Po nějaké době jízd přečel údaje 93 km, 14 h 36 min 00. Určee, jakou zdáleno řidič ujel, jaký ča přiom uplnul a jakou průměrnou rchloí jel. Ujeá zdáleno: =Δ =93km 78 km = 15 km. Uplnulý ča: =Δ =14:36:00h 14 : 28 : 30 h = 7 : 30 min. Průměrná rchlo p = =33,3 m 1 = 120 km h 1. Na principu záznamu poloh hmoného bodu jednorozměrném prooru jou založen železniční a auobuoé jízdní řád. Např. pro rau Praha Wien a zpě jme brali douměrný epre Anonín Dořák. 36 5

4 Graf na obr. 33 je grafem lineární funkce. Připomeňme i z maemaik její jádření e aru = k + q (obr. 34). Koeficien k = Δ jadřuje klon Δ (přeněji měrnici) přímk. Analogick aké na obr. 33 koeficien = Δ Δ (fzikálně rchlo) aké jadřuje klon přímk, enokrá záiloi dráh na čae ronici = + 0. Ronoměrně zrchlený pohb Předame i, že řidič našeho auomobilu e při é jízdě po dálnici doane do čaoé íně a začne ji řeši ím, že začne ronoměrně zrchleným pohbem e zrchlením o elikoi a zšoa rchlo auomobilu. Vzah pro rchlo ronoměrně zrchleného pohbu pak je = a + 0. Po- kud bchom znázornili uo záilo pomocí grafu, doaneme graf znázorněný na Δ 0 obr. 35. bdobně jako předchozím případě můžeme říci, že eliko zrchlení pohbu Δ a = Δ opě určuje klon přímk. Δ br. 35 Graf záiloi rchloi na čae Pokud bchom dále jádřili záilo dráh na čae, doaneme již dříe uáděný zah = 1 2 a , což je kadraická funkce proměnné. Graf éo funkce je znázorněný na obr. 36. Pokud bchom na éo parabole zolili nějaké da bod a pojili je, doaneme přímku. Sklon éo přímk je dán zahem 2 1 = Δ =. Pokud bchom bod B 2 1 Δ čím dál íce přibližoali k bodu A, bude e klon éo přímk poupně měni, a ečna parabol přejde poupně ečnu. Pokud bchom oo popali fzikálně, znamená o poupný přechod od rchloi průměrné k rchloi okamžié. Jinak řečeno: klon ečn pak určuje eliko okamžié rchloi daném čae A B 1 2 br. 36 Graf záiloi dráh na čae + + br. 3 Dojrozměrný proor I kdž obě o leží éo brožuře e odoroné roině, říkáme zpraidla oe oa odoroná, oe oa ilá (obr. 3). Je o praděpodobně důledek školní ýuk a zobrazoání na abuli. Jeliže práě pracujee počíačem a díáe e na monior, dáe nám za pradu. + X[, ] + br. 4 Bod e dojrozměrném prooru Každý bod X, umíěný roinné ouaě ouřadnic je přeně určen co do poloh upořádanou dojicí ouřadnic [; ] (obr. 4). Předpokládáme-li šak, že e čaem může poloha bodu X měni, muíme doda ješě čaoý údaj. Jednoznačné umíění bodu X je poom dáno řemi ouřadnicemi doj rozměrném prooru, j. můžeme pá X[, ; ]. Zde je příležio definoa mechanický pohb hmoného bodu: Ča e mění (empu fugi ča běží a zaaíme ho pouze e foografii), ale obě další ouřadnice e měni nemuí ( = kon., = kon. hmoný bod je klidu); jeliže e alepoň jedna ze ouřadnic poloh mění, jde o mechanický pohb. + X[, ; ] B d + A br. 5 Vzdáleno bodu od počáku Z údajů poloh bodu X můžeme urči zdáleno X (zdáleno bodu X od počáku oua ouřadnic). Z obr. 5 plne, že rojúhelník AX i BX jou praoúhlé, a proo X = d = becněji zolíme-li roině da bod A, B e ouřadnicemi [a 1,a 2 ] a[b 1,b 2 ], poom dokážeme anoi délku + úečk A[a 1,a 2 ; 1 ] a 2 + a 1 b 1 br. 6 Vzdáleno dou bodů B[b 1,b 2 ; 2 ] b 2 7 AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2. Muíme dá dobrý pozor na znaménko u ouřadnic; e ýrazu pro délku úečk muíme určoa rozdíl ouřadnic. Také zde dokážeme urči průměrnou rchlo pohbu mezi bod A, B, ao p = AB Δ, kde Δ = 2 1.

5 Příklad 14 enioý míček Tenioý míček po odpálení ilým měrem počáeční rchloí o elikoi 0 oupil až do ýšk 62,5 m. Jakou měl počáeční rchlo? Za jak dlouho dopadl na zem? dpor proředí zanedbeje, g =9,81 m 2. Pro pohb bez odporu proředí plaí = 0 g, = g2. Počáeční rchlo určíme ze zahu h m = 2 0 2g, z čehož 0 = 2gh m = 35,4 m 1. 2hm Doba pádu je p = = 3,57, g celkoá doba pohbu pak je T =7,1. Příklad 15 hopík m 1 35,4 0 3,57 7,1 br. 32 Rchlo pohbu enioého míčku Z balkónu e řeím paře hodil chlapec míček hopík měrem dolů počáeční rchloí 0. Míček opuil ruku e ýšce 15 m, dopadl na beonoou podložku a odrazil e rchloí ronou0,8 rchloi dopadu ak, že kočil zae do půodní ýšk, akže ho chlapec chil do ruk. Určee eliko rchloi 0. Úlohu budeme řeši odzadu. Po odrazu zíkal míček rchlo 2 = 2gh = =17,1 m 1, rchlo dopadu bla 21,4 m 1. Kdb padal míček z půodní ýšk olným pádem, dopadl b na zem rchloí 1 =17,1 m 1. Diferencí (21,4 17,1) m 1 =4,3 m 1 je dána eliko počáeční rchloi 0. Úloha 22 enioý míček Při eniu odpálil hráč míček e ýšce h =2,4 m odoroným měrem a míček dopadl mimo hřišě e odoroné zdálenoi 24,5 m od podáajícího. Jak elká bla počáeční rchlo míčku? Jakou rchloí dopadl míček na hřišě? Úloha 23 loďk 1 Pael a Hanka i půjčili lodičku k projížďce po řece. Říční proud má rchlo o elikoi u =0,4 m 1, eloáním dokáže Pael udrže rchlo o elikoi =0,8 m 1 ůči klidné odní hladině. Jak dlouho a jak daleko po proudu Úloha 3 ýška budo h l 1 l 2 d a br. 9 Měření ýšk budo Úloha 4 měření zdálenoí Výšku h budo obklopené drobnými abami nedokázali žáci gmnázia změři, a ak je napadlo jiné řešení pomocí proázku zjiili délk l 1 =42m,l 2 = 48 m a dokázali ješě změři zdáleno a = 12 m, ale ne již zdáleno d (obr. 9). Sačí o naměřené údaje k omu, ab e již dala urči ýška h budo? Pokud ano, počěe ji. Náod Zole počáek oua ouřadnic nedoupném bodě (obr. 9). Na adree najděe možnoi, keré ám Inerne pokuje: a) ezname e e základní mapou, foomapou a uriickou mapou okolí ého bdlišě, dále aké mapou okolí é škol, kerou našěujee. Pokue e orienoa e foomapě a užije možnoí, keré dáají funkce GPS a funkce Měření. b) Prohlédněe i určiou lokaliu (např. Václaké náměí Praze, okolí Sněžk Krkonoších, náměí Sobod Brně) a ezname e informacemi, keré můžee zíka užiím foomap. c) Podíeje e pomocí foomap na leišě Praha Ruzň a určee, jak dlouhé jou rozleoé a přiáací raneje. 1.3 Kóoané ouřadnice roině V prakickém žioě e leckd můžeme eka ím, že bchom pořeboali do dojrozměrné oua loži další ouřadnici. Může o bý čaoý údaj nebo údaj o ýšce bodu nad roinou, kerou mezují o ouřadnic,, keré obě zolíme e odoroné roině. V geomerii maemaici mleli, jak oo echnick proé (obr. 10). Na prní pohled b e zdálo, že řeí rozměr dělený pomocí dodakoé informace je něco neobklého. Podíáme-li e šak do uriické map (obr. 11), poom u řad ýznamných bodů najdeme údaj o nadmořké ýšce. Dokonce pro lepší předaio nacházíme na podrobnější mapě členio erénu doplněnou o z. renice (pojnice mí o ejné nadmořké ýšce), zpraidla ýškoém rozdílu po 5 m či 10 m, a o šrafoání, jadřujícím geomerii porchu (prudké či pozolnější oupání). 32 9

6 Poom a n = Δ n Δ = Δ Δ = Δ r Δ = 2 r. Pokud bchom zaedli mío jednokoých ekorů e měru roinných ouřadnic a jiné da ekor, a o 0 jednokoý ečný ekor, pak i můžeme j pá, a že = Δ Δ 0, 0 jednokoý normáloý ekor, a n pak plaí, že n = 2 r n0. Zrchlení pohbu je poom dáno zahem a a = a + n = Δ Δ r n0. Veliko zrchlení je dána zahem (Δ ) 2 ( ) 2 2 = + a. Δ r Příklad 13 auomobil zaáčce Auomobil jede zaáčce o poloměru r =50maprůběhu5zýšíou rchlo z hodno 0 =18km h 1 na =54km h 1. Určee zrchlení pohbu a dráhu, kerou při om auomobil urazí. Tečné zrchlení má eliko a = Δ Δ = 10 5 m 2 =2m 2. Normáloé zrchlení na počáku úeku má eliko a n0 = 2 0 = 52 r 50 m 2 =0,5 m 2, normáloé zrchlení na konci úeku má eliko a n =4,5 m 2. Veliko celkoého zrchlení a 0 = a = a 2 + a2 n0 = ,5 2 m 2 =2,1 m 2, a 2 + a 2 n = ,5 2 m 2 =4,9 m 2 Dráha, kerou při om auomobil urazil, je pak dána zahem = 2 r = m 2 = 1.4 Karézké ouřadnice Podíáme-li e do olného dolního rohu mínoi ( obýáku, učebně), můžeme pozoroa ři kolmice, jež e ýkají jednom bodě, z. počáku zaedené oua ouřadnic. Danému bodu X daném čaoém okamžiku přiřadíme ři ouřadnice poloh: z bodu X puíme kolmici k roině, její délka je zároeň ouřadnice z, z = XX p (je-li z>0, je bod X nad roinou, pro z < 0jebodX pod roinou ). Nní e nacházíme roině, níž budeme popioa polohu bodu X p ; zíkáme ouřadnice,. z X[,, z; ] z X p br. 12 Zaedení karézké oua ouřadnic Celkoě ed máme pro polohu bodu X čři ouřadnice,, z;. bdobně jako roině zaedeme rojrozměrném prooru ři jednokoé ekor, i z z, k a polohoý ekor r (plaí X = r ). j Dle obr. 13 zapíšeme X = r r + i + j zk, X = = k z 2. j r i Analogick jako dojrozměrném prooru můžeme pro zdáleno dou bodů A[a 1,a 2,a 3 ]ab[b 1,b 2,b 3 ] rojrozměrném X p prooru pá (užiím lanoí karézké br. 13 Karézká ouaa ouřadnic oua ouřadnic) AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) 2. Při popiu pohbu poom zjišťujeme, zda při čaoé proměně Δ došlo či nedošlo ke změně alepoň jedné ze ří ouřadnic poloh. = 1 2 ( 0 + ) =50m

7 Úloha 19 priner Spriner na kráké raě (např. 100 m) e při aru z bloků nejpre ronoměrně zrchleně rozbíhá ak, že za 5,5 urazí 33 m a po zbýající čái rai běží ronoměrně ouo doaženou rchloí. Nakrelee graf záiloi elikoi rchloi na čae a určee, za jak dlouho uběhne dráhu 100 m. Úloha20 priner rekordman Rekordmani na ěoém žebříčku (na 100 m) uběhnou prních 33 m za 4,8. Jakého ýledku doáhnou, běží-li až do cíle ronoměrně? Náledující úloha e poněkud liší od úloh předchozích, kd jme pohbující e objek nahrazoali hmonými bod. V případě náledující úloh je již nuné uažoa rozměr pohbujících e objeků. Úloha 21 rambu Rozměrný náklad, kerým je přeážen aební jeřáb, má délku 32 m a jede álou rchloí 45 km h 1. Trambu lekem o celkoé délce 18 m dojíždí eno náklad rchloí 54 km h 1. Ve zdálenoi 24 m za koncem nákladu řidič rambuu zkonroluje, zda je olná raa, a začne předjíždě. Předjíždění ukončí okamžiku, kd zadní čá rambuu je e zdálenoi 20 m před nákladem. Určee, jak dlouho rá předjíždění a jaké zdálenoi obě ozidla urazí. 2.4 Roinný neronoměrný pohb Ukázali jme i, že roině můžeme okamžiou polohu hmoného bodu poměrně nadno jádři pomocí z. polohoého r ekoru (), kerý e může čaem měni. Vjádříme-li r 1 = 1 i + 1 j, r 2 = 2 i + 2 j, poom Δr = r 2 r 1 =Δi +Δj. Proože změna naáá za dobu Δ, pak Δr Δ = Δ Δ + Δ Δ. j i Jeliže i anoíme, že Δ Δ =, Δ Δ =, poom Δr Δ = + i. j 28 X 1 r 1 X 2 r 2 br. 27 Polohoý ekor Silice proíná nebekou féru bodě Z Z (zeni = nadhlaník), ilá roina obahující bod P, Z, P S proíná maemaický P S horizon bodech N (eerní bod obzoru), N E S (jižní bod obzoru) a pomocí průchodu P Slunce ouo roinou určujeme z. míní S poledne, na jehož základě definujeme z. W míní ča daném míě. Silá roina kolmá k éo roině proíná maemaický br. 15 Maemaický horizon horizon bodech E (ýchodní bod obzoru) a W (západní bod obzoru). Každý objek na nebeké féře je daný okamžik charakerizoán děma údaji, keré pochopíme, budeme-li e día na oblohu arým námořním dalekohledem, upeněným oáčiě e ojanu. Nejpre zaměříme dalekohled na eerní bod obzoru a měrem pohbu hodinoých ručiček oáčíme dalekohledem kolem ilé o ak dlouho, až refíme měr na přílušný objek ; eno úhel označíme A (azimu). Poom budeme ou dalekohledu zeda měrem zhůru, až e ooý kříž dalekohledu dokne objeku; úhel měru o odoronou roinou označíme h (ýška). Víme, že 0 A 360,0 h 90 (pro zeni). Kůli obecnoi muíme záži, že proipól zeniu je bod N (nadir, podnožník ne podhlaník), jemuž odpoídá h = 90. Výška objeku na nebeké féře může doahoa hodno 90 h 90. Proože nebeká féra rouje kolem ěoé o P S P, mění e průběžně čaem obě ouřadnice A, h, a ak aronomoé po nějaké době ouau obzorníkoých ouřadnic opuili: zajímaé je, že pro dě z. álice e ice ouřadnice A 1, A 2, h 1, h 2 mění, ale jejich rozdíl ΔA, Δh zůáají álé. Vbereme-li i hodný referenční bod na obloze, hodí e pro rchlou orienaci. Příklad 4 Polárka dhadněe úhloou ýšku Polárk nad obzorem. Vezmeme papír a pomocí úhloměru označíme úhl po 5. Papír přiložíme kolmo na odoronou deku (obr. 16) a hledíme pře papír měrem k Polárce. Přiložíme oko k míu a špendlíkem propíchneme papír ak, že je přeně mezi okem a Polárkou. Přečeme údaj (ai 50 ). 13 br. 16 Princip eanu

8 Doba pohbu je = 200, nejšší rchlo je m = 20 m 1, dráha m. Uažujme nejpre (jako minulém příkladu), že e lakoá oupraa rozjíždí po dobu 1 = 100, zaauje po dobu 2 = 100, koncoá rchlo při rozjíždění (a počáeční rchlo při zpomaloání) je m, poom dráha rozjíždění m br. 25 Pohb laku 1 = 1 2 m 1 = m, dráha pro zpomaloání 2 = m, ed celkoá dráha = = m < m? Zkume naopak urči zrchlení a 1 = a 2 = 2 m = m 2 =0,083 m 2, poom doba rozjíždění 1 = 2 = = 240 >! Muíme ed jí m 20 z jiného modelu pohbu elekrické lakoé oupra, a o dle úah na začáku éo kapiol: lakoá oupraa e rozjíždí po dobu 1,urazídráhu 1,pakjede ronoměrným pohbem po dobu 2 aurazídráhu 2 ; nakonec zpomaluje po dobu 3 = 1 aurazídráhu 3 = 1.Prooplaí = = a =. Muíme šak pá aké m 1 + m 2 =. Proože = aoučaně m m =, doaneme po úpraě 1 = = =80. m 20 dud 3 = 1 =80, 2 =40, 1 = 1 2 m 1 = 800 m, 2 = m 2 = 800 m. Graf e práných proporcích je pak znázorněn na obr. 26. Úloha 14 auomobil br. 26 Pohb laku Moderní auomobil poiloačem brzd dokážou inou zpomalení 5 m 2 až 7,5 m 2. Určee, za jak dlouho a na jaké dráze zaaí auomobil, jedoucí rchloí 90 km h 1 (120 km h 1,144 km h 1,180 km h 1 )podálnici, jeliže reakční doba (doba od zpozoroání překážk na ilnici po začáek brždění) je 1,2. Údaje eae do abulk. 180.d. měrem na ýchod, maemaick 0 ; 180 a0 až 180 z.d. měrem na západ, maemaick 180 ;0. Úhel, kerý írá pojnice MS daného mía e ředem ideální koule roinou roníku, e nazýá zeměpiná šířka ϕ a doahuje 0 až 90.š., maemaick 0 ;90 na eerní polokouli a 0 až 90 j.š., maemaick 90 ;0 na jižní polokouli. V daný okamžik má ed každý objek jednu upořádanou dojici (λ; ϕ). Problém je om, že kromě malých člunů na oceánech (ale i am o nebude plai přeně), má určié mío ješě z. nadmořkou ýšku h. V ouiloi pohbem objeků po porchu Země e mohou ouřadnice poloh měni čaem a k jednoznačnému jádření e muíme jadřoa čaoprooroě. Změn polohoých ouřadnic nacházíme jednak na mapách, moderní době nám je aké udáají elmi přeně meod užíající měření GPS. Příklad 5 zeměpiná poloha Podle údajů ze zeměpiného alau určee nejeernější, nejjižnější, nejzápadnější a nejýchodnější bod koninenu Afrika. Dle alau je nejeernější mío Binzar (Bizera) 10.d., 39.š., nejjižnější mío Cape Agulha (Sřelkoý m) 20.d., 35 j.š., nejzápadnější mío Cap Ver u Dakaru 17 z.d., 15.š., nejýchodnější mío Tooin 52.d., 12.š.. Poznámka V zeměpiné lierauře e uádí, že nejeernější bod je m Rá Ben Sekka (Tuniko) š., nejjižnější bod je m Cape Agulha (JAR) j.š., nejzápadnější bod je m Poine de Almadie z.d. a nejýchodnější mío je m Rá Hafun d.. Úloha 6 zeměpiná poloha Inerne ěře ýledk příkladu 5 pomocí Inerneu na Jak e ýledk liší? Příklad 6 zdáleno na mapě Zjiěe, jak daleko jou leošní olmpijké hr Pekingu (Beijing) od mía jejich zrodu Ahénách. V alau zjiíe, že e zeměpiná šířka obou mí příliš neliší (Ahén ϕ A =38.š., Beijing ϕ B =40.š.). Měření alau proeďe 26 15

9 úek zrchlení 1 = = 500 m (obah rojúhelníku 1 ), pro úek zpomalení je 3 = = m. Celkoá dráha, kerou elekrolak urazil, je = =3500m,aozadobu = 250. Průměrná rchlo p =14m 1 =50,4 km h 1. m 1 Při ýpoču průměrné rchloi ed můžeme říci, že lichoběžník z obr. 20 nahrazujeme obdélníkem (jehož jedna rana jadřuje ča) o ejně elkém plošném obahu (j. druhá rana obdélníku předauje průměrnou rchlo p ). Příklad 11 jízda merem br. 20 Pohb laku mera Vlak mera (nebo jiný elekrolak) zdoláá rau mezi děma anicemi o zdálenoi m ak, že doáhne nejěší rchloi 54 km h 1 a hned brzdí po ejné rae jako e rozjíždí. Jak dlouho rá jízda mezi anicemi a jaká je jeho průměrná rchlo? Pro rozjíždění plaí 1 = , z čehož 1 = 2 1 = Analogick bchom určili dobu zpomaloání 2 = 1 = 120. Pro celkoou dobu pohbu pak plaí = = 240. Průměrná rchlo pohbu je pak dána zahem p = m =7,5 m =27km h m br. 21 Jízda mera mezi děma anicemi Vidíme, že prní čái pohbu při zrchloání je rchlo lineární funkcí čau (ručněji: rchlo zrůá ronoměrně čaem), ed, což použiím konan a zapíšeme = a, kdea = je z. zrchlení pohbu (akcelerace). Po doažení nejěší rchloi k e rchlo naopak zmenšuje lineárně čaem, j. = k a. Příklad 7 čaoá páma Sanoe, jak e liší čaoé údaje Praze a Sdne či San Franciku. Praha leží na d. a zimě ní plaí z. ředoeropký ča GT + 1 h, Sdne na 151 a plaí z. ýchodoauralký ča GT + 10 h, San Francico na 122 z.d. a plaí z. pacifický ča GT - 8 h. Podle zeměpiných údajů je rozdíl zeměpiných délek mezi Prahou a Sdne 137, j. čaoý rozdíl 9 h, pro San Francico je rozdíl 137, j. čaoý rozdíl 9 h. To údaje odpoídají. Pozor muíme dá při zaádění leního dekreoého čau. Úloha 8 pámoý ča Na i najděe helo Pámoý ča (zone ime) a prouduje ho. Uděleje i přehled o změnách pámoého čau. Jak můžee předběhnou ča? Úloha 9 le leadlem Přeně e 12:00 h leíe leadlem o průměrné rchloi 900 km h 1 změa lo do S Peerburgu. Zpě leí leadlo ze S Peerburgu 19:00 h. Kd doleíe do S Peerburgu a kd zpě do la? Příklad 8 rchlo člunu Chmurné fuuriické předpoědi naznačují, že koncem léa 2015 b mohlo bý kolem eerního pólu olné moře. Přeně na míě 0.d. a 89.š. e nachází člun ýzkumník, keří chějí oěři, že eno den lze zaai ča, j. doáhnou oho, že e mohou pohboa ejnou relainí rchloí jako Slunce (a bude ed ále 12:00 h). Jakou rchlo muejí inou? Do eerního pólu zbýá 1, j. 111 km, obod kružnice, ledující 89. ronoběžku, činí 697 km, což znamená zíka rchlo 29 km h 1 =15,7 uzlu. Toho lze mooroým člunem doáhnou. Zbýá řeši problém z. daoáním. Ča e zaaí, ale na daoé čáře je nuno přičí celý den. Toho ed doáhnou nelze. Úloha 10 zdálenoi Co je dál? Beijing od Ahén nebo Kapké měo od Sockholmu? Údaje o poloze i najděe alae nebo na Jak je o čaoým rozdílem? 24 17

10 Příklad 9 le leadlem Leecký peciál leí bez mezipřiání z Prah do kanadkého Vancoueru ak, že podaě leduje 50. ronoběžku. Celá raa bez aroního a přiáacího manéru rá necelých 10,5 h. Určee průměrnou rchlo leadla. Dále al doaz, zda b neblo ekonomičější leě pře eerní pól. Jak dlouho b rala raa při doažení ejné průměrné rchloi? rienační údaje o poloze: Praha 50.š., 14,5.d., Vancouer 49.š., 123 z.d.. Úlohu budeme řeši zhledem k ronoběžce 49,5. Délka ronoběžk (R = = km) je l =2πR co ϕ = km, na 1 připadá 72,2 km, rozdíl zeměpiných délek je 137,5, j km. Průměrná rchlo p = 945 km h 1. Traa pře eerní pól: délka poledníků je l 180 = km, na 1 připadá 111 km, z Prah na eerní pól je o 40, z pólu do Vancoueru 41,edje o celkem 81, j. raa km. Čaoě je při ejné průměrné rchloi doba leu 9 h 30 min. pimální raa b měla bý edena po z. loodromě, j. kružnici o ejném poloměru jako je poloměr kuloé Země, ašak roině, kerá obahuje řed Země a obě zolená mía. Poznámka: Teno ýpoče je šak jen přibližný, pokud bchom chěli počía přeněji, je řeba uažoa ím, že leadlo leí e ýšce 10 km nad mořem a proé přílušné přepoč údajů proeďe ami. Příklad 10 ceoání lakem Podle Inerneoého hledáače pojení lze ceu ze Sockholmu do Prah lakem aboloa ak, že e nejpre dáme e 23:06 h do Häleholmu, kam lak NZ 1 dorazí e 4:45 h po aboloání 508 km. V 5:42 h přeedneme do oobního laku 1019 a po 117 km dorazíme do Koebenhanu, kde 7:42 h přeedneme do epreu ICE 38 a po ujeí 662 km dorazíme e 14:27 h do Berlína. V Berlíně přeedneme e 14:35 h do epreu EC 379 Carl Maria on Weber, kerý ná doeze po ujeí 394 km 19:18 h do anice Praha Holešoice. Určee průměrnou rchlo jednoliých úecích i na celé rae. 22 Někeré lužb prohlížeče googleearh.com e šak neobejdou bez použií GPS, čímž e budeme zabýa náledujícím doplňku Doplněk 3 GPS Na záěr éo kapiol i ješě něco řekneme o měření poloh a její změn dne, neboli o Globálním Polohoém Sému (GPS). GPS inulo Miniero obran USA. Too zařízení blo půodně inuo pro ojenké účel. Prní družice ému GPS bla pušěna roce 1978, ašak plně funkční e ém al roce GPS e kládá ze 24 družic, kroužících okolo Země e ýšce ai 18 iíc kilomerů. To družice ílají ignál, keré jou zachcen přijímači GPS, en je pak užíá ke zjišění é poloh na Zemi. Poloha na Zemi je po zpracoání da uedena pomocí zeměpiné délk, šířk a ýšk nad porchem Země. Princip práce GPS Jak již blo dříe uedeno, přijímač GPS počíáá ou přenou polohu pomocí měření z družicoých rádioých ignálů, keré pak dále zpracoáá. Sém pracuje na geomerickém principu, kerý i nejpre popíšeme na příkladu roině, pak přejdeme do prooru. Předae i, že e nacházíe na nějakém ám neznámém míě. Pokáe čloěka a zepáe e ho, kde e nacházíe. n ám odpoí, že někde e zdálenoi 20 km od Čálai. Tao informace není příliš Čála Chrudim doačující, proože geomerick o znamená, že je někde na kružnici, jejíž řed je Čálai a poloměr br. 38 Dě kružnice éo kružnice je 20 km. Zepáe-li e znou na oéž dalšího čloěka a en ám odpoí obdobně, že je e zdálenoi 14 km od Chrudimi, můžee již na základě ěcho informací nakreli dě kružnice, keré e pronou e dou bodech (obr. 38). Nní už íme, že přicházejí úahu dě mía, kde bchom e mohli nacháze. Abchom zjiili, keré Čála z ěch dou mí o je, pořebujeme ješě řeí informaci. Kdž e objeil další čloěk, odpoěděl na Chrudim oázku o naší poloze, že e nacházíme 27 km od Halíčkoa Brodu. Halíčků Brod Serojíme ed ješě řeí kružnici, a a nám již pokne přenou informaci o naší poloze (obr. 39). Dík poupu ří kružnic zjiíme, že e nacházíme blízkoi Sečké přehrad. br. 39 Tři kružnice 19

11 Na ejném principu pracuje GPS. V omo případě, proože jme prooru, šak mío ří kružnic budeme pořeboa čři kuloé ploch, jejichž řed e budou nacháze na čřech nezáilých družicích. Pak bude ješě řeba zjii poloměr ěcho kuloých ploch. Ted přijímač GPS muí zjii pomocí ignálů a družic ému GPS ou přenou zdáleno od každé ze čř družic. Jeliže přijímač GPS obdrží ignál od čř družic, je chopen urči ou polohu prooru. Na základě údajů o Zemi pak přijímač píše na dipleji zeměpinou délku, šířku a ýšku nad porchem Země. Tím, že i přijímač GPS naměřené údaje uchoáá, může počía aké akuální (okamžiou) rchlo, průměrnou rchlo a uraženou zdáleno. Z našich úah dále plýá, že k omu, ab přijímač GPS určil polohu objeku, pořebuje da údaje: polohu nejméně čř družic ému GPS a zdáleno mezi objekem a každou z ěcho družic. Zjišění poloh družic e opírá o kuečno, že e pohbují ai 18 iíc kilomerů nad porchem Země (dále aké uažujeme, že amoféra éo ýšce nemá li). Pak je možno zdáleno poměrně nadno odhadnou, proože přijímač má paměi informace o pohbu šech družic kerémkoli čaoém okamžiku. Určiý problém zde ale přece jen naáá: graiační půobení Slunce a Měíce malé míře rajekorie pohbu družic oliňuje. Z ohoo důodu Miniero obran USA leduje přeun poloh družic a ílá případné opra do šech přijímačů GPS (jako oučá ignálu ílaného družicí). Při měření zdálenoi e ém opírá o zah =, kde je rchlo šíření rádioých ln, je doba šíření ln z družice do přijímače. Zde ale naáá další problém, že rádioé ln e ice e akuu šíří rchloí ěla c, ale amoféra eno pohb zpomaluje. Přijímač GPS odhaduje kuečnou rchlo ignálu pomocí ložiých maemaických modelů zahrnujících obě i celou řadu amoférických podmínek. Jako oučá ého rádioého ignálu ílají družice i informace o počaí. Kromě měření rchloi je šak řeba aké změři ča. K omu je řeba, ab ílač a přijímač měl nchronizoané a přené hodin. Každá družice aké k čau přidáá ůj kód, podle kerého přijímač rozpoznáá ignál jednoliých družic. Poznámka Ve kuečnoi je o e nchronizací ak, že družice mají nejpřenější aomoé hodin, zaímco přijímač GPS méně finančně nákladné hodin křemíkoé (z důodů přijaelné cen GPS přijímače). Přenoi aomoých hodin pak přijímač doahuje ak, že měří chbu ého ému a podle ní uprauje ýpoč. Na záěr je ed možno říci, že přijímač GPS při é práci proádí značné množí ýpočů (ýpoče přené poloh každé družice, doba než ignál dorazí z družice do přijímače, zjišťoání chb ých niřních hodin). Věšina přijímačů pak kombinuje o údaje ješě např. mapami, což značně unadňuje jejich použíání. GPS přijímačů dne eiuje celá řada majících různou úroeň proedení a omu odpoídajích cenoých relacích. S ohledem na uo kuečno eiují u někerých přijímačů určiá rchloní a eploní omezení, kerá je řeba dodržoa, ab přijímač GPS práně fungoal e mezených podmínkách (hp:// 2 Změn poloh a ča Je zajímaé, že prakickém žioě e málokd naupuje do rozjeého dopraního proředku nebo naopak e z jedoucího ozidla málokd upuje. Ve arých pražkých ramajích, keré neměl deře a naupoalo e do oeřeného prooru, o 1 blo dokonce příně zakázáno a za eno přeupek bla uděloána pokua. br. 19 Sará ramaj Na rozdíl od reali e žáci e škole učí zlášť o pohbu ronoměrném přímočarém jako nejjednodušším modelu pohbu, ale ímo pohbem e dopraě ekááme málokd. 2.1 Průměrná rchlo V někerých případech je pro naše odhad důležié nebo ýhodné zjednoduši pohb ělea naolik, že ná období rozjíždění z klidu a zíkáání určié rchloi, popř. brzdění, změn rchloi důledku oho, že je naší poinnoí přizpůobi jízdu ozoce a dopraním podmínkám, zae olik nezajímají. V ěcho případech je důležié zná, jakou dráhu ěleo urazilo a jaký ča uplnul. Podíl ěcho údajů p = e nazýá průměrná rchlo. Z prae íme, že např. při jízdě po dálnici e kuečná rchlo é průměrné může blíži, ašak pro případ jízd členiým erénem ozidlo ěšinou éo rchloi nedoahuje. Zapamaujme i základní poučku: průměrnou rchlo ělea počíáme, jeliže celkoou dráhu, kerou ěleo urazilo, dělíme celkoou dobou, kerou na o pořeboalo

12 1.8 Doplněk 2 o mapách... V našem eu jme e zaím zabýali určoáním zdálenoí použiím map. Přeno určení zdálenoi ímo způobem je šak oliněna mapou, kerou k omu použijeme, což je mj. aké dáno ím, jakým způobem je mapa ořena. Základním problémem, kerý je nuno při orbě map řeši, je promínuí poloh bodu na zemkém porchu do roin map. Než e začnou promía poloh jednoliých bodů na zemkém porchu, je řeba oři z. referenční plochu. Členiý zemký porch e proo nejpre nahrazuje z. nuloou hladinoou plochou. Nuloé hladinoé ploch jou uzařené ploch, keré jou každém bodě kolmé k íhoé íle. To nuloé ploch pak ářejí základní plochu zemkého ělea, keré e nazýá geoid. Jelikož geoid je pro ůj ložiý ar nehodný k dalšímu maemaickému zpracoání, nahrazuje e roačním elipoidem, a proože eno zemký elipoid má jen malé zplošění, nahrazuje e mnoha případech koulí. Přeně znázorni porch ýše popaných ploch do roin není možné, a proo e prai použíají různé p projekcí ohledem na požadak, keré na map klademe. Pokud bchom chěli zobrazi malé území, což je např. území naší republik, použijeme konformní zobrazení 1 (nezkreluje úhl, přené znázornění zdálenoí a ploch). Too zobrazení e šak nehodí pro map ěa, o pak nežádoucím způobem oliňuje přeno určoání elkých zdálenoí na mapě. Zabýa e ím šak dále nebudeme (překročilo b o rozah ohoo eu), ale přeo je nuné brá uo kuečno úahu. Čao e ukazuje jako hodnější použí éo iuaci glóbu, ale i en má é přednoi i nedoak. Mezi elké ýhod paří např. oření názorného geomerického modelu krajin, lepší možno měření elkých zdálenoí než na roinné mapě. Budeme-li šak mí pouze plošný glóbu, pak naáá iuace, že e liší elikoi renic na glóbuu od elikoí renic na roinné mapě, což je způobeno odlišným způobem promíání renic na roinnou mapu a glóbu (eno problém je podrobněji rozebrán např. [1]). V omo případě je nuno použí roinnou mapu. Při měření elkých zdálenoí dne je elkým pomocníkem Inerne, jak blo již dříe uedeno. Sačí oeří prohlížeč googleearh.com, zada do pařičných mí požadoané údaje, počíač pak še hodnoí a píše ýledek. Prohlížeč googleearh.com pokuje elmi kaliní informace dík omu, že na porchem Země krouží e ýšce 681 km družice GeoEe 1 a obleí Zemi danáckrá za den.bližší údaje o éo družici je možno naléz na Inerneu, např. na ránkách hp:// Google-nabidne-nejpodrobneji -aelini-nimk-ea/c-3-a /defaul.ap. 1 Podrobně je možno naléz např. publikaci: [1] NVÁK, V.; MURDYCH, Z. Karografie a opografie. Praha: SPN, km Sockholm Häleholm: 1 = 508 km, 1 =5h39min, p1 = 5,65 h = =90km h 1. Häleholm Koebenhan: 2 = 117 km, 2 =2h, p2 =58,5 km h 1. Koebenhan Berlín: 3 = 662 km, 3 =6,75 h, p3 =98km h 1. Berlín Praha: 4 = 394 km, 4 =4,72 h, p4 =83,5 km h 1. Celkoě p = km 20,2 h =83,2 km h 1. Úloha 11 průměrná rchlo 1 Na rai Paříž- Lon Mareille jezdí rchlolak TGV; jeden z nich opouší Pařížké Lonké nádraží 6:16 h a Mareille po ujeí ra 499 km je 9:33 h. Určee jeho průměrnou rchlo. Úloha 12 průměrná rchlo 2 Nejrchlejší epre na rai Moka S Peerburg urazí rať o délce 639 km za dobu 4:30 h. Jaká je jeho průměrná rchlo? Úloha 13 průměrná rchlo 3 Cklia jel po rae 72 km ak, že ceu am urazil za dobu 2 h 12 min, zpáeční aboloal 60 km rchloí 45 km h 1 a zbek muel jí pěšk za 1,5 h. Určee a) průměrnou rchlo jednoliých úecích, b) dobu pohbu, c) průměrnou rchlo na celé rae. 2.2 Jednoduchý model jednorozměrného pohbu Při jízdě lakem mera nebo jiného elekrolaku e bude eno dopraní proředek pohboa ako: nejpre e po dobu 50 rozjíždí, až doáhne rchloi 72 km h 1, poé e 100 pohbuje ouo rchloí a náledujících 100 brzdí, až zaaí náledující anici. Pro lepší pochopení našich úah i zakrelíme graf (); j. znázorníme, jak e mění rchlo záiloi na čae. Proo ješě budeme předpokláda, že zšoání i nižoání rchloi naáá lineárně e změnami čau. V době od 50. do 150. ekund e ozidlo pohbuje ronoměrně a urazí dráhu 2 = 0 2 = m. Můžeme ed pozoroa, že grafu () (obr. 20) je dráha prezenoána obahem obdélníka 2.Pro 18 23

13 na ronoběžce 39, poroneje ýledk měření zdálenoi alau ýledk měření pomocí glóbuu. Měřením e školním zeměpiném alau chází zdáleno ai km, měřením pomocí glóbuu chází zdáleno ai km. Úloha 7 zdáleno Inerne Pokue e oěři ýledek příkladu 7 měřením na Pokue e o zdůodnění případných rozdílů. 1.7 Jak ča záií na poloze objeku? Naše Země rouje kolem é o dobou roace 23 h 56 min 04, j d aroěku íme, že z. řednílunečníden, j. řední čaoý ineral mezi děma po obě náledujícími horními kulminacemi Slunce je šak roen 1den=24h= Budeme-li e pohboa po 50. ronoběžce, zjiíme, že doba kulminace Slunce (praé poledne), e bude čaoě pounoa za dobu 24 h e Země oočí cca o 360, což činí úhloou rchlo 15 /h. Mía, jejichž zeměpiná délka e liší o 15, i mohou oli ča rozdílný o 1 h. Tak znikla mšlenka z. pámoého čau. Za základ bl r doporučen ča na nulém Greenwichkém poledníku (z. ěoý ča - Unieral Time UT nebo Greenwich Mean Time GMT), zaný někd World Time WT. Čaoá páma pak užíají přeážně čaoé údaje podle ředního poledníku (0.d., 15.d., 30.d.). Z prakického důodu šak neledují jen zeměpinou délku, ale i hranice áů nebo oblaí (např. Aurálii e užíají ao čaoá páma: Weern Auralia GT+8 h ( d.), Souh Auralia GT+9 h 30 min ( d.), New Souh Wale GT+10 h ( ). Měli bchom i zjii, zda daných míech neplaí ezónní změna čau (lení či zimní ča). Poznámka: Málokdo již dne í, že minuloi bl nulý poledník pounu na západ ak, že procházel zoleným míem na oroě Ferro (Kanárké oro, dne Hierro), ale eno údaj najdee ješě na elmi arých mapách z konce 19. oleí. Prodráhuronoměrnězrchleného pohbu nuloou počáeční rchloí (obr. 21) ed plaí = a, = 1 2 = 1 2 a = 1 2 a2. Jde-li o pohb, při němž e hmoný bod zrchluje z počáeční nenuloé rchloi 0 (obr. 23), poom = 0 + a, aed = a = 1 2 br. 22 Ronoměrně zrchlený pohb počáeční rchloí 0 =0 = 1 2 ( 0 + ) = 1 2 ( a) = a2. V případě ronoměrně zpomaleného pohbu počáeční rchloí o elikoi 0 (obr. 24) bude = 0 a, aed = 1 2 ( 0 + ) = 1 2 ( a) = a2. Podíejme e na iuaci, kdž ěleo zaaí. Ze zahu = 0 a muí nuně jí okamžiá hodnoa rchloi =0m 1,ed0= 0 a z. dud lze urči dobu nunou k zaaení z = 0 a dráhu nunou k omuo zaaení a b = a 2 a 2 0 a 2 = 2 0 2a. 0 = 0 + a = 1 2 ( 0 + ) br. 23 Ronoměrně zrchlený pohb počáeční rchloí 0 Příklad 12 elekrická lakoá oupraa 0 = 0 a = 1 2 ( 0 + ) z br. 24 Ronoměrně zpomalený pohb počáečnírchloí 0 Elekrická lakoá oupraa e rozjíždí i zaauje na ejně dlouhé rae a od okamžiku, kd e rozjíždí ze anice, až do okamžiku zaaení urazí za dobu 3 min 20 rau 2,40 km, přičemž doáhne nejšší rchloi 72 km h 1. Určee další paramer pohbu lakoé oupra

14 Úloha 5 úhloá ýška Slunce Zjiěe úhloou ýšku Slunce nad obzorem přeně poledne ( lením období o bude ai e 13 hodin). Vužije k omu délku d ínu ilé če o délce h (obr. 17) a zahu g α = h d. Do Slunce e nedíeje! h α d br. 17 Úhloá ýška Slunce Úloha 15 leadlo Velké dopraní leadlo přiáá rchloí ai 240 km h 1.Podobu5po doku ranejí ronáá ronoáhu a poom brzdí ak, že e během 50 zaaí. Jak dlouhou brzdnou dráhu pořebuje k bezpečnému přiání? Jaké je zpomalení leadla? 2.3 Několik problémů o rchloi V éo čái i hrneme doaadní probrané poznak při řešení různých problémů. 1.6 Zeměpiné ouřadnice V hodinách zeměpiu e dozídáme, že každému míu na porchu Země odpoídají určié zeměpiné ouřadnice. Jou jimi zeměpiná šířka ϕ (doahující 0 ϕ 90.š., 0 ϕ 90 j.š.), zeměpiná délka λ (doahující 0 λ 180.d., 0 λ 180 z.d.) a amozřejmě z. nadmořká ýška (k níž zolíme jakoui základní (nuloou) referenční ýšku a objek nad ouo úroní mají h>0 Mon Blanc m, objek pod ouo úroní mají h<0 Mré moře 412 m). Podíejme e na zeměpiné ouřadnice z pohledu fzikálního. Tar Země zjednodušíme na ideální kouli, a poom e pokuíme ěli zah zeměpiných a férických ouřadnic. Země má ou roace, kerá proíná porch Země bodech P N (eerní zeměpiný pól) a P S (jižní zeměpiný pól), P N M a prochází ředem Země (obr. 18). Roin kolmé k éo oe mezují na porchu Země kružnice, keré e nazýají ronoběžk, o různých poloměrech. Poloroin S ϕ λ obahující ou roace a dané mío M proínají porch Země půlkružnicích, keré nazýáme poledník (meridián). Ve šech míech jednoho poledníku dochází e ejném okamžiku k horní kulminaci Slunce P S (j. naáá poledne). br. 18 Zeměpiné ouřadnice Poledník, procházející známou hězdárnou Greenwich Londýně, označíme jako nuloý. Úhel λ, kerý írá roina míního poledníku bodu M roi- nou poledníku Greenwichkého, nazýáme zeměpiná délka. Ta doahuje 0 až Úloha 16 cklié Mladí cklié i čili rau ak, že 40% ra jeli po roině álou rchloí 28,8 km h 1, dalším úeku o délce 40% ra jeli do mírného kopce rchloí 18 km h 1 a zbek ra z mírného kopce až do mía aru rchloí 45 km h 1. Jakou průměrnou rchloí jeli po celé rae? Poom šak změnili měr na opačný, ale jednolié rchloi doahoané na roině, do kopce a kopce udržoali ejně elké jako půodním měru. Jak e změnila průměrná rchlo? Jaký bl poměr dob, za něž urazili čenou rau? Úloha 17 nákladní lak Nákladní lak o délce 420 m e rozjížděl z nádraží e zrchlením 0,2 m 2,až doáhl rchloi 54 km h 1, což blo okamžiku, kd lokomoia jížděla na mo o délce 180 m. Po mou e lak pohboal ronoměrně. V okamžiku, kd polední agón laku opoušěl mo, muel rojůdce začí brzdi a po době 120 e zaail náledující anici. Jak dlouho lak jel a jakou zdáleno urazil? Nakrelee graf záiloi změn rchloi laku na čae. Úloha 18 puk Puk e po ledoé ploše může pohboa mírným zpomalením. Hráč ojí proi hrazení a úderem uedl puk do pohbu počáeční rchloí o elikoi 6,0 m 1 e zdálenoi 12,0 m od hrazení. Puk dopadne kolmo na hrazení rchloí o elikoi 3,6 m 1 a odrazí e rchloí o elikoi 3,0 m 1 zpě měrem k hráči. Kde e puk zaaí? K řešení i nakrelee graf záiloi elikoi rchloi na čae. Dobu rání nárazu puku na hrazení zanedbeje

15 1.5 Doplněk 1 férické ouřadnice z značme úhel, kerý írá polohoý ekor oouz jako úhel ψ, úhel průměu do roin oou jako ϕ. Poom můžeme X z pá ψ r z = XX 0 = r co ψ; X 0 = r in ψ, = r in ψ co ϕ, ϕ = r in ψ in ϕ. X 0 br. 14 Sférické ouřadnice Jak poznáme později při analické geomerii, můžeme urči z 2 = r 2 in 2 ψ co 2 ϕ + r 2 in 2 ψ in 2 ϕ + r 2 in 2 ψ = = r 2 in 2 ψ(co 2 ϕ +in 2 ϕ)+r 2 co 2 ψ = = r 2 in 2 ψ + r 2 co 2 ψ = r 2, neboť co 2 ϕ +in 2 ϕ = 1 (což plne z Phagoro ě). Vidíme, že pro bod X lze použí dou možnoí zápiu poloh bodu X ouaě ouřadnic (,, z; ) nebo(r, ϕ, ψ; ). bě možnoi jou ekialenní, proože můžeme ze znaloi ouřadnic r, ϕ, ψ urči ouřadnice,, z a naopak. Souřadnice,, z nazýáme karézké. Souřadnice r, ϕ, ψ popiují bod na porchu koule zhledem k ouaě pojené e ředem koule a nazýáme je férické. S použiím férických ouřadnic ouií dě prakické aplikace. Při pozoroání obloh pozoroael na porchu Země může popa objek na obloze pomocí několika měřielných údajů. Nuno poznamena, že aronomoé dne ice umějí docela dobře zjii zdáleno řad objeků na obloze, ale minuloi měli o možnoi značně omezené, umiťoali šude nebeká ělea na z. nebekou féru, kerá bla doaečně daleko a pnula e nad míem pozoroaele, kerý ál e ředu éo nebeké fér. Nebeká féra e oáčela kolem o roace, kerá pojoala z. ěoý pól míem pozoroaele. Pozoroael cházel z úah, že odoroná roina omezuje nebekou féru kružnicí, jež e nazýá maemaický horizon (z. kuečný horizon je čára na obodu, kerá bere úahu reálné zdálené předmě krajin). Předpokládejme dále, že hmoný bod e pohbuje po přímce X 1 X 2. Poom můžeme pomocí mezi pojem rchloi, a o jak co do elikoi, ak i co Δ do měru, ed ekor Δr rchloi = + i j. Pokud = kon, bude e jedna o pohb ronoměrný přímočarý. V případě, že 1 2,ale 1 2, půjde o pohb přímočarý, ale neronoměrný. 2 B Pro 2 > 1 jde o pohb zrchlený, pro 1 Δ 2 < 1 o pohb zpomalený. A r 2 r Může e á, že 1 = 2,aleběhemdob 1 Δϕ Δ e změní měr rchloi půjde o pohb ronoměrný, ale křiočarý (nejjedno- dušší bude pohb po kružnici). br. 28 Rchlo becně můžeme napa Δ = Δ Δ + Δ Δ = a i + a j. Veličině a = Δ Δ říkáme zrchlení. Pro elmi krákou dobu Δ, edproδ 0zaádíme Δ okamžiou rchlo a okamžié zrchlení. i j kamžié zrchlení má a ed dě ložk (a,a ), keré měřují záiloi na ouaě ouřadnic. To šak nám nepřináší ěšinou noé informace. Někd je lepší zjii změnu rchloi, Δ kde Δ = 2 1 (obr. 29) e měru ečn k rajekorii daném bodě a e měru její normál. Veliko změn ečném měru Δ = 2 1, kerá poídá o změně elikoi zrchlení, z. ečné zrchlení poom má eliko a = Δ Δ. A A 1 2 Δ n B 2 1 Δϕ 2 Δ Δ Δ br. 29 Změna rchloi Další změna je e měru kolmém ke měru rchloi (z.normáloý měr), jež ede k z. normáloému (dořediému) zrchlení a n.proelmimaléδ 0 můžeme dle obr. 28, 29 pá Δϕ = Δ poloměr křioi rajekorie daném bodě (eličina 1 r = Δ r, z čehož Δ = Δ, kder je r e nazýá křio)

16 + 2:00 min 2:30 min 3:00 min + br. 10 Vložení další ouřadnice br. 11 Turiická mapa Zajímaé je na mapách znázorněných na ererech nebo na jednak měření zdálenoí, jednak elmi přené údaje zjišěné pře GPS, keré obahují jednak anoení zeměpiných ouřadnic (zeměpiná délka λ, zeměpiná šířka ϕ), ale i nadmořké ýšk. Ať jde o kerýkoli způob záznamu, zajímaá na něm je i kuečno, že dokážeme do dojrozměrného prooru (j. do roin) znázorni další ouřadnice nuné pro přenější idenifikaci e čřrozměrném čaoprooru. Příklad 3 přeno leeckého nímkoání Na ereru leecké nímkoání e poloha bodu určuje přenoí na 0,001. Zjiěe, jakou přenoí lze pracoa leeckým nímkoáním na 50. ronoběžce a 15. poledníku.. Délka 15. poledníku je rona ai km R p = 6 367,5 km,délkana1 je 111,1 km, úhlu 1 odpoídá délka 1,852 km, na úhel 1 připadá ai 30,9 m. Přeno na ein úhloé eřin znamená údaj ai 0,3 m =. 1 opa. Ve měru ýchod západ je přeno na 50. ronoběžce ai 20 m na 1 eřinu. Určee, jakou přenoí je možno pracoa leeckým nímkoáním na roníku R e = 6 378,2 km a 40. ronoběžce. 2.5 Skládání pohbů Pokud jede loďka po klidné odě po jezeře álou rchloí 2,0 m 1,nemáme poíže při řešení problému, za jak dlouho přepluje zdáleno 600 m: = = = 300 = 5 min. Jeliže e šak loďka nachází na hladině od řece, jejíž proud eče rchloí o elikoi u =0,5 m 1, poom e loďka zhledem ke břehům pohbuje různou rchloí záiloi na měru pohbu loďk zhledem k proudu řek (obr. 30). u u br. 30 Pohb loďk Ve šech řech případech dle obr. 30 (j. pohb po proudu, proi proudu a kolmo na měr pohbu proudu) dochází ke kládání rchloí, což můžeme ekoroě zapa e aru l = + u. Při pohbu loďk rchloí po proudu plaí pro eliko ýledné rchloi l = +u, proi proudu l = u ( >u) a při pohbu kolmo k proudu l = 2 + u 2. Too ošem není ýče šech možnoí, keré mohou naa. Loďku lze aké naměroa šikmo proi proudu ak, ab ýledný pohb bl kolmý ke břehům řek; akoý pohb je čao opimální ( prai je proud řek různých míech různý a přeplou řeku na práné mío na druhém břehu žaduje dobrou naigaci např. při pohbu na míech, kde nejou mo). Čao e aké ekááme e iuacemi, kd jeden pohb mšlenkoě rozložíme na da jednodušší pohb, keré dokážeme lépe popa. Příkladem akoého pohbu může bý rh ile zhůru ( našich úahách nebudeme uažoa odpor proředí). V omo případě hodíme malé ěleo ile zhůru počáeční rchloí o elikoi 0. Těleo šak oučaně aké padá měrem dolů rchloí o elikoi p = g. Poom užijeme kládání pohbů : = 0 g, = g2.rchlokleá,ažeěleozaaí nejěší ýšce (za dobu b od začáku rhu) a pak začne pada dolů olným pádem. Plaí 0 = 0 g b, z čehož b = 0. Poom h g ma = g 2 g 2 0 g 2 = 2 0 2g. 0 b u br. 31 Rchlo rhu ile zhůru 10 31

17 V prakickém žioě nahrazujeme čao mírně zakřiené ploch roinou, nemůžeme šak dopě ke zcela přeným ýledkům. Možná, že b blo hodné ledoa polohu bodu X[, ; ] jen na základě jedné eličin. Spojíme proo bod X počákem, poom X nám úečka X mezuje z. polohoý ekor r, kerý daném čaoém okamžiku má ouřadnice poloh,, j. pro daný čaoý okamžik můžeme pá (, ). Zaedeme-li z. r j ϕ r A jednokoé ekor j e měru i o a i e měru o (obr. 7), poom polohoý ekor br. 7 Polohoý ekor = r + i. j Too jádření nám později zjednoduší naše jadřoání změn poloh meodou změn ouřadnic polohoého ekoru. Mohli bchom jí z oho, že rojúhelník AX je praoúhlý. Poom můžeme pá r =coϕ, r =inϕ, =(r ϕ)i co +(r ϕ)j in, r kde r = = značí r eliko polohoého ekoru. Poznámka Je šak řeba i uědomi, že ýše napaný zah plaí pro určiý čaoý okamžik. becně ed můžeme pá r () =()i + ()j. Příklad 2 žebřík Žebřík je opřen e zdálenoi 1,8 m od ilé ěn domu a opírá e o parape okna e ýšce 4,8 m. Určee délku žebříku a úhel klonu. B α br. 8 Žebřík l A Zaedeme ouau ouřadnic dle obr. 8. Žebřík je opřen na odoroné podložce e zdálenoi = =1,8 m,edboděa[1,8 m;0],oěnujeopřen e zdálenoi = 4,8 m, bodě B[0; 4,8 m]. Délka l žebříku e určí pomocí Phagoro ě, j. l = = 1,8 2 +4,8 2 m=5,1 m. Úhel klonu α e určí pomocí g α =, z čehož α =69,5. 8 nebo proi proudu může loďka plou, ab e ihli rái za 60 minu zpě do příaišě? Úloha 24 loďk 2 Za ejných podmínek jako úloze 23 e dal Pael Hankou e měru kolmo k břehům řek, kerá má daném míě šířku 120 m. V kerém míě přianou? Jak dlouho rá, než e doanou pře řeku? Úloha 25 pohb Měíce Předpokládejme, že e řed Měíce pohbuje kolem ředu Země álou rchloí po kružnici ak, že poloměr rajekorie je km a doba oběhu 27,32 dne. Sřed Země e pohbuje kolem ředu Slunce po rajekorii aru éměř kružnice o poloměru 149, km za dobu 365,24 dne. Jakou nejěší a jakou nejmenší rchloí e pohbuje řed Měíce zhledem ke ředu Slunce? 2.6 Graf záiloi dráh na čae a rchlo pohbu Ronoměrný pohb Předame i auomobil, kerý jel z mía označeného jako počáek a jede ronoměrným pohbem po dálnici. Při é jízdě míjí kilomerickou značku. V okamžiku, kd auomobil míjí kilomerickou značku (na keré je obecně nějaký údaj 0 ), zmáčkne polujezdec řidiče auomobilu opk a od ohoo okamžiku začne měři dobu jízd auomobilu. Za dobu bude auomobil projíždě kolem další kilomerické značk. Proože e auomobil pohbuje ronoměrně rchloí o elikoi, můžeme jádři dráhu, kerou auomobil urazil od počáku, zahem = + 0. Teno pohb je možno aké popa pomocí grafu záiloi dráh na čae (obr. 33). 0 Δ Δ br. 33 Záilo dráh na čae 33 q Δ Δ br. 34 Graf přímk

18 Tabulka 1 jízdní řád epreu Anonín Dořák Sanice km EC 71 EC 70 km Praha 0 5:00 23: Kolín 62 5:41 5:42 22:23 22: Pardubice 104 6:04 6:05 21:59 22: Čeká Třeboá 164 6:39 6:40 21:24 21: Brno 255 7:41 7:43 20:21 20: Břecla 314 8:14 8:23 19:33 19:50 90 Wien 410 9:28 18:33 0 Poznámka: Rozdíl e zdálenoi je způoben jízdou po různých raách okolí Vídně. Úloha 1 jízda epreu 1 Zjiěe průměrné rchloi epreu jednoliých úecích raě Praha Wien a zpě. V kerém úeku jede epre nejrchleji? Jaká čá z udané dob připadá na jízdu a jaká na zaák? Jaká je průměrná rchlo epreu na celé rae Praha Wien nebo Wien Praha? Úloha 2 - jízda epreu 2 Znázorněe grafick záilo dráh na čae epreu pro oba měr (pro každý měr zlášť). Předpokládeje, že epre jede každém úeku ronoměrným pohbem průměrnou rchloí o elikoi, kerou je určili úloze 1. Dobu zaáek epreu ýjimkou zaák Břeclai poažuje za zanedbaelně malou zhledem k době jízd jednoliých úecích. 1.2 Dojrozměrný proor Velmi čao nám pro orienaci prooru poačuje plán, mapa, globu zkráka dojrozměrné zobrazení. Použíají ho abaři při abě domu nebo při rekonrukci inženýrkých íí, orienační běžci při záodech, urié při přepraě na ýleu, na mapách hledáme a nacházíme mnoho užiečných informací. Při zobrazení ěa do dojrozměrného prooru cházíme z geomerických úah. Zolíme ou (zpraidla zlea dopraa), kerou rozdělíme bodem (= origo počáek) na dě polopřímk + a. Bodem edeme kolmici na ou znikneoa (měrem nahoru +, měremdolů ). Předame i nní, že máme nějaké zařízení (např. ideokameru), pomocí keré můžeme ejmou např. čaoý průběh ronoměrně zppomaleného pohbu malého míčku rženého ile zhůru. Záznam zíkaný ideokamerou je pak možno analzoa pomocí nějakého programu (např. AVISTEP) a zíkaná daa přené do Ecelu: obdržíme da řádk da e ouřadnicemi ajimodpoídajícími ča. Z ěcho da je pak možno oři např. bodoý graf = f(). Dále je pak možno ěmio bod grafu proloži křiku a pomocí regrení funkce Ecelu zíka její maemaické jádření. Z koeficienů ohoo jádření je pak již možno odečí údaje o rchloi a zrchlení pohbu. Ukažme i o nní na náledujícím příkladu. Příklad 15 rh míčku Z ideozáznamu pohbu míčku bla zíkána náledující daa: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 h m 0 0,56 1,03 1,42 1,72 1,94 2,07 2,12 a) Seroje z ěcho údajů bodoý graf Ecelu. b) Určee ronici regree jako polnomu 2. upně. c) Z ronice regrení funkce zjiěe počáeční rchlo a zrchlení pohbu. d) Napiše ronici rchloi pohbu záiloi na čae. e) Seroje ečnu ke grafu čae 0,3 (ručně na papíře do iknuého grafu). f) Ze klonu ečn určee eliko okamžié rchloi pohbu a poroneje ji hodnoou zíkanou ýpočem. Při áření grafu Ecelu poupujeme náledujícím způobem: oříme graf - XY bodoý, pak bereme menu Graf - Přida pojnici rendu (p rendu a regree - polnomický 2.upně). Přiom nemíme zapomenou naai: Možnoi - Zobrazi ronici regree (obr. 37). becná ronice pohbu má ar h = h a2. Poronáním koeficienů éo ronice ronicí regrení funkce (kde i ami muíme uprai náz proměnných), j. h =0, ,0012 4,25 2,doanemea =2 ( 4,25) m 2 = = 8,5 m 2, 0 =6,00 m

19 1 Popi poloh ělea V éo čái e budeme zabýa jen jednoduchými ěle. Abchom i popi poloh i jejich změn ješě ulehčili, budeme popioa ělea elmi malých rozměrů, kerá e fzice nazýáme hmoné bod. Tím bude ěleo zcela jednoduše idenifikoáno co nejmenším počem údajů. Z fzikálního pohledu ed ěleu ponecháme jeho hmono m; objem, huoa ani ar ná nebudou zajíma zíkááme idealizoaný objek: hmoný bod. K popiu pořebujeme zná, kd a kde e eno hmoný bod nachází. Proo popi poloh hmoného bodu zhledem k přímce, na níž e nachází, muí obahoa údaj o zdálenoi a čae. Popi poloh hmoného bodu roině bude určen děma ouřadnicemi pro polohu a čaoým údajem, ad. To znamená, že fzika popiuje hmoné bod a událoi nimi pojené ždck prooročae. Pro rojrozměrný proor budeme udáa žd ři prooroé ouřadnice a čaoý údaj, ed jak je nám již známo z hodin zeměpiu, pořebujeme k jednoznačnému určení poloh bodu na Zemi zná ři ouřadnice: zeměpinou šířku ϕ, zeměpinou délku λ, nadmořkou ýšku h a čaoý údaj. K fzikálnímu popiu mechanických dějů muíme přida např. hmono m hmoného bodu, u ěle objem a ar, pro pohb blízkoi porchu Země íhoé zrchlení g, pro záření huou a lak zduchu aj. K jednoznačnému anoení událoi nebo děje prooročae pořebujeme mí určié ýchozí a neměnné údaje. Proo žd ješě než začneme cokoli popioa muíme mezi ouau ouřadnic. Ab naše práce bla zajímaější a prakick použielná, neoddělujeme popi poloh a změnu poloh rikně od ebe. 1.1 Jednorozměrný proor Haárii na dálnici D1 ěšinou idenifikuje policie jednak délkoým údajem, dále pak údajem čaoým. K popiu poloh mía na dálnici ačí jediný údaj. Máme celkem ři možnoi pro anoení oua lineárních ouřadnic: a) Počáek zolíme na začáku dálnice Praze; poom každé mío na dálnici má jednoznačně kladnou ouřadnici >0 (iz obr. 2a)). br. 1 Mapa dálnice D1 Výledk úloh 1. Traa Délka ra Ča am p1 am Ča zpě p2 zpě km min km h 1 min km h 1 Praha Kolín Kolín Pce Pce Č. Třeb Č. Třeb. Brno Brno Břecla Za. Břec Břecla Wien Praha Wien a. za km min km min br. 40 Jízda am br. 41 Jízda zpě 3. Po olbě oua ouřadnic dle obr. 9 můžeme pá, l2 2 =(d + a)2 + h 2, l1 2 = d2 +h 2, což je ouaa dou ronic o dou neznámých d a h.jejímřešením doaneme d = l2 2 l1 2 a 2 =16,5 m,h = l 2a 1 2 d2 =38,6 m. 4. c) Náod: pomocí hledáače i nalezněe mapu Prah, dále pak přejděe na Ruzňké leišě, oeře i program Měření. Pomocí ohoo programu lze již změři požadoané zdálenoi. 5. Např. g α = 138 cm 160 cm, z čehož α =

20 2 Změn poloh a ča Průměrná rchlo Příklad 9 le leadlem Příklad 10 ceoání lakem Úloha 11 průměrná rchlo Úloha 12 průměrná rchlo Úloha 13 průměrná rchlo Jednoduchý model jednorozměrného pohbu Příklad 11 jízda merem Příklad 12 elekrická lakoá oupraa Úloha 14 auomobil Úloha 15 leadlo Několik problémů o rchloi Úloha 16 cklié Úloha 17 nákladní lak Úloha 18 puk Úloha 19 priner Úloha 20 priner rekordman Úloha 21 rambu Roinný neronoměrný pohb Příklad 13 auomobil zaáčce Skládání pohbů Příklad 14 enioý míček Příklad 15 hopík Úloha 21 enioý míček Úloha 23 loďk Úloha 24 loďk Úloha 25 pohb Měíce Graf záiloi dráh na čae a rchlo pohbu Příklad 15 rh míčku Úloha 26 olný pád míčku odporem proředí Výledk úloh 37 2 p = 0,4 + 0,4 + 0,2 = =24,7 km h 0, , , pačný měr: 1 = 0,2; 2 = 0,4; 3 = 0,4; 1 = 18 km h 1 ; 2 = =45km h 1 ; 3 =28,8 km h 1. p = 0, , ,2 = ,4 =24,7 km h , , = 15 m 1 0,2 =75; = =40; 15 3 = 120 ; 3 = = m = 900 m = 1 2 ( ) 1, z čehož 1 = 2 = 2 12 =2,5 ; ,6 2 =3m 1 ; a = = 0,96 m 2 2 ; 2 = 2 = 0,96 m 2 ; a 2 =4,7 m =33m; 1 =5,5 ; 2 =67m; k = 2 1 =12m 1 ; 2 = 2 =5,58 ; 1 k = =11,08 (obr. 44) =33m; 1 =4,8 ; 2 =67m; k = 2 1 =13,75 m 1 ; 2 = 2 = 1 k =4,87 ; = =9,67. m 1 br. 42 Pohb laku 6,0 3,6 3,0 m ,5 5,625 br. 43 Pohb puku 5,5 11,08 br. 44 Pohb prinera 21. Δ = ( ) m = 94 m; Δ =2,5 m 1 ;Δ = Δ Δ 39 =37,6 ;