ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 CITLIVOST FYZIKÁLNĚ NELINEÁRNÍHO VÝPOČTU NA ATERIÁLOVÝ ODEL Ivan Kološ 1 Abstrakt The paper describes a numerical solution of the statically indeterminate beam that takes into account a forming of the plastic zones and plastic hinges during the bending. Two variants of the material model are considered the elastic-perfectly plastic material and the elastic-plastic hardening. The influence of a material model on the computation process is shown. A modification of the computational algorithm, which corrects an inadequate convergence assumption, is suggested in the end of the paper. 1 Úvod Předmětem tohoto příspěvku je statické řešení oboustranně vetknutého prutu, zatíženého osamělým břemenem (obr. 1), přičemž je respektována změna přetvárných vlastností prutu při ohybu, související s rozvojem plastických oblastí v okolí nejnamáhavějších průřezů a následným formováním tzv. plastických kloubů. Vnitřní síly staticky neurčitých prutových konstrukcí jsou závislé na materiálových a průřezových charakteristikách prutů, jimiž jsou tvořeny. Statická neurčitost konstrukce však nedovoluje přímý výpočet podporových reakcí ze statických podmínek rovnováhy a žádá si sestavení a splnění podmínek deformačních. Lze tedy říci, že reakce a vnitřní síly takové konstrukce závisí na jejím deformačním stavu. Podle principu virtuálních prací pak zase přetvoření (deformace) konstrukce závisí mj. na velikosti vnitřních sil (viz [5]). Důsledkem této závislosti vnitřní síly ~ deformace je nutnost volit odlišný postup výpočtu při řešení úloh fyzikálně lineárních a nelineárních. Ve fyzikálně lineárních úlohách jsou materiálové a průřezové charakteristiky prutů nezávislé na zatížení (např. EI = konst.) a mohou být řešeny přímo ze statických a deformačních podmínek rovnováhy. Celé řešení přitom probíhá lineárně, tj. jednotlivé kroky výpočtu se neopakují. Nachází-li se konstrukce nebo některá její část v pružnoplastickém stavu (tj. některá z pomyslných vláken průřezu jsou nevratně plasticky zdeformována), jedná se o úlohu fyzikálně nelineární. Přetvoření konstrukce (deformační stav) závisí na jejím zatížení, projevujícím se v průběhu a velikosti vnitřních sil. Zároveň však, jak je uvedeno výše, závisí velikost vnitřních sil na deformačním stavu. K řešení této oboustranné závislosti je potřeba použít iterační postup, jehož cílem je dosažení pružnoplastické rovnováhy mezi vzájemně se ovlivňujícími veličinami. Obr. 1 Oboustranně vetknutý nosník 1 Ing. Ivan Kološ, VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, ivan.kolos@vsb.cz, (+42) 59 732 134 75
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 2 Přetvoření konstrukce v pružnoplastickém stavu Prvořadým úkolem při řešení staticky neurčité konstrukce je určení zbytných staticky neurčitých veličin. Ačkoli podle statického schématu se jedná o 3 staticky neurčitou konstrukci, vzhledem k absenci normálového zatížení jsou horizontální reakce nulové. V tomto případě tedy byla k výpočtu využita metoda třímomentových rovnic, přičemž staticky neurčitými veličinami se staly podporové momenty a a b. Plastické deformace, které vznikají na původní staticky neurčité konstrukci, se musí promítnout i do přetvoření základní staticky určité soustavy a zde bylo k tomu účelu využito náhradní ohybové tuhosti průřezu E*I. Náhradní ohybová tuhost vyjadřuje změnu 3 25 2 15 1 5 el = 65,71 knm 1 2 3 4 5 6 7 8 3 25 2 15 1 5 el = 71,6 knm 2 4 6 8 1 12 Obr. 2 Křivka tuhosti profilu IPE 18 ideálně pružnoplastický materiál přetvárných vlastností průřezu při plastizaci (viz [7]). E*I se určuje na základě podrobné analýzy napjatosti průřezu, jejímiž vstupními údaji jsou tvar průřezu, pracovní diagram materiálu a vnitřní síly na průřez působící (ohybový moment a příp. normálová síla). Do výpočtu se pak E*I zavádí pomocí křivky tuhosti vyjadřující závislost E*I na (obr. 2, 3). Zavedením náhradní ohybové tuhosti se plasticitní úloha výpočtu přetvoření pružnoplasticky deformovaného prutu převede na úlohu pružnou, řešitelnou běžnými postupy teorie pružnosti (např. ohrova metoda, etoda jednotkových sil apod.). Podobný způsob převodu plasticitního problému na pružnostní je popsán např. v [3], kde je na pružnoplastický stav částí prutů reagováno zvětšením ohybových momentů v příslušných oblastech konstrukce. Zde uplatněný výpočtový model, využívající náhradní ohybovou tuhost, pracuje se skutečnými hodnotami vnitřních sil a modifikovány jsou pouze ohybové tuhosti. V průřezech nosníku nacházejících se v pružném stavu je náhradní ohybová tuhost konstantní a je rovna součinu modulu pružnosti materiálu a momentu setrvačnosti průřezu EI. V průřezech částečně zplastizovaných je pak náhradní ohybová tuhost E*I menší a je závislá na velikosti působícího ohybového momentu. Hledání pružnoplastické rovnováhy, popisované v kapitole 1, tedy fakticky spočívá v hledání takového rozložení náhradní ohybové tuhosti E*I po nosníku, které odpovídá aktuálnímu průběhu ohybových momentů na staticky neurčité konstrukci a zároveň k němu vede, tzn. dosazením tohoto průběhu E*I do výpočtu staticky neurčitých veličin dostaneme průběh prakticky totožný s aktuálním. Při určení náhradní ohybové tuhosti průřezu v pružnoplastickém stavu jsou uvažovány tyto základními předpoklady: nosník a tedy i každý jeho průřez je z pružnoplastického materiálu, který působí obdobně v tahu a prostém tlaku Obr. 3 Křivka tuhosti profilu IPE 18 skutečný pracovní diagram oceli 76
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 při ohybu zůstávají průřezy rovinné (Bernoulli-Navierova hypotéza) přetvoření nosníku jsou až do vyčerpání plastické únosnosti natolik malá, že lze rovnováhu účinků zatížení vyšetřovat na nepřetvořené soustavě průřez je namáhán ve své rovině symetrie zanedbává se vliv posouvajících sil, vlastní pnutí, klopení a ztráta stability nosník je materiálově homogenní Délka řešeného nosníku je l = 6 m a jeho průřez je tvořen ocelovým válcovaným profilem IPE 18. Křivky tuhosti byly stanoveny pro 2 výpočtové modely pracovního diagramu oceli: ideálně pružnoplastický materiál (obr. 4) a multilineární aproximaci skutečného pracovního diagramu oceli 11 5 (obr. 5). ez kluzu σ fl má v obou pracovních diagramech hodnotu 45,1 Pa, modul pružnosti E = 21 GPa. σ [Pa] 7 6 5 4 3 2 1,% 2,% 4,% 6,% 8,% 1,% ε [%] Obr. 4 Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu σ [Pa] 7 6 5 4 3 2 1,% 5,% 1,% 15,% 2,% ε [%] Obr. 5 Pracovní diagram oceli 11 5 3 Iterační výpočet Jádrem výpočtu je soustava 2 třímomentových rovnic, z níž dostáváme hodnoty staticky neurčitých veličin a, b. Náhradní ohybová tuhost E*I může mít v každém průřezu nosníku jinou hodnotu, proto se musíme vzdát luxusu speciálních tvarů Clapeyronovy rovnice a použít třímomentové rovnice v obecném tvaru (1). E*I se uplatní při výpočtu základních deformačních úhlů α, β a koncových pootočení ϕ. etoda třímomentových rovnic je na vetknutý nosník aplikována klasickým způsobem, převádějícím jej na spojitý nosník o 3 polích, přičemž obě krajní pole mají nulovou délku. omenty a úhly α a, α b, β a, β b, ϕ a, ϕ b ve vztahu (1) zřejmě přísluší těmto nulovým polím. βa + a ( α a + α ab ) + bβab + ϕa + ϕab = (1) aβba + b( αba + αb ) + βb + ϕba + ϕb = Jakkoli se může zdát, že cílem statického řešení oboustranně vetknutého prutu je dosažení pružnoplastické rovnováhy mezi a E*I, není tomu tak. Stav pružnoplastické rovnováhy je pouze indikátorem, měřítkem přijatelnosti vypočtených výsledků. Skutečným cílem statického řešení je zjistit jaké rozložení vnitřních sil staticky neurčité konstrukce odpovídá danému zatížení. Při znalosti tohoto rozložení je možno říci, zda bylo v některém průřezu nosníku dosaženo mezní hodnoty indikující plné plastické využití průřezu a zároveň je možno říci při jaké velikosti zatížení k tomu dochází. Z obr. 1 a z předpokladů výpočtu vyplývá, že dominantním namáháním uvedené konstrukce je ohyb, mezní hodnotou se tedy rozumí mezní plastický moment pl. Zatížení během výpočtu svou velikost nemění. Určení mezního plastického zatížení se provádí přírůstkovou metodou při každém následujícím výpočtu se zatížení o trochu zvětší a takto se postupuje do okamžiku, kdy ohybový moment v některém průřezu dosáhne pl. 77
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 Integrace po délce nosníku, nezbytná při výpočtu deformačních úhlů a pootočení ze vztahu (1), se provádí numericky. Z toho důvodu je nosník rozdělen na 6 dílků. Náhradní ohybová tuhost E*I je na každému dílku konstantní a přiřazuje se podle průměrné hodnoty ohybového momentu na dílku. Vývojový diagram na obr. 6 přehledně znázorňuje princip iteračního výpočtu [6]. Význam veličin je patrný přímo z diagramu, přičemž n(k-1) (příp. n(k), n() ) označuje jak funkci ohybového momentu staticky neurčité konstrukce v (k-1). iteračním kroku, tak jeho jednotlivé funkční hodnoty (u nerovnosti (2)). Rovněž E*I (k) má charakter funkce. Konstanta ξ je zvolená přesnost, při jejímž dosažení je iterační výpočet zastaven. n(k 1) < pl (2) Výpočet je odstartován nultým iteračním krokem, v němž je uvažována konstantní ohybová tuhost prutu (lineární výpočet). Výsledkem nultého kroku jsou ohybové momenty staticky neurčité konstrukce, podle nichž je v dalším kroku přiřazena ohybová tuhost jednotlivým dílkům prutu. Jiná tuhost prutů způsobí změnu podporových momentů a(k), b(k) a následně ohybových momentů staticky neurčité konstrukce n(k), které vstupují do dalšího iteračního kroku jako podklad pro přiřazení tuhostí E*I (k) dílkům. Takto iterace probíhá, dokud rozdíl mezi hodnotami ze dvou po sobě jdoucích kroků není menší než přesnost ξ (za reprezentativní hodnotu konvergence výpočtu byl zvolen podporový moment a ). V každém iteračním kroku je prováděna kontrola, zda ohybový moment v některém průřezu nepřekračuje hodnotu mezního plastického momentu pl. Nastane-li taková situace, přizná se v místě největšího ohybového momentu plastický kloub a odpovídajícím způsobem se změní statické schéma výpočtového modelu. Výhodně to lze provést zavedením tzv. přídavného momentu příd., který zajistí, že ohybový moment v plastickém kloubu i při rostoucím zatížení nepřekročí hodnotu pl. Tímto způsobem je ošetřeno i dočasné nesplnění podmínky (2) během iterace (v diagramu na obr. 6 nepostižené), kdy řešení konverguje ke stavu pružnoplastické rovnováhy a při jeho dosažení se ustálí na průběhu ohybových momentů velmi blízkém průběhu meznímu (tj. takový, který bezprostředně předchází vzniku plastického kloubu) (podrobněji viz např. [7]). Obr. 6 Výpočet podporových momentů a, b metodou třímomentových rovnic Průběh ohybových momentů na staticky neurčité konstrukci n() NE Náhradní ohybová tuhost E*I () = EI = konst. číslo iteračního kroku k = k + 1 n(k-1) < pl ANO Přiřazení tuhostí E*I (k) podle průběhu n(k-1) Výpočet podporových momentů a(k), b(k) s ohledem na aktuální rozložení E*I (k) Průběh ohybových momentů na staticky neurčité konstrukci n(k) a(k) a(k-1) ξ ANO NE Je dosaženo pružnoplastické rovnováhy mezi n(k) a E*I (k). iterační krok vzniká plastický kloub změna stat. schématu Iterační postup řešení oboustranně vetknutého nosníku (do okamžiku vzniku 1. plastického kloubu) 1. až n. iterační krok 78
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 Diagram na obr. 6 popisuje pouze situaci do vzniku prvního plastického kloubu. Únosnost 3 staticky neurčitého vetknutého nosníku však bude vyčerpána teprve vznikem 3 plastických kloubů. Při zatížení osamělým břemenem F podle obr. 1 se první plastický kloub objeví v podpoře a, následuje kloub pod silou F a jako poslední se vytvoří kloub v podpoře b (viz např. [2], [3]). Princip výpočtu po zformování jednoho či více plastických kloubů se nemění. S každým plastickým kloubem klesá stupeň statické neurčitosti o 1 a odpovídajícím způsobem se tedy redukuje i náročnost výpočtu staticky neurčitých veličin. Při 2 plastických kloubech se výpočtový model fakticky stává staticky určitým Gerberovým nosníkem. Rozdíl v postupu oproti uvedenému vývojovému diagramu pak spočívá zejména v průbězích n(k), které odpovídají konstrukci příslušného stupně statické neurčitosti, přičemž v místech plastických kloubů mají v absolutní hodnotě velikost pl. 3.1 Ideálně pružnoplastický materiál Nejprve považujme materiál nosníku za ideálně pružnoplastický (křivka tuhosti dle obr. 2). Velikost břemene zvolme F = 73 kn. Průběh ohybových momentů pro tuto velikost F je na obr. 7. Konstrukce se nachází ve stavu pružném, neboť žádný z ohybových momentů nepřekročil hodnotu elastického momentu el = 65,71 knm. Tuhost E*I je ve všech řezech nosníku konstantní. omenty ve vetknutí mají podle obr. 7 velikost -65,127 knm a -32,442 knm. -65,127 42,971-32,442 Zvětšíme-li velikost F na hodnotu 84,5 kn, dostáváme se na konec první fáze pružnoplastického působení nosníku do okamžiku těsně před vznikem prvního plastického kloubu. Průběh ohybových momentů je na obr. 8, jemu odpovídající průběh ohybových tuhostí na obr. 9. Kritérium nalezení pružnoplastické rovnováhy má velikost ξ =,1 a k dosažení této přesnosti bylo zapotřebí 65 iteračních kroků, což dokládají grafy na obr. 1. Překročí-li velikost síly hodnotu F = 84,5 kn, přesáhne ohybový moment v podpoře a mezní plastický moment průřezu pl = 74,54 knm a v bodě a vzniká plastický kloub. Síla F 1k, vyvolávající vznik prvního plastického kloubu, má tedy velikost F 1k 84,5 kn. Nyní můžeme srovnat výsledek numerického řešení s řešením analytickým, uvedeným v [2], jež je provedeno metodou postupného vkládání plastických kloubů bez zohlednění částečné plastizace průřezů mezi klouby. Podle [2] má síla F 1k Obr. 7-8 -6-4 -2 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 Průběh ohybových momentů ideálně pružnoplastický materiál (F = 73 kn) -1-74,7-5 -38,28 1 2 3 4 5 6 5 5,397 1 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 Obr. 8 Průběh ohybových momentů ideálně pružnoplastický materiál (F = 84,5 kn) Obr. 9 Průběh náhradní ohybové tuhosti ideálně pružnoplastický materiál (F = 84,5 kn) 79
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 velikost danou vztahem (3), tj. po dosazení 83,818 kn. Rozdíl mezi výsledky obou řešení činí,682 kn, tj.,81 % první z hodnot. pl F1k = 6, 75 (3) l a [knm] -76, -75, -74, -73, -72, -71, -7, -69, -68,. it. 5. it. 1. it. 15. it. 2. it. 25. it. 3. it. 35. it. Iterace 4. it. 45. it. 5. it. 55. it. 6. it. 65. it. b [knm] -42, -41, -4, -39, -38, -37, -36, -35, -34,. it. 5. it. 1. it. 15. it. 2. it. 25. it. 3. it. 35. it. Iterace 4. it. 45. it. 5. it. 55. it. 6. it. 65. it. Obr. 1 Změna velikosti podporových momentů a a b během iteračního výpočtu Vznik plastického kloubu v bodě a si vynutil změnu statického schématu a s ní související snížení stupně statické neurčitosti o 1. Nadále je možno pokračovat v přitěžování konstrukce, až do F = 18,4 kn. Je to hodnota síly bezprostředně předcházející vzniku druhého plastického kloubu. Při tomto statickém schématu je to také největší síla, kdy iterační výpočet konverguje. Pro velikost F 2k, při níž vzniká 2. plastický kloub lze tedy psát F 2k 18,4 kn. Podle [2] udává velikost F 2k výraz (4). Dosazením získáváme 17,658 kn. Rozdíl mezi oběma variantami F 2k je,742 kn, tj.,68 % první z nich. pl F2k = 8, 67 (4) l Ohybové momenty pro F = 18,4 kn jsou na obr. 11, průběh ohybové tuhosti na obr. 12. Konvergenci iteračního výpočtu je možno sledovat na obr. 13, znázorňujícím změnu velikosti podporového momentu b ( a se již nemění, je rovno pl ). K dosažení přesnosti ξ bylo zapotřebí 42 iterací, ale jako výchozí pro. iteraci posloužilo rozložení E*I ve stavu pružnoplastické rovnováhy při F = 18, kn. Pokud by se v nulté iteraci počítalo s konstantní tuhostí E*I = EI, byl by počáteční rozptyl momentů b() a b(1) natolik velký, že by výpočet divergoval. -1-74,55-61,68-5 1 2 3 4 5 6 5 74,275 1 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 Obr. 11 Průběh ohybových momentů ideálně pružnoplastický materiál (F = 18,4 kn) Obr. 12 Průběh náhradní ohybové tuhosti ideálně pružnoplastický materiál (F = 18,4 kn) Poloha druhého plastického kloubu je zřejmá z obr. 12, kde v blízkém okolí souřadnice 2 dochází k výraznému poklesu tuhosti. Proveďme úpravu statického schématu vložením kloubu do působiště osamělého břemene. Poté dále zvětšujme sílu F ve snaze dosáhnout vzniku posledního plastického kloubu v podpoře b. Naše snaha bude koruno- 8
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 vána úspěchem, pokud F přesáhne hodnotu 111,65 kn. Bude-li této hodnotě rovna, odpovídá to okamžiku těsně před vznikem třetího plastického kloubu (obr. 14 a 15). Pro sílu F 3k, při níž vzniká 3. plastický kloub, můžeme psát F 3k 111,65 kn. Podle [2], lze F 3k vypočítat ze vztahu (5). Dosazením dostáváme 111,756 kn. Rozdíl mezi oběma variantami F 3k je,16 kn, tj.,95 % první z nich. pl F = (5) 3k 9 l Uvedené výsledky ukazují, že rozdíly ve velikostech sil F 1k, F 2k a F 3k, vypočtených dvěma způsoby, jsou minimální a zanedbatelné. Lze se tedy domnívat, že zde prezentovaný postup numerického výpočtu je přiměřeně přesný je jím možno určit velikost mezního plastického zatížení. Oprávněnost takové domněnky, jak vyplyne z následujícího oddílu, je však omezena pouze na materiálový model ideálně pružnoplastického materiálu. Pokud materiál průřezu vykazuje za mezí kluzu zpevnění (lineární či nelineární), nekonverguje metoda v celém rozsahu řešení. Blíží-li se zatížení meznímu plastickému, iterační výpočet diverguje a neumožňuje tak určit velikost břemene F, při němž vniká plastický kloub. b [knm] Obr. 13-61,8-61,6-61,4-61,2-61, -6,8-6,6-6,4-6,2. it. 5. it. 1. it. 15. it. 2. it. Iterace 25. it. 3. it. 35. it. 4. it. Změna podporového momentu b v průběhu iteračního výpočtu (F = 18,4 kn) -1-74,55-73,315-5 1 2 3 4 5 6 5 74,55 1 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 Obr. 14 Průběh ohybových momentů ideálně pružnoplastický materiál (F = 111,65 kn) Obr. 15 Průběh náhradní ohybové tuhosti ideálně pružnoplastický materiál (F = 111,65 kn) 3.2 Pružnoplastický materiál se zpevněním Ponechejme všechny charakteristiky řešené konstrukce beze změny, s výjimkou charakteristik materiálových a zaveďme do výpočtu skutečný pracovní diagram oceli (obr. 5). Náhradní ohybovou tuhost průřezu budeme odečítat z křivky na obr. 3. Obr. 16-15 -1-75,558-4,13-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 52,757 diagram oceli (F = 87,5 kn) Přeskočme fázi pružného působení a zvolme F = 87,5 kn, což je největší síla při které výpočet u tohoto statického schématu konverguje (obr. 16, 17). Absolutní hodnota největšího ohybového momentu na konstrukci má při tomto zatížení velikost 75,558 knm, tj. 73% mezního plastického momentu průřezu pl = 12,817 knm. Zachováme-li stávající postup výpočtu, není možné při dalším zvětšení síly F nalézt pružnoplastickou rovnováhu mezi a 81
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 a [knm] -79, -78, -77, -76, -75, -74, -73, -72, -71,. it. 2. it. 4. it. 6. it. 8. it. 1. it. 12. it. 14. it. 16. it. 18. it. 2. it. 22. it. 24. it. Iterace 26. it. 28. it. 3. it. 32. it. 34. it. 36. it. 38. it. 4. it. 42. it. 44. it. 46. it. 48. it. Obr. 17 Změna podporového momentu a v průběhu iteračního výpočtu (F = 87,5 kn) E*I, neboť iterační výpočet nekonverguje. Pro ilustraci zadejme F = 92 kn. Standardním výpočtem podle vývojového diagramu (obr. 6) dostáváme pro b hodnoty -82,8 a - 67,8 knm. Obě se periodicky střídají v sudých a lichých iteračních krocích a i po 15 iteracích zůstává rozdíl mezi nimi konstantní. Nejedná se tedy o řadu hodnot konvergující, nýbrž oscilující. Zvětšování počtu iteračních kroků zřejmě nevede k jednoznačnému výsledku. Proveďme nyní drobnou úpravu výpočetního algoritmu. Předpokládejme, že správná velikost a je aritmetickým průměrem hodnot z lichého a sudého iteračního kroku a(l), a(s) a totéž předpokládejme o b. Označme průměrné podporové momenty (prům) a, (prům) b. Pro jejich velikost lze psát a(l) + (prům) a(s) b(l) + (prům) b(s) a = b =. (6) 2 2 Zaveďme (prům) a a (prům) b do výpočtu jako vstupní hodnoty a proveďme 2 následné iterační kroky. Výsledkem jsou nové hodnoty a(l) a b(l) z prvního (lichého) kroku a a(s) a b(s) z kroku druhého (sudého). Podle (6) z nich lze určit aritmetické průměry a celý postup opakovat tak dlouho, až je rozdíl mezi a(l) a a(s) (resp. b(l) a b(s) ) dostatečně malý. Předpokládá se tedy, že se s každým opakováním sady 2 iteračních kroků zmenšuje. Ke zmenšování rozdílu sudé a liché hodnoty a (resp. b ) skutečně dochází, ovšem jen do určité meze síly F, jejímž překročením přestává řada hodnot konvergovat. a(l) a(s) Aplikací takto modifikovaného iteračního postupu dostáváme pro F = 92 kn hodnoty a = -77,29 knm a b = -43,262 knm (obr. 18) Největší velikost síly F, u které lze úspěšně použít modifikovaný iterační postup, je 92,8 kn. V místě předpokládaného vzniku prvního plastického kloubu se tak daří dosáhnout momentu a = -77,558 knm (obr. 19) což v absolutní hodnotě činí 75% momentu pl. Pokud zatížení nosníku zvýšíme na F = 93 kn, nepovede se najít rovnovážný stav ani jednou z dosud uvedených variant postupu. Nabízí se řešení této situace v podobě změny statického schématu vložením plastického kloubu do bodu a. Principielně takový postup možný je, ale zdá se, že není a(l) Obr. 18 a(s) -15-1 -77,29-43,262-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 56,547 diagram oceli (F = 92 kn) 82
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25-15 -1-77,558-43,839-5 5 1 1 2 57,241 3 4 5 6-15 -1-12,817-3,841-5 5 1 2 45,42 3 4 5 6 1 15 15 Obr. 19 diagram oceli (F = 92,8 kn) Obr. 2 diagram oceli (F = 93 kn) zcela korektní, neboť kloub je vkládán předčasně. Vyjdeme-li z výsledku a pro F = 92,8 kn, kde podporový moment činil,75 pl, můžeme usoudit, že při F = 93 kn bude a >,75 pl. S největší pravděpodobností ale a nedosáhne 1 pl, kdy je vložení plastického kloubu zcela odůvodněné. Předpokládejme však, navzdory pochybnostem, vznik plastického kloubu v bodě a už při F = 93 kn. Proveďme úpravu statického schématu, iteračním výpočtem nalezněme pružnoplastickou rovnováhu a podívejme se na průběh (obr. 2). Ze srovnání s průběhem pro F = 92,8 kn (obr. 19) vyplývá, že v podpoře b a pod břemenem F došlo k výraznému odlehčení. Při zvětšujícím se zatížení silou F však odlehčování u tohoto typu konstrukce nemůže nastat. Předpoklad vzniku plastického kloubu při F = 93 kn, spojený s úpravou statického schématu, je tedy nesprávný. Necháme-li zatížení dále růst, podaří se nalézt takový průběh, jenž by mohl na obr. 19 logicky navázat (nedojde k odlehčení), až při F = 17,7 kn (obr. 21). Pro F v intervalu 92,8 kn až 17,7 kn tak vlastně nejsme schopni uvedeným způsobem získat jednoznačný výsledek. Podobná situace nastává i při přiblížení se druhému, resp. třetímu plastickému kloubu. V inkriminovaném průřezu se podaří dosáhnout pouze 76 78 % pl (modifikovaným postupem). Při dalším zvětšování F pak výpočet diverguje. 6,246 Výpočty pro oba materiálové modely byly provedeny za stejných podmínek. Jediný rozdíl mezi nimi je v použité křivce tuhosti, přičemž obě křivky (obr. 2 a 3) jsou sestaveny pro stejný průřez. S ohledem na uvedené výsledky a tvar aplikovaných pracovních Obr. 21-15 -1-12,817-43,885-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 diagram oceli (F = 17,7 kn) σ [Pa] 6 5 4 3 2 1 pružnoplast. materiál se zpevněním ideálně pružnoplast. materiál,% 2,% 4,% 6,% 8,% 1,% ε [%] 3 25 2 15 1 5 el = 65,71 knm 5 55 6 65 7 75 8 85 9 Obr. 22 Pracovní diagram pružnoplastického materiálu se zpevněním Obr. 23 Křivka tuhosti profilu IPE 18 pružnoplastický materiál se zpevněním 83
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 diagramů lze říci, že divergence výpočtu nastává u pružnoplastického materiálu se zpevněním. Zdá se tedy, že příčinou tohoto jevu je zpevňování materiálu za mezí kluzu. Lze namítnout, že křivky tuhosti na obr. 2 a 3 nejsou srovnatelné, neboť u jedné dochází k poklesu tuhosti při pružném působení, zatímco u druhé ne. Proto byl proveden kontrolní výpočet s třetím typem pracovního diagramu, jenž byl modelován jako pružnoplastický s lineárním zpevněním (obr. 22, 23). ez kluzu a modul pružnosti byly stejný jako u ideálně pružnoplastického materiálu, zpevňování mírné (modul zpevnění,253 GPa). Průběh kontrolního výpočtu byl prakticky totožný s výpočtem předcházejícím. V místě předpokládaného 1. plastického kloubu bylo dosaženo 94 % pl, pak nastala divergence. 4 Úprava algoritmu Zřejmou slabinou iteračního výpočtu podle obr. 6 je způsob volby rozložení E*I po délce nosníku. Po nultém kroku, kdy E*I = konst., je kontrola nad průběhem E*I zcela ponechána ohybovým momentům staticky neurčité konstrukce n, s nimiž je náhradní ohybová tuhost svázána křivkou tuhosti (prostá iterace). Položme si tedy otázku, zda existuje takové rozložení E*I, které by při libovolném pracovním diagramu vedlo ke stavu pružnoplastické rovnováhy, tj. přiřadíme-li tuhostem E*I podle křivky tuhosti ohybové momenty n, bude jejich průběh na konstrukci prakticky stejný jako když n určíme podle zásad statiky s využitím tuhostí E*I v rámci vztahů (1). Ve snaze nalézt takové rozložení byla provedena úprava algoritmu (obr. 6) v bloku označeném. Tuhosti E*I (k) nejsou přiřazovány přímo podle ohybových momentů n(k-1) odečtením z křivky tuhosti, nýbrž je přihlédnuto také k průběhu tuhostí v minulém iteračním kroku. Náhradní ohybová tuhost každého dílku nosníku je tak vypočtena podle vztahu * I = η E * I + 1 η E I, (7) ( ) ( ) ( ) E ( k) (k-1) * (k-1) kde ( E * I )(k-1 ) je tuhost dílku z minulého kroku, ( I ) E (k-1) * je tuhost přiřazená pomocí křivky tuhosti na základě ohybových momentů n(k-1) a η je koeficient vyjadřující váhu tuhosti v předešlém kroku η ; 1. Vhodná volba koeficientu η umožní řešit situace předešlým způsobem neřešitelné což dokládá např. obr. 24, kde je průběh pro F = 93 kn (η =,7). Na první pohled zaujme logická návaznost obr. 24 na obr. 19. Pro představu o rychlosti konvergence je na obr. 25 znázorněna změna a během iteračních kroků. Obr. 26 poskytuje nový pohled na momentový obrazec při F = 17,7 kn (vypočteno -15-1 -77,632-43,979-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 57,411 a [knm] -84-82 -8-78 -76-74. it. 1. it. 2. it. 3. it. 4. it. 5. it. 6. it. 7. it. 8. it. 9. it. 1. it. 11. it. 12. it. Iterace Obr. 24 diagram oceli (F = 93 kn) Obr. 25 Změna podporového momentu a v průběhu iteračního výpočtu (F = 93 kn) 84
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25-15 -1-81,671-55,19-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 7,54 3, 25, 2, 15, 1, 5,, 1 2 3 4 5 6 Obr. 26 diagram oceli (F = 17,7 kn) Obr. 27 Průběh náhradní ohybové tuhosti skutečný pracovní diagram oceli (F = 17,7 kn) pro η =,8). Plastický kloub při této velikosti F očividně nevzniká, což dokládá i obr. 27. První plastický kloub se objeví až při F = 143,8 kn (obr. 28, 29). Druhý plastický kloub vznikne při F = 152,9 kn (obr. 3, 31) a poslední, třetí kloub, se zformuje překročením F = 154,5 kn (obr. 32, 33). Na obr. 34 jsou ohybové čáry nosníku pro různá F. -15-1 -12,816-87,315-5 1 2 3 4 5 6 5 1 15 93,88 3, 25, 2, 15, 1, 5,, 1 2 3 4 5 6 Obr. 28 diagram oceli (F = 143,8 kn) Obr. 29 Průběh náhradní ohybové tuhosti skutečný pracovní diagram oceli (F = 143,8 kn) -15-1 -12,817-96,867-5 1 2 3 4 5 6 5 1 12,817 15 3, 25, 2, 15, 1, 5,, 1 2 3 4 5 6 Obr. 3 diagram oceli (F = 152,9 kn) Obr. 31 Průběh náhradní ohybové tuhosti skutečný pracovní diagram oceli (F = 152,9 kn) -15-1 -12,817-12,816-5 1 2 3 4 5 6 5 1 12,817 15 3, 25, 2, 15, 1, 5,, 1 2 3 4 5 6 Obr. 32 diagram oceli (F = 154,5 kn) Obr. 33 Průběh náhradní ohybové tuhosti skutečný pracovní diagram oceli (F = 154,5 kn) 85
ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 25 Průhyb [mm] 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 F=93 kn F=17,7 kn F=13 kn F=14 kn F=143,8 kn F=145 kn F=15 kn F=152,9 kn F=154,5 kn 5 Závěr Ukázalo se, že zvolený materiálový model ovlivňuje nejen výsledky nelineárního výpočtu, ale především jeho průběh. Volbě výpočetních postupů tedy musí být věnována zvýšená pozornost. Na zřeteli je třeba mít nejen předpoklady řešitelnosti úlohy, nýbrž také podmínky konvergence zvolené metody. Iterační výpočet dle obr. 6, upravený podle kapitoly 4, umožňuje určit průběhy vnitřních sil staticky neurčité konstrukce v pružnoplastickém stavu v celém rozsahu její teoretické využitelnosti pro jakoukoli hodnotu síly F, tj. od počátku zatěžování až do vyčerpání plastické únosnosti konstrukce vznikem úplného plastického mechanismu zhroucení. Poděkování Děkuji doc. ing. Petru Janasovi, CSc. za sestavení vztahu (7), jehož implementací do iteračního algoritmu je umožněno řešit prutové konstrukce s materiálovými vlastnostmi popsanými prakticky libovolným pracovním diagramem. Oznámení Projekt byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím Grantové agentury České republiky. Registrační číslo projektu je 15/4/458. Literatura Obr. 34 Ohybová čára oboustranně vetknutého nosníku při různé velikosti síly F [1] Sobotka, Z. THEORIE PLASTICITY A EZNÍCH STAVŮ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ, Nakladatelství ČSAV Praha, 1954 [2] TEORIE PLASTICITY A EZNÍCH STAVŮ, kolektiv katedry stavebné mechaniky, VUT Brno, 1972 [3] rázik, A., Škaloud,., Tocháček,. NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ PODLE TEORIE PLASTICITY, SNTL Praha, 198 [4] Janas, P., Krejsa,., Janas, K., Kološ, I. STATICKÉ ŘEŠENÍ OCELOVÝCH OBLOUKOVÝCH VÝZTUŽÍ PODZENÍCH DĚL, sborník příspěvků konference Ocelové konstrukce a mosty 23, Praha, 23 [5] Kadlčák, J., Kytýr, J., STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ II, VUTIU Brno, 21 [6] Kološ, I., PRŮHYB SPOJITÉHO NOSNÍKU V PRUŽNOPLASTICKÉ STAVU, sborník příspěvků semináře odelování v mechanice 23, VŠB-TU Ostrava, 23 [7] Kološ, I. STATICKY NEURČITÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE V PRUŽNOPLASTICKÉ STAVU, disertační práce, VŠB-TU Ostrava, 25 (v tisku) 86