Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha 3 3 Úloha 3 3 4 Úloha 4 4 5 Úloha 5 4 6 Úloha 6 5 7 Úloha 7 6 8 Úloha 8 7 9 Úloha 9 9 0 Úloha 0 0 Úloha 0 Úloha 3 Úloha 3 4 Úloha 4 3 5 Úloha 5 4 6 Úloha 6 5 7 Úloha 7 5
8 Úloha 8 6 9 Úloha 9 7 0 Úloha 0 7 Úloha 9 Úloha max. body Jsou dána ísla s = 9 0 80, t = 54 0 60. Ve stejném tvaru (sou in co nejmen²ího p irozeného ísla a mocniny deseti) uve te ísla a, b:. a = s : 45. b = s : t [novamaturita.cz]. a = s : 45. b = s : t a = s : 45 a = 9 0 80 45 a = 0 80 5 a = 0 0 79 5 a = 0 79 b = s : t b = ( 9 0 80) ( : 54 0 60 ) ( ) 9 0 80 b = 54 0 60 3 0 80 b = 3 3 0 60 3 4 0 360 b = 3 3 0 60 b = 3 000 b = 3 0 099 b = 3 5 0 99 b = 5 0 99
Úloha max. body Pro a > 0 zjednodu²te výraz: (a ) 4 a 4 +a 3 (a ) 4 ) a 4 +a = (a 3 a 3 (a+) [novamaturita.cz] = (a ) (a +) a 3 (a+) = (a 4) a a 3 (a+) = (a+) (a ) a a 3 (a+) = (a ) a = a a a 0 a, podmínky zde nejsou ani nutné, protoºe v zadání je a > 0. 3 Úloha 3 max. body Posloupnost (a n ) n= je ur ena vzorcem a n = 300n n +.. Kolik len posloupnosti je v t²ích neº 3 5?. Vypo t te limitu a n pro n +. [novamaturita.cz]. Kolik len posloupnosti je v t²ích neº 3 5? (a) Zjistíme si, pro jaké n je a n > 3 5. a n > 3 5 300n n > 3 + 5 5 (n + ) 500n > 3 ( n + ) : 3 500n > n + n 500n + < 0 0 > n 500n + Pozn.: p i násobení nerovnice ( n + ) jde o kladné íslo, takºe se nerovnítko nezm ní. (b) Budeme hledat ko eny rovnice n 500n + = 0. Já si rovnici p epí²u pro neznámou x. x 500x + = 0 D = b 4ac = ( 500) 4 = 50000 4 = 49996 a = 500± 49996 = 500± 4 6499 = 500± 6499 = (50± 6499) x, = b± D = 50 ± 6499 x = 499, 998 x = 0, 00000008 =. 0, 00 Z pr b hu funkce y = x 500x + ur ím poºadovaný interval pro nerovnici. 3
(c) x 500x + < 0 pro x (0, 00000008; 499, 998) a n > 3 5 tedy pro {n N; n 499},coº je 499 ísel. 499 len posloupnosti je v t²í jak 3 4.. Vypo t te limitu a n pro n +. ( ) (a) lim (a 300n n) = lim n n n + = lim 4 Úloha 4 300 n n n n (+ n ) = lim 300 n = 0 n + n +0 = 0 = 0 max. body V R e²te: x log 4 x+ = (x + ) log 8 [novamaturita.cz] x log 4 x+ = (x + ) log 8 log 4 x(x+) = log 8 x+ 4 x(x+) = 8 x+ x(x+) = 3(x+) x (x + ) = 3 (x + ) x + x = 3x + 3 x x 3 = 0 D = b 4ac = ( ) 4 ( 3) = + 4 = 5 x, = b± D a = ± 5 = ±5 4 x = +5 4 = 6 4 = 3 x = 5 4 = 4 4 = 5 Úloha 5 max. body 4
Je dán ty úhelník ABCD (viz obrázek). Strana BC má délku x, strana AD délku d, velikosti úhl BCD a ABD jsou ε a ϕ, vnit ní úhly p i vrcholech A a C jsou pravé. Vyjád ete délku x v závislosti na veli inách ε, ϕ a d. [novamaturita.cz] Vyuºijeme goniometrické funkce pravoúhlého trojuhelníku. Vyjád íme DB pomocí d a ϕ. sin ε = x DB DB sin ε = x x = DB sin ε sin ϕ = DB = d DB d sin ϕ Doplníme do p edchozí rovnice x = DB sin ε x = d sin ϕ sin ε x = d sin ε sin ϕ 6 Úloha 6 max. body V nádob tvaru válce o polom ru podstavy 5 cm sahá voda do vý²ky 0 cm. Pono ením ocelové krychle hladina stoupne o 4 cm. Kolik centimetr m í hrana krychle? Údaj zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 5
[novamaturita.cz] Objem vytla eného vodního sloupce (válce) V v je shodný s objemem krychle V k. Objem krychle: V v = S p v V v = πr z V v = 3, 4 5 4 V v = 00π cm 3 V k = V v V k = a 3 00π = a 3 a = 3 00π. a = 6, 8 cm Vý²ku v h jsme ani nepot ebovali. Jen bychom si m li ov it, ºe vý²ka hladiny byla dostate ná na to, aby krychle opravdu vytla ila vodní sloupec, a nikoli n jaký jiný útvar... Zde vý²ka hladiny 0 cm dostate ná byla. 7 Úloha 7 max. body 6
Ze vztahu y = x+ x+3 vyjád ete pro p ípustné hodnoty y prom nnou x. [novamaturita.cz] y = x + (x + 3) x + 3 y(x + 3) = x + yx + 3y = x + yx x = 3y x(y ) = 3y : (y ) x = 3y y pro y. 8 Úloha 8 max. 3 body Reálná funkce f s reálnou prom nnou x je dána p edpisem: f(x) = x+3.. Ur ete pr se íky X a Y grafu funkce fs osami sou adnic x a y.. Sestrojte graf funkce f. [novamaturita.cz]. Pr se íky lze vy íst následn z grafu i tabulky hondnot. Pokud bychom tabulku hodnot ned lali, tak lze pr se íky vypo ítat: Pr se ík s osou x je moment, kdy y = 0, takºe platí: 7
X [, 0] y = x + 3 0 = x + 3 x + 3 = = x + 3 = x x = Pr se ík s osou y je moment, kdy x = 0, takºe platí: Y [ 0, 3 ]. Graf funkce f(x) = x+3, x 3 (a) Sestrojíme graf funkce f (x) = x, x 0 i. x -4-3 - - 4 y 4 3 y = x + 3 y = 0 + 3 y = 3 4 3 4 4-4 - 3 4 (b) Sestrojíme graf funkce f (x) = x+3, který vznikne posunem funkce f o 3 jednotky ve sm ru záporné osy x. (c) Sestrojíme výsledný graf funkce f(x) = x+3, který vznikne posunem funkce f o jednotku ve sm ru kladné osy y. i. P ípadn m ºeme také ud lat tabulku hodnot: x -7-6 -5-4 3 3 4 3 4 - - 0 y 4 3 3 5-3 - 0 3 3 4 ii. 8
Z tabulky hodnot vy teme pr se ík s osou x : X [, 0] Z tabulky hodnot vy teme pr se ík s osou y : Y [ ] 0, 3 9 Úloha 9 max. 4 body Kruºnice k se st edem S je vepsána do tverce s vrcholy A [ 4; 0], B [; ], C [4; 4] a D [ ; 6].. Prove te ná rtek.. Ur ete sou adnice st edu S, polom r r a rovnici kruºnice k. Do záznamového archu uve te celý postup e²ení v etn ná rtku! [novamaturita.cz]. Spo ítáme sou adnice st edu S. St ed S je st edem úse ky AC (úlop í ky u). S [x S, y S ] Sou adnice st edu S vzniknou zpr m rováním sou adnic krajních bod A a B. x S = x A+x C = 4+4 = 0 = 0 y S = y A+y C = 0+4 = 4 = Sou adnice st edu tedy jsou: S [0, ]. Spo ítáme porom r r. (a) r = AD AD = (x D x A ) + (y D y A ) = 0 = 0 r = 0 = 0 (b) Sestavíme st edovou rovnici kruºnice se st edem S [m, n]. [ ( 4)] + (6 0) = + 6 = 4 + 36 = 40 = 4 0= 4 9
(x m) + (y m) = r ( ) (x 0) + (y ) = 0 x + (y ) = 0 0 Úloha 0 max. 4 body B hem prvních 5 dn se vyrobilo denn v pr m ru o tvrtinu výrobk mén, neº se vyrobilo v kaºdém z 0 následujících dn. Celkem se vyrobilo 00 výrobk. Kolik výrobk z tohoto po tu p ipadá na prvních 5 dn? Do záznamového archu uve te celý postup e²ení! [novamaturita.cz] b hem prvních 5 dn denní výroba... x 4x = 0, 75 x dal²ích 0 dn denní výroba... x Celkem vyrobeno 00 ks Sestavíme rovnici: 5 0, 75 x + 0x = 00 3, 75x + 0x = 00 3, 75x = 00 00 375x = 0 000 : 375 x = 600 Denní výroba v prvních 5 dnech byla 600 ks výrobk. Úloha max. 3 body Kaºdou z následujících úloh vy e²te, vyhledejte správné e²ení z nabídky a vyzna te je k íºkem v p íslu²ném poli tabulky záznamového archu. K výraz m 3 p i a te ekvivalentní vyjád ení z nabídky A E pro libovolné x R.. (cos x sin x) A). cos ( x) + sin ( x) B) - 3. cos x C) sin x [novamaturita.cz] D) sin x E) není uvedeno. (cos x sin x) (cos x sin x) = cos x cos x sin x + sin x = cos x sin x = sin x Jde tedy o volbu C).. cos ( x) + sin ( x) cos ( x) + sin ( x) = Jde tedy o volbu A). 0
3. cos x cos x = ( cos x sin x ) = cos x + sin x = sin x + sin x = sin x Jde tedy o volbu D). Úloha V p edpisech zobrazení 3 dopl te podle obrázku chyb jící symboly z nabídky A E. max. 3 body. Ve st edové soum rnosti se st edem R se úse ka AE zobrazí na. A) AB. V osové soum rnosti s osou se úse ka DG zobrazí na úse ku IF. B) AC 3. V oto ení se st edem F o úhel α = 60 se úse ka P O zobrazí na. C) BI D) EB E) EC [novamaturita.cz]. St edová soum rnost se st edem R. AE se zobrazí na BI. Jde o voblu C).. Osová soum rnost
Osou soum rnosti je p ímka AB. Jde o volbu A). 3. Oto ení o α = 60 Úse ka P O se zobrazí na EC. Jde o volbu E). 3 Úloha 3 max. body Bod M je vnit ním bodem hrany CG krychle ABCDEF GH. Na které p ímce ur ené vrcholy krychle leºí pr se ík p ímky EM s rovinou ABD? H G E F D M C A B
A) na p ímce AC B) na p ímce AD C) na p ímce BC D) na p ímce CD E) na jiné p ímce [novamaturita.cz] H G E F D C M P A B Pokud se dv p ímky mají protínat v jednom bod, tak toto dv p ímky musí vytvá et jednu rovinu. Takºe musíme najít rovinu, která je ur ena body E, M a dv ma vrcholy krychle. Ze zadání úlohy v úvahu p ipadají pouze vrcholy z roviny ABD. Jednu rovinu s p ímkou EM mohou vytvo it pouze vrcholy A, C. Jde o rovinu ACME. Jak je vid t z obrázku, kdyº vedeme komlou rovinu z bod EM na rovinu ABD, pr se nice t chto rovin je p ímka AC. Práv na této p ímce bude leºet hledaný pr se ik P. Jde o volbu A). 4 Úloha 4 Jaká je odchylka ϕ p ímky p : x 3 + y = 0 a p ímky q : x = 3? A) ϕ = 90 B) ϕ = 60 C) ϕ = 45 D) ϕ = 30 E) P ímky jsou rovnob ºné. [novamaturita.cz] Vyuºiji analytické geometrie a vzore ku pro výpo et odchylky dvou p ímek.. Nejprve si ob p ímky p evedeme do obecného tvaru: p : 3x + y = 0 q : x 3 = 0. Vyjád íme si normálové vektory: n p = ( 3, ) n q = (, 0) 3. Vypo ítáme odchylku p ímek: max. body 3
cos α = n p n q n p n q 3 + 0 cos α = ( 3 ) + + 0 cos α = 3 3 + cos α = cos α = 3 3 α = 30 Jde o volbu D). Pozn.: Úlohu by ²lo e²it i pomocí sm rnice p ímky p, která je k = 3. P ímka q je rovnob ºná s osou y. Pomocí sm rnice bychom vypo ítali úhel, který svírá p ímka p s osou x a pak ho následn p epo ítali na úhel, který musí svírat s osou y, a tedy i p ímkou q. 5 Úloha 5 max. body Ur ete sou et s nekone né geometrické ady a +a + +a n +, kde pro v²echna p irozená ísla n platí: a n = 4n 3n A) sou et neexistuje B) s = 3 4 C)s = 3 6 D) s = 4 E) jiná reálná hodnota [novamaturita.cz]. Ur íme první len pro n =. a = 4 3 = 40 3 = 8. Ur íme q: q = a n+ q = a n 4 n+ 3(n+) 4 n 3n q = 4n+ 3(n+) q = 4n 4 3n 3 q = 3 q = Pozn: q lze taky ur it úpravou lenu a n na tvar s q n : 3n 4 n 3n 4 n 4
a n = (n ) = n 3n = n = 3n = +n = n 4 = n 4 ( ) n 3. 0 < q < proto existuje sou et nekone né ady a je roven: s = a q = 8 Jde o volbu D). = 8 = 8 = 4 6 Úloha 6 max. body Pro v²echny reálné hodnoty prom nné x platí: (x + m) (x ) = x + bx + 8 Který zápis bude po dosazení vypo tených hodnot b, m pravdivý? A) b = m + B) b < m C)b m = 0 D) b > 0 E) b = m [novamaturita.cz] Rovnici upravíme do tvaru ax + bx + c: b = m tedy musí platit: b < m Jde o volbu B). (x + m) (x ) = x + bx + 8 x x + mx m = x + bx + 8 x + (m ) x m = x + bx + 8 7 Úloha 7 max. body Zna ka automobilu se skládá ze ²esti znak. První t i znaky jsou n která z písmen ABCDEF a po nich následuje troj íslí z íslic 0 aº 9. (Znaky se mohou ve zna ce opakovat, takºe existuje nap íklad zna ka ABA00.) Jaký maximální po et aut lze takto ozna it, kdyº ºádná dv auta nesmí mít stejnou zna ku? A) 6 B) 7 000 C) 35 568 D) 57 464 E) 6 000 [novamaturita.cz] 5
Záleºí na po adí, proto jde o variace. Znaky i íslice se mohou opakovat, proto p jde o variace s opakováním. Pro první t i znaky vybíráme t i písmena z ²esti, proto k = 3, n = 6. Pro dal²í pozice vybíráme t i íslice z deseti, proto k = 3, n = 0. Volby se vzájemn násobí podle kombinatorického pravidla sou inu. V (k, n) = n k V (3, 6) V (3, 0) = 6 3 0 3 = 6 000 = 6 000 Jde o volbu E). 8 Úloha 8 max. body Ve rm jsou zam stnanci rozd leni do dvou skupin. V první skupin mají zam stnanci pr - m rný m sí ní plat 45 000 korun, ve druhé pobírají pr m rn 30 000 korun. Pr m rný m sí ní plat v²ech zam stnanc rmy je 3 400 korun. Kolik procent zam stnanc je za azeno do druhé skupiny? A) mén neº 75 % B) alespo 75 %, ale mén neº 80 % C) alespo 80 %, ale mén neº 85 % D) alespo 85 %, ale mén neº 90 % E) nejmén 90 % [novamaturita.cz] Po et zam stnanc v první skupin... x Po et zam stnanc v druhé skupin... y Kdyº pr m rným platem vynásobíme po et zam stnanc, dostaneme celkov vyplacenou ásku plat ve skupin. Sou et plat v první skupin... 45000 x Sou et plat v druhé skupin... 30000 y Sou et plat v²ech zam stnanc... 3400 (x + y) Sestavíme rovnici: 45 000 x + 30 000y = 3 400 (x + y) 45 000 x + 30 000y = 3 400 x + 3 400 y 600x = 400y x = 400 y 600 x y = 63 Známe pom r mezi po tem zam stnanc první a druhé skupiny. V první skupin je a zam stnanc, a je n jaké íslo V druhé skupin je 63a zam stnanc Celkem zam stnacn a + 63a = 75a V druhé skupin je tedy: část 63a 63 celek 00 = 75a 00 = 75 00 = 84 % zam stnanc. Jde o volbu C). 6
9 Úloha 9 max. body Martin si p j il ástku 4 000 korun. Na konci kaºdého úrokovacího období splatil 6 000 korun. Po p ti splátkách se dluºná ástka sníºila na 0 000 korun. Kolik procent z dosud zaplacených pen z ²lo na platbu úrok? A) tém 4 % B) tém 7 % C) 30 % D) asi 33 % E) jiný po et [novamaturita.cz] Kdyby p j ka nebyla úro ena ºádnými úroky, tak by p j ka po p ti splátkách klesla na: 4 000 5 6 000 = 4 000 30 000 = 000 K Tím ºe ale dluºí po p ti splátkách je²t 0 000 K, tak muselo ze splátek ve vý²i 30 000 K padnout celkem na úroky 0 000 000 = 8 000 K. Úroky totiº nesniºují dluh. Na platbu úrok ²lo tedy 8000 30000 00 = 8 30 00 = 4 5 00 = 6, 6 =. 6, 7 %. Jde o volbu B). 0 Úloha 0 max. body Hledáme komplexní íslo, jehoº druhá mocnina je rovna íslu i (tj. imaginární jednotce). Na kterém z obrázk jsou zobrazena ob komplexní ísla z, z s touto vlastností? A) y i B) y i z z 0 x 0 x z z C) z i y D) y i z 0 x 0 x z z 7
E) y i z 0 x z [novamaturita.cz]. Varianta e²ení íslo. z = i (a) komplexní íslo z vyjád íme v algebraickém tvaru z = a + bi z = (a + bi) = a + abi + (bi) = a b + abi i = a b + abi reálné sloºky si musí být rovny= 0 = a b a = b imaginární sloºky si musí být rovny = ab = ab = (b) aby sou in ab byl kladný, tak a > 0 a b > 0 nebo a < 0 a b < 0 T mto podmínkám vyhovuje pouze varianta E).. Varianta e²ení íslo. (a) komplexní íslo z vyjád íme v geometrickém tvaru z = z (cos α + i sin α) z = z (cos α + i sin α) z nákres je patrné, ºe komplexní íslo z je komplexní jednotkou, tj. jeho velikost je rovna z = Pak platí: z = (cos α + i sin α) z = (cos α + i sin α) z =cos α + i sin α i = cos α + i sin α (b) reálná sloºka tedy musí být rovna 0 a imaginární sloºka rovna. 8
y sinx 0 90 80 70 360 x cosx - cos α = 0 α = ϕ cos ϕ = 0 ϕ = 90 + k 80 α = 90 + k 80 α = 45 + k 90 sin α = α = ϕ sin ϕ = ϕ = 90 + k 360 α = 90 + k 360 α = 45 + k 80 k Z Protoºe úhel musí platit jak pro cos tak pro sin, vyhovuje pouze α = 45 +k 80. Pro α 0, 360 ) jsou to dva úhly: α = 45 α = 45 + 80 = 5 Jde o volbu E). Úloha max. 3 body P irozené íslo n má na p edposledním míst p tku a zbývajících 9 cifer tvo í dvojky. O kaºdém z následujících tvrzení 4 rozhodn te, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).. ƒíslo n je d litelné ty mi.. ƒíslon je d litelné osmi. 3. ƒíslon je d litelné devíti. 4. ƒíslon je d litelné ²esti. [novamaturita.cz] 9
Na²e íslo vypadá takto: 5. D litelnost ty mi ƒíslo je d litelné ty mi, kdyº je poslední dvoj íslí d litelné ty mi. 5 : 4 = 3 Odpov : ANO. D litelnost osmi ƒíslo je d litelné osmi, kdyº je poslední trojj íslí d litelné ty mi. 5 : 8 = 3, 5 Odpov : NE 3. D litelnost devíti ƒíslo je d litelné devíti, kdyº je ciferný sou et d litelné ty mi. Ciferný sou et: 9 + 5 = 63 63 : 9 = 7 Odpov : ANO 4. D litelnost ²esti ƒíslo je d litelné ²esti, kdyº d litelné dv ma a t emi. D litelné dv ma jsou ísla kon ící na sudou cifru. D litelné t emi je íslo, jehoº ciferný sou et je d litelný t emi. ƒíslo je d litelné dv ma, protoºe kon í na íslici. Ciferný sou et: 9 + 5 = 63 63 : 3 = Odpov : ANO Reference [novamaturita.cz] Www.novamaturita.cz : Home Testy a zadání Maturitní generálka 00 Matematika Didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti [online]. 00 [cit. 00--0]. Ociální stránky nové maturitní zkou²ky. Dostupné z WWW: <http://www.novamaturita.cz/maturitnigeneralka-00-40403473.html>. 0