ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická DIPLOMOVÁ PRÁCE 21 Autor: Bc. Jan Cagáň
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra měření Zpracování dynamických signálů v oblasti diagnostiky rotujících soustav Vedoucí práce: doc. Ing. Radislav Šmíd, Ph.D. Autor: Bc. Jan Cagáň Praha 21-2-
Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady (literaturu, projekty, SW atd.) uvedené v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 6 Zákona č.121/2 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne 14.5.21 podpis -3-
-4-
Anotace Cílem této práce je implementovat aplikaci pro vyhodnocení dynamických signálů z oblasti diagnostiky rotujících soustav. Aplikace umožňuje vyhodnotit řádovou analýzu pomocí Vold-Kalmanova řádového filtru i pomocí spektrogramu. Součástí aplikace je také možnost odhadovat průběh tachosignálu z dynamických dat pomocí Bayesovského přístupu. První část práce je zaměřena na teorii Vold-Kalmanovy filtrace a na teorii odhadu Bayesovským přístupem. V další části je popis vytvořené aplikace a způsob implementace. Závěrem je vyhodnoceno skutečné měření. Annotation The aim of this work is to implement an application for evaluation of dynamic signals from the rotating system diagnostics. Application allows to evaluate the order analysis using Vold- Kalman filter and using ordinary spectrogram. The application is also capable to estimate the rotational speed from dynamic data using the Bayesian approach. The first part focuses on the theory Vold-Kalman filtering and Bayesian estimation theory approach. The next part contains a description of the created application and method of implementation. Finally, the real measurement are evaluated. -5-
OBSAH 1 Úvod... 9 1.1 Motivace... 9 1.2 Přehled cílů práce... 1 2 Struktura vyvíjené aplikace... 11 3 Řádová analýza... 12 3.1 Přehled problematiky... 12 3.2 Campbellův rezonanční diagram... 13 3.3 Vold-Kalmanova řádová filtrace... 14 3.3.1 Vold-Kalmanův filtr první generace... 15 3.3.2 Vold-Kalmanův filtr druhé generace... 17 3.3.3 Metoda konjugovaných gradientů... 2 3.3.4 Implementace Vold-Kalmanova řádového filtru... 22 4 Odhadování tachosignálu... 28 5 Popis realizované aplikace... 33 6 Vyhodnocení naměřených dat... 39 6.1 Testovací náměry... 39 6.2 Ověření frekvenčních vlastností vrtule... 42 7 Závěr... 48 8 Přílohy... 49 8.1 Příloha 1... 49 8.2 Příloha 2... 5 8.3 Příloha 3... 51 8.4 Příloha 4... 52 8.5 Příloha 5... 53 8.6 Příloha 6... 54-6-
SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 2-1 Stručné blokové uspořádání řetězce zpracování signálu... 11 Obrázek 3-1 Srovnání ekvidistantního vzorkování s vzorkováním souběhové filtrace... 13 Obrázek 3-2 Model diskrétního stochastického lineárního systému a Kalmanova filtru.. 15 Obrázek 3-3 Vliv váhového koeficientu na selektivitu Vold-Kalmanova filtru... 19 Obrázek 3-4 Gradienty kvadratické formy... 21 Obrázek 3-5 Struktura knihovny libspm.dll... 25 Obrázek 3-6 Volání sdílené knihovny libspm.dll... 26 Obrázek 3-7 Nastavení volání linspm.dll... 26 Obrázek 3-8 Celkový průběh výpočtu Vold-Kalmanovy řádové filtrace... 27 Obrázek 4-1 Hrubý vývojový diagram algoritmu pro odhadování tachosignálu... 3 Obrázek 4-2 Srovnání odhadu ot. frekvence a měřeného tachosignálu... 32 Obrázek 4-3 Chyba odhadu otáčkové frekvence... 32 Obrázek 5-1 Aplikace pro vyhodnocení karta FILE... 33 Obrázek 5-2 Aplikace pro vyhodnocení karta VIEWER... 34 Obrázek 5-3 Aplikace pro vyhodnocení karta TACHO ESTIMATOR... 35 Obrázek 5-4 Konvergence/Divergence hledání maxima aposteriorní pravděpodobnosti. 35 Obrázek 5-5 Aplikace pro vyhodnocení výsledek odhadu... 36 Obrázek 5-6 Aplikace pro vyhodnocení karta CAMPBELL DIAGRAM... 37 Obrázek 5-7 Aplikace pro vyhodnocení karta OT-VKF... 38 Obrázek 6-1 Blokové schéma měřicího řetězce... 39 Obrázek 6-2 Časový průběh signálu pasivního indukčního snímače... 4 Obrázek 6-3 Campbellův rezonanční diagram testovacího náměru... 41 Obrázek 6-4 Řády testovacího náměru vyhodnocené Vold-Kalmanovou filtrací... 41 Obrázek 6-5 Umístění tenzometrů na vrtulovém listu.... 42 Obrázek 6-6 Campbellův diagram T1 listu OS17... 43 Obrázek 6-7 Campbellův diagram T2 listu OS17... 44-7-
Obrázek 6-8 Výsledek VKF-OT, T1-OS17, řády 1, 2 a 4.546... 46 Obrázek 6-9 Výsledek VKF-OT, T1-OS17, řády 3, 3.25 a 3.5... 46 Obrázek 6-1 Výsledek VKF-OT, T2-OS17, řády 1, 2 a 4.546... 47 Obrázek 6-11 Výsledek VKF-OT, T2-OS17, řády 3, 3.25 a 3.5... 47 Obrázek 8-1 Příprava zapojení tenzometrické bezdrátové aparatury... 51 Obrázek 8-2 Sestava vrtule s bezdrátovou tenzometrickou aparaturou... 51 Obrázek 8-3 Sestava vrtule na motoru... 52 Obrázek 8-4 Frekvenční odezva listu OS17... 53 Obrázek 8-5 Frekvence vlastních tvarů kmitání listu V36o, Rotax 912UL... 54-8-
1 ÚVOD 1.1 MOTIVACE Tato práce vznikla nejen v rámci dokončení magisterského studia, ale také na základě potřeb útvaru Letecké vrtule Výzkumného a zkušebního leteckého ústavu, a. s. (VZLÚ), který je národním centrem pro výzkum, vývoj a zkušebnictví v letectví a kosmonautice. Standardní součástí vývojového cyklu při konstrukci různých rotujících soustav je obvykle následné experimentální ověření výsledných dynamických charakteristik a frekvenčního naladění na prototypovém díle. Předchází tomu samozřejmě úvodní návrhové výpočty i podrobnější simulace, nicméně některé jevy, jako například reálný vliv tlumení aerodynamického či strukturálního původu, vytvářejí vždy určitou nejistotu. Cílem tohoto ověření je nalézt kritické stavy (či analyzovat jejich významnost), při kterých dochází k rezonancím, zvýšení dynamického namáhání jednotlivých dílů konstrukce a následnému rapidnímu zkracování jejich životnosti či dokonce k hrozbě náhlého fatálního selhání s katastrofickými důsledky. Tyto nebezpečné rezonance jsou nejčastěji způsobeny sblížením vlastních frekvencí některé ze součástí konstrukce s budícími frekvencemi periodicky působících okolních vlivů nejrůznější povahy. V případě rotorů jsou tato buzení nejčastěji přímo odvislá od otáček a jejich dalších vyšších harmonických frekvencí dále bude používáno termínu řád frekvence otáčení. Jedná se kupříkladu o vliv nevývahy hřídele, nesouosost uložení hřídelí, cyklické aerodynamické působení na lopatky, vibrace od pohonu, zvláště v případě pístových motorů. Pro ověření skutečných frekvenčních vlastností rotujících soustav se tak pro názornost často používá výstup v podobě tzv. Campbellova rezonančního diagramu, čímž se v podstatě opakuje postup konstruktéra. Ten si v úvodní fázi návrhu do diagramu závislosti frekvence na otáčkách vynáší očekávané vlastní frekvence a možné budící vlivy a sleduje, zda se vznikající rezonance (tj. průsečíky těchto čar) nenacházejí v oblasti provozních otáček. Campbellův diagram v této fázi konstruování je možné vidět na obrázku 8-5 v příloze 6. Podobný výstup z měření tomu pak, kromě upřesnění skutečné polohy rezonancí, dodá ještě výstup v podobě třetí dimenze diagramu, kdy je vyhodnocena amplituda dané frekvenční složky (nejčastěji se znázorňuje v barevné škále). To umožní posoudit skutečnou významnost namáhání či vibrací na jednotlivých řádech kmitání. Z dosavadního způsobu vyhodnocení experimentálního Campbellova diagramu, tak jak se používá v současné době na pracovišti VZLÚ a jak bude popsáno dále v kapitole 3.2, je -9-
zřejmá určitá nevýhoda, kterou je především nepřesnost určení amplitudy sledovaného řádu, a to zejména při vyhodnocení měřeného signálu při rychlejších změnách otáček. Tento problém lze odstranit použitím poměrně mladé metody filtrace, kterou je Vold-Kalmanova řádová filtrace. Jak bylo naznačeno, je pro diagnostiku rotorových soustav nezbytné měřit resp. znát otáčkovou frekvenci vyšetřované soustavy. Měření otáčkové frekvence se nejčastěji realizuje tachodynamem, optickým snímačem či indukčním snímačem. V některých případech však není možné instalovat snímač otáček, a proto je dalším cílem práce umožnit vyhodnocení řádové analýzy za absence tachosignálu. To bude umožněno odhadováním tachosignálu z uživatelské apriorní znalosti některých řádů obsažených v dynamickém signálu. Tato apriorní znalost společně s daty bude zpracována Bayesovským přístupem. Na útvaru Letecké vrtule je standardním softwarovým vybavením grafické vývojové prostředí LabView 7.1, proto je prostředí pro vyhodnocení vytvořeno právě pomocí tohoto vývojového nástroje. Jak bude vysvětleno dále, bylo nutné určitou část vytvořit v jazyce C, k tomu posloužilo vývojové prostředí Eclipse. 1.2 PŘEHLED CÍLŮ PRÁCE Cíle práce lze rozdělit do následujících bodů: Vytvořit aplikaci pro vyhodnocení dynamických signálů z akcelerometrů či tenzometrů pomocí řádové analýzy realizované spektrogramem resp. obdobným Campbellovým rezonančním diagramem. Tytéž dynamické signály vyhodnotit pomocí Vold-Kalmanovy řádové filtrace. Implementovat možnost odhadování otáčkové frekvence z dynamických signálů pomocí uživatelské apriorní znalosti řádů Bayesovským přístupem. Otestovat prostředí vyhodnocením reálných dat. -1-
2 STRUKTURA VYVÍJENÉ APLIKACE Aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů umožňuje zpracovat datové soubory, které má možnost uživatel přehledně vybrat. Poté lze vybrat časový úsek zvoleného kanálu, který chce uživatel vyhodnotit. V dalším kroku aplikace umožňuje vytvořit otáčkový profil pomocí Bayesovského odhadování, pokud není přítomen signál otáček. Dále je možné vyhodnotit Campbellův rezonanční diagram pro hrubé přiblížení případné přítomnosti řádů respektive rezonančních stavů. V dalším kroku jsou vyhodnoceny výrazné řády pomocí Vold- Kalmanovy řádové filtrace, jejíž výsledek je možné filtrovat dolní propustí, decimovat a uložit do textového souboru. Na následujícím diagramu je blokově znázorněn řetězec zpracování signálu. NAMĚŘENÁ DATA VÝBĚR DATOVÉHO SOUBORU VÝBĚR ČAS. ÚSEKU PRO VYHODNOCENÍ VÝBĚR ZNÁMÝCH ŘÁDŮ PRO ODHAD ODHAD TACHOSIGNÁLU TVORBA CAMPBELLOVA DIAGRAMU DP VOLD-KALMANOVA ŘÁDOVÁ FILTRACE DP VÝSTUP DO TXT SOUBORU DECIMACE Obrázek 2-1 Stručné blokové uspořádání řetězce zpracování signálu -11-
3 ŘÁDOVÁ ANALÝZA 3.1 PŘEHLED PROBLEMATIKY Řádová analýza je obecně technika výpočtu amplitud harmonických složek, které přísluší násobku základní otáčkové frekvence stroje. Dříve se řádová analýza standardně realizovala pomocí analogové souběhové filtrace. Tato filtrace spočívá ve startování A/D převodů pomocí impulsů z frekvenční násobičky o frekvenci odpovídající danému násobku otáčkové frekvence. Díky tomuto způsobu spouštění A/D převodů je docílen konstantní počet vzorků na otáčkovou periodu. Konstantním počtem vzorků na otáčkovou periodu je zajištěno, že nedojde k jevu leakage a tedy k rozpadu amplitudy pozorovaných řádů do postranních pásem. Dalším způsobem jak adaptovat frekvenci vzorkování A/D převodníku na frekvenci otáčení je digitální souběhová filtrace. Ta spočívá v ekvidistantním vzorkování signálu vzorkovací frekvencí mnohem vyšší než je potřeba. V rámci postprocessingu je signál převzorkován tak, aby opět splňoval podmínku konstantního počtu vzorků na periodu otáčkové frekvence. Digitální souběhová filtrace eliminuje chyby a zpoždění frekvenční násobičky, která je užitá v analogovém případě. Převzorkování představuje interpolaci průběhu signálu v nově definovaných časových okamžicích z původních vzorků signálu. Na obrázku 3-1 (převzato z literatury [5]) je vidět srovnání ekvidistantního vzorkování s vzorkováním souběhové filtrace. Zde může být srovnáno, jak se pomocí převzorkování změnil signál v časové oblasti a následně i jeho spektrum. Signál přejde z časové oblasti do oblasti uběhlých otáček (revolutions) a z frekvenční oblasti do oblasti řádů (orders) - násobků otáčkové frekvence. Dalších techniky řádové filtrace a její uplatnění lze nalézt např. v [1]. Další možností, jak sledovat řády, je krátkodobá Fourierova transformace (STFT), jejímž výsledkem je spektrogram, který je možno vidět např. na obrázku 6-3. Obdobou spektrogramu je Campbellův rezonanční diagram, který je předmětem následující kapitoly. -12-
Obrázek 3-1 Srovnání ekvidistantního vzorkování s vzorkováním souběhové filtrace 3.2 CAMPBELLŮV REZONANČNÍ DIAGRAM Konstrukce Campbellova diagramu je realizována posouváním okna o velikosti 2 n s vhodnou velikostí kroku posuvu po datech dynamického signálu, ze kterých se provádí FFT analýza. Další okno je posouváno se stejným krokem po datech tachosignálu, který je zpracováván statisticky, konkrétně je v této implementaci brán medián z bloku dat tachosignálu. Dále je vytvořeno 5 intervalů pro třídění spekter podle velikosti tachosignálu plynule rozložených mezi maximální a minimální hodnotu z celého vyhodnocovaného záznamu tachosignálu. Hodnota 5 je zvolena z toho důvodu, že vývojové prostředí LabView dovoluje alokovat dvourozměrné pole o velikosti 5 2 prvků. Jak již bylo zmíněno v předchozím odstavci a jak je zřejmé z konstrukce Campbellova diagramu, dochází k prosakování harmonických složek do sousedních složek spektra. To je způsobeno tím, že základní frekvence stroje a její násobky se neustále mění, aniž by byla -13-
měněna vzorkovací frekvence tak, aby záznam pokrýval celočíselný násobek doby otáčky stroje. To lze částečně potlačit použitím vhodného typu okna aplikovaného na blok dat, ze kterého je vyhodnocováno spektrum. Aplikace pro vyhodnocení, kterým se zabývá tato práce, umožňuje volbu z několika základních typů oken, avšak i v případě použití oken dochází ke ztrátě informace o přesné hodnotě amplitudy sledovaného řádu. I přes tento nedostatek je Campbellův diagram velmi oblíbený v diagnostice rotorových soustav. 3.3 VOLD-KALMANOVA ŘÁDOVÁ FILTRACE Odvození vztahů Vold-Kalmanova filtru [4] je vhodné začít stručným popisem Kalmanova filtru, ze kterého Vold-Kalmanův filtr vychází. Cílem Kalmanova filtru je odhadovat stavový vektor lineárního stochastického systému, jehož výstup je lineární kombinací jeho vstupů. Diskrétní lineární stochastický systém je popsán následujícími stavovými rovnicemi x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) + v( k), (3-1) y( k) = Cx( k) + Du( k) + w( k) kde A, B, C, D jsou matice popisující dynamický systém, x (k) je stavový vektor, u (k) je vektor vstupů, y (k) je vektor výstupů, v (k) je šum procesu a w (k) je šum měření. Na obrázku 3-2 je blokově znázorněn diskrétní lineární stochastický systém a Kalmanův filtr. Základem Kalmanova filtru je cyklus složený z časového kroku odhad a datového kroku korekce. Odvození a další teorie zabývající se Kalmanovou filtrací lze nalézt např. v [6]. Kalmanův filtr lze aplikovat i na úlohu extrakce harmonické složky z měřeného signálu. Stavem systému x (t) je hledaná harmonická složka (řád), která v součtu se zbývajícími složkami signálu představuje měřený signál. Sledováním harmonické složky v signálu se zabývá první generace Vold-Kalmanova filtru. -14-
Model systému model procesu model měření u B Σ zpoždění C Σ v A w měřené hodnoty výstupního vektoru y Kalmanův filtr Σ chyba korekce K Σ zpoždění odhad y predikce y C A Obrázek 3-2 Model diskrétního stochastického lineárního systému a Kalmanova filtru 3.3.1 Vold-Kalmanův filtr první generace K odvození výsledného vztahu Vold-Kalmanova filtru první generace je nejdříve zapotřebí definovat datovou rovnici. Jak již bylo naznačeno, bude na měřený signál y (n) pohlíženo jako na signál složený z harmonické složky x (n), kterou je zamýšleno extrahovat, a jako na zbytek signálu η (n), kde n = 1, 2,, N znamená pořadí vzorku. Zbytkové složky signálu mohou být nejen širokopásmový šum, ale také další harmonické složky. Datová rovnice pak bude vypadat následovně y( n) = x( n) + η( n). (3-2) Dalším krokem je určení strukturální rovnice pro harmonický signál, který je řešením diferenciální rovnice druhého řádu s nulovým součinitelem tlumení. Pro případ diskrétního signálu je tento harmonický signál řešením diferenční rovnice také druhého řádu. Řešení lze hledat ve tvaru n n x n) = C( z + z ), (3-3) ( 1 2 kde z 1 a z 2 jsou komplexně sdružené kořeny, které mají následující tvar z1 = exp( jω Δt) a z2 = exp( jωδt), (3-4) -15-
kde ω je úhlová frekvence harmonického signálu a Δt je vzorkovací perioda. Z charakteristického polynomu, tvořeného součinem kořenových činitelů (z - z1 )(z - z2), lze rekonstruovat výchozí homogenní diferenční rovnici x ( n) c( n) x( n 1) + x( n 2) =, (3-5) kde c( n) = 2cos( ω Δt). Výsledkem řešení homogenní diferenční rovnice s konstantní velikostí ω je harmonický signál o konstantní amplitudě. Ve skutečnosti se harmonické složky obsažené v signálech naměřených na rotujících strojích mění jak v amplitudě, tak ve frekvenci. Rovnice (3-5) pak přejde do tvaru x( n) c( n) x( n 1) + x( n 2) = ε( n), (3-6) kde ε (n) je budící funkce, která společně s velikostí budící frekvence ω udává řešení rovnice (3-6). Protože kořeny charakteristického polynomu leží na jednotkové kružnici, může být řešení rovnice (3-6) nestabilní. Dalším krokem je sestavení soustavy rovnic z datových (3-2) a strukturálních (3-6) rovnic. Datové rovnice pro N vzorků signálu lze zapsat vektorově následujícím způsobem y - x = η. (3-7) Vektor zbytku signálu η (n) lze ohodnotit jeho euklidovskou normou, jejíž zápis zjednodušuje transpozice vektoru T T T η η = ( y x )( y x). (3-8) Stejným způsobem lze pohlížet také na strukturální rovnice, které lze pro jednotlivé vzorky napsat následovně. 1... c(1) 1... 1 c(2)... 1.................. 1... c( N 2) x(1) ε (3) x(2) = ε (4)......... 1 x( N) ε ( N) (3-9) Soustavu rovnic (3-9) lze obdobně přepsat do maticového zápisu následovně Ax = ε. (3-1) Stejně jako u datových rovnic je potřeba ohodnotit budicí funkci euklidovskou normou, jejíž zápis opět zjednodušuje transpozice vektoru -16-
T T T ε ε = x A Ax. (3-11) Doposud jsou nadefinovány dvě soustavy rovnic (3-7) a (3-1) jejichž počet je N + (N 2) = 2N 2. Mezi neznámé patří hledaný vektor x o N prvcích, budící funkce ε o N-2 prvcích a vektor zbytku signálu η o N prvcích. Celkový počet neznámých je tedy 3N-2 což je více než počet rovnic. Proto je třeba ke zmíněné soustavě připojit podmínky, podle kterých je požadováno aby vektory ε, η měly minimální euklidovskou normu a byly v žádoucím vztahu, a aby tedy bylo minimalizováno kritérium ve tvaru T T T T T T J = r 2 ε ε + η η = x (r 2 A A + E) x y x x y, (3-12) kde r je váhový koeficient určující vzájemný vztah mezi euklidovskými normami zbytkového signálu a budící funkce. Pro nalezení minima vztahu (3-12) je třeba položit jeho první derivaci nule, viz následující vztah J x 2 2 T = r A Ax + 2( x y) =. (3-13) Vztah lze přepsat do tvaru Bx = y, (3-14) kde B T = r 2 A A + E. Hledaný vektor x potom je 1 x = B y. (3-15) Vektor x tedy představuje časový průběh hledaného harmonického průběhu. Mnohdy je ovšem zajímavá především obálka hledaného harmonického průběhu. Hledáním obálky harmonického průběhu se zabývá Vold-Kalmanův filtr druhé generace, který je hlavním předmětem této práce. 3.3.2 Vold-Kalmanův filtr druhé generace Datová rovnice pro obálku harmonického signálu vychází ze součinu komplexní amplitudy a komplexního harmonického signálu o jednotkové absolutní hodnotě. Datová rovnice pak vypadá následovně y( n) = x( n)exp( jθ ( n)) + η( n), (3-16) kde x (n) je komplexní amplituda nebo také obálka signálu, j je imaginární jednotka a θ (n) je průběžná fáze signálu od počátku záznamu, y (n) je měřený signál a η (n) je zbytkový signál. Soustavu lze opět napsat ve vektorovém tvaru -17-
kde T C = C je diagonální komplexní matice ve tvaru y Cx = η, (3-17) { exp( jθ(1)),exp( jθ (2)),...,exp( jθ ( n)) } C = diag. (3-18) Matice C je stejně jako vektory x, η komplexní. Euklidovská norma zbytkového signálu bude opět dána součinem transponovaného vektoru H η a vektoru η. Operace transpozice se v tomto případě značí indexem H a znamená nejen transpozici hodnot, ale také obrácení znamének imaginární části. Euklidovská norma zbytkového signálu pak bude vypadat následovně η H T H H η = ( y x C )( y Cx). (3-19) Strukturální rovnice pro obálku harmonického signálu filtruje posloupnost hodnot komplexní amplitudy. Rychlosti změn určuje nejvyšší stupeň polynomu, kterým je možné obálku proložit. Polynom prvního stupně je řešením diferenční rovnice druhého řádu 2 x ( n) = x( n) 2x( n 1) + x( n 2) =. (3-2) Obálka signálu se opět průběžně mění, a proto je potřeba uvažovat budící funkci ε(n). Finální obecný tvar strukturální rovnice je k 1 + x( n) = ε ( n), (3-21) kde k je řád filtru. Vztah (3-21) lze napsat, neboť polynom obecného stupně k splňuje k 1 podmínku obecné diference + x( n) =. Jak napovídá předchozí odstavec, může být Vold-Kalmanův filtr druhé generace prvého, druhého nebo až třetího řádu. Strukturální rovnice pro první (3-22) a druhý (3-23) řád vypadají následovně x( n) 2x( n 1) + x( n 2) = ε ( n), (3-22) x( n) 3x( n 1) + 3x( n 2) x( n 3) = ε ( n). (3-23) Soustava strukturálních rovnic je shodná se vzorcem (3-9). Matice A pro filtr prvního řádu, který je v této práci implementován, má rozměry N x N-2. Matice obsahuje pouze konstantní prvky a je ve tvaru -18-
1 2 1... 1 2 1... A =. (3-24)..................... 1 2 1 Řešení datových a strukturálních rovnic pro obálku harmonického signálu vychází z pomocného kritéria sestaveného z euklidovských norem budící funkce a zbytkového signálu 2 T T H H ( r A A) x + ( y x C )( y Cx) H J = x, (3-25) které je opět minimalizováno. Derivacemi podle reálné a imaginární složky rovných nule lze dostat výsledný vztah ve tvaru 2 T 1 H ( A A + E) C y x = r. (3-26) Filtr je tedy dolní propustí časového průběhu obálky signálu, jehož frekvenční charakteristika závisí na vztahu 2 r A T A + E, kde lze pomocí váhového koeficientu r měnit selektivitu filtru. Vliv váhového koeficientu r na selektivitu je zde přiblížen praktickým příkladem na následujícím obrázku, kde byl použit průběh 2. řádu testovacího náměru z kapitoly 6.1. Více o selektivitě filtru lze nalézt v literatuře [4].,25 Amplituda (V)_,2,15,1,5 1,25 2,25 3,25 4,25 5,25 6,25 7,25 Čas (s) r=5 r=2 r=1 r=2 Obrázek 3-3 Vliv váhového koeficientu na selektivitu Vold-Kalmanova filtru -19-
3.3.3 Metoda konjugovaných gradientů Dále bude stručně popsána metoda konjugovaných gradientů, která je vhodná pro řešení soustavy lineárních rovnic s velkým počtem neznámých a s řídkou maticí soustavy. Tato metoda je tedy vhodná pro řešení výsledné rovnice (3-26) Vold-Kalmanova filtru. Tato metoda patří do skupiny gradientních metod, kde je směr hledání řešení volen úměrný gradientu jisté funkce. Řešení soustavy x k je hledáno následující iterací kde x k + 1 = xk α gk, (3-27) g k je gradient a α je nezáporná konstanta. Jistou funkcí je v tomto případě kvadratická forma v následujícím tvaru 1 T T f ( x) = x Ax - b x, (3-28) 2 kde x je hledaný výsledný vektor, b je vektor pravých stran soustavy a A je matice soustavy, viz (3-24). V případě, že je matice A symetrická a pozitivně definitní, tak kvadratická forma (3-28) je řešením Ax = b minimalizována. Pro názornost je zde uveden jednoduchý příklad s následující soustavou Řešením soustavy je vektor x = [ 2 2] T 3 2 2 A = ; b =. (3-29) 2 6 8. Na obrázku 3-4 je možné vidět jednotlivé gradienty f (x), kde je zřejmé, že derivace kvadratické formy v místě řešení je nulová a tedy platí f ( x) = = Ax b. (3-3) -2-
Obrázek 3-4 Gradienty kvadratické formy Na předchozím příkladu byla ukázána základní idea gradientních metod. Implementace Vold-Kalmanova filtru popsaná v další kapitole používá obecnější verzi metody konjugovaných gradientů, kterou je metoda bi-konjugovaných gradientů. Tato metoda nevyžaduje, narozdíl od metody Conjugate Gradient, aby matice A byla symetrická a pozitivně definitní. Náznak odvození lze nalézt v [2]. Zde jsou uvedeny pouze jednotlivé kroky výpočtu. r r k k α k = (3-31) pkapk r k +1 = rk αkapk (3-32) r T k +1 = rk α ka pk (3-33) r r k k k = + 1 + β 1 (3-34) rk rk p + k + 1 = rk + 1 βkpk (3-35) p + x k + 1 = rk + 1 βkpk (3-36) k + 1 = xk + αkpk (3-37) -21-
V každém kroku výpočtu se vypočtou rezidua r k a r k, která splňují podmínku biortogonality r r = r r =, j < i. (3-38) i j i j Také jsou vypočteny směry p k a p k, které společně s aktuálním řešením x k minimalizují f ( x α ) +. Směry p k a p k jsou bikonjugované, a tedy platí k kp k T p A p = p A p =, j < i. (3-39) i j Dále jsou vektor r k residua a vektor směru p k vzájemně ortogonální, a tedy pro ně platí Z ortogonality vyplývá, že iterace bude trvat maximálně i j r p = r p =, j < i. (3-4) i j i j m N kroků s r r. m+ 1 = m+ 1 = Funkce linbcg použitá v této implementaci (viz následující kapitola) umožňuje několik možností zastavení iterace. V tomto konkrétním případě je iterace zastavena, pokud je splněna následující podmínka Ax b / b < tol, (3-41) kde tol je tolerance, kterou může uživatel měnit. Další podmínkou, která může zastavit iteraci, je dosažení určitého počtu kroků. Inicializace výchozího rezidua je provedena následovně r1 = b Ax 1, (3-42) kde x 1 je nulový vektor. Reziduum v podstatě určuje, jak daleko je vektor pravých stran b daný nynějším krokem od skutečného vektoru pravých stran soustavy. 3.3.4 Implementace Vold-Kalmanova řádového filtru Jak bylo řečeno v úvodu, je většina aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů vytvořena ve vývojovém nástroji LabView 7.1. Výjimku tvoří implementace Vold- Kalmanova filtru, který byl realizován v jazyce C. Důvodem je rozhodnutí využít existující soubor knihoven, kterými se zabývá kniha Numerical Recipes in C, viz [2]. Tyto knihovny jsou orientovány na numerické výpočty napříč většiny oblastí matematiky. Z tohoto souboru knihoven byly použity následující funkce. nrutil.c základní balík funkcí index fce vracející setříděné indexy -22-
sprstp transpozice řídké matice sprstm transpozice a násobení řídké matice řídkou maticí snrm třídící utilita dsprsax násobení řídké matice vektorem dsprstx transpozice a násobení řídké matice vektorem atimes pomocná fce pro linbcg asolve pomocná fce pro linbcg linbcg iterační algoritmus Biconjugate gradient method Matice soustavy (3-26) nabývá velkých rozměrů. Například pro signál o délce 5 minut, vzorkovaný frekvencí 2 khz, bude rozměr matice soustavy 6 x 599 998. Z tohoto důvodu muselo být upuštěno od standardního ukládání matice do dvourozměrného pole, neboť jak již bylo řečeno, prostředí LabView umožňuje alokovat dvourozměrné pole pouze o velikosti maximálně 5 2 prvků. Bylo třeba sáhnout po sofistikovanější metodě ukládání takto velkých matic, kterou je Row-Indexed sparse storage mode. S takto uchovávanými maticemi pracují všechny funkce potřebné pro přípravu matice soustavy a dále i samotný algoritmus pro její řešení, který je implementován ve funkci linbcg. Za účelem tvorby matice soustavy byla vytvořena funkce spdiags, která zkonstruuje řídkou matici (3-24) podle pravidel Row-Indexed sparse storage mode. Tento režim ukládání uchovává prvky matice ve dvou stejně dlouhých polích. Dále bude pole nenulových prvků značeno sa[] a pole indexů ija[]. Stručný výčet pravidel pro ukládání je dále. Prvních N prvků pole sa[] uchovává prvky hlavní diagonály matice A, a to i v případě, že jsou nenulové. Prvních N prvků pole ija[] uchovává indexy pole sa[], na kterých jsou první mimo diagonální prvky příslušného řádku. První prvek z pole ija[] je vždy roven N+2. Hodnota prvku s indexem N+1 pole ija[] je o jedna vyšší než celkový počet mimo diagonálních prvků. Prvek N+1 pole sa[] může být libovolný. Prvky pole sa[] s indexem N+2 obsahují mimo diagonální prvky matice A. Prvky pole ija[] s indexem N+2 obsahují index sloupce příslušející korespondujícímu prvku v poli sa[]. -23-
Pro lepší přiblížení tohoto módu uchovávání řídkých matic je dále uveden příklad na malé matici o rozměrech N=5. 3 4 7 1 5 9 6 2 5 (3-43) Pole uchovávající tuto řídkou matici jsou součástí následující tabulky. tabulka 3-1 Příklad Row-Indexed sparse storage mode V jazyce C tedy byla vytvořena knihovna (shared library) s názvem libspm.dll, která obsahuje několik převzatých funkcí z Numerical Recipes in C a několik nově vytvořených funkcí. Výchozí je funkce s názvem MojeFCE, která je volána z prostředí v LabView. Tato funkce slouží k převzetí dat z LabView, jejich zpracování a poslání výsledku zpět do LabView. Konkrétně jsou předávány pouze pointery na data v LabView. Na následujícím diagramu je vyobrazena knihovna a její funkce. -24-
Obrázek 3-5 Struktura knihovny libspm.dll Funkci MojeFCE jsou předány ukazatele na data, která jsou alokována v LabView. Parametr n udává počet prvků parametru pole, r udává velikost váhového koeficientu, tol je přesnost, se kterou má být nalezeno řešení soustavy, a itmax udává maximální počet iterací potřebných k dosažení řešení. Ukazatel pole ukazuje na začátek paměti, kde je uložen vektor C H y, který je vypočten v LabView. Funkce nejdříve pomocí spdiags vytvoří třídiagonální řídkou matici A. Dále je matice A transponována funkcí sprstp čímž je připravena pro funkci sprspm, která počítá součin řídké matice s transponovanou řídkou maticí T T T T T AB, a tedy A ( A ) A A =. Dále je tento součin vynásoben kvadrátem váhového koeficientu r. Po přičtení jednotkové matice je již volána funkce linbcg, která najde hledaný vektor x a uloží ho do paměti namísto vektoru C H y. -25-
Volání knihovny libspm.dll z LabView zajišťuje blok Call Library Function Node. Celé volání je pro ukázku na obrázku 3-6, kde je vidět jakým způsobem jsou předána data (ukazatele) volané funkci MojeFCE. Detail nastavení tohoto volání je na obrázku 3-7, kde je třeba nastavit datové typy jednotlivých argumentů a jejich formát. Předávané pole je rozšířeno o nultý prvek pole, který je po vykonání výpočtu opět z pole odstraněn. Důvodem je skutečnost, že všechny funkce z nrutil.c pracují s polem jako s vektorem od indexu jedna. Obrázek 3-6 Volání sdílené knihovny libspm.dll Obrázek 3-7 Nastavení volání linspm.dll Další popis bude zaměřen na prostředí LabView, kde je zbytek celé realizace Vold- Kalmanova filtru. Nejdůležitější je realizace vektoru C H y, kde je třeba spočítat průběžnou fázi signálu. Po vzoru implementace [4] byla průběžná fáze spočtena kumulativní sumou frekvence, která nahrazuje integraci úhlové rychlosti 2πf. Vektor C H y je tedy spočten podle následujícího vztahu C H y = exp( j2π cumsum( f ) dt). * y. (3-44) -26-
Obrázek 3-8 Celkový průběh výpočtu Vold-Kalmanovy řádové filtrace Celkový průběh výpočtu lze vidět na obrázku 3-8. Nejdříve je získán profil otáčkové frekvence, buď z měřeného tachosignálu, nebo z odhadu popsaného dále. Dále je vypočtena průběžná fáze signálu, která je násobena s dynamickými daty vzorek po vzorku. Poté je nalezeno řešení rovnice Vold-Kalmanovy filtrace (3-26) jak pro reálnou, tak pro imaginární část průběhu C H. y. Z nalezených řešení je vypočtena absolutní hodnota, která odpovídá obálce hledaného řádu. Její hodnotu je třeba vynásobit dvěma, což je způsobeno komplexním tvarem harmonického signálu. -27-
4 ODHADOVÁNÍ TACHOSIGNÁLU Jak již bylo řečeno, je dalším cílem práce implementovat algoritmus pro odhadování signálu. Následující kroky odvození jsou převzaty z literatury [1]. Za účelem odhadování tachosignálu je použit měřený dynamický signál, o jehož frekvenčním složení musí uživatel něco vědět, a tedy musí mít tzv. apriorní znalost. Touto znalostí může být například známý počet zážehů ve válcích spalovacího motoru na otáčku motoru, aerodynamické rázy vyvolané interakcí rotorových lopatek o statorové části konstrukce či pólové nástavce elektromotoru. Pro algoritmus odhadování bude třeba vytvořit model signálu. Pro tento účel je vhodné modelovat signál tak, aby obsahoval několik sinusových složek s různou amplitudou a fází. Signál pak lze vyjádřit následovně K d( t) = a + ( a cos( t) + b sin( ω t) ) e( ) ω, (4-1) k k k k + t k= 1 kde ω ω k = ak je frekvence harmonické složky daná a k násobkem (řádem) základní harmonické složky ω. U šumu e (t) je předpokládáno, že má nulovou střední hodnotu, je bílý a má Gaussovské rozložení amplitud. Model signálu (4-1) lze zapsat maticově následovně d = Gb + e, (4-2) kde d je vektor časové posloupnosti vzorků měřeného signálu, e je vektor hodnot šumu a G je matice harmonických složek, kterou lze napsat následovně 1 1 G = 1 cos( tω1 ) cos( tω2 )... sin( tω1 ) sin( tω2 )... cos( t ) cos( )... sin( ) sin( )... 1ω1 t1ω 2 t1ω 1 t1ω 2. (4-3)...... cos( tn 1ω1 ) cos( tn 1ω 2)... sin( tn 1ω 1) sin( tn 1ω 2)... Vektor b jsou v podstatě fourierovy koeficienty [,...,a,b ] T b = k,...,b k. (4-4) a 1 Cílem je získat první harmonickou složku ω 1. Pro odhad je použito Bayesovského přístupu, který lze pro tento případ vyjádřit vzorcem p( dq) p( Q) p ( Qd) =, (4-5) p( d) -28-
kde d jsou data nesoucí informaci o neznámých parametrech Q, p( d Q) je věrohodnostní funkce (pravděpodobnost pozorovaných dat s konkrétně dosazeným pozorováním), p( Q d) je aposteriorní hustota pravděpodobnosti, která vyjadřuje expertní stupeň očekávání různých hodnot parametrů a je korigovaná pozorovanými daty a p (Q) je apriorní hustota pravděpodobnosti vyjadřující očekávání různých hodnot parametrů přiřazených uživatelem. Pro tuto konkrétní aplikaci vzorec (4-5) odpovídá (,{ s, b} d) ( dω, { s, b} ) p( ω, { s, b} ) p( d) p p ω =. (4-6) Jelikož bude hledáno maximum aposteriorní pravděpodobnosti (4-6), je možné vypustit apriorní hustotu p (Q), která neovlivňuje polohu maxima. A jelikož je hledáno maximum, které má být závislé především na hledané otáčkové frekvenci ω, je možné zanedbat parametry { s,b}. Vztah (4-6) bude potom vypadat následovně p ( ω ) p( dω ) p( ) d, (4-7) ω kde znamená úměrnost. Za předpokladu, že amplitudy mají rovnoměrné apriorní pravděpodobnosti a apriorní pravděpodobnosti šumové složky jsou nepřímo úměrné její varianci, pak lze věrohodností funkci vyjádřit vzorcem p T T T T ( ) ( d d d G ( G G) G d) d = m 1+ 2K N 2 ω, (4-8) T G G kde K je počet k-násobků vybraných uživatelem a N je délka vektoru d. Výše zmíněné zjednodušení omezuje model signálu pouze na stacionární případ. Při měření rotujících soustav jsou však zajímavé jak ustálené provozní stavy, tak i rozběhy a doběhy, kdy se otáčky mění dost výrazně. Proto je nutné naměřený signál rozdělit do R relativně krátkých překrývajících se úseků, ve který se považuje hledaná otáčková frekvence za stacionární. Dále je uvažováno, že se otáčková frekvence mezi jednotlivými úseky mění náhodně s Gaussovským rozložením 2 kde r je pořadí úseku, (, s ) S 2 ( r ) ω ( r ) = ω ( r 1) ω ( r 2) + N( s ) ω, (4-9) 1, S N označuje Gaussovské rozložení s nulovou střední hodnotou a vhodně zvoleným rozptylem. Apriorní pravděpodobnost ω lze pak vyjádřit vzorcem -29-
p ( ω ( r) ω ( r 1), ω ( r 2) ) ( ω ( r) + 2ω ( r 1) + ω ( r 2) ) 1 = exp 2 2 2π s 2sS S 2. (4-1) Dosazením vzorců (4-1) a (4-8) do (4-7) je získán aposteriorní odhad otáčkové frekvence. Vývoj otáčkové frekvence v čase je pak dán posloupností nalezených maxim vztahu (4-7). Vyvinuté prostředí umožňuje nastavit velikost oblasti R, rozptyl s a počet iterací hledání maxima. Dále umožňuje během výpočtu sledovat jak konverguje či diverguje iterace hledání maxim. Více o užívání programu je v kapitole 4. Obrázek 4-1 Hrubý vývojový diagram algoritmu pro odhadování tachosignálu Jak je naznačeno na vývojovém diagramu na obrázku 4-1, je nejdříve vybráno R vzorků, a to jak z měřeného signálu, tak i z hrubého otáčkového profilu, který se skládá z uživatelem zadaných řádů. Dále je určena otáčková frekvence ω pro danou oblast jako medián z R -3-
vzorků. Poté jsou vytvořeny matice G pro hodnoty ω, ω + 2 %, ω 2%. Tyto hodnoty jsou vždy startovními hodnotami intervalu, ve kterém je hledáno maximum. Dále jsou vypočteny aposteriorní pravděpodobnosti podle výsledného vztahu (4-7). Za účelem nalezení maximální hodnoty aposteriorní pravděpodobnosti je vždy změněn interval mez), ω _ a ω _ d (horní mez) podle následujících pravidel: ( ω _ d > ω _ ) ( ω _ > ω _ h) posun vlevo ω _ d (dolní o ω _ = ω _ d o ω _ h = ω _ o ω _ d = ω _ d ( ω _ ω _ d ) ( ω _ h > ω _ ) ( ω _ > ω _ d ) posun vpravo o ω _ = ω _ h o ω _ h = ω _ h + ( ω _ h ω _ ) o ω _ d = ω _ ( ω _ h < ω _ ) ( ω _ > ω _ d ) o ω _ = ω _ o ω _ h = ω _ h ( ω _ h ω _ ) / 2 o ω _ d = ω _ d + ( ω _ h ω _ ) / 2 půlení intervalu V kapitole 6 jsou popsány dvě měřicí úlohy, na kterých nyní bude sledován výše popsaný odhad otáčkové frekvence. Na obrázku 4-2 je graf celkového průběhu otáčkové frekvence plynulé akcelerace z úlohy popsané v kapitole 6.1., kde jsou jak měřený signál z tachosondy a signál odhadovaný, tak i hodnoty předpokladu, které zadal uživatel. Signál z tachosondy a odhadovaný signál jsou filtrovány FIR filtrem s dolní propustí 1 Hz a decimovány desetkrát. Na obrázku 4-3 je vidět graf průběhu chyby odhadu. Z grafu na obrázku 4-2 a z grafu průběhu otáčkové frekvence v příloze 1 je vidět, že mezi signálem z tachosondy a odhadem je jisté fázové zpoždění, což je přisuzováno frekvenčně napěťovému převodníku, jenž je součástí měřicího řetězce tachosondy. -31-
69 64 Frekvence (Hz)_ 59 54 49 44.5 5.5 1.5 15.5 Čas (s) Odhadovaná otáčková frekvence Uživatelem zadaný předpoklad ot.fr. Signál z F/V převodníku tachosondy Obrázek 4-2 Srovnání odhadu ot. frekvence a měřeného tachosignálu,3,2,1 Frekvence (Hz)_ -,1 -,2 -,3 -,4 -,5,5 5,5 1,5 15,5 Čas (s) Obrázek 4-3 Chyba odhadu otáčkové frekvence V příloze 1 je zobrazen graf průběhu otáčkové frekvence odhadované i měřené tachosondou společně se srovnáním chyby. Konfigurace měření odpovídá opět úloze popsané v kapitole 6. V tomto případě byla za účelem otestování algoritmu odhadování tachosignálu změřena nejrychlejší možná akcelerace a decelerace, kterou daná konfigurace umožňovala. -32-
5 POPIS REALIZOVANÉ APLIKACE Aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů v oblasti diagnostiky rotujících soustav byla vytvořena tak, aby uživateli poskytovala jednoduché a pokud možno intuitivní ovládání. Aplikace se spouští souborem Viewer.vi a je možné ji spustit pouze na PC, na kterém je nainstalováno LabView 7.1. Dále je možné aplikaci spustit souborem VIEWER.exe, pro jejíž spuštění je nutné mít nainstalovaný LabView 7.1 runtime. Aplikace je přizpůsobena pro vyhodnocení datových souborů, které jsou výstupem digitálního záznamového magnetofonu TEAC GX-1. Datové soubory jsou reprezentovány 16 bitovým integerem, kde jsou jednotlivé kanály řazeny za sebou. Dále bude popsán způsob použití aplikace, kde budou pro ilustraci použity kopie obrazovek pořízené během vyhodnocení dvou měření, popsaných v kapitole 6. Po spuštění aplikace se uživatel automaticky nachází v kartě FILE (viz obrázek 5-1) a blikající ukazatel WORK DIRECTORY ho vyzývá k zadání cesty pracovního adresáře. Po zadání pracovního adresáře je tento adresář automaticky prohledán. Pokud jsou v adresáři přítomny hlavičkové soubory příslušející datovým souborům magnetofonu GX-1, je jejich seznam vypsán v seznamu nalezených souborů. Součástí výpisu jsou i informace o času záznamu, délce záznamu a krátký komentář příslušného záznamu. Obrázek 5-1 Aplikace pro vyhodnocení karta FILE Po vybrání souboru a jeho otevření tlačítkem OPEN FILE je vypsán seznam kanálů a uživatel je vyzván k tomu, aby dvoj-klikem vybral kanál tachosignálu, ve kterém je použit frekvenčně napěťový převodník AR-GX FV, pokud je přítomen. Tímto je vyvolána nabídka pro výběr rozsahu frekvenčně napěťového převodníku. Vybráním příslušného rozsahu se tato informace -33-
opraví v hlavičkovém souboru otevřeného datového souboru. Důvodem této manuální opravy je chyba ve firmware magnetofonu, která do hlavičkového souboru neuloží správnou informaci o rozsahu F/V převodníku. Dále se již může uživatel přepnout do karty VIEWER (viz obrázek 5-2). Zde musí uživatel vybrat kanál a časový úsek, který bude vyhodnocován. Dále je potřeba vybrat tachosignál, který bude dále brán jako výchozí. Pokud uživatel zvolí možnost odhadování tachosignálu, bude jako výchozí tachosignál brán odhad, který je předmětem následujícího odstavce. Obrázek 5-2 Aplikace pro vyhodnocení karta VIEWER V kartě TACHO ESTIMATOR (viz obrázek 5-3) je potřeba nejdříve nastavit typ a velikost okénka, které bude použito pro výpočet STFT (spektrogramu). Dále je třeba zadat hrubý otáčkový profil resp. apriorní znalost. -34-
Obrázek 5-3 Aplikace pro vyhodnocení karta TACHO ESTIMATOR Zadání otáčkového profilu lze popsat následujícími kroky: zadat násobek známého řádu do kolonky ŘÁD v okénku Hrubé otáčkové profily umístění kurzoru na začátek časového průběhu známého řádu a stiskem tlačítka SET tento bod zařadit do seznamu postupným posouváním kurzoru (a zařazováním jednotlivých bodů do seznamu tlačítkem SET) po známém řádu vytvořit takový sled bodů, které svým lineárním pospojováním co nejlépe pokryje průběh známého řádu opakovat předchozí kroky pro další známé řády, pokud nějaké jsou Dále je potřeba nastavit počet iterací hledání maxima aposteriorní pravděpodobnosti (4-7), hodnotu rozptylu a velikost oblasti R. Odhad se spustí tlačítkem START TACHO ESTIMATION. Průběh hledání maxim aposteriorních pravděpodobností lze sledovat pomocí grafu na obrázku 5-4, který dává informaci o tom, jak hledání konverguje či diverguje. Obrázek 5-4 Konvergence/Divergence hledání maxima aposteriorní pravděpodobnosti -35-
Z průběhu konvergence či divergence lze usuzovat o správnosti zvolené velikosti rozptylu či velikosti oblasti R. V případě časté divergence lze odhadování zastavit a případně pozměnit některý z parametrů. Výsledek odhadu se pak zobrazí v kartě TACHO ESTIMATOR (viz obrázek 5-5), kde je pak možné výsledný odhad dodatečně filtrovat dolní propustí. Obrázek 5-5 Aplikace pro vyhodnocení výsledek odhadu Dalším krokem je vyšetření kritických řádů pomocí Campbellova rezonančního diagramu, pro které slouží karta CAMPBELL DIAGRAM (viz obrázek 5-6). Zde je nejprve důležité nastavit správnou multiplikativní konstantu SF X1, která přepočítává měřený resp. odhadovaný tachosignál z napětí resp. z frekvence na otáčky za minutu. V případě sledování kritických řádů závislých i na dalších rotorech, např. v soustavách, kde je použita převodovka či reduktor, je užitečné sledovat alespoň dva tachosignály, proto je zde možnost zadat i druhou multiplikativní konstantu SF X2. Dále je třeba zvolit okénko, které bude použito pro FFT analýzu a její rozlišení. Výpočet Campbellova diagramu se pak spustí tlačítkem START. -36-
Obrázek 5-6 Aplikace pro vyhodnocení karta CAMPBELL DIAGRAM Po spočtení Campbellova diagramu se napravo od diagramu objeví osa řádů, která zpřehlední celý diagram. Tlačítkem X1 resp. X2, které je umístěno pod osou, lze přiřazovat osu buď otáčkám X1 nebo X2. Posledním krokem vyhodnocení, které prostředí umožňuje, je Vold-Kalmanova filtrace, kterou lze provést v kartě OT-VKF (viz. obrázek 5-7). Zde jsou přednastavené základní parametry výpočtu Vold-Kalmanovy filtrace, kterými jsou počet iterací, přesnost, váhový koeficient a opět multiplikativní konstanta označená SF Z Fměř na Fot. Zde ovšem není tato multiplikativní konstanta určena pro přepočet z měřené frekvence tachosignálu na otáčky stroje v ot/min, jako tomu bylo v předchozím případě, ale je určen pro přepočet měřené frekvence tachosignálu na frekvenci otáčení. Tyto parametry je možné samozřejmě modifikovat. V tabulce Hledané řády je možné zadat seznam řádů, které chce uživatel sledovat, včetně jejich krátkého popisu. Tlačítkem START se spustí výpočet Vold- Kalmanovy filtrace. Po dokončení se časový průběh hledaných řádů zobrazí v grafu a je možné tento výsledek uložit do textového souboru tlačítkem DO TXT. Pokud je během stisku tlačítka DO TXT zaškrtnuta možnost filtrace či decimace, je ještě před uložením průběh filtrován či decimován, a to se zadanými parametry frekvence dolní propusti či časového kroku decimace. Ukázka formátu výstupu do textového souboru je součástí přílohy 2. -37-
Obrázek 5-7 Aplikace pro vyhodnocení karta OT-VKF -38-
6 VYHODNOCENÍ NAMĚŘENÝCH DAT 6.1 TESTOVACÍ NÁMĚRY Za účelem otestování vyvinuté aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů, bylo potřeba provést skutečné měření. Pro tento účel posloužil testovací přípravek, který slouží pro ověřování indukčních přibližovacích snímačů. Na přípravek byly umístěny dva indukční snímače. Jeden snímač je aktivní a druhý pasivní. Na následujícím obrázku je blokové schéma měřicího řetězce. pasivní ind. snímač CH-AR-GX pa elektromotor aktivní ind. snímač DC+PA amp CH15-AR-GX FV TEAC-GX1 recorder ss zdroj -24 V ss zdroj 24 V F/V conv. SCSI PC Obrázek 6-1 Blokové schéma měřicího řetězce Signál z pasivního indukčního snímače byl vyhodnocován jako dynamický signál, ve kterém byly hledány významné řády a který byl též použit pro odhad otáčkové frekvence. Signál z aktivního otáčkového snímače byl pomocí frekvenčně napěťového převodníku zpracován jako tachosignál, jenž posloužil pro srovnání s tachosignálem odhadovaným z dynamického signálu. Část časového průběhu dynamického signálu je na obrázku 6-2. -39-
.3.2 Amplituda (V)_.1 -.1 -.2 -.3 1.12 1.17 1.22 1.27 1.32 1.37 Čas (s) Obrázek 6-2 Časový průběh signálu pasivního indukčního snímače Profil otáčkové frekvence byl odhadnut s výsledkem v příloze 1. Na průběhu tachosignálu z F/V převodníku je v,8 sekundě záznamu vidět značný zub, který byl způsoben skokovým rušením (zřejmě špatný kontakt). Byla snaha odstranit rušení pomocí dolní propusti. I přes tuto snahu by však rušivý skok značně znepřesnil hledané řády. Tato situace ilustruje případ, kdy i přes to, že byl tachosignál měřen, je vhodné raději použít odhad tachosignálu a docílit tak přesnějšího otáčkového profilu. Dalším důvodem, proč přednostně používat odhad tachosignálu, je již zmíněná skutečnost, že často používaný frekvenčně napěťový převodník vnáší do signálu fázové zpoždění a přispívá tak k nepřesnému určení řádu. Nastavení parametrů odhadu tachosignálu je v následující tabulce. řády pro odhad 2, 4 velikost oblasti R 15 rozptyl 6 počet iterací 25 Tabulka 6-1 Parametry odhadu testovacího náměru Na obrázku 6-3 je zobrazen Campbellův rezonanční diagram pro orientační přehled výskytu jednotlivých řádů. Výrazné řády jsou první čtyři sudé harmonické. -4-
Obrázek 6-3 Campbellův rezonanční diagram testovacího náměru Na obrázku 6-4 jsou podrobněji vidět jednotlivé časové průběhy prvních 4 výrazných řádů.,25 Amplituda (V)_,2,15,1,5, 1,25 2,25 3,25 4,25 5,25 6,25 7,25 Čas (s) 2. řád 4. řád 6. řád 8. řád Obrázek 6-4 Řády testovacího náměru vyhodnocené Vold-Kalmanovou filtrací Detaily nastavení parametrů pro vyhodnocení Vold-Kalmanovy řádové filtrace jsou součástí následující tabulky, kde k je multiplikativní konstanta pro přepočet z měřené (odhadované) frekvence na otáčkovou frekvenci. -41-
tolerance řešení,1 maximální počet iterací 5 váhový koeficient filtru 6 k 1 Tabulka 6-2 Parametry Vold-Kalmanova filtru testovacího náměru 6.2 OVĚŘENÍ FREKVENČNÍCH VLASTNOSTÍ VRTULE Další testování vytvořené aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů bylo provedeno na datech naměřených na třílisté vrtuli V332-3B. Vrtule byla zkoušena na speciálním stendu s motorem ROTAX 912 UL o maximálním výkonu 8 HP. Tento typ je dnes nejrozšířenějším motorem pro ultra-lehká sportovní letadla. Otáčky motoru jsou redukovány poměrem 1 : 2,273, takže provozní oblast otáček vrtule je 189-242 ot/min. Zkoušená vrtule sestává z celokompozitních listů typu V36o (skleněná a uhlíková vlákna v epoxidové matrici) pocházejí z počáteční ověřovací výrobní série, s výrobními čísly OS17, OS118 a OS119. Cílem rozsáhlého experimentálního programu bylo upřesnit konstruktéry předpokládaný Campbellův diagram rezonančního kmitání vrtulových listů. Listy byly osazeny tenzometrickými snímači T1 v podélném směru listu a T2 v příčném směru u kořene listu podle obrázku 6-5. Pro potřeby této práce bude vyhodnocena řádová analýza pouze pro list OS17. Obrázek 6-5 Umístění tenzometrů na vrtulovém listu. -42-
Sestava vrtule byla opatřena bezdrátovou tenzometrickou aparaturou MT32-Mini Telemetry (Kraus Messtechnik), která zajišťovala bezdrátový přenos měřených signálů z rotujícího dílu. Sestavu je možné shlédnout na obrázku v příloze 3. Kompletní sestava vrtule a motoru ve formě motorového standu je na obrázku v příloze 4. Prvním krokem v celém programu byla modální analýza izolovaného vetknutého listu. Ukázka výsledků frekvenčního rozboru listu OS17 je v příloze 5. To je základní příležitost srovnání s návrhovými výpočty (dnes vesměs realizovanými metodou konečných prvků). Dále bylo stejným způsobem provedeno měření po zamontování listů do vrtulového náboje, neboť frekvence vlastních kmitů se při reálném způsobu uložení listů v náboji vrtule mírně pozmění od modelového případu tuhého vetknutí. Totéž platí o montáži celé vrtule na motoru, jenž je zavěšen na silemblocích. Tímto způsobem jsou určeny vlastní frekvence kmitání vrtulových listů za klidu, tedy při nulových otáčkách. Vlivem působící odstředivé síly za rotace se však listy pomyslně vyztužují a jejich vlastní frekvence vzrůstá. Současně působí i další vlivy aerodynamické a strukturální tlumení. Vrcholem experimentálního programu je tak zjištění skutečné polohy rezonančních peaků v celém otáčkovém rozsahu. V této práci je navázáno na výsledky experimentu komplexně popsané v [7] s tím, že naměřená data jsou použita pro provedení řádové analýzy frekvencí kmitání vybraného listu OS17 pomocí Vold- Kalmanovy filtrace. Výsledné Campbellovy diagramy jsou zobrazeny na obrázku 6-6 pro signál z tenzometru T1 a na obrázku 6-7 pro tenzometr T2. Z těchto diagramů lze vysledovat, že výrazné řády buzení jsou 1, 2, 3 a zhruba 3,25, 3,5 a 4,5. Obrázek 6-6 Campbellův diagram T1 listu OS17-43-
Obrázek 6-7 Campbellův diagram T2 listu OS17 Je nutné předem uvést, že sledovaná soustava pístový motor reduktor vrtule je z hlediska budících vlivů vlastně tím nejsložitějším případem (např. ve srovnání s turbínovým pohonem vrtule, který se vyznačuje relativně klidným chodem). Kmitání listů vrtule je buzeno jak jejich proměnným aerodynamickým zatížením, tak přenášenými vibracemi od pohonné jednotky. Je rovněž zajímavé a pro tuto dynamickou soustavu charakteristické, že rozkmitávání pružně zavěšeného motoru buzeného vrtulí se následně zpětně přenáší zpět na vrtuli a její listy. První řád ohybového kmitání listů lze vysvětlit zejména jako následek proměnného aerodynamického obtížení vrtulového listu během jedné otáčky vrtule. I poměrně slabý boční vítr (např. vánek 3 m/s) se takto na kmitání projeví. Rovněž celkový obraz proudění není zcela osově symetrický, např. hned za vrtulí je rozměrný motor s vystupujícím chladičem. Další příčinou může být určitá nevývaha vrtule, která se projeví ohybem hřídele a tudíž vychýlením rotujícího disku z osy nabíhajícího proudu opět tak dochází k periodické změně úhlu náběhu proudu a tedy aerodynamického zatížení listů s frekvencí jedné otáčky. Vyšší řády kmitání listů vrtule jsou obvykle vynuceny řídícím kmitáním celého motorového bloku. Z teorie kmitání soustav je známo (např. podle [8]), že pokud uložení celého rotoru kmitá příčně na osu jeho otáčení s frekvencí f M, pak jsou součásti rotoru (např. listy, lopatky) s otáčkami n V buzeny frekvencí f B =f M ±n v. (6-1) -44-
Z měření vibrací na motoru (akcelerometr byl umístěn na tělese reduktoru) vyplývá, že velmi významné v bočních směrech je kmitání 3. řádu, tedy přenos impulsů od jednotlivých listů kmitajících prvním řádem (viz výše). Charakteristické je, že toto kmitání celého motoru se zpětně přenáší na pružné vrtulové listy, přičemž dle uvedeného vztahu platí f B = 3 n v ± n v = (3 ± 1) n v, (6-2) a tudíž se dá vysvětlit přítomnost kmitání listů jak druhým, tak čtvrtým řádem, který ovšem nebyl příliš výrazný (byl dobře utlumen). Podobným způsobem je možné osvětlit řád 3,25. Budícím zdrojem je v tomto případě určitá nevývaha klikové hřídele motoru a veškeré související přidané hmoty pístového mechanismu. Vyjádřeno pomocí redukčního poměru na otáčky vrtule platí: f B = 2,273 n v ± n v (6-3) f B1 = 1,273 n v (6-4) f B2 = 3,273 n v (6-5) Řád 1,273 byl dobře utlumen. Hrubý odhad řádu 3,25 lze tedy takto upřesnit na řád 3,273. Hrubě odhadnutý řád 3,5 lze obdobným způsobem vyhodnotit jako další motorový zdroj buzení frekvence dvojnásobku otáček klikové hřídele, čemuž odpovídá interval impulsů od zápalů ve válcích motoru. f B = 2 2,273 n v ± n v (6-6) f B1 = 3,546 n v (6-7) f B2 = 5,546 n v (6-8) Opět se ukazuje, že jedna frekvence (řád 5,546) je nevýznamná a předběžnou hodnotu řádu 3,5 lze zpřesnit na 3,546. Frekvence jednotlivých zápalů (2. řád od otáček motoru) nicméně způsobuje také torzní kmitání klikové hřídele, tyto kmity se přenáší přes reduktor na vrtulovou hlavu a způsobují symetrické (tj. soufázné) rozkmitávání listů převážně v rovině disku vrtule intenzita je větší na tenzometru T2 než na T1. f B = 2 2,273 n v. (6-9) Řád 4,5 lze tedy zpřesnit na 4,546. -45-
Řády, které byly v předchozích odstavcích blíže identifikovány, jsou v časové oblasti (pomocí VKF-OT) zobrazeny v grafech na obrázcích 6-8 a 6-9 pro tenzometr T1 a na obrázcích 6-1 a 6-11 pro T2. deformace (um/m)_ 1 2,5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 1 15 2 Čas (s) 1.řád (um/m) 2.řád (um/m) 4,546.řád (um/m) otáčky (ot/min) 2 1,5 1,5 otáčky (1 ot/min)_ Obrázek 6-8 Výsledek VKF-OT, T1-OS17, řády 1, 2 a 4.546 deformace (um/m)_ 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Čas (s) 3.řád (um/m) 3,273.řád (um/m) 3,546.řád (um/m) otáčky (ot/min) 2,5 2 1,5 1,5 otáčky (1 ot/min)_ Obrázek 6-9 Výsledek VKF-OT, T1-OS17, řády 3, 3.25 a 3.5-46-
deformace (um/m)_ 2 2.5 18 16 2. 14 12 1.5 1 8 1. 6 4.5 2. 5 1 15 2 Čas (s) 1. řád (um/m) 2. řád (um/m) 4,546. řád (um/m) otáčky (ot/min) otáčky (1 ot/min)_ Obrázek 6-1 Výsledek VKF-OT, T2-OS17, řády 1, 2 a 4.546 deformace (um/m)_ 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Čas (s) 3. řád (um/m) 3,273. řád (um/m) 3,546. řád (um/m) otáčky (ot/min) 2,5 2, 1,5 1,,5, otáčky (1 ot/min)_ Obrázek 6-11 Výsledek VKF-OT, T2-OS17, řády 3, 3.25 a 3.5 Parametry nastavení vyhodnocení Vold-Kalmanovy filtrace byly stejné jako v případě testovacího měření v kapitole 6.1 a jsou uvedeny v tabulce 6-2. Jediným rozdílem byl parametr k, který měl hodnotu 1/6, neboť měřený tachosignál byl dán 6 pulzy na otáčku vrtule. -47-
7 ZÁVĚR V rámci této diplomové práce byla vyvinuta aplikace ve vývojovém prostředí LabView pro vyhodnocení dynamických signálů za účelem diagnostiky rotujících soustav. Aplikace umožňuje orientačně vyhodnotit řádovou analýzu naměřeného dynamického signálu dle prvního bodu zadání v kapitole 1.2 pomocí Campbellova diagramu, který je obdobou spektrogramu. Dále umožňuje přesnější vyhodnocení zvolených řádů pomocí Vold- Kalmanovy filtrace dle druhého bodu zadání. Implementace Vold-Kalmanova filtru byla provedena částečně v prostředí LabView a částečně v jazyce C. V jazyce C byla především implementována metoda bi-konjugovaných gradientů, která je nosným pilířem výpočtu Vold- Kalmanova filtru. Řádovou analýzu je možné provést i za absence měření tachosignálu za předpokladu, že uživatel něco ví o harmonickém složení dynamického signálu, jehož řády chce analyzovat. K tomuto slouží možnost odhadování tachosignálu pomocí Bayesovského přístupu dle třetího bodu zadání. Celá aplikace pro vyhodnocení dynamických signálů byla otestována na dvou reálných případech dle posledního bodu zadání. Nejdříve byla aplikace ověřena vyhodnocením dat naměřených v laboratorních podmínkách, kde byly vyhodnoceny řády pasivního indukčního přibližovacího snímače. Dále byla aplikace otestována vyhodnocením řádové analýzy vývojového kusu třílisté kompozitové vrtule V332-3B, kde byly nalezeny a zdůvodněny výraznější řády. Aplikace je snadno a intuitivně ovladatelná. Slabým místem je rychlost výpočtu Vold- Kalmanovy filtrace, konkrétně tvorba matice A ve funkci spdiags, která byla pro začátek implementována takzvanou hrubou silou a z časových důvodů již nebyla optimalizována. Problém rychlosti výpočtu se týká případů, kdy je signál vzorkován frekvencemi nad 1 khz (např. při diagnostice ložisek či zubových frekvencí převodovek). V diagnostice rotujících soustav, jako jsou již zmíněné vrtule a jim podobné stroje s rotujícími částmi, jsou ovšem zajímavé frekvence asi do 1 khz, a proto není třeba vzorkovat příliš rychle. Z předchozích důvodů lze konstatovat, že rychlost není vážným nedostatkem, je však předmětem pro budoucí vylepšení. Dalším předmětem vylepšení je rozšíření možností Campbellova diagramu o znázornění vlastních frekvencí listu a jejich změnu v závislosti na otáčkové frekvenci v důsledku vyztužení vlivem odstředivých sil, jak je popsáno v [9] a jak je možné vidět na obrázku 8-5 v příloze 6. Aplikace bude v blízké budoucnosti modifikováno o zmíněné vylepšení a bude používána pro diagnostiku rotujících soustav na útvaru Leteckých vrtulí. -48-
8 PŘÍLOHY 8.1 PŘÍLOHA 1 3 Průběh otáčkové frekvence rychlé akcelerace a decelerace Frekvence (Hz)_ 25 2 15 1.1 1.1 2.1 3.1 4.1 Čas (s) Odhadovaná otáčková frekvence Uživatelem zadaný předpoklad ot.fr. Signál z F/V převodníku tachosondy Frekvence (Hz) - bez_ korekce_ 2 15 1 5-5 -1-15 Průběh chyby ot. frek. bez a s fázovou korekcí -,5-2 -1,5,1 1,1 2,1 3,1 4,1 Čas (s) Chyba ot. frek. bez korekce Chyba ot. frek. s korekcí fáze 1,5 1,5-1 Frekvence (Hz) - s korekcí_ -49-
8.2 PŘÍLOHA 2 Výsledek Vold-Kalmanovy řádové filtrace. Čas: 21:22 Datum: 11.4.21 Vzorkovací frekvence (Hz): 5. Scale factor z fm na fot: 1. Váhový koeficient filtru: 6 Time (s) Tacho (Hz) Řád: 2. Řád: 4. Řád: 6. Řád: 8. 1,186,141,664,6296,6174,646 1,188,21,696,5813,5689,5919 1,19,277,5588,533,524,5432 1,192,374,578,4846,472,4945 1,194,492,4568,4361,4236,4459 1,196,637,456,3876,3754,3974 1,198,81,3544,339,3273,349 1,11,115,331,293,2796,31 1,112,1254,2517,2417,2324,2534 1,114,153,24,1931,1863,269 1,116,1847,1492,145,1426,1624 1,118,227,987,981,143,1223 1,111,2613,519,565,799,929 1,1112,368,339,422,832,862.................. -5-
8.3 PŘÍLOHA 3 Obrázek 8-1 Příprava zapojení tenzometrické bezdrátové aparatury Obrázek 8-2 Sestava vrtule s bezdrátovou tenzometrickou aparaturou -51-
8.4 PŘÍLOHA 4 Obrázek 8-3 Sestava vrtule na motoru -52-
8.5 PŘÍLOHA 5 Obrázek 8-4 Frekvenční odezva listu OS17-53-