TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá, a který je, alespoň teoreticky, neomezeně opakovatelný. Např. hod kostkou, zjištění výšky jedince, zjištění životnosti žárovky

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Základní prostor Ω (elementárních jevů) je množinou všech možných výsledků náhodného pokusu. Např.Ω {rub, líc} při hodu mincí Ω {1,2,3,4,5,6} - při hodu kostkou

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Elementární jev {ω} je prvek, popřípadě jednoprvková podmnožina, základního prostoru Např. ω {3} při hodu kostkou Jevy které nejsou elementární označujeme jako jevy složené. Např. A {2,4,6} při hodu kostkou

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný jev A je libovolná podmnožina základního prostoru (A). ro náhodné jevy platí algebraické zákony a rovnosti stejné jako pro množiny. Např. A padne sudé číslo při hodu kostkou Jev jistý nastane nutně při každé realizaci náhodného pokusu, ozn. Ω. Např. A padne číslo menší než 7 při hodu klas. kostkou Jev nemožný nemůže nastat nikdy při realizaci náhodného pokusu, ozn. 0 Např. A padne číslo větší než 7 při hodu klas. kostkou

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Náhodné jevy a Vennovy diagramy podjev průnik jevů sjednocení jevů disjunktní jevy doplněk jevu rozdíl jevů 1. de Morganův zákon 2. de Morganův zákon

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Úplná množina vzájemně disjunktních jevů je množina po dvou disjunktních jevů {A 1,A 2,A 3,...A n }, (A i ) > 0, jejichž sjednocení tvoří množinu Ω.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Klasická definice pravděpodobnosti Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. ravděpodobnost, že při realizaci náhodného pokusu jev A nastane je: ( A) m n očet výsledků příznivých jevu A očet všechmožných výsledků Označení taky jako Laplaceova definice pravděpodobnosti Laplace (1812)

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Statistická definice pravděpodobnosti rovedeme-li n realizací náhodného pokusu, přičemž n(a) realizací je příznivých jevu A, pak pravděpodobnost jevu A můžeme odhadnout jako ( A) n( A) lim n n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Tento odhad je tím přesnější, čím je počet realizací náhodného pokusu (n) vyšší. Statistická definice pravděpodobnosti nám například umožňuje odhadnout pravděpodobnost toho, že padne šestka na cinknuté kostce.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Geometrická definice pravděpodobnosti Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: ( A) A Ω kde A, Ω jsou vhodné míry oblastí A a Ω. (Např. obsah)

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Hodiny, které nebyly ve stanovenou dobu nataženy, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi 6 a 9? Řešení 3 ( A) 12 0,25

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y 3 x

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y Ω 3 x 8 8 64 2 0 4 x 4 47,5 2 0 3 3 dx + 3 8 + 3 5 + 2 3 A x + 24 + 15 + 4,5 4 + 24 + 15 + 4,5 A Ω 47,5 64 0,742

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test odmíněná pravděpodobnost ( ) ( ) A A ( ) (A ) čti pravděpodobnost, že nastane jev A nastal-li jev

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Kolmogorovův axiomatický systém Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. 2. ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Vlastnosti pravděpodobnosti 1. 2. 3. 4. 1 ) ( 0 A 0 0) ( ( ) ( ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( A A A A A A + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A nezávislé A A A..., (A) 0 A je jev nemožný, (A) 1 A je jev jistý Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

Vlastnosti pravděpodobnosti 5. 6. 7. 8. 9. ) ( 1 ) ( A A ) ( ) ( ) ( A A ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru a) budou pořad sledovat oba manželé? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) ( ) 0,6 0,3 0, 18

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru b) bude pořad sledovat alespoň jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) + ( ) ( A ) 0,5 + 0,3 0,18 0, 62

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru c) nebude pořad sledovat ani jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) 1 A 1 ( A ) 1 0,62 0, 38

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru d) bude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat i manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 ( ) (A )0,6 ( ) A A ( A) 0,18 0,5 0,36

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru e) nebude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 A 1 A (A )0,6 ( ) ( ) ( A) 1 0,38 1 0,5 0,24 1 ( A) 1 ( A) 1 ( A)

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení Jev K1 K2 K3 K4 Definice jevu Vybereme si první krabici Vybereme si druhou krabici Vybereme si třetí krabici Vybereme si čtvrtou krabici Vytáhneme bílou kuličku

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 1. náhodně vybíráme krabici (K1)0,25 (K2)0,25 (K3)0,25 (K4)0,25

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 2. vytahujeme z krabice kuličku ( K1)3/5 ( K2)2/4 ( K3)1/5 ( K4)5/6

4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 3. bílou kuličku můžeme vytáhnout z první nebo druhé nebo třetí nebo čtvrté krabice: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + 4 3 2 1 K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + 4 4 3 3 2 2 1 1 K K K K K K K K 0,53 15 8 4 1 6 5 4 1 5 1 4 1 4 2 4 1 5 3 + + + Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Věta o úplné pravděpodobnosti 1 A 2 5 3 4 6 Ω ( A) ( A ) ( i ) ( i ) ( A ) U i i ( i ) ( A ) i ( ) i

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba je vyšší než Řešení 190 cm? 75% 25% 45% 55% 90% 10%

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ravoúhlý Vennův diagram obsahy jednotlivých obdélníku odpovídají pravděpodobnostem ( A ) ( A ) ( ) i i i Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V M + V Ž V M M + V Ž Ž 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0,167 Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Rozhodovací strom zobrazuje okamžiky rozhodování jako uzly větvení, větve pak představují všechny jednotlivé varianty řešení. Každá větev v rozhodovacím stromu je ohodnocena pravděpodobností, že bude příslušná varianta vybrána. Vynásobíme-li všechny pravděpodobnosti na cestě mezi dvěma uzly, získáme pravděpodobnost, že se z počátečního uzlu dostaneme do uzlu koncového. ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ayesův teorém ayesův vzorec udává, jakým způsobem vypočítáme aposteriorní pravděpodobnosti ( k A) jevu k za podmínky, že nastal jev A, jestliže známe apriorní pravděpodobnosti ( i ) a podmíněné pravděpodobnosti (A i ) pro všechny jevy i, i 1, 2,..., n. ( ) ( A ) k A k ( A) ( i ) ( A ) k ( A ) i

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? 55 % ARIORNÍ RAVDĚODONOST

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( V ) 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0, 167 ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,167 ( V ) 0,33 ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,33 0,167 ( V ) 33% AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Test

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností. ROČ Ze stability relativních četností vychází statistická definice pravděpodobnosti. Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti vychází z počtu příznivých a všech možných výsledků nějakého jevu.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti. ROČ Kolmogorovy axiomy definují pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudávají však žádný návod k jejímu stanovení.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti: A ( A) ( )

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti ( ) A ( A) + ( ) ( A ) A 0 okud by jevy byly disjunktní, byla by pravděpodobnost sjednocení těchto dvou jevů vyšší než 1. 0 ( A) 1 ( ) ( A) + ( ) A

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo. ROČ Jedná se o nezávislé jevy > ( A ) ( A) ( ) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna (1/2) 10 ravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo (1/2) 10

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. (ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě.) a) e) p 10 b) f) 10p 10 p 10 p c) g) d) h) 10 1 p 1 p 1 1 p 1 p ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. d) 10 p ROČ orucha bloku složeného z paralelně zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše všech součástek. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém nefunguje (oruchy)(p p p p p p p p p p)p p p p p p p p p pp 10

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. p 10 a) e) 10p 10 p 10 p b) f) c) g) d) h) 10 1 p ( 1 p) 10 1 1 p 1 p ( ) 10 ( ) 10

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. g) ( 1 ) 10 1 p ROČ orucha bloku složeného ze sériově zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše alespoň jedné ze součástek. Máme li sériově zapojené součástky, je vhodné určovat pravděpodobnost, že systém funguje. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém funguje > (nefunguje) 1- (funguje) ( p p p p p p p p p p) 1 ( 1 ) 10 1 p

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A)

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A) ROČ Z definice. amatovat jako: odmíněná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti průniku lomeno pravděpodobností podmínky.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( )

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( ) ROČ Sjednocení obsahuje všechny prvky z množiny A i, pokud tyto množiny sčítáme, započítáváme prvky v průniku dvakrát (jednou jsou obsaženy v A a jednou v ), aby byly započítány do výsledku jenom jednou, musíme je jednou odečíst.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( )

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( ) ROČ Nezávislost jevů předešlou situaci žádným způsobem neovlivňuje.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) +

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ROČ Jestliže jsou jevy disjunktní, nemají žádný společný prvek, z 2. vlastnosti pravděpodobnosti > (0)0.

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( 1 ( A) ) ( ( ) 1 + ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( )( ( A ) ( ) ( 1 ( A )

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna b) ( ) ROČ

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( ) ( 1 ( A) ) 1 + 1 ( )( ( A ) ( )( ( A )

9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna d) ROČ ( ) ( ) ( ) A 1 [ ] )) ( (1 ) ( ) ( ) ( ) ( jevy nezávislé ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.