Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více proměnných Podrobněji: Funkce n proměnných; zejména n = 2 a n = 3 Definice. Určení a načrtnutí definičních oborů funkcí dvou a tří proměnných. Načrtnutí grafů funkcí dvou proměnných; řezy rovinami, vrstevnice. Limita a spojitost funkcí více proměnných Bod (v R n, či nevlastní) a jeho okolí. Definice limity. Definice spojitosti (v bodě a na množině). Základní vlastnosti. Výpočet limity či důkaz její neexistence v jednoduchých případech. Posouzení spojitosti v jednoduchých případech. Parciální derivace, gradient, směrová derivace (resp. derivace podle vektoru) Motivace a definice. Geometrická příp. fyzikální interpretace. Základní vlastnosti. Výpočet parciálních derivací. Výpočet směrových derivací (podle definice i pomocí vzorce s gradientem). Jednoduché úlohy různých typů (úhel mezi gradienty, nalezení gradientu či směrové derivace s danými vlastnostmi, směr nejrychlejšího růstu,...). Parciální derivace vyšších řádů. Schwarzova věta (o záměnnosti smíšených derivací). Diferenciál funkce Motivace, definice a geometrická interpretace. Výpočet podle vzorce. Aplikace (přibližný výpočet funkčních hodnot). Diferenciál vyššího řádu, zejména druhého a třetího (vč. formálního odvození vzorce). Kmenová funkce v R 2 (kdy existuje a jak ji nalézt). Tečná (nad)rovina Vzorec. Vztah s diferenciálem. Nejen prosté užití vzorce, ale i řešení pestřejších úloh (např. nalezení tečné roviny s danými vlastnostmi, jako třeba rovnoběžné s danou rovinou atd.). Taylorův polynom Taylorova věta; k čemu slouží. Určení Taylorova polynomu pro konkrétní situaci. Přibližný výpočet funkčních hodnot. Vyjádření daného polynomu pomocí mocnin daných lineárních polynomů. Odhad chyby pomocí Taylorova zbytku (v jednoduchých situacích). Lokální extrémy Body podezřelé z extrému. Stacionární bod. Nutná podmínka existence lokálního extrému. Sedlový bod. Postačující podmínka existence lokálního extrému (vyšetřením definitnosti (Hessovy) matice druhých derivací).
Vázané extrémy Eliminační neboli dosazovací metoda (tj. redukce počtu proměnných). Metoda Lagrangeových multiplikátorů (pouze pro jednoduché situace) sestavení Lagrangeovy funkce a její vyšetření (stacionární bod, definitnost matice druhých derivací). Globální extrémy (Weierstrassova) věta o existenci maxima a minima spojité funkce na uzavřené omezené množině. Určení globálních extrémů na nekomplikovaných množinách (nalezením podezřelých bodů uvnitř dané množiny a vyšetřením funkce na hranici množiny s využitím metod vázaných extrémů). Grafická metoda. Jednoduché slovní úlohy (tj. ( reálné ) problémy, které vedou na extrémální úlohy našeho typu). Implicitní funkce Pojem funkce zadané implicitně. Podmínky zaručující (lokální) existenci funkce jedné proměnné zadané implicitně. Výpočet derivace prvního či vyšších řádů funkce zadané implicitně a její využití ke standardním účelům (tečna, monotonie, konvexita, Taylorův polynom,...). Implicitně zadané plochy v R 3. Dvojný a trojný integrál Princip konstrukce těchto integrálů přes obdélník resp. kvádr, vč. motivace. Integrace přes obecnější množiny. Základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu. Výpočet dvojného a trojného integrálu Fubiniova věta. Normální množiny. Přepis různě zadaných množin (typicky pomocí nerovností nebo omezených křivkami či plochami) do tvaru normální množiny Převedení dvojného resp. trojného integrálu na dvojnásobný resp. trojnásobný integrál. Záměna pořadí integrování. Transformace dvojného a trojného integrálu Obecné transformační věty. Jakobián. Důležité speciální případy: transformace integrálu do polárních souřadnic v R 2 ; do cylindrických neboli válcových souřadnic v R 3 ; do sférických neboli kulových souřadnic v R 3 (pozor, u sférických souřadnic jsme si uváděli dvě různé varianty pro substituční vztahy). Zobecněné verze těchto transformací (zejména ve smyslu změny měřítka a posunutí). Aplikace dvojných a trojných integrálů Obsah rovinného obrazce. Objem tělesa. Hmotnost, statické momenty, těžiště, momenty setrvačnosti rovinného obrazce i tělesa. Vektorové funkce (zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Vektorové pole (a jeho interpretace). Skalární pole. Operace s vektorovými funkcemi (mj. si připomeňte skalární a vektorový součin). Limita, spojitost a (parciální) derivace vektorové funkce. Diferenciální operátory: Hamiltonův (nabla) operátor, divergence, rotace. Základní operátorové identity. Křivky v rovině a prostoru Definice. Parametrizace křivky. Křivka uzavřená, jednoduchá, jednoduchá uzavřená, hladká,
po částech hladká (pozor na nejednotnost terminologie v literatuře). Tečný vektor. Orientace křivky. Nalezení parametrizace některých jednodušších křivek. Křivkový integrál prvního druhu Motivace a náznak konstrukce. Definice (pro hladkou či po částech hladkou rovinnou i prostorovou křivku). Výpočet. Nezávislost na parametrizaci. Aplikace (délka křivky, obsah válcové plochy nad křivkou, hmotnost křivky, statické momenty, těžiště, momenty setrvačnosti). Křivkový integrál druhého druhu Motivace a náznak konstrukce. Definice (pro orientovanou hladkou či po částech hladkou rovinnou i prostorovou křivku). Výpočet. Nazávislost na parametrizaci. Závislost na orientaci. Aplikace (obsah rovinného obrazce ohraničeného uzavřenou orientovanou křivkou, výpočet práce vykonané působením síly podél křivky). Věty o křivkových integrálech Greenova věta a její užití; kladně orientovaná hranice. Nezávislost křivkového integrálu 2. druhu na cestě. Potenciálové (či potenciální) pole. Potenciál vektorové funkce. Podmínky existence potenciálu. Výpočet potenciálu. Výpočet křivkového integrálu pomocí potenciálu. Plochy v prostoru Definice. Parametrizace plochy. Plocha hladká, po částech hladká, jednoduchá, uzavřená. Tečné vektory a normálový vektor. Orientace plochy. Nalezení parametrizace některých jednodušších ploch. Plošný integrál prvního druhu Motivace a náznak konstrukce. Definice (pro hladkou či po částech hladkou plochu). Výpočet. Nezávislost na parametrizaci. Aplikace (obsah plochy, hmotnost plochy, statické momenty, těžiště, momenty setrvačnosti). Plošný integrál druhého druhu Motivace a náznak konstrukce. Definice (pro orientovanou hladkou či po částech hladkou plochu). Výpočet. Nazávislost na parametrizaci. Závislost na orientaci. Aplikace (výpočet toku přes plochu, objem tělesa ohraničeného uzavřenou orientovanou plochou). Věty o plošných integrálech Gaussova-Ostrogradského věta (věta o divergenci). Stokesova věta; souhlasná orientace plochy a jejího okraje. Využití při výpočtech. Různé Připomeňte si témata z Matematiky 1; bez některých se opravdu neobejdete, např. vektorový počet, lineární útvary v rovině a prostoru, limity, derivace, (výpočet) primitivní funkce, Riemannův integrál. V písemce se mohou objevit i (jednoduché) slovní úlohy; to tedy především znamená, že mohou být zadány pestřeji než jen tak, aby k jejich řešení postačilo pouhé dosazení do vzorce. Např. určení hmotnosti pomocí integrálu z funkce hustoty, která však není explicitně zadána, nýbrž popsána jistými vlastnostmi, podobně třeba výpočet práce, kterou vykoná silové pole, jehož směr a velikost jsou slovně popsány, dále např. nalezení tečné roviny (ke grafu dané funkce) mající nějaké vlastnosti, jednoduché extrémální slovní úlohy apod.
Dobře si procvičte přepis množin v R 2 a R 3 (které mohou být zadány rozličnými způsoby) do tvaru normálních množin. Plochy či křivky nemusejí být vždy zadány jako grafy explicitních funkcí (potom lze totiž jednoduše obdržet parametrizaci, i když ta nemusí být tou nejvhodnější). Často však při hledání parametrizace mohou být užitečné různé standardní nástroje, jako např. polární, cylindrické či sférické souřadnice. Měli byste znát předpisy (a grafy) některých nekomplikovaných křivek a ploch (kružnice, elipsa, rovina, sféra, hranice elipsoidu, kuželová plocha, paraboloid, válcová plocha,...). V případě komplikovanějších objektů, jako např. některé technické křivky, objeví-li se tyto v úlohách, pak budou zpravidla explicitně zadány a případně pojmenovány; je však dobré mít o nich alespoň hrubé povědomí.
Průběh zkoušky Zkouška má dvě části: Písemná část Student by měl být schopen spočíst příklady ze všech uvedených oblastí. Typy a (ne)náročnost příkladů jsou naznačeny výše a korespondují s tím, co se probíralo na přednáškách, cvičeních a je uvedeno na matematice online. U písemné části je povoleno mít tahák, tj. jednu stranu formátu A4 obsahující např. vzorce pro derivace a primitivní funkce, goniometrické identity, vztahy související s aplikacemi integrálů apod. a případně další vzorce a informace dle vlastního uvážení. Kalkulačky a mobily nejsou povoleny. Ústní část Krátce podiskutujeme nad písemkou a probereme související témata. Student by měl prokázat, že se v problematice aspoň hrubě orientuje a umí víc, než jen dosazovat do vzorců. Nepožadujeme přesné důkazy. Je však dobré vědět, k čemu probíraná látka může být užitečná a jak lze různé pojmy zavést a případně interpretovat. Dále je žádoucí, aby student ukázal, že má alespoň rámcovou představu, na jakých principech jsou založeny některé naše teoretické závěry a proč tedy teorie funguje. Hodnocení zkoušky Za zápočet ze cvičení lze získat 12 až 25 bodů. Za písemnou část zkoušky lze získat až 75 bodů Pozor: Výkon u ústní části může mít vliv na celkové hodnocení zkoušky. Hodnocení podle bodů je následující: 90, 100 výborně (A) 80, 90) velmi dobře (B) 70, 80) dobře (C) 60, 70) uspokojivě (D) 50, 60) dostatečně (E) 0, 50) nevyhovující (F) Případné další informace lze nalézt na: http://www.mat.fme.vutbr.cz/home/rehak duben 2017 Pavel Řehák