89 Bernoulliho ronice Předpoklady: 00808 Pomůcky: da papíry, přicucáadlo, fixírka Konec minulé hodiny: Pokud se tekutina proudí trubicí s různými průměry, mění se rychlost jejího proudění mění se její kinetická energie mění se její tlakoá energie a platí Bernoulliho ronice Bernoulliho ronice: Součet kinetické a tlakoé potenciální energie jednotkoého objemu kapaliny se e odoroné trubici nemění pro odoronou trubici se děma průřezy S a S platí: + p = + p Důsledek: V užší části trubice teče kapalina rychleji má ětší kinetickou energii musí menší tlakoou potenciální energii užším místě je menší tlak Pokus: V místě, kde je trubice zúžená (a oda tam teče rychleji), ystoupá oda do menší ýšky je tam nižší tlak Př : Vysětli, proč e třetím sloupečku, který je nad místem se stejným průřezem jako prní sloupeček, neystoupá oda do stejné ýšky Voda je reálná kapalina má nitřní tření její energie se při pohybu musí zmenšoat celkoá energie u třetího sloupečku musí být menší než u prního sloupečku rychlost je u obou sloupečků stejná kapalina má nižší tlakoou energii a ystoupá u třetího sloupečku níže Hydrodynamické paradoxon: V zúženém místě trubice proudí kapalina rychleji a tím se snižuje její tlak Pokud rychlost kapaliny nabýá elkých hodnot, může tlak poklesnout až pod úroeň atmosférického tlaku odní ýěa oda zduch
Ke snižoání tlaku dochází i u plynů, Bernoulliho ronice pro plyny je šak složitější (kůli stlačitelnosti plynů se s tlakem se mění jejich hustota) Pokus: Da papíry držíme rukou odoroně kousek od sebe, zafoukáme mezi ně papíry se k sobě přiblíží proudící zduch mezi papíry má nižší tlak než stojící zduch okolo (aerodynamické paradoxon) Pedagogická poznámka: Předchozí pokus je třeba udělat Když se zeptáte žáků, co se stane, takřka bez ýjimky odpoí (i po předchozím ýkladu), že papíry půjdou od sebe Př : Urči rychlost, kterou ytéká oda z otoru, který je 0 cm pod hladinou Jak hluboko by musel být otor, aby byla rychlost ýtoku dakrát ětší? h = 0cm = 0, m, =?, h =? Voda o jednotkoém objemu má tlakoou energii: Voda o jednotkoém objemu má kinetickou energii: Zákon zachoání energie: E + E = E + E + hg = + gh = 0 0 k p k p = gh = 0 0, m s = m s - - Chceme, aby ýtokoá rychlost byla dakrát ětší: gh = / gh 4 gh gh = h = 4h Ep Ek = hg = gh = = gh - Voda bude z otoru ytékat rychlostí m s Pokud má ytékat dakrát ětší rychlostí, musí být otor e čtyřikrát ětší hloubce (80 cm) Dodatek: Získaný ztah pro ýtokoou rychlost = gh je zcela stejný jako ztah, který jsme získali pro rychlost olně padajícího tělesa (ze zcela jasných důodů) Př : V páteřním odoodním rozodu o průměru 6 mm je udržoán tlak 0,MPa Jaký tlak bude místním rozodu za podmínek z příkladu z minulé hodiny (rychlosti - - ody,5m s a 0,8m s, průměr slabšího potrubí 0 mm) Jaký průměr by musela mít trubka, e které by tlak klesnul pod 00000 Pa d = 6 mm r = mm = 0, 0m, p = 00000 Pa, d =? - =,5m s, - = 0,8m s, p = 0, MPa, p =?,
+ p = + p / + p = + p p = + p + p 000 0,8 000,5 + 00000 p = = Pa = 97000Pa Výpočet průměru trubice se známým tlakem Nejdříe určíme rychlost ody: + p = + p / + p = + p + p p = + p p = p p 00000 00000 = + = 0,8 + m s = 0m s 000 Z ronice kontinuity získáme průměr: S = S - - π r = π r r = r d =,6 mm r r = = = = 0 0,0 0,8 m,8 0 m,8mm V místním rozodu je tlak 97000 Pa Trubka by musela mít průměr,6 mm, aby ní tlak klesnul na 00000 Pa Pedagogická poznámka: Všechny hodnoty předchozím příkladu by měly odpoídat reálnému žiotu Upozorněte žáky na to, že pokles tlaku není za běžných situací nijak ýrazný Př 4: V páteřním odoodním rozodu o průměru 6 mm je udržoán tlak 0,MPa, oda teče rychlostí - 0,8m s Jaký bude tlak místě zúženém na průměr mm? d = 6 mm r = mm = 0, 0m, 0,8m s d = mm r =,5mm = 0,005m, p =?, Nejdříe určíme rychlost: S = S π r = π r r 0,0 0,8 = = m s = 9 m s r 0, 005 + p = + p / + p = + p - - - =, 0, MPa p =,
h h p = + p + p 000 0,8 000 9 + 00000 p = = Pa = 40000Pa Záporný tlak nedáá smysl není možné, aby e skutečnosti probíhal pokus popsaným způsobem, oda širší trubici nemá dostatečnou energii k tomu, aby se protlačilo dostatečnou rychlostí zúženým místem dě možnosti: širší trubici zroste tlak (na 0,54 MPa), aby oda měla dostatečnou energii a dokázala zrychlit na potřebnou rychlost, širší trubici poklesne rychlost ody tak, aby ke zúženému místu přitékalo jen tolik ody, kolik může protéci při maximální možné rychlosti toku Př 5: Proč průan zaírá deře? V mezeře mezi deřmi a zárubní proudí zduch rychleji než místnostech e štěbině je menší tlak zduchu okolní zduch deře zaírá Př 6: Vysětli pokus zaznamenaný na adrese: http://imeocom/5705 Míček se nachází rychlém proudu zduchu, nejrychleji proudí zduch těsné blízkosti míčku pokud se míček ychýlí z nejrychlejšího proudění, je tlak na straně u rychlejšího proudění menší a přitáhne míček opět doprostřed Př 7: Vysětli funkci fixírky Foukáním ytáříme rychle se pohybující proud zduchu s malým tlakem Tlak stojícího zduchu nad hladinou kapaliny je yšší než tlak pohybujícího se zduchu nad horním koncem fixírky kapalina stoupá trubici nahoru a rozprašuje se proudu zduchu Př 8: K měření rychlosti kapalin a zejména k měření rychlosti ůči okolnímu zduchu se použíá Pitotoa trubice Na obrázku je nakreslena její realizace, která umožňuje měřit rychlost proudící kapaliny Vysětli její princip Odoď ztah pro ýpočet rychlosti z ýšek h a h Kapalina leém ýodu stojí a má pouze tlakoou energii (která odpoídá hydrostatickému tlaku hloubce h ), kapalina u praého ýodu má kinetickou i tlakoou energii Platí (Bernoullioa ronice): + p = + p (dosadíme = 0 ) 4
0 + p = + p = p p ( ) ( ) p p = (dosadíme pro tlaky ( h g h g ) g ( h h ) p = h g, p = h g ) ( ) = = = g h h Př 9: Pitotoy trubice se nejčastěji použíají k měření rychlosti letadel Urči rozdíl tlaků obou ýodech u dopraního letadla letícího rychlostí 880 km/h (cestoní rychlost letadla Airbus 80) Letadlo leží e ýšce km, hustota zduchu této ýšce je - 0,6 kg m Proč se Pitotoy trubice yužíají i dnešních letadlech, která jsou samozřejmě ybaena i GPS naigací, která umožňuje elmi přesně určoat i okamžitou rychlost? - - = 880km h = 44 m s, - = 0,6kg m, p =? Použijeme meziýsledek předchozího příkladu: = p ( ) p p p = = 0,6 44 p = = Pa = 000Pa Rozdíl tlaku e ýodech Pitotoy trubice je 000 Pa Pro pilotáž letadla je zásadní jeho rychlost zhledem k okolnímu zduchu, GPS naigace určuje rychlost zhledem porchu Země měření rychlosti pomocí GPS nestačí Shrnutí: Tlak tekutině je menší místech, kde proudí rychleji 5