Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura: VY_4_INOVACE_MA_1 Geometrie Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov CZ.1.07/1.5.00/34.0596 IV/ Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ 6-41-M/01 Elektrotechnika, 3-41-M/01 Strojírenství Počítačové řídicí systémy Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů Výrobní a informační systémy - Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů Matematika, 1.-3. ročník Mgr. Lucie Pošvářová RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4, RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7, RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Datum vytvoření: leden říjen 013 Anotace Sada obsahuje prezentace, pracovní listy a hry - křížovku, osmisměrku a šibenice. Využití ve výuce Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech. Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1
VY_4_INOVACE_MA_1_01 VY_4_INOVACE_MA_1_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Vrcholy a hrany Stěny 3 4 1
Podstavy Plášť 5 6 Krychle Kvádr stěny tvoří 6 shodných čtverců Protější stěny jsou shodné obdélníky (popř. čtverce) 7 8
Hranol Podstavy jsou shodné mnohoúhelníky Boční stěny jsou rovnoběžníky Pravidelný n-boký hranol Podstavy jsou pravidelné n-úhelníky Boční stěny jsou shodné obdélníky nebo čtverce Jehlan Podstavou je mnohoúhelník Boční stěny jsou trojúhelníky Pravidelný jehlan Podstavou je pravidelný n- úhelník Boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky 9 10 Čtyřstěn Všechny stěny jsou trojúhelníky Pravidelný čtyřstěn Všechny stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky Rotační válec vznikne rotací obdélníku nebo čtverce kolem jedné jeho strany 11 1 3
vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jeho jedné odvěsny Rotační kužel Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 13 4
VY_4_INOVACE_MA_1_0 VY_4_INOVACE_MA_1_0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení 1
Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení
Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení 3
Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení 4
Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení Pojmenujte tělesa, kterými je vytvořený panáček. Řešení: Kvádr Krychle Válec Polovina válce Trojboký hranol Trojboký hranol Polovina válce Polovina válce Válec Kvádr Kvádr Krychle Krychle 5
Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 6
VY_4_INOVACE_MA_1_03 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin Pracovní list zadání, záznamový arch Ve všech následujících příkladech máme dánu krychli ABCDEFGH. Body jsou středy úseček AB, BC apod. 1. Určete vzájemnou polohu dvou přímek: a. AB, S S DH CG b. BC, ES DH c. AB, S S BC DC d. FC, S S AB BC S AB, S BC apod.
VY_4_INOVACE_MA_1_03. Určete vzájemnou polohu přímky a roviny: a. S S, ACH AB BC b. BH, EBC c. EC, AFH 3
VY_4_INOVACE_MA_1_03 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin: a. ABS CG, S ABS DH S DG b. BDE, CFH c. BFH, ABS CG 4
VY_4_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin Pracovní list řešení 1.a rovnoběžné různé 1.b mimoběžné 1.c - různoběžné 1.d - mimoběžné.a rovnoběžné.b přímka leží v rovině 5
VY_4_INOVACE_MA_1_03.c - různoběžné 3.a rovnoběžné totožné 3.b rovnoběžné různé 3.c různoběžné 6
VY_4_INOVACE_MA_1_03 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7
VY_4_INOVACE_MA_1_04 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Analytická geometrie v prostoru VY_4_INOVACE_MA_1_04 Využití v úlohách ze stereometrie AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Příklad některé metrické úlohy ve stereometrii se pomocí trigonometrických vztahů počítají špatně pokud vhodně zvolíme soustavu souřadnic a využijeme analytické geometrie, můžeme si značně usnadnit práci Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 4cm. Jaká je vzdálenost bodu F od roviny S BF GE? 1
Naznačení řešení pomocí trigonometrie Řešení pomocí analytické geometrie nejprve vhodně zvolíme soustavu souřadnic F E G [ 4;4;4] [ 4;0;4] [ 0;4;4] [ 4;4;] S BF napíšeme rovnici roviny S BF GE S S BF BF G = E = (- 4;0;) ( 0; 4;) ( a; b c) n = ; S S BF BF G n = 0 E n = 0 4a + c = 0 4b + c = 0 4 a + 4b = 0 a + b = 0 normálový vektor roviny : n = ( 1;1; ) / ( 1) zvolíme: a = 1 dopočítáme b a c: b = a b = 1 c = 4a c = a c = obecná rovnice roviny : x + y + z + d = 0 dosadíme bod d = 1 E : 4 + 0 + 4 + d = 0 obecná rovnice roviny : x + y + z + 1 = 0 vypočítáme vzdálenost bodu od roviny x = x = x = 4 + 4 + 4 1 4 1 + 1 + 6 4 6 4 6 x = 6 x 6 6 6 = 3 cm
Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_05 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_05 Analytická geometrie v prostoru využití v úlohách ze stereometrie Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [ 10; 0; 0], B [ 10; 10; 0] a C [ 0; 10; 0] odchylku přímky CS od roviny ABC, S je střed EH.. Určete
VY_4_INOVACE_MA_1_05. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH, kde AB = 3cm, BC = 4cm a AE = 5cm. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_05 3. Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1cm. Bod M je střed GH. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM. 4
VY_4_INOVACE_MA_1_05 Analytická geometrie v prostoru využití v úlohách ze stereometrie Pracovní list řešení 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [ 10; 0; 0], B [ 10; 10; 0] a C [ 0; 10; 0] odchylku přímky CS od roviny ABC, S je střed EH.. Určete CS = ( 5; 10;10 ) : n u = ( 0;0;1) ABC = z Odchylka ABC a CS je odchylka n a CS : CS n cosϕ = CS n 0 + 0 + 10 = 5 + 100 + 100 1 = 10 = = 15 3 ϕ = ɺ 48 11 α = 90 ϕ = ɺ 41 49. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH, kde AB = 3cm, BC = 4cm a AE = 5cm. ρ = BEG = BE u ρ v ρ = ( 0; 3;5) ( 4;0;5) ( a; b c) = BG = n = ; n ρ ρ u ρ nρ u ρ = 0 0a 3b + 5c = 0 n ρ vρ nρ vρ = 0 4a + 0b + 5c = 0 4 a + 3b = 0 4a = 3b volíme b = 4, pak a = 3, 1 dopočítáme c = 5 1 n ρ = 3;4; 5 1 ρ : 3x + 4y + z + d = 0 5 5
VY_4_INOVACE_MA_1_05 dosadíme například bod B a dopočítáme d = 4 1 ρ : 3x + 4y + z 4 = 0 5 1 3 4 + 4 3 + 5 4 5 1 1 v F; BEG = = = 144 769 769 9 + 16 + 5 5 5 60 769 769 ( ) = = cm 60 769 3. Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1cm. Bod M je střed GH. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM. ( A; BM ) AX [ x; y; z] BM v = X 1 BM = 1; ; 1 BM : x = 1 t 1 y = 1 t z = t 1 X 1 t;1 t; t 1 AX = t; 1 t; t AX BM AX BM = 0 1 1 t + t + t = 0 4 9 1 t = 4 t = 9 8 AX = ; ; 9 9 9 v AX = 4 81 + 64 81 3 + 4 81 ( A; BM ) = cm = 7 81 = 3 6
VY_4_INOVACE_MA_1_05 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7
VY_4_INOVACE_MA_1_06 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_06 Analytická geometrie v prostoru roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic Pracovní list zadání, záznamový arch Zakreslete následující roviny dané obecnou rovnicí do soustavy souřadnic pomozte si krychlí o hraně délky a = 10. 1. x + z 10 = 0. x y = 0 3. x + y 5 = 0
VY_4_INOVACE_MA_1_06 4. x 5 = 0 5. x = 0 6. y = 0 7. z = 0 3
VY_4_INOVACE_MA_1_06 Analytická geometrie v prostoru roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic Pracovní list řešení 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 4
VY_4_INOVACE_MA_1_06 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 5
VY_4_INOVACE_MA_1_07 VY_4_INOVACE_MA_1_07 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Odchylka dvou přímek V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek AC, AH. Najdeme vhodný trojúhelník. Všechny strany trojúhelníku ACH jsou tvořeny úhlopříčkami ve čtvercích. Trojúhelník ACH je tedy rovnostranný.všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku mají velikost 60 1
Odchylka dvou přímek V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek BD, BH. Najdeme vhodný trojúhelník. Trojúhelník DBH je pravoúhlý s odvěsnami dlouhými DB = a DH = a Použijeme goniometrickou funkci: a a) a b) tg ϕ = tg ϕ = a c) a sinϕ = a ϕ ϕ Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme: 1 tgϕ = ϕ = 16 35 Odchylka přímky a roviny V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímky HB a roviny ABC. V rovině ABC zvolíme vhodnou přímku a úlohu počítáme jako odchylku dvou přímek. Náhodou se jedná o stejné přímky jako v předchozím příkladě. Pro zapomnětlivé: DB = a DH = a Použijeme goniometrickou funkci: a a) a b) tg ϕ = tg ϕ = a c) a sinϕ = a ϕ ϕ Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme: 1 tgϕ = ϕ = 16 35
Odchylka dvou rovin V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku rovin ADH, DBH. Nejprve najdeme rovinu kolmou k oběma daným rovinám. Najdeme její průsečnice se zadanými rovinami. Hledaná odchylka je odchylka těchto průsečnic. ϕ ϕ = 45 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_08 VY_4_INOVACE_MA_1_08 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Vypočítejte, kolik gramů váží panáček z kostiček. spočítáme objemy jednotlivých dílků skládanky tyto objemy sečteme zjistíme hustotu dřeva vypočítáme hmotnost podle vzorce: ρ m = V hmotnost objem hustota Kostičky mají následující rozměry: Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. Čepička je trojboký hranol, jehož výška je,5 cm a podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. 1
Objem hranolu - noha Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. Objem válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. V 1 = a b c V1 =,5,5 5 cm 3 V = π r v V 3 = π 1,5 5 cm a =,5 cm b =,5 cm c = 5 cm V1 = 31,5 cm 3 d =,5 cm r = d = 1,5 cm v = 5 cm V = 7,815π cm 3 3 V 3 = a a =,5 cm Objem krychle - bota Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. V 3 3 3 =,5 cm V3 = 15,65 cm 3 V = 4 π r Objem válce - hlava Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. v d = 4,5 cm r = d =,5 cm v =,5 cm V 3 4 = π,5,5 cm V4 = 1,6565π cm 3
V = S 5 p v a = 3, cm v =,5 cm Objem hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. Jeho výška je,5 cm. 1 S p = a 1 = 3, S p S p = 5,1 cm cm V5 = 5,1,5 cm V5 = 1,8 cm 3 3 Objem celého panáčka sečteme jednotlivé objemy x nohu, 1x tělo, x botu, 1x hlavu, 1x čepici, 1x nohu (dvě ruce) V = V V + V + V + V 1 + V + V = 0,1cm 3 4 3 5 1 Vypočítáme, kolik gramů váží panáček z kostiček. ρ m = V na http://cs.wikipedia.org/wiki/dřevo si zjistíme hustotu dosušeného dubového dřeva: V = 0,1cm ρ = 660 kg m 3-3 objem převedeme na m 3 Pro kontrolu zvážíme V 3 = 0,00001m dosadíme a spočítáme: m = 0,1334 kg výsledek převedeme na gramy: m = 133,4 g 3
Jak je možné, že to nevyšlo? Nezapočítali jsme hmotnost barvy! Co s tím? Jak to provést? Vypočítáme ještě povrch všech kostiček a zjistíme si spotřebu barvy. Povrch hranolu - noha Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. S1 = ( a b + b c + a c) a =,5 cm b =,5 cm c = 5 cm S1 = 6,5 cm Povrch válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. Povrch krychle - bota Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. S = π r + π r v d =,5 cm r = d = 1,5 cm v = 5 cm S = 49,065 cm S3 = 6 a a =,5 cm S3 = 37,5 cm 4
S Povrch válce - hlava Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. Nesmíme zapomenout připočítat obsah dvou obdélníků na průřezu válce. = π r + r v + d v 4 π d = 4,5 cm r = d =,5 cm v =,5 cm S 4 = 89,6175 cm Povrch hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. Jeho výška je,5 cm. Povrch je tvořen dvěma stejnými obdélníky, jedním odlišným obdélníkem a dvěma stejnými rovnoramennými pravoúhlými trojúhelníky, které dohromady vytvoří čtverec. a = 3, cm v =,5 cm S v + a 5 = a v + a S5 = 37,554 cm Povrch kvádru - ruka Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Nohy jsou tvořeny kvádrem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. S6 = ( a b + b c + a c) a =,5 cm b = 1,5 cm c = 5 cm S6 = 43,75 cm Povrch všech kostiček sečteme jednotlivé povrchy x nohu, 1x tělo, x botu, 1x hlavu, 1x čepici, x ruku S = S S 1 + S + S3 + S 4 + S5 + S = 463,734 cm 6 5
Vypočítáme, kolik gramů váží použitá barva. Po poradě s malířem bylo zjištěno, že průměrná spotřeba netoxické barvy na dřevo je S = 463,734 cm S = 0,046 m m = 0,046 150 150 g m - povrch převedeme na m a spočítáme hmotnost použité barvy: Vypočítáme, kolik gramů váží nabarvený panáček. m = 133,4 + 6,9 m = 140,3 g Rozdíl ve výpočtu a vážení je způsoben zaokrouhlováním při počítání a přibližným odhadem spotřeby barvy. m = 6,9 g 6
7
Ahoj! Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Dřevo [online]. [cit. 1..013]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/drevo Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 8
5..014 VY_4_INOVACE_MA_1_09 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 VY_4_INOVACE_MA_1_09 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Kružnice VY_4_INOVACE_MA_1_09 1
5..014 Kružnice Kružnice množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost STŘED KRUŽNICE POLOMĚR KRUŽNICE Jak se kreslí kružnice - video Kružnice množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost libovolný bod kružnice střed kružnice poloměr kružnice XS = r X [ x; y] [ m n] r S ; ( x m) + ( y n) = r ( x m) + ( y n) = r středová rovnice kružnice x + y = r středová rovnice kružnice S[0;0]
5..014 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
5..014 VY_4_INOVACE_MA_1_10 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 VY_4_INOVACE_MA_1_10 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Elipsa VY_4_INOVACE_MA_1_10 1
5..014 kužel protneme rovinou, která: není kolmá k jeho ose není s jeho osou rovnoběžná není rovnoběžná s jeho stranou Elipsa Elipsa množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností OHNISKA ELIPSY Elipsa množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností ( x m) ( y n) a + b osová rovnice elipsy = 1 x a AS x + b y = 1 osová rovnice elipsy S[0;0] libovolný bod elipsy hlavní poloosa vedlejší poloosa excentricita střed elipsy hlavní vrcholy vedlejší vrcholy ohniska elipsy a = AS = [ x y] [ m n] X ; S ; b = CS = e = ES = e = a A, B C, D E, F BS DS FS b Elipsa ( x m) ( y n) x b b + a y + a = 1 osová rovnice elipsy = 1 osová rovnice elipsy S[0;0] AS y
5..014 Elipsy ve vesmíru všechny planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách Sluneční soustava obíhá kolem středu Mléčné dráhy po eliptické trajektorii umělé družice kolem Země obíhají také po elipse úsečky, které spojují libovolný bod elipsy s ohnisky, svírají s tečnou v tomto bodě stejný úhel přímka procházející ohniskem po odražení se od elipsoidu prochází druhým ohniskem dva lidé stojící v bodech, které jsou v ohniscích elipsoidu, se mohou dorozumívat šeptem Šeptací sály Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-48-085-0 (č.13) Šeptání v Mohyle míru Prameny a literatura šeptání v Mohyle míru jste mohli vidět v seriálu Četnické humoresky v díle Medovina, kde Toníček prosí Andělu o ruku RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-48-085-0 (č.13) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_11 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_11 Kuželosečky - kružnice Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Napište středovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a) b) c) d). Zakreslete do soustavy souřadnic: a) + ( y + 5) 9 x b) ( x 3) + y < 5
VY_4_INOVACE_MA_1_11 Kuželosečky - kružnice Pracovní list řešení 1.a) střed má souřadnice [ 0;0] S, poloměr je r = 5 Středová rovnice kružnice je x + y = 5 Obecná rovnice kružnice má tvar x + y 5 = 0 1.b) střed má souřadnice [ 6;0] S, poloměr je r = 4 Středová rovnice kružnice je ( x + 6) + y = 16 Obecnou rovnici vypočítáme jako x + 1x + 36 + y 16 = 0 1.c) střed má souřadnice [ 4;5] x + y + 1x + 0 = 0 S, poloměr je r = 3 Středová rovnice kružnice je ( x + 4) + ( y 5) = 9 Obecnou rovnici vypočítáme jako x + 8x + 16 + y 10y + 5 9 = 0 1.d) střed má souřadnice [ 3;] x + y + 8x 10y + 3 = 0 S, poloměr je r = 4 Středová rovnice kružnice je ( x 3) + ( y ) = 16 Obecnou rovnici vypočítáme jako x 6x + 9 + y 4y + 4 16 = 0 x + y 6x 4y 3 = 0.a).b) 3
VY_4_INOVACE_MA_1_11 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 4
VY_4_INOVACE_MA_1_1 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_1 Kuželosečky elipsa Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Napište osovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a) b) c) d)
VY_4_INOVACE_MA_1_1. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku, určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, hlavních a vedlejších vrcholů a ohnisek. Všechny tyto body znázorněte v obrázku. a) 16x + 9y = 144 b) 4( x + 3) + 5( y ) = 100 3
VY_4_INOVACE_MA_1_1 Kuželosečky - elipsa Pracovní list řešení 1.a) střed má souřadnice [ 0;0] je rovnoběžná s osou y S, hlavní poloosa a = 8, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa Osová rovnice elipsy je x + y = 1 9 64 Obecná rovnice elipsy má tvar 64x + 9y = 576 1.b) střed má souřadnice [ 0; 1] 64x + 9y 576 = 0 S, hlavní poloosa a = 6, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x Osová rovnice elipsy je x 36 ( + 1) + y = 1 9 x + 4 y + y + 1 Obecná rovnice elipsy má tvar ( ) = 36 1.c) střed má souřadnice [ 3;4] je rovnoběžná s osou y Osová rovnice elipsy je ( x 3) x + 4y + 8y 3 = 0 S, hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b = 1, hlavní poloosa + ( y 4) = 1 9 6x + 9 + Obecná rovnice elipsy má tvar 9( x ) ( y 8y + 16) = 9 1.d) střed má souřadnice [ 6; 4] 9x + y 54x 8y + 88 = 0 S, hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b =, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x x + 6 y + 4 9 4 4 x + 1x + 36 + 9 y + 8y + 16 Osová rovnice elipsy je ( ) + ( ) = 1 Obecná rovnice elipsy má tvar ( ) ( ) = 36 4x + 9y + + 48x + 7y + 5 = 0 4
VY_4_INOVACE_MA_1_1.a) 16x + 9y = 144 x 9 + y = 1 16 [ 0;0] S, hlavní poloosa a = 4, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y e = e = e = a b 16 9 7 A [ 0;4] B C [ 0; 4] [ 0; 3] D [ 0;3] E [ 0; 7] F [ 0; 7] 5
VY_4_INOVACE_MA_1_1.b) 4( x + 3) + 5( y ) = 100 ( x + 3) ( y ) 5 [ 3;] + 4 = 1 S, hlavní poloosa a = 5, vedlejší poloosa b =, hl. poloosa je rovnoběžná s osou x e = e = e = a b 5 4 1 A [ 8;] B [ ;] C [ 3;4] D [ 3;0] E [ 3 1;] F [ 3 + 1;] 6
VY_4_INOVACE_MA_1_1 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7
5..014 VY_4_INOVACE_MA_1_13 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 VY_4_INOVACE_MA_1_13 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Hyperbola VY_4_INOVACE_MA_1_13 1
5..014 Hyperbola Hyperbola množina bodů, pro které je XE - XF konstantní ( x m) ( y n) a b = 1 osová rovnice hyperboly EF x x a b y = 1 libovolný bod hyperboly hlavní poloosa vedlejší poloosa osová rovnice hyperboly S[0;0] XE XF = a excentricita [ x y] [ ] X ; S m; n A, B E, F a = AS = BS střed hyperboly hlavní vrcholy ohniska hyperboly b = CS = e = ES = e = a + DS FS b Hyperbola ( y n) ( x m) b y b a x a = 1 osová rovnice hyperboly = 1 Asymptoty y n = k ( x m) b k = ± a osová rovnice hyperboly S[0;0] EF y
5..014 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
5..014 VY_4_INOVACE_MA_1_14 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 VY_4_INOVACE_MA_1_14 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Parabola VY_4_INOVACE_MA_1_14 1
5..014 Parabola Parabola množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky jako od daného bodu libovolný bod paraboly vrchol paraboly [ x y] X ; řídící přímka ohnisko paraboly parametr d p [ m n] V ; F ( y n) = p ( x m) o x y = p x VF = p vrcholová rovnice paraboly vrcholová rovnice paraboly V[0;0] Parabola ( y n) = p ( x m) vrcholová rovnice paraboly Parabola ( x m) = p ( y n) vrcholová rovnice paraboly y = p x vrcholová rovnice paraboly V[0;0] x = p y vrcholová rovnice paraboly V[0;0] o x o y
5..014 Parabola o y ( x m) = p ( y n) vrcholová rovnice paraboly x = p y vrcholová rovnice paraboly V[0;0] Využití vlastností paraboly úsečka, která spojuje libovolný bod paraboly s ohniskem, svírá s tečnou v tomto bodě stejný úhel jako přímka, která je rovnoběžná s osou paraboly a prochází týmž bodem paprsky vstupující do paraboly rovnoběžně s její osou se odrážejí do ohniska a naopak využití: satelitní antény, radioteleskopy, sluneční pece, reflektory Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-48-085-0 (č.13) Sluneční pece Sluneční pece v Himalájích soustřeďuje sluneční paprsky v ohnisku zrcadla dosahuje teploty až 3800 o C -a takto ve vesnici Kagbeni (.776 m n.m.) -takto si ohřívají vodu nedaleko Muktinathu (3.800 m n.m.) -v pozadí Dhaulaghiri 8.167 m n.m. http://cs.wikipedia.org/wiki/slune%c4%8dn%c3%ad_pec - použity soukromé fotografie 3
5..014 Kuželosečky ve vesmíru komety se pohybují po drahách tvaru elipsy, paraboly nebo hyperboly nejčastěji po eliptických drahách po nějaké době se vracejí zpět Hallyova kometa po 76 letech komety s drahami tvaru hyperboly a paraboly nepocházejí ze Sluneční soustavy navštíví nás pouze jednou Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-48-085-0 (č.13) Sluneční pec [online]. [cit. 16.3.013]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/sluneční_pec Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-48-085-0 (č.13) 4
VY_4_INOVACE_MA_1_15 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_15 Kuželosečky hyperbola Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, ohnisek, hlavních a vedlejších vrcholů, rovnice asymptot. Vše znázorněte v obrázku. a) 36x 4y = 144 b) 4( y + 3) 5( x ) = 100
VY_4_INOVACE_MA_1_15 Kuželosečky - hyperbola Pracovní list řešení 1.a) 36x 4y = 144 x y = 1 4 36 [ 0;0] S, hlavní poloosa a =, vedlejší poloosa b = 6, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x e = a + e = e = e = b 4 + 36 40 10 A [ ;0] B [ ;0] C [ 0;6] D [ 0; 6] E [ 10;0] F [ 10;0] b k = ± a 6 k = ± k = ±3 Asymptoty mají rovnice: y = ± 3x 3
VY_4_INOVACE_MA_1_15 1.b) 4( y + 3) 5( x ) = 100 ( y + 3) ( x ) 5 [ ; 3] 4 = 1 S, hlavní poloosa a = 5, vedlejší poloosa b =, hl. poloosa je rovnoběžná s osou y e = a + e = e = A [ ;] B C D E F b 5 + 4 9 [ ; 8] [ 0; 3] [ 4; 3] [ ; 3 + 9] [ ; 3 9] a k = ± b 5 k = ± 5 y, Asymptoty mají rovnice: + 3 = ± ( x ) 5 5 tedy y = x 8 a y = x + 4
VY_4_INOVACE_MA_1_15 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 5
VY_4_INOVACE_MA_1_16 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_16 Kuželosečky parabola Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Rozhodněte, o kterou kuželosečku se jedná: x + 10x + 18y 11 = 0 a) b) c) d)
VY_4_INOVACE_MA_1_16. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku a její řídící přímku, určete souřadnice vrcholu a ohniska. a) ( y + 6) = 8( x 3) b) ( x 6) = 8( y + 3) 3
VY_4_INOVACE_MA_1_16 Kuželosečky - parabola Pracovní list řešení 1. x + 10x + 18y 11 = 0 ( x + 5) 5 + 18y 11 = 0 ( x + 5) = 18y + 36 ( x + 5) = 18( y ) V [ 5;] p = 18 p = 9 p 9 = 5 F 5; Řídící přímka má rovnici: 13 d : y = 4
VY_4_INOVACE_MA_1_16.a) ( y + 6) = 8( x 3) [ 3; 6] V, osa paraboly je rovnoběžná s osou x p = 8 p = 4 p = F [ 1; 6] Řídící přímka d : x = 5 5
VY_4_INOVACE_MA_1_16.b) ( x 6) = 8( y + 3) [ 6; 3] V, osa paraboly je rovnoběžná s osou y p = 8 p = 4 p = F [ 6; 1] Řídící přímka d : y = 5 6
VY_4_INOVACE_MA_1_16 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7
VY_4_INOVACE_MA_1_17 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1
VY_4_INOVACE_MA_1_17 Planimetrie základní pojmy Pracovní list zadání, záznamový arch V tajence se skrývá jedna ze zásad Doc. RNDr. Emila Caldy, CSc. pro řešení matematických úloh, kterou uvádí ve své příručce Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F 1. Do okének vepisujte písmena slov podle legendy pod tabulkou. Písmeno ch pište vždy do jednoho okénka. 3 1 1 9 6 8 5 9 13 10 8 4 17 30 6 36 4 3 7 61 0 59 48 41 14 58 38 11 35 50 1 CALDA, Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 003, s.. ISBN4 80-7196-7-4
VY_4_INOVACE_MA_1_17 51 34 16 33 44 63 19 5 4 39 5 56 45 57 46 15 40 18 3 6 55 47 49 43 54 53 37 60 31 7 1 1. Dvěma různými body prochází právě jedna.. Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné. 3. Označení AB znamená. 4. Označení CD AB znamená, že usečka AB je s úsečkou CD. 5. Pokud mají dvě úsečky stejnou délku jsou. 6. Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné. 7. Polopřímky VA a VB se nazývají. 8. Bod V se nazývá. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_17 9. Úhel AVB, který vznikne průnikem polorovin VAB a VBA, se nazývá. 10. Úhel AVB, který vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám VAB a VBA, se nazývá. 11. Jsou-li polopřímky VA a VB navzájem opačné, nazývá se úhel AVB. 1. Jsou-li polopřímky VA a VB totožné, nazývá se úhel AVB 13. nebo. 14. Daný pětiúhelník ABCDE je. 15. Daný pětiúhelník ABCDE je. 16. Polopřímka, která má počátek ve vrcholu úhlu a dělí úhel na dva shodné úhly se nazývá. 17. Úhly α a β se nazývají a platí pro ně α + β = 180. 18. Úhly α a β se nazývají a platí pro ně α = β. 4
VY_4_INOVACE_MA_1_17 19. Úhel, který je shodný se svým vedlejším úhlem se nazývá. 0. Konvexní úhel, který je menší než pravý, se nazývá. 1. Konvexní úhel, který je větší než pravý, se nazývá.. Ostré a tupé úhly dohromady nazýváme. 3. Dvě přímky, které nemají žádný společný bod se nazývají různé. 4. Dvě přímky, které mají právě jeden společný bod se nazývají. 5. Dvě přímky, které mají celou přímku společných bodů se nazývají rovnoběžky. 6. Část roviny, která je ohraničena dvěma různými rovnoběžkami se nazývá. 7. Úhly α a β se nazývají a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β. 8. Úhly α a β se nazývají a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β. 9. Přímka, která prochází středem úsečky a je k této úsečce kolmá se nazývá. 30. a 31. Součet dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí. Tato poučka se nazývá. 3. a 33. Úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku se nazývá, je rovnoběžná se stranou třetí a její velikost je poloviční než velikost této strany. 34. Úsečka, která vede z vrcholu trojúhelníku kolmo na protější stranu se nazývá. 35. Průsečík výšek v trojúhelníku se nazývá. 36. Úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany se nazývá. 37. Těžnice se protínají v. 38. Střed kružnice opsané trojúhelníku je v průsečíku. 39. Střed kružnice vepsané trojúhelníku je v průsečíku. 40. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je stupňů. 41. Trojúhelník, ve kterém platí Pythagorova věta se nazývá. 4. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny úhly menší než 90 je. 43. Trojúhelník, ve kterém je jeden úhel větší než 90 je. 44. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny těžnice zároveň výškami, se nazývá. 45. Trojúhelník, ve kterém jsou právě dva úhly shodné je. 46. Čtyřúhelník, ve kterém nejsou žádné dvě strany rovnoběžné, nazýváme. 47. Čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě, které nejsou rovnoběžné, jsou stejně dlouhé, nazýváme. 48. Jak nazýváme čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a jedna ze dvou zbývajících je k nim kolmá? 49. Množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost se nazývá. 50. Úsečka, která spojuje dva body ležící na kružnici se nazývá. 51. Tětiva je úsečka, která dělí kružnici na dva. 5. Prochází-li tětiva středem kružnice, nazývá se. 53. Průměr dělí kružnici na dvě. 5
VY_4_INOVACE_MA_1_17 54. Tětiva dělí kruh na dvě. 55. Tětiva procházející středem dělí kruh na dva. 56. Dva poloměry dělí kruh na dvě. 57. Na obrázku je. 58. Kružnice na obrázku jsou. 59. Přímka, která má s kružnicí dva společné body se nazývá. 60. Přímka, která má s kružnicí jeden společný bod se nazývá. 61. Přímka, která nemá s kružnicí společný bod se nazývá. 6. Úhel ASB je úhel příslušný k oblouku kružnice. 63. Úhel AVB je úhel příslušný k oblouku kružnice. 6
VY_4_INOVACE_MA_1_17 Planimetrie základní pojmy Pracovní list řešení 3 d é l k a ú s e č k y 1 t u p ý 1 p ř í m k a 9 k o n v e x n í k o s é 6 p o l o r o v i n y 8 s t ř í d a v é 5 s h o d n é 9 o s a ú s e č k y p o l o p ř í m k a 13 p l n ý 10 n e k o n v e x n í 8 v r ch o l ú h l u 4 r ů z n o b ě ž k y 17 v e d l e j š í 30 t r o j ú h e l n í k o v á 6 s t ř e d o v á 36 t ě ž n i c e 4 s h o d n á 3 r o v n o b ě ž k y 7 r a m e n a ú h l u 61 v n ě j š í p ř í m k a 0 o s t r ý 59 s e č n a 48 p r a v o ú h l ý l i ch o b ě ž n í k 41 p r a v o ú h l ý 14 k o n v e x n í 58 s o u s t ř e d n é 38 o s s t r a n 11 p ř í m ý 35 o r t o c e n t r u m 50 t ě t i v a 51 o b l o u k y 34 v ý š k a 16 o s a ú h l u 33 p ř í č k a 44 r o v n o s t r a n n ý 63 o b v o d o v ý 19 p r a v ý 5 p r ů m ě r 7
VY_4_INOVACE_MA_1_17 4 o s t r o ú h l ý 39 o s ú h l ů 5 t o t o ž n é 56 v ý s e č e 45 r o v n o r a m e n n ý 57 m e z i k r u ž í 46 r ů z n o b ě ž n í k 15 n e k o n v e x n í 40 s t o o s m d e s á t 18 v r ch o l o v é 3 s t ř e d n í 6 r o v i n n ý p á s 55 p ů l k r u h y 47 r o v n o r a m e n n ý l i ch o b ě ž n í k 49 k r u ž n i c e 43 t u p o ú h l ý 54 ú s e č e 53 p ů l k r u ž n i c e 37 t ě ž i š t i 60 t e č n a 31 n e r o v n o s t 7 s o u h l a s n é 1 n u l o v ý S příkladem nevyjednávejte; vlídným a laskavým slovem nedosáhnete ničeho. 8
VY_4_INOVACE_MA_1_17 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4 Doc. RNDr. CALDA, CSc., Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 003, ISBN4 80-7196-7-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 9
VY_4_INOVACE_MA_1_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 VY_4_INOVACE_MA_1_18 Shodnost trojúhelníků AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 ABC KLM trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM trojúhelník ABC můžeme přemístit na trojúhelník KLM bod A přejde do bodu K bod B přejde do bodu L bod C přejde do bodu M strana AB přísluší straně KL úhel CAB přísluší úhlu MKL C M Věty o shodnosti trojúhelníků VY_4_INOVACE_MA_1_18 A K každé dvě k sobě příslušné strany a každé dva k sobě příslušné úhly jsou shodné B L 1
Věta sss: Věta usu: dva trojúhelníky, které se shodují v délkách všech tří stran, jsou shodné dva trojúhelníky, které se shodují v délce jedné strany a ve velikostech úhlů k této straně přilehlých, jsou shodné C C C C A A B B B B A A Věta sus: Věta Sus: dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou shodné dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu naproti větší z nich, jsou shodné C C C C A A B B B B A A
Příklad: Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky p a q. Na přímce q leží body A, B. Na přímce p leží bod C. Bod S je střed úsečky AC. Průnikem přímek p a BS je bod D. Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD. Dokážeme, že trojúhelníky ABS a CDS jsou shodné. Délka strany AS je shodná s délkou strany CS. Velikost úhlu BAS je shodná s velikostí úhlu DCS. Jedná se o střídavé úhly. Velikost úhlu ASB je shodná s velikostí úhlu CSD. Jedná se o vrcholové úhly. Podle věty usu je trojúhelník ABS shodný s trojúhelníkem CDS. Délky strany BS je tedy shodná s délkou strany DS. Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. Bod S je střed úsečky BD. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_19 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 VY_4_INOVACE_MA_1_19 Podobnost trojúhelníků AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 ABC KLM trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku KLM trojúhelník KLM je zmenšením trojúhelníku ABC KL = k AB LM = k BC MK = k CA C M Věty o podobnosti trojúhelníků VY_4_INOVACE_MA_1_19 kladné číslo k se nazývá koeficient podobnosti je-li k > 1 jedná se o zvětšení je-li k < 1 jedná se o zmenšení je-li k = 1 jedná se o shodnost A B K L 1
Věta sss: Věta uu: dva trojúhelníky, jejichž délky příslušných stran jsou ve stejném poměru, jsou podobné dva trojúhelníky, které se shodují ve velikostech dvou úhlů, jsou podobné C C A A C C B B B B A A Věta sus: dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou podobné C Příklad: Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3. první způsob: Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a BXN podle věty uu. Úhel AXM a BXN jsou vrcholové úhly. Úhel XAM a XBN jsou střídavé úhly. A C B B A
Příklad: Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3. druhý způsob: Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a MPN podle věty uu. Úhly XAM a PMN jsou souhlasné úhly. Úhly AMX a MNP jsou souhlasné úhly. Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Pythagorova věta VY_4_INOVACE_MA_1_0 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 c = a + Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahu čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami. b Důkaz Pythagorovy věty ( a b) S = + a b S = 4 + c 1
( a b) S = + a b S = 4 + c a b ( a + b) = 4 + c a + ab + b = ab + c Ještě jednou, trochu jinak c = a + b a + b = c Příklad Příklad Sestrojte úsečku dlouhou 5 cm. a + b = c a + b = c Sestrojte úsečku dlouhou 3 cm. c a = b c a = b + 1 = 5 1 = 3
Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3
VY_4_INOVACE_MA_1_1 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 VY_4_INOVACE_MA_1_1 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Eukleidovy věty AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 podle věty uu platí: APC CPB příslušné strany jsou ve stejném poměru c b = v v c b = v v c a Eukleidova věta o výšce Druhá mocnina výšky k přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu délek obou úseků přepony. v = c a c b v = c a c b 1
podle věty uu platí: CBP ABC Eukleidova věta o odvěsně příslušné strany jsou ve stejném poměru a ca c = a ca = c a Druhá mocnina odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku se rovná součinu přepony a úseku přepony přilehlého k této odvěsně. a b = c = c c a c b a = c c a Příklady c b = v v a ca c =
Sestrojte úsečku dlouhou 13 cm. ca cb = v ca cb = v 13 1 = 13 Příklad 1 S 1 x S = = a b Příklad Je dán obdélník s délkami stran a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu. Délku strany hledaného čtverce označíme jako x. x = a b Eukleidova věta o výšce Eukleidova věta o odvěsně x výška = a b odvěsna má délku a+b Eukleidova věta o výšce 1. AB ; AB = a + b. P ; P AB, AP = a, BP = b ( S; r) ; S AB, AS = SB ; r AB 3. k = 4. p; Thaletova kružnice p AB, P p 5. C ; C p k 6. x ; x = CP x = a b odvěsna přepona úsek přepony přilehlý k x a > b Eukleidova věta o odvěsně 1. AB ; AB = a. P ; P AB, BP = b ( S; r) ; S AB, AS = SB ; r AB 3. k = 4. p; Thaletova kružnice p AB, P p 5. C ; C p k 6. x ; x = CP 3
Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN 80-7196-174-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 4
VY_4_INOVACE_MA_1_ Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Tečna ke kružnici VY_4_INOVACE_MA_1_ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Květen 013 Tečna ke kružnici Tečna ke kružnici v bodě Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r v bodě T, který leží na dané kružnici. 1. V BODĚ T k 1. Rozbor. BODEM P k tečna je kolmá na poloměr 1
1. k. ST 3. Popis konstrukce ( S; r), T; T k 3. t; T t, t ST. Konstrukce 1. Rozbor Tečna ke kružnici bodem Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r bodem P, který neleží na dané kružnici. -tečna je kolmá na poloměr -narýsujeme Thaletovu kružnici s průměrem SP Úloha má jedno řešení. -bod dotyku T bude ležet na průniku obou kružnic. Konstrukce 3. Popis konstrukce ( S; r), P; P k, SP r 1. k >. SP 3. O ; O SP, SO = OP ( O; r OP ) 4. l = PS > r Dvě řešení PS = r Jedno řešení 5. T1, T; T1, T 1, t; t1 = PT1, Počet řešení závisí na vzdálenosti bodu P od středu kružnice. k l 6. t t = PT Jak? PS < r Nemá řešení