Od kvazikrystalů k číselným systémům a kombinatorice na slovech Zuzana Masáková Seminář současné matematiky 3. dubna 206
Nobelova cena 202 za chemii: Kvazikrystaly V roce 982 D. Shechtman objevil materiál, s difrakčním obrazem o symetríıch 2,3,5. (symetrie icosahedronu). Rotační symetrie řádu 5 u periodických 2D a 3D struktur zakázaná. Pro hezký difrakční obraz nutné uspořádání na dálku. Pozice bodů ve 2D nelze popsat dvěma souřadnicemi v Z.
Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor
Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}.
Kvazikrystaly Dodecahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}. Jak získat model s pětičetnou symetríı? Projekcí: V dimezi 4 už mřížka se symetríı řádu 5 existuje!
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e 4 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e 4 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i >
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e, e 2, e 3, e 4 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (e i, e i+ ) = 2π 3 e diagram: e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x 2 x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i± = e i + e i± r i e j = e j pro j i > Zobrazení r r 3 r 2 r 4 je izometrie řádu 5.
Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2.
Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω }
Metoda ukroj a promítni Projekce: Π zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Pro omezenou Ω V 2, Ω : Σ(Ω) = { Π (x) x H, Π 2 (x) Ω } Σ(Ω) je delonovská, aperiodická,...
Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω Σ(Ω) = { Π (x) x A 4, Π 2 (x) Ω }
Voronojovo a Delonovo dla z de nı
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π.
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = = τv + v + τu
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e e 3 Π τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R := Π (r r 3 )Π a R 2 := Π (r 2 r 4 )Π. Pak R 2 (u) = Π (r 2 r 4 )Π (u) = Π r 2 r 4 (e ) = Π (e + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π (r 2 r 4 )Π (τu) = Π r 2 r 4 (e 3 ) = Π (e 2 + e 3 + e 4 ) = Z linearity R 2 plyne R 2 (τu) = τr 2 u = τv + v + τu (τ + )v + τu = τu + τ 2 v a proto τ 2 = τ +.
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5).
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto τu + τv = u, τu + v = v.
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 2 ( + 5). R R 2 je izometrie: R R 2 (u) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e ) = Π (e 2 + e 3 ) = τu + τv R R 2 (v) = Π (r r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π ( e 3 e 4 ) = τu v Proto Dostaneme τu + τv = u, τu + v = v. u = v a u v = 2 τ u 2 = cos 4π 5 u 2. Vektory u a v jsou tedy stejné délky a svírají úhel 4 5 π.
Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x
Dihedrální grupa D 0 Grupa generovaná reflexemi R, R 2 a středovou symetríı x x Orbita vektorů u, v V D 0 : 5
Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ )
Druhý kořen τ = 2 ( 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 2 τ ) Bod ae + be 2 + ce 3 + de 4 mřížky A 4 se zobrazuje : Π (a, b, c, d) = (a + τb)v + (c + τd)u Π 2 (a, b, c, d) = (a + τ b)v + (c + τd )u A máme Σ(Ω) = {(a + τb)v + (c + τd)u a, b, c, d Z, (a + τ b)v + (c + τd )u Ω}.
Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
Při vhodné volbě Π, Π 2, Ω
Metoda ukroj a promítni pro D model V V 2 V : y = εx, V 2 : y = ηx ε, η irrational, ε η Z 2 Π Π 2 Z[ε] x2 Z[η] x Z[η] := {a + bη a, b Z} Z[ε] := {a + bε a, b Z} : Z[η] Z[ε] x = a+bη x = a+bε
Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω}
Cut-and-project posloupnosti Pro Ω omezený interval Σ ε,η (Ω) = {a + bη a, b Z, a + bε Ω} = {x Z[η] x Ω} Věta: Existuje (s n ) n Z rostoucí, {s n } n Z = Σ ε,η (Ω), taková, že s n+ s n {, 2, + 2 }, pro nějaké, 2 Z[η]. Kódování u ε,η (Ω) = u 2 u u 0 u u 2 u 3 {A, B, C} Z A pro s n+ s n =, u n = B pro s n+ s n = + 2, C pro s n+ s n = 2. Pro spec. Ω pouze dvě vzdálenosti, 2, tj. Ω B =.
Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné.
Číselné soustavy Báze β R, β >, abeceda cifer A. k Každé x R má β-rozvoj tvaru x = a j β j, a j A. j= ne všechny (a j ) k jsou přípustné. β-celá čísla Z β = { ± x x má rozvoj k a j β j}. j=0
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 τ 0 τ a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 τ 3 000 2τ + a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + b x (x) τ bτ + a 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 τ 3 000 2τ + τ 3 + 00 2τ + 2 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 τ 3 000 2τ + τ 3 + 00 2τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ 4 0000 3τ + 2 τ 4 + 000 3τ + 3... τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ 2 000 4τ + 3 τ 4 + τ 2 + 00 4τ + 4 τ 5 00000 5τ + 3 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 τ 3 000 2τ + τ 3 + 00 2τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ 4 0000 3τ + 2 τ 4 + 000 3τ + 3... τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ 2 000 4τ + 3 τ 4 + τ 2 + 00 4τ + 4 τ 5 00000 5τ + 3 a
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } /τ /τ /τ 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + x (x) τ bτ + a b 0 0 0 τ 0 τ τ 2 00 τ + τ 2 + 0 τ + 2 τ 3 000 2τ + τ 3 + 00 2τ + 2 τ 3 + τ 00 3τ + τ 4 0000 3τ + 2 τ 4 + 000 3τ + 3 τ 4 + τ 000 4τ + 2 τ 4 + τ 2 000 4τ + 3 τ 4 + τ 2 + 00 4τ + 4 a... τ + 4 = 00 τ 0 τ 5 00000 5τ + 3
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno τ-celá čísla Z τ = { ± k i=0 } x i τ i xi {0, }, x i x i+ = 0 a cut-and-project posloupnost Z τ R + ( ) = Σ τ,τ (, τ) R + = {a + bτ 0 a + bτ (, τ)}, kde τ = 2 ( + 5) je druhý kořen polynomu x 2 x.
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 +
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A.
Báze τ = 2 ( + 5), cifry {0, }, zakázáno Z τ = { ± k i=0 x iτ i xi {0, }, x i x i+ = 0 } A B A A B A B A A 0 τ τ 2 τ 2 + τ 3 τ 3 + τ 3 +τ τ 4 τ 4 + Nekonečné slovo ABAABABAA lze generovat substitutcí A AB, B A. Tj. A AB ABA ABAAB ABAABABA
Nabízená témata Geometrické vlastnosti cut-and-project množin a aperiodická dláždění (Masáková) On-line aritmetika v nestandardních soustavách (Svobodová) Kombinatorika na nekonečných slovech (Pelantová)