1.1. Formulace. Hledáme rychlost u = (u 1, u 2 ) T splněna Stokesova rovnice. a tlak p ve dvourozměrné oblasti Ω tak, aby byla. µ u + p = f v Ω, (1.

Transkript

1 Řšní nstlačitlného proudění tkutin mtodou spktrálních prvků Libor Črmák květn 2007 Abstrakt První kapitola obsahuj podrobný algoritmus pro řšní stacionárního Stoksova problému. Druhá kapitola j věnována algoritmizaci stacionárního avirova-stoksova problému. 1. Stacionární Stoksův problém 1.1. Formulac Hldám rychlost u = (u 1, u 2 ) T splněna Stoksova rovnic a tlak p v dvourozměrné oblasti Ω tak, aby byla µ u + p = f v Ω, (1.1) kd µ j dynamická viskozita a f = (f 1, f 2 ) T rovnic kontinuity j intnzita silového zatížní, a aby platila div u = 0 v Ω. (1.2) a hranici Γ = Ω j přdpsána rychlost u = g na Γ, (1.3) s vlastností g n ds = 0. Γ (1.4) 1

2 1.2. Slabé řšní cht L 2 (Ω) j Lbsguův prostor funkcí kvadraticky intgrovatlných v Ω a H 1 (Ω) j Sobolvův prostor funkcí, ktré jsou v Ω kvadraticky intgrovatlné spolu s svými prvními zobcněnými drivacmi. Pak dfinujm linární prostory X, V, M a linární množinu W jako X = H 1 (Ω) 2, V = {v X v = o na Γ}, W = {v X v = g na Γ}, M = L 2 (Ω). (1.5) cht v 1, v 2 V a q M jsou tstovací funkc. Rovnici (1.1) skalárně vynásobím tstovacím vktorm v = (v 1, v 2 ) T a intgrujm přs Ω. Pomocí Grnovy věty dostanm Ω µ u v dx Ω (div v)p dx = Ω f v dx, kd u v = Rovnici (1.2) vynásobím tstovací funkcí q, intgrujm přs Ω a mám (div u) q dx = 0. Ω i,k=1 u i x k v i x k. Pro zápis slabé formulac použijm formy a(u, v) = µ u v dx, (1.6) Ω b(u, q) = L(v) = Ω Ω (div u) q dx, (1.7) f v dx. Slabá formulac úlohy (1.1) (1.4) zní: (1.8) najít u W, p M splňující a(u, v) + b(v, p) = L(v) v V, b(u, q) = 0 q M. (1.9) Úloha (1.9) má řšní: rychlost j určna jdnoznačně, tlak nikoliv: jstliž (u, p) j řšní, pak také (u, p + C) j řšní, kd C j libovolná konstanta Diskrtizac Přdpokládjm, ž oblast Ω lz vyjádřit jako sjdnocní podoblastí Ω, Ω = E Ω, Ω i Ω j = pro i j, (1.10) 2

3 z nichž každá j obrazm jdnotkového čtvrc ˆΩ = 1, 1 2 v zobrazní x (r), tj. Ω = {x (r) r ˆΩ}. (1.11) Zobrazní x (r) uvažujm v tvaru Lagrangova intrpolačního polynomu x (r 1, r 2 ) = x ijπ i (r 1 )π j (r 2 ), (1.12) i,j=0 kd {x ij} i,j=0 jsou řídicí body dfinující gomtrii podoblasti Ω a π i (r) = k = 0 k i r ξ k ξ i ξ k, i = 0, 1,...,, (1.13) jsou Lagrangovy fundamntální polynomy na síti {ξ i } i=0 intrpolačních uzlů. Řídicí body {x ij} i,j=0 j třba vybrat tak, aby k zobrazní x (r) : ˆΩ Ω xistovalo invrzní zobrazní r (x) : Ω ˆΩ, tj. aby ˆΩ = {r (x) x Ω }. (1.14) Volbě řídicích bodů j věnována samostatná kapitola 1.3.4, řídicí body {x ij} i,j=0 dfinuj přdpis (1.83). Uzavřné podoblasti Ω nazývjm prvky, obrazy vrcholů rsp. stran čtvrc ˆΩ v zobrazní x (r) ncht pak jsou vrcholy rsp. strany prvku Ω. Podl (1.10) j tdy Ω sjdnocním prvků { Ω } E, z nichž každé dva jsou bud to disjunktní nbo mají spolčnou jdnu stranu nbo jdn vrchol. Mtoda spktrálních prvků s vyznačuj tím, ž za uzly {ξ i } i=0 volím uzly Gaussových- Lgndrových-Lobattovových (stručně GLL) kvadraturních formulí řádu 2 1, tj. 1 = ξ 0 < ξ 1 < < ξ 1 < ξ = 1, (1.15) kd {ξ i } 1 i=1 jsou kořny první drivac L (x) Lgndrova polynomu L (x) stupně. Připomňm, ž Lgndrovy polynomy lz dfinovat rkurncí L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, (k + 1)L k+1 (x) = (2k + 1)L k (x) kl k 1 (x), k 1. (1.16) cht dál { ξ i } 1 i=1 jsou uzly Gaussovy-Lgndrovy (stručně GL) kvadraturní formul řádu 2 3, tj. 1 < ξ 1 < ξ 2 < < ξ 2 < ξ 1 < 1, (1.17) kd { ξ i } 1 i=1 jsou kořny Lgndrova polynomu L 1 (x) stupně 1. Obrazy GL bodů [ ξ i, ξ j ] v zobrazní x (r) označm x ij = x ( ξ i, ξ j ), i, j = 1, 2,..., 1. (1.18) 3

4 Aproximaci rychlosti na prvku Ω hldám v tvaru u (x) û (r (x)), kd û (r 1, r 2 ) = u ijπ i (r 1 )π j (r 2 ), (1.19) kd {u ij} i,j=0 jsou hldané hodnoty rychlostí v řídicích bodch {x ij} i,j=0. Podobně vyjádřím také tstovací funkci v (x) ˆv (r (x)), kd ˆv (r 1, r 2 ) = vijπ i (r 1 )π j (r 2 ), (1.20) i,j=0 i,j=0 kd {v ij} i,j=0 jsou hodnoty tstovací funkc v řídicích bodch {x ij} i,j=0. Aproximaci tlaku na prvku Ω hldám v tvaru p (x) ˆp (r (x)), kd ˆp (r 1, r 2 ) = 1 i,j=1 kd {p ij} 1 i,j=1 jsou hldané hodnoty tlaku v bodch { x ij} 1 i,j=1 a p ij π i (r 1 ) π j (r 2 ), (1.21) π i (r) = 1 k = 1 k i r ξ k ξ i ξ k, i = 1, 2,..., 1, (1.22) jsou Lagrangovy fundamntální polynomy na síti GL uzlů { ξ i } 1 i=1. Podobně vyjádřím také tstovací funkci q (x) ˆq (r (x)), kd ˆq (r 1, r 2 ) = 1 i,j=1 q ij π i (r 1 ) π j (r 2 ), (1.23) kd {q ij} 1 i,j=1 jsou hodnoty tstovací funkc v bodch { x ij} 1 i,j=1. Rychlost j tdy aproximována izoparamtricky (gomtri x (ˆΩ) i rychlost û (r) j určna stjným počtm paramtrů) a tlak suprparamtricky (gomtri x (ˆΩ) j určna pomocí většího počtu paramtrů nž tlak ˆp (r)). cht X j prostor funkcí, jjichž rstrikc na prvk Ω j tvaru (1.19), prostor V ncht j podprostorm X, jhož funkc v jsou v řídicích bodch x ij lžících na hranici Γ hranic nulové, tj. V = {v X v(x ij) = o x ij Γ}, a ncht W j množina takových funkcí v X, ktré v řídicích bodch x ij Γ nabývají přdpsaných hodnot g(x ij), tj. W = {v X v(x ij) = g(x ij) x ij Γ}. Tlak budm aproximovat pomocí funkcí z prostoru M, což ncht jsou funkc, jjichž rstrikc na prvk Ω má tvar (1.21). Diskrétní slabá formulac úlohy (1.1) (1.4) zní: najít u W, p M splňující a (u, v) + b (v, p ) = L (v) v V, (1.24) b (u, q) = 0 q M. 4

5 Abychom zjdnodušili znační, budm indx u přibližného řšní u a p většinou vynchávat. Formy a (u, v), b (v, q) a L (v) dostanm z form a(u, v), b(v, q) a L(v) numrickou intgrací: a (u, v) = Q GLL(µ u v), b (u, q) = Q GL(q div u), L (v) = Q GLL(f v). kd Q GLL a Q GL jsou kvadraturní formul dfinované podl (1.28) (1.30). cht { } x J 2 (r) = i (r) r j i,j=1 j Jacobiova matic zobrazní x : ˆΩ Ω a (1.25) (1.26) J (r) = dt J (r) (1.27) j dtrminant Jacobiovy matic. Pak kvadraturní formul Q GLL (ϕ) a Q GL (ϕ) jsou Q GLL(ϕ) = Q GLL ( ˆϕ J ), Q GL(ϕ) = Q GL ( ˆϕ J ), (1.28) kd ˆϕ (r) = ϕ(x (r)), Q GLL (ψ) = ω i ω j ψ(ξ i, ξ j ) (1.29) i,j=0 j součinová Gaussova-Lgndrova-Lobattova formul a Q GL (ψ) = 1 i,j=1 ω i ω j ψ( ξ i, ξ j ) (1.30) j součinová Gaussova-Lgndrova formul Bilinární forma a (u, v) Zřjmě a(u, v) = k=1 a (u i, v i ), kd a (u, v) = i=1 µ ˆΩ i=1 Ω k=1 Podl pravidla o drivování složné funkc dostanm ( ) ˆv a ( ri û rj (u, v) = r i x k r j x k = i,j=1 ˆΩ k=1 ˆv r i j=1 µ u x k v x k dx. (1.31) ) J dr = ( µ r r ) i j û J dr. (1.32) x k x k r j 5

6 Gomtrické faktory označím jako h ij(r) = k=1 r i x k r j x k J, i, j = 1, 2. (1.33) a prvku Ω provdm numrickou intgraci užitím GLL kvadraturní formul a dostanm a (u, v) = i,j=1 k,l=0 ω k ω l [ ˆv r i µh ij ] û. (1.34) r j (ξ k,ξ l ) Abychom mohli zapsat výraz a (u, v) v kompaktní formě, budm potřbovat šikovné vyjádřní pro drivac ˆv / r i a û / r j v GLL uzlch {[ξ k, ξ l ]} k,l=0. Obě funkc û a ˆv mají formálně stjný tvar ψ(r 1, r 2 ) = ψ ij π i (r 1 )π j (r 2 ). (1.35) i,j=0 Vyjádřím si tdy drivac ψ/ a ψ/ v bodě [ξ k, ξ l ]. ψ (ξ k, ξ l ) = ψ ij π i(ξ k )π j (ξ l ) = i,j=0 ψ il π i(ξ k ), i=0 nbot π j (ξ l ) = 0 pro j l a π l (ξ l ) = 1. Označm d ki = π i(ξ k ). (1.36) Odvodili jsm tdy, ž ψ (ξ k, ξ l ) = Podobně dostanm ψ il d ki. (1.37) i=0 ψ (ξ k, ξ l ) = ψ ij π i (ξ k )π j(ξ l ) = i,j=0 ψ kj π j(ξ l ) = j=0 ψ kj d lj. (1.38) j=0 cht π 0(ξ 0 ) π 1(ξ 0 )... π (ξ 0) D = {d ij } π 0(ξ 1 ) π 1(ξ 1 )... π i,j=0 = 1)..... (1.39) π 0(ξ ) π 1(ξ )... π (ξ ) Pomocí označní Ψ = {ψ kl } k,l=0, Ψ (1) = { ψ/ (ξ k, ξ l )} k,l=0, Ψ (2) = { ψ/ (ξ k, ξ l )} k,l=0, (1.40) 6

7 můžm rovnic (1.37) a (1.38) zapsat maticově v tvaru Ψ (1) = DΨ, Ψ (2) = ΨD T. (1.41) V dalším budm používat používat Sloupcový rozvoj prvků matic. J-li A matic typu m n s prvky a ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n, pak sloupcovým rozvojm prvků matic A budm rozumět sloupcový vktor délky mn tvaru a = (a 11, a 21,..., a m1, a 12, a 22,..., a m2,..., a 1n, a 2n,..., a mn ) T. cht tdy ψ, ψ (1) a ψ (2) jsou sloupcové rozvoj prvků matic Ψ, Ψ (1) a Ψ (2). K vyjádřní ψ (1) a ψ (2) pomocí ψ použijm Tnzorový (Kronckrův) součin matic. cht A j matic typu m n s prvky a ij, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m, a B j matic typu p q s prvky b ij, i = 1, 2,..., p, j = 1, 2,..., q. Pak tnzorový součin matic A a B j matic a 11 B a 12 B... a 1n B a C = A B = 21 B a 22 B... a 2n B.... a m1 B a m2 B... a mn B typu mp nq. Užitím tnzorového součinu lz rovnic (1.41) zapsat také v tvaru ψ (1) = (I D)ψ, ψ (2) = (D I)ψ, (1.42) kd I j jdnotková matic řádu + 1. Bilinární forma a (u, v). Hodnoty v i,kl = ˆv i (ξ k, ξ l ) a u i,kl = û i (ξ k, ξ l ) sstavím do sloupcových vktorů v i = (v i,00, v i,10,..., v i,0, v i,01, v i,11,..., v i,1,..., v i,0, v i,1,..., v i,) T, u i = (u i,00, u i,10,..., u i,0, u i,01, u i,11,..., u i,1,..., u i,0, u i,1,..., u i,) T. (1.43) Vktory v i a u i jsou tdy sloupcové rozvoj prvků matic V i = {v i,kl} k,l=0, U i = {u i,kl} k,l=0, i = 1, 2. (1.44) Člny ω k, ω l, µ a h ij(ξ k, ξ l ) sskupím do diagonálních matic G ij řádu ( + 1) 2, jjichž diagonální prvky jsou dfinovány přdpism [G ij] αα = µω k ω l h ij(ξ k, ξ l ), kd α = k ( + 1)l, k, l = 0, 1,...,, i, j = 1, 2. (1.45) Matic G 12 G 21 jsou zřjmě totožné. Všimnět si, ž diagonály matic G ij tvoří sloupcové rozvoj prvků matic H ij = {µω k ω l h ij(ξ k, ξ l )} k,l=0, i, j = 1, 2. (1.46) 7

8 Jstliž označím B 1 = I D, B 2 = D I, (1.47) pak pomocí (1.42), kd ψ zaměním za v i a u i, dostanm kd v,(j) i v,(j) i = B j v i, u,(j) i = B j u i, i, j = 1, 2, (1.48) a u,(j) i V,(j) i = j sloupcový rozvoj prvků matic { } v { } i (ξ k, ξ l ), U,(j) u i = i (ξ k, ξ l ), r j k,l=0 r j k,l=0 i, j = 1, 2. (1.49) Pak podl (1.34), (1.45), (1.49) a (1.48) obdržím ( ) T ( ) ( ) a (v i, u i ) = [vi ] T K u i, kd K B1 G = 11, G 12 B1 B 2 G 12, G, (1.50) 22 B 2 a odtud a (u, v) = a (u, v), kd a (u, v) = [v1] T K u 1 + [v2] T K u 2. (1.51) Gomtrické faktory h ij(r). Pro drivac funkcí r 1 a r 2 dostanm r1 1 x 2 =, x 1 J r2 = 1 x 2, x 1 J r 1 = 1 x 1, x 2 J r2 1 x 1 =, x 2 J J = x 1 x 2 x 1 x 2. (1.52) Odtud pro faktory h 11, h 12, h 21 a h 22 obdržím [ ( x h 11 = 1 ) 2 ( ) ] [ 1 x 2 ( x + 2, h J 22 = 1 ) 2 ( ) ] 1 x 2 + 2, J cht h 12 = h 21 = 1 [ ] x 1 x 1 + x 2 x 2. J (1.53) X 1 = {x 1,kl} k,l=0, X 2 = {x 2,kl} k,l=0 (1.54) jsou matic souřadnic x 1 a x 2 řídicích bodů {x kl } k,l=0. Pak drivac { x i / r j (ξ k, ξ l )} k,l=0 X,(j) i, i, j = 1, 2, (1.55) vypočtm pomocí rovnic (1.41), v nichž zaměním Ψ za X 1 a X 2, tj. X,(1) i = DX i, X,(2) i = X i D T, i = 1, 2. (1.56) 8

9 Bilinární formy b (u, q) a b (v, p) Zřjmě b(u, q) = b (u, q), kd b (u, q) = Podl pravidla o drivování složné funkc dostanm b (u, q) = i,j=1 Gomtrické faktory označím jako ˆΩ i=1 u i q dx. (1.57) Ω x i ( r ) ˆq j û J i dr. (1.58) x i r j h ij(r) = r j x i J, i, j = 1, 2. (1.59) a prvku Ω provdm numrickou intgraci užitím GL kvadraturní formul a dostanm b (u, q) = 1 k,l=1 ω k ω l i,j=1 [ ] ˆq h û i ij. (1.60) r j ( ξ k, ξ l ) Člny ω k, ω l a h ij sskupím do diagonálních matic G ij řádu ( 1) 2, jjichž diagonální prvky jsou dfinovány přdpism [ G ij] αα = ω k ω l h ij ( ξ k, ξ l ), kd α = k + ( 1)(l 1), k, l = 1, 2,..., 1, i, j = 1, 2. (1.61) Všimnět si, ž diagonály matic G ij jsou sloupcové rozvoj prvků matic Dál platí H ij = { ω k ω l h ij ( ξ k, ξ l )} 1 k,l=1, i, j = 1, 2. (1.62) û i ( ξ k, ξ l ) = α,β=0 u αβπ α( ξ k )π β ( ξ l ), û i ( ξ k, ξ l ) = α,β=0 u αβπ α ( ξ k )π β( ξ l ). (1.63) cht d kα = π α( ξ k ), ι kα = π α ( ξ k ), α = 0, 1,...,, k = 1, 2,..., 1. (1.64) cht matic D = { d kα } a Ĩ = { ι kα}jsou typu ( 1) ( + 1), π 0( ξ 1 ) π 1( ξ 1 )... π ( ξ 1 ) π D = 0( ξ 2 ) π 1( ξ 2 )... π ( ξ 2 )...., (1.65) π 0( ξ 1 ) π 1( ξ 1 )... π ( ξ 1 ) 9

10 a π 0 ( ξ 1 ) π 1 ( ξ 1 )... π ( ξ 1 ) π Ĩ = 0 ( ξ 2 ) π 1 ( ξ 2 )... π ( ξ 2 )..... (1.66) π 0 ( ξ 1 ) π 1 ( ξ 1 )... π ( ξ 1 ) Jstliž Ũ,(j) i = pak podl (1.63) (1.67) { } û 1 i ( ξ k, r ξ l ), U i = {û i (ξ k, ξ l )} k,l=0, (1.67) j k,l=1 Ũ,(1) i = DU i ĨT, Ũ,(2) i = ĨU i D T, i = 1, 2. (1.68) Označím-li B 1 = Ĩ D, B2 = D Ĩ, (1.69) pak podobně, jako jsm odvodili (1.48), dostanm ũ,(j) i = B j u i, i, j = 1, 2, (1.70) kd ũ,(j) i j sloupcový rozvoj prvků matic Ũ,(j) i, i, j = 1, 2. Tak podl (1.60), (1.61), (1.67) a (1.70) obdržím b (u, q) = b (u, q), kd b (u, q) = [q ] T [ D 1u 1 D 2u 2], (1.71) přičmž D i = ( G i1, G i2 ) ( B1 B 2 ), i = 1, 2. (1.72) Forma b (v, p). Pomocí (1.71), (1.72) dostanm b (v, p) = b (v, p), kd b (v, p) = [v1] T [ D 1] T p + [v2] T [ D 2] T p. (1.73) Gomtrické faktory h ij(r). Z (1.59) pomocí (1.52) dostanm h 11 = sign(j ) x 2, h 12 = sign(j ) x 2, h 21 = sign(j ) x 1, h 22 = sign(j ) x 1, J = x 1 x 2 x 1 x 2, (1.74) 10

11 kd sign(j ) j rovno 1 nbo 1 podl toho, zda znaménko jakobiánu J j kladné nbo záporné. Pro drivac souřadnic { x i / r j ( ξ k, ξ l )} 1 (j) k,l=1 X i, i, j = 1, 2, (1.75) dostanm podobně jako v (1.68) vyjádřní X (1) i = DX i Ĩ T, X(2) i = ĨX i D T, i = 1, 2. (1.76) Linární forma forma L (v) Zřjmě L(v) = L (v), kd L (v) = i=1 Ω f i v i dx. (1.77) a prvku Ω provdm numrickou intgraci užitím GLL kvadraturní formul a dostanm L (v) = ω k ω l vi,klf i (ξ k, ξ l ) J (ξ k, ξ l ), (1.78) i=1 k,l=0 takž L (v) = [v 1] T f 1 + [v 2] T f 2, (1.79) kd f i, i = 1, 2, j sloupcový rozvoj prvků matic Odtud F i = {ω k ω l fi (ξ k, ξ l ) J (ξ k, ξ l ) } k,l=0, i = 1, 2. (1.80) L (v) = L (v). (1.81) Transfinitní intrpolac j zobrazní čtvrc na rovinnou oblast v tvaru zakřivného čtyřúhlníka, viz [5]. Transfinitní zobrazní rfrnčního prvku ˆΩ = 1, 1 2 na prvk Ω označím jako ϕ (r). Výchozím přdpokladm pro konstrukci transfinitního zobrazní ϕ (r) j znalost paramtrických rovnic stran prvku Ω. cht tdy ϕ s(t), t 1, 1, j paramtrická rovnic jižní (south) strany prvku Ω, ϕ n(t), t 1, 1, j paramtrická rovnic svrní (north) strany prvku Ω, ϕ w(t), t 1, 1, j paramtrická rovnic západní (wst) strany prvku Ω, ϕ (t), t 1, 1, j paramtrická rovnic východní (ast) strany prvku Ω. 11

12 Pak transfinitní zobrazní (nbo také transfinitní intrpolac) ϕ (r, s) = 1 2 (1 s)ϕ s(r) (1 + s)ϕ n(r)+ r, s 1, 1. Snadno ověřím, ž (1 r) [ ϕ w(s) 1 2 (1 s)ϕ w( 1) 1 2 (1 + s)ϕ w(1) ] + (1.82) (1 + r) [ ϕ (s) 1 2 (1 s)ϕ ( 1) 1 2 (1 + s)ϕ (1) ], ϕ (r, 1) = ϕ s(r), r 1 1, 1, ϕ (r, 1) = ϕ n(r), r 1 1, 1, ϕ ( 1, s) = ϕ w(s), r 2 1, 1, ϕ ( 1, s) = ϕ (s), r 2 1, 1. Existnci invrzního zobrazní [ϕ ] 1 (x) z Ω do ˆΩ obcně zaručit nlz, jsou-li však rovnic ϕ i (t), i = s, n, w,, popisující hranici Ω prvku Ω, rozumné, invrzní zobrazní xistuj. Tranfinitní intrpolac j praxí osvědčný nástroj pro práci s zakřivnými oblastmi a j běžně s úspěchm používána. Řídicí body {x ij} i,j=0 zobrazní x (r), viz (1.12), určím přdpism x ij = ϕ (ξ i, ξ j ), i, j = 0, 1,...,, (1.83) kd {ξ i } i=0 jsou uzly GLL kvadraturní formul, viz (1.15) Sstavní soustavy rovnic Řídicím bodům {x ij} i,j=0, = 1, 2,..., E, přiřadím globální čísla tak, ž j očíslujm pomocí (navzájm různých) přirozných čísl 1, 2,..., n u, kd n u j clkový počt řídicích bodů, přičmž čísla 1, 2,..., n u přiřadím řídicím bodům, ktré nlží na Γ, takž n u j počt řídicích bodů, v nichž rychlost nní přdpsána okrajovou podmínkou (1.3). Řídicí body budm značit x i, i = 1, 2,..., n u. Dál označím u 1,i = u 1 (x i ), u 2,i = u 2 (x i ), v 1,i = v 1 (x i ), v 2,i = v 2 (x i ), i = 1, 2,..., n u. cht ū 1 j sloupcový vktor délky n u obsahující rychlosti u 1,i, i = 1, 2,..., n u. Podobně dfinujm vktory ū 2, v 1 a v 2. Prvních n u složk vktorů ū k, k = 1, 2, jsou nznámé, zatímco zbývající složky jsou určny okrajovou podmínkou (1.3), tj. u k,i = g k (x i ) pro i = n u + 1,..., n u, k = 1, 2. Protož v V, j v 1 = v 2 = 0 na Γ, takž posldní složky v 1,i = v 2,i = 0 pro i = n u + 1,..., n u, zatímco prvních n u složk obou vktorů můž nabývat libovolných hodnot. cht u 1 j prvních n u složk vktoru ū 1, obdobný význam ncht mají u 2, v 1 a v 2. Pak u 1, u 2 jsou vktory nznámých a v 1, v 2 jsou libovolné vktory. Také pomocným bodům { x ij} 1 i,j=1, = 1, 2,..., E, přiřadím globální čísla tak, ž j očíslujm pomocí (navzájm různých) přirozných čísl 1, 2,..., n p, kd n p = ( 1) 2 E j clkový počt pomocných bodů. Pomocné body budm značit x i, i = 1, 2,..., n p. 12

13 Dál označím p i = p( x i ) a q i = q( x i ),i = 1, 2,..., n p. cht p rsp. q j sloupcový vktor obsahující složky p i rsp. q i, i = 1, 2,..., n p. Z diskrétní slabé formulac (1.24) a dál z vyjádřní (1.31) (1.57) a (1.77) plyn [a (u, v) + b (v, p) + b (u, q) L (v)] = 0. (1.84) Bilinární formu a (u, v) vyjádřím pomocí (1.50), b (v, p) pomocí (1.71), b (u, q) pomocí (1.73), linární formu L (v) vyjádřím pomocí (1.79) a vš dosadím do (1.84). Jstliž přjdm k globálnímu číslování proměnných, dostanm vztah mzi lmntárními a globálními daty: ( 0 = [v 1 ] T [v2] T [q ] ) K O u [D 1] T u 1 f1 T O u K [D 2] T u 2 f 2 = D 1 D 2 O p p = ( v 1 T vt 2 q ) K Ō u D T 1 ū 1 f1 T Ō u K DT 2 ū 2 f2 = (1.85) D 1 D 2 Ō p p o p = ( v1 T v2 T q ) K O u D T 1 u 1 T O u K D T 2 u 2 D 1 D 2 O p p f 1 f 2 f 3. Zd O u, O p, Ōu, Ōp, O u, O p jsou nulové matic a o p, ō p, o p jsou nulové vktory. Protož vktory v 1, v 2 a q mohou nabývat libovolných hodnot, dostávám soustavu rovnic Ku 1 D T 1 p = f 1 Ku 2 D T 2 p = f 2 D 1 u 1 D 2 u 2 = f 3 (1.86) Globální matic K, D 1, D 2 a globální vktory f 1, f 2, f 3 sstavím z lmntárních matic K, D 1, D 2, lmntárních vktorů f1, f2 a z podmínk u i = g(x i ), v i = o pro x i Γ, standardním postupm známým z mtody končných prvků, viz např. [1]. Matic soustavy linárních rovnic (1.86) j singulární. To j důsldk toho, ž tlak j určn njdnoznačně. jjdnodušší řšní spočívá v tom, ž jdnu složku p i vktoru p zadám, tj. zvolím p i = p i. Dá s ukázat, ž pak už jsou zbývající složky p j, j i, určny jdnoznačně. a výběru složky ani na jjí hodnotě příliš nzálží. Zvolím-li třba posldní složku p np = 0, pak vypustím posldní rovnici a posldní sloupc matic soustavy, rdukovanou soustavu vyřším a k získanému řšní připojím nakonc nulu. o p 13

14 2. Stacionární avirův-stoksův problém 2.1. Formulac Hldám rychlost u = (u 1, u 2 ) T a tlak p v dvourozměrné oblasti Ω tak, aby byla splněna avirova-stoksova rovnic µ u + (u )u + p = f v Ω, (2.1) kd µ j dynamická viskozita, f = (f 1, f 2 ) T j intnzita silového zatížní a (u )u = u 1 u x 1 + u 2 u x 2. Dál žádám, aby rychlost splňovala rovnici kontinuity (1.2) a okrajovou podmínku (1.3) Slabé řšní Postupujm podobně jako v kapitol 1.2. Kromě form a(u, v), b(u, q) a L(v), viz (1.6) (1.8), potřbujm jště formu ( ) u u c(w; u, v) = (w )u v dx = w 1 + w 2 v dx. (2.2) x 1 x 2 Ω Slabá formulac úlohy (2.1), (1.2) (1.4) zní: najít u W, p M splňující Ω a(u, v) + c(u; u, v) + b(v, p) = L(v) v V, b(u, q) = 0 q M. (2.3) 2.3. Diskrtizac linární úlohu (2.3) řším wtonovou mtodou: u (0) W dáno, pro n = 0, 1,... počítat δu (n) V, δp (n) M tak, aby platilo a(δu (n), v) + c(δu (n) ; u (n), v) + c(u (n) ; δu (n), v) + b(v, δp (n) ) = = L(v) a(u (n), v) c(u (n) ; u (n), v) b(v, p (n) ) v V, b(δu (n), q) = b(u (n), q) q M, a položit u (n+1) = u (n) + δu (n), p (n+1) = p (n) + δp (n). 14

15 Formulaci (2.4) lz zjdnodušit, uvážím-li bilinárnost form a(u, v), b(v, p) a trilinárnost formy c(w; u, v). Tak dostanm úlohu: u (0) W dáno, pro n = 0, 1,... počítat u (n+1) W, p (n+1) M tak, aby platilo a(u (n+1), v) + c(u (n+1) ; u (n), v) + c(u (n) ; u (n+1), v) + b(v, p (n+1) ) = = c(u (n) ; u (n), v) + L(v) v V, (2.4) b(u (n+1), q) = 0 q M. Přibližné řšní počítám mtodou spktrálních prvků. Postupujm podobně jako v kapitol 1.3. Diskrétní slabá formulac. u (0) W dáno, pro n = 0, 1,... počítat u (n+1) a (u (n+1), v) + c (u (n+1) ; u (n), v) + c (u (n) W, p (n+1) ; u(n+1) M tak, aby platilo, v) + b (v, p (n+1) ) = = c (u (n) ; u(n), v) + L (v) v V, (2.5) b (u (n+1), q) = 0 q M. Abychom zjdnodušili znační, budm indx u přibližného řšní u a p většinou vynchávat. Formy a (u, v), b (u, q) a L (v) jsou dány vztahy (1.25). Zabývjm s proto trilinární formou c (w; u, v) Forma c (w; u, v) Zřjmě c (w; u, v) = c (w; u, v), kd c (w; u, v) = Q GLL([w ]u v). (2.6) a prvku užitím (1.28) a (1.52) dostanm c (w; u, v) = Q u 1 u 1 u 2 u 2 GLL(w 1 v 1 + w 2 v 1 + w 1 v 2 + w 2 v 2 ) = (2.7) x 1 x 2 x 1 x 2 ( [ ] ) ( [ ] ) û Q GLL ŵ1 1 r1 + û 1 r2 û J ˆv 1 + Q GLL ŵ 1 r1 2 + û 1 r2 J ˆv 1 + x 1 x 1 x 2 x 2 ( [ ] ) ( [ ] ) û Q GLL ŵ1 2 r1 + û 2 r2 û J ˆv 2 + Q GLL ŵ 2 r1 2 + û 2 r2 J ˆv 2 = x 1 x 1 x 2 x 2 Q GLL Q GLL ( ŵ 1 ( ŵ 2 [ û 1 x 2 û 1 x 2 [ û 1 x 1 + û 1 x 1 ] ) sign(j )ˆv 1 + ] ) sign(j )ˆv

16 Q GLL Q GLL ( [ û ŵ1 2 ( ŵ 2 x 2 û 2 x 2 [ û 2 x 1 + û 2 x 1 ] ) sign(j )ˆv 2 + ] ) sign(j )ˆv 2. Hodnoty funkcí w, u, v V jsou na prvku Ω určny vktory paramtrů ( ) ( ) ( ) w w = 1 u w2, u = 1 v u, v = 1 2 v2, kd u i, v i, i = 1, 2, jsou tvaru (1.43) a w i, i = 1, 2, j dfinováno obdobně, tj. w i = (w i,00, w i,10,..., w i,0, w i,01, w i,11,..., w i,1,..., w i,0, w i,1,..., w i,) T. Čln c (w; u, v) vyjádřím dvěma různými způsoby, jdnou v tvaru c (w; u, v) = [v ] T C,1 (u )w (2.8) a pak také v tvaru c (w; u, v) = [v ] T C,2 (w )u. (2.9) Elmntární matic C,1 (u ). Pro první sčítanc na pravé straně rovnosti (2.7) dostanm ( [ ] ) û Q GLL ŵ1 1 x 2 û 1 x 2 sign(j )ˆv 1 = [v r 1] T C,1 11 (u )w1, (2.10) 1 kd C,1 11 (u ) j diagonální matic, jjíž diagonální prvk s indxy (α, α) j [ C,1 11 (u ) ] [( ) ] û = ω 1 x 2 αα kω l û 1 x 2 sign(j ), (2.11) (ξ k,ξ l ) kd pro k, l = 0, 1,..., j α = k ( + 1)l. Matici C,1 11 (u ) můžm zapsat v kompaktní formě C,1 11 (u ) = diag(c,1 11 (u )), kd C,1 11 (u ) = Ω (U,(1) 1 X,(2) 2 U,(2) 1 X,(1) 2 ) S, (2.12) přičmž matic U,(1) 1 a U,(2) 1 jsou v souladu s (1.41) dfinovány přdpism U,(1) i = DU i, U,(2) i = U i D T, U i = {û i (ξ k, ξ l )} k,l=0, i = 1, 2, (2.13) matic X,(2) 2 a X,(1) 2 jsou dfinovány vztahy (1.56), matic Ω a S jsou dfinovány přdpism Ω = {ω k ω l } k,l=0, S = {sign(j (ξ k, ξ l ))} k,l=0, (2.14) 16

17 a j Hadamardův součin: jsou-li A = {a ij } a B = {b ij } matic typu m n, pak Hadamardův součin A B matic A a B j matic C = {c ij } typu m n, kd c ij = a ij b ij. Zápism C,1 11 (u )) = diag(c,1 11 (u )) přitom vyjadřujm njn to, ž matic C,1 11 (u ) j diagonální, al také to, ž diagonálu této matic dostanm sloupcovým rozvojm prvků matic C,1 11 (u ). Hadamardův součin lz označit jako násobní po prvcích (v angličtině ntrywis product ), podobně lz dfinovat opraci dělní po prvcích, mocnění po prvcích atp. Tak třba v MATLABu j pro násobní po prvcích k dispozici oprátor.*, pro dělní po prvcích oprátor./ a pro mocnění po prvcích oprátor.^. Další člny na pravé straně rovnosti (2.7) vyjádřím podobně. Tak obdržím ( [ ] ) Q GLL ŵ2 û 1 x 1 + û 1 x 1 sign(j )ˆv 1 = [v r 1] T C,1 12 (u )w2, (2.15) 1 kd C,1 12 (u ) = diag(c,1 12 )(u ) a C,1 12 (u ) = Ω ( U,(1) 1 X,(2) 1 +U,(2) 1 X,(1) 1 ) S, (2.16) dál Q GLL ( [ ] ) û ŵ1 2 x 2 û 2 x 2 sign(j )ˆv 2 = [v r 2] T C,1 21 (u )w1, (2.17) 1 kd C,1 21 (u ) = diag(c,1 21 (u )) a C,1 21 (u ) = Ω (U,(1) 2 X,(2) 2 U,(2) 2 X,(1) 2 ) S, (2.18) a končně kd Q GLL ( [ ] ) ŵ2 û 2 x 1 + û 2 x 1 sign(j )ˆv 2 = [v r 2] T C,1 22 (u )w2, (2.19) 1 C,1 22 (u ) = diag(c,1 22 (u )) a C,1 22 (u ) = Ω ( U,(1) 2 X,(2) 1 +U,(2) 2 X,(1) 1 ) S. (2.20) Pak ( ) C,1 C,1 (u 11 (u ) C,1 12 (u ) ) =. (2.21) C,1 21 (u ) C,1 22 (u ) Elmntární matic C,2 (w ). První dva sčítanc na pravé straně rovnic (2.7) upravím podobně jako v přdchozím odstavci. Užitím (1.48) dostanm ( {[ ] [ ] } ) Q GLL ˆv 1 ŵ1 x 2 ŵ2 x 1 û 1 + ŵ x ŵ x 1 û 1 2 sign(j ) = (2.22) = [v 1] T C,2 11 (w )u 1, 17

18 kd a C,2 11 (w ) = diag(ω ( W1 X,(2) 2 W2 X,(2) 1 ) S )B 1 + (2.23) + diag(ω ( W1 X,(1) 2 + W2 X,(1) 1 ) S )B 2 W i = {ŵ i (ξ k, ξ l )} k,l=0, i = 1, 2. (2.24) Pro zbývající dva sčítanc na pravé straně rovnic (2.7) obdržím ( {[ ] [ ] } ) Q GLL ˆv 2 ŵ1 x 2 ŵ2 x 1 û 2 + ŵ x ŵ x 1 û 2 2 sign(j ) = = [v 2] T C,2 11 (w )u 2. (2.25) Clkm tdy mám ( ) C,2 C,2 (w 11 (w ) O ) =. (2.26) O C,2 11 (w ) Sstavní soustavy rovnic Z diskrétní slabé formulac (2.5) a dál z vyjádřní (1.31), (1.57), (1.77) a (2.6) plyn [ a (u (n+1), v) + c (u (n+1) ; u (n), v) + c (u (n) ; u (n+1), v) + + b (v, p (n+1) ) + b (u (n+1), q) L (v) c (u (n) ; u (n), v) ] = 0. (2.27) a (u(n+1), v) vyjádřím pomocí (1.50), c (u(n+1) ; u (n), v) pomocí (2.8), c (u(n) ; u (n+1), v) a c (u(n) ; u (n), v) pomocí (2.9), b (v, p(n+1) ) pomocí (1.71), b (u(n+1), q) pomocí (1.73), L (v) pomocí (1.79) a vš dosadím do (2.27). Kvůli úspornějšímu zápisu indx n + 1 vypustím a proměnné s indxm n opatřím vlnkou. Označím-li lokální data h = v 1 v2 q A (ũ ) =, z = u 1 u 2 p, K + C,1 11 (ũ ) + C,2 11 (ũ ) C,1 f1 + C,2 (ũ )ũ 1 b (ũ ) = f2 + C,2 (ũ )ũ 2 o p 12 (ũ ) [D 1] T 11 (ũ ) [D 2] T, (2.28) C,1 21 (ũ ) K + C,1 22 (ũ ) + C,2 D 1 D 2 O p 18

19 a globální data v 1 u 1 A 11 (ũ) A 12 (ũ) A 13 b 1 (ũ) h = v 2, z = u 2, A(ũ) = A 21 (ũ) A 22 (ũ) A 23, b(ũ) = b 2 (ũ), q p A 31 A 32 A 33 b 3 (2.29) obdržím idntitu vyjdřující vztah mzi lokálními a globálními daty, [h ] T [A (ũ)z b (ũ)] = h T [A(ũ)z b(ũ)]. (2.30) Hodnoty rychlostí a tlaku v (n + 1)-vé itraci tdy získám řšním soustavy linárních rovnic A(u (n) )z (n+1) = b(u (n) ), tj. A 11 (u (n) ) A 12 (u (n) ) A 13 u (n+1) 1 b 1 (u (n) ) A 21 (u (n) ) A 22 (u (n) ) A 23 u (n+1) 2 = b 2 (u (n) ). (2.31) A 31 A 32 A 33 p (n+1) b 3 Submatic A 33 = O j nulová a dál A 13 = A T 31, A 23 = A T 32. Matic soustavy linárních rovnic (2.31) singulární. Obvyklý postup spočívá v tom, ž zvolím posldní složku tlaku p (n+1) rovnou nul Paramtrizac nlinarity Konvrgnci wtonovy mtody lz očkávat jn thdy, když umím určit dostatčně dobrou počátční aproximaci. Jdnou z možností jak toho docílit j vnořní problému (2.3) do třídy problémů spojitě závislých na paramtru. Zabývjm s tdy řšním paramtrizované úlohy najít u(t) W, p(t) M, t 0, 1, splňující a(u(t), v) + tc(u(t); u(t), v) + b(v, p(t)) = L(v) v V, b(u(t), q) = 0 q M. (2.32) Pro t = 1 dostávám avirovu-stoksovu úlohu (2.5) a pro t = 0 Stoksovu úlohu (1.9). Zvolím dělní 0 = t 0 < t 1 < < t Q = 1 a postupně počítám aproximac u(t i ), p(t i ), i = 0, 1,..., Q. u (0), p (0) získám řšním linární Stoksovy úlohy (1.24). Přibližná řšní u (t i ) a p (t i ) pro i = 1, 2,..., t Q počítám wtonovou mtodou, jjíž počátční aproximac u (0), p(0) sstrojím xtrapolací z přdchozích přibližných řšní u(n j) (t j), (t j), j < i (horní indx n j vyjadřuj počt itrací wtonovy mtody). Extrapolac konstantou dává p (n j) u (0) (t i) = u (n i 1) (t i 1 ), p (0) (t i) = p (n i 1) (t i 1 ), (2.33) Pro i > 2 lz užít linární xtrapolaci z (0) (t i ) = z (n i 1) (t i 1 ) + (z (n i 1) (t i 1 ) z (n i 2) (t i 2 )) t i t i 1 t i 1 t i 2, (2.34) 19

20 kd z = u, p. Paramtrizovanou soustavu nlinárních rovnic pro t = t i sstavím pomocí (2.29) s tím, ž td v matici A (ũ ) a v vktoru b (ũ ), viz (2.28), píšm t i C místo C. 20

21 Litratura [1] K. J. Bath: Finit Elmnts Procdurs, Prntic-Hall, Uppr Saddl Rivr, J, [2] M. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quartroni, T. A. Zang: Spctral Mthods, Fundamntals in Singl Domains, Springr, Brlin, [3] G. Dahlquist, G. Å Bjőrk: umrical Mthods, Prntic-Hall, Englwood Cliffs, J, [4] M. O. Dvill, P. F. Fishr, E. H. Mund: High-Ordr Mthods for Incomprssibl Fluid Flow, Cambridg Univrsity Prss, Cambdridg, [5] W. J. Gordon, C. A. Hall: Transfinit lmnt mthod: Blnding-function intrpolation ovr arbitrary curvd lmnt domains, umr. Math., Vol. 21, pp , [6] Y. Maday, A. T. Patra: Spctral lmnt mthods for th avir Stoks quations, In: A. K. oor and J. T. Odn, ditors, Stat-of-th-Art Survys in Computational Mchanics, pp , ASME, w York, [7] A. Quartroni, A. Valli: umrical Approximation of Partial Diffrntial Equations, Springr-Vrlag, Brlin,