Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou"

Karolína Brožová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Řšní Navrovýc-Stoksovýc rovnc mtodou končnýc prvků Lbor Črmák prosnc 2009 Označní: Abstrakt Txt obsauj klasckou a varační formulac 2D-úloy nstlačtlnéo nstaconárnío proudění, pops prostorové dskrtzac mtodou končnýc prvků, časovou dskrtzac mplctní BDF1 a BDF2 formulí, lnarzac Osnovou a Nwtonovou mtodou, stablzac mtodou SUPG/PSPG/LSIC nbo GLS. Ω... rovnná oblast [0, T ]... časový ntrval x = (x 1, x 2 )... bod rovnné oblast Ω n = (n 1, n 2 )... jdnotková vnější normála ranc Ω t... čas u = (u 1, u 2 ), u = u (x, t)... ryclost p(x, t)... knmatcký tlak ε(u) = {ε j (u)} 2,j=1... tnzor ryclost dformac f = (f 1, f 2 ), f = f (x, t)... knmatcká strvačná síla ν... knmatcká vskozta Užívám Enstnovu sumační konvnc: pokud s v jdnom člnu vyskytuj ndx dvakrát, sčítá s přs něj od 1 do 2. Navr-Stoksovy rovnc: u t + u u j 2ν ε j(u) x j x j Rovnc kontnuty: + p x = f, = 1, 2, (x, t) Ω (0, T ). (1) u x = 0, (x, t) Ω (0, T ). (2) Okrajová podmínka Drcltova typu, přdpsána ryclost: u = g, = 1, 2, (x, t) Γ 1 (0, T ). (3) 1

.. časový ntrval x = (x 1, x 2 )... bod rovnné oblast Ω n = (n 1, n 2 )... jdnotková vnější normála ranc Ω t... čas u = (u 1, u 2 ), u = u (x, t)... ryclost p(x, t).

2 Okrajová podmínka Numannova typu, přdpsáno napětí: 2νε j (u)n j pn = σ, = 1, 2, (x, t) Γ 2 (0, T ). (4) Počátční podmínka: u (x, 0) = u 0 (x), x Ω. (5) Složky tnzoru ryclost dformac: ε j (u) = 1 ( u + u ) j, 2 x j x, j = 1, 2. (6) Hranc Ω j sjdnocním částí Γ 1 a Γ 2 : Ω = Γ 1 Γ 2, Γ 1 Γ 2 =. (7) Zvolím tstovací funkc v = (v 1, v 2 ), v = v (x), s vlastností: v = 0, = 1, 2, x Γ 1, (8) a tstovací funkc q. Rovnc (1) násobím v, ntgrujm přs Ω, užjm Grnovu větu, uplatním podmínku (8) a okrajovou podmínku (4). Rovnc (2) násobím q a ntgrujm přs Ω. Takto získané rovnc sčtm a dostanm a(u, p, u; v, q) =0, kd [ u a(u, p, w; v, q) = Ω t v u + w j v + 2νε j (u)ε j (v) p v f v + u ] q dx x j x x σ v ds. (9) Γ 2 Oblast Ω trangulujm, prvky značím, Ω =, každé dva různé prvky jsou bud to dsjunktní nbo mají spolčnou jdnu stranu nbo jdn vrcol. Nct Ω = Γ 1 Γ 2, Γ 1 Γ 2 =, Γ1 Γ 2 = Γ 1 Γ 2. Aproxmac u (x, t) ryclost u j po prvcíc polynom stupně d v svým odnotam v uzlc Pj prvku, jdnoznačně určný u (, t) V g (t) = {w w C( Ω ), w P dv (), w (P j ) = g (P j, t) P j Γ 1 } (10) (přdpokládám, ž P j Γ 1 P j Γ 1 ). Aproxmac v (x) tstovací funkc v: v V 0 = {w w C( Ω ), w P dv (), w (P j ) = 0 P j Γ 1 }. (11) 2

(7) Zvolím tstovací funkc v = (v 1, v 2 ), v = v (x), s vlastností: v = 0, = 1, 2, x Γ 1, (8) a tstovací funkc q.

3 Aproxmac p (x, t) tlaku p a aproxmac q (x) odpovídající tstovací funkc q j po prvcíc polynom stupně d p (obvykl d p d v ): p (, t), q M = {w C( Ω ), w P dp ()}. (12) Dfnujm stablzační čln: a s (u, p, w; v, q) = [ u t + w u j 2ν ε j(u) x j x j + δ u v j dx. x x j V něm jako tstovací funkc brm: ψ (w; v, q) = τ uw l v x l τ s [ 2ν ε l(v) x l ] + τp + p ] f ψ (w; v, q) dx+ x (13) q x. (14) Vodnou volbu stablzujícíc číslnýc paramtrů τ u, τ p, τ s a δ uvdm pozděj. Všmnět s: j-l u a p klascké řšní rovnc (1), (2), pak a s (u, p, u; v, q) = 0. Dfnujm formu A jako součt form a, a s : A(u, p, w; v, q) = a(u, p, w; v, q) + a s (u, p, w; v, q). (15) Žádám, aby pro přblžné řšní u, p platlo: (u, p )(, t) V g (t) M : A(u, p, u ; v, q ) = 0 (v, q ) V 0 M, t (0, T ). (16) Na ntrvalu [0, T ] zvolím dělní 0 = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n < < t m = T. Časový krok t n = t n t n 1, n = 1, 2,..., m. V rovnc (16) zapsané pro čas t = t n naradím časovou drvac zpětnou dfrncí: u (x, t n ) t u (x, t n ) u (x, t n 1 ) t n. Přblžné řšní v čas t n značím u n u(, t n ), p n p(, t n ). 3

x x j V něm jako tstovací funkc brm: ψ (w; v, q) = τ uw l v x l τ s [ 2ν ε l(v) x l ] + τp + p ] f ψ (w; v, q) dx+ x (13) q x.

4 Z formy a dostanm dvě formy b a c. Blnární forma b obsauj dskrtzac časové drvac, oprot formě a v ní však cybí konvkční čln: [ u u n 1 b(u, p; v, q) = v + 2νε j (u)ε j (v) p v f n v + u ] q dx (17) Ω t n x x σ n v ds. Γ 2 Konvkční čln tvoří trlnární formu u c(u, w; v) = w j v dx. (18) Ω x j Také v stablzačním člnu a s naradím časovou drvac dfrncí a dostanm formu b s (u, p, w; v, q) = = [ u u n 1 t n + δ u v j dx. Ω x x j u + w j 2ν ε j(u) + p ] f n ψ (w; v, q) dx+ x j x j x (19) Přblžné řšní tdy má splňovat: (u n, p n ) V g (t n) M : B(u n, u n, p n ; v, q) = 0 (v, q ) V 0 M, n = 1, 2,..., kd B(u, w, p ; v, q) = b(u, p ; v, q) + c(u, w ; v) + b s (u, p, w ; v, q). (20) Pro n > 1 lz místo mplctní Eulrovy formul (nbo-l BDF1 formul řádu 1) použít přsnější BDF2 formul (řádu 2) založnou na aproxmac u (x, t n ) t V formác b, b s v tom případě 3u (x, t n ) 4u (x, t n 1 ) + u (x, t n 2 ) 2 t n. naradím čln u u n 1 člnm 3u 4u n 1 + u n 2. t n 2 t n Úloa (20) j nlnární a to jak v konvkčním člnu c tak v stablzačním člnu b s. J proto třba použít trační mtodu. Aproxmac počítané tračním procsm značím orním ndxm k, tj. u n,k, pn,k. Jako počátční aproxmac un,0, pn,0 lz vzít odnoty u n 1, p n 1 z přdcozío času t n 1. Jdnoducá lnarzac, známá jako Osnova mtoda, počítá u n,k, p n,k z rovnc B(u n,k, un,k 1, p n,k ; v, q) = 0, k = 1, 2,.... (21) 4

Γ 2 Konvkční čln tvoří trlnární formu u c(u, w; v) = w j v dx. (18) Ω x j Také v stablzačním člnu a s naradím časovou drvac dfrncí a dostanm formu b s (u, p, w; v, q) = = [ u u n 1 t n + δ u v j dx.

5 Důmyslnější lnarzac založná na Nwtonově mtodě aplkované na konvkční čln c vd na scéma B(u n,k, un,k 1, p n,k ; v, q) + c(un,k 1, u n,k ; v) c(un,k 1, u n,k 1 Paramtry stablzac τu, τp, τs z násldujícíc mtod, vz [6]: 1) SUPG (stramln upwnd Ptrov-Galrkn), 2) PSPG (prssur stablzng Ptrov-Galrkn), 3) LSIC (last squars on ncomprssblty constrant). ; v) = 0, k = 1, 2,.... (22) a δ s nastavují užtím jdné nbo současně několka Další altrnatvou j použtí mtody GLS (Galrkn last squars). Násldují tř osvědčné volby stablzačníc paramtrů: 1) SUPG+PSPG+LSIC pro případ, ž ryclost jsou aproxmovány polynomm stupně d v větším nž j stupň d p aproxmac tlaku. Populární Taylor-Hookovy prvky používají d v = d p + 1. Volím, vz [3]: τu = τp = 1 [ ] 2, τ d 2 s = 0, δ = 1, (23) v kd j caraktrstcký průměr trojúlníka, například = max j njdlší strana. 2) SUPG+PSPG+LSIC pro případ, ž ryclost tlak jsou aproxmovány polynomm téož stupně. Volím, vz [1]: ( δ = ν 1 + ū,n,k 1 + [ ) ] 2, τu = τp = [ ] 2, τ ν ν t δ s = 0, (24) kd ū,n,k 1 j caraktrstcká délka vktoru ryclost u,n,k 1 na trojúlníku, například ryclost u,n,k 1 C v těžšt C trojúlníka. 3) V případě mtody GLS volím, vz [2]: 1, 0 R < 1, 4νλ τu = τp = τs max = 1 λ max ū,n,k 1, R 1, δ = τ s ū,n,k 1 2. Přtom λ max j njvětší vlastní číslo úloy ε j (v) ε k (v) dx = λ ε j (v)ε j (v) dx x j x k V = {v v P dv (), = 1, 2}, { V0 = 5 v V v V /V 0, kd R = ū,n,k 1 4ν, λ max } ε j (v)ε j (v) dx = 0. (25) (26)

... (22) a δ s nastavují užtím jdné nbo současně několka Další altrnatvou j použtí mtody GLS (Galrkn last squars).

6 Symbolm V /V 0 Prostor V 0 rozumím faktorový prostor prostoru V podl podprostoru V má dmnz 3. Př praktckém výpočtu lz faktorový prostor V /V 0 prostoru V dmnz 2d v 3, například naradt vodným podprostorm ˆV ˆV = {v V v 1 (P 1 ) = v 1 (P 2 ) = v 2 (P 1 ) = 0}. Vlastní čísla λ max nzávsjí na n an na k, počítají s tdy jn jdnou. 0. Jako caraktrstcký průměr trojúlníka lz v (24), (25) použít rovněž průměr u trojúlníka v směru ryclost ū,n,k 1, vz [5]: u = 2 ū,n,k 1 3 (27) j=1 ū,n,k 1 L j, kd {L j} 3 j=1 jsou lnární bázové funkc příslušné vrcolům trojúlníka, vz [6]. Ltratura [1] M. Braack, E. Burman, V. Jon, G. Lub: Stablzd fnt lmnt for t gnralzd Osn problm, Comput. Mtods Appl. Mc. Engrg. 196 (2007), [2] L. P. Franca, A. L. Madurra: Elmnt damtr fr stablty paramtrs for stablzd mtods appld to fluds, Comput. Mtods Appl. Mc. Engrg. 105 (1993), [3] T. Glard, G. Lub, M.A. Olsansk, J.H. Starck: Stablzd fnt lmnt scms wt LBB-stabl lmnts for ncomprssbl flows, J. Comp. Appl. Mat. 177 (2005), [4] P.G. Grso, R.S. San: Incomprssbl Flow and t Fnt Elmnt Mtod. Vol 2: Isotrmal Lamnar Flow, Jon Wly & Sons, Ccstr, [5] P. Sváčk: Numrcal smulaton of arolastc problms wt consdraton of nonlnar ffcts, Engnrng MECHANICS, Vol. 16, No. 1, (2009), [6] T.E. Tzduyar: Fnt lmnts n fluds: Stablzd formulatons and movng boundars and ntrfacs, Computr & Fluds 36 (2007),

Vlastní čísla λ max nzávsjí na n an na k, počítají s tdy jn jdnou. 0.

Podobné dokumenty

Úloha 1 Přenos tepla

Úloha 1 Přenos tepla SF Podklady pro cvční Úloa 1 Přnos tpla Ing. Kaml Staněk 09/010 kaml.stank@fsv.cvut.cz 1 Základní pojmy 1) Tplota Míra kntcké nrg částc látky. Jdnotka klvn [K] nbo stupň Clsa [ C] ( C) T(K) 7315 (1.1)