{ } ( ) ( ) ( ) ( ) r 6.42 Urč ete mohutnost a energii impulsu

Transkript

1 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů Ř EŠENÉPŘ ÍKLADY r 64 Urč t mohutnost a nrgii impulsu s(k 8 k ( ( s k Ab k, A, b, k Obr6 Analyzovaný diskrétní signál Mohutnost impulsu k A M s( k Ab b < b k Normovaná nrgi, k k A W s ( k A b b <, 3J b, k k r 643 Pomocí DTFT vypoč tě t spktrální hustotu signálu z př64 a nakrslt modulovéa fázovéspktrum { } ( & jkω k jkω A S( ω DTFT s( k s k Ab b < b k A bcosω + jbsinω k A ( bcosω + ( bsinω A jϕ ( ω + b bcosω & A S( ω S( ω, + b b cos ω, cosω sin cos ( arctg b ω b ω ϕ ω + bcosω bcosω < arctg, sinω, cosω +, cosω, cosω < ( jϕ ω PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 94

2 6 Diskré tnísignály Odvoznévzorc můžm naprogramovat a vykrslit na počítač i amplitudovéa fázovéspktrum Tyto č innosti za nás vykoná MATLAB : Uká zka programu v MATLABu: B[ ];A[ -]; w-pi:4*pi/:3*pi; frqz(b,a,w; % zadá ní koficintů č itatl a jmnovatl spktrá lní funkc; spktrá lnífunkc s přdpoklá dá v tvaru [ ] [ ] [ 3] A[ ] z A[ 3] z B + B z + B z , z j ω % zadá nírozsahu normované ho kmitoč tu ω a výpoč tního kroku % výpoč t a vykrslnímodulové ho a fá zové ho spktra Magnitud Rspons (db Normalizd frquncy (Nyquist Phas (dgrs Normalizd frquncy (Nyquist Obr63 Výstup z MATLABu - amplitudovéa fázovéspktrum impulsu z obr6 & Poznatky z příkladu: Spktrálnífunkc diskré tních signálů s priodicky opakujís priodou radiánů normované ho kmitočtu ω Frkvnčníosa j někdy cjchována pomě rm skutčné a vzorkovacífrkvnc nbo pomě rm skutč né a tzv Nyquistovy frkvnc Nyquistova frkvnc j polovinou vzorkovací frkvnc, j to mzníhodnota ohraničujícípodmínku rkonstrukc signálu z jho vzorků (viz vzorkovacípoučka Srovnjt výsldnécharaktristiky s spktrální funkcí obdobného impulsu souvislého č asu v příkladu 7 a přsvě dč t s o správnosti pravidla (6 r 644 Urč t spktrální funkci obdélníkových signálů na obr64: a s( k b s( k pro k,,,,, pro ostatní k pro k,,, 3, 4, pro ostatní k PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 9

3 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů s(k s(k k - a Obr64 Analyzovanédiskrétní signály 3 4 b k + ( ω ( jk jk a S & s k k ( ω ( ω sin, sinc sin, sinc + ω ω j ω k (, ω (, ω b Aplikac pouč ky (66 o posunutí vzorků S& ( ω j ( j ω ( ω sin (, ω j ω sin (, ω jω j,ω j,ω sinc j ω sinc j, ω j,ω j, ω j,ω (, ω (, ω K vykrslní charaktristik můžm opě t využít MATLABu, a to buď přímým naprogramováním výsldných vztahů, nbo pomocí funkc FREQZ Použijm-li druhou mtodu, musím si uvě domit, ž přpis výsldků pomocí oprátoru z j násldující: a S( z b S( z z z z z z, Amplitudové spktrum vyjd v obou případch stjné, protož výrazy s liší násobicím faktorm z jω,jhož modul j V případě b probě hn naprogramování snadno Fázi v případě a získám z fáz b přič tním výrazu ω : Uká zka programu v MATLABu b[ -];a[ - ]; [h,w]frqz(b,a,; fw/(*pi; modabs(h; fazphas(h; % zadá nívktorů č itatl a jmnovatl % výpoč t vktorů spktrá lní funkc h a normované kruhové frkvnc v bodch z intrvalu až % přpoč t kruhové frkvnc na obyč jnou frkvnci % výpoč t modulu spktrá lnífunkc % výpoč t fá z spktrá lnífunkc subplot(3,,; % obrá zky budou umísťová ny do matic: 3 řá dky, sloupc; ná sldujícíobrá zk bud umístěn do pozic řá dk, sloupc plot(f,mod % vykrslníamplitudové ho spktra subplot(3,,; % ná sldujícíobrá zk bud umístěn do pozic řá dk, sloupc plot(f,faz+*w % vykrslnífá zové ho spktra signá lu a PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 96

4 6 Diskré tnísignály subplot(3,,3; % ná sldujícíobrá zk bud umístěn do pozic 3 řá dk, sloupc plot(f,faz % % vykrslnífá zové ho spktra signá lu b 4 a b c Obr6 a amplitudové spktrum signálů z obr64, b fázové spktrum signálu ad a, c fázové spktrum signálu ad b Na vodorovnou osu j vynsna normovaná frkvnc f (frkvnc v Hz lomno vzorkovací frkvnc Fáz j vynášna v radiánch Z obr6b j vidě t, ž fáz s mě ní v násobcích radiánů podl toho, zda j funkc sinc kladná nbo záporná r 64 Pomocí výsldku z př644 urč t 3harmonickou složku priodického signálu, vzniklého opakováním obdélníkového impulsu b z př644 s opakovací priodou N Podl vzorc (67 bud mít priodický signál stjnosmě rnou složku, 4 řádnéharmonickéa jdnu dgnrovanou harmonickou Amplituda a počátč ní fáz 3 harmonické s určí z koficintu &X 3 DFT podl (67 Tnto koficint určím přímo z spktrální funkc impulsu podl vzorc ( (69 (, ω ( sinc & ( & j ω X 3 S( ω & 6, 8,, 3 sinc ω ω 6 ω Amplituda 3harmonické: S 3 ( N X 3 & ,, Fáz 3 harmonické ( ( ϕ3 arg X & 3, rad 36 j, : Kontrola MATLABEm: s[ ]; % dfinic obdé lníkové ho impulsu; násldujícípříkaz FFT doplníposloupnost nulami PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 97

5 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů xfft(s,; abs(x(4*/ ans 36 phas(x(4 ans -683 % výpoč t koficintů DFT a jjich uložnído vktoru x % výpoč t modulu koficintu X(3 a jho přvod na amplitudu 3harmonické ; číslová nípolív MATLABu j od jdnič ky, nikoliv od nuly, takž koficint X(3 j až na 4 pořadí % výpoč t fá z 3harmonické r 646 Urč t spktrální funkci jdnotkového impulsu & Poznatky z příkladu: &S jkω k (64 ( ω δ( k a Jdnotkový impuls má rovnomě rnou spktrálníhustotu na všch kmitočtch Tato vlastnost odpovídá obdobné vlastnosti Diracova impulsu souvislé ho času b PlatíinvrzníFourirova transformac diskré tního signálu IDTFT (67: δ jkω k dω (646 ( ω Na rozdíl od obdobné ho vztahu pro Diracův impuls tnto intgrál a clý výsldk jsou v souladu s klasickým pojtím Rimannova intgrálu r 647 Urč t spktrální funkci konstantního signálu s( k A Signál nní absolutně sumovatlný, nboť nsplň uj podmínku (68 Nmá tdy spktrální funkci v klasickém smyslu, v smyslu distribuč ním však ano Z analogi s signály souvislého č asu lz přdpokládat, ž spktrální hustota konstantního signálu bud soustřdě na v počátku kmitoč tovéosy v formě Diracova impulsu U signálu souvislého č asu byla mohutnost Diracova impulsu v spktru -krát vlikost signálu U signálů diskrétních s však navíc spktrální funkc opakuj s priodou Přdpokládjm tdy výsldk v tvaru ( ω δ( ω &S A m (647 m Ověřím, zda zpě tnou transformací IDTFT získám opě t konstantní diskrétní signál: jk s( k A ( m d δ ω ω ω ω m Probíhá-li intgrac jn v jdnom z konkrétních intrvalů ω, např ω,, pak bud intgraci podléhat jn jdn z nkonč ně mnoha Diracových impulsů v sumě S uvážním filtrač ního PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 98

6 6 Diskré tnísignály úč inku Diracova impulsu dostanm s( k A Vzorc (647 j tdy spktrální funkcí konstantního diskrétního signálu Α S (ω Α Α Α - 4 ω ( ϕ ω ω Obr66 Spktrální funkc konstantního diskrétního signálu & Poznatky z příkladu: Snaha o aplikaci aparátu spktrálníanalýzy impulsů na signál nohraničný vd na objvnís Diracova impulsu na normované m kmitočtu ω a všch cločíslných násobcích Srovnjt s koficinty Fourirovy ř ady konstantního signálu jakožto spciálního případu priodické ho diskré tního signálu Aplikujm-li na konstantní signál dfinič ní vztah DTFT (66 a srovnám-li tnto zápis s výsldkm (647, zjistím zajímavou rovnost: k jkω m ( m δ ω (648 r 648 Urč t spktrální funkci diskrétního harmonického signálu Ω Ω C s k C cos k + c & + c&, c& ( ( Ω ϕ jk jk jϕ Signál nní absolutně sumovatlný, nboť nsplň uj podmínku (68 - jho mohutnost nní v dů sldku priodicity signálu dfinována Nmá tdy spktrální funkci v klasickém smyslu, v smyslu distribuč ním však ano Při výpoč tu nám pomůž rovnost (648 jkω jkω jkω jkω jk ( ω Ω jk ( ω + Ω ( ω ( ( S& s k c & + c& c& + c& k k k + + m m ( viz vzorc 648 c& δ ( ω Ω m c& δ ( ω Ω m jϕ ( Ω ( Ω + jϕ C δ ω m + C δ ω + m m & Poznatky z příkladu: m k (649 Snaha o aplikaci aparátu spktrálníanalýzy impulsů na signál harmonický vd na objvnís Diracových impulsů na kmitočtch m ± Ω pro všchna clá m Srovnjt s Fourirovými koficinty diskré tního harmonické ho signálu jakožto spciálního případu priodické ho signálu Výsldk lz odvodit na základě pouč ky o posunu spktra (666 PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 99

7 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů S (ω C C C C C C - -Ω Ω ω ϕ ϕ ( ω ϕ ϕ - ϕ Obr67 Spktrální funkc diskrétního harmonického signálu ϕ ϕ ω r 649 Urč t spktrální funkci diskrétního priodického signálu daného komplxní Fourirovou řadou s p N ( k & ( n N X n jkn N Priodický signál nní absolutně intgrovatlný, skládá s však z stjnosmě rné složky a harmonických složk, u nichž xistuj spktrální funkc v distribuč ním smyslu: & ( { ( } & jkn S DTFT s k DTFT X ( n X & N p ω p N ( n δ ω n m n N N n N m N Srovnjt tnto výsldk s vzorcm (66 & Poznatky z příkladu: Snaha o aplikaci aparátu spktrálníanalýzy impulsů na signál priodický vd na objvnís Diracových impulsů na příslušných kmitočtch r 6 Urč t spktrální funkci diskrétního jdnotkového skoku Jdnotkový skok nní absolutně intgrovatlný a má nkonč nou mohutnost Lz jj však rozložit podl (69 na signál s M (k s nulovou mohutností a na konstantní signál (viz obr68: ( k sm ( k +, (k sm ( k,, k 3 4 k k -, Obr68 Rozklad jdnotkového skoku na signál s nulovou mohutností a konstantní složku Signál s M (k má nulovou mohutnost a jho difrncí j jdnotkový impuls: [ M ] M ( M ( ( ( δ k s k s k s k Aplikací pouč ky (668 o DTFT difrnc signálu dostávám PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory

8 6 Diskré tnísignály DTFT { ( k } ( DTFT { s ( k } DTFT { s ( k δ } Z příkladu 647 již znám spktrální funkci konstantního signálu: M M DTFT Proto DTFT {, } ( m δ ω m { ( k } + ( m δ ω m &( S ω - ω ϕ ( ω [rad] - Obr69 Spktrální funkc diskrétního jdnotkového skoku Srovnjt s spktrální funkcí jdnotkového skoku jako signálu souvislého č asu a přsvě dč t s o správnosti pouč ky (6 ω r 6 Zapišt obdélníkovésignály z př644 pomocí linárních oprací s jdnotkovým skokm [ ] [ ] a s( k ( k + ( k 3, b s( k ( k ( k r 6 Urč t spktrální funkci obdélníkových impulsů z př644 na základě znalosti spktrální funkc jdnotkového skoku a výsldků př6 a { } { [ ( ( 3 ]} [ { ( } { ( 3 }] jω j3ω jω DTFT{ ( k }[ ] DTFT{ ( k } [ ] jω j, ω j, ω j, ω j,ω { ( } [ ] { ( } sin (, ω ( ω ( S& DTFT s k DTFT k + k DTFT k + DTFT k ( pouč ka o posunutí signálu DTFT k DTFT k j j sin, j,ω ( ω + δ( ω m + m PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory

9 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů b ( ω j sin, sin, sin, ( ( ω ( ω j,ω j, ω j, ω j,ω ( ω ( j,ω ( ( + j sin, ω δ ω m m { } { [ ( ( ]} [ { ( } { ( }] DTFT{ ( k }[ ] { ( } j, ω [ j, ω j, ω ] { ( } j,ω sin (, ω S& DTFT s k DTFT k k DTFT k DTFT k ( pouč ka o posunutí signálu DTFT k DTFT k j j sin, j,ω ( ω + δ( ω m Srovnjt s výsldky př644 sin, sin, ( ω ( ω m, viz vzorc (6 r 63 Zapišt obdélníkové signály z př644 pomocí linárních oprací s jdnotkovým impulsm [ ] [ ] a s( k ( k + + ( k + + ( k + ( k + ( k δ δ δ δ δ, b s( k ( k + ( k + ( k + ( k 3 + ( k 4 δ δ δ δ δ r 64 Urč t spktrální funkci obdélníkových impulsů z př644 na základě znalosti spktrální funkc jdnotkového impulsu a výsldků př63 a { [ ]} ( ω δ( + + δ( + + δ( + δ( + δ( jω jω ( pouč ka o posunutí signálu DTFT{ δ ( k }[ ] [ cosω cos ω ] S& DTFT k k k k k Po úpravě dostanm výsldk př644 b { [ ]} ( ω δ( + δ( + δ( + δ( 3 + δ( 4 j3ω j4ω ( pouč ka o posunutí signálu DTFT{ δ ( k }[ ] S& DTFT k k k k k [ ] [ ω ω ] jω jω cos + cos Po úpravě dostanm výsldk př644 r 6 Pomocí pravidl o DTFT difrnc a sumac signálu urč t spktrální funkci trojúhlníkového impulsu s(k na obr6 PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory

10 6 Diskré tnísignály s( k 4 k k pro 4, pro k > 4 4 s(k Obr6 Analyzovaný signál (Viz též obr6 : k & ( S f 6 - f Obr6 Spktrální hustota signálu z obrázku 6 k s(k [ ( ] ( ( s k s k s k { [ ]} { ( } ( s k s k - Z tabulky j zřjmé, ž { { }} { ( } δ( δ( δ( ( j 3 ω j ω s k k + 3 k + k DTFT s k + ( ( ( j4ω j4ω + cos4ω cos4ω 4 sin ω Z pravidla (668, rsp (67 po dvojí aplikaci vyjd { ( } DTFT s k ( DTFT sinω sincω 6 sin, ω sinc, ω { [ s( k ]} / ( j sin ω / ( 4 sin ω PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 3

11 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů r 66 Na základě pouč ky o spktrální funkci souč inu dvou signálů (674 urč t spktrální funkci impulsu na obr6: ( ( Ω s k cos k cos k pro k,, pro k, s(k Obr6 Analyzovaný signál k Signál j souč inm kosinového signálu a obdélníkového impulsu s obd (k Přitom nzálží na vlikosti vzorků č - a + obdélníkového impulsu Zvolm například s ( k obd Pak pro k,, pro k, ( cos ( obd ( s k kω s k Jdnotlivéspktrální funkc: { ( Ω } ( viz příklad 648 δ ( ω Ω + δ ( ω + Ω DTFT cos k m m, { obd ( } + jkω sin, ω DTFT s k sin, ω k m { cos( Ω obd ( } ( pravidlo souč inu DTFT k s k [ δ ( ω Ω α m δ ( ω Ω α m ] dα m sin[,( ω - Ω ] sin, ( ω + Ω sin,( ω - Ω sin, ( ω + Ω sin,α + + sin,α α ( filtrač ní úč ink Diracova impulsu + Znám-li konkrétní vlikost kmitoč tu Ω, [ ] [ ] [ ] PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 4

12 6 Diskré tnísignály lz po nároč ně jší úpravě výsldný vzorc podstatně zjdnodušit: & cos6ω cosω S( ω cosω cosω cosω cos, 6 cos, cosω cosω &, 39 cos ω, 9 & ( S f 6 4 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 f Obr63 Spktrální hustota signálu z obrázku 6 r 67 Vypoč tě t vzorky spktrální funkc signálu z př66 pomocí algoritmu DFT Využijm toho, ž j-li signál omzn na konč ný poč t bodů (v našm případě na, pak aplikací N-bodovéDFT, kd N získám přsnéhodnoty spktrální funkc v N bodch (viz vzorc (69 Pro podrobnévykrslní spktrální funkc použijm vlký poč t bodů, např Algoritmus DFT v MATLABu numožň uj zadávat zápornéindxy vzorků, proto analyzovaný kosinový impuls posunm doprava tak, ž získám impuls sinový Modul spktrální funkc pak bud nzmě ně n : Uká zka řšnív MATLABu: k:9; ssin(k*pi/; xfft(s,; plot(abs(x & Poznatk z příkladu: Algoritmus DFT (rsp FFT j nástroj pro praktickou analýzu signálů Požadovaný průbě h spktrálníhustoty j získán vlmi jdnoduchým způsobm a bz zdlouhavých odvozní Postup j jdnotný pro jakýkoliv končný impuls, jhož vzorky jsou získány například měřním r 68 Zakrslt kmitoč tovou závislost jdnostranné spktrální hustoty nrgi kosinového impulsu z obrázku 6 Vypoč tě t nrgii, obsažnou v impulsu v kmitoč tových pásmch f : (,, (,, (, PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory

13 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů Obr64 Výstup MATLABu Na vodorovnéos j pořadí vzorků spktrální hustoty signálu, na svisléos spktrální hustota Srovnjt s obr 63 Spktrální hustota signálu & cos6ω cosω cosω S( ω cos, 6 cosω cosω cos, cosω Jdnostranná spktrální hustota nrgi cosω &, 39 cos ω, 9 L ( S( ω j ω & & 3, 4 cosω cos ω, 9 (6 : Numrický výpoč t pomocímatlabu: k:9; ssin(k*pi/; L(abs(fft(s,^/pi; plot(l(: 4 % dfinová nírozsahu nzá visl proměnné signá lu % výpoč t vzorků posunuté ho kosinové ho impulsu % výpoč t vzorků jdnostranné spktrá lníhustoty nrgi % vykrslníprvních vzorků spktrá lníhustoty nrgi Obr6 Výstup MATLABu: na vodorovnéos j pořadí vzorků spktrální hustoty nrgi Vzork č odpovídá normovanému kmitoč tu f, PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 6

14 6 Diskré tnísignály wsum(s^ w % nrgi signá lu s vypoč tná jako souč t kvadrá tů vzorků wtrapz(l(:**pi/ % nrgi v kmitoč tové m pásmu f, (vysvětlní níž w wtrapz(l(:**pi/ % nrgi v kmitoč tové m pá smu f, w 4989 w3trapz(l(:**pi/ % nrgi v kmitoč tové m pásmu f,, tj clková nrgi signá lu w Hnd za vykrslním spktrální hustoty nrgi j zařazn příkaz k výpoč tu nrgi signálu z jho vzorků Výsldk výpoč tu j možno zapsat takto: 9 9 W s ( k sin k k k Tnto výsldk j možno potvrdit například přvdním výrazu na gomtrickéřady Eulrovým zápism sinusové funkc a sč tním těchto řad Jinou možností j úvaha, ž sinusový signál o amplitudě a vzorky na priodu má fktivní hodnotu / a tudíž nrgii za priodu / Proto náš sinový impuls, ktrému chybí záporná půlprioda a ktrý trvá jn ( vzorků, bud mít nrgii polovič ní Funkc TRAPZ(v vypoč t lichoběžníkovou mtodou intgrál funkc, dfinovanésvými vzorky v vktoru v Vzorky jsou spojny lomnou č arou a funkc TRAPZ urč í plochu vymznou touto č arou, krajními vzorky a vodorovnou souřadnou osou Enrgi s určí intgrací spktrální hustoty nrgi podl kmitoč tu ω f, proto j třba výsldk získaný funkcí TRAPZ vynásobit vzdálností dvou sousdních vzorků spktrální hustoty, a to j / N / Vidím, ž v kmitoč tovém pásmu f, ( lalok spktrální funkc j soustřdě na téměř clá nrgi signálu (49643, tj 99,3% Clková nrgi nní vypoč tna naprosto přsně (4,9999 namísto v dů sldku použití lichoběžníkovémtody intgrac Výpoč t nrgií můžm provést přímo intgrací spktrální hustoty nrgi dané vzorcm (6 V MATLABu vytvořím M-soubor s názvm LJM a dfinujm v ně m funkci LJ: : function ylj(x y(cos(6*pi*cos(*x/(cos(*pi-cos(x^/pi; Pak pomocí funkc QUAD8 určím příslušnéintgrály: : quad8( LJ,,**pi PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 7

15 Systé my, procsy a signály I - sbírka příkladů ans quad8( LJ,,**pi ans 4989 quad8( LJ,,**pi ans r 69 Urč t autokorlač ní funkci obdélníkového impulsu z obrázku 64a na základě dfinič ního vztahu autokorlač ní funkc (684 s(k m s(k+ k k Obr66 K výpoč tu autokorlač ní funkc signálu s(k Autokorlač ní funkc: R( m s( k s( k + m k Z obr66 vyplývá, ž pro posunutí m 4, + 4 s impulsy nbudou přkrývat a tudíž R(m Pro m 4, + 4 bud přkryvná plocha nzávislá na smě ru posunutí (nzávisí na znaménku m a bud R m m, m 4, + 4 ( ( R( m m Obr67 Autokorlač ní funkc obdélníkového signálu z obrázku 64a & Poznatk z příkladu: Autokorlačnífunkc impulsu končné ho trvánín má také končné trvání (dé lka N- PDF byl vytvořn zkušbnívrzífinprint pdffactory 8