Doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Algoritmy

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké uční tchnické v Brně Fakulta strojního inžnýrství Doc. RNDr. Libor Črmák, CSc. Algoritmy mtody končných prvků

2 Přdmluva k rvidovanému lktronickému vydání Tato skripta jsou určna studntům matmatického inžnýrství FSI VUT v Brně pro studium přdmětu Numrické mtody III. Jdná s o rvidovaný txt stjně pojmnovaných (již vyprodaných) skript, ktrá vyšla v PC-DIR Ral, s.r.o., Brno, v roc Brno, září 2005 Libor Črmák 3

3 Přdmluva Mtoda končných prvků (MKP) j univrzálním nástrojm pro fktivní řšní rozmanitých inžnýrských problémů, ktré vyžadují provádět výpočty v oborch tortických inžnýrských disciplín jako j pružnost a pvnost, trmomchanika, hydromchanika atp. K masivnímu rozšířní MKP došlo začátkm 70-tých lt. Od té doby zůstává MKP v popřdí zájmu inžnýrů, matmatiků i fyziků. Problémům spojným s MKP j věnováno ohromné množství publikací, vznikají rozsáhlé programové systémy, konají s čtné konfrnc. Krása MKP spočívá v tom, ž jjí podstatu lz vysvětlit na jdnoduchém matmaticky formulovaném modlovém problému. To j také hlavním cílm výuky MKP v mzioborovém studiu matmatického inžnýrství na FSI VUT a MU v Brně. Zatímco učbní txt [30] Prof. RNDr. Alxandra Žníška, DrSc. objasňuj matmatické základy MKP, tnto doplňující txt s věnuj přdvším tchnologii MKP, tj. poměrně dtailnímu popisu ralizačních algoritmů. Učbní txt j rozčlněn do tří kapitol zabývajících s algoritmizací MKP postupně v jdné, dvou a třch prostorových proměnných. Jdna prostorová proměnná zdalka numožňuj MKP ukázat svou plnou sílu. Kapitola první má proto význam přdvším pdagogický: prostřdnictvím okrajového difrnciálního problému druhého řádu (tah-tlak osově namáhaného prutu) a čtvrtého řádu (ohyb nosníku podl Kirchhoffovy tori) jsou na jdnoduchém dfiničním oboru (úsčka) objasněny všchny podstatné kroky MKP-algoritmizac: přchod od formulac klasické (tj. difrnciání rovnic a okrajové podmínky) k formulaci slabé, končněprvková aproximac, lmntární matic a vktory, sstavní soustavy rovnic a zpracování jjího řšní. Těžištěm skripta j kapitola druhá, tdy úlohy rovinné. Modlový okrajový problém druhého řádu (typu stacionárního vdní tpla) j diskrtizován njdřív užitím linárního trojúhlníkového prvku. Podrobně jsou vysvětlny datové struktury popisující triangulaci, značná pozornost j věnována sstavovacím algoritmům. Uvdna j také algoritmizac dvou nstacionárních úloh (vdní tpla, kmitání mmbrány), stručně j zmíněna rovněž úloha vlastních čísl. Diskrtizac dvourozměrné úlohy pružnosti MKP dmonstruj schopnost této mtody vypořádat s s problémm popsaným soustavou dvou parciálních difrnciálních rovnic (Laméovy rovnic). Náslduj popis njpoužívanějších izoparamtrických trojúhlníkových a čtyřúhlníkových končných prvků včtně jjich aplikac na řšní úlohy typu stacionárního vdní tpla. Problémy rálného světa jsou nlinární, což tnto txt zohldňuj zařazním popisu mtod pro řšní nlinárních úloh diskrtizovaných MKP (například pro úlohy typu nlinárního vdní tpla, stacionárního i nstacionárního). Efktivní řšní konvkčně-difúzních úloh s dominantní konvkcí (KDÚsDK) patří k njobtížnějším úlohám numrické matmatiky a MKP zd tprv v posldní době začíná konkurovat zatím víc používané mtodě končných objmů (MKO). V tomto txtu j popsána: pro stacionární KDÚsDK upwind tchnika s současným použitím jak MKO tak MKP a pro nstacionární KDÚsDK mtoda charaktristik v kombinaci s MKP. Posldní kapitola uvádí třírozměrné izoparamtrické končné prvky (čtyřstěny, pětistěny a šstistěny) a jjich použití dmonstruj opět na problému typu stacionárního vdní tpla. Kromě již zmíněného učbního txtu [30] lz z čsky psaných matriálů doporučit k hlubšímu studiu knihy [10], [27], [22], [4], [28], [11], [23], [21] a skripta [14], [15]. Z programových systémů MKP jmnujm alspoň ANSYS [1] a NEXIS [18] čského původu. Pro výukové účly j vlmi vhodný PDE toolbox MATLABu [12]. Za chyby a přpisy, ktré s bohužl v skriptu jistě vyskytnou, s dopřdu omlouvám. Budu vděčný všm čtnářům, ktří mě na ně upozorní. Brno, září 2000 Libor Črmák 4

4 Obsah 1 Jdnorozměrné úlohy 6 Základní pojmy a označní Okrajový problém pro ODR a) Klasická formulac b) Slabá formulac c) Mtoda končných prvků Okrajový problém pro ODR a) Klasická formulac b) Slabá formulac c) Mtoda končných prvků Rovinné úlohy Základní pojmy a označní Klasická formulac Grnova formul Slabá formulac Triangulac, po částch linární funkc Diskrétní slabá formulac Elmntární matic a vktory a) Elmntární matic a vktor na lmntu b) Elmntární matic a vktor na straně S c) Sstavní globální matic a vktoru Několik poznámk Minimalizační formulac Nstacionární úloha vdní tpla Dynamika Rovinná napjatost a rovinná dformac a) Klasická formulac b) Slabá formulac c) Diskrétní slabá formulac d) Elmntární matic a vktory ) Sstavní globální matic a vktoru f) Závěrčné poznámky Izoparamtrické prvky Nlinární úlohy a) Stacionární úloha b) Nstacionární úloha Konvktivně-difúzní úlohy s dominantní konvkcí a) Stacionární úloha, upwind mtoda b) Nstacionární úloha, mtoda charaktristik Prostorové úlohy 95 Litratura 106 5

5 1. Jdnorozměrné úlohy Základní pojmy a označní Prostor funkcí spojitých v intrvalu 0, l označím C 0, l. Podobně C(0, l), C 0, l) a C(0, l postupně označují prostory spojitých funkcí v intrvalch (0, l), 0, l a (0, l. Dál C k 0, l, C k (0, l), C k 0, l), C k (0, l označují prostory funkcí, ktré jsou v uvažovaných intrvalch spojité a mají v nich spojité drivac až do řádu k včtně. Prostor funkcí po částch spojitých v intrvalu (0, l) označím P C(0, l). Přitom f P C(0, l) znamná, ž xistuj dělní 0 = t 0 < t 1 < < t n = l takové, ž f C(t i 1, t i ) a ž xistují končné jdnostranné limity lim x ti 1 + f(x) a lim x ti f(x), i = 1,..., n. Symbolm P C k (0, l) značím prostor funkcí, ktré jsou v intrvalu 0, l spojité spolu s svými drivacmi až do řádu k 1 včtně, a jjichž k-tá drivac j v intrvalu (0, l) po částch spojitá. Lbsguův prostor funkcí intgrovatlných s kvadrátm v intrvalu (0, l) označím L 2 (0, l). Symbolm H k (0, l) označím Sobolvův prostor funkcí f takových, ž f, f,..., f (k) L 2 (0, l). J přirozné položit H 0 (0, l) = L 2 (0, l). Zřjmě P C k (0, l) H k (0, l). J známo, ž H k (0, l) C k 1 0, l, a proto s ndopustím žádné vlké npřsnosti, když si pod funkcí z prostoru H k (0, l) budm přdstavovat funkci z prostoru P C k (0, l) Okrajový problém pro ODR2 a) Klasická formulac Naším cílm j nalézt funkci u(x) C 2 0, l (1.1) vyhovující difrnciální rovnici (p u ) + q u = f v (0, l) (1.2) a splňující v bodě x = 0 bud to okrajovou podmínku u(0) = g 0 (1.3a) nbo okrajovou podmínku p(0)u (0) = α 0 u(0) β 0, (1.3b) a v bodě x = l bud to okrajovou podmínku u(l) = g l (1.4a) nbo okrajovou podmínku p(l)u (l) = α l u(l) β l. (1.4b) 6

6 Okrajové podmínky (1.3a) a (1.4a) s nazývají Dirichltovy, okrajová podmínka (1.3b) rsp. (1.4b) s pro α 0 = 0 rsp. α l = 0 nazývá Numannova a pro α 0 0 rsp. α l 0 Nwtonova. Úloha (1.1) (1.4) můž popisovat například problém tahu tlaku prutu, tdy prutu namáhaného pouz tahm popřípadě tlakm. V tom případě j u(x) posunutí střdnicové čáry prutu, p(x) = E(x)A(x), kd E(x) j Youngův modul pružnosti a A(x) j plocha průřzu prutu, q(x) j měrný odpor podloží, na němž prut spočívá, f(x) j intnzita zatížní, g 0, g l jsou přdpsaná posunutí konců prutu, α 0, α l jsou tuhosti pružin v koncových bodch prutu a β 0, β l jsou zadané síly působících na koncích prutu. Tatáž úloha popisuj také průhyb tnkého prutu, někdy s také hovoří o průhybu struny. Jinou aplikací popsanou formálně stjnými rovnicmi a okrajovými podmínkami j například stacionární úloha vdní tpla v tyči. Pak u(x) j tplota, p(x) j koficint tplné vodivosti, q(x) j koficint přstupu tpla povrchm tyč do obklopujícího prostřdí, f(x) = f z + qu j součtm tplného zdroj f z (x) a tplného toku qu (u (x) j tplota obklopující povrch tyč), g 0, g l jsou přdpsané tploty okrajů tyč, α 0, α l jsou koficinty přstupu tpla okraji tyč a β 0, β l jsou zadané tplné toky na okrajích tyč. Rovnic (1.2) pak má tvar (p u ) + q(u u ) = f z. Nwtonovy okrajové podmínky s v úloz vdní tpla obvykl píší v tvaru p(0)u (0) = α 0 (u(0) u 0 ), p(l)u (l) = α l (u(l) u l ), kd u 0, u l jsou tploty okolí konců tyč. Úloha (1.1) (1.4) můž být modlm i pro jiné problémy, například z oblasti potnciálního proudění tkutin, lktrostatického potnciálu atd. Funkci u C 2 0, l, vyhovující rovnici (1.2) a splňující jdnu z okrajových podmínk (1.3) a jdnu z okrajových podmínk (1.4), nazvm klasickým řšním úlohy (1.1) (1.4). Pro xistnci klasického řšní j třba přdpokládat dostatčnou hladkost dat, tdy splnění podmínk hladkosti p C 1 0, l, q, f C 0, l. (1.5a) Dál budm v souladu s fyzikálním významm dat přdpokládat splnění fyzikálních podmínk p(x) p 0 > 0, q(x) 0 v 0, l, α 0 0, α l 0. (1.5b) Pro jdnoznačnost řšní j třba jště připojit podmínky uložní, a sic ž j splněna alspoň jdna z násldujících tří podmínk : a) platí bud to okrajová podmínka (1.3a) nbo (1.4a); b) q(x) q 0 > 0 na části intrvalu 0, l ; c) α 0 > 0 nbo α l > 0. (1.5c) Jsou-li tdy splněny podmínky (1.5), má úloha (1.1) (1.4) jdiné řšní. 7

7 Poznámka 1. Nní-li splněna žádná z podmínk (1.5c), j úloha (1.1) (1.4) tvaru (p u ) = f, p(0)u (0) = β 0, p(l)u (l) = β l (1.6) a nazývá s Numannova úloha. Jjí řšní j z(x) u(x) = C + p(x) dx, kd z(x) = p(x)u (x) = β 0 x 0 f(s) ds (1.7) a kd C j libovolná konstanta. Jstliž z(l) = p(l)u (l) = β l, tdy j-li splněna podmínka rovnováhy β 0 + β l + l 0 f(s) ds = 0, (1.8) má Numannova úloha (1.7) nkončně mnoho řšní navzájm s lišících o konstantu C. Pokud však podmínka rovnováhy (1.8) splněna nní, Numannova úloha (1.6) řšní vůbc nmá. b) Slabá formulac Funkci v C 1 0, l nazvm tstovací, j-li rovna nul v tom krajním bodě intrvalu 0, l, v němž j přdpsána Dirichltova okrajová podmínka. Pro konkrétnost s omzím na okrajové podmínky (1.3a) a (1.4b), takž tstovací funkc v splňuj v(0) = 0. Násobm rovnici (1.2) tstovací funkcí v a intgrujm přs 0, l. Intgrací pr-parts člnu l 0 [ (pu ) ]v dx a násldným užitím okrajové podmínky (1.4b) a vztahu v(0) = 0 obdržím l 0 fv dx = l 0 [ (pu ) + qu] v dx = pu v l x=l + [pu v + quv] dx = x=0 = [α l u(l) β l ]v(l) + l 0 [pu v + quv] dx. Odvodili jsm tdy, ž řšní u úlohy (1.2), (1.3a), (1.4b) musí splňovat kromě Dirichltovy okrajové podmínky u(0) = g 0 také rovnost l 0 [pu v + quv] dx + α l u(l)v(l) = l 0 0 fv dx + β l v(l) (1.9) pro každou funkci v C 1 0, l, v(0) = 0. Okrajová podmínka (1.4b) Nwtonova typu, ktrá s stala součástí intgrální rovnic (1.9) a j tak automaticky splněna, s nazývá přiroznou okrajovou podmínkou. Dirichltovu okrajovou podmínku (1.3a), ktrá součástí rovnic (1.9) nní a jjíž xplicitní splnění proto musím vyžadovat, nazývám podstatnou nbo také hlavní okrajovou podmínkou. Rovnic (1.9) j dobř dfinována i v případě, kdy funkc u a v jsou z prostoru X H 1 (0, l). Tstovací funkc pak volím z prostoru V = {v X v(0) = 0} tstovacích funkcí a řšní u z množiny W = {v X v(0) = g 0 } přípustných řšní. Dál označím a(u, v) = L(v) = l 0 l 0 [pu v + quv] dx + α l u(l)v(l), fv dx + β l v(l). 8 (1.10)

8 Pak úlohu najít u W splňující a(u, v) = L(v) v V (1.11) nazývám slabou (nbo také variační ) formulací problému (1.2), (1.3a), (1.4b). Řšní úlohy (1.11) nazvm slabým řšním. Zslabné podmínky hladkosti p, q, f P C(0, l) (1.5a ) spolu s přdpoklady (1.5b) a (1.5c) zaručují jdnoznačnou xistnci slabého řšní. Slabá formulac má v úloz tahu tlaku prutu význam principu virtuálních posunutí a samotné tstovací funkc v V mají význam virtuálních posunutí δu přípustných řšní u W. Formulac problému založná na principu virtuálních posunutí j obcnější nž formulac popsaná difrnciální rovnicí. J tomu tak proto, ž difrnciální formulaci (1.2), (1.3a), (1.4b) lz při platnosti podmínk (1.5a) a pro u C 2 0, l odvodit z formulac slabé postupm opačným k tomu, jímž jsm získali rovnost (1.11). Poznámka 2. Uvd m si tvar V, W, a(u, v) a L(v) pro všchny možné kombinac okrajových podmínk. (aa) Okrajové podmínky (1.3a), (1.4a) V = {v X v(0) = v(l) = 0}, W = {v X v(0) = g 0, v(l) = g l }, a(u, v) = l [pu v + quv] dx, L(v) = l 0 0 (ab) Okrajové podmínky (1.3a), (1.4b) fv dx. V = {v X v(0) = 0}, W = {v X v(0) = g 0 }, a(u, v) = l [pu v + quv] dx + α l u(l)v(l), L(v) = l 0 0 (ba) Okrajové podmínky (1.3b), (1.4a) V = {v X v(l) = 0}, W = {v X v(l) = g l }, a(u, v) = l [pu v + quv] dx + α 0 u(0)v(0), L(v) = 0 0 (bb) Okrajové podmínky (1.3b), (1.4b) l fv dx + β l v(l). fv dx + β 0 v(0). (1.12aa) (1.12ab) (1.12ba) V = X, W = X, a(u, v) = L(v) = l 0 l 0 [pu v + quv] dx + α 0 u(0)v(0) + α l u(l)v(l), fv dx + β 0 v(0) + β l v(l). (1.12bb) V všch těchto čtyřch případch j zaručna jdnoznačná xistnc slabého řšní úlohy (1.11). 9

9 Poznámka 3. Jak jsm již uvdli, v úloz tahu tlaku prutu má β 0 rsp. β l význam síly a α 0 rsp. α l má význam tuhosti pružiny působící v lvém rsp. pravém konci prutu. V slabé formulaci j účink sil rprzntován jjich virtuální prací β 0 v(0) rsp. β l v(l) jako součást virtuální prác L(v) vnějších sil a vliv pružin j zohldněn započtním virtuálních prací α 0 u(0)v(0) rsp. α l u(l)v(l) do virtuální prác a(u, v) vnitřních sil. J proto přirozné očkávat, ž síla β c působící v vnitřním bodě c přispěj k virtuální práci vnějších sil prací β c v(c) a pružina tuhosti α c umístěná v vnitřním bodě c přispěj k virtuální práci vnitřních sil prací α c u(c)v(c). Ukažm si, ž tomu tak skutčně j. Bodové zatížní β c lz považovat za idalizované vyjádřní spojitého zatížní intnzity f ε (x) = β c /2ε působícího na úsku (c ε, c + ε), kd ε j vlmi malé číslo. Pak totiž l f 0 ε dx = β c a současně užitím věty l o střdní hodnotě pro v C 0, l dostanm lim ε 0 f 0 εv dx = β c v(c). Zcla analogicky lz bodový účink rprzntovaný pružinou o tuhosti α c považovat za idalizované spojité pružné uložní na úsku (c ε, c+ε), na ktrém intnzita pružného odporu q ε (x) = α c /2ε. Pak l q l 0 ε dx = α c a současně lim ε 0 q 0 εuv dx = α c u(c)v(c). Jsou-li β i síly a α i tuhosti pružin působících v bodch c i, můžm a(u, v) a L(v) zapsat v tvaru a(u, v) = L(v) = l 0 l 0 [pu v + quv] dx + i fv dx + i β i v(c i ), α i u(c i )v(c i ), (1.13) přičmž v závislosti na okrajových podmínkách, v souladu s (1.12), jsou do i α iu(c i )v(c i ) zahrnuty také člny α 0 u(0)v(0), α l u(l)v(l) a do i β iv(c i ) také člny β 0 v(0), β l v(l). Příslušné slabé řšní úlohy (1.11) xistuj a j určno jdnoznačně. Úloha (1.11) pro a(u, v), L(v) podl (1.13) a V, W podl (1.12) má význam i pro jiné aplikac nž j úloha tahu tlaku prutu. Tak například v úloz vdní tpla rprzntuj β i α i u(c i ) intnzitu bodového tplného zdroj působícího v bodě c i. Výš zmíněnou úlohu lz však uvažovat také zcla abstraktně, bz vztahu k konkrétní tchnické aplikaci. Přitom z přdpokladu q 0, viz (1.5b), dostávám pro zaruční xistnc slabého řšní požadavk α i 0 v všch bodch c i, pro jdnoznačnost slabého řšní stačí v případě okrajových podmínk (1.3b), (1.4b) a pro q = 0 žádat α i > 0 alspoň v jdnom bodě c i. Pro úlohu (1.13) tdy dostávám fyzikální podmínky p(x) p 0 > 0, q(x) 0 v 0, l, α i 0 pro všchna i, (1.5b ) a podmínky uložní vyžadující, ž j splněna alspoň jdna z násldujících tří podmínk : a) platí bud to okrajová podmínka (1.3a) nbo (1.4a); b) q(x) q 0 > 0 na části intrvalu 0, l ; c) α i > 0 pro nějaké i. (1.5c ) 10

10 Poznámka 4. Dirichltovu okrajovou podmínku u(0) = g 0 rsp. u(l) = g l lz přibližně ralizovat pomocí Nwtonovy okrajové podmínky p(0)u (0) = α 0 [u(0) g 0 ] rsp. p(l)u (l) = α l [u(l) g l ] pro vlké α 0 rsp. α l.tuto skutčnost si ilustrujm na dvou příkladch. a) V úloz tahu tlaku prutu s njčastěji stkávám s homognní Dirichltovou okrajovou podmínkou u(0) = 0 rsp. u(l) = 0. J zřjmé, ž nulové posunutí lz zajistit připojním příslušného konc prutu k vlmi tuhé pružině, což odpovídá vlké hodnotě α 0 rsp. α l. b) V úloz vdní tpla má α 0 rsp. α l význam koficintu přstupu tpla. Čím větší j hodnota tohoto koficintu, tím víc s tplota u(0) rsp. u(l) přiblíží k tplotě okolí, ktrou rprzntuj právě g 0 rsp. g l. Ukazuj s tdy, ž při řšní praktických úloh plně vystačím s okrajovými podmínkami (1.3b) a (1.4b), takž s můžm zabývat úlohou (1.11) pouz pro V = W = X (1.14) a pro a(u, v) a L(v) určné rovnicmi (1.13). Jsou-li splněny podmínky (1.5a ), (1.5b ) a (1.5c :b-c), má úloha (1.11), (1.13), (1.14) právě jdno slabé řšní. c) Mtoda končných prvků Na intrvalu 0, l zvolím dělní 0 = x 0 < x 1 < x N = l a na každé úsčc x i 1, x i délky h i = x i x i 1 hldám přibližné řšní U(x) v tvaru linárního polynomu procházjícího body (x i 1, U i 1 ) a (x i, U i ), takž U(x) = U i 1 w i 1 (x) + U i w i (x), kd w i 1 (x) = x i x h i, w i (x) = x x i 1 h i. Funkc U(x) j tdy na clém intrvalu 0, l po částch linární funkcí určnou přdpism N U(x) = U i w i (x), (1.15) i=0 kd w i (x) s jsou tzv. bázové funkc, linární na každé úsčc x k 1, x k a takové, ž { 1 pro i = j, w i (x j ) = 0 pro i j. y 1 w 0 (x) w i (x) w N (x) 0 = x 0 x 1 x i 1 x i x i+1 x N 1 x N = l x Obr Linární Lagrangovy bázové funkc 11

11 Úsčku x k 1, x k, na ktré j dfinována linární funkc určná svými hodnotami v uzlch x k 1 a x k, nazývám linárním Lagrangovým končným prvkm nbo také lmntm. Ncht h = max 1 i N h i j délka njvětšího dílku dělní {x i } N i=0. Prostor všch po částch linárních funkcí (nbo-li linárních splajnů ) označm X h. Zřjmě X h X j prostor dimnz N + 1 s bází {w i (x)} N i=0. Ncht V h = V X h a W h = W X h. Pak přibližné řšní U, tzv. MKP-slabé řšní, obdržím z diskrétní slabé (variační) formulac najít U W h splňující a h (U, v) = L h (v) v V h. (1.16) Přitom indx h při a h (U, v) rsp. L h (v) značí, ž intgrál l [pu v +quv] dx v a(u, v) rsp. 0 l fv dx v L(v) počítám numricky vhodnou kvadraturní formulí. Přdpokládjm, ž 0 a(u, v) a L(v) j tvaru (1.13) a ž uzly x i dělní jsou zvolny tak, aby případné body nspojitostí funkcí p, q, f jakož i působiště c i bodových účinků byly umístěny právě v těchto uzlch. Dál přdpokládjm c i = x i s tím, ž pokud v uzlu x i síla rsp. pružina npůsobí, kladm β i = 0 rsp. α i = 0. Označím-li I k (ϕ) přibližně spočtnou hodnotu xk x k 1 ϕ dx, j N N a h (U, v) = I k (pu v + quv) + α i U(x i )v(x i ), k=1 i=0 N N L h (v) = I k (fv) + β i v(x i ). k=1 i=0 (1.17) Zvolím-li v (1.16) v = w i, pak pro i = 1,..., N 1 dostanm I i (pu w i) + I i (quw i ) + I i+1 (pu w i) + I i+1 (quw i ) + α i U i = I i (fw i ) + I i+1 (fw i ) + β i, (1.18) nbot pro x / (x i 1, x i+1 ) j w i (x) = 0 a w i (x i ) = 1. Pro přibližné řšní U a bázovou funkci w i platí U = U i 1 x i x h i U = U i x i+1 x h i+1 + U i x x i 1 h i, w i = x x i 1 h i na x i 1, x i, + U i+1 x x i h i+1, w i = x i+1 x h i+1 na x i, x i+1. (1.19) Odtud U = U i U i 1 h i, w i = 1 h i na (x i 1, x i ), U = U i U i+1 h i+1, w i = 1 h i+1 na (x i, x i+1 ). (1.20) I k (pu w i) spočtm obdélníkovou formulí, I k (quw i ) a I k (fw i ) formulí lichoběžníkovou. Protož funkc q a f mohou být v uzlch x i nspojité, označm jjich limity v bodě x i 12

12 zlva q i a f i a limity zprava q i+ a f i+. Užitím (1.19), (1.20) a označní p i 1 2 = p(x i + 1h 2 i+1) vyjádřím p i+ 1 2 I i (pu w i) U i U i 1 1 = h i p i 1 = p 2 h i h i 1 i 2 I i+1 (pu w i) = h i+1 p i+ 1 2 ( U i U i+1 h i+1 U i U i 1, h i ) ( 1 ) h i+1 I i (quw i ) = 1 2 h i[q i 1,+ U i q i U i 1] = 1 2 h iq i U i, I i+1 (quw i ) = 1 2 h i+1[q i+ U i 1 + q i+1, U i+1 0] = 1 2 h i+1q i+ U i, I i (fw i ) = 1 2 h i[f i 1,+ 0 + f i 1] = 1 2 h if i, I i+1 (fw i ) = 1 2 h i+1[f i+ 1 + f i+1, 0] = 1 2 h i+1f i+. Dosadím-li odtud do (1.18), obdržím U i U i+1 = p i+ 1, 2 h i+1 = p(x i 1 2 h i), U i U i 1 U i U i+1 p i 1 + p 2 h i i 2 h [h 2 iq i + h i+1 q i+ ]U i + α i U i = i+1 (1.21-i) = 1[h 2 if i + h i+1 f i+ ] + β i pro i = 1,..., N 1. Podobně odvodím pro i = 0 a U 0 U 1 p h h 2 1q 0+ U 0 + α 0 U 0 = 1h 2 1f 0+ + β 0 (1.21-0) 1 U N U N 1 p N h h 2 Nq N U N + α N U N = 1h 2 Nf N + β N (1.21-N) N pro i = N. Soustava rovnic (1.21) má symtrickou pozitivně dfinitní a tdy rgulární matici. Řšní U 0,..., U N soustavy rovnic (1.21) určuj MKP-slabé řšní U(x). Pro chybu u U a jjí drivaci platí za přdpokladu u C 2 0, l odhad max 1 i N max dj x i 1 x x i dx (u U) = j O(h2 j ) pro j = 0, 1. (1.22) Poznámka 5. Ncht v uzlu x i, i I {0,..., N}, j přdpsána vazba u(x i ) = g i. Pak v souladu s poznámkou 4 můžm užít pružinovou tchniku a zvolit α i = κ, β i = κg i pro i I, kd κ j vlké číslo. Jinou možností j násldující liminační postup : a) vypustím rovnic příslušné proměnným U i, i I; b) v zbývajících rovnicích dosadím U i = g i a člny obsahující g i přvdm na pravou stranu; 13

13 c) vzniklou soustavu rovnic pro nznámé U j, j {0,..., N} I, vyřším. Eliminační tchnika j kvivalntní úloz (1.16) pro V h = {v X h v(x i ) = 0 i I}, W h = {v X h v(x i ) = g i i I}. Poznámka 6. Ncht u j slabé řšní úlohy (1.11), v ktré p j funkc po částch konstantní a q = 0. Zvolm dělní {x i } N i=0 intrvalu 0, l tak, aby mzi jho uzly patřily body nspojitostí funkc p a působiště c i sil a pružin. Pak MKP-slabé řšní úlohy najít U W h splňující a(u, v) = L(v) v V h nabývá v uzlch stjných hodnot jako slabé řšní, tj. platí U(x i ) = u(x i ) pro i = 0,..., N. Důkaz. Platí a(δ, w i ) = 0 pro δ = u U. Ncht p i označuj konstantní hodnotu funkc p na intrvalu (x i 1, x i ). Pro i = 1,..., N 1 intgrací pr-parts dostanm nbo-li xi xi+1 0 = a(δ, w i ) = p i δ w i dx + p i+1 δ w i dx + α i δ i = x i 1 x i = p i δw i x i + p i+1 δw i+1 + α i δ i x i 1 p i δ i δ i 1 h i + p i+1 δ i δ i+1 h i+1 + α i δ i = 0, kd δ i = u(x i ) U(x i ). Podobně dostanm pro i = 0 a p 1 δ 0 δ 1 h 1 + α 0 δ 0 = 0 p N δ N δ N 1 h N + α N δ N = 0 x i+1 x i pro i = N. Soustava linárních rovnic pro nznámé δ i má rgulární matici a protož pravé strany jsou nulové, j δ i = u(x i ) U(x i ) = 0, i = 0,..., N. Slabé řšní u na intrvalu (x i 1, x i ) lz dopočítat řšním lokální úlohy p i u = f i pro x (x i 1, x i ), u(x i 1 ) = U i 1, u(x i ) = U i, kd f i (x) j rstrikc funkc f(x) na intrval (x i 1, x i ). Právě uvdný postup umožňující získat přsné řšní, například úlohy tahu tlaku prutu, j inžnýrům dobř znám a standardně s používal při řšní prutových soustav tzv. difrnční mtodou jště v éř přd nástupm mtody končných prvků. x i x i 1 f i v dx, ktré vystupují na pravých stranách soustavy rovnic dfinujících MKP-slabé řšní U, s spočítají snadno, nbot funkc f i bývá jdnoduchá, njčastěji konstantní nbo linární. Z téhož důvodu lz snadno vyřšit i příslušné lokální úlohy. 14

14 Poznámka 7. Soustavu rovnic (1.21) pro nznámé paramtry U 0,..., U N jsm sstavili přímo, z rovnic a h (U, w i ) = L h (w i ), i = 0,..., N. Ukážm si nyní jiný postup, v MKP standardně používaný, založný na použití tzv. lmntárních matic a vktorů. Ncht v(x) = N i=0 Θ iw i (x) V h j libovolná tstovací funkc (tj. Θ i = v(x i ) j libovolné číslo) a U(x) = N i=0 iw i (x), i = U i, j MKP-slabé řšní. Pak z (1.16) plyn N N N 0 = a h (U, v) L h (v) = a h ( j w j, Θ i w i ) L h ( Θ i w i ) = = j=0 i=0 i=0 [ N N ] Θ i a h (w j, w i ) j L h (w i ) = Θ T [K F], i=0 j=0 (1.23) kd Θ = (Θ 0,..., Θ N ) T, K = {k ij } N i,j=0 pro k ij = a h (w j, w i ), = ( 0,..., N ) T a F = (F 0,..., F N ) T pro F i = L h (w i ). Protož Θ j libovolný vktor, musí platit K = F. (1.24) Rovnic této soustavy jsm již odvodili, jsou to postupně rovnic (1.21-0), (1.21-i) pro i = 1,..., N 1 a (1.21-N). Matic K bývá označována jako matic tuhosti a vktor F jako vktor zatížní. Toto pojmnování pochází z prvních aplikací MKP v pružnosti a stalo s univrzálním označním pro matici soustavy a pro vktor pravé strany v soustavě rovnic vzniklé diskrtizací jakékoliv úlohy MKP. Soustavu rovnic (1.24) sstavím pomocí tzv. lmntárních matic tuhosti K i a lmntárních vktorů zatížní F i příslušných lmntům x i 1, x i, i = 1,..., N. Označm w i 1(x) = w i 1 (x), w i 2(x) = w i (x), Θ i 1 = Θ i 1, Θ i 2 = Θ i, i 1 = i 1, i 2 = i. Pak na x i 1, x i j I i (p U v ) = I i ([Θ i 1w1 i + Θ i 2w2] i p [ i 1w1 i + i 2w2] i ) = = ( ) ( I i ([w Θ i 1 Θ 1] i p [w1] i ) I i ([w1] i p [w2] i ) ( ) i ) i 1 2 = [Θ i ] T K i1 i, I i ([w2] i p [w1] i ) I i ([w2] i p [w2] i ) i 2 kd Θ i = ( Θ i 1 Θ i 2 ), K i1 = p i 1 2 h i ( ) ( ) a i i = 1 i. 2 Podobně odvodím I i (quv) = [Θ i ] T K i2 i, kd ( ) K i2 = 1h qi 1,+ 0 2 i, 0 q i položím K i = K i1 + K i2, a dál odvodím I i (fv) = [Θ i ] T F i, kd F i = 1 2 h i ( fi 1,+ f i ). 15

15 Z rovnic 0 = a h (U, v) L h (v) = [ N ] [ N N = I i (pu v + quv) + α i U(x i )v(x i ) I i (fv) + = N [Θ i ] T [K i i F i ] + i=0 i=0 N Θ i [α i i β i ] ] N β i v(x i ) = i=0 a rovnic (1.23) dostanm rovnost Θ T [K F] = N [Θ i ] T [K i i F i ] + N Θ i [α i i β i ], (1.25) i=0 z níž plyn postup, jak pomocí lmntárních matic K i = {krs} i 2 r,s=1, lmntárních vktorů F i = (F1, i F2) i T a čísl α i, β i sstavit globální matici K a globální vktor F: stačí srovnat člny s stjnými indxy u paramtrů Θ a (pro urční prvků matic K) nbo jn u paramtru Θ (pro urční prvků vktoru F) na lvé a na pravé straně rovnic (1.25). Soustava rovnic (1.24) s symtrickou třídiagonální maticí j tvaru a 0 b F 0 b 0 a 1 b F 1 0 b 1 a 2 b F = b N 2 a N 1 b N 1 N 1 F N 1 0 b N 1 a N N F N a pro jjí nnulové koficinty odvodím a 0 = k α 0, b 0 = k 1 12, F 0 = F β 0, a i = k22 i + k11 i+1 + α i, b i = k12 i+1, F i = F2 i + F1 i+1 + β i, i = 1,..., N 1, a N = k22 N + α N, F N = F2 N + β N. Snadno ověřím, ž jsm opravdu dostali rovnic (1.21). Jstliž chcm pro q = 0 získat U(x i ) = u(x i ) přsné, viz poznámka 6, musím při výpočtu F i intgrovat přsně. Pro f i (x) = f i na lmntu konstantní dostanm ( ) 1 F i = 1h 2 if i 1 a pro linární f i (x) = f i (x i 1 )w1(x) i + f i (x i )w2(x) i obdržím ( ) 2f F i = 1h i (x i 1 ) + f i (x i ) 6 i f i (x i 1 ) + 2f i. (x i ) 16

16 1.2. Okrajový problém pro ODR4 a) Klasická formulac Hldám funkci u(x) C 4 0, l, (1.26) ktrá vyhovuj difrnciální rovnici (p u ) (r u ) + q u = f v (0, l). (1.27) Pokud jd o okrajové podmínky, nabízí s nám víc možností nž pro rovnici druhého řádu. V každém z krajních bodů c = 0 a c = l vybrm dvě z násldujících čtyř podmínk u(c) = u c, u (c) = ϕ c, (1.28.1) (1.28.2) ν c p(c)u (c) = γ c u (c) δ c, (1.28.3) ν c {[p(c)u (c)] r(c)u (c)} = α c u(c) β c, (1.28.4) kd ν 0 = 1, ν l = 1. V úvahu přicházjí jn násldující čtyři dvojic podmínk, podmínky (1.28.1) a (1.28.2), (1.29.1) podmínky (1.28.1) a (1.28.3), (1.29.2) podmínky (1.28.2) a (1.28.4), (1.29.3) podmínky (1.28.3) a (1.28.4). (1.29.4) Njznámější aplikací, ktrou úloha (1.26) (1.29) popisuj, j průhyb nosníku podl Kirchhoffovy tori. V tom případě j u(x) průhyb střdnicové čáry prutu, p(x) = E(x)I(x), kd E(x) j Youngův modul pružnosti a I(x) j momnt strvačnosti, r(x) rsp. q(x) j měrný odpor podloží bránící natoční rsp. průhybu nosníku. Pravá strana rovnic (1.27) má v úloz ohybu Kirchhoffova nosníku tvar rozdílu f(x) m (x), místo rovnic (1.27) tdy mám rovnici (p u ) (r u ) + q u = f m v (0, l), (1.27 ) přičmž f(x) j intnzita příčného silového zatížní a m(x) j intnzita zatížní ohybovým momntm. Užitím označní ϕ(x) = u (x) pro natoční střdnicové čáry prutu, M(x) = E(x)I(x)u (x) pro ohybový momnt a T (x) = M (x)+r(x)u (x) m(x) pro zobcněnou posouvající sílu lz okrajové podmínky (1.28) zapsat v tvaru u(c) = u c, ϕ(c) = ϕ c, ( ) ( ) ν c M(c) = γ c ϕ(c) δ c, ( ) ν c T (c) = α c u(c) β c. ( ) 17

17 Přitom u c rsp. ϕ c j vnucné posunutí rsp. natoční, α c rsp. γ c j tuhost pružné vazby proti posunutí rsp. natoční a β c rsp. δ c j zatěžující síla rsp. momnt. Každá dvojic podmínk (1.29.1) (1.29.4) popisuj způsob podpřní nosníku. Vtknutý okraj charaktrizují podmínky u(c) = 0, ϕ(c) = 0, prostě podpřný okraj podmínky u(c) = 0, M(c) = 0, posuvně vtknutý okraj podmínky ϕ(c) = 0, T (c) = 0 a volný okraj podmínky M(c) = 0, T (c) = 0. Funkci u C 4 0, l, vyhovující rovnici (1.27) a splňující v každém koncovém bodě jdnu z dvojic okrajových podmínk (1.29), nazvm klasickým řšním úlohy (1.26) (1.29). Pro xistnci klasického řšní j třba přdpokládat dostatčnou hladkost dat, tdy splnění podmínk hladkosti p C 2 0, l, r C 1 0, l, q, f C 0, l. (1.30a) Dál budm v souladu s fyzikálním významm dat přdpokládat splnění fyzikálních podmínk p(x) p 0 > 0, r(x) 0, q(x) 0 v 0, l, α 0 0, β 0 0, α l 0, β l 0. (1.30b) Pro jdnoznačnost řšní j třba jště připojit podmínky uložní. Existuj clá řada rovnocnných podmínk uložní, uvd m si něktré z nich: a) v jdnom z koncových bodů jsou přdpsány bud to podmínky (1.29.1) nbo podmínky (1.29.2) s γ c > 0 nbo podmínky (1.29.3) s α c > 0 nbo podmínky (1.29.4) s α c > 0, γ c > 0; b) v obou koncových bodch jsou přdpsány bud to podmínky (1.29.2) nbo podmínky (1.29.4) s α c > 0; c) v jdnom koncovém bodě jsou přdpsány bud to podmínky (1.29.2) nbo podmínky (1.29.4) s α c > 0 a v druhém koncovém bodě jsou přdpsány bud to podmínky (1.29.3) nbo podmínky (1.29.4) s γ c > 0; (1.30c) d) na části intrvalu 0, l platí současně r(x) r 0 > 0, q(x) q 0 > 0. Jsou-li tdy splněny podmínky (1.30), má úloha (1.26) (1.29) jdiné řšní. b) Slabá formulac Funkci v C 2 0, l nazvm tstovací, jstliž v(c) = 0 v tom krajním bodě c, v němž j přdpsána podmínka (1.28.1), a jstliž v (d) = 0 v tom krajním bodě d, v němž j přdpsána podmínka podmínka (1.28.2). Abychom byli konkrétní, zvolím si okrajové podmínky u(0) = u 0, u (0) = ϕ 0, (1.31.a) p(l)u (l) = γ l u (l) δ l, [p(l)u (l)] r(l)u (l) = α l u(l) β l, (1.31.b) 18

18 pro ktré tstovací funkc splňuj v(0) = v (0) = 0. Rovnici (1.26) vynásobím tstovací funkcí v a intgrujm přs 0, l. Intgrací pr-parts obdržím l 0 [f qu]v dx = l 0 [(pu ) (ru ) ] v dx = ={[p(x)u (x)] r(x)u (x)}v(x) x=l x=0 p(x)u (x)v (x) l x=l + [pu v + ru v ] dx = x=0 = l 0 [pu v + ru v ] dx + [α l u(l) β l ]v(l) + [γ l u (l) δ l ]v (l). Odvodili jsm tdy, ž řšní u úlohy (1.26), (1.27), (1.31) musí splňovat kromě okrajových podmínk u(0) = u 0, u (0) = ϕ 0 také rovnost 0 = l 0 l 0 [pu v + ru v + quv] dx + α l u(l)v(l) + γ l u (l)v (l) = fv dx + β l v(l) + δ l v (x) (1.32) pro každou funkci v C 2 0, l, v(0) = 0, v (0) = 0. Okrajové podmínky (1.31.b), ktré s staly součástí intgrální rovnic (1.32) a jsou tak splněny automaticky, s nazývají přirozné okrajové podmínky. Okrajové podmínky (1.31.a), ktré součástí rovnic (1.32) njsou a jjichž xplicitní splnění proto musím vyžadovat, nazývám podstatné nbo také hlavní okrajové podmínky. Pro rovnici (1.27) obcně jsou podstatné okrajové podmínky (1.28.1) a (1.28.2) a přirozné jsou okrajové podmínky (1.28.3) a (1.28.4). Rovnic (1.32) j dobř dfinována i v případě, kdy funkc u a v jsou z prostoru X H 2 (0, l). Tstovací funkc pak volím z prostoru V = {v X v(0) = v (0) = 0} tstovacích funkcí a řšní u z množiny W = {v X v(0) = u 0, v (0) = ϕ 0 } přípustných řšní. Dál označím a(u, v) = L(v) = Pak úlohu l 0 l 0 [pu v + ru v + quv] dx + α l u(l)v(l) + γ l u (l)v (l), fv dx + β l v(l) + δ l v (l). (1.33) najít u W splňující a(u, v) = L(v) v V (1.34) nazývám slabou (variační) formulací problému (1.26), (1.27), (1.31). Zslabné podmínky hladkosti p, r, q, f P C(0, l) (1.30a ) spolu s přdpoklady (1.30b) a (1.30c) zaručují jdnoznačnou xistnci slabého řšní. Slabá formulac má v úloz ohybu nosníku význam principu virtuálních posunutí stjně jako v úloz tahu tlaku prutu. Slabá formulac j obcnější nž formulac popsaná difrnciální 19

19 rovnicí. J tomu tak proto, ž difrnciální formulaci (1.27), (1.31) lz při platnosti podmínk (1.30a) a pro u C 4 0, l odvodit z formulac slabé postupm opačným k tomu, jímž jsm získali rovnost (1.34). Poznámka 8. Pro rovnici (1.27 ) a okrajové podmínky (1.28 ) obsahuj L(v) navíc čln l 0 mv dx. Působí-li kromě toho v bodě c i síla β i, momnt δ i, pružina o tuhosti α i proti průhybu a pružina o tuhosti γ i proti natoční, můžm a(u, v) a L(v) zapsat v tvaru a(u, v) = L(v) = l 0 l 0 [pu v + ru v + quv] dx + i [fv + mv ] dx + i [β i v(c i ) + δ i v (c i )]. [α i u(c i )v(c i ) + γ i u (c i )v (c i )], (1.35) Protož podstatné okrajové podmínky mohou být přibližně vystižny pomocí podmínk přirozných, u(c) = u c pomocí ν c T (c) = α c [u(c) u c ], α c vlké, ϕ(c) = ϕ c pomocí ν c M(c) = γ c [ϕ(c) ϕ c ], γ c vlké, budm s v dalším zabývat úlohou (1.34) pro V = W = X (1.36) a pro a(u, v) a L(v) určné rovnicmi (1.35). Pro jdnoznačnou xistnci slabého řšní stačí například přdpokládat, ž alspoň jdno z čísl α 0, α l j kladné a současně ž alspoň dvě z čísl α 0, α l, γ 0, γ l jsou kladná. c) Mtoda končných prvků Na intrvalu 0, l zvolím dělní 0 = x 0 < x 1 < x N = l a na každé úsčc x i 1, x i délky h i = x i x i 1 hldám přibližné řšní U(x) jako Hrmitův intrpolační polynom třtího stupně určný hodnotami U(x i 1 ), U(x i ) a drivacmi U (x i 1 ), U (x i ), tj. diskrtizaci provádím užitím tzv. kubického Hrmitova končného prvku (lmntu). Zřjmě U X h, kd X h P C 2 (0, l) j prostor kubických Hrmitových splajnů. Každá funkc v(x) X h j jdnoznačně určna svými hodnotami v(x i ) a drivacmi v (x i ) v uzlch {x i } N i=0. X h j prostor dimnz 2(N + 1) a pro funkci v X h platí v(x) = N [v(x i )w 2i (x) + v (x i )w 2i+1 (x)], (1.37) i=0 kd {w i (x)} 2N+1 i=0 j báz v X h, takž { 1 pro i = j w 2i (x j ) = 0 pro i j, w 2i(x j ) = 0, { 1 pro i = j w 2i+1(x j ) = 0 pro i j, w 2i+1(x j ) = 0. (1.38) 20

20 y 1 w 0 (x) w 2i (x) w 2N (x) 0 = x 0 x 1 x i 1 x i x i+1 x N 1 x N = l x y w 1 (x) w 2i+1 (x) w 2N+1 (x) π/4 0 = x 0 x 1 x i 1 x i x i+1 x N 1 x N = l x Označím-li a h (U, v) = L h (v) = Obr Kubické Hrmitovy bázové funkc N I k (pu v + ru v + quv) + k=1 N I k (fv + mv ) + k=1 N [α i u(x i )v(x i ) + γ i u (x i )v (x i )], i=0 N [β i v(x i ) + δ i v (x i )], (1.39) i=0 kd I k (g) opět značí numricky spočtný x k x k 1 g(x) dx, a položím-li V h = W h = X h, pak diskrétní slabá (variační) formulac zní najít U W h splňující a h (u, v) = L h (v) v V h. (1.40) J-li v(x) = 2N+1 i=0 Θ i w i (x) V h libovolná tstovací funkc a U(x) = 2N+1 i=0 i w i (x) MKP-slabé řšní, pak z (1.40) podobně jako v (1.23) dostanm 0 = a h (U, v) L h (v) = Θ T [K F], (1.41) kd Θ = (Θ 0,..., Θ 2N+1 ) T, K = {k ij } 2N+1 i,j=0 pro k ij = a h (w j, w i ), = ( 0,..., 2N+1 ) T a F = (F 0,..., F 2N+1 ) T pro F i = L h (w i ). Matic K j symtrická, sdmidiagonální (a h (w j, w i ) = 0 pro j i > 3, jak plyn z dfinic a h (U, v) a {w i (x)} 2N+1 i=0, viz také obrázky 2 a 3), a při dostatčně přsné numrické intgraci j rovněž pozitivně dfinitní a tdy rgulární. Vyřšním soustavy rovnic K = F (1.42) získám hldané paramtry 2i U(x i ) a 2i+1 U (x i ), i = 0,..., N. Matici K a vktor F sstavím pomocí lmntárních matic K i a lmntárních vktorů F i příslušných lmntům x i 1, x i. MKP-slabé řšní U a tstovací funkc v j na lmntu x i 1, x i tvaru 4 4 U(x) = i jwj(x), i v(x) = Θ i jwj(x), i j=1 j=1 21

21 kd i 1 = U(x i 1 ) 2i 2, Θ i 1 = v(x i 1 ) Θ 2i 2, i 2 = U (x i 1 ) 2i 1, Θ i 2 = v (x i 1 ) Θ 2i 1, i 3 = U(x i ) 2i, Θ i 3 = v(x i ) Θ 2i, i 4 = U (x i ) 2i+1, Θ i 4 = v (x i ) Θ 2i+1 jsou paramtry a ( ) w1(x) i = ˆN x xi 1 1 ( h i ) x w2(x) i xi 1 = h i ˆN2 ( h i ) w3(x) i = ˆN x xi 1 3 ( h i ) x w4(x) i xi 1 = h i ˆN4 h i jsou lmntární bázové funkc. Vyjádřím I i (pu v ) = I i ( kd 4 Θ j [wj] i p j=1 pro ˆN1 (ξ) = 1 3ξ 2 + 2ξ 3, pro ˆN2 (ξ) = ξ 2ξ 2 + ξ 3, pro ˆN3 (ξ) = 3ξ 2 2ξ 3, pro ˆN4 (ξ) = ξ 2 + ξ 3 4 l [wl] i ) = [Θ i ] T K i1 i, l=1 K i1 = {k i1 jl } 4 j,l=1 pro k i1 jl = I i ([w i j] p [w i l] ) a kd Θ i = (Θ i 1, Θ i 2, Θ i 3, Θ i 4) T, i = ( i 1, i 2, i 3, i 4) T. Podobně vyjádřím I i (ru v ) = I i ( 4 Θ j [wj] i r j=1 4 l [wl] i ) = [Θ i ] T K i2 i, l=1 kd K i2 = {kjl i2 } 4 j,l=1 pro kjl i2 = I i ([wj] i r[wl] i ), 4 4 I i (quv) = I i ( Θ j wj i q l wl) i = [Θ i ] T K i3 i, kd j=1 l=1 K i3 = {k i3 jl } 4 j,l=1 pro k i3 jl = I i (w i j q w i l), položím K i = K i1 + K i2 + K i3, a dál vyjádřím I i (fv) = I i ( 4 Θ i jwjf) i = [Θ i ] T F i1, j=1 kd F i1 = (F1 i1, F2 i1, F3 i1, F4 i1 ) T pro Fj i1 = I i (wj i f), 4 I i (mv ) = I i ( Θ i j[wj] i m) = [Θ i ] T F i2, kd j=1 F i2 = (F i2 1, F i2 2, F i2 3, F i2 4 ) T pro F i2 j = I i ([w i j] m) 22

22 a položím F i = F i1 + F i2. Jsou-li p(x) = p i, r(x) = r i, q(x) = q i, f(x) = f i, m(x) = m i na x i 1, x i konstantní, snadným výpočtm obdržím 12 6h i 12 6h i K i1 = pi 6h i 4h 2 i 6h i 2h 2 i h 3 i 12 6h i 12 6h i, K i2 = ri 30h i 6h i 2h 2 i 6h i 4h 2 i 36 3h i 36 3h i 3h i 4h 2 i 3h i h 2 i 36 3h i 36 3h i, K i3 = qi h i 420 3h i h 2 i 3h i 4h 2 i h i 54 13h i 22h i 4h 2 i 13h i 3h 2 i 54 13h i h i, F i1 = f i h i 12 13h i 3h 2 i 22h i 4h 2 i 6 h i 6 h i, h i [2f i (x i 1) + 3f i (x i 2)] 1 Fi2 = m i 0 1. Jsou-li na lmntu x i 1, x i funkc f(x) f i (x) a m(x) m i (x) linární, pak 21f i (x i 1) + 9f i (x i 2) 6m i (x i 1) 6m i (x i 2) F i1 = h i h i [3f i (x i 1) + 2f i (x i 2)] 60 9f i (x i 1) + 21f i (x i 2), Fi2 = 1 m i (x i 1) m i (x i 2) 12 6m i (x i 1) + 6m i (x i 2). 0 m i (x i 1) + m i (x i 2) Obcně však stačí intgrály počítat jn přibližně formulí, ktrá j přsná pro polynomy třtího stupně. Lz proto použít Simpsonovu formuli I i (g) = 1h 6 i[f(x i 1 ) + 4f(x i 1 ) + f(x i )] 2 nbo Gaussovu formuli I i (g) = 1h 2 i[f(x i 1 3 h 2 6 i) + f(x i h 2 6 i)], kd x i 1 = x i 1h 2 2 i. Z rovnic (1.41) a (1.39) užitím výš uvdných vyjádřní člnů I i (pu v + ru v + quv) a I i (fv + mv ) dostanm rovnost = Θ T [K F] = N [Θ i ] T [K i i F i ] + N {Θ 2i [α i 2i β i ] + Θ 2i+1 [γ i 2i+1 δ i ]}, i=0 23 (1.43)

23 z níž plyn postup, jak pomocí lmntárních matic K i = {k i rs} 4 r,s=1, lmntárních vktorů F i = {F i r} 4 r=1 a čísl α i, β i, γ i, δ i sstavit globální matici K a globální vktor F: stačí srovnat člny s stjnými indxy u paramtrů Θ a (pro urční prvků matic K) nbo jn u paramtru Θ (pro urční prvků vktoru F) na lvé a pravé straně rovnic (1.43). Náslduj algoritmus sstavní matic K a vktoru F. 1) Matici K a vktor F vynulujm. 2) Pro každý lmnt x i 1, x i, i = 1,..., N, dfinujm čtyři čísla Q(1) = 2i 2, Q(2) = 2i 1, Q(3) = 2i, Q(4) = 2i + 1 a provdm: a) k i rs pro r, s = 1, 2, 3, 4 přičtm k prvku matic K s indxy [Q(r), Q(s)]; b) f i r pro r = 1, 2, 3, 4 přičtm k prvku vktoru F s indxm Q(r). 3) Pro každý uzl x i, i = 0,..., N, provdm: a) α i přičtm k prvku matic K s indxy [2i, 2i]; b) γ i přičtm k prvku matic K s indxy [2i + 1, 2i + 1]; c) β i přičtm k prvku vktoru F s indxm 2i; d) δ i přičtm k prvku vktoru F s indxm 2i + 1. Protož matic tuhosti K j symtrická a má nnulové koficinty jn v hlavní diagonál a v třch sousdních horních a dolních subdiagonálách, stačí sstavovat prvky k ij pro j = i,..., max(i + 3, 2N + 1). Pro chybu u U a jjí drivac platí za přdpokladu u C 4 0, l odhad max 1 i N max dj x i 1 x x i dx (u U) = j O(h4 j ) pro j = 0, 1, 2, 3. Poznámka 9. Jstliž p(x) = p i j na lmntch x i 1, x i konstantní, r=q=0, a jstliž při výpočtu prvků matic K i1 a vktorů F i1 a F i2 počítám intgrály přsně, j řšní soustavy (1.42) přsné, tdy platí U(x i ) = u(x i ), U (x i ) = u (x i ), i = 0,..., N. Důkaz tohoto tvrzní lz provést podobně jako jsm to udělali v poznámc 6. Slabé řšní u na intrvalu (x i 1, x i ) lz dopočítat řšním lokální úlohy p i u (4) = f i [m i ] pro x (x i 1, x i ), u(x i 1 ) = i 1, u (x i 1 ) = i 2, u(x i ) = i 3, u (x i ) = i 4, kd f i (x) rsp. m i (x) j rstrikc funkc f(x) rsp. m(x) na intrval (x i 1, x i ). Poznámka 10. V úloz průhybu nosníku s někdy stkávám s případm tzv. kloubového spojní: dva nosníky spojné kloubm mají v kloubu stjný průhyb, natoční obou nosníků v kloubu jsou však na sobě navzájm nzávislá a tdy obcně různá. Kloub v vnitřním bodě c nosníku můžm v MKP ralizovat pomocí dvou gomtricky totožných uzlů x i 1 = x i c tak, ž a) pro lmnt x i 1, x i kladm K i = 0 a F i = 0; 24

24 b) paramtry příslušné průhybu v kloubu c ztotožním, tdy položím 2i 2 = 2i, Θ 2i 2 = Θ 2i. Ztotožnění paramtrů ovlivní tvar soustavy rovnic (1.42) způsobm, ktrý odvodím prozkoumáním rovnosti (1.41): 1) řád matic K s o jdničku sníží : a) řádk 2i 2 přičtm k řádku 2i a pak řádk 2i 2 vypustím; b) sloupc 2i 2 přičtm k sloupci 2i a pak sloupc 2i 2 vypustím; 2) v vktoru vypustím prvk 2i 2 ; 3) v vktoru F přičtm prvk F 2i 2 k prvku F 2i a pak prvk F 2i 2 vypustím. Poznámka 11. Vazbu u(x i ) = u i rsp. u (x i ) = ϕ i lz ralizovat bud to pružinovou tchnikou tak, ž zvolím α i = κ, β i = κu i rsp. γ i = κ, δ i = κϕ i, kd κ j vlké číslo, nbo liminačním postupm založným na tom, ž položím Θ 2i = 0, 2i = u i rsp. Θ 2i+1 = 0, 2i+1 = ϕ i a odpovídajícím způsobm upravím sstavovací algoritmus (rovnici 2i rsp. 2i + 1 vypustím a sloupc 2i násobný u i rsp. sloupc 2i + 1 násobný ϕ i odčtm od pravé strany). 25

25 2. Rovinné úlohy 2.1. Základní pojmy a označní Oblastí budm rozumět otvřnou ohraničnou a souvislou množinu v uklidovském prostoru R 2. Oblast budm značit Ω a jjí hranici Ω nbo také Γ. J-li hranic oblasti Ω tvořna jdiným hladkým obloukm řknm, ž oblast Ω má hladkou hranici. Oblastí s hranicí po částch hladkou budm rozumět oblast, jjíž hranic j sjdnocním končného počtu hladkých oblouků (tj. křivk s spojitě s měnící tčnou). Oblast bz řzů a bodů vratu nazvm rgulární. Co míním řzm a bodm vratu j zřjmé z obrázků 4 a 5. Polygonm budm rozumět rgulární oblast, jjíž hranic j sjdnocním končného počtu úsčk. Uzávěr množiny M označím M. Obr. 4. Bod vratu Obr. 5. Řz Prostor funkcí spojitých v Ω označím C(Ω). Symbolm C k (Ω) označím prostor funkcí spojitých v Ω spolu s svými drivacmi až do řádu k včtně. Řknm, ž funkc f j po částch spojitá v Ω, jstliž xistuj a) N 1 clé; b) oblasti Ω 1,..., Ω N takové, ž Ω = N Ω i, Ω i Ω j = pro i j; c) funkc f 1,..., f N, f i C(Ω i ), f = f i v Ω i, i = 1,..., N. Prostor všch po částch spojitých funkcí budm značit P C(Ω). Symbolm P C k (Ω) označím prostor všch funkcí f takových, ž f C k 1 (Ω) a D k f P C(Ω), kd D k f označuj k-té drivac funkc f. Lbsguův prostor funkcí intgrovatlných s kvadrátm v Ω označím L 2 (Ω). Sobolvův prostor všch funkcí f takových, ž f, Df,..., D k f L 2 (Ω), označím H k (Ω). J-li S část hranic, pak prostor funkcí spojitých na S označím C(S) a prostor funkcí po částch spojitých na S označím P C(S). Připomňm, ž P C(Ω) L 2 (Ω) a P C k (Ω) H k (Ω). Proto funkc z prostoru P C(Ω) můž posloužit jako příklad funkc z prostoru L 2 (Ω) a podobně funkc z prostoru P C 1 (Ω) jako příklad funkc z prostoru H 1 (Ω). 26

26 2.2. Klasická formulac Naším cílm j určit funkci u(x, y) C 2 (Ω) C 1 (Ω Γ 2 ) C(Ω) (2.1) vyhovující difrnciální rovnici [p u] + qu = f v Ω (2.2) a splňující okrajové podmínky u = g na Γ 1, (2.3) p u n = αu β na Γ 2. (2.4) Tčka v vztahu (2.2) značí skalární součin a protož ( grad = x, y = ( p u ) x x y ) T (, j [p u] = ( p u ) (p u x ) x (p u y ) y. y x, y ) T ( u p x, u ) T = y O hranici Γ přdpokládjm Γ = Γ 1 Γ 2, Γ 1 Γ 2 =. Dál n = (n x, n y ) T (n 1, n 2 ) T j jdnotkový vktor vnější normály hranic a u n = n u = n u x x + n u y y j drivac v směru vnější normály. Okrajová podmínka (2.3) s nazývá Dirichltova, okrajová podmínka (2.4) s pro α = 0 nazývá Numannova a pro α 0 Nwtonova. Úloha můž popisovat například problém dvourozměrného stacionárního vdní tpla. V tom případě j u(x, y) tplota, p(x, y) koficint tplné vodivosti, q(x, y) j koficint přstupu tpla plochou Ω, f(x, y) = Q + qu j součtm tplného zdroj Q(x, y) a tplného toku qu plochou Ω (u (x, y) j tplota okolí plochy Ω), g(x, y) přdpsaná tplota na hranici Γ 1, α(x, y) koficint přstupu tpla a β(x, y) zadaný tplný tok na hranici Γ 2. Rovnic (2.2) pak má tvar [p u] + q(u u ) = Q v Ω. (2.2 ) Nwtonova okrajová podmínka s v úloz vdní tpla obvykl píš v tvaru p u n = α(u u o) na Γ 2, (2.4 ) kd u o (x, y) j tplota okolí (hranic Γ 2 ). Pokud tutéž úlohu intrprtujm jako úlohu průhybu mmbrány, j u(x, y) výchylka, p(x, y) rprzntuj tuhost mmbrány, q(x, y) odpor prostřdí, f(x, y) zatížní, g(x, y) přdpsaný pokls podpřné části Γ 1 hranic, α(x, y) tuhost pružinového uložní a β(x, y) 27

27 zatížní na části Γ 2 hranic. Úloha (2.1) (2.4) můž být modlm i pro další problémy, například pro potnciální proudění tkutin, lktrostatický potnciál, kroucní tyč, difúzní šířní příměsi atd. Funkc u(x, y) s vlastností (2.1) splňující (2.2) (2.4) s nazývá klasické řšní. Pro jho xistnci j třba přdpokládat dostatčnou hladkost dat, a sic p C 1 (Ω), f, q C(Ω), g C(Γ 1 ), α, β C(Γ 2 ). (2.5a) Dál budm v souladu s obvyklým fyzikálním významm dat přdpokládat p(x, y) p 0 > 0, q(x, y) 0 v Ω, α(x, y) 0 na Γ 2. (2.5b) Pro jdnoznačnost řšní j třba dál připojit podmínku ms 1 Γ 1 > 0 nbo q(x, y) q 0 > 0 na Ω 0 Ω, ms 2 Ω 0 > 0, nbo α(x, y) α 0 > 0 na Γ 20 Γ 2, ms 1 Γ 20 > 0, (2.5c) kd ms 1 Γ 1 rsp. ms 1 Γ 20 j délka části Γ 1 rsp. Γ 20 hranic a ms 2 Ω 0 j plocha podoblasti Ω 0. Pro xistnci řšní musím přdpokládat jště něco navíc, například ž Ω j rgulární oblast s hladkou hranicí a Γ = Γ 1, nbo ž Γ = Γ 2, nbo ž Ω j konvxní polygon a Γ = Γ 1. (2.5d) Soubor podmínk (2.5a) (2.5d) nám zaručuj jdnoznačnou xistnci klasického řšní problému (2.1) (2.4). Poznámka 12. Nsplnění podmínky (2.5c) znamná řšit úlohu [p u] = f v Ω, p u n = β na Γ. Pomocí Grnovy formul (2.6) lz ukázat, ž tato úloha má řšní jn thdy, platí-li f dxdy + β ds = 0. Ω Γ V tom případě j řšní nkončně mnoho a navzájm s liší o konstantu Grnova formul Ncht f(x 1, x 2 ), g(x 1, x 2 ) H 1 (Ω). Potom platí f g dx = fgn i ds f g dx. (2.6) x i x i Ω Γ Ω Zd dx = dx 1 dx 2, ds j difrnciál oblouku Γ a n i j i-tá složka jdnotkového vktoru vnější normály hranic. 28

28 2.4. Slabá formulac Ncht v C 1 (Ω). Vynásobním rovnic (2.2) funkcí v, intgrací přs Ω a použitím Grnovy formul dostanm [p u]v dxdy = = = Ω Γ Γ p[u x n x + u y n y ]v ds + p u n v ds + [p u v] dxdy = Ω Ω p[u x v x + u y v y ] dxdy = (2.7) Ω (f qu)v dxdy. Funkci v(x, y) C 1 (Ω) nazvm tstovací, splňuj-li v = 0 na Γ 1. Dosadím-li do (2.7) za v tstovací funkci a užijm (2.4), obdržím rovnici [p u v + quv] dxdy + αuv ds = fv dxdy + Ω Γ 2 Ω βv ds. Γ 2 (2.8) Označm si a(u, v) = [p u v + quv] dxdy + αuv ds, (2.9) Ω Γ 2 L(v) = fv dxdy + βv ds, (2.10) Ω Γ 2 položm X = H 1 (Ω) a dál označm V = {v X v = 0 na Γ 1 }, W = {v X v = g na Γ 1 }. (2.11) a(u, v) j symtrická bilinární forma a L(v) j linární funkcionál. V nazvm prostorm tstovacích funkcí a W nazvm množinou přípustných řšní. Zdůrazněm, ž W nní linárním prostorm funkcí, nbot pro g 0 a v 1, v 2 W nplatí v 1 + v 2 W. Slabou (variační) formulací úlohy (2.1) (2.4) rozumím úlohu najít u W splňující a(u, v) = L(v) v V. (2.12) Funkci u vyhovující (2.12) nazývám slabým řšním (úlohy (2.1) (2.4)). Jdnoznačnou xistnci slabého řšní lz zaručit za výrazně slabších přdpokladů nž byly přdpoklady (2.5a) (2.5d), ktré jsm potřbovali pro jdnoznačnou xistnci řšní klasického. Pokud jd o hladkost dat, stačí místo (2.5a) přdpokládat p, q, f P C(Ω), g C(Γ 1 ), α, β P C(Γ 2 ). (2.5a ) Tyto požadavky jsou ralistické a odpovídají tomu, s čím s stkávám při řšní praktických úloh. Přdpoklady (2.5b) a (2.5c) ponchám v platnosti. To nní omzující, nbot tyto přdpoklady jsou v praktických úlohách splněny. Končně přdpoklad (2.5d) nahradím přirozným požadavkm Ω j rgulární oblast s hranicí po částch hladkou, (2.5d ) ktrý opět plně vyhovuj praktickým potřbám. Shrňm tdy, ž jdnoznačná xistnc slabého řšní j zaručna, jsou-li splněny přdpoklady (2.5a ), (2.5b), (2.5c) a (2.5d ). 29

29 2.5. Triangulac, po částch linární funkc Přdpokládjm, ž Ω j polygon. Ω pokryjm triangulací T skládající s z trojúhlníkových lmntů takových, ž uzávěry každých dvou různých trojúhlníků jsou bud to disjunktní nbo mají spolčný vrchol nbo stranu a ž Ω = T. Trojúhlníky triangulac budm nazývat také prvky. Vrcholy trojúhlníků budm nazývat uzly. Tringulaci zvolím tak, aby body průniku Γ 1 Γ 2 byly uzly. Počt všch prvků triangulac označím P P, počt všch uzlů P U, počt uzlů lžících na Γ 1 označím P B a počt zbývajících uzlů (lžících uvnitř Ω a na Γ 2 ) označím P N. Strany lmntů budm značit S, množinu všch stran lžících na hranici Γ 2 označím S a počt všch stran S S označím P S. Njdlší stranu trojúhlníků triangulac označím h. Symbol h budm v dalším používat jako měřítko jmnosti triangulac. Kromě toho, použijm-li písmno h jako indx u nějaké vličiny vyznačím tím, ž tato vličina závisí na triangulaci T. Triangulaci popíšm pomocí násldujících souborů dat: 1. P RV KY [i, j], i = 1,..., P P, j = 1, 2, 3, jsou čísla uzlů lmntu i T; 2. ST RANY [i, j], i = 1,..., P S, j = 1, 2, jsou čísla uzlů strany S i S; 3. BODY [i], i = 1,..., P B, jsou čísla uzlů lžících na Γ 1 ; 4. X[i], Y [i], i = 1,..., P U, jsou x-ové a y-ové souřadnic uzlů PP = 28 PU = 23 PS = 12 PB = PN = 18 Obr. 6. Triangulovaná polygonální oblast 30

30 PRVKY STRANY BODY X Y KC 1: : 1 2 1: 1 1: 0 0 1: 1 2: : 2 3 2: 4 2: 0 0,5 2: 1 3: : 3 7 3: 8 3: 0 1 3: 2 4: : : 13 4: 0,5 0 4: 2 5: : : 18 5: 0,5 0,5 5: 3 6: : : 0,5 1 6: 4 7: : : 0,5 1,5 7: 5 8: : : 1 0 8: 3 9: : : 1 0,5 9: 6 10: : : : 7 11: : : 1 1,5 11: 8 12: : : : 9 13: : 1,5 0 13: 4 14: : 1,5 0,5 14: 10 15: : 1,5 1 15: 11 16: : 1,5 1,5 16: 12 17: : 1,5 1,75 17: 13 18: : : 5 19: : 2 0,5 19: 14 20: : : 15 21: : 1,75 1,25 21: 16 22: : 1,75 1,5 22: 17 23: : 1,75 1,75 23: 18 24: : : : : Tab.1. Data popisující triangulaci Z čistě formálních důvodů, umožňujících snadnější matmatické vyjadřování, budm v dalším txtu přdpokládat, ž na hranici Γ 1 lží uzly s čísly P N +1,..., P U. Pokud tomu tak nní, jako třba v příkladu podl obrázku 6, snadno si poradím : uzly přčíslujm. Můžm k tomu použít kódovací tabulku KC, ktrá k každému uzlu I přiřadí tak zvané kódové číslo KC[I]: {Vytvořní pol kódových čísl KC[1..P U]} for I:=1 to PU do KC[I]=0; for I:=1 to PB do KC[BODY[I]]= I; J:=0; for I:=1 to PU do if KC[I] = 0 thn bgin J:=J+1; KC[I]:=J nd; 31