Geometrické modelování. Diferenciáln

Transkript

1 Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk

2 Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace křivky Kovexí obal křivka leží v kovexím obalu řídících bodů Jedoá rerezeace algorimus ro geerováí a ediaci růzých yů křivek je jedoý Afií ivariaos rerezeace křivky řídícím olygoem je ivariaí v jakýchkoliv rasformacích Efekivos a umerická sabilia Křivka řídy C Možiu k E 3 azýváme křivkou řídy C jesliže souřadice bodů křivky lze vyjádři zobrazeím I R 3, X( s vlasosmi X( je sojiá a iervalu I X( je rosá X ( ( 0,0,0 X( má a iervalu I sojié derivace do -éhořádu Roviá křivka Prosorová křivka ( = ( ; ( ( ( ; ( ; ( X x y X = x y z

3 Trasformace arameru Nechť je fukcí X( dáa křivka k řídy C, I. Na iervalu J echť je defiováa fukce = f(u s ásledujícími vlasosmi. f(u je rosá a J. f(u zobrazuje J a I 3. f(u má sojié derivace až do -ého řádu, ak vekorová fukce Y(u=X(f(u vyjadřuje uéž křivku jako fukce X(. 3

4 Teča křivkyk Teča křivky X( v regulárím bodě X( 0 : ( ( X + r X r R 0 0, ( ( X + h X lim h 0 h 0 0 = X ( 0 Pojem ečy je ezávislý a aramerizaci. X ( 0 X( 0 +h X( 0 X( 0 X( X( Freeův dorovodý rojhra Tečá rovia křivky každá rovia, kerá obsahuje eču křivky Normálová rovia křivky rovia kolmá a eču křivky Oskulačí rovia křivky ečá rovia, určeá vekory rví a druhé derivace. ο X ( 0 + r X ( 0 + s X ( 0 ; r, s R Normála křivky každá římka, kerá je kolmá a eču křivky a rochází daým bodem. Hlaví ormála růsečice oskulačí a ormálové roviy. k b T ν ο Freeův dorovodý rojhra je voře jedokovými směrovými vekory římek,, b eča hlaví ormála b biormála ο = (, oskulačí rovia ν = (b, ormálová rovia 4

5 Výoče Freeova rojhrau Jedokový vekor ečy Jedokový vekor biormály Jedokový vekor hlaví ormály X = X X X b = X X = b k b T X ν ο Bod X( 0 křivky X( se azývá iflexí bod křivky, jesliže jsou vekory rví a druhé derivace lieárě závislé. ( = ( X k X 0 0 V iflexím bodě eí urče Freeův dorovodý rojhra. Délka oblouku křivky k X( mezi body a=x( a a X( b Délka lomeé čáry ( ( l = X X i= 0 i+ i X( X( X( 3 X( a=x( 0 b=x( b b s = X d = X X d a ( ( ( a 5

6 ( = ( 0 Paramerizace obloukem Fukci s X u du azýváme obloukem křivky. Říkáme, že křivka je aramerizovaá obloukem, když její aramer měří délku křivky. X(=X((s, kde = (s je fukce iverzí k oblouku křivky s(. 4 X( X(3 x = y =, R X( Křivka aramerizovaá obloukem Křivka X(s je aramerizovaá obloukem rávě ehdy, když je v každém bodě vekor X (s jedokový. Je-li křivka aramerizovaá obloukem, ak je vekor X (s směrový vekor hlaví ormály. Velikos vekoru X (s je křivos k křivky. Jesliže je křivka X(s aramerizovaá obloukem, ak ro jedokové vekory Freeova dorovodého rojhrau laí: ( ( s ( s = X s = X X b = ( k = X s k b T ν ο Bod křivky k je iflexí rávě ehdy, je-li v ěm m rví křivos ulová. Je-li bod V vrchol křivky, k ak v ěm m mám fukce rví křivosi exrém. 6

7 Výoče křivosi k křivkyk. Je-li křivka X(s aramerizovaá obloukem. Je-li křivka X( dáa obecým aramerem k = X ( s k = X X X X 3 3. Je-li křivka dáa exliciě, jako graf fukce y = f(x k = y ( + ( y 3 y ( x = x Př: Vyočíeje fukci křivosi araboly y = x k ( x = ( + 4x 3 y = x y = x y = k = ( + 4x 3 Oskulačí kružice křivkyk V bodě T=X( 0 sesrojme hlaví ormálu křivky. Na hlaví ormále sesrojme bod O, OT =/k. Kružici se sředem O a oloměrem r=/k ležící v oskulačí roviě křivky azýváme oskulačí kružice křivky v bodě T. Oskulačí kružice a daá křivka mají v bodě T sejou eču a křivos. Př: Určee oskulačí kružici araboly y = x ve vrcholu V[0,0]. r =/k oloměr křivosi S sřed křivosi x y = x y = y = k = x + k(0 = 3 [ ] r(0 =, O = 0, 7

8 Doyk křivekk O dvou křivkách k a l řekeme, že mají v bodě P 0 doyk -éhořádu (+ bodový jesliže ro řirozeé aramerizace k=x(s, l=x(r exisují hodoy arameru s 0, r 0, ro keré laí dx dr d X dr ( ( X r = X s = P ( r0 = ( s0 d X dr ( r0 = ( s0 dx ds d X ds d X ( r0 = ( s0 ds + + d X d X dr ( r0 ( s0 ds + + Doyk ulého řádu Doyk.řádu Doyk. řádu O k k 8