Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací"

Transkript

1 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací áhodé veličiy, která popisuje příslušý áhodý proces. Základím pojmem statistiky se tak stává pojem áhodého výběru, který je modelem popsaé situace. Náhodý výběr je uspořádaá -tice áhodý vektor) radom sample) X 1, X 2,..., X ) áhodých veliči X i, 1 i, které jsou ezávislé a mají stejé rozděleí. Je-li F distribučí fukce popisující rozděleí áhodých veliči X i, pak sdružeá distribučí fukce áhodého výběru je rova F x 1, x 2,..., x ) F x 1 ).F x 2 )... F x ). Obdobě pro sdružeou hustotu, resp. pravděpodobostí fukci dostaeme vyjádřeí fx 1 ).fx 2 )... fx ), resp. px 1 ).px 2 )... px ) kde f je hustota resp. p je pravděpodobostí fukce áhodé veličiy X i. Studium vlastostí rozděleí obvykle provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru statistiky statistics). Uvedeme ty, které ejčastěji používáme. Je-li X 1, X 2,..., X ) áhodý výběr, pak ozačujeme a azýváme statistiku: X výběrovým úhrem; X i X i X 1 S výběrovým průměrem mea); X i X) 2 výběrovým rozptylem variace); s 2 1 X i X) 2 středí kvadratickou odchylkou stadarddeviatio). Pro vyčísleí výběrového rozptylu používáme ěkdy jiého vyjádřeí. Je totiž 1)S 2 Xi X ) 2 [ X 2 i 2X i X + X ) 2 ] X2 i 2X X i + X ) 2 X2 i 2 X ) 2 ) 2 + X X2 i X ) 2 24

2 Je tedy S Xi 2 X ) X 2 i 1 2 X i. Obdobě pro středí kvadratickou odchylku dostaeme s 2 1 Xi 2 X ) 2 1 X 2 i 1 2 X i. Pro uvedeé statistiky platí ěkolik tvrzeí, která si postupě uvedeme. Nejjedodušší z ich se týkají středích hodot a rozptylů, které jsou vyjádřey pomocí obdobých charakteristik původího rozděleí. Nechť je X 1, X 2,..., X ) áhodý výběr z rozděleí, kde EX i ) µ a DX i ) σ 2, pak platí: V1. EX) µ, E X) µ a DX) σ2, D X) σ 2. Je totiž Odtud plye, že E X) E X i ) EX i ) EX) E 1 X) 1 E X) µ. µ µ. Jestliže využijeme ezávislosti áhodých veliči v áhodém výběru, pak dostaeme D X) D X i ) DX i ) σ 2 σ. Odtud plye, že DX) D 1 X) 1 2D X) σ2. V2. ES 2 ) σ 2, Es 2 ) 1 σ2 a DS 2 ) 1 µ 4 3 1) σ4, 3. Úpravou postupě dostaeme Xi X ) 2 [ Xi µ) X µ )] 2 25

3 E Odtud dostaeme, že [ X i µ) 2 2 X i µ) X µ ) + X µ ) 2 ] X i µ) 2 2 X µ ) X i µ) + X µ ) 2 X i µ) 2 2 X µ ) X µ ) + X µ ) 2 Xi X ) 2 X i µ) 2 X µ ) 2. E X i µ) 2) X ) ) 2 E µ 1)σ 2, když jsme použili postupě skutečostí EX i ) EX) µ, E X i µ) 2) DX i ) σ 2 a E X µ) 2) DX) 1 σ2. Je tedy ES 2 ) σ 2. Sado ahlédeme, že Es 2 ) E 1 S2) 1 σ2. Pozámka. Protože je statistika S 2 odhadem parametru σ 2, je statistika S odhadem směrodaté odchylky σ. Z rovosti DS) ES 2 ) ES)) 2 σ 2 ES)) 2 plye vztah σ 2 ES)) 2 a z ěj dostaeme odhad pro středí hodotu směrodaté odchylky ES) σ. Cetrálí limití věta. Další vlastosti základích statistik áhodého výběru vyplývají z cetrálí limití věty. Pokud áhodý výběr pochází z rozděleí s koečou středí hodotou µ a koečým rozptylem σ 2, má výběrový úhr X v limitě ormálí rozděleí Nµ, σ 2 ) a výběrový průměr X má v limitě ormálí rozděleí Nµ, σ2 ). Tyto skutečosti můžeme zapsat vztahy pro distribučí fukce. Je a X lim P µ σ x Φx), x R lim P X µ x Φx), x R, σ kde Φ je distribučí fukce ormovaého rozděleí N, 1). 26

4 a Jedoduchým přepisem dostaeme vztahy pro y R lim lim P X y) lim P P X y) lim P X µ σ X µ σ y µ σ Φ y µ Φ σ y µ σ y µ σ, ). Připomeňme, že v případě, že se jedá o áhodý výběr z ormálího rozděleí Nµ, σ 2 ), pak mají uvedeé statistiky ormálí rozděleí z uvedeými parametry. Některé další statistiky. Pro popis vlastostí áhodého výběru můžeme použít statistik, které jsou obdobou obecých či cetrálích mometů pro áhodé veličiy. Zavádíme: A 3 M 3 výběrový koeficiet šikmosti A M 3 3. test symetrie); 2 2 A 4 M 4 3 výběrový koeficiet špičatosti A. 4 test ormality). M k 1 X k i, k 1 k-tý výběrový obecý momet; M k 1 X i X) k, k 1 k-tý výběrový cetrálí momet. Je pak M 1 X a M 2 s 2 1 S2. Obdobě zavádíme statistiky: M 2 2 Uspořádaý áhodý výběr vector of order statistics) dostaeme jestliže seřadíme hodoty áhodého výběru X 1, X 2,..., X ) vzestupě podle velikosti. Dostaeme áhodý vektor X 1), X 2),..., X ) ), kde X i) X ki a {1, 2,..., } {k 1, k 2,..., k }. Je pak X 1) X 2)... X ). Speciálě je X 1) mi{x i ; 1 i } a X ) max{x i ; 1 i }. Náhodou veličiu ω R X ) X 1) azývame variačí rozpětí rage) áhodého výběru. Pro rozděleí jedotlivých souřadic uspořádaého áhodého výběru dostaeme ásledující vztahy. V3. Je-li F distribučí fukce rozděleí, ze kterého je provede áhodý výběr, pak má r tá souřadice X r) uspořádaého áhodého vý- 27

5 běru X 1), X 2),..., X ) ) rozděleí s distribučí fukcí G r x) P X r) x) ir F i x) [1 F x)] i, x R. i Odvodíme ejprve rozděleí krajích áhodých veliči. Distribučí fukce G áhodé veličiy X ) je dáa vzorcem G x) P X ) x) P X 1 x X 2 x... X x). vzhledem k ezávislosti áhodých veliči X i a shodému rozděleí je G x) F x). Distribučí fukci G 1 áhodé veličiy X 1) dostaeme obdobě ze vztahu G 1 x) P X 1) x) 1 P X 1) x) 1 P X 1 x X 2 x... X x) 1 1 F x)). Jestliže je X r) x, pak mezi hodotami X 1, X 2,..., X ) alezeme alespoň r meších ež je hodota x. Meších ež x jich bude právě i s pravděpodobostí F i x) [1 F x)] i. i Součet těchto pravděpodobostí pro r i určuje hodotu distribučí fukce áhodé veličiy X r). Speciálě pro prví a posledí souřadici dostaeme. V4. Náhodá veličia X 1) mi{x i ; 1 i } má rozděleí určeé distribučí fukcí G 1 x) 1 1 F x)), x R. Pro spojité rozděleí dostaeme její hustotu g 1 x) fx)1 F x)) 1, x R, kde f F je hustota původího rozděleí. Náhodá veličia X ) max{x i ; 1 i } má rozděleí určeé distribučí fukcí G x) F x), x R. 28

6 V případě spojitého rozděleí je její hustota rova g x) fx)f 1 x), x R. Příklad 1.: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h). Pak je hustota f, resp. distribučí fukce F, v itervalu µ h, µ + h) dáa vzorci fx) 1 1, resp. F x) x µ + h). 2h 2h Dosazeím do uvedeých vzorců dostaeme: tedy g 1 x) 2h [ 1 1 2h x µ + h) ] 1 g 1 x) 2h) µ + h x) 1, µ h < x < µ + h; g x) 2h) x µ + h) 1, µ h < x < µ + h. Pro středí hodoty těchto áhodých veliči výpočtem dotaeme: EX 1) ) EX ) ) µ+h 2h) xµ + h µ h x) 1 dx 2h) 2h 1) 1 t + µ + h)t 1 dt 1) 2h) 1) 2h) 2h 2h) t + µ + h)t 1 ) dt x µ h t dx dt + µ + h) 2h) 2h µ + h µ h; µ+h 2h) xx µ + µ h h) 1 dx 2h 1) t + µ h)t 1 dt 2h) 2h t + µ h)t 1 ) dt 2h) 29 x µ + h t dx dt

7 2h) 2h) µ h)2h) 2h µ h µ h. Pro výpočet rozptylu těchto áhodých veliči musíme ejdříve vyčíslit druhé obecé momety. Je EX 1) ) 2 ) µ+h 2h) µ h x2 µ + h x) 1 dx µ + h x t dx dt 2h) µ + h 2h t)2 t 1 dt) 2h t +1 2µ + h)t + µ + h) 2 t 1 ) dt 2h) 2h) t+2 t+1 2µ + h) µ + h)2t 4h2 2h 2µ + h) µ + h)2. Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce DX 1) ) EX 1) ) 2 ) EX 1) ) 2 2h 4h2 2h 2µ + h) µ + h)2 µ 1 )2 + 1 h µ 2 + 2µh + h 2 4µh + 1 4h h2 + 2 µ2 + 2µh µh ) + h h 2 + 1) 2 + 2) h2 1)2 + 2) 2 1)2 + 1) 2 Obdobě dostaeme EX ) ) 2 ) µ+h 2h) µ h x2 x µ + h) 1 dx x µ + h t dx dt 3

8 2h) 2h) 2h) 2h 2h t + µ h)2 t 1 dt t µ h)t + µ h) 2 t 1 ) dt t+2 t+1 + 2µ h) µ h)2t 4h2 2h + 2µ h) µ h)2. Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce DX ) ) EX ) ) 2 ) EX ) ) 2 2h 4h2 2h + 2µ h) µ h)2 µ + 1 )2 + 1 h µ 2 2µh + h 2 + 4µh + 1 4h h2 + 2 µ2 2µh µh ) + h h2 1)2 + 2) 2 1)2 + 1) 2 4h 2 + 1) 2 + 2). Jak jsme mohli očekávat rozptyly obou áhodých veliči jsou stejé a středí hodoty jsou symetrické vzhledem ke středí hodotě µ původího rozděleí. S rostoucím počtem prvků výběru dostáváme a lim EX 1)) lim µ h µ h, lim EX )) lim µ + h µ + h, lim DX 4h 2 1)) lim DX ) ) lim + 1) 2 + 2). Lze tedy parametry µ a h odhadout pomocí statistik ˆµ 1 2 X ) + X 1) ), ĥ 1 2 X ) X 1) ). Tyto odhady dostaeme později pomocí metody maximálí věrohodosti. 31

9 Příklad 2.: Expoeciálí rozděleí ExpA; δ). Potom jsou hustota f, resp. distribučí fukce F, dáy vzorci fx) 1 δ e x A δ, resp. F x) 1 e x A δ, x > A. Pro hustotu áhodé veličiy X 1) dostaeme [e x A δ g 1 x) δ x A e δ Pro středí hodotu miima dostaeme EX 1) ) δ A x A) xe δ dx δ ] 1 x A) δ e δ, x > A. xδ x A) e δ δ2 2 e x A) δ A A + δ. K výpočtu rozptylu musíme ejdříve určit druhý obecý momet. Je δ x2 δ x A) e δ EX 1) ) 2 ) δ 2xδ2 2 e x A) δ A x2 e x A) δ dx 2δ3 3 e x A) δ Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce A A 2 + 2Aδ + 2δ2 2. DX 1) ) EX 1) ) 2 ) EX 1) ) 2 A 2 + 2Aδ S rostoucím počtem prvků výběru dostáváme A + 2δ2 + δ )2 δ lim EX 1)) lim A + δ A, lim DX δ 2 1)) lim. 2 Je tedy statistika X 1) mi{x 1, X 2,..., X } odhadem parametru A rozděleí. Je to odhad, který získáme metodou maximálí věrohodosti. Pro statistiku X ) max{x 1, X 2,..., X } dostaeme hustotu g tvaru ve g x) fx)f x) 1 δ x A e δ 1 e ) x A 1 δ, x > A. Středí hodotu vypočteme ze vzorce EX ) ) δ A x A x e δ 1 e ) x A 1 δ dx. 32

10 Výpočet zjedodušíme pomocí substituce, kterou převedeme vyjádřeí a tvar, který dostaeme pro ormovaé rozděleí Exp; 1) : EX ) ) x A δ t, x A t dx dt, x t A + δt) e t 1 e t ) 1 dt A + δe, jestliže itegrál rozdělíme a dva sčítace a využijeme skutečosti, že fukce g t) e t 1 e t ) 1 je hustotou maximálí souřadice X ) pro ormovaé rozděleí a tedy je její itegrál rove jedé. Zbývá vypočítat výraz E 1) 1 t g t) dt 1) 1 1 k 1 t t e 1 k k t e t e t 1) 1 dt 1 e kt 1) 1 k dt k 1) k te k+1)t dt. Itegrály v součtu vypočteme metodou per partes a dostaeme t e mt dt t e mt m + e mt m dt 1 m 2. Po dosazeí do předchozího vztahu dostaeme pro hodotu E vyjádřeí E 1 k 1 k kde Ψx) d lγx)) dx a γ je Eulerova kostata γ C lim 1)k Ψ + 1) γ, k + 1) 2 Γ x) Γx) l) )., Pro Eulerovu fukce Γ platí, že Γx + 1) xγx). Logaritmováím a posléze derivováím dostaeme rovice lγx + 1)) lγx)) + 1 x Γ x + 1) Γx + 1) Γ x) Γx) + 1 x. 33

11 Postupým použitím rekuretího vztahu dostaeme, že Γ + 1) Γ + 1) Γ 1) Γ1) + Protože řada ve vyjádřeí diverguje je k1 1 k. lim EX )) A + δ lim E, což odpovídá skutečosti, že expoeciálí rozděleí eí shora omezeé. Variačí rozpětí R je ukazatelem, jak jsou pravděpodobé extrémí hodoty v áhodém výběru. K popisu rozděleí áhodé veličiy R musíme použít margiálí hustotu f 1,) dvojice X 1), X ) ), kterou dostaeme obdobě jako při staoveí hustot jedotlivých souřadic. Ozačme si dvojici X 1), X ) ) X, Y ). Pak pro její margiálí distribučí fukce dostaeme vztah F 1,) x, y) P X1) X x X ) Y y). Je-li < x < y <, pak bude podmíka splěa, pokud alezeme alespoň jedu áhodou veličiu X i x a pro všechy je X j y, 1 j. Alespoň jeda, zameá, že jich alezeme 1 až. Jedotlivé možosti se avzájem vylučují a pro právě k, 1 k dostaeme, že k souřadic splí podmíku X i x a k podmíku x < X j y. Pravděpodobost této možosti je rova [F x)] k [F y) F x)] k. Uvážíme-li počet možostí, tak dostaeme její pravděpodobost P k [F x)] k [F y) F x)] k. k Sečteím všech pravděpodobostí dostaeme vzorec pro distribučí fukci F 1,) x, y) k1 P k k1 [F x)] k [F y) F x)] k, x < y. k Přidáme-li do součtu čle pro k dostaeme pomocí biomické věty vyjádřeí F 1,) x, y) [F y)] [F y) F x)], x < y. 34

12 Pro < y x < Budou všechy souřadice splňovat podmíku X i y x a pro pravděpodobost této možosti dostaeme F 1,) x, y) [F y)], y x. Derivováím dostaeme v příadě spojitého rozděleí vzorec pro margiálí hustotu dvojice X 1), X ) ve tvaru a f 1,) x, y) 2 F 1,) x, y) x y 1)fx)fy)[F y) F x)] 2, x < y f 1,) x, y), x > y. kde f, resp. F jsou hustota, resp. distribučí fukce původího rozděleí. Distribučí fukci G variačího rozpětí vypočteme podle defiice z : Gz) P R z) P X ) X 1) z) P X ) X 1) + z) x+z f 1,)x, y) dy)dx. Použijeme vztah pro derivaci itegrálu jako fukce horí meze a dostaeme, že hustota g variačího rozpětí je dáa vzorcem gz) G z) f 1,)x, x + z) dx 1) fx)fx + z)[f x + z) F x)] 2 dx, z, 2. Příklad 1: Rovoměré rozděleí. Středí hodotu rozpětí vypočteme z dříve uvedeých středích hodot. Je 1)h ER) EX ) ) EX 1) ) µ )h 2h 1) µ V limitě je v souladu s představou lim ER) 2h. Pro staoveí rozptylu je třeba spočítat hustotu a ebo kovariaci z margiálí hustoty f 1,), eboť jsou áhodé veličiy X 1) a X ) závislé. Určeme hodoty pro rovoměré rozděleí v itervalu, 1). Pro hustotu rozpětí R dostaeme: X, 1); fx) 1, F x) x pro x, 1) z >, < x < 1 < x + z < 1 < x < 1 z, < z < 1 : gz) 1) 1 z z 2 dx 1)z 2 1 z), < z < 1. 35

13 Variačí rozpětí R má rozděleí beta B 1, 2). Pro jeho středí hodotu dostaeme výpočtem z hustoty ER) 1 1) 1)z 1 1 z) dz 1) z z Pro rozptyl postupě vypočteme ER) 1) 1) 1 z z Odtud dostaeme rozptyl 1 z 1 z ) dz 1 1) 1 ) z 1 z) dz 1) 1 DR) ER 2 ) ER)) ) ) + 2 z z +1 ) dz 1) 1)2 + 1) + 2) + 1) 2 1) + 1) + 2) 2 1) + 1) 2 + 2), 3. Pro středí hodotu a rozptyl rozděleí Bp, q) je EX) p p + q a DX) p + q. Po dosazeí hodot p 1 a q 2 dostaeme p + q + 1 shodá vyjádřeí. Pro rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h), dostaeme po dosazeí za: fx) 1 2h, F x) 1 2h x µ + h) pro x µ h, µ + h) vzorec pro hustotu ve tvaru 1 µ+h z gz) 1) x + z µ + h x + µ h) 2 dx 2h) µ h 1) 2h) z 2 2h z), < z < 2h. Odtud můžeme vypočítat středí hodotu a rozptyl. Lze ovšem využít vztahů pro středí hodotu a rozptyl při lieárí trasformaci, 1) µ h, µ + h) Y µ h + 2hX a dostaeme: ER ) µ h + 2hEX ) ) µ + h + 2hEX 1) 2h

14 a DR ) 4h 2 DR) 8h2 1) + 1) + 2). Podle očekáváí je lim ER) 2h. Pro popis závislosti áhodých veliči X 1) a X ) využijeme koeficiet kovariace. Výpočet provedeme pro rozděleí v itervalu, 1) a pak využijeme vztahů pro lieárí trasformaci. Margiálí hustotu dvojice X 1), X ) ) dostaeme po dosazeí za fx) 1, F x) x pro x, 1) : Odtud dostaeme f 1,) x, y) 1)y x) 2, < x < y < 1 1 y EX 1) X ) ) 1) když postupě použijeme kroky y xy x) 2 dx a 1 Odtud je y x t, y dx dt, y xyy x) 2 ) dx y y+1 dy dy yt 2 t 1 ) dt covx 1), X ) ) EX 1) X ) ) EX 1) )EX ) ) ) ) 2 + 2) y 1) Ze vzorce covαx + β, αy + β) α 2 covx, Y ) dostaeme pro kovariaci v případě obecého rozděleí vztah covx 1), X ) ) 4h 2 + 1) 2 + 2), ze kterého vyplývá, že jsou áhodé veličiy X 1) a X ) závislé. Z rostoucím rozsahem výběru klesá míra lieárí závislosti mezi ejmeší a ejvětší hodotou áhodého výběru. 37

15 Příklad 2: Expoeciálí rozděleí. Středí hodotu rozpětí vypočteme z dříve uvedeých středích hodot. Je ER) EX ) ) EX 1) ) A + δe A + δ ) δ E 1 ). Odtud dostaeme, že lim ER). Pro výpočet dalších charakteristik musíme vyjádřit hustotu rozpětí. Pro jedoduchost volíme A a δ 1. Pro jié hodoty parametrů provedeme příslušou lieárí trasformaci Y A + δ X. Pro zvoleé hodoty parametrů je fx) e x a F x) 1 e x, x >. Pro hustotu rozpětí R dostaeme vzorec gz) 1) e x e x z e x e x z) 2 dx 1)e z 1 e z) 2 e x dx 1) e z 1 e z) 2, z >. Porováím s hustotou maximálí souřadice zjistíme, že se jedá o totéž rozděleí, ale s parametrem 2 místo 1. Pro středí hodotu tak můžeme použít i získaý vzorec ER) Ψ) γ, ER ) δer). Příklad 3: Normovaé ormálí rozděleí. Pro hustotu g rozpětí dostaeme vzorec 1) gz) x 2 +x+z) 2 2π e 2 Φx + z) Φx)) 2 dx, z >, kde Φ je distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí. Expoet si můžeme vyjádřit ve tvaru a po substituci x + z 2 x 2 + xz + x z2 2 + z ) 2 + z2 2 4 w dostaeme vzorec ve tvaru 1) gz) e z2 /4 Φw + z/2) Φw z/2)) 2 dw, z >. 2π e w2 Výpočet středích hodot a rozptylů je uté provést umericky a úloha vyřaduje podrobější aalýzu průběhu itegradu. Pro praktické potřeby je vhodější alézt příslušé hodoty ve statistických tabulkách. 38

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více