Analytická geometrie

Transkript

1 MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzta Na Rybíčku, Opava DENNÍ STUDIUM Aalytcká geometre Téma 3.: Aí zobrazeí Dece 3.. Zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A se azývá aí zobrazeí, estlže má ásleduící vlastost: leží-l avzáem růzé body A, B, C A a přímce, pak ech obrazy (A), (B), (C) buď splývaí ebo sou avzáem růzé a (ABC) ((A)(B)(C)). Aí zobrazeí azveme regulárí (prosté), estlže pro každé A, B A, A Β platí (A) (B). Věta 3.2. Aí zobrazeí zobrazí přímku buď a přímku ebo do edého bodu. Věta 3.3. Př aím zobrazeí se dvě rovoběžé přímky zobrazí buď do dvou rovoběžých přímek ebo se každá z ch zobrazí do bodu. Dece 3.4. Buďte A, A aí prostory, V, V po řadě ech zaměřeí, aí zobrazeí A do A. Zobrazeí ϕ vektorového prostoru V do vektorového prostoru V, které e dáo předpsemϕ (B - A) (B) - (A) azýváme asocovaé leárí zobrazeí k daému aímu zobrazeí ebo také asocovaý homomorsmus. Věta 3.5. Ke každému aímu zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A exstue právě ede asocovaý homomorsmus ϕ. Zobrazeí a ϕ sou vázáa vztahem (B + u) (B) + ϕ (u) pro každý bod B A a každý vektor u V. Obráceě, e-l dáo leárí zobrazeí, t. homomorsmus ϕ : V V a dvoce bodů B A, B A, pak exstue právě edo aí zobrazeí : A A, ehož asocovaým homomorsmem e daé leárí zobrazeí ϕ a obrazem bodu B př zobrazeí e bod B. Zobrazeí e pro každý bod X A dáo předpsem (X) B + ϕ (X - B). Věta 3.6. Aí zobrazeí e právě tehdy prostým zobrazeím aího prostoru A do aího prostoru A, e-l k ěmu asocovaý homomorsmus prostým zobrazeím zaměřeí V prostoru A do zaměřeí V prostoru A. Aí zobrazeí zobrazue aí prostor A a aí prostor A právě tehdy, zobrazue-l asocovaé leárí zobrazeí ϕ vektorový prostor V a vektorový prostor V. Věta 3.7. Věta o určeí aího zobrazeí.

2 2 Aí zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A e edozačě určeo obrazy (P 0 ), (P ),,(P ) leárě ezávslých bodů P 0, P,,P A. K daým lbovolě zvoleým bodům P 0, P,,P A exstue edé aí zobrazeí prostoru A do A tak, že (P ) P pro 0,,,. Věta 3.8. Buď g,..., g P ;e,..., e báze aího prostoru A, Q bod aího prostoru A m a koečě soustava vektorů ve Vm(A m ), pak exstue edé aí zobrazeí s asocovaým ϕ e g,,2,,. zobrazeím ϕ, pro které (P) Q a ( ) Věta 3.9. Buď bektví aí zobrazeí aího prostoru A a aí prostor A. Potom verzí zobrazeí -- : A A e opět zobrazeí aí. Je-l ϕ asocovaé zobrazeí k, e ϕ - asocovaé zobrazeí k --. Dece 3.0. Vzáemě edozačé aí zobrazeí prostoru A a sebe se azývá aí trasormace prostoru A (krátce ata prostoru A). Věta 3.. Moža všech aích trasormací prostoru A tvoří vzhledem k operac skládáí zobrazeí grupu, tzv. aí grupu prostoru A. Dece 3.2. Buď ata prostoru A. Bod X A, pro který platí (X) X, azýváme samodružým bodem aty. Buď p přímka aího prostoru A. Jeí směr azveme samodružým směrem, estlže (p) p. Věta 3.3. Buď ata prostoru A, ϕ eí asocovaé zobrazeí. Směr určeý eulovým vektorem u e samodružý, estlže exstue λ R tak, že ϕ (u) λ u. Jelkož ϕ e bektví, e λ 0. Dece 3.4. Nechť ϕ e asocovaé leárí zobrazeí k atě. Vektor u, pro ěž platí ϕ (u) λ u, se azývá vlastí vektor zobrazeí ϕ, číslo λ se azývá vlastí číslo zobrazeí ϕ, příslušé k vlastímu vektoru u. Věta 3.5. Buď v aím prostoru A zvolea aí soustava souřadc, vzhledem k íž má aí trasormace aalytcké vyádřeí x samodružého bodu vyhovuí soustavě rovc ( a ) x + a2x2 + + a x + b 0 a x + ( a ) x + + a x + b a x a x + + a ( ) x + b a x + b,,2,,. Potom souřadce Věta 3.6. Moža všech samodružých bodů aty aího prostoru A buď tvoří aí podprostor prostoru A, ebo e to moža prázdá.

3 3 Věta 3.7. Buď v aím prostoru A zvolea aí soustava souřadc, vzhledem k í echť má leárí zobrazeí ϕ (asocovaé k atě a A ) aalytcké vyádřeí u a u,,2,,. Pak pro souřadce vlastího vektoru u a k ěmu příslušé vlastí číslo λ platí λ u a u,,2,,. () Věta 3.8. Soustava () homogeích leárích rovc má etrválí řešeí právě, když det ( ) 0 a λδ, kde δ e Kroeckerovo delta. (2) Dece 3.9. Rovce (2) se azývá charakterstcká rovce leárího zobrazeí. Věta Charakterstcká rovce leárího zobrazeí ϕ ezávsí a volbě aí soustavy souřadc. Věta 3.2. Ke každému eulovému kořeu λ o charakterstcké rovce zobrazeí ϕ exstue v zaměřeí V prostoru A alespoň ede eulový vektor u, pro který ϕ (u) λo u. Vektor u geerue samodružý směr zobrazeí ϕ. Věta Aí zobrazeí aího prostoru A do sebe e prosté právě tehdy, když ula eí vlastím číslem zobrazeí ϕ asocovaého k. Dece Atu aího prostoru A, pro kterou platí ϕ (u) λ u pro každý vektor u ze zaměřeí V prostoru A, azveme homotetckou trasormací. Dece Atu aího prostoru A, pro íž každý bod e samodružý, azýváme detta a ozačíme d. Homotetckou atu prostoru A, pro íž λ, azýváme traslace (posuutí). Homotetckou atu prostoru A, pro íž λ, azýváme steolehlost. Věta Idetta má vyádřeí (X) X. Nedetcká traslace má vyádřeí (X) X + b, vektor posuutí b o a emá žádý samodružý bod. Věta Steolehlost prostoru A má právě ede samodružý bod S, tzv. střed steolehlost. Steolehlost má vyádřeí (X) S + λ(x-s) resp. (X) (B) + λ(x-b). Věta Moža všech homotetckých trasormací prostoru A tvoří vzhledem k operac skládáí zobrazeí grupu. Tato grupa e podgrupou grupy všech at prostoru A. Věta Grupa homotetckých trasormací a grupa všech at esou komutatví. Věta Grupa všech traslací aího prostoru A e komutatví podgrupou grupy všech homotetckých trasormací.

4 4 Dece Zobrazeí : A A azveme volutorí, platí-l: o d, tedy --. Dece 3.3. Atu aího prostoru A, která eí dettou a má adrovmu samodružých bodů, azýváme základí atou prostoru A. Specálě pro 2 azýváme osovou atou, pro 3 rovovou atou. Věta Základí ata aího prostoru A e edozačě určea adrovou samodružých bodů a edou dvocí odpovídaících s bodů C (C) C. Dece Směr geerovaý vektorem (C - C) z věty azýváme směrem aty. Patří-l teto směr do zaměřeí samodružé adrovy ρ, azýváme atu elací. Věta Buď v A zvolea aí soustava souřadc. Zobrazeí echť e základí ata prostoru A, eíž adrova samodružých bodů má rovc c x + + c x + c 0. Pak ata má aalytcké vyádřeí x x + ( c x + + c x c) kde b b c b + + c b + c α, + α,,,, pro B [ b,,b ], (B) [ b,, b ], (B) B. Věta Ke každé atě aího prostoru A exstue k základích at, 2,, k takových, že e ech složeím a k +. Dece Buď aí zobrazeí prostoru A do sebe, ϕ eho asocovaé zobrazeí. Nechť e, e ϕ e a, a, 2, a,,,. Modulem aího zobrazeí vzhledem k daé báz azveme determat matce (a ). Ozačíme e det(a ) D., e báze prostoru V (A ). Budž ( ) ( ) Věta Modul D aího zobrazeí ezávsí a volbě báze prostoru V. Věta Buď aí trasormace prostoru A ; pak ϕ e zomorzmus a D 0 a obráceě, e-l D 0, e ata. Věta Buďte, 2 dvě aí trasormace aího prostoru A a echť 2. Pak D D D 2 Věta 3.4. Nechť e detta a A. Pak D. Věta Buď ata prostoru A. Pak D. D Dece Atu prostoru A azveme přímou, estlže D 0, epřímou, estlže D 0. Dece Atu aího prostoru A azveme ekvaí (resp. umodulárí), estlže. D

5 5 Věta Moža všech přímých at prostoru A tvoří podgrupu grupy všech at prostoru A, tzv. grupu přímých at. Věta Moža všech ekvaích at tvoří podgrupu všech at prostoru A, tzv. ekvaí grupu. Jeí podgrupou e grupa přímých ekvaích at, t. at, pro ěž D. Přehled grup trasormací aího prostoru A. grupa at ekvaí grupa grupa homotetckých grupa přímých trasormací at grupa traslací detta V aí rově A 2 exstue 0 typů aích trasormací vzhledem k počtu samodružých směrů a bodů: (a) Každý směr e samodružý a všechy body sou samodružé (detta). (b) Každý směr e samodružý a žádý bod eí samodružý (traslace). (c) Každý směr e samodružý a právě ede bod e samodružý (steolehlost). (d) Jsou právě dva samodružé směry a přímka samodružých bodů (osová ata). (e) Je ede samodružý směr a přímka samodružých bodů (osová ata azývaá elace). () Jsou dva samodružé směry a ede samodružý bod (atu lze rozložt a osovou atu a steolehlost). (g) Je ede samodružý bod a ede samodružý směr (atu lze rozložt a elac a steolehlost). (h) Jsou dva samodružé směry a žádý samodružý bod (atu lze rozložt a osovou atu a traslac). () Je ede samodružý směr a žádý samodružý bod (atu lze rozložt a elac a traslac). () Neí žádý samodružý směr a e ede samodružý bod.

6 6 Vyádřeo tabulkou: sam. body směry žádý ede dva každý žádý - () (h) (b) ede () (g) () (c) přímka - (e) (d) - všechy (a) Lteratura: M. Sekaa a kol., Geometre I, II, Státí pedagogcké akladatelství Praha 986, 988. B. Bydžovský, Úvod do aalytcké geometre, Praha 956. Busema, Kelly: Proectve Geometry ad Proectve Metrcs. Academc Press New York 953. Ruský překlad, Moskva 957. K. Bura, Geometre I, skrptum PFO, Ostrava 984. E. Peschl, Aalytcká geometre a leárí algebra, Praha 97. V. Havel, J. Holeda, Leárí algebra, SNTL/ALFA, Praha 984. B. Budíský, Aalytcká a derecálí geometre, SNTL, Praha 983. J. Jayška, A. Sekaová, Aalytcká teore kuželoseček a kvadrk, skrpta MU, Bro 996. P. Horák, J. Jayška, Aalytcká geometre, skrpta MU, Bro 997. E. Čech, Základy aalytcké geometre, Praha 95. J. Jachaová, L. Marková, H. Žáková, Cvčeí z geometre I, skrptum UP, Olomouc 99.