4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů"

Transkript

1 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž úlohu, ve které hledáme odhady ezámých parametrů rozděleí. 4.. Formulace úlohy. Předpokládáme, že je dá áhodý výběr X, X 2,..., X z rozděleí s hustotou fx, θ, θ 2,..., θ m ), či pravděpodobostí fukcí px, θ, θ 2,..., θ m ), kde θ = θ, θ 2,..., θ m ) jsou parametry rozděleí. Na základě hodot áhodého výběru odhadujeme parametry rozděleí tak, aby co ejlépe odpovídaly hodotám áhodého výběru. Odhad provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru, statistiky τ, která je odhadem parametrů θ či jejich fukce γθ). O takové úloze mluvíme jako o bodovém odhadu parametrů. Příklad: V případě ormálího rozděleí, kdy X i Nµ; σ 2 ), je θ = µ a θ 2 = σ 2. Pro expoeciálí rozděleí, kde X i ExpA; δ), je třeba θ = A + δ a θ 2 = δ, eboť je středí hodota rova A + δ a rozptyl je δ Testováí vhodosti a kvality odhadů.. Nestraost odhadů. Statistika τ je estraým odhadem fukce parametrů γθ), jestliže je Eτ) = γθ). Příklad: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr z rozděleí, pro které je EX i ) = µ, pak je statistika výběrový průměr τ = X = X i estraým odhadem středí hodoty µ. Je-li rozptyl DX i ) = σ 2, pak je statistika výběrový rozptyl estraým odhadem rozptylu σ 2. τ = S 2 = X i X) 2 Pozámka: Pro středí hodotu statistiky τ je ěkdy splěa slabší podmíka lim Eτ) = γθ). Takový odhad azýváme asymptoticky estraý. Příklad: Statistika τ = s 2 = X i X) 2 je asymptoticky estraým odhadem rozptylu σ 2, eboť je Es 2 ) = σ2. 2. Kozistetost odhadu. Statistika τ je kozistetím odhadem fukce parametrů γθ), jestliže platí lim P τ γθ) < ε) = 33

2 pro každé ε >. Pozámka: Z Čebyševovy erovosti vyplývá, že estraé odhady s koečým rozptylem jsou kozistetí. Je totiž Eτ) = γθ) a P τ γθ) < ε) Dτ) ε 2. Příklad: Je-li áhodý výběr výběrem z ormálího rozděleí Nµ; σ 2 ), pak pro výběrový průměr platí: Eτ) = EX) = µ a Dτ) = DX) = σ2. Je tedy výběrový průměr X estraým a kozistetím odhadem středí hodoty µ. Pro výběrový rozptyl S 2 je ES 2 ) = σ 2 a DS 2 ) = µ 4 ) 3)σ4, je tedy statistika S 2 estraým a kozistetím odhadem rozptylu σ Vydatost odhadu. Nestraý odhad τ fukce parametrů γθ), pro který je rozptyl Dτ) = E[τ γθ)) 2 ] miimálí, se azývá ejlepší estraý odhad. Metody hledáí bodových odhadů Metoda maximálí věrohodosti je založea a vlastostech sdružeé hustoty či pravděpodobostí fukce. Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr z rozděleí s hustotou, či pravděpodobostí fukcí fx, θ, θ 2,..., θ m ), pak má áhodý vektor X, X 2,..., X ) sdružeou hustotu, či pravděpodobostí fukci fx, θ, θ 2,..., θ m ).fx 2, θ, θ 2,..., θ m )... fx, θ, θ 2,..., θ m ). Tuto fukci ozačujeme ) Lx, x 2,..., x, θ) a azýváme ji věrohodostí fukcí. Hodotu ˆθ, pro kterou je věrohodostí fukce maximálí, azýváme maximálě věrohodým odhadem parametrů θ. Protože má v řadě případů hustota expoeciálí průběh používáme místo věrohodostí fukce Lx, θ) její logaritmus. Maximálě věrohodý odhad ˆθ je řešeím soustavy věrohodostích rovic Lx, x 2,..., x, θ) θ k = l Lx, x 2,..., x, θ) θ k =, k m. 34

3 Odhadujeme-li fukci γθ), pak je jejím maximálě věrohodým odhadem fukce γˆθ) Příklad: Normálí rozděleí. Pro ormálí rozděleí Nµ; σ 2 ) je hustota rova fx) = σ x µ) 2 2π e 2σ 2 a tedy věrohodostí fukce je rova Lx, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = σ 2π) e Pro logaritmus věrohodostí fukce l L tedy platí: x i µ) 2 2σ 2 l Lx, x 2,..., x, µ, σ 2 ) = 2 l σ2 ) l 2π) 2σ 2 Potom je soustava věrohodostích rovic rova: l L µ = 2σ 2 x 2 i µ) ) =, x i µ) 2 Z prví rovice dostaeme l L σ 2 = 2σ 2 + 2σ 4 x i µ) 2 =. Po dosazeí do druhé rovice dostaeme i µ) = ˆµ = x X i = X. σ 2 = i µ) X 2 ˆσ 2 = X i X) 2. Všimeme si, že odhad středí hodoty µ je estraý a kozistetí odhad a odhad rozptylu σ 2 je asymptoticky estraý Příklad: Poissoovo rozděleí P oλ) má pravděpodobostí fukci pk) = λk k! e λ, k =,, 2,... a EX i ) = DX i ) = λ. Je tedy věrohodostí fukce rova a její logaritmus je rove Lk, k 2,..., k, λ) = λk +k k k!k 2!... k! e λ l Lk, k 2,..., k, λ) = λ + k + k k ) l λ l k!k 2!... k!). 35

4 Odtud dostaeme věrohodostí rovici l L λ = + λ k + k k ) = λ = k + k k ). Maximálě věrohodý odhad parametru λ je rove ˆλ = X i = X. Protože je EX) = λ a DX) = λ je získaý odhad estraý a kozistetí Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp; δ) má hustotu fx) = δ e x δ, x >, pro které je EX i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, δ) = δ δ e x i Odtud dostaeme věrohodostí rovici l Lx, x 2,..., x, δ) = l δ x i. δ l L δ Maximálě věrohodý odhad parametru δ je Teto odhad je estraý a kozistetí. = δ + x δ 2 i =. ˆδ = X i = X Příklad: Expoeciálí rozděleí ExpA; δ) má hustotu fx) = x A e δ, x > A, δ pro které je EX i ) = A + δ a DX i ) = δ. Věrohodostí fukce je rova a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, A, δ) = δ δ e x i A) l Lx, x 2,..., x, A, δ) = l δ δ x i A). 36

5 Musí být X i A, i a tudíž fukce l L má maximálí hodotu pro  = mi{x, X 2,..., X }. Věrohodostí rovice pro parametr δ je l L δ = δ + x δ 2 i A) =. Maximálě věrohodý odhad parametru δ je ˆδ = X i Â) = X Â. Protože je EÂ) = A + δ eí teto odhad estraý, je vychýleý, asymptoticky estraý, ale je kozistetí. Dále je Eˆδ) = δ, tudíž je teto odhad rověž asymptoticky estraý Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h) má hustotu fx) = 2h, µ h < x < µ + h, kde EX i ) = µ a DX i ) = h2. Věrohodostí fukce je 3 a její logaritmus je rove Lx, x 2,..., x, µ, h) = 2h), µ h < x i < µ + h l Lx, x 2,..., x, µ, h) = l 2h) Tato fukce má maximálí hodotu pro miimálí volbu parametru h. Je tedy maximálě věrohodý odhad parametru h rove ĥ = 2 max{x i; i } mi{x i ; i }). Pro maximálě věrohodý odhad středí hodoty dostaeme ˆµ = 2 max{x i; i } + mi{x i ; i }). Z rozděleí uspořádaého výběru dostaeme, že Eĥ) = h + a Eˆµ) = µ. Odhad ˆµ je estraý, odhad ĥ je asymptoticky estraý a oba jsou kozistetí Metoda mometů je založea a rovosti výběrových mometů a mometů rozděleí. 37

6 Defiice: Je-li X, X 2,..., X áhodý výběr, pak defiujeme k-tý výběrový momet jako M k = Xi k, k a k-tý cetrálí výběrový momet jako i M k = X i X) k, k. Pokud má rozděleí, ze kterého provádíme áhodý výběr, parametry θ, θ 2,..., θ m, pak jejich odhad θ, θ 2,..., θ m určíme z rovic kde µ k jsou obecé momety rozděleí. M k = µ k, resp. M k = µ k, k m, Pozámka: Nejčastěji používáme prví dva momety, pro které platí: M = X i = X a M 2 = Xi Příklad: Biomické rozděleí Bi, p) má středí hodotu EX i ) = p a rozptyl DX i ) = p p). Odhad parametru p určíme z rovice p = M = X i p = X 2 i = X. Protože je Ep ) =.p = p 2 a p p) Dp ) = 2 je odhad p estraý a kozistetí. Pro soubor dat z biomického rozděleí Bi3, ), které dostaeme jako počet hodů 6 s předepsaou hodotou bodů v serii 3 hodů. Pro odhad parametru p = =, získáme odhady: = 3,57,77,7,33,23,6 = 6,7,78,5,4,87,75 = 9,73,8,47,47,8,7 4.. Příklad: Normálí rozděleí Nµ; σ 2 ). Pro ormálí rozděleí je EX i ) = µ, DX i ) = σ 2 a EXi 2 ) = σ 2 + µ 2. Odhady parametrů µ a σ 2 dostaeme z rovic µ = M = X, σ 2 + µ 2 = M 2 = Xi 2, tedy µ = X a σ 2 = Xi 2 X) 2. 38

7 Odhady jsou shodé s maximálě věrohodými odhady z odstavce Příklad: Expoeciálí rozděleí Exp, δ) má středí hodotu EX i ) = δ a tudíž odhad parametru δ získáme z rovice M = µ X i = X = δ, tedy odhadem parametru δ je hodota δ = X. I teto odhad je shodý s maximálě věrohodým odhadem ˆδ z odstavce 4.5. Pro soubor 4 dat z expoeciálího rozděleí Exp; δ) dostaeme odhad parametru δ : δ,5 2,5 2,5 ˆδ = δ,9,5 2,2,54 2, Příklad: Expoeciálí rozděleí ExpA, δ) Má středí hodotu EX i ) = A + δ a rozptyl DX i ) = δ 2. Odhady parametrů rozděleí získáme z rovic tedy jejichž řešeím dostaeme δ = X = A + δ, M = µ a M 2 = µ 2, Xi 2 = δ 2 + A + δ) 2, Xi 2 X) 2 a A = X Xi 2 X) 2. Všimeme si, že jsme získali jié odhady ež jsou maximálě věrohodé odhady z odstavce 4.5. Pro soubor 3 dat z expoeciálího rozděleí ExpA; δ) dostaeme odhad parametrů A a δ : A 2-3,5 δ, Â,7 2,7 -,89 3,,56 ˆδ,8,5,8 4,75 2,65 A,6 2,7 -,64 3,74,65 δ,7,52,54 4,2 2, Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h) má středí hodotu EX i ) = µ a roztyl DX i ) = h2. Pro odhady parametrů µ a h dostaeme 3 rovice M = µ a M 2 = µ 2 + h

8 Jejich řešeím dostaeme pro odhady vyjádřeí µ = X a h = 3 Xi 2 X) ), 2 což jsou hodoty odlišé od maximálě věrohodých odhadů z odstavce 4.7. Pro soubor 3 dat z rovoměrého rozděleí dostaeme z uvedeých vzorců odhady parametrů µ a h ve tvaru µ,5,25 2,2,5,95 4,525 h,5,25,2 3,5,85 4,425 ˆµ,59,28 2,22,43,94 4,75 ĥ,465,22,3 3,2,69 4,2 µ,337,66 2,356,36 2,3 4,546 h 4.5 Příklad: Poissoovo rozděleí P oλ) má středí hodotu EX) = λ a tedy pro parametr λ dostaeme rovici Je tedy odhad získaý metodou mometů M = µ X i = X = λ. λ = ˆλ = X shodý s maximálě věrohodým odhadem. Jedá se tudíž o estraý a kozistetí odhad. Pro soubor 4 dat s rozděleí P oλ) dostaeme odhad: λ 2 3 4, 5 λ = ˆλ, 875 2, 8 3, 9, 675 Některá další rozděleí 4.6. Příklad: Rayleighovo rozděleí má áhodá veličia Z = X 2 + Y 2, kde áhodé veličiy X a Y jsou ezávislé a mají ormálí rozděleí N; σ 2 ). Náhodý vektor X, Y ) má rozděleí pravděpodobosti určeé sdružeou hustotou fx, y) = e x 2 +y 2 2πσ 2 2σ 2. Potom pro distribučí fukci G áhodé veličiy Z je pro z : Gz) = P Z z) = P X 2 + Y 2 z) = P X 2 + Y 2 z 2 ) = = x 2 +y 2 z 2 2πσ 2 e x 2 +y 2 2σ 2 dxdy = = [ e ρ2 2σ 2 ] z 2πσ 2 2π z = e z2 2σ 2. ) ρe ρ2 2σ 2 dρ dϕ = 4

9 Pro hustotu g áhodé veličiy Z dostaeme: z 2 z 2 2σ 2 e gz) = G z) = z z2 e 2σ σ2 2, z >. Pro středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy, která má Rayleighovo rozděleí dostaeme: EZ) = 2σ 2 dz = z). z ) dz = z) e z2 2σ 2 dz = EZ 2 ) = Je tedy = = [ z e z2 2σ 2 ] z 3 z 2 2σ 2 e 2σ 2 dz = [ z 2 e z2 2σ 2 ] + + z 2 ). ) z 2 2σ 2 e 2σ 2 e z2 2σ 2 dz = + 2 σ 2π = σ π 2 ; z ) z 2 2σ 2 e 2σ 2 2ze z2 2σ 2 dz = + dz = [ 2σ 2 e z2 2σ 2 ] DZ) = EZ 2 ) EZ)) 2 = 2σ 2 σ 2 π 2 = σ2 4 π 2 Pro kvatily z p Rayleighova rozděleí dostaeme podmíku: Gz p ) = p e z 2 p 2σ 2 = p e z 2 p 2σ 2 z 2 ) = 2σ 2.. = σ 2, = p z p = σ 2 l p). e z2 2σ 2 ) dz = Pro mediá z,5 dostaeme po dosazeí p =, 5 hodotu z,5 = σ 2 l 2. = σ, 774. Pro modus ẑ dostaeme z derivace hustoty rovoci ) g z) = e z2 2σ 2 σ z2 = z 2 = σ 2 ẑ = σ. 2 σ 2 Maximálě věrohodý odhad parametru σ dostaeme z věrohodostí rovice. Pro věrohodostí fukci dostaeme vyjádřeí Lx, x 2,..., x ; σ 2 ) = x x 2... x σ 2 Odtud dostaeme, že e 2σ 2 x 2 i, x i >, i. l Lx, x 2,..., x ; σ 2 ) = l x x 2... x ) l σ 2 2σ 2 x 2 i. Odtud dostaeme derivováím rovici pro maximálě věrohodý odhad d dσ Lx, x 2 2,..., x ; σ 2 ) = σ + 2 2σ 4 x 2 i = σ 2 = 2 x 2 i. 4

10 Je tedy ˆσ 2 = 2 Xi 2 maximálě věrohodým odhadem parametru σ 2 v Rayleighově rozděleí. Pro středí hodotu odhadu dostaeme: E ˆσ 2 ) = 2 E X 2 i ) = σ 2, je tedy odhad estraý. Obdobě jako při výpočtu rozptylu dostaeme, že DZ 2 ) = 4σ 4. Pro rozptyl odhadu dostaeme, že D ˆσ 2 ) = 4 2 D X 2 i ) = σ4. Protože je σ4 pro je teto odhad kozistetí. Metodou mometů dostaeme poěkud odlišý odhad ež je maximálě věrohodý odhad ˆσ. Z rovice π µ = M σ 2 = X dostaeme odhad parametru σ ve tvaru σ = 2 π X, který je odlišý od odhadu ˆσ. Protože je Eσ ) = 2 EX) = 2 π σ = σ, je získaý π π 2 odhad estraým odhadem parametru σ. Dále je Dσ ) = 2 DX π i) = 2 4 π σ π 2 pro, je tedy získaý odhad kozistetí. Jestliže použijeme rovosti mometů druhého řádu, dostaeme pro odhad parametru σ rovici M 2 = µ 2 Xi 2 = 2σ 2 σ 2 = Xi 2. 2 To je ovšem hodota, která je shodá s maximálě věrohodým odhadem. Pro soubor 3 hodot geerovaých pomocí kvatilů Rayleighova rozděleí dostaeme odhady parmetru σ : σ σ ˆσ 2 ˆσ,7,38,67,2,28,639,28 2 2,8 4,297 2,7 2,,9 4,83 2,7 3 2,85 9,7 3, 5 5,42 26,6 5,6 5,2 4,98 24,72 4,97 8 7,46 39,7 7,6 42

11 4.7. Příklad: Geometrické rozděleí má áhodá veličia X, která je dáa jako počet pokusů, které musíme provést, aby astal áhodý jev A, kde P A) = p, < p <. Náhodá veličia X má diskrétí rozděleí a její pravděpodobostí fukce p je dáa vztahem pk) = p p) k, k N. Pro základí číselé charakteristiky je: EX) = k= kp p) k = p = p k= ) ) p) k p = p = p) ) p = p p = 2 p ; EX 2 ) = k 2 p p) k = [kk ) + k]p p) k = kk )p p) k + k= k= k=2 kp p) k = p p) ) ) p) k p) 2 + = p p) = k= k=2 p p) ) = p p) p 2 + p + p = p p) 2 p + 3 p = 2 p 2 p ; DX) = EX 2 ) EX)) 2 = 2 p 2 p p 2 = p 2 p = p ) p. Je-li X, X 2,..., X ) áhodý výběr z geometrického rozděleí, pak pro výběrový úhr X a výběrový průměr X platí: E X) = p, EX) = p, D X) = p ) p, DX) = ) p p. Pro výpočet maximálě věrohodého odhadu použijeme věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; p) = p p) x +x x, x i N, i. Odtud dostaeme, že l Lx, x 2,..., x ; p) = l p + x + x x ) l p) a tudíž d dp l Lx, x 2,..., x ; p) = p x + x x ) p = Je tedy hodota X p = p p = ñ X = X. ˆp = X maximálě věrohodým odhadem parametru p z geometrického rozděleí. 43

12 Metodou mometů dostaeme z rovice µ = M p = X odhad parametru p ve tvaru p = X, který je shodý s maximálě věrohodým odhadem ˆp. Pro soubory dat, které dostaeme jako počet hodů hrací kostkou dokud epade šestka, kde p = =, 6666 dostaeme tyto odhady: 6 = X 6 4,5 4,9 6,9 7,4 4,8 ˆp = p,67,222,24,45,35,28 = 2 X 5,5 5,65 5,2 5,65 7,95 6,5 ˆp = p,94,77,92,77,26,54 = 3 X 5,3 6,7 5,5 5,7 5,4 6,7 ˆp = p,95,62,82,97,85, Příklad: Rozděleí Γ je rozděleí, které je zobecěím expoeciálího rozděleí. Má dva parametry m > a δ >, které ozačujeme symbolem Γm, δ) a má hustotu fx) = xm δ m Γm) e δ, x >. Pro m = je rozděleí Γ, δ) expoeciálí rozděleí Exp; δ). Jsou-li áhodé veličiy X i, i m ezávislé a mají-li expoeciálí rozděleí Exp; δ), pak má výběrový úhr X = m X i rozděleí Γm; δ). Pro číselé charakteristiky takového rozděleí dostaeme: x m x x = tδ EX) = δ m Γm) e δ dx = dx = δdt = x δ t m e t dt = Γm) = δ δmγm) Γm + ) = = mδ; Γm) Γm) EX 2 x m+ x x = tδ ) = δ m Γm) e δ dx = dx = δdt = δ2 t m+ e t dt = Γm) = δ2 Γm) Γm + 2) = δ2 mm + )Γm) Γm) = mm + )δ 2 ; DX) = EX 2 ) EX)) 2 = mm + )δ 2 m 2 δ 2 = mδ 2. Maximálě věrohodé odhady parametrů m a δ dostaeme pomocí věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; m, δ) = x x 2... x ) m e x δ i, δ m Γm)) xi >, i. 44

13 Pro její logaritmus dostaeme vyjádřeí l Lx, x 2,..., x ; m, δ) = m ) l x x 2... x ) m l δ l Γm) δ Pro hodoty maximálě věrohodých odhadů dostaeme soustavu rovic x i. l L δ = m δ + x δ 2 i = l L m = Z prví rovice dostaeme vztah d l Γm) l x i l δ dm ) δ = m x i = X m =. a druhou rovici upravíme pomocí vztahu l δ = l X l m a dostaeme rovici ) d l Γm) dm l m = l x i l X. Tuto rovici musíme řešit umericky a hodoty levé stray rovice jsou pro ěkteré celočíselé hodoty parametru m tabelováy. Tyto hodoty můžeme použít jako výchozí iteraci pro řešeí rovice ). Jestliže ozačíme ˆm maximálě věrohodý odhad parametru m, který je řešeím rovice ), pak z rovice ) dostaeme maximálě věrohodý odhad parametru δ ve tvaru ˆδ = Xˆm. Metodou mometů dostaeme pro odhady parametrů m a δ rovice tedy vztahy µ = M a µ 2 = M 2, ) mδ = X a mm + )δ 2 = Xi 2. Odtud plye, že m 2 δ 2 = X) 2 a po dosazeí do druhé z rovic ) dostaeme vztah mδ 2 = Xi 2 X) 2. Jestliže tuto rovici vydělíme prví rovicí z ), pak dostaeme pro odhad parametru m vzorec X δ i 2 X) 2 =. X 45

14 Dosazeím do prví z rovic ) dostaeme odhad parametru m ve tvaru m = X δ = X) 2. Xi 2 X) Příklad: Weibullovo rozděleí má áhodá veličia X, která má hustotu rozděleí pravděpodobosti dáu vztahem fx) = cxc δ c e x δ ) c, x >, kde c > a δ >. Pro c = je rozděleí expoeciálím rozděleím Exp; δ). Toto rozděleí dostaeme z expoeciálího rozděleí trasformací x ) c x δ. Jedá se o tzv. Boxovu-Coxovu trasformaci, která pro vhodé hodoty parametrů c a δ převadí rozděleí a rozděleí, které má přibližě ormálí rozděleí. Pro číselé charakteristiky tohoto rozděleí dostaeme: EX) = EX 2 ) = cx c+ cx c δ c e x δ ) c dx = x δ ) c = t, dx = δ c t c dt x = δt c = δγ + ) ; c e ) c x δ c δ ) c x dx = δ = t, dx = δ t c dt c x = δt c = δ 2 Γ + 2 ) ; c DX) = δ [Γ ) Γ 2 + )]. c c = δ t c e t dt = = δ2 t 2 c e t dt = Maximálě věrohodé odhady parametrů c a δ dostaeme pomocí věrohodostí fukce Lx, x 2,..., x ; c, δ) = c δ x x c 2... x ) c e δ c Z jejího logaritmu x c i, x i >, i. l Lx, x 2,..., x ; c, δ) = l c c l δ + c ) l x i δ c x c i dostaeme derivováím soustavu věrohodostích rovic ve tvaru ) l L δ = c δ + c δ c+ x c i =, 46

15 ) l L c = c l δ + l x i + δ c Z rovice ) dostaeme pro hodotu δ vztah x c i δ c x c i l x i =. ) δ c = x c i δ = x c i ) c. Z rovice ) dostaeme vztah c = l x i + l δ δ c ) x c i + δ c Po dosazeí ze vztahu ) dostaeme pro parametr c rovici x c i l x i. ) c = x c i l x i x c i l x i. Tuto rovici řešíme umericky a získáme maximálě věrohodý odhad ĉ. Dosazeím do rovice ) dostaeme maximálě věrohodý odhad ˆδ parametru δ. Metodou momemtů dostaeme pro odhady parametrů c a δ z rovic vztahy ) µ = M a µ 2 = M 2 δγ + ) = X a δ 2 Γ + 2 ) = c c Xi 2. Jestliže vydělíme druhou z rovic ) umocěou prví rovicí ) dostaeme pro odhad parametru c rovici Γ + 2 c ) Γ 2 + c ) = Xi 2, X) 2 kterou musíme řešit umericky. Z jejího řešeí c určíme hodotu odhadu parametru δ třeba z prví rovice ) ve tvaru δ = X Γ + c 2 ). 47

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4 Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

Pravděpodobnost a statistika II

Pravděpodobnost a statistika II Pravděpodobost a statistika II RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Mgr. Ja Koláček, Ph.D. Přírodovědecká fakulta Masarykovy uiverzity p 0 (x p (x β α µ 0 µ W 0 Vytvořeo ve spolupráci se Servisím střediskem pro

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více

NMSA331 Matematická statistika 1

NMSA331 Matematická statistika 1 NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY

ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY ROBUST 2000, 25 34 c JČMF 200 ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY MICHAL KULICH Abstrakt. We discuss likelihood ratio, Wald ad Rao test statistics for testig several parameters i

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více