Diskrétní matematika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diskrétní matematika"

Transkript

1 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2 Zobrazeí2 Grafy6 Grafové operace7 Rovié grafy12 Barevost grafů14 Barevost roviých grafů15 Eulerovský graf16 Orietovaý graf16 Další k teorii grafů17 Teorie pravděpodobosti18 1

2 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Biárí relace Mějme možiy X, Y X Y ={ x, y ; x X, y Y } Kartézský souči je uspořádaé Biárí relace a možiách X, Y je libovolá podmožia X Y Skládáí relací R X Y a S Y Z je R S X Z taková, že { x, z ; x X, z Z } a pro všecha x, y R S existuje y Y tak, aby x, y R, y, z S Zobrazeí Zobrazeí z možiy X do možiy Y je biárí relace f X Y taková, že pro každé x X existuje právě jedo y Y, aby x, y f Píšeme f x = y ebo f : X Y Zobrazeí je prosté (ijektiví), pokud pro všecha x 1, x 2 X platí, že pokud f x 1 = f x 2, pak utě i x 1 = x 2 (dvě rozdílá x se ezobrazí do jedoho y) a (surjektiví), pokud pro každé y Y existuje ějaké x X tak, že f x = y (pro každé y existuje ějaké x) vzájemě jedozačá (bijektiví), pokud f je zároveň prosté a a, : Mějme X, Y koečé možiy a f : X Y bijektiví, potom X = Y Naopak, pro koečé X = Y je f : X Y prostá, právě když je a tedy pro každé y Y existuje právě jedo x X tak, že f x = y Tvrz: Počet podmoži koečé -prvkové možiy X je rove 2 (viz Kapitoly z DM str 70-71) Tvrz: Počet podmoži koečé eprázdé -prvkové možiy X, které mají sudou (resp lichou) mohutost, je 2 1 Tvrz: 1 k 1! Počet podmoži koečé -prvkové možiy X mohutosti k je = k k 1 1 k! k! Relace R X X je reflexiví, pokud pro všecha x X platí, že x, x R, symetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud x, y R, pak i y, x R, atisymetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud zároveň x, y R a y, x R, pak utě x= y, trazitiví, pokud pro všecha x, y, z X platí, že je-li x, y R a zároveň y, z R, pak utě x, z R Ekvivalece a možiě X je relace R X X, která je reflexiví, symetrická a trazitiví Částečé uspořádáí a možiě X je relace S X X, která je reflexiví, atisymetrická a trazitiví Mějme ekvivaleci R X X, x X 2

3 Tvrz: Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Třída ekvivalece R příslušející prvku x je R[ x]={y X ; x, y R} Je-li R X X ekvivalece a X, potom (1) pro všecha x X je x R[ x], (2) pro všecha x, y X je buď R[ x]=r[ y] aebo R[ x] R[ y]=, (3) třídy ekvivalece jedozačě určují R Tvrz: Možia k-prvkových podmoži -prvkové možiy X, kde 0 k, {Y ;Y X, Y =k }= X k, Důsl: má počet prvků X k =! k! k! = k = X k Pro N platí k =0 k =2 Tvrz: Mějme k, N Potom platí (1) k = k, (2) 0 = =1, (3) Je-li 0 k, pak k 1 k = 1 k Biomická věta Mějme N, pak x y = Pomocé výpočty: k =0 1 x k k y k (kde k =! k! k! ) k k 1 =! k! k!! k 1! k 1! =! k! k 1! 1 k 1 Důkaz matematickou idukcí (1) idukčí krok: pro =1 1 x y 1 = k =0 (2) idukčí krok: pro 2, předpokládáme, že platí pro, dokážeme pro 1 : 1 x y 1 = 1 k x 1 k y k = = k =0 =x k =0 [ k x k y x y = k] Použijeme idukčí předpoklad: Rozásobíme x a y: k=0 [ k x k y k] y 1 k x1 k y k =1 x 1 y 0 1 x 0 y 1 =x y k =0 [ k k] x k y = k 1 =! k! k 1! 1 k k 1 = 1! k 1! k! = 1 k 1 = k =0 = k =0 Přidáme x a y do sum: [ k k] x k 1 y k=0[ k k 1] x k y = Substituce: l=k 1 (itervaly sum musí být stejé, takže posueme horí mez): 1[ [ k x k 1 y k] l =1 l 1 l 1 x l 1 y l] = Vyjádříme +1 čle zvlášť (opět změa itervalů sum): =x 1 y 1 k =1 [ k x k 1 y k] l=1 [ l 1 x l 1 y l] = 3

4 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Sečteme sumy (vytkeme v ich ekombiačí čísla): =x 1 y 1 Tvrz: Tvrz: Tvrz: Důsl: k =1 [ k 1 k x k 1 Platí pro dolí vetší a meší, což máme: k 1 k p y k] p 1 1 k Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y = Potom počet všech zobrazeí X Y je m Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y }, potom zázorěme: Dosadíme: x 1 y 1 k=1 [ 1 k k] x k 1 y = A koečě, rozšíříme iterval sumy o krají hodoty 1 QED k] = k =0 [ 1 k x k 1 y x 1 mohu zobrazit do Y x 2 mohu zobrazit do Y x m mohu zobrazit do Y Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, kde X ={x 1, x 2,, x m }ay ={y 1, y 2,, y } Potom počet všech prostých zobrazeí X Y je 1 m 1 = i =0 Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y } a postupujme jako při předešlém důkazu: m 1 x 1 ==>> # X Y = m i Avšak zde arazíme a dva případy: m a m m : posledí zobrazeí bude - (m+1) krát = - m -1 ==>> mohu prostě zobrazit do Y x 2 1 mohu prostě zobrazit do Y # prostých X Y = 1 m 1 ; druhý případ je stejý jako prví (0-krát ás ezajímá) Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, f : X Y zobrazeí Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: (1) f je bijekce, (2) f je prosté a X = Y, (3) f je a a X = Y Triviálí, z defiice bijekce Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X = Y = Potom počet vzájemě jedozačých zobrazeí X Y je! (viz důkaz tvrzeí o prostých zobrazeích výše) Permutace možiy X je bijekce X X S ={ ; permutace a {1,, }} Tvrz: Nechť N, A 1,, A jsou koečé možiy a A= i =1 A i Potom existuje i {1,,} takové, že A i A pro spor předpokládejme: i : A i A A = A i=1 i A i=1 i A A spor! 4

5 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Graf je struktura G= V, E, kde V je koečá eprázdá možia vrcholů a E je možia hra, podmožia V 2 Grafy Mějme G= V G, E G, H = V H,E H Zobrazeí f :V G V H je izomorfismus G a H, pokud f je bijekce V G a V H a pro všecha u,v V G ;u v platí ekvivalece {u,v} E G { f u, f v } E H (v G existuje hraa mezi vrcholy u,v, právě když existuje hraa mezi jejich obrazy v H) Píšeme f :G H Platí, že G a H jsou izomorfí, právě když existuje zobrazeí f izomorfí a H Mějme G= V G, E G, H = V H, E H Potom: H je podgrafem G, pokud V H V G a E H E G Pak píšeme H G H je idukovaým podgrafem G, pokud V H V G a E H =E G V H 2 (hray idukovaého podgrafu H jsou právě všechy hray z G, jejichž vrcholy jsou i v H) Tvrz: (1) Počet (jakýchkoliv) grafů a možiě {1,2,, } je právě 2 2 (2) Počet avzájem eizomorfích grafů a možiě {1,2,, } je alespoň 2 2 (1) Máme V ={1,, } a E V 2 Víme, že V 2 = 2 Růzých podmoži V 2 je 2 2 (2) Vezměme G ={G = {1,,},E } ( G budiž možia grafů a vrcholech) Platí, že G je izomorfí s H, pokud platí: (1) reflexivita id :{1,, } {1,, }, Budiž Pak R G! a (2) symetrie f :G H izomorfismus, (3)trazitivita G G a f 1 :H G izomorfismus, f :G H izomorfí g : H J izomorfí g f :G J izomorfí R rozkladová třída z prvku G: R G ={H G ; H G} počet růzých rozkladových tříd je alespoň 2 2 V každé zvolíme jede prvek, zvoleé pak budou avzájem eizomorfí Důležité grafy, které mají speciálí ázev: (více viz Kapitoly z DM str 113) 1) Úplý graf K = {1,2,, }, V 2 2) Prázdý graf E = {1,2,,}, 3) Cesta P = {1,2,,},{{i, i 1};i=1,, 1} 4) Kružice C = {1,2,, }, {{i, i 1};i=1,, 1} {{1, }} Délkou cesty ebo kružice rozumíme počet hra Graf G= V, E je bipartití pokud existují A, B V takové, že A B= a A B=V a a pro všecha e E je e A = e B =1 (hraa vede mezi jedím vrcholem z A a druhým z B)! 5

6 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti : Kružice C je bipartití právě když je sudé Úplý bipartití graf je K m,, kde: A =m, A={a 1,,a m }, B =, B={b 1,,b } a E={{a i,b j };i=1,,m ; j=1,,} Grafové operace Grafové operace (viz Kapitoly z DM str 148) 1) Odebráí hray e E G e = V, E {e} 2) Přidáí hray e' v 2 E G e' = V, E {e '} 3) Odebráí vrcholu v V G v =G [V {v }] (idukovaý podgraf bez vrcholu v) 4) Přidáí vrcholu v ' V G v ' = V {v' },E 5) Děleí hray e={x, y} E G % e = V {w}, E {e} {{x,w},{w, y}} (přidáme dvě ové hray) 6) Kotraktce hray e={u, v} E G e= V {u,v} {w}, E ' hray z E, které eobsahují u,v E '= {e E ;u, v e} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s u {{x, w};{x, u} E} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s v {{y, w};{y, v } E } ( Odebereme jedu hrau a její dva vrcholy Všecho, co vedlo do těchto vrcholů svedeme do jedoho ového ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) : Máme-li graf G= V, E, hrau e E ;e' V 2 E a v V,v' V, pak vrchol (1) G e e G (2) G e' e' G (3) G v v G, pouze pokud vrchol v eí obsaže v žádé hraě z E (4) G v' v' G Mějme G= V, E a u, v V Pak defiujeme ásledující pojmy: Cesta z u do v (esmí se opakovat hraa ai vrchol) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e k, v k =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,, k (každá hraa e i spojuje vrcholy v i 1 a v i ) a pro všechy vrcholy v i, v j při i, j {0,,k},i j platí v i v j (každý vrchol se v cestě vyskyte aejvýše jedou (tím pádem i každá hraa)) Tah z u do v (esmí se opakovat hraa) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e e, v e =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,e a pro všechy hray e i, e j při i, j {1,,e},i j platí e i e j Tak je uzavřeý, pokud v 0 =v e (každá hraa se v tahu vyskyte aejvýš jedou, pro vrcholy to již eplatí) Sled z u do v (cokoliv se může opakovat) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e m, v m =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,m 6

7 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Mějme G= V, E a u, v V Jestliže existuje sled z u do v, potom existuje i cesta z u do v Existuje sled z u do v Vezměme u=v 0, e 1, v 1,, e m, v m =v ejkratší sled z u do v Pak teto sled je cesta Důkaz sporem: Podmíky sledu splěy Pokud teto sled eí cesta, pak existuje i, j {0,,m} takové, že i j a zároveň v i =v j V tom případě u=v 0,e 1, v 1,,e i,v i,e j 1, v j 1,,e m, v m =v, kde e j 1 ={v j,v j 1 }={v i, v j 1 }, je sled délky m j i m, což je kratší ež ejkratší, SPOR Mějme G= V, E a u, v V Pak je vzdáleost d u,v délka ejkratší cesty z u do v, pokud taková cesta existuje, jiak d u, v = Tvrz: Takto zavedeá vzdáleost v grafu je metrika: ( Fukce, která dosadí k vrcholu ejkratší vzdáleost ) 1) u, v V : d u, v 0 u, v =0 u=v pokud je vzdáleost = 0, jedá se o stejý bod 2) u, v V : d u, v =d v, u vzdáleost musí být symetrická 3) u, v, w V : d u,v d u, w d w, v trojúhelíková erovost (1) 0, (2) ok, (3) Mějme u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w ejkratší cestu z u do w, kde d u,w =k, a w=v' 0,e' 1, v' 1,,e' k ', v ' k ' =v ejkratší cestu z w do v, kde d w, v =k ' Pak u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w=v' 0, e' 0, v' 1,, e' k ', v ' k ' =v je sled z u do v délky k k ' d u,v Graf G= V, E je souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje cesta z u do v, tedy d u,v Jiak říkáme, že je esouvislý Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 (alespoň tři vrcholy) Pokud existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé, potom G je souvislý Mějme x, y V (1) Pokud {x, y} {u,v}, BÚNO předpokládejme, že x, y {u, v} Pak x, y V G u Je-li G u souvislý, pak existuje cesta z x do y v G u a tudíž existuje cesta z x do y v G (2) Pokud x=u, y=v, víme, že G má alespoň tři vrcholy Proto existuje w V, w u, w v takové, že u, w jsou spojey cestou v G v a tedy existuje cesta z u do w v G, a w, v jsou spojey cestou v G u a tedy existuje cesta z w do v v G Z toho plye, že existuje sled z u do v v G, tedy existuje cesta t u do v v G Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 Pokud G je souvislý, potom existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé Vezměme u, v taková, že d u,v je maximálí Pro spor, echť G u eí souvislý Pak existují x, y V {u } taková, že eexistuje cesta z x do y v G u Ale protože je G souvislý, víme, že existuje cesta z x do y v G a avíc a každé cestě z x do y v G leží vrchol u 7

8 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Platí tedy d x,u d u, y =d x, y Budiž P x ejkratší cesta z x do v v G, Pak P y ejkratší cesta z y do v v G d u, v d x,v a d u,v d y, v v G Z toho plye, že u V P x, jiak by d u,v d x,v, a podobě u V P y P x, P y jsou tedy cesty i v G u Spojeím P x a P y získáme sled z x do y v G u, tedy existuje cesta z x do y v G u, SPOR Doplěk grafu G= V, E je graf G= V, E, kde E= V 2 E Česky: Doplěk grafu obsahuje všechy vrcholy z grafu a právě ty hray, které mezi vrcholy v grafu ejsou Stupeň vrcholu v V v grafu G= V, E je deg v = {e ;v e E} (počet hra v grafu, které obsahují daý vrchol) : deg v =2 E v V Graf G= V, E je Stromy strom, les, pokud emá kružici a je souvislý Obvykle začíme jako graf T pokud emá kružici List je v V takový, že deg v =1 (obsahuje ho pouze jeda hraa) Lemma:Každý koečý strom s alespoň dvěma vrcholy má alespoň dva listy Lemma:Nechť Nechť V =, pro všecha u, v V je vzdáleost d u, v 1 Vezměme relaci takovou, že d u,v je maximálí, a tedy u v u ' Budiž soused u a pevě zvoleé ejkratší cestě z u do v Pro spor, ať deg u 1 a tedy ať existuje u ' ' u', {u ', u ' ' } E takové, že d u ' ', v d u, v (viz obrázek) Pak u eleží a ejkratší cestě z u' do v Z toho plye, že G obsahuje kružici, a tedy eí strom, SPOR G= V, E je strom, v V je list Potom G v je také strom Lemma:Nechť (1) Dvě možosti: (a) G v emá kružici ok (b) G v má kružici, pak i G má kružici, SPOR (2) Dvě možosti: (a) G v je souvislý ok (b) G v eí souvislý, pak existují u, w V {v} takové, že eexistuje cesta z u do w v G v Pokud v G existuje cesta z u do w, pak v musí utě ležet a této cestě Pak by muselo být deg v 2, což je SPOR, protože by v ebyl list G= V, E je graf, v V je list Potom platí, že pokud G v je strom, tak i G je strom 8

9 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) G je souvislý (důkaz obrázkem) (2) G eobsahuje kružici Pro spor, ať G obsahuje kružici C G v, ji emá, protože je strom, takže musí být v V C a tedy deg v ٢, SPOR Důsl: Mějme G= V, E graf, v V list, tedy deg v =١ Pak platí, že G je strom, právě když G v je strom Tvrz: Ekvivaletí charakteristika stromů (viz Kapitoly z DM str 162) Nechť G= V, E je graf, V ٢ Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: 1) Defiice stromu G je strom (souvislý, bez kružice) 2) Jedozačost cesty Pro všecha u,v V právě jeda cesta z u do v 3) Miim souvislost G G je miimálí souvislý (tj pokud odebereme libovolé e E, bude G e esouvislý) 4) Maxim G bez kružice Pro všecha e' E bude G e' (přidáím libovolé hray) obsahovat kružici 5) Eulerův vzorec G je souvislý a V = E ١ (má o jede vrchol víc, ež hra) 6) Bez ázvu (?) G je bez kružice a V = E ١ Důkazy: (1) (2) Pokud G je souvislý, tak existuje právě jeda cesta z u do v Pro spor, echť existují dvě cesty P ١, P ٢ z u do v, x je posledí společý vrchol cesty P ١, P ٢ a y je rví vrchol za x po P ١,který také leží a P ٢ Pak úseky P ١ a P ٢ mezi x a y tvoří kružici, což je SPOR (2) (3) Víme, že G je souvislý Pro spor, echť existuje e E,e={a,b} taková, že G e je stále souvislý Pak existuje cesta P z a do b v G e, a tedy e E P Víme, že a, e,b je cesta z a do b v G Z toho plye, že existují alespoň dvě cesty z a do b, což je SPOR (3) (1) Víme, že G je souvislý G je bez kružice Pro spor, ať G má kružici a e budiž libovolá hraa této kružice Pak G e je souvislý, což je SPOR s miimálí souvislostí ١ ٢ ٣ máme yí dokázáo (4) (1) Víme, že G je bez kružice G je souvislý Pro spor ať existují u,v V taková, že z u do v eí cesta Ozačíme {u, v}=e E Pak G e emůže mít kružici (1) (4) Víme, že G je bez kružice Pro spor ať existuje e' E takové, že G e' emá kružici V G ale existuje cesta z u do v Ta spolu s e' tvoří kružici, SPOR (1) (5) a (6) Stačí dokázat V = E ١ Dokážeme matematickou idukcí dle = V (1) pro =١ je V =١, E =٠ ١=٠ ١ ok (2) pro ٢ platí, že existuje list v V :deg v =١, takže G v je strom Idukčí předpoklad: V G v = E G v ١ Z toho plye, že E G v = ٢ a tedy ١= ٢ ١ Potom platí, že E G = ٢ deg v = ١ Dokázáo (5) (1) Pro spor, ať G je souvislý, ale obsahuje kružici Pak existuje e E taková, že G e je souvislý Opakujeme vyecháváí hra, dokud je graf souvislý 9

10 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Důsl: Zbyde E ' E, přičemž E ' E a G= V, E ' souvislý graf bez kružice Protože takovýto graf je strom, platí V = E ' ١, z předpokladu ale víme, že V = E ١ Z toho plye, že E ' = E, což je spor (6) (1) Pro spor, ať G eí souvislý Pak existuje e' ' E takové, že G e' ' emá kružici (a samozřejmě E ' ' E ) Opakujeme přidáváí hra, dokud graf emá kružici Pak máme E ' ' E a G= V,E ' ' emá kružici a je souvislý Z toho plye, že V = E ' ' ١, z předpokladu ale V = E ١, takže E ' ' = E, což je SPOR Dokázáa vzájemá ekvivalece tvrzeí (1) až (6) Platí ekvivalece, že G je les s kompoetami souvislosti právě když eobsahuje kružici Kostra souvislého grafu G= V, E je podgraf T V, E ', který je stromem G se rová počtu koster grafu G Cayleyho formule Pro ٢ je K = ٢ Přeformulováí: K můžeme chápat jako počet růzých stromů v možiě {١,, } Použijeme POVÝKOS (viz íže) a dostaeme strom T = V,E - Jede vrchol ozačíme jako koče, a začátku emáme žádou hrau - Postupě očíslujeme hray - Výsledkem je zobrazeí c: E {١,, ١} - Ptáme se, kolik existuje takových objektů? - Hray stromu si ozačíme šipkou, aby směřovaly ke kořeu - V k-tém kroku je přidáí k-1 šipek, počet kompoet grafu je k ١ (v každém kroku spojíme dvě kompoety) - Chceme přidat k-tou šipku mezi vrcholy růzých kompoet : Z každého vrcholu mimo kořee vede jeda šipka směrem ve (během výstavby je to ١ šipka) Každá přidaá hraa musí začíat ve vrcholu, odkud zatím ic evede Tedy: 1 krok 1 šipka ١ možostí (evolíme koře, te vyjde sám) k krok k šipka k možostí ( k ١ kompoet souvislosti v každé je vrchol, ze kterého evede šipka) (k šipka kočí kdekoliv, začíá v jié kompoetě ve vrcholu bez šipky ve (v každé kompoetě je je jede takový)) ١ ١ Celkových možostí povýkos je k = ١ k = ١ ١! k= ١ Druhé počítáí: - Vezměme strom {١,, } - Zvolíme koře r V - Očíslujeme hray c: E {١,,} bijekcí jako v POVÝKOSu Pak máme K ١! Důsledek: ١ ١!= K ١!, z čehož plye: K = ٢ Dokázáo Postup: Postup výstavby kořeového stromu, POVÝKOS Máme vrcholů (1) Zvolíme koře (máme možostí) (2) Přidáme hrau e ١ c e ١ =١, aby vzikl strom pokračujeme do e ١ c e ١ = ١ Potom a koci máme strom a zobrazeí c: E {١, ١} Úloha: Mějme = V ٣, e hrau K Kolik koster má úplý graf po vyecháí e, K e? Řešeí: Víme, že K = ٢ k =١ 10

11 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Náčrty defiic: Vezměme T, kostru grafu K : Možosti: e E T, pak je T kostra K e e E T, Odvodíme K K e ostatí případy (b) Pro (b) spočteme počet dvojic T, e, kde T je kostra K a e E T Vezmeme libovolou kostru ٢, Pak platí, že: její hrau ١ (takže máme ١ ٢ způsobů výběru kostry a její hray), jiou hrau ٢ = ١ ٢ kostru, která tuto hrau obsahuje, tedy K, e (takže máme ١ ٢ = ١ K ٢,e, K,e =٢ ٣, K e = K K, e, a máme výsledek: K e = ٢ ٢ ٣ = ٢ ٣ a ١ K ٢, e způsobů výběru) Rovié grafy Oblouk je obor hodot prosté spojité fukce ٠,١ kocové body oblouku R ٢ Topologická kružice je obor hodot spojité fukce ٠,١ R ٢ a t = s {s,t }={٠,١} s=t Rovié akresleí grafu G= V, E, kde V ={v ١, v ٢,,v }, E ={e ١, e ٢,, e }, je f : V R ٢ prosté zobrazeí a F : E { ١,, } tak, že e i ={x i, y i } { i ٠, i ١ }={ f x i, f y i } : Každý roviý graf se dá akreslit úsečkami Graf je roviý, pokud existuje ějaké jeho rovié akresleí Stěa roviého akresleí grafu je kompoeta souvislosti grafu R ٢ X, kde X jsou všechy body akresleí grafu Jordaova, o kružici Topologická kružice dělí roviu a dvě části (vitří a vější) Nechť G= V, E je graf a v V je vrchol Potom je v izolovaý, jestliže deg v =٠ Tvrz: Eulerův vzorec Nechť G= V, E je souvislý graf, s je počet stě ějakého roviého akresleí G Potom V E s=٢ Vyjádřeme s=٢ V E =٢ E V Postupujeme matematickou idukcí dle E V ١ : (1) E V = ١, tedy G je strom Pak má každé rovié akresleí G právě jedu stěu s=١ ١=٢ ١=١ ok (2) E V ٠, tedy E V, tedy G eí strom, protože obsahuje kružici Existuje e E taková, že G e je souvislý Pak E G e V G e = E G V G ١ Idukčí předpoklad pro G e : s G e =٢ E G e V G e =١ E V Potom s G =s G e ١=١ E V ١=٢ E V Důsl: Každé rovié akresleí daého (souvislého) grafu má stejý počet stě 11

12 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Nechť G= V, E je roviý graf, V 3 Potom (1) E 3 V 6 (počet hra je meší / rove trojásobku počtu vrcholů - 6) (2) K 3 G E 2 V 4 (pokud graf eobsahuje trojúhelík, je počet jeho hra meší / rove dvojásobku počtu vrcholů 2) f f BÚNO lze předpokládat, že graf je souvislý (přidáí hray eporuší roviost grafu) Víme, že V E s=2 (1) Nechť f je stěa roviého akresleí G deg f := počet hra a hraici stěy f (s ásobstí, každá hraa započtea dvakrát v jedé stěě ebo ve dvou růzých stěách) Pak platí deg =2 E a stěa zároveň deg f 3 s f stěa Z toho plye 2 E 3 s Použijeme V E s=2 a 2 dostaeme E s=2 E V 2 E 6 3 E 3 V 3 V 6 E 3 (2) Dokazujeme K 3 deg f 4 Platí deg f 4 s a f stěa tedy 2 E 4 s 1 E s=2 E V E 4 2 E 2 V 2 V 4 E 2 Úloha: Hledáí rovié triagulace Mějme 3 Existuje roviý graf s vrcholy a 3 6 hraami, kde pro všechy stěy platí deg f =3 (tedy všechy stěy včerě vější jsou trojúhelíky)? Řešeí: G budiž roviá triagulace s 3 Vytvoříme idukcí: Nechť G' je roviá triagulace s -1 vrcholy, vytvoříme z í roviou triagulaci G s vrcholy dle obrázku: G je roviý E 3 V 6, a pokud avíc eobsahuje trojúhelík E 2 V 4 Důsl: Nechť G= V, E je roviý graf, potom mají všechy vrcholy v V stupeň deg v 5 Pokud avíc K 3 G, pak existuje vrchol v V Důsl: Pro spor, ať mají všechy v V alespoň deg v 5 Víme, že pro V 3 platí E 3 V 6 Potom 2 E = deg v 6 V v V 3 V 6 E 3 V, což je SPOR Pro grafy K 3 G : 2 E 4 V 8 a postupujeme aalogicky Poz, takto elze postihout všechy možé triagulace! (apříklad dvacetistě) K 5 ai K 3,3 ejsou rovié grafy a ai jejich děleí ejsou rovié grafy Pokud se podíváme a zázorěí K 4, zjistíme, že ho ai jiak elze akreslit (vždy se jedá pouze o jié délky hra) Pokud chceme vytvořit K 5, tak musíme vycházet z K 4 a to bychom museli protout jedu z jeho stě, což v roviě ejde SPOR Zkusme akreslit K 3,3 do roviy a zjistíme toto: Zkusme K 3,3 překreslit jiak a to hed dvěmi způsoby: Je vidět, že jeda hraa opět <=> <=> vždy musí protíat stěu grafu Kuratovski 12

13 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti G je roviý, právě když eobsahuje děleí K 5 ai děleí K 3,3 Poz, pro dokázáí roviosti grafu je ejvhodější důkaz obrázkem (oproti vyvráceí roviosti věty) Barevost grafů Dobré k-obarveí grafu G= V, E je zobrazeí c: V {1,, k} takové, že pro všecha {u,v} E platí c u c v : K emá k obarveí pro k Barevost grafu G je G =mi{k N ; k-obarveíg} Česky: ejmeší k takové, že existuje k-obarveí grafu je [chí] : Pro G= V, E platí, že G V, právě když G je úplý graf : G =1, právě když G emá žádé hray Tvrz: Pro G= V, E platí, že G 2, právě když G je bipartití G =2 zameá, že existuje 2-obarveí c grafu G Rozdělíme vrcholy do V i ={v V ; c v =i};i=1,2 Potom pro všecha e E platí, že e V i =1 G je bipartití Graf G= V, E je d-degeerovaý d N, pokud H G v V H : deg v d, tedy pokud v každém podgrafu H G existuje vrchol v V H, jehož stupeň eí větší ež d : Stačí posloupost v 1,, v taková, že deg v i d v grafu G {v 1,, v } Tvrz: Pokud je G= V, E d-degeerovaý, pak G d 1 Existuje v V takové, že deg v d Matematickou idukcí dle V : (1) V =1 : G =1, (2) V 2 : Idukčí předpoklad: G v je d-degeerovaý, tedy G v d 1 Z toho plye, že existuje c: d 1 -obarveí G v Máme-li vrcholy v 1,, v k ; k d, které sousedí v G Pak c v 1 d růzých hra a c v k v {1,, d 1} zbývá ještě alespoň jede prvek i takový, že c v =i Barevost roviých grafů Mějme G= V, E roviý graf, potom G 6 G je roviý G je 5-degeerovaý, Potom G 5 1=6 podgraf H G je také roviý a existuje v V h takové,že deg H v 5 Mějme G= V, E roviý graf, potom G 5 Matematickou idukcí dle V = 13

14 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) Pro 5 tvrzeí platí triviálě (2) Idukčí předpoklad: Každý roviý graf s ejvýše -1 vrcholy lze obarvit pěti barvami Víme, že existuje v V takové, že deg v 5 G v má -1 vrcholů, dle idukčího předpokladu existuje (dobré) obarveí c:v {v} {1,,5} Hledejme c v v G: jaké barvy byly použity pro sousedy v? Buď existuje i {1,, 5}, která eí použitá pro souseda v, potom c v =i, rozšíříme obarveí G v a G, ebo deg v =5 a sousedy lze očíslovat a v 1,, v 5 tak, že c v i =i Poz, Mějme G= V, E roviý graf, potom G 4 Důkaz je etriviálí Skóre grafu je posloupost stupňů jeho vrcholů (uspořádaá vzestupě; možé opakováí) Duálí graf je graf vepsaý do roviého grafu (apř u barevosti map) Hašel-Hakim (viz Kapitoly z DM str 131) Platí ekvivalece, že posloupost d 1,,d celých ezáporých čísel (uspořádaá vzestupě) je skóre ějakého grafu právě když posloupost d ' 1,, d ' (po přeuspořádáí) je skóre ějakého grafu, přičemž d ' i =d i pro i d a d ' i =d i 1 pro d i (škrteme čle a odečteme jedičku u tolika předchozích čleů poslouposti, kolik byla jeho hodota) Nechť existuje graf G' se skóre d ' 1,, d ' 1 Ozačme vrcholy v ' 1,,v ' 1 tak, že deg G ' v' i =d ' i ; i=1,, 1 Pak přidáme jede vrchol dle obrázku a máme G takové, že deg G v i =d i ;i=1,, Ozačme g={g; skóreg jed 1,, d }; g Vezměme Pokud G 0 g takové, že N V {v d,v 1 } = p je miimálí p=d, je důkaz sadý Předpokládejme, že p d Potom existuje a { d,, 1} Eulerovský graf Tah T pokrývá G, pokud E T =E G Graf G= V, E se azývá eulerovský, jestliže v G existuje uzavřeý tah, který pokrývá G (jde akreslit jedou čarou a G eobsahuje izolovaé vrcholy) Mějme graf G= V, E bez izolovaých vrcholů Pak platí, že G je eulerovský, právě když G je souvislý a pro všecha v V je deg v sudý sadé Víme, že deg v 2 je sudý Začeme a libovolém vrcholu a hledáme tah v 0, e 1, v 1, Zastavíme se, když se poprvé avrátíme do již avštíveého vrcholu Máme pak v i =v j :v i,e i 1,v i 1,,e j 1,v j Položíme vybereme Pokud T ={T uzavřeý tah vg} a T 0 T takové, že E T0 je maximálí E T0 = E G, pak T 0 pokrývá G a tím pádem je G eulerovský E T0 E G, pak existuje e 0 E G,e 0 E T 0 takové, že e 0 V T 0 1 a 14

15 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti u 0 e 0, u 0 V T0 Najdeme libovolý uzavřeý tah T 1 G T 0, který obsahuje u 0 Takový existuje, eboť všechy vrcholy v G T 0 mají sudý stupeň Pokud E T0 E T 1 =, pak T 0 T 1 tvoří uzavřeý tah v G který má hra více ež E T 0, což je SPOR Jiak existují u 0 e 0, v 0 V T 0 a G je souvislý, tedy existuje cesta z u 0 do v 0 a e' 0 je prvkem této cesty tak, že e' 0 V T 0 Pak e ' 0 V T 0 =1 a e' 0 E T 0 (toto lze podložit) Tedy eexistuje e 0 E,e 0 E T0 a potom E T0 E G, což je SPOR, a T 0 pokrývá G Orietovaý graf Orietovaý graf je G= V, E, kde E V V Souvislost orietovaých grafů 1) G je bez orietace je graf G= V, E, E={{u,v}; u,v E v,u E } 2) G je slabě souvislý, pokud je G souvislý (v jedosměrkách pro souvislost připoštíme obousměré použití) 3) G je silě souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje orietovaá cesta z u do v Orietovaou cestou rozumíme posloupost v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e k v k, kde e i = v i 1, v i a v i v j proi j Orietovaý graf G= V, E je eulerovský, pokud existuje uzavřeý orietovaý tah, který pokrývá G : Pokud G je silě souvislý, pak G je i slabě souvislý (obráceě samozřejmě eplatí) Orietovaý graf G= V, E je vyvážeý, pokud pro všecha v V je deg + v =deg - v, přičemž deg + v = { e E ; x V : e= x, v } (počet hra, které jdou do v) a deg - v = { e E ; y V : e= v, y } (počet hra, které jdou z v) Nechť je G= V, E orietovaý graf bez izolovaých vrcholů slabě souvislý vyvážeý Pak je G eulerovský Stejě jako pro eorietovaé grafy Je-li G vyvážeý, pak v ěm existuje uzavřeý tah Zvolíme T 0 maximálí uzavřeý orietovaý tah Pokud existuje e 0 E T 0, e 0 E G, lze T 0 prodloužit stejě jako při eorietovaé variatě, což je SPOR Tedy E T0 = E G a G je eulerovský Další k teorii grafů Nechť G= V, E je graf takový, že V =2 a E 2 1 Pak G obsahuje kružici, K 3 G Matematickou idukcí dle (1) =2 : V =4, E 5 a platí, že G K 4 ebo G K 4 e ; K 3 G (2) 3 : Idukčí předpoklad je, že pro G ' = V ', E ' platí V ' =2 1 ; E ' = K 3 G ' Mějme G' = G u v Pokud E G' 1 2 1, pak K 3 G ' G Důsl: Miimálí počet hra grafu bez kružice s 2 vrcholy Částečé uspořádáí je 15

16 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (a) biárí relace X,, která je reflexiví: x X : x x, trazitiví: x, y, z X : x y y z x z a atisymetrická: x, y X : x y y x x= y (b) lieárí uspořádáí: x, y X : x y y x Pojem: Hasselho diagram X, orietovaý graf Při kresleí vyecháme smyšky a hray plyoucí z trazitivity Příklad, 2 {x, y, z }, : Tvrz: Mějme N, Pak posloupost a 1,,a růzých čísel z R existují i 1 i taková, že a i1 a i aebo a i1 a i Mějme i {1,, 1 2 1}, r i délku maximálí rostoucí poslouposti začíající a i, k i délku maximálí klesající poslouposti začíající a i Pro i j BÚNO předpokládejme i j a a i a j :r i r j a i a j :k i k j r i, k i r j, k j Pro spor předpokládjeme, že eexistuje rostoucí posloupost délky, takže 1 r i,k i 1 r i může abývat k i může abývat r i, k i může abývat Máme ale 1 růzých hodot a 1 růzých hodot, dohromady tedy 1 2 růzých hodot růzých čleů Tedy existují i j taková, že r i,k i = r j, k k, což je SPOR 16

17 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti Pravděpodobostí prostor je,i, P, kde je možia elemetárích jevů (všech možých výsledků), A jev, I 2 možia áhodých jevů, P : I 0,1 pravděpodobostí míra a při platosti ásledujících podmíek: I A I A= A I A 1, A 2, I Ai I i =1 P [ ]=0 ; P [ ]=1 i, j A i, A j I :i j A i A j = P [ i =1 Ai ]= i=1 P [ A i ] Diskrétí pravděpodobostí prostor je pravděpodobostí prostor, kde je koečá, I=2 a P určíme pro { }, ásledově: A={ 1,, }, kde { 1 } { } jsou disjuktí, P [ A]= P [{ i }] i =1 Poz: Píšeme také P [{ }] P [ ] Příklad: Uiformí pravděpodobostí prostor je takový, kde je koečá a P [ A]= A Nekoečá posloupost hodů micí ={R, L } rub líc Zajímá ás, zda je pravděpodobější, že dříve pade posloupost LLR ebo LRR Dle obrázku (klíčový je krok L z LL a LR) P [LLR]= P [LRR]= Takže P [LLR] P [LRR] Mějme A, B I Pak podmíěá pravděpodobost je P [ A B]= P [ A B] P [B ] pro P [ B] 0 : Platí, že pokud B 1,,B jsou disjuktí jevy i B i =, =1 potom P [ A]= P [ A B 1 ] P [B 1 ] P [ A B ] P [ B ] Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P [ A B ]=P [ A] P [B ] : Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak P [ A B]= P [ A B] = P [B ] P [ A] P [ B] =P [ A] P [ B] 17

18 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Příklad: Jevy A 1,, A jsou ezávislé, pokud pro všecha I {1,, }, I platí P [ i I Máme ={L, R} 10 (posloupost deseti hodů micí) A 1 ={prvích 5 hodů L}, A 2 ={v 6 hodu R}, A 3 ={v 6 až 10 hodu padl sudý počet L} Jevy A 1, A 2, A 3 jsou avzájem ezávislé A i ]= i I P [ A i ] Příklad: Náhodá permutace {1,,10} A 1 ={, 1 =1} P [A 1 ]= 9! 10! =0,1, A 2 ={, 2 =2} P [A 2 ]=0,1 Ale P [A 1 ] P [ A 2 ]= = 8! 10! =P [ A 1 A 2 ], takže A 1, A 2 ejsou ezávislé Příklad: Mějme A i ={padloi}; i=1,, 6 P [sudé ]=P [ s 1] P [1] P [s 6] P [6]= = 3 6 = 1 2 Příklad: HIV test, H je HIV, T je test Víme P [H ]=0,001, P [T H ]=0,95, P [ T H ]=0,95 P [H T ]= P [ H T ] P [H ] P [T H ] P [T H ]= P [T H ]=P [T H ] P [H ]=0,95 0,001=0,00095 P [H ] P [T ]=P [T H ] P [ H] P [T H ] P [ H ]=0,95 0,001 0,05 0,999=0,0509 Takže pravděpodobost, že při pozitivím testu je člověk akažeý HIV, je cca 2% Souči pravděpodobostích prostorů defiujeme jako 1, 2 1, P 1 2, 2 2, P2 =, 2, P, kde = 1 2 a P [{ 1, 2 }]=P 1 [{ 1 }] P 2 [{ 2 }] Příklad: Turaj jako orietace K Pro každé dostatečě velké existuje turaj (velikosti ) takový, že pro všecha x 1, x 2, x 3 existuje y x 1, y x 2, y x 3, který je všechy porazil Náhodá orietace K x 1, x 2, x 3 je trojice, P [ y x 1, x 2, x 3 ]= = 1 8 a tedy P [ y x 1, x 2, x 3 ]= 7 8 Pak P [ y : y x 1, x 2, x 3 ]= 7 3= 8 P [x 1, x 2, x 3 špatá] Trojici lze vybrat 3 způsoby P [existuje špaté x 1, x 2, x 3 ] P [1 ze 2 špaté]=1 P [2 ok]= Náhodá reálá veličia a pravděpodobostím prostoru,i, P je fukce f : R taková, že f 1 a,b I pro všecha a b R V případe,2, P pak může být f libovolá 18

19 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Středí hodota je E [ f ]= P [{ }] f pro spočetá Liearita středí hodoty Mějme pravděpodobostí prostor,2, P, f, g áhodé veličiy, R Potom platí: (1) E [ ]= (2) E [ f ]= E [ f ] (3) E [ f g ]=E [ f ] E [g ] (1) E [ ]= P [{ }] = P [{ }] (2) E [ f ]= P [{ }] f = E [ f ] (3) aalogicky Pozor, obecě eplatí E [ f g]= E [ f ] E [ g ] Idikátor jevu A je A = 1 : A 0 : A Platí, že E [ A ]=P [ A] a E [ A ]= A P [{ }]= A P [{ }] Příklad: Mějme N, {0,1}, 2, uiformí, (a) áhodou veličiu f =počet1 v poslouposti 1 E [ f ]= 2 f 1 = k= 0 2 k k = 2 1! k=1 (b) Pak E [ Ai ]= 1 2 E [ i= 1 A i ={a pozici i je1} i=1 E Ai = f Ai ]= [ Ai ]= 2 i=1 1 1! k! k!= 2 k =0 k! 1 k! =2 1 = 2 Mějme pravděpodobostí prostor,2, P a áhodou veličiu f Distribučí fukce je F :R 0,1 taková, že F z =P [{ ; f z}]=p [ f z] Náhodé veličiy f, g jsou a,2, P ezávislé, pokud pro všecha a,b R jevy f a a g b jsou ezávislé Potom platí také E [ f g]=e [ f ] E [ g] Rozptyl je Var [ f ]=E [ f E [ f ] 2 ]=??? Příklad: Cea domu 10 7 Pravděpodobost vyhořeí v roce 10 4 Středí hodota ztráty z vyhořeí =10 3 Tedy, vyplatí se pojistit dům, pokud je pojisté ižší ež 10 3 (ze statistického hlediska) Var[ztráta z vyhořeí ]= Markovova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, 19

20 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti f ezáporá veličia, t R ;t 1 Pak P [ f t E [ f ]] 1 t E [ f ]= f P [{ }]= Položíme a R, a 0 : A={ ; f a} = A 0 a P [ A]=a P [ f a] f P [{ }] f P [{ }] Platí f P [{ }] a P [{ }]=a P [ A] A A A Volme a=t E [ f ], pak E [ f ] t E [ f ] P [ f t E [ f ]] 1 P [ f t E [ f ]] t Čebyševova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, f áhodá veličia, a R ;t Var [ f ] 0 Potom P [ f E [ f ] a ] Var [ f ] a 2 Položme g= f E [ f ] 2, pak E [g ]=Var[ f ] Markov pro t 1 : P [g t E [ g ]] 1 t Levo: Pravo: ebo t= a2 Var[ f ] P [ f E [ f ] 2 t Var[ f ]]= =P [ f E [ f ] 2 a2 Var [ f ]]= Var [ f ] =P [ f E [ f ] 2 a 2 ]= =P [ f E [ f ] a] 1 t = 1 = Var [ f ] a 2 a 2 Var [ f ] 20

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních.

Protokol č. 7. Jednotné objemové křivky. Je zadána výměra porostu, výška dřevin a počty stromů v jednotlivých tloušťkových stupních. Protokol č. 7 Jednotné objemové křivky Zadání: Pro zadané dřeviny stanovte zásobu pomocí JOK tabulek. Součástí protokolu bude tabulka obsahující střední Weisseho tloušťku, Weisseho procento, číslo JOK,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více