Diskrétní matematika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diskrétní matematika"

Transkript

1 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2 Zobrazeí2 Grafy6 Grafové operace7 Rovié grafy12 Barevost grafů14 Barevost roviých grafů15 Eulerovský graf16 Orietovaý graf16 Další k teorii grafů17 Teorie pravděpodobosti18 1

2 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Biárí relace Mějme možiy X, Y X Y ={ x, y ; x X, y Y } Kartézský souči je uspořádaé Biárí relace a možiách X, Y je libovolá podmožia X Y Skládáí relací R X Y a S Y Z je R S X Z taková, že { x, z ; x X, z Z } a pro všecha x, y R S existuje y Y tak, aby x, y R, y, z S Zobrazeí Zobrazeí z možiy X do možiy Y je biárí relace f X Y taková, že pro každé x X existuje právě jedo y Y, aby x, y f Píšeme f x = y ebo f : X Y Zobrazeí je prosté (ijektiví), pokud pro všecha x 1, x 2 X platí, že pokud f x 1 = f x 2, pak utě i x 1 = x 2 (dvě rozdílá x se ezobrazí do jedoho y) a (surjektiví), pokud pro každé y Y existuje ějaké x X tak, že f x = y (pro každé y existuje ějaké x) vzájemě jedozačá (bijektiví), pokud f je zároveň prosté a a, : Mějme X, Y koečé možiy a f : X Y bijektiví, potom X = Y Naopak, pro koečé X = Y je f : X Y prostá, právě když je a tedy pro každé y Y existuje právě jedo x X tak, že f x = y Tvrz: Počet podmoži koečé -prvkové možiy X je rove 2 (viz Kapitoly z DM str 70-71) Tvrz: Počet podmoži koečé eprázdé -prvkové možiy X, které mají sudou (resp lichou) mohutost, je 2 1 Tvrz: 1 k 1! Počet podmoži koečé -prvkové možiy X mohutosti k je = k k 1 1 k! k! Relace R X X je reflexiví, pokud pro všecha x X platí, že x, x R, symetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud x, y R, pak i y, x R, atisymetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud zároveň x, y R a y, x R, pak utě x= y, trazitiví, pokud pro všecha x, y, z X platí, že je-li x, y R a zároveň y, z R, pak utě x, z R Ekvivalece a možiě X je relace R X X, která je reflexiví, symetrická a trazitiví Částečé uspořádáí a možiě X je relace S X X, která je reflexiví, atisymetrická a trazitiví Mějme ekvivaleci R X X, x X 2

3 Tvrz: Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Třída ekvivalece R příslušející prvku x je R[ x]={y X ; x, y R} Je-li R X X ekvivalece a X, potom (1) pro všecha x X je x R[ x], (2) pro všecha x, y X je buď R[ x]=r[ y] aebo R[ x] R[ y]=, (3) třídy ekvivalece jedozačě určují R Tvrz: Možia k-prvkových podmoži -prvkové možiy X, kde 0 k, {Y ;Y X, Y =k }= X k, Důsl: má počet prvků X k =! k! k! = k = X k Pro N platí k =0 k =2 Tvrz: Mějme k, N Potom platí (1) k = k, (2) 0 = =1, (3) Je-li 0 k, pak k 1 k = 1 k Biomická věta Mějme N, pak x y = Pomocé výpočty: k =0 1 x k k y k (kde k =! k! k! ) k k 1 =! k! k!! k 1! k 1! =! k! k 1! 1 k 1 Důkaz matematickou idukcí (1) idukčí krok: pro =1 1 x y 1 = k =0 (2) idukčí krok: pro 2, předpokládáme, že platí pro, dokážeme pro 1 : 1 x y 1 = 1 k x 1 k y k = = k =0 =x k =0 [ k x k y x y = k] Použijeme idukčí předpoklad: Rozásobíme x a y: k=0 [ k x k y k] y 1 k x1 k y k =1 x 1 y 0 1 x 0 y 1 =x y k =0 [ k k] x k y = k 1 =! k! k 1! 1 k k 1 = 1! k 1! k! = 1 k 1 = k =0 = k =0 Přidáme x a y do sum: [ k k] x k 1 y k=0[ k k 1] x k y = Substituce: l=k 1 (itervaly sum musí být stejé, takže posueme horí mez): 1[ [ k x k 1 y k] l =1 l 1 l 1 x l 1 y l] = Vyjádříme +1 čle zvlášť (opět změa itervalů sum): =x 1 y 1 k =1 [ k x k 1 y k] l=1 [ l 1 x l 1 y l] = 3

4 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Sečteme sumy (vytkeme v ich ekombiačí čísla): =x 1 y 1 Tvrz: Tvrz: Tvrz: Důsl: k =1 [ k 1 k x k 1 Platí pro dolí vetší a meší, což máme: k 1 k p y k] p 1 1 k Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y = Potom počet všech zobrazeí X Y je m Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y }, potom zázorěme: Dosadíme: x 1 y 1 k=1 [ 1 k k] x k 1 y = A koečě, rozšíříme iterval sumy o krají hodoty 1 QED k] = k =0 [ 1 k x k 1 y x 1 mohu zobrazit do Y x 2 mohu zobrazit do Y x m mohu zobrazit do Y Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, kde X ={x 1, x 2,, x m }ay ={y 1, y 2,, y } Potom počet všech prostých zobrazeí X Y je 1 m 1 = i =0 Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y } a postupujme jako při předešlém důkazu: m 1 x 1 ==>> # X Y = m i Avšak zde arazíme a dva případy: m a m m : posledí zobrazeí bude - (m+1) krát = - m -1 ==>> mohu prostě zobrazit do Y x 2 1 mohu prostě zobrazit do Y # prostých X Y = 1 m 1 ; druhý případ je stejý jako prví (0-krát ás ezajímá) Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, f : X Y zobrazeí Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: (1) f je bijekce, (2) f je prosté a X = Y, (3) f je a a X = Y Triviálí, z defiice bijekce Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X = Y = Potom počet vzájemě jedozačých zobrazeí X Y je! (viz důkaz tvrzeí o prostých zobrazeích výše) Permutace možiy X je bijekce X X S ={ ; permutace a {1,, }} Tvrz: Nechť N, A 1,, A jsou koečé možiy a A= i =1 A i Potom existuje i {1,,} takové, že A i A pro spor předpokládejme: i : A i A A = A i=1 i A i=1 i A A spor! 4

5 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Graf je struktura G= V, E, kde V je koečá eprázdá možia vrcholů a E je možia hra, podmožia V 2 Grafy Mějme G= V G, E G, H = V H,E H Zobrazeí f :V G V H je izomorfismus G a H, pokud f je bijekce V G a V H a pro všecha u,v V G ;u v platí ekvivalece {u,v} E G { f u, f v } E H (v G existuje hraa mezi vrcholy u,v, právě když existuje hraa mezi jejich obrazy v H) Píšeme f :G H Platí, že G a H jsou izomorfí, právě když existuje zobrazeí f izomorfí a H Mějme G= V G, E G, H = V H, E H Potom: H je podgrafem G, pokud V H V G a E H E G Pak píšeme H G H je idukovaým podgrafem G, pokud V H V G a E H =E G V H 2 (hray idukovaého podgrafu H jsou právě všechy hray z G, jejichž vrcholy jsou i v H) Tvrz: (1) Počet (jakýchkoliv) grafů a možiě {1,2,, } je právě 2 2 (2) Počet avzájem eizomorfích grafů a možiě {1,2,, } je alespoň 2 2 (1) Máme V ={1,, } a E V 2 Víme, že V 2 = 2 Růzých podmoži V 2 je 2 2 (2) Vezměme G ={G = {1,,},E } ( G budiž možia grafů a vrcholech) Platí, že G je izomorfí s H, pokud platí: (1) reflexivita id :{1,, } {1,, }, Budiž Pak R G! a (2) symetrie f :G H izomorfismus, (3)trazitivita G G a f 1 :H G izomorfismus, f :G H izomorfí g : H J izomorfí g f :G J izomorfí R rozkladová třída z prvku G: R G ={H G ; H G} počet růzých rozkladových tříd je alespoň 2 2 V každé zvolíme jede prvek, zvoleé pak budou avzájem eizomorfí Důležité grafy, které mají speciálí ázev: (více viz Kapitoly z DM str 113) 1) Úplý graf K = {1,2,, }, V 2 2) Prázdý graf E = {1,2,,}, 3) Cesta P = {1,2,,},{{i, i 1};i=1,, 1} 4) Kružice C = {1,2,, }, {{i, i 1};i=1,, 1} {{1, }} Délkou cesty ebo kružice rozumíme počet hra Graf G= V, E je bipartití pokud existují A, B V takové, že A B= a A B=V a a pro všecha e E je e A = e B =1 (hraa vede mezi jedím vrcholem z A a druhým z B)! 5

6 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti : Kružice C je bipartití právě když je sudé Úplý bipartití graf je K m,, kde: A =m, A={a 1,,a m }, B =, B={b 1,,b } a E={{a i,b j };i=1,,m ; j=1,,} Grafové operace Grafové operace (viz Kapitoly z DM str 148) 1) Odebráí hray e E G e = V, E {e} 2) Přidáí hray e' v 2 E G e' = V, E {e '} 3) Odebráí vrcholu v V G v =G [V {v }] (idukovaý podgraf bez vrcholu v) 4) Přidáí vrcholu v ' V G v ' = V {v' },E 5) Děleí hray e={x, y} E G % e = V {w}, E {e} {{x,w},{w, y}} (přidáme dvě ové hray) 6) Kotraktce hray e={u, v} E G e= V {u,v} {w}, E ' hray z E, které eobsahují u,v E '= {e E ;u, v e} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s u {{x, w};{x, u} E} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s v {{y, w};{y, v } E } ( Odebereme jedu hrau a její dva vrcholy Všecho, co vedlo do těchto vrcholů svedeme do jedoho ového ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) : Máme-li graf G= V, E, hrau e E ;e' V 2 E a v V,v' V, pak vrchol (1) G e e G (2) G e' e' G (3) G v v G, pouze pokud vrchol v eí obsaže v žádé hraě z E (4) G v' v' G Mějme G= V, E a u, v V Pak defiujeme ásledující pojmy: Cesta z u do v (esmí se opakovat hraa ai vrchol) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e k, v k =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,, k (každá hraa e i spojuje vrcholy v i 1 a v i ) a pro všechy vrcholy v i, v j při i, j {0,,k},i j platí v i v j (každý vrchol se v cestě vyskyte aejvýše jedou (tím pádem i každá hraa)) Tah z u do v (esmí se opakovat hraa) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e e, v e =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,e a pro všechy hray e i, e j při i, j {1,,e},i j platí e i e j Tak je uzavřeý, pokud v 0 =v e (každá hraa se v tahu vyskyte aejvýš jedou, pro vrcholy to již eplatí) Sled z u do v (cokoliv se může opakovat) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e m, v m =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,m 6

7 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Mějme G= V, E a u, v V Jestliže existuje sled z u do v, potom existuje i cesta z u do v Existuje sled z u do v Vezměme u=v 0, e 1, v 1,, e m, v m =v ejkratší sled z u do v Pak teto sled je cesta Důkaz sporem: Podmíky sledu splěy Pokud teto sled eí cesta, pak existuje i, j {0,,m} takové, že i j a zároveň v i =v j V tom případě u=v 0,e 1, v 1,,e i,v i,e j 1, v j 1,,e m, v m =v, kde e j 1 ={v j,v j 1 }={v i, v j 1 }, je sled délky m j i m, což je kratší ež ejkratší, SPOR Mějme G= V, E a u, v V Pak je vzdáleost d u,v délka ejkratší cesty z u do v, pokud taková cesta existuje, jiak d u, v = Tvrz: Takto zavedeá vzdáleost v grafu je metrika: ( Fukce, která dosadí k vrcholu ejkratší vzdáleost ) 1) u, v V : d u, v 0 u, v =0 u=v pokud je vzdáleost = 0, jedá se o stejý bod 2) u, v V : d u, v =d v, u vzdáleost musí být symetrická 3) u, v, w V : d u,v d u, w d w, v trojúhelíková erovost (1) 0, (2) ok, (3) Mějme u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w ejkratší cestu z u do w, kde d u,w =k, a w=v' 0,e' 1, v' 1,,e' k ', v ' k ' =v ejkratší cestu z w do v, kde d w, v =k ' Pak u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w=v' 0, e' 0, v' 1,, e' k ', v ' k ' =v je sled z u do v délky k k ' d u,v Graf G= V, E je souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje cesta z u do v, tedy d u,v Jiak říkáme, že je esouvislý Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 (alespoň tři vrcholy) Pokud existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé, potom G je souvislý Mějme x, y V (1) Pokud {x, y} {u,v}, BÚNO předpokládejme, že x, y {u, v} Pak x, y V G u Je-li G u souvislý, pak existuje cesta z x do y v G u a tudíž existuje cesta z x do y v G (2) Pokud x=u, y=v, víme, že G má alespoň tři vrcholy Proto existuje w V, w u, w v takové, že u, w jsou spojey cestou v G v a tedy existuje cesta z u do w v G, a w, v jsou spojey cestou v G u a tedy existuje cesta z w do v v G Z toho plye, že existuje sled z u do v v G, tedy existuje cesta t u do v v G Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 Pokud G je souvislý, potom existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé Vezměme u, v taková, že d u,v je maximálí Pro spor, echť G u eí souvislý Pak existují x, y V {u } taková, že eexistuje cesta z x do y v G u Ale protože je G souvislý, víme, že existuje cesta z x do y v G a avíc a každé cestě z x do y v G leží vrchol u 7

8 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Platí tedy d x,u d u, y =d x, y Budiž P x ejkratší cesta z x do v v G, Pak P y ejkratší cesta z y do v v G d u, v d x,v a d u,v d y, v v G Z toho plye, že u V P x, jiak by d u,v d x,v, a podobě u V P y P x, P y jsou tedy cesty i v G u Spojeím P x a P y získáme sled z x do y v G u, tedy existuje cesta z x do y v G u, SPOR Doplěk grafu G= V, E je graf G= V, E, kde E= V 2 E Česky: Doplěk grafu obsahuje všechy vrcholy z grafu a právě ty hray, které mezi vrcholy v grafu ejsou Stupeň vrcholu v V v grafu G= V, E je deg v = {e ;v e E} (počet hra v grafu, které obsahují daý vrchol) : deg v =2 E v V Graf G= V, E je Stromy strom, les, pokud emá kružici a je souvislý Obvykle začíme jako graf T pokud emá kružici List je v V takový, že deg v =1 (obsahuje ho pouze jeda hraa) Lemma:Každý koečý strom s alespoň dvěma vrcholy má alespoň dva listy Lemma:Nechť Nechť V =, pro všecha u, v V je vzdáleost d u, v 1 Vezměme relaci takovou, že d u,v je maximálí, a tedy u v u ' Budiž soused u a pevě zvoleé ejkratší cestě z u do v Pro spor, ať deg u 1 a tedy ať existuje u ' ' u', {u ', u ' ' } E takové, že d u ' ', v d u, v (viz obrázek) Pak u eleží a ejkratší cestě z u' do v Z toho plye, že G obsahuje kružici, a tedy eí strom, SPOR G= V, E je strom, v V je list Potom G v je také strom Lemma:Nechť (1) Dvě možosti: (a) G v emá kružici ok (b) G v má kružici, pak i G má kružici, SPOR (2) Dvě možosti: (a) G v je souvislý ok (b) G v eí souvislý, pak existují u, w V {v} takové, že eexistuje cesta z u do w v G v Pokud v G existuje cesta z u do w, pak v musí utě ležet a této cestě Pak by muselo být deg v 2, což je SPOR, protože by v ebyl list G= V, E je graf, v V je list Potom platí, že pokud G v je strom, tak i G je strom 8

9 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) G je souvislý (důkaz obrázkem) (2) G eobsahuje kružici Pro spor, ať G obsahuje kružici C G v, ji emá, protože je strom, takže musí být v V C a tedy deg v ٢, SPOR Důsl: Mějme G= V, E graf, v V list, tedy deg v =١ Pak platí, že G je strom, právě když G v je strom Tvrz: Ekvivaletí charakteristika stromů (viz Kapitoly z DM str 162) Nechť G= V, E je graf, V ٢ Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: 1) Defiice stromu G je strom (souvislý, bez kružice) 2) Jedozačost cesty Pro všecha u,v V právě jeda cesta z u do v 3) Miim souvislost G G je miimálí souvislý (tj pokud odebereme libovolé e E, bude G e esouvislý) 4) Maxim G bez kružice Pro všecha e' E bude G e' (přidáím libovolé hray) obsahovat kružici 5) Eulerův vzorec G je souvislý a V = E ١ (má o jede vrchol víc, ež hra) 6) Bez ázvu (?) G je bez kružice a V = E ١ Důkazy: (1) (2) Pokud G je souvislý, tak existuje právě jeda cesta z u do v Pro spor, echť existují dvě cesty P ١, P ٢ z u do v, x je posledí společý vrchol cesty P ١, P ٢ a y je rví vrchol za x po P ١,který také leží a P ٢ Pak úseky P ١ a P ٢ mezi x a y tvoří kružici, což je SPOR (2) (3) Víme, že G je souvislý Pro spor, echť existuje e E,e={a,b} taková, že G e je stále souvislý Pak existuje cesta P z a do b v G e, a tedy e E P Víme, že a, e,b je cesta z a do b v G Z toho plye, že existují alespoň dvě cesty z a do b, což je SPOR (3) (1) Víme, že G je souvislý G je bez kružice Pro spor, ať G má kružici a e budiž libovolá hraa této kružice Pak G e je souvislý, což je SPOR s miimálí souvislostí ١ ٢ ٣ máme yí dokázáo (4) (1) Víme, že G je bez kružice G je souvislý Pro spor ať existují u,v V taková, že z u do v eí cesta Ozačíme {u, v}=e E Pak G e emůže mít kružici (1) (4) Víme, že G je bez kružice Pro spor ať existuje e' E takové, že G e' emá kružici V G ale existuje cesta z u do v Ta spolu s e' tvoří kružici, SPOR (1) (5) a (6) Stačí dokázat V = E ١ Dokážeme matematickou idukcí dle = V (1) pro =١ je V =١, E =٠ ١=٠ ١ ok (2) pro ٢ platí, že existuje list v V :deg v =١, takže G v je strom Idukčí předpoklad: V G v = E G v ١ Z toho plye, že E G v = ٢ a tedy ١= ٢ ١ Potom platí, že E G = ٢ deg v = ١ Dokázáo (5) (1) Pro spor, ať G je souvislý, ale obsahuje kružici Pak existuje e E taková, že G e je souvislý Opakujeme vyecháváí hra, dokud je graf souvislý 9

10 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Důsl: Zbyde E ' E, přičemž E ' E a G= V, E ' souvislý graf bez kružice Protože takovýto graf je strom, platí V = E ' ١, z předpokladu ale víme, že V = E ١ Z toho plye, že E ' = E, což je spor (6) (1) Pro spor, ať G eí souvislý Pak existuje e' ' E takové, že G e' ' emá kružici (a samozřejmě E ' ' E ) Opakujeme přidáváí hra, dokud graf emá kružici Pak máme E ' ' E a G= V,E ' ' emá kružici a je souvislý Z toho plye, že V = E ' ' ١, z předpokladu ale V = E ١, takže E ' ' = E, což je SPOR Dokázáa vzájemá ekvivalece tvrzeí (1) až (6) Platí ekvivalece, že G je les s kompoetami souvislosti právě když eobsahuje kružici Kostra souvislého grafu G= V, E je podgraf T V, E ', který je stromem G se rová počtu koster grafu G Cayleyho formule Pro ٢ je K = ٢ Přeformulováí: K můžeme chápat jako počet růzých stromů v možiě {١,, } Použijeme POVÝKOS (viz íže) a dostaeme strom T = V,E - Jede vrchol ozačíme jako koče, a začátku emáme žádou hrau - Postupě očíslujeme hray - Výsledkem je zobrazeí c: E {١,, ١} - Ptáme se, kolik existuje takových objektů? - Hray stromu si ozačíme šipkou, aby směřovaly ke kořeu - V k-tém kroku je přidáí k-1 šipek, počet kompoet grafu je k ١ (v každém kroku spojíme dvě kompoety) - Chceme přidat k-tou šipku mezi vrcholy růzých kompoet : Z každého vrcholu mimo kořee vede jeda šipka směrem ve (během výstavby je to ١ šipka) Každá přidaá hraa musí začíat ve vrcholu, odkud zatím ic evede Tedy: 1 krok 1 šipka ١ možostí (evolíme koře, te vyjde sám) k krok k šipka k možostí ( k ١ kompoet souvislosti v každé je vrchol, ze kterého evede šipka) (k šipka kočí kdekoliv, začíá v jié kompoetě ve vrcholu bez šipky ve (v každé kompoetě je je jede takový)) ١ ١ Celkových možostí povýkos je k = ١ k = ١ ١! k= ١ Druhé počítáí: - Vezměme strom {١,, } - Zvolíme koře r V - Očíslujeme hray c: E {١,,} bijekcí jako v POVÝKOSu Pak máme K ١! Důsledek: ١ ١!= K ١!, z čehož plye: K = ٢ Dokázáo Postup: Postup výstavby kořeového stromu, POVÝKOS Máme vrcholů (1) Zvolíme koře (máme možostí) (2) Přidáme hrau e ١ c e ١ =١, aby vzikl strom pokračujeme do e ١ c e ١ = ١ Potom a koci máme strom a zobrazeí c: E {١, ١} Úloha: Mějme = V ٣, e hrau K Kolik koster má úplý graf po vyecháí e, K e? Řešeí: Víme, že K = ٢ k =١ 10

11 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Náčrty defiic: Vezměme T, kostru grafu K : Možosti: e E T, pak je T kostra K e e E T, Odvodíme K K e ostatí případy (b) Pro (b) spočteme počet dvojic T, e, kde T je kostra K a e E T Vezmeme libovolou kostru ٢, Pak platí, že: její hrau ١ (takže máme ١ ٢ způsobů výběru kostry a její hray), jiou hrau ٢ = ١ ٢ kostru, která tuto hrau obsahuje, tedy K, e (takže máme ١ ٢ = ١ K ٢,e, K,e =٢ ٣, K e = K K, e, a máme výsledek: K e = ٢ ٢ ٣ = ٢ ٣ a ١ K ٢, e způsobů výběru) Rovié grafy Oblouk je obor hodot prosté spojité fukce ٠,١ kocové body oblouku R ٢ Topologická kružice je obor hodot spojité fukce ٠,١ R ٢ a t = s {s,t }={٠,١} s=t Rovié akresleí grafu G= V, E, kde V ={v ١, v ٢,,v }, E ={e ١, e ٢,, e }, je f : V R ٢ prosté zobrazeí a F : E { ١,, } tak, že e i ={x i, y i } { i ٠, i ١ }={ f x i, f y i } : Každý roviý graf se dá akreslit úsečkami Graf je roviý, pokud existuje ějaké jeho rovié akresleí Stěa roviého akresleí grafu je kompoeta souvislosti grafu R ٢ X, kde X jsou všechy body akresleí grafu Jordaova, o kružici Topologická kružice dělí roviu a dvě části (vitří a vější) Nechť G= V, E je graf a v V je vrchol Potom je v izolovaý, jestliže deg v =٠ Tvrz: Eulerův vzorec Nechť G= V, E je souvislý graf, s je počet stě ějakého roviého akresleí G Potom V E s=٢ Vyjádřeme s=٢ V E =٢ E V Postupujeme matematickou idukcí dle E V ١ : (1) E V = ١, tedy G je strom Pak má každé rovié akresleí G právě jedu stěu s=١ ١=٢ ١=١ ok (2) E V ٠, tedy E V, tedy G eí strom, protože obsahuje kružici Existuje e E taková, že G e je souvislý Pak E G e V G e = E G V G ١ Idukčí předpoklad pro G e : s G e =٢ E G e V G e =١ E V Potom s G =s G e ١=١ E V ١=٢ E V Důsl: Každé rovié akresleí daého (souvislého) grafu má stejý počet stě 11

12 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Nechť G= V, E je roviý graf, V 3 Potom (1) E 3 V 6 (počet hra je meší / rove trojásobku počtu vrcholů - 6) (2) K 3 G E 2 V 4 (pokud graf eobsahuje trojúhelík, je počet jeho hra meší / rove dvojásobku počtu vrcholů 2) f f BÚNO lze předpokládat, že graf je souvislý (přidáí hray eporuší roviost grafu) Víme, že V E s=2 (1) Nechť f je stěa roviého akresleí G deg f := počet hra a hraici stěy f (s ásobstí, každá hraa započtea dvakrát v jedé stěě ebo ve dvou růzých stěách) Pak platí deg =2 E a stěa zároveň deg f 3 s f stěa Z toho plye 2 E 3 s Použijeme V E s=2 a 2 dostaeme E s=2 E V 2 E 6 3 E 3 V 3 V 6 E 3 (2) Dokazujeme K 3 deg f 4 Platí deg f 4 s a f stěa tedy 2 E 4 s 1 E s=2 E V E 4 2 E 2 V 2 V 4 E 2 Úloha: Hledáí rovié triagulace Mějme 3 Existuje roviý graf s vrcholy a 3 6 hraami, kde pro všechy stěy platí deg f =3 (tedy všechy stěy včerě vější jsou trojúhelíky)? Řešeí: G budiž roviá triagulace s 3 Vytvoříme idukcí: Nechť G' je roviá triagulace s -1 vrcholy, vytvoříme z í roviou triagulaci G s vrcholy dle obrázku: G je roviý E 3 V 6, a pokud avíc eobsahuje trojúhelík E 2 V 4 Důsl: Nechť G= V, E je roviý graf, potom mají všechy vrcholy v V stupeň deg v 5 Pokud avíc K 3 G, pak existuje vrchol v V Důsl: Pro spor, ať mají všechy v V alespoň deg v 5 Víme, že pro V 3 platí E 3 V 6 Potom 2 E = deg v 6 V v V 3 V 6 E 3 V, což je SPOR Pro grafy K 3 G : 2 E 4 V 8 a postupujeme aalogicky Poz, takto elze postihout všechy možé triagulace! (apříklad dvacetistě) K 5 ai K 3,3 ejsou rovié grafy a ai jejich děleí ejsou rovié grafy Pokud se podíváme a zázorěí K 4, zjistíme, že ho ai jiak elze akreslit (vždy se jedá pouze o jié délky hra) Pokud chceme vytvořit K 5, tak musíme vycházet z K 4 a to bychom museli protout jedu z jeho stě, což v roviě ejde SPOR Zkusme akreslit K 3,3 do roviy a zjistíme toto: Zkusme K 3,3 překreslit jiak a to hed dvěmi způsoby: Je vidět, že jeda hraa opět <=> <=> vždy musí protíat stěu grafu Kuratovski 12

13 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti G je roviý, právě když eobsahuje děleí K 5 ai děleí K 3,3 Poz, pro dokázáí roviosti grafu je ejvhodější důkaz obrázkem (oproti vyvráceí roviosti věty) Barevost grafů Dobré k-obarveí grafu G= V, E je zobrazeí c: V {1,, k} takové, že pro všecha {u,v} E platí c u c v : K emá k obarveí pro k Barevost grafu G je G =mi{k N ; k-obarveíg} Česky: ejmeší k takové, že existuje k-obarveí grafu je [chí] : Pro G= V, E platí, že G V, právě když G je úplý graf : G =1, právě když G emá žádé hray Tvrz: Pro G= V, E platí, že G 2, právě když G je bipartití G =2 zameá, že existuje 2-obarveí c grafu G Rozdělíme vrcholy do V i ={v V ; c v =i};i=1,2 Potom pro všecha e E platí, že e V i =1 G je bipartití Graf G= V, E je d-degeerovaý d N, pokud H G v V H : deg v d, tedy pokud v každém podgrafu H G existuje vrchol v V H, jehož stupeň eí větší ež d : Stačí posloupost v 1,, v taková, že deg v i d v grafu G {v 1,, v } Tvrz: Pokud je G= V, E d-degeerovaý, pak G d 1 Existuje v V takové, že deg v d Matematickou idukcí dle V : (1) V =1 : G =1, (2) V 2 : Idukčí předpoklad: G v je d-degeerovaý, tedy G v d 1 Z toho plye, že existuje c: d 1 -obarveí G v Máme-li vrcholy v 1,, v k ; k d, které sousedí v G Pak c v 1 d růzých hra a c v k v {1,, d 1} zbývá ještě alespoň jede prvek i takový, že c v =i Barevost roviých grafů Mějme G= V, E roviý graf, potom G 6 G je roviý G je 5-degeerovaý, Potom G 5 1=6 podgraf H G je také roviý a existuje v V h takové,že deg H v 5 Mějme G= V, E roviý graf, potom G 5 Matematickou idukcí dle V = 13

14 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) Pro 5 tvrzeí platí triviálě (2) Idukčí předpoklad: Každý roviý graf s ejvýše -1 vrcholy lze obarvit pěti barvami Víme, že existuje v V takové, že deg v 5 G v má -1 vrcholů, dle idukčího předpokladu existuje (dobré) obarveí c:v {v} {1,,5} Hledejme c v v G: jaké barvy byly použity pro sousedy v? Buď existuje i {1,, 5}, která eí použitá pro souseda v, potom c v =i, rozšíříme obarveí G v a G, ebo deg v =5 a sousedy lze očíslovat a v 1,, v 5 tak, že c v i =i Poz, Mějme G= V, E roviý graf, potom G 4 Důkaz je etriviálí Skóre grafu je posloupost stupňů jeho vrcholů (uspořádaá vzestupě; možé opakováí) Duálí graf je graf vepsaý do roviého grafu (apř u barevosti map) Hašel-Hakim (viz Kapitoly z DM str 131) Platí ekvivalece, že posloupost d 1,,d celých ezáporých čísel (uspořádaá vzestupě) je skóre ějakého grafu právě když posloupost d ' 1,, d ' (po přeuspořádáí) je skóre ějakého grafu, přičemž d ' i =d i pro i d a d ' i =d i 1 pro d i (škrteme čle a odečteme jedičku u tolika předchozích čleů poslouposti, kolik byla jeho hodota) Nechť existuje graf G' se skóre d ' 1,, d ' 1 Ozačme vrcholy v ' 1,,v ' 1 tak, že deg G ' v' i =d ' i ; i=1,, 1 Pak přidáme jede vrchol dle obrázku a máme G takové, že deg G v i =d i ;i=1,, Ozačme g={g; skóreg jed 1,, d }; g Vezměme Pokud G 0 g takové, že N V {v d,v 1 } = p je miimálí p=d, je důkaz sadý Předpokládejme, že p d Potom existuje a { d,, 1} Eulerovský graf Tah T pokrývá G, pokud E T =E G Graf G= V, E se azývá eulerovský, jestliže v G existuje uzavřeý tah, který pokrývá G (jde akreslit jedou čarou a G eobsahuje izolovaé vrcholy) Mějme graf G= V, E bez izolovaých vrcholů Pak platí, že G je eulerovský, právě když G je souvislý a pro všecha v V je deg v sudý sadé Víme, že deg v 2 je sudý Začeme a libovolém vrcholu a hledáme tah v 0, e 1, v 1, Zastavíme se, když se poprvé avrátíme do již avštíveého vrcholu Máme pak v i =v j :v i,e i 1,v i 1,,e j 1,v j Položíme vybereme Pokud T ={T uzavřeý tah vg} a T 0 T takové, že E T0 je maximálí E T0 = E G, pak T 0 pokrývá G a tím pádem je G eulerovský E T0 E G, pak existuje e 0 E G,e 0 E T 0 takové, že e 0 V T 0 1 a 14

15 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti u 0 e 0, u 0 V T0 Najdeme libovolý uzavřeý tah T 1 G T 0, který obsahuje u 0 Takový existuje, eboť všechy vrcholy v G T 0 mají sudý stupeň Pokud E T0 E T 1 =, pak T 0 T 1 tvoří uzavřeý tah v G který má hra více ež E T 0, což je SPOR Jiak existují u 0 e 0, v 0 V T 0 a G je souvislý, tedy existuje cesta z u 0 do v 0 a e' 0 je prvkem této cesty tak, že e' 0 V T 0 Pak e ' 0 V T 0 =1 a e' 0 E T 0 (toto lze podložit) Tedy eexistuje e 0 E,e 0 E T0 a potom E T0 E G, což je SPOR, a T 0 pokrývá G Orietovaý graf Orietovaý graf je G= V, E, kde E V V Souvislost orietovaých grafů 1) G je bez orietace je graf G= V, E, E={{u,v}; u,v E v,u E } 2) G je slabě souvislý, pokud je G souvislý (v jedosměrkách pro souvislost připoštíme obousměré použití) 3) G je silě souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje orietovaá cesta z u do v Orietovaou cestou rozumíme posloupost v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e k v k, kde e i = v i 1, v i a v i v j proi j Orietovaý graf G= V, E je eulerovský, pokud existuje uzavřeý orietovaý tah, který pokrývá G : Pokud G je silě souvislý, pak G je i slabě souvislý (obráceě samozřejmě eplatí) Orietovaý graf G= V, E je vyvážeý, pokud pro všecha v V je deg + v =deg - v, přičemž deg + v = { e E ; x V : e= x, v } (počet hra, které jdou do v) a deg - v = { e E ; y V : e= v, y } (počet hra, které jdou z v) Nechť je G= V, E orietovaý graf bez izolovaých vrcholů slabě souvislý vyvážeý Pak je G eulerovský Stejě jako pro eorietovaé grafy Je-li G vyvážeý, pak v ěm existuje uzavřeý tah Zvolíme T 0 maximálí uzavřeý orietovaý tah Pokud existuje e 0 E T 0, e 0 E G, lze T 0 prodloužit stejě jako při eorietovaé variatě, což je SPOR Tedy E T0 = E G a G je eulerovský Další k teorii grafů Nechť G= V, E je graf takový, že V =2 a E 2 1 Pak G obsahuje kružici, K 3 G Matematickou idukcí dle (1) =2 : V =4, E 5 a platí, že G K 4 ebo G K 4 e ; K 3 G (2) 3 : Idukčí předpoklad je, že pro G ' = V ', E ' platí V ' =2 1 ; E ' = K 3 G ' Mějme G' = G u v Pokud E G' 1 2 1, pak K 3 G ' G Důsl: Miimálí počet hra grafu bez kružice s 2 vrcholy Částečé uspořádáí je 15

16 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (a) biárí relace X,, která je reflexiví: x X : x x, trazitiví: x, y, z X : x y y z x z a atisymetrická: x, y X : x y y x x= y (b) lieárí uspořádáí: x, y X : x y y x Pojem: Hasselho diagram X, orietovaý graf Při kresleí vyecháme smyšky a hray plyoucí z trazitivity Příklad, 2 {x, y, z }, : Tvrz: Mějme N, Pak posloupost a 1,,a růzých čísel z R existují i 1 i taková, že a i1 a i aebo a i1 a i Mějme i {1,, 1 2 1}, r i délku maximálí rostoucí poslouposti začíající a i, k i délku maximálí klesající poslouposti začíající a i Pro i j BÚNO předpokládejme i j a a i a j :r i r j a i a j :k i k j r i, k i r j, k j Pro spor předpokládjeme, že eexistuje rostoucí posloupost délky, takže 1 r i,k i 1 r i může abývat k i může abývat r i, k i může abývat Máme ale 1 růzých hodot a 1 růzých hodot, dohromady tedy 1 2 růzých hodot růzých čleů Tedy existují i j taková, že r i,k i = r j, k k, což je SPOR 16

17 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti Pravděpodobostí prostor je,i, P, kde je možia elemetárích jevů (všech možých výsledků), A jev, I 2 možia áhodých jevů, P : I 0,1 pravděpodobostí míra a při platosti ásledujících podmíek: I A I A= A I A 1, A 2, I Ai I i =1 P [ ]=0 ; P [ ]=1 i, j A i, A j I :i j A i A j = P [ i =1 Ai ]= i=1 P [ A i ] Diskrétí pravděpodobostí prostor je pravděpodobostí prostor, kde je koečá, I=2 a P určíme pro { }, ásledově: A={ 1,, }, kde { 1 } { } jsou disjuktí, P [ A]= P [{ i }] i =1 Poz: Píšeme také P [{ }] P [ ] Příklad: Uiformí pravděpodobostí prostor je takový, kde je koečá a P [ A]= A Nekoečá posloupost hodů micí ={R, L } rub líc Zajímá ás, zda je pravděpodobější, že dříve pade posloupost LLR ebo LRR Dle obrázku (klíčový je krok L z LL a LR) P [LLR]= P [LRR]= Takže P [LLR] P [LRR] Mějme A, B I Pak podmíěá pravděpodobost je P [ A B]= P [ A B] P [B ] pro P [ B] 0 : Platí, že pokud B 1,,B jsou disjuktí jevy i B i =, =1 potom P [ A]= P [ A B 1 ] P [B 1 ] P [ A B ] P [ B ] Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P [ A B ]=P [ A] P [B ] : Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak P [ A B]= P [ A B] = P [B ] P [ A] P [ B] =P [ A] P [ B] 17

18 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Příklad: Jevy A 1,, A jsou ezávislé, pokud pro všecha I {1,, }, I platí P [ i I Máme ={L, R} 10 (posloupost deseti hodů micí) A 1 ={prvích 5 hodů L}, A 2 ={v 6 hodu R}, A 3 ={v 6 až 10 hodu padl sudý počet L} Jevy A 1, A 2, A 3 jsou avzájem ezávislé A i ]= i I P [ A i ] Příklad: Náhodá permutace {1,,10} A 1 ={, 1 =1} P [A 1 ]= 9! 10! =0,1, A 2 ={, 2 =2} P [A 2 ]=0,1 Ale P [A 1 ] P [ A 2 ]= = 8! 10! =P [ A 1 A 2 ], takže A 1, A 2 ejsou ezávislé Příklad: Mějme A i ={padloi}; i=1,, 6 P [sudé ]=P [ s 1] P [1] P [s 6] P [6]= = 3 6 = 1 2 Příklad: HIV test, H je HIV, T je test Víme P [H ]=0,001, P [T H ]=0,95, P [ T H ]=0,95 P [H T ]= P [ H T ] P [H ] P [T H ] P [T H ]= P [T H ]=P [T H ] P [H ]=0,95 0,001=0,00095 P [H ] P [T ]=P [T H ] P [ H] P [T H ] P [ H ]=0,95 0,001 0,05 0,999=0,0509 Takže pravděpodobost, že při pozitivím testu je člověk akažeý HIV, je cca 2% Souči pravděpodobostích prostorů defiujeme jako 1, 2 1, P 1 2, 2 2, P2 =, 2, P, kde = 1 2 a P [{ 1, 2 }]=P 1 [{ 1 }] P 2 [{ 2 }] Příklad: Turaj jako orietace K Pro každé dostatečě velké existuje turaj (velikosti ) takový, že pro všecha x 1, x 2, x 3 existuje y x 1, y x 2, y x 3, který je všechy porazil Náhodá orietace K x 1, x 2, x 3 je trojice, P [ y x 1, x 2, x 3 ]= = 1 8 a tedy P [ y x 1, x 2, x 3 ]= 7 8 Pak P [ y : y x 1, x 2, x 3 ]= 7 3= 8 P [x 1, x 2, x 3 špatá] Trojici lze vybrat 3 způsoby P [existuje špaté x 1, x 2, x 3 ] P [1 ze 2 špaté]=1 P [2 ok]= Náhodá reálá veličia a pravděpodobostím prostoru,i, P je fukce f : R taková, že f 1 a,b I pro všecha a b R V případe,2, P pak může být f libovolá 18

19 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Středí hodota je E [ f ]= P [{ }] f pro spočetá Liearita středí hodoty Mějme pravděpodobostí prostor,2, P, f, g áhodé veličiy, R Potom platí: (1) E [ ]= (2) E [ f ]= E [ f ] (3) E [ f g ]=E [ f ] E [g ] (1) E [ ]= P [{ }] = P [{ }] (2) E [ f ]= P [{ }] f = E [ f ] (3) aalogicky Pozor, obecě eplatí E [ f g]= E [ f ] E [ g ] Idikátor jevu A je A = 1 : A 0 : A Platí, že E [ A ]=P [ A] a E [ A ]= A P [{ }]= A P [{ }] Příklad: Mějme N, {0,1}, 2, uiformí, (a) áhodou veličiu f =počet1 v poslouposti 1 E [ f ]= 2 f 1 = k= 0 2 k k = 2 1! k=1 (b) Pak E [ Ai ]= 1 2 E [ i= 1 A i ={a pozici i je1} i=1 E Ai = f Ai ]= [ Ai ]= 2 i=1 1 1! k! k!= 2 k =0 k! 1 k! =2 1 = 2 Mějme pravděpodobostí prostor,2, P a áhodou veličiu f Distribučí fukce je F :R 0,1 taková, že F z =P [{ ; f z}]=p [ f z] Náhodé veličiy f, g jsou a,2, P ezávislé, pokud pro všecha a,b R jevy f a a g b jsou ezávislé Potom platí také E [ f g]=e [ f ] E [ g] Rozptyl je Var [ f ]=E [ f E [ f ] 2 ]=??? Příklad: Cea domu 10 7 Pravděpodobost vyhořeí v roce 10 4 Středí hodota ztráty z vyhořeí =10 3 Tedy, vyplatí se pojistit dům, pokud je pojisté ižší ež 10 3 (ze statistického hlediska) Var[ztráta z vyhořeí ]= Markovova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, 19

20 Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti f ezáporá veličia, t R ;t 1 Pak P [ f t E [ f ]] 1 t E [ f ]= f P [{ }]= Položíme a R, a 0 : A={ ; f a} = A 0 a P [ A]=a P [ f a] f P [{ }] f P [{ }] Platí f P [{ }] a P [{ }]=a P [ A] A A A Volme a=t E [ f ], pak E [ f ] t E [ f ] P [ f t E [ f ]] 1 P [ f t E [ f ]] t Čebyševova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, f áhodá veličia, a R ;t Var [ f ] 0 Potom P [ f E [ f ] a ] Var [ f ] a 2 Položme g= f E [ f ] 2, pak E [g ]=Var[ f ] Markov pro t 1 : P [g t E [ g ]] 1 t Levo: Pravo: ebo t= a2 Var[ f ] P [ f E [ f ] 2 t Var[ f ]]= =P [ f E [ f ] 2 a2 Var [ f ]]= Var [ f ] =P [ f E [ f ] 2 a 2 ]= =P [ f E [ f ] a] 1 t = 1 = Var [ f ] a 2 a 2 Var [ f ] 20

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu. Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii)

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Kombinatorika a Grafy I NDMI011

Kombinatorika a Grafy I NDMI011 Kombiatorika a Grafy I NDMI0 Odhad faktoriálu Prví odhady: Horí odhad: Dolí odhad: 2! i i= i= (! 2 = ( 2 3 Věta. (Stirligova. Faktoriál lze odhadout pomocí fukce! = ( 2π e Nebo-li lim ( 2π e =! Věta.2

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více