Postřelené špalíky. Veletrh nápadů učitelů fyziky 22 VLADIMÍR VÍCHA *, TOMÁŠ FAIKL **

Transkript

1 Veletrh nápadů učitelů fyziky Postřelené špalíky VLADIMÍR VÍCHA *, OMÁŠ FAIKL ** * Gymnázium, Pardubie, Dašiká 1083; ÚEF ČVU Praha ** Student Gymnázia, Pardubie, Dašiká 1083 Abstrakt Jestliže diabolka ystřelená sisle zhůru zasáhne dřeěný špalík podepřený na obou krajíh, špalík yletí a roztočí se. Při zásahu blízko těžiště se roztočí méně a při zásahu dál od těžiště se roztočí íe. Když na ideozáznamu poronáme ýšky, kam špalík ystoupí prním a e druhém případě, je prokazatelné, že ryhle roztočený špalík yletí ýše. Příspěek se zabýá řešením tohoto problému. Jak znikl problém? Da studenti našeho gymnázia omáš Faikl a Roman Šéda natočili ideo, jež htěli přihlásit do soutěže Vím proč. Dřeěný špalík položili na áloou trubku se sislou rotační osou, do ní pod špalík sunuli zduhoku a sisle zhůru ystřelili. Děj snímali děma kamerami. Špalík po zásahu diabolkou ylétl zhůru a ještě se roztočil. Když byl špalík zasažen íe do kraje, roztočil se íe (ož je nepřekapilo), ale současně ylétl prokazatelně ýše (ož překapilo studenty i dotázané učitele fyziky). ermín uzáěrky soutěže se blížil, a tak po určitýh diskusíh studenti natočili ideo četně komentáře. Je se pokusili ysětlit odporem zduhu a různou hloubkou proniknutí diabolky. Video si můžete prohlédnout na S ysětlením jsme ale mo spokojeni nebyli, a tak začala dlouhodobá spolupráe. Faikla a V. Víhy, která přinesla zela jiné ysětlení potrzené dalšími experimenty. Paradox Proč se nám jeí situae paradoxní? Protože uažujeme z hlediska energie. Vystřelená diabolka má kinetikou energii, která se po zásahu špalíku mění na další energie. Špalík získá kinetikou energii posuného pohybu, kinetikou energii rotačního pohybu a zroste nitřní energie soustay diabolka, špalík a zduh. Jestliže je špalík íe roztočený, má ětší rotační kinetikou energii 313

2 Veletrh nápadů učitelů fyziky a měl by tedy mít menší posunou kinetikou energii a tudíž yletět do menší ýšky. Předpokládáme, že změna nitřní energie je stejná. Volný špalík Vyřešme nejpre jednodušší případ. Špalík o průřezu d budeme poažoat za olné těleso (mimo graitační pole, resp. e stau beztíže), do kterého narazí diabolka (obr. 1a). Vektor její ryhlosti je kolmý na stěnu a míří do těžiště špalíku. Obr. 1 a) Ryhlost míří do těžiště, b) Ryhlost míří mimo těžiště Ve šeh experimenteh budeme uažoat roinný pohyb, k jehož popisu nám budou postačoat souřadnie x, y. řetí rozměr špalíku není důležitý. V experimentu podle obr. 1a nedojde k rotai a špalík získá pouze kinetikou energii posunou. Ryhlost těžiště budeme nazýat referenční a budeme značit ref. Vyjádříme ji ze zákona zahoání hybnosti (nepružná srážka dou těles) pd ref m, (1) kde p D je hybnost diabolky a m je hmotnost špalíku s diabolkou. Ryhlost ref má směr hybnosti diabolky, tedy sisle zhůru. V experimentu podle obr. 1b dojde k rotai kladném směru. ěžiště špalíku získá ryhlost směrem zhůru a špalík začne rotoat s úhloou ryhlostí. Pro izoloanou soustau těles špalík diabolka platí zákon zahoání hybnosti, z něhož yjde, že ryhlost těžiště je opět ref a míří sisle zhůru. Platí ale současně zákon zahoání momentu hybnosti, z něhož určíme. Moment hybnosti L hmotného bodu zhledem k bodu A je definoán L r p, () 314

3 Veletrh nápadů učitelů fyziky kde r je polohoý ektor hmotného bodu zhledem k bodu A a p je hybnost hmotného bodu. Moment hybnosti tělesa L zhledem k bodu A je definoán L r p J, (3) kde r je polohoý ektor těžiště tělesa zhledem k A, p je hybnost těžiště, J je moment setračnosti tělesa zhledem k těžišti a je úhloá ryhlost tělesa. Jako ztažný bod A našem případě ýhodně zolíme těžiště a zapíšeme, že moment hybnosti před srážkou (jen diabolka) je roen momentu hybnosti po sráže (roztočený špalík s diabolkou). Již bez ektorů: bpd b pd J a odtud, (4) / J kde b budeme nazýat záměrná zdálenost (je znázorněna obr. 1b) a J je moment setračnosti tělesa po sráže. Z ronie (1) plyne, že ryhlost špalíku směrem zhůru nezáisí na záměrné zdálenosti b a je ždy stejná. Z ronie (4) plyne, že úhloá ryhlost na b záisí. Pokud bude moment setračnosti diabolky ůči zanedbatelný zhledem k momentu setračnosti špalíku, roste s rostouí b přímo úměrně. Potrzuje se tedy, že špalík je při zásahu do kraje íe roztočený, ale ýše neyletí. Vysětlení našeho paradoxu musíme hledat jinde. Pól pohybu Pólem pohybu neboli okamžitým středem otáčení tělesa se nazýá bod P spojený s tělesem, jehož ryhlost je daném okamžiku zhledem k laboratorní soustaě nuloá. Všehny body tělesa pak daném okamžiku rotují kolem pólu pohybu P. Jejih ryhlost je kolmá na spojnii s P a je úměrná poloměru otáčení (obr. ) [1]. Obr. Bod P je pól pohybu. Velikost okamžitýh ryhlostí bodů je úměrná poloměru otáčení. 315

4 Veletrh nápadů učitelů fyziky Platí PA, PB. (5) A B Nyní najdeme polohu pólu pohybu pro experiment podle obr. 1b. Bod P bude na kolmii k ektoru ref někde leo. Poloměr otáčení r těžiště určíme r pd m ref pd b J J. (6) mb V dalšíh úaháh budeme hmotnost diabolky a moment setračnosti diabolky poažoat za zanedbatelné zhledem k hmotnosti a momentu setračnosti špalíku ( naših experimenteh to bylo splněno). Moment setračnosti kádru (náš špalík se tomuto taru blíží) zhledem k ose proházejíí těžištěm kolmé na stěnu o rozměreh d je 1 J m d 1, (7) kde m je hmotnost kádru. Po zmíněnýh zanedbáníh a dosazení (7) do (6) dostaneme pro polohu pólu pohybu P ronii d r. (8) 1b Z ronie (8) je zřejmé, že P může ležet mimo špalík jako na obr. 1b (pro r ), nebo unitř špalíku (pro r ). Podepřený špalík Dokázali jsme, že u olného špalíku jeho ryhlost nezáisí na b. ajemstí se tedy zřejmě skrýá kontaktu s podpěrou. Proáděli jsme reálný experiment, při němž byl špalík podepřen na obou krajíh a zasažen do bodu B. Soustaa souřadni Axy má počátek místě leé podpěry (bod A), iz obr. 3. Položme si otázku: Odrazí se špalík od podpěry bodě A? Spráná odpoěď je: Jak kdy. Pokud bude P mimo špalík jako na obr. 1b, pak šehny body špalíku yletí zhůru a k odrazu nedojde. Pokud bude P unitř špalíku jako na 316

5 Veletrh nápadů učitelů fyziky obr. 3, pak body prao od P rotují zhůru a body leo dolů, a k odrazu A dojde. Záleží na místě zásahu B. Obr. 3 Špalík podepřený na obou krajíh umístěný do soustay souřadni Axy. V bodě A působí reake podpěry R, těžiště má ryhlost skloněnou dolea. ref Existuje tedy určitá mezní hodnota b min, pro niž platí: Jestliže b 0; b špalík se neodrazí a těžiště bude mít ryhlost p D min sisle zhůru. m Jestliže ; b b min x; y. Minimální hodnotu b určíme z podmínky Po úpraě špalík se odrazí a těžiště bude mít ryhlost d r, tedy. 1b d proto b b d min. (9) 6 6 Ryhlost po odrazu Sitla naděje na řešení úodního paradoxu. Odraz od podpěry by mohl špalíku pomoi do ětší ýšky. Ale není to ještě tak jednoduhé. Nyní jde již o interaki tří těles: špalík, diabolka a Země. Na špalík působí síla diabolky F D, reake Země R a tíhoá síla F G. Lze dokázat, že li F G je 317

6 Veletrh nápadů učitelů fyziky našem experimentu během srážky zanedbatelný. Zbýajíí dě síly určují ryhlost těžiště a rotae tělesa. K řešení yužijeme druhou ětu impulzoou, kterou budeme ýhodně psát zhledem k bodu A t L M dt po úpraě r p J M dt, (10) 0 kde t je čas do zastaení diabolky. Z důodu ektoroýh součinů zaedeme ještě třetí souřadnii z a určíme souřadnie důležitýh bodů a ektorů: d d A 0; 0; 0, B b; 0; 0,, ; ; 0, r ; ; 0, rb b; 0; 0, 0; 0;, FD 0; FD ; 0, M 0; 0; b FD. Při úpraáh yužijeme také prní pohyboý zákon pro zabrzdění diabolky 0 D D t F dt p. (11) Úpraami ( tomto článku pro ně není prostor) ronie (10) s yužitím (11) získáme skalární ronii d m y m x J b p, (1) D e které figurují šehny neznámé y, x, které nás zajímají. Pro jejih určení budeme potřeboat ještě dě ronie. Využijeme fakt, že hmotnost Země je tak elká, že bod A se nepohne, tedy A 0 zhledem k laboratorní soustaě. Ryhlost A yjádříme složením ryhlosti těžiště ; ; 0 x y rotae kolem těžiště r. 0 A Po rozepsání do složek obdržíme ještě dě skalární ronie t 0 a ryhlosti d x (13) 318

7 Veletrh nápadů učitelů fyziky a y. (14) Řešením soustay (1), (13) a (14) obdržíme hledané eličiny. Nás zajímá nejíe ryhlost y, která určuje ýšku ýstupu špalíku y 3 b pd. (15) d m Nyní již můžeme přistoupit k poronání elikosti ryhlostí ref (1) a y (15). Proedeme diskusi zhledem k parametru ; b b min. Ryhlost y je eidentně rostouí lineární funkí b. Výsledky pro ýznamné hodnoty b idíme přehledně následujíí tabule. abulka: Záislost ryhlosti těžiště špalíku záislosti na b b y pd 0;b min ref m b min 4 d 4 4d y min pd m 3 d y max pd m Je idět, že pro b min je y < ref (jmenoatel je ětší než čitatel) a špalík proto yletí méně než při zásahu pod těžiště. Pro maximální možnou záměrnou zdálenost / šak může být y > ref a špalík může yletět ýše. Ale ne liboolný špalík. Vyřešíme neronii 319

8 Veletrh nápadů učitelů fyziky 3 1 d Řešením je jednoduhá podmínka, kterou musí splňoat strany špalíku d. (16) Pokud tato podmínka není splněna, nedočkáme se efektu, který studenti natočili. Kam nejýše může špalík yletět? Poronáme ýšku h ref, do které yletí těžiště špalíku pro b 0; b a ýšku h max pro b. Budeme řešit jako rh sislý se zanedbáním odporu zdu- hu. min Vidíme, že h max ymax 3. (17) href ref d lim d 0 d 3 9. (18) 4 Nekonečně tenká deska (d = 0) by tedy při stejném při zásahu na okraj yletěla nejýše, a to,5krát ýš než při zásahu pod těžiště. oto číslo překonat nelze. Výrazné zětšení ýšky ýstupu při zásahu na okraj špalíku jsme experimentálně oěřili. Experiment a jeho ýsledky K měření ryhlosti ystřelenýh diabolek jsme použili měřič ryhlosti střely Dragon DCH 330 shooting hronograph. Opakoaným měřením jsme určili 176, 7 1, m/s s relatiní odhylkou 0,7 %. ryhlost diabolky D 30

9 Veletrh nápadů učitelů fyziky Hmotnost diabolky jsme určili na digitální áze a yhází m D = 0,5 g. Hmotnosti dřeěnýh špalíků jsme měřili na digitální áze s přesností na desetiny gramu. Jejih rozměry jsme zhledem k nepřesnostem měřili posuným měřítkem s přesností na 0,5 mm. Se stejnou přesností jsme měřili i záměrnou zdálenost b. Na špalíky jsme nalepili značky s označením polohy těžiště pro lepší sledoání kamerou (obr. 5 leo). Obr. 5 Špalík s označením polohy těžiště zasažený již děma diabolkami (leo) a sestaa se stojanem, opěrou a zduhokou e sěráku (prao) Vzduhoku jsme uhytili do sěráku a yrobili posouatelnou podpěru pro špalíky. Místo zásahu jsme odměřoali pomoí drátu zasunutého do hlaně. Pohyb špalíku jsme sledoali děma kamerami. Jedna s frekení snímkoání 100 FPS zabírala odraz špalíku. Druhá s frekení snímkoání 10 FPS, resp. 60 FPS snímala elý pohyb. Zpraoání idea jsme dělali programu raker. Pro kontrolu, že obraz je nezkreslený a že polohy těžiště jsou dobře určeny, jsme sestrojili graf záislosti y na čase. Do něj jsme fitoali kadratikou funki (rh sislý) a z ní určili hodnotu tíhoého zryhlení g. Když hodnota yházela 9,7 až 10,0, byli jsme spokojeni. V průběhu jednoho školního roku jsme proedli 4 série pokusů, které jsme postupně zpřesňoali. V poslední sérii jsme použíali dřeěné špalíky o parametreh = 75 mm, d = 14 mm, m = 5-8 g. Hybnost diabolky byla 0,0885 kg m s 1. Výsledkem této série je graf na obr. 6. Vidíme na něm poronání ýšky ýstupu h naměřené a ypočtené. 31

10 h.m [m.g ] Veletrh nápadů učitelů fyziky 1000,0 800,0 600,0 400,0 00,0 0,0 0,0 10,0 0,0 30,0 40,0 b [mm] Obr. 6 Poronání ýšky ýstupu naměřené a ypočtené záislosti na b Pozn.: Protože hmotnosti špalíků se poněkud liší, je na ose y ynesená eličina h m (kde h je ýška ýstupu a m hmotnost špalíku), která na hmotnosti nezáisí, iz (19). Záěr h m 3 b d p D Funke yjádřená čarami odpoídá ýše popsané teorii. 1. (19) g Nečekaně ysoký ýskok špalíku lze ysětlit odrazem od Země. Nastáá při zásahu do hodné zóny u špalíku, jehož strany jsou e spráném poměru. Vymrštěný špalík tak může mít ětší hybnost než dopadajíí diabolka. Zákon zahoání hybnosti je šak splněn, protože nepatrnou část hybnosti (opačným směrem) získala Země. Literatura [1] Vybíral B., Šediý P.: Mehanika roinného pohybu tuhého tělesa. ASRA PRIN Hrade Králoé,