Obsah KAPITOLY ZE SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

Transkript

1 9. Zásahy začátku a kone laku bleskem nastaly dříe, než pozoroatel B dorazil k pozoroateli. Podle pozoroatele B obě události proběhly e stejné zdálenosti roné poloině klidoé délky laku, tedy současně. Podle pozoroatele byl začátek laku zasažen e zdálenosti menší než poloina délky laku a kone e zdálenosti ětší než poloina délky laku. Jestliže sětlo od obou blesků dorazilo současně, musel být podle pozoroatele kone laku zasažen dříe než začátek.. Vztah 60) upraíme na tar s + m 0 ) = m t, který je formálně stejný jako ronie hyperboly s + m ) 0 ) m0 + m) a t m0. Δm =0,0989 m u =, kg, E j =Δm =,48 0 J=9,4 MeV. 3. Δm = Pt =,7 kg. η 5. Řešením soustay roni p m = p n, m p0 = m m + m n, m m 4 p m = m m0 4, m n 4 p n =0 ) =, y b =. dostaneme m p0 = m m0 4 + p m + p m, p m = p n = m p0 m m0 ) =58, m e, m p0 E n = E kn = p n =58,m e =9,8 MeV, E m = E p0 E n = 4,9m e = 09,8 MeV, E km = E m E m0 =8,m e =4, MeV. 6. p = BeR =,5 0 kg m s, E = E0 + p = m B e R =3,8 0 3 J=,4 MeV, KPITOLY ZE SPECIÁLNÍ TEORIE RELTIVITY Obsah Studijní tet pro řešitele O a ostatní zájeme o fyziku Přemysl Šediý Úod Výklad relatiistiké kinematiky pomoí časoprostoroýh grafů a metody koefiientu k. Výhodiska speiální teorie relatiity Cojetokoefiientk Dilatae času Dopplerů je Skládání ryhlostí Kontrake délky Relatiistiké efekty při malýh ryhlosteh, přibližné ýpočty..8 Lorentzoa transformae Relatinost současnosti Nepřekročitelnost ryhlosti sětla e akuu Hybnost a energie 8. Relatiistiká hmotnost Neměnnost náboje Pohyb částie s nuloou počáteční ryhlostí, na kterou působí stálá síla Energie Mezní ryhlost Vztah mezi elkoou energií, klidoou energií a hybností částie 8.7 Druhý pohyboý zákon při elkýh ryhlosteh Příklad na záěr Literatura 35 Výsledky úloh 35 m = E =4, kg, = p m =,9 08 m s. 36

2 ) u m p0 m e0 4 8Ep. 06) E e Pro dané hodnoty u =, m s. Při této ryhlosti má elektron hmotnost m e = m e0 u m e0 XY 8 ) m e0 XY 4 ) = m e0, XY 07) m m e0 E p E e e m e0 m p0 4 = m p0 4 08) E p E e a elkoou energii Ee = m e E pe e m p0. 09) Po dosazení m e =9,3 0 3 kg, Ee =8,4 0 6 J = GeV. Jiné řešení užitím ztahu 8) mezi elkoou energií, kinetikou energií a hybností: Označme p e, p p elikosti hybností elektronu a protonu e ztažné soustaě spojené s laboratoří a p e elikost hybnosti elektronu e ztažné soustaě spojené s protonem. Před srážkou je elkoá energie protonu a elektronu e ztažné soustaě spojené s laboratoří E e + E p, e ztažné soustaě spojené s protonem Ee + E p0. Celkoá hybnost protonu a elektronu soustaě spojené s laboratoří má elikost p e p p,protožečástiesepohybujíprotisobě.celkoáhybnoste ztažné soustaě spojené s protonem je p e. V důsledku inariantnosti ýrazu E p platí: Ee + E p0) p e =E e + E p ) p e p p ), 0) Ep0 = E p p p, Ee p e = Ee p e. ) Odečtením roni ) od ronie 0) dostaneme: Ee E p0 = E e E p + p e p p, ) Protože obě ryhlosti části soustaě spojené s laboratoří se blíží ryhlosti sětla e akuu, je p e m e = E e, p p m p = E p, 3) E e = E ee p + p e p p E p0 E ee p E p0 = E ee p m p0, m e E ee p m p0 4. 4) Budeme yházet z modeloé situae znázorněné na obr.. Da pozoroatelé, B jsou ybaeni přesnými hodinami a radiotehnikými přístroji pro zájemnou komunikai. Pozoroatel je klidu ineriální ztažné soustaě S, e které zolíme kartézskou souřadnioou soustau Oyz. PozoroatelB se pohybuje ronoměrně po ose soustay S stálou ryhlostí. Vztažná soustaa S spojená s pozoroatelem B, e které zaedeme podle obr. souřadnioou soustau O y z, je ošem roněž ineriální. V okamžiku, kdy se pozoroatelé míjejí, nastaíme na jejih hodináh stejný čas t = t =0. V klasiké Newtonoě mehanie se předpokládá, že pokud dojde k nějaké události, bude ji obou ztažnýh soustaáh příslušet stejný čas t = t a polohoé r ektory r, určujíí místo události obou ztažnýh soustaáh budou splňoat r ztah r = + t, který plyne z obr.. Pro přepočet údajů harakterizujííh událost e ztažné soustaě S na údaje, které platí e ztažné soustaě S, tedy použijeme soustau roni nazýanou Galileoa transformae: = + t, y = y, z = z, t = t. ) z y y O t O r z r U Obr. Prinip konstantní ryhlosti sětla je rozporu s Galileoou transformaí. Jestliže yšleme čase t = t = 0 sětelný signál, který se e ztažné soustaě S bude pohyboat e směru kladné poloosy ryhlostí, bude jeho pohyb obou ztažnýh soustaáh popsán roniemi =, = + t = + t = + t = + )t. ) Ve ztažné soustaě S se tedy bude signál pohyboat ryhlostí +. byhom překonali tento rozpor, musíme připustit, že Galileoa transformae nepopisuje při elkýh ryhlosteh dostatečně přesně přehod z jedné ineriální ztažné soustay do druhé. Předeším šak musíme oprait naše předstay o prostoru a čase, které jsme získali při každodenním pozoroání pohybů, jejihž ryhlost je nepatrná e sronání s ryhlostí sětla. 34 3

3 a = m ) a } {{ } + m ). 00) }{{} a Zryhlení lze tedy yjádřit jako ektoroý součet dou složek, z nihž jedna je orientoána e směru síly a druhá je kolmá k ektoru a leží roině určené ektory a obr. ). a m a se rátí k pozoroateli čase t 3 = kt = k t událost U 3 ) ). V grafu je pohyb signálu zobrazen úsečkami ronoběžnými s osami kadrantů. Z obr. 4 je zřejmé, že podle pozoroatele nastala událost U časet =t + t 3 )/ e zdálenosti, kterou signál urazil za dobu t 3 t )/. Z toho = t + t 3 Dosazením za t 3 a úpraou dostaneme t k + = k, k = = t 3 t + =. 5) + 6) a Obr. Záislost koefiientu k na relatiní ryhlosti obou pozoroatelůznázorňuje graf na obr. 5. Úloha 6. V homogenním magnetikém poli o induki B = 0,00 T proletěl elektron kolmo k indukčním čarám po kruhoém oblouku o poloměru R =0,78 m. Určete jeho hybnost, elkoou energii, hmotnost a ryhlost..8 Příklad na záěr V uryhloači HER Hamburku, který byl ueden do proozu r. 989, získáají elektrony elkoou energii E e = 30 GeV a protony elkoou energii E p = 80 GeV. Částie obíhají opačnýh směreh e dou přibližně kruhoýh zásobníh prsteníh o poloměru r =,0 km umístěnýh nad sebou. Na čtyřeh místeh, kde se prstene kříží, probíhají srážkoé pokusy. a) O kolik jsou ryhlosti protonů a elektronů menší než ryhlost sětla e akuu? b) Jak silná magnetiká pole udržují částie na kruhoýh trajektoriíh? ) Jakou ryhlost u, hmotnostm e a elkoou energii Ee má elektron před srážkou e ztažné soustaě spojené s protonem? Klidoé hmotnosti protonu a elektronu jsou m p0 =, kg, m e0 =9, 0 3 kg. Obě částie mají náboj o absolutní hodnotě e =, C. U 3 t 3 =k t t = t +t 3 U t=t B =t U t =kt k 0 0, 0,4 0,6 0,8 Obr. 4 Obr Známe-li hodnotu koefiientu k, můžeme ypočítat ryhlost užitím ztahu = k k + Pro ětší přehlednost jsou časoé relae připsány k obrazům jednotliýh událostí. Na sislou osu ošem neynášíme čas, ale eličinu. 7) 3 5

4 V klasiké mehanie, při ryhlosteh malýh e sronání s ryhlostí sětla e akuu, můžeme hmotnost poažoat za konstantní. Zákon síly yjádříme proto s dostatečnou přesností e taru: dm dt 0, = ma, a = m. 88) Při elkýh ryhlosteh musíme přihlížet k relatiistikému ztahu mezi hmotností a ryhlostí hmotného bodu: m = m 0, = m 0 m. 89) Hmotnost m hmotného bodu je přímo úměrná jeho elkoé energii E, která se ošem při pohybu mění. Změna energie je rona prái ykonané ýslednií sil, které na hmotný bod působí. Platí: dm = de = dr = dt, Po dosazení do 87) dostááme zákon síly e taru: dm dt =. 90) = +, = ma a m m, 9) ze kterého budeme yházet následujíí diskusi. Nejpre probereme speiální případy.. Síla působí e směru pohybu Jsou-li ektory a souhlasně ronoběžné, platí =, a = m m. 9) Vektor a má stejný směr jako okamžitá ryhlost a pro jeho elikost platí a = m ) = ) 3. 93) m0 očaset dorazí k pozoroateli čase t 3 = 90 min. Vyšleme-li tomto okamžiku k pozoroateli B další signál s informaí o čase t 3, dorazí k němu okamžiku,kdyjehohodinyukazujíčast 4 = 35 min. Podle pozoroatele nastala druhá událost čase t = 40 min + 90 min)/ =65min, ale podle pozoroatele B nastala třetí událost čase t 3 = 60 min + 35 min)/ =97,5 min. Oba pozoroatelé dojdou ke stejnému ýsledku:.4 Dopplerů je t 3 t = t = 3 t 3 = ) 5. 3 Jestliže pozoroatel ysílá praidelné signály s periodou T 0 obr. 8), přijímá je pozoroatel B, který se zdaluje ryhlostí, speriodou T = kt 0 = T 0 + rekene ysílače f 0 a frekene přijímaného signálu f jsou e ztahu f = f 0 = f k 0 + 9) 0) Ke stejnému ýsledku dojdeme samozřejmě i případě, že signály bude ysílat pozoroatel B a přijímat pozoroatel. Úlohy. Jakou ryhlostí by se od Země zdaloala kosmiká loď, jestliže signály ysílané z lodi s frekení přesně MHz by na Zem přiházely s frekení 950 khz? Obíhání Země kolem Slune zanedbejte.. Na obr. 9 je časoprostoroý graf pro dobu před událostí,kdysepozoroatel B přibližuje k pozoroateli ryhlostí. Jestliže pozoroatel ysílá signály s periodou T 0, přijímá je pozoroatel B s periodou T = kt 0.Dokažte, že platí k = k = +. ) 30 7

5 Je-li uryhloaí napětí malé, dostaneme dostatečně přesnýýsledek užitím klasikého zore pro kinetikou energii: m 0 = UQ, 80) = UQ m 0. 8) Pro elektron dosazením hodnot m 0 =9, 0 3 kg, Q = e =, C dojdeme ke grafům na obr..,,0 0,8 0,6 0,4 0, Ue m Obr. U MV Poronáním uedenýh ztahů a úpraami dostaneme: ku) t = ku ) t = ku ) k) t, ku) =ku ) k), 3) + u u = + u u +, 4) +u) u ) ) = u)+u )+), u +u )= u +), 5) u = u + + u 6) Získali jsme relatiistiký zore pro skládání ryhlostí ronoběžnýh s osou. Úloha 4. Odoďte ztah 8) ze ztahu 79) užitím přibližnýh zorů )..6 Vztah mezi elkoou energií, klidoou energií a hybností částie Úlohy 3. Ze zore 6) yjádřete ryhlost u. Noý zore poronejte s ýhozím. 4. Jestliže do praé strany zore 6) dosadíme ryhlosti, pro které platí 0 <<a0<u <, pak také platí 0 <u<. Složením dou podsětelnýh ryhlostí dostaneme opět podsětelnou ryhlost. Dokažte. Uprame ztah 50) mezi relatiistikou hmotností m, klidoou hmotností m 0 a okamžitou ryhlostí pohybujíí se částie: ) m = m 0, m m = m 0. Vynásobíme-li ještě obě strany ronie, dostanou šehny její členy jednoduhý fyzikální ýznam: m 4 m = m 0 4, E p = E 0. 8) Vztah mezi elkoou energií, klidoou energií a hybností částie, který jsme ododili, se dá yužít při řešení nejrůznějšíh úloh. Jako příklad ododíme zákon dráhy částie uedené do pohybu působením stálé síly. Do ztahu 8) dosadíme za elkoou energii součet klidoé energie a spotřeboané práe, za hybnost impuls síly: E 0 + s) t = E 0, s = E 0 + t E 0. 83) 8 9

6 Pro izoloaný soubor části pak ze zákona zahoání hmotnosti přímo plyne zákon zahoání energie: m = konst. E = m = konst. 77) Teorie relatiity tedy hápe zákon zahoání hmotnosti a zákon zahoání energie jako různé formy téhož fyzikálního zákona. Vztah E = m je potrzen energetikou bilaní jadernýh reakí a reakí elementárníh části. Například při termonukleární reaki H+ 6 3 Li 4 He + 4 He se součet klidoýh hmotností zmenší o Δm 0 =0,039 m u =3, kg a součet kinetikýh energií se zětší o ekialentní hodnotu ΔE k =Δm =3,58 0 J=,4 MeV. Při tz. anihilai elektronu s pozitronem obě částie zanikají a nejčastěji znikají da fotony γ, přičemž kinetiká energie každého je rona klidoé energii elektronu m e =9, 0 3 kg 3, m s ) =8,0 0 4 J=0,5 MeV. Úlohy. tom nuklidu uhlíku 6C, který má relatiní atomoou hmotnost r = = přesně), se skládá z šesti protonů, šesti neutronů a šesti elektronů o relatiníh atomoýh hmotnosteh r p) =, , r n) =, ,re) = 0, Určete azební energii jeho jádra E j, tj. prái, kterou byhom museli ykonat, abyhom jádro rozdělili na zájemně na sebe nepůsobíí protony a neutrony. Energii elektronoého obalu atomu zanedbejte. 3. Vypočítejte úbytek elkoé klidoé hmotnosti jaderného palia a produktů jeho štěpení za jeden rok jaderné elektrárně o ýkonu 000 MW a účinnosti 30 %. dolní kone se bude pohyboat po ose, a stejnou sislou tyčí opatřeme i stanoiště pozoroatele. Kdyby se tyč pozoroatele B při pohybu zkrátila, její kone by čase t = 0 proběhl pod konem tyče pozoroatele. Podle pozoroatele B ošem jeho tyč stojí klidu a tyč pozoroatele se pohybuje ryhlostí o elikosti e směru záporné poloosy. Podle prinipu relatiity by měl horní kone tyče pozoroatele proběhnout pod horním konem tyče pozoroatele B, ož nesouhlasí s předházejíím předpokladem. Ke stejnému rozporu dojdeme i když budeme předpokládat, že se sislá tyč při pohybu prodlouží. Z toho je zřejmé, že délka pohybujíí se tyče kolmé ke směru pohybu je stejná jako její délka klidoá..7 Relatiistiké efekty při malýh ryhlosteh, přibližné ýpočty Při řešení úloh ze speiální teorie relatiity, e kterýh se jedná o pohyby s ryhlostí mnohem menší než ryhlost sětla e akuu, nebo s ryhlostí, která se k ryhlosti sětla e akuu přibližuje, je účelné použíat přibližnýh zorů. Ty umožňují jednodušším ýpočtem získat praktiky stejné ýsledky jako při použití zorů půodníh. V tomto studijním tetu použijeme přibližné zore ± ±, ±, ± ) ±, ) + +B + B, + + 3) platné pro a B. Tyto zore a jejih kombinae jsou hodné nejen pro numeriké ýpočty, ale i pro úpray složitějšíh ýrazů. Vztah ) pro ýpočet kontrake délky můžeme při malýh ryhlosteh uprait na tar ) l = l 0 l 0 = l 0 l 0. 4) Délka e směru pohybu se tedy zkrátí o Δl l 0 l = l 0. 5) Podobně zjednodušíme ýpočet dilatae času podle 8): ) t = t t = t t. 6) 6

7 Určíme ještě, za jakou dobu t proletí elektron dráhu L. Ze ztahu 60) yjádříme t = s + m 0. 66) s Po dosazení s = L =,00 m dostaneme t =8, 0 9 s. Úloha. Dokažte, že relatiistiký graf dráhy na obr. 9 je úsekem hyperboly..4 Energie Kinetiká energie pohybujíí se částie je rona mehaniké prái, kterou musíme ykonat, abyhom částii uedli z klidu do pohybu danou ryhlostí. Pokud prái koná síla stálého směru a elikosti, platí E k = W = s. 67) Jestliže ryhlost, kterou částie dosáhne, je mnohem menší než ryhlost sětla e akuu, můžeme hmotnost částie poažoat za konstantní m = m 0 )apohyb za ronoměrně zryhlený se zryhlením o elikosti a = /m 0.Pak W = s = m 0 a at = m 0at) = m 0. 68) Při malýh ryhlosteh můžeme tedy kinetikou energii částie dostatečně přesně ypočítat podle klasikého zore E k = m 0. 69) Stejným způsobem můžeme určit i kinetikou energii částie pohybujíí se elkou ryhlostí. Musíme šak při ýpočtu dráhy použít ztahy 60), 55) a 50): ) ) W = s = m 0 + t m = m 0 + m 0 m = 0 = m 0 + = m 0 =m m 0), 70).8 Lorentzoa transformae Každá událost, která proběhla na ose, je e ztažné soustaě S pozoroatele určena polohoou souřadnií ačasemt. Jak se stejná událost jeí e ztažné soustaě S pozoroatele B? Dejme tomu, že uažoanou událostí U bude odraz signálu yslaného pozoroatelem čase t = t, který se rátil čase t = t obr. ). Tento signál minul pozoroatele B čase t = kt apřináratu časet = t /k. Z hlediska pozoroatele platí = t t, t = t + t Z hlediska pozoroatele B platí analogiky = t t. Ztoho t = +, t = t + t, t =. 3). 33) Dosazením a úpraami dostaneme ronie pro transformai souřadni ze ztažné soustay S do ztažné soustay S : t k kt = = t = t k + kt + k k ) = = + = + k = + k ) k ) k + k ) = = + k )+ k ) k t) = t + t = + + k k k =, 34) = t = t =. 35) Zbýajíí dě prostoroé souřadnie y a z se při přehodu ze ztažné soustay S do ztažné soustay S nemění, jako se nemění délky tyčí kolmýh ke směru pohybu. Kompletní Lorentzoa transformae je tedy yjádřena soustaou roni: = t, y = y, z = z, t = t 36) 4 3

8 Vztah pro ýpočet dráhy dostaneme integraí: s = t Použijeme substitui z = m 0 + t, t dz m 0 + t dt = s = 0 t dt. 57) m 0 + t z dz = t dt. = z + C = m 0 + t + C, 58) [ ] t m 0 + t = m t m 0, 59) s = m 0 + ) t m 0 Na začátku pohybu, kdy t m 0, můžeme ztahy 56) a 60) zjednodušit: s m 0 60) t m 0 = m 0 t = at, 6) + t ) m = t = 0 m 0 at. 6) Dostali jsme stejné ztahy jako klasiké fyzie. Jestliže naopak pohyb probíhá tak dlouho, že t m 0, můžeme ztahy 56) a 60) uprait na: ) t t =, s m 0 t m = m ) Ryhlost částie se přiblíží k ryhlosti sětla e akuu a téměř se nemění; pohyb je téměř ronoměrný. Pro ilustrai sestrojíme grafy ryhlosti a dráhy elektronu s nuloou počáteční ryhlostí, který e akuu homogenním elektrikém poli o intenzitě E =, V m proletěl dráhu L =,00 m. Viz obr. 9; čárkoaně je zakresleno klasiké řešení.) Do ztahů 56) a 60) dosadíme hodnoty eličin: =3, m s, m 0 =9, 0 3 kg, = E e =, N dobu při události Q. Podle něj došlo k událostem a U současně s událostí S zobrazenou středem úsečky PQ, která nastala uprostřed časoého interalu mezi událostmi P a Q. Ke stejnému záěru dojde i každý jiný pozoroatel E, jehož sětočára je ronoběžná se sětočárou pozoroatele D. Z podobnosti trojúhelníků na obr. 3 plynou ronosti P S = S Q, P S = S Q. Podle pozoroatele E tedy události, U a S nastaly současně. Jestliže pro souřadnie události platí <, nedá se předházejíí konstruke proést, protože signály odražené opačným směrem při událosteh a U se minou obr. 4). Každá událost U zobrazená dolním kadrantu časoprostoroého grafu se podle pozoroatele kterékoli ineriální ztažné soustaě uskutečnila dříe než událost. Všehny události zobrazené této oblasti jsou absolutně minulé zhledem k události. Mezi ně patří i šehny události, které byly příčinou události. P Q S P Q S P E Q D U absolutní budounost absolutní minulost Obr. 3 Obr. 4 Naopak každá událost U zobrazená horním kadrantu grafu se podle pozoroatele kterékoli ineriální ztažné soustaě uskutečnila později než událost. Všehny události zobrazené této oblasti jsou absolutně budouí zhledem k události. Mezi ně patří i šehny události, které budou následkem události. U U 5

9 Poronáním ztahů 47) a 49) dostaneme hledanou záislost relatiistiké hmotnosti částie na její ryhlosti, jejíž graf je na obr. 8: u m u m 0 = m u m 0 u, m u = 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 m 0 u 50) u Obr. 8 Z průběhu grafu je zřejmé, že ryhlost částie s nenuloou klidoou hmotností m 0 nemůže nikdy dosáhnout ryhlosti sětla e akuu, protože relatiistiká hmotnost částie by přitom neomezeně zrostla. Známe-li klidoou hmotnost částie m 0 a hmotnost za pohybu m u, můžeme určit ryhlost u částie: m u ) ) u = m 0, u = m 0 m, u = m 0 u m u. Neměnnost náboje 5) Na rozdíl od hmotnosti částie, její elektriký náboj na ryhlosti nezáisí a při přehodu z jedné ineriální ztažné soustay do druhé se nemění. Sědčí o tom nalogiky i e čtyřrozměrném časoprostoru o souřadniíh, y, z a zaádíme sětelný kužel jako nadplohu popsanou ronií + y + z =). 43) Nadplohu šak není možné názorně zobrazit trojrozměrném eukleidoském prostoru. Úlohy 9. Pozoroatel stál edle trati a sledoal okolo projíždějíí lak, jehož středu seděl pozoroatel B. Do začátku a kone laku udeřily blesky a sětlo od obou dorazilo k oběma pozoroatelům současně okamžiku, kdy pozoroatel B míjel pozoroatele. Podle kterého z pozoroatelů proběhly zásahy začátku a kone laku bleskem současně? Podle kterého nikoli a jaké bylo podle něj jejih pořadí? 0. Užitím Lorentzoy transformae dokažte, že při přehodu z ineriální ztažné soustay S do ineriální ztažné soustay S platí + y + z t = + y + z t. To znamená, že hodnota ýrazu + y + z t příslušejíí nějaké události se při přehodu ze ztažné soustay S do ztažné soustay S nemění. Takoý ýraz nazýáme inariantní zhledem k Lorentzoě transformai..0 Nepřekročitelnost ryhlosti sětla e akuu Předpokládejme, že nějaký objekt R se pohybuje zhledem k pozoroateli e směru kladné poloosy ryhlostí ětší, než je ryhlost sětla e akuu. Jeho sětočára časoprostoroém grafu sírá s odoronou osou úhel menší než 45 a můžeme na ni yznačit dě události U, U, přičemž událost U nastala podle pozoroatele dříe než událost U obr. 6). Pozoroatel může tedy předpokládat, že událost U je příčinou události U. Signály, které se odrazily proti sobě při událosteh U a U byly současně yslány pozoroatelem událost P ). Jestliže se pozoroatel pohybuje ronoměrně zhledem k pozoroateli týmž směrem jako objekt R dostatečně elkou ryhlostí ale menší než ryhlost sětla), dojde k tomu, že signál odražený při události U přijme dříe než signál odražený při události U události Q, Q ). Zjistí tedy, že událost U se uskutečnila dříe než událost U anemůže proto být jejím důsledkem. Dospěli jsme k záěru, který je rozporu s příčinnou souislostí obou událostí. Předpoklad o nadsětelné ryhlosti objektu R byl tedy nereálný. Žádný materiální objekt se podle speiální teorie relatiity nemůže pohyboat ryhleji než elektromagnetiký signál e akuu. 0 7

10 Hybnost a energie. Relatiistiká hmotnost Mezi základní zákony newtonoské mehaniky patří zákon zahoání hmotnosti a zákon zahoání hybnosti. Podle nih je kterékoli ineriální ztažné soustaě konstantní elkoá hmotnost a také elkoá hybnost každého izoloaného souboru pouze zájemně působííh těles. Předpokládáme-li, že tyto zákony platí i relatiistiké mehanie, dojdeme k záěru, že hmotnosti jednotlié částie není konstantní, ale záisí na její ryhlosti. K odození této záislosti použijeme myšlenkoý pokus, při kterém dě stejné částie uedeme do pohybu proti sobě a způsobíme tím jejih dokonale nepružný entrální ráz. Situai před rázem a po rázu popíšeme nejpre zhledem k ineriální ztažné soustaě S s počátkem e hmotném středu této dojie části obr. 7a), pak zhledem k ineriální ztažné soustaě S, jejíž počátek se před rázem pohybuje s jednou z části obr. 7b). y O y y O O Obr. 7a y O O O O O O u y y y O O Obr. 7b y O Ve ztažné soustaě S se obě částie před rázem pohybují stejně elkými ryhlostmi a a mají stejně elké hybnosti opačného směru. Celkoá hybnost dojie části je nuloá a podle zákona zahoání hybnosti se částie při rázu zastaí, spojí se jedinou částii a ta zůstane klidu. Popis děje zhledem ke ztažné soustaě S je poněkud složitější. Jedna částie je před rázem počátku ztažné soustay S klidu. Vztažná soustaa S se zhledem ke ztažné soustaě S pohybuje stálou ryhlostí o elikosti. 8 Velikost u ryhlosti druhé částie zhledem ke ztažné soustaě S určíme podle relatiistikého ztahu 6) pro skládání ryhlostí, kde položíme u = : u = +. 44) Po rázu se spojené částie naházejí počátku ztažné soustay S a pohybují se tedy zhledem ke ztažné soustaě S ryhlostí. Podle klasiké mehaniky by se hmotnost m částie neměla změnit při jejím uedením do pohybu ani při nepružné sráže s druhou částií. V takoém případě by elkoá hybnost dojie části před rázem měla soustaě S elikost m u + m 0= m +, 45) ale po rázu m, ož by bylo rozporu se zákonem zahoání hybnosti. Předpokládejme tedy, že hmotnost částie není konstantní, ale záisí na její ryhlosti. Označme m 0 hmotnost částie klidu, m a m u hmotnosti téže částie při ryhlosteh a u. Podle zákona zahoání hmotnosti je elkoá hmotnost dojie části před rázem stejná jako po rázu, tedy m 0 + m u.podle zákona zahoání hybnosti pak platí Z toho určíme poměr obou hmotností: Platí také u = m u = m 0 u = m u u =m u + m 0 ). 46) + + = + 47) = 4 + ) = ) + ), 48) + =. 49) u 9

11 Události, jejihž obrazy leží praém a leém kadrantu grafu označujeme jako relatině současné, nebotakéabsolutně zdálené. Žádná z nih nemůže být příčinou ani následkem události a každá může podle pozoroatele některé ineriální ztažné soustaě proběhnout současně s událostí. Rozšíříme-li naše úahy na děje, které probíhajíroiněurčenéosami a y ztažné soustay, můžeme je zobrazit trojrozměrném časoprostoroém grafu obr. 5). Pohyb sětelnýh a rádioýh signálů, které čase t =0prolétly šemi směry počátkem ztažné soustay, je zobrazen kuželoou plohou popsanou ronií + y =), 39) kterou nazýáme sětelný kužel. Unitř dolní části sětelného kužele, kde platí + y < ), t < 0, 40) jsou zobrazeny šehny události absolutně minulé k události,unitřhorní části, kde platí + y < ), t > 0, 4) jsou zobrazeny šehny události absolutně budouí k události. Vně sětelného kužele, kde platí + y > ), 4) jsou zobrazeny šehny událostí relatině současné k události. absolutní budounost absolutní minulost y Obr. 5 Obr. 6 6 U U P Q Q R např. eperimentální fakt, že atomy a molekuly látek jsou elektriky neutrální, ačkoli ryhlosti elektronů atomoýh obaleh různýh atomů jsou různé a značně se liší od ryhlostí protonů atomoýh jádreh. V homogenním elektrikém poli o intenzitě E působí na částii s nábojem Q stálá síla = QE nezáislá na ryhlosti částie..3 Pohyb částie s nuloou počáteční ryhlostí, na kterou působí stálá síla Částii o klidoé hmotnosti m 0, která byla klidu, uedeme působením stálé síly do pohybu ryhlostí. V klasiké fyzie se předpokládá, že hmotnost částie se nemění a. pohyboý zákon platí e taru = dt = dm ) 0 d = m 0 dt dt = m. 5) 0a dp Pohyb je tedy ronoměrně zryhlený a řídí se kinematikými zákony = at, s = at, a = m 0, 53) kde a je elikost konstantního zryhlení. To platí elmi přesně, dokud dosažená ryhlost je mnohem menší než ryhlost sětla e akuu. Má-li popis pohybu yhooat i při elkýh ryhlosteh, musíme. pohyboém zákoně přihlédnout i ke změně hmotnosti a použít jej e taru = dt = ) = dm dt dt + dt = dm + ma. 54) dm dp dt md S rostouí hmotností částie se zryhlení částie yolané působením stálé síly postupně zmenšuje, ryhlost roste čím dál pomaleji a nepřekročí ryhlost sětla e akuu. Kinematiké zákony 53) musíme oprait. Uedeme-li hmotný bod z klidu do pohybu, je jeho hybnost rona impulsu síly. Je-li síla konstantní, platí p = m = t, p= m = m 0 Úpraou dostaneme ztah pro ýpočet ryhlosti: ) m 0 = t, t = m 0 + t, = = t. 55) t m 0 + t 56)

12 a dostaneme ztahy pro ýpočet číselnýh hodnot {}, {s}: Úloha 8. Řešením soustay roni 36) jako soustay s neznámými, y, z a t nalezněte inerzní Lorentzou transformai pro přehod ze ztažné S do ztažné soustay S. Obě transformae poronejte. Jak by ypadal obr., kdybyhom ho nakreslili z hlediska pozoroatele B? {} = 4, {t} 7, , {t}, 64) ) {s} =0,53 +3, {t}. 65).9 Relatinost současnosti Pro pozoroatele nastaly současně s událostí, kdy jej práě míjel pozoroatel B, šehny události, které jsou zobrazeny jako body odoroné osy časoprostoroého grafu určené ronií t = 0 obr. ). Podobně pro pozoroatele B nastaly současně s událostí šehny události, pro které platí t =0. V grafu yplní přímku, jejíž ronie plyne z 35): =0 =0 = t t =0 t = / t ϕ =0. =. 37) ϕ Pro šehny body přímky platí = Obr. =tgϕ. 38) Její odhylka od odoroné osy je tedy stejná jako odhylka sětočáry pozoroatele B od sislé osy. Kdyby pozoroatel B konstruoal časoprostoroý graf, pak události, které jsme dosud zobrazoali na jeho sětočáře, by zobrazoal na sislé ose, a události, které se zobrazily na příme,byzobrazoalna odoroné ose. Mějme nyní nějakou událost U různou od události, pro kterou platí >. Eistuje pozoroatel, kterému se událost U jeí jako současná s událostí? Sestrojme kružnii nad průměrem U obr. 3). Obrazy signálů, které se odrazily proti sobě při událosteh a U, jiprotnoubodehp, Q. Pozoroateli D, jehož sětočárou je přímka PQ, se budou události U, jeit jako současné, neboť jím yslané signály při události P se rátily za stejnou B 0 8 m s 3 s m 0 m 0 0 t m Obr. 9 5 t m t ns t ns 4 3

13 Hodiny pozoroatele B budou tedy podle pozoroatele ukazoat méně o Δt = t t t. 7) Výpočet koefiientu k podle 6) při malýh ryhlosteh zjednodušíme na + k = ) Jestliže pozoroatel ysílá periodiký signál s periodou T 0 a lnoou délkou λ 0 = T 0, bude jej pozoroatel B, který se zdaluje od pozoroatele ryhlostí, přijímat s periodou a lnoou délkou T T 0 + ) Vlnoá délka se zětší o, λ = T T 0 + ) = λ 0 + ). 9) Δλ = λ 0. 30) Při skládání malýh ryhlostí upraíme ztah 6) na ) u = u + u + ) u + u = u + u + )u. 3) Úlohy 5. O kolik se zpozdí za jeden rok hodiny umístěně kosmiké stanii obíhajíí kolem Země konstantní ryhlostí 7,9 km/s? 6. O kolik se zkrátí pro pozoroatele na letišti délka nadzukoého letadla o klidoé déle 0 m při ryhlosti 000 km/h? 7. Jakou ryhlostí se od nás zdaluje galaie, jestliže jejím optikém spektru je čerená čára odíku posunuta z λ 0 = 656,3 nmnaλ = 678, nm? kde m = m je hmotnost částie za pohybu a m 0 její hmotnost klidoá. Kinetiká energie částie je rona součinu přírůstku hmotnosti částie způsobené jejím uedením do pohybu a druhé moniny ryhlosti sětla e akuu: E k =m m 0 ) 7) Relatiistiký zore pro ýpočet kinetiké energie není rozporu s klasikým zorem 69). Při malýh ryhlosteh můžeme psát ) m m 0 ) = m 0 m 0 + = m 0. 7) Klasiký zore pro ýpočet kinetiké energie částie je tedy jen přibližným yjádřením zore relatiistikého pro. Vraťme se ještě jednou k myšlenkoému pokusu na obr. 7a. Soustaa dou části o elkoé klidoé hmotnosti m 0 získala soustaě S uedením do pohybu nějšími silami elkoou kinetikou energii E k =m m 0 ) ajejí elkoá hmotnost se zětšila na M =m =m 0 + E k. 73) Během rázu už na částie žádné nější síly nepůsobí. Částie se zastaí jen zájemným působením, ztratí přitom kinetikou energii, ale o stejnou hodnotu ΔU = E k se zětší nitřní energie soustay. Podle zákona zahoání hmotnosti má noá částie zniklá spojením půodníh části i po rázu hmotnost M =m 0 + ΔU, 74) ožjeošemjejíhmotnostklidoá. Vidíme, že zýšením nitřní energie se elkoá hmotnost soustay části změní stejně jako získáním energie kinetiké. To nás ede k záěru, že klidoá hmotnost částie je mírou její klidoé nitřní energie E 0 = m 0 75) ažeelkoá energie částie pohybujíí se ryhlostí je E = E 0 + E k = m 0 +m m 0 ) = m = m 0. 76) 5

14 .6 Kontrake délky.5 Mezní ryhlost Se ztažnou soustaou S nehť se pohybuje tyč ronoběžná s osou, jejíž jeden kone je místě pozoroatele B a druhý má konstantní souřadnii = l 0 ronou klidoé déle tyče. Pohyb druhého kone tyče zobrazíme grafu sětočárou B obr. ). Che-li pozoroatel změřit délku tyče, musí tomtéžokamžikupodle sýh hodin určit polohu obou konů. Za tím účelem yšle čase t = t signál, který se odrazí na koni tyče událost U)arátísečaset = t.kodrazu tedy došlo čase t U a e zdálenosti U,kde t U = t + t, U = t t. 7) V tomtéž okamžiku se pozoroatel B a s ním i začátek tyče naházel e zdálenosti t = t t = t U t = t B B t = t k V U t = t U t = kt Bertoi r. 964 eperimentálně oěřoal, že ryhlost elektronů uryhlenýh elektrikým polem nemůže překročit ryhlost sětla e akuu. Použil k tomu dlouhou katodoou trubii, jejíž zjednodušené shéma je na obr. 0. Na anodu a katodu trubie bylo připojeno elmi ysoké napětí z Van de Graaffoa generátoru. Řídií elektrodou G byly z katody uolňoány krátkýh pulseh elektrony, které po uryhlení elektrikým polem mezi katodou a anodou ystupoaly do oblasti bez elektrikého pole, prolétaly elektrodou D a dopadaly na sběrnou elektrodu D. Z doby letu mezi elektrodami D ad měřené osiloskopem a ze zdálenosti elektrod byla ypočítána ryhlost elektronů při různýh hodnotáh anodoého napětí. S rostouím napětím se doba průletu zmenšoala čím dál pomaleji a blížila se k hodnotě roné podílu zdálenosti elektrod a ryhlosti sětla e akuu. K G 8,4 m D D V = t U = t + t událost V ). 8) Z hlediska pozoroatele má tedy tyč délku Obr. U + l = U V = t t t + t = ) t + )t = t k t ). 9) Signál yslaný pozoroatelem minul pozoroatele B čase t = kt apo odrazu od kone tyče čase t = t /k. Z toho pozoroatel B určí klidoou délku tyče l 0 = t t poronáním obou ýsledků dostaneme l )k = = l 0 <, l = l 0 = k t k t ). 0) ) Délka tyče l naměřená pozoroatelem je tedy menší než její klidoá délka l 0. U pohybujííh se těles se zmenšují jen rozměry e směru pohybu, zatímo rozměry kolmé ke směru pohybu se zahoáají. K tomu dojdeme jednoduhou úahou: Připeněme k ozíku pozoroatele B sislou tyč délky l 0 tak, že její Obr. 0 Částie o klidoé hmotnosti m 0 anábojiq uedená do pohybu působením elektrikého pole o napětí U získá kinetikou energii ronou prái ykonané elektrikou silou W el = UQ a její hmotnost se zětší na Podle 5) m = m 0 + E k = m 0 m = m 0 m 0 + UQ ) = = m 0 + UQ. 78) + UQ ). 79) m 0 Pro UQ m 0 je hodnota druhého zlomku zanedbatelná a poměr / se blíží k jedné. 0 7

15 B t =3kT 0 Z toho přímo dostaneme ztah 60) ) s = E 0 + t E0 = m 0 ) + t m 0. 84) t=3t 0 t=t 0 t=t 0 t =kt 0 t =kt 0.5 Skládání ryhlostí t = kt 0 t = kt 0 t = 3kT 0 Obr. 8 Obr. 9 Nehť současně s pozoroatelem B se pohybuje po ose ještě pozoroatel C stálou ryhlostí u zhledem k soustaě S. V okamžiku t = 0 také pozoroatel C minul práě pozoroatele a na jeho hodináh byl nastaen čas t = 0 Obr. 0). Ryhlost pozoroatele C zhledem ke ztažné soustaě S, kterou by naměřil pozoroatel B, označíme u. Signál yslaný pozoroatelem čase t = t událost U )přijme pozoroatel B čase t = k) t a pozoroatel C čase t 3 = ku) t. Na druhou část pohybu signálu se ošem můžeme díat také tak, jako by jej yslal pozoroatel Bčaset a platí tedy t 3 = ku ) t. Příslušné koefiienty jsou k) = +, ku) = B U t= T 0 t= T 0 t= 3T 0 B C U U 3 Obr. 0 + u u, + u ku )= u. ) Důležité je, že praá strana e ztahu 8) je pro danou částii konstantní. Totéž musí platit i o ýrazu E p na leé straně, který tedy nezáisí na okamžité ryhlosti částie a tedy ani na olbě ineriální ztažné soustay, e které částii pozorujeme. Je tedy inariantní zhledem k Lorentzoě transformai. Vztah 8) platí i pro fotony kanta elektromagnetikého záření, která mají nuloou klidoou hmotnost a pohybují se ryhlostí. Energie fotonu záření o frekeni f je E = hf = h λ, 85) kde h =6, J sjeplankoa konstanta a λ lnoá délka záření e akuu. Z obeného ztahu 50) mezi hmotností a energií a ze ztahu 8) plyne pro relatiistikou hmotnost a hybnost fotonu Úloha m = E = hf = h λ, p = m = E = hf = h λ. 86) 5. Mezon p o klidoé hmotnosti m p0 = 73,m e se rozpadl na lepton m o klidoé hmotnosti m m0 = 06,8m e a mionoé neutrino n, jehož klidoá hmotnost je zanedbatelná e sronání s klidoou hmotností elektronu, praktiky tedy nuloá. Za předpokladu, že mezon p byl před rozpadem klidu, určete kinetikou energii a hybnost leptonu a neutrina..7 Druhý pohyboý zákon při elkýh ryhlosteh Podle druhého pohyboého zákona, zákona síly, je ýslednie sil působííh na hmotný bod ineriální ztažné soustaě rona deriai jeho hybnosti podle času: = dt = ) = dm dt dt + dt = dm + ma. 87) dt md dp dm 8 9

16 .3 Dilatae času Vraťme se ještě jednou k ději znázorněnému na obr. 4. Podle pozoroatele zahytil pozoroatel B signál čase t =t + k t )/. Víme také, že okamžiku příjmu ukazoaly hodiny pozoroatele B čas t = kt, a tento údaj může být ueden signálu, který se rátil k pozoroateli. Ten může poronat oba časoé údaje: t t = k +k = + = <, t = t < 8) Pozoroatel dojde k záěru, že hodiny pozoroatele B jdou pomaleji. Z grafu na obr. 6 je zřejmé, že tento ýsledek bude tím markantnější, čím íe se bude ryhlost pozoroatele B blížit k ryhlosti sětla e akuu. t l, t l 0 0,8 0, , 0,4 0,6 0,8 t 3 =90min t =65min t =40min Obr. 6 Obr. 7 B t =60min t 4 = 35 min t 3 =97,5min Pozoroatel B ošem souladu s prinipem relatiity zjistí, že zhledem k jeho ztažné soustaě S jdou pomaleji hodiny pozoroatele. Ukažme si to na konkrétním příkladě obr. 7). Nehť k = 3 tj. = 5 3 =,6 08 m s. Signál, který pozoroatel yšle čase t = 40 min, dorazí k pozoroateli B, když jeho hodiny ukazují t = 60 min. Zpětný signál, který nese informai 6. Síla působí kolmo ke směru pohybu Je-li ektor síly kolmý k ektoru okamžité ryhlosti, platí = 0 a ztah 9) se zjednoduší na = ma = m 0a, a = m = m 0. 94) Například kruhoýh uryhloačíh nabitýh elementárníh části uděluje magnetiká dostřediá síla m částii o klidoé hmotnosti m 0 nesouí náboj Q dostředié zryhlení ad, které ji udržuje na kruhoé trajektorii o poloměru R. Přitom platí m = BQ = ma d = m R = m 0, m = BQR. 95) R V obříh kruhoýh uryhloačíh, kde se ryhlosti části přibližují k ryhlosti sětla e akuu, můžeme psát m BQR a pro maimální dosažitelnou energii částie dostááme E ma = m B ma QR, 96) kde B ma je elikost maimální magnetiké induke dosažitelné prostoru uryhloaí trubie. Působí-li síla e směru okamžité ryhlosti nebo e směru kolmém ke směru okamžité ryhlosti, má zryhlení hmotného bodu směr působíí síly. To nás nepřekapuje, neboť klasiké fyzie, kdy praujeme se ztahem 88), je ronoběžnost obou ektorů samozřejmá. Při elkýh ryhlosteh, působí-li síla šikmo ke směru pohybu, jsou šak směry síly a zryhlení různé. K tomuto záěru dojdeme úpraou ztahu 9). Použijeme ektoroou ronost a )b =a b) a b ), 97) o jejíž platnosti se můžeme přesědčit rozepsáním obou stran ronosti na souřadnie. Podle něj ) = ) 98) a po dosazení do 9) = )+ma, 99) 3

17 . Co je to koefiient k Vraťme se k situai na obr.. Omezíme se na děje, které probíhají na ose a zobrazíme je dojrozměrném časoprostoroém grafu obr. 3) tak, jak se jeí pozoroateli e ztažné soustaě S. Každý bod U roiny je obrazem nějaké události, která se stala určitém okamžiku někde na ose. Naodoronou osu budeme určitém měřítku nanášet polohoou souřadnii události a na sislou e stejném měřítku čas události ynásobený ryhlostí sětla e akuu, tedy dráhu, kterou by urazil sětelný nebo rádioý signál dále jen signál) od okamžiku t = 0, kdy se oba pozoroatelé míjeli. Tato událost je zobrazena počátku grafu. Pro události spojené s šířením signálů yslanýh pozoroatelem čase t = 0 oběma směry podél osy platí = ϕ 45 Obr. 3 B U =t = = ±. 3) V grafu je tedy jejih pohyb zobrazen osami kadrantů. Pohyb pozoroatele B je zobrazen přímkou o ronii = t kterou budeme nazýat sětočára pozoroatele B. Tato přímka sírá s časoou osou úhel ϕ, o kterém platí tg ϕ = =. 4) Relatiní klid pozoroatele zhledem k ztažné soustaě S je zobrazen přímkou o ronii = 0. Sětočára pozoroatele splýá tedy se sislou osou grafu. Vyšleme signál od pozoroatele k pozoroateli B a zpět obr. 4). Koefiient, kterým musíme ynásobit čas na hodináh u ysílače okamžiku yslání signálu, abyhom dostali čas na hodináh u přijímače okamžiku příjmu signálu, budeme nazýat koefiient k. Podle prinipu konstantní ryhlosti sětla se signál šíří stejně z hlediska obou pozoroatelů a podle prinipu relatiity musí být koefiient k stejný případě, kdy signál yšle pozoroatel, jako když jej yšle pozoroatel B. Jestliže pozoroatel yšle signál čase t = t událost U ), doletí k pozoroateli B čase t = kt událost U )aodpoěď 4 Řešení a) Úpraou ztahu 76) pro elkoou energii částie E = m = m 0 dostaneme pro m 0 E : m0 ) ) = m 0 4 E E = m 0 5 E. 0) Pro dané hodnoty je ryhlost protonu p = 97 m s, ryhlost elektronu e = 4,4 m s. b) Dostředié zryhlení uděluje částii magnetiká síla. Při ryhlosti, která je praktiky stejná jako ryhlost sětla e akuu, platí: Be m r = E r, B E er. 0) Magnetiká induke protonoém prsteni má hodnotu B =,7 T kterou můžeme získat jen supraodiým inutím hlazeným kapalným heliem). V elektronoém prsteni je B =0,0 T. ) Laboratoř se pohybuje ryhlostí o elikosti p zhledem k ztažné soustaě spojené s protonem. Elektron se zhledem k ztažné soustaě spojené s laboratoří pohybuje stejným směrem ryhlostí o elikosti e.ryhlostu elektronu zhledem k soustaě spojené s protonem určíme pomoí relatiistikého ztahu kde Po úpraě u u = X p + e + Y + p e + X ) Y ), 03) X + Y X + Y + XY 4 X = m p0 4 E p =, Y = m e0 4 E e X + Y 4 X + Y XY 8. 04) XY ), 05) 8

18 Úod Tento studijní tet je určen k přípraě účastníků yzikální olympiády na řešení úloh z relatiistiké mehaniky. Naazuje na učebnie fyziky pro gymnázia [] a[5] ). Přináší jiný pohled na relatiistikou kinematiku a doplňuje učio z relatiistiké dynamiky na úroni, pro kterou postačí matematiké znalosti studenta střední školy. Výklad relatiistiké kinematiky pomoí časoprostoroýh grafů a metody koefiientu k. Výhodiska speiální teorie relatiity Einsteinoa speiální teorie relatiity yhází ze dou eperimentálně oěřenýh základníh prinipů, kterými jsou. Prinip relatiity: Všehny ineriální soustay jsou stejně hodné pro popis fyzikálníh dějů. Ve šeh platí stejné fyzikální zákony.. Prinip stálé ryhlosti sětla: Ve šeh ineriálníh soustaáh je ryhlost sětla e akuu e šeh směreh stejná a má tutéž elikost. Poznatky relatiistiké kinematiky jednoduše ododíme metodou koefiientu k, kterou popsal r. 964 Herman Bondi e sé populární knize Relatiita a zdraý smysl []. Přitom yužijeme časoprostoroé grafy, jakési grafiké jízdní řády. Literatura [] Bartuška, K.: yzika pro gymnázia Speiální teorie relatiity. 3. ydání, Prometheus, Praha, 00. [] Bondi, H.: Relatiity and Common Sense. nhor Books, Doubleday & Company, In., Garden City, New York, 964. [3] eynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: eynmanoy přednášky z fyziky,. díl. ragment, Halíčků Brod, 000. [4] Horský, J.: Úod do teorie relatiity. SNTL, Praha, 975. [5] Štoll, I.: yzika pro gymnázia yzika mikrosěta. Prometheus, Praha, 994. Výsledky úloh. k = f 0 /f =,053, =0,05 =, m s.. Signál yslaný pozoroatelem čase t = t < 0 přijme pozoroatel B časet = kt a odražený signál dojde k pozoroateli čase t = k t. +k t = k t, k = +. y y B 3. u = u u. O O z z S S Obr. Použijeme také stejné značky pro fyzikální eličiny, např. l 0 a m 0 pro klidoou délku a hmotnost, l a m pro relatiistikou délku a hmotnost. 4. ) u ) > 0 + u )< + u + u 5. 0,0 s. 6.,7 0 m. 7. 0,033 =,0 0 7 m s. 8. = + t t +, y = y, z = z, t = + u <. 35