LAPLACEOVA TRANSFORMACE

Transkript

1 or říí I Příloha P ECHNICKÁ UNIVERZIA V IBERCI Hálkova 6, 46 7 br, CZ Fakula mharok a moborovýh žýrkýh uí or auomakého říí I APACEOVA RANSFORMACE Sují marál o Ig Oval Morlák, CS Kara říí hk o Ig Oval Morlák, CS 54

2 or říí I Příloha P Obah aplaova raforma Vlao aplaov raforma Přpoč počáčíh pomík 6 mí vě 4 aplaova raforma proké fuk 6 Ova ouav a proký vupí gál 7 Zpěá -raforma pol fčího grálu raura o Ig Oval Morlák, CS 54

3 or říí I Příloha P APACEOVA RANSFORMACE EFINICE APACEOV RANSFORMACE aplaova raforma paří o kup grálíh raformaí a j áklaím mamakým aparám v or lárí rgula a říí Používá přvším pro řší láríh frálíh rov koaím kof a al o poup pak álě umožňuj: - alí homogího a parkulárího řší v jom kroku, - přváí frálí rov a algbraké rov, jjhž řší v - rově j jž ámé a jouhé, - umožňuj avé obraový přo, blokovou algbru, frkvčí přo a, ož pak aháí šroké uplaěí v aalý a é říí fčí vah aplaov raforma { }, P k j j obě komplí fuk rálé promě, krá plňuj álujíí pomík a j po čáh pojá pro b pro < j poálího řáu Fuk rálé proměé aývá poálího řáu, jlž uj akové rálé čílo "" růu, ž plaí lm Poámka: Fuk vhovujíí pomíkám a, b, aývá přmě aarího pu j komplí proměá j aplaův obra - komplí fuk proměé fčí vah vrí pěé aplaov raforma π { } r[ ] k k j magárí joka, pro krou plaí, růu j aplaův obra - komplí fuk proměé, P V věšě aplkaí j fuk rálá fuk proměé Pro výpoč -obrau pravla používá fčí grál P al vužívá vlaoí raforma bo prauj lovíkm -raforma Poobě výpoč přměu obrau í pravla uo řš fčím grálm vrí raforma P, al vužívá roklau a parálí lomk Použí fčího grálu pro výpoč -obrau j morováo a álujíím příklaě o Ig Oval Morlák, CS 54

4 or říí I Příloha P Příkla P Nalě -obra fuk a Řší: Pol f P - plaí a { } pro R a j a lm lm a a a lm a a p a ˆ ; P a -obra j fuk aalkou v polorově R > R a ; a Im R > R a R ObrObla kovrg Ko příklau VASNOSI APACEOV RANSFORMACE Abhom mohl účě vužíva v aalý a é amkýh émů všh možoí, kré abíí -raforma, j ué ám vlaom -raforma ůka jolvýh vě bu vž prov, pou am, k j o vhoé, bu aač Vlao buou morová a jouhýh příklah Věa o larě Nhť C, C jou lbovolé komplí koa a fuk, mají -obra, pak plaí { C C } C C, P 4 Ovoí P 4: Z f -raforma pl { C C } C C C k, C C C, o Ig Oval Morlák, CS 54

5 or říí I Příloha P Příkla P Nalě -obra fuk ω a o ω Řší: ω ω ω ω Fuk ω, oω vjářím v varu ω ; o ω Použím vě o larě oam ω ω ω ω ω ω { ω}, o ω ω ω ω ω { ω} P 5a P 5b Věa o obrau rva přměu Nhť fuk j pojá a ovřém rvalu, a hť uj obra jjí rva, poom plaí { ' }, P 6 k lm j počáčí pomíka prava Pro fuk můž bý počáčí pomíka prava a lva - já, bo mohou lš v obrp Výamý jv aává h, jlž fuk má roílé rva prava a lva pro, proož v omo přípaě rva pol čau vvolá raův mpul v obr Pb Rov P 4 j možo mofkova o varu Ko příklau { ' }, a b ' ' ' ' ' ' { ' }, ObrP Počáčí pomík lva a prava Ovoí P 6: Ovoí P 6 opírá o gra pr par uv ' uv u' v Plaí o Ig Oval Morlák, CS 4 54

6 or říí I Příloha P Z éo rovo pl pak vah P 4 Poobě l ovo formul pro -obra ruhé rva P 7 -obra -é rva, a přpoklau, ž všh rva ', '',, mají -obra, j fová P 8 J-l řba vjář bo - pak prov ubu bo - v rvaíh,,,, pol oho, krý -obra vžauj Příkla P Nalě řší frálí rov ' u,, u Řší: { ' } { u}, u [ ] U [ ] U ; U Jlž -obra jokového koku j a pak oam 4 U U P -obra bl roěl a čá, jjíž -obra opovíá buí U a a čá P, krá rpkuj ulové počáčí pomík Přmě k -obrau j možo urč pomoí fčího grálu pěé raforma bo roklam a parálí lomk v Příloha P Pol P j přmě k P přímo rov 4,5 P,5 P o Ig Oval Morlák, CS 5 54

7 or říí I Příloha P Přmě U určím pomoí roklau a parálí lomk v P a kof A, A určím pol P,5 A A,5 U ˆ,5,5,5 U Ova j áa oučm U P,5,5,5 Korola počáčíh pomík: P,, U P U Ko příklau PŘEPOČE POČÁEČNÍCH POMÍNEK Uvažujm frálí rov v varu a m a a b u b u b u pro m m, Bu-l buíí fuk u pojá pro, pak pro počáčí pomík lva a prava plaí: j k j k pro j,, K, m pro k m, K, P 9 Vlaí přpoč j alož a poupé -áobé gra kolm ε okolí v počáku ε, ε Poupou graí íkám -rov a álým lmím přhom pro ε oam hlaé přpočíávaí vah Poup ukážm a álujíím příklaě Příkla P4 Uvažuj amký ém popaý frálí roví u u a ; ; u b ; ; u Nalě počáčí pomík? a? Řší: Provm gra frálí rov kolm počáku a oam ε ε ε u u, ε ε ε ε ε ε ε [ ε ε ] u [ u ε u ε ] ε ε ε ε ε ε o Ig Oval Morlák, CS 6 54

8 or říí I Příloha P mím přhom lm ε pak oávám prví vabí pomíku m počáčím pomíkam prava a lva [ ] [ u ] u, a přpoklau ž plaí lm lm u ε ε ε ε ε ε Provm-l ruhou gra oam ε ε u u ε ε ε Igrálí rov j možo ropa o varu ε ε ε ε ε ε ε u ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε u a lmím přhom lm ε oam ε ε ε, přčmž lm lm lm u lm u ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Plaí: a ; ; u, u, u, u u ε ε ε [ ] [ ] b ; ; u u u [ ] [ ] Proím, porovj výlk Zajímavý j určě přípa b, k počáčí pomík lva jou ulové, a prava pro rva vhájí ulové Proo v f obraového přou požaují počáčí pomík lva ulové! Ko příklau o Ig Oval Morlák, CS 7 54

9 or říí I Příloha P o Ig Oval Morlák, CS 8 54 Věa o obrau gra přměu Nhť fuk j přměm aarího pu, pak j jím jjí grál a plaí P Nalě -obra Řší: -obra jokového koku určím -obrau poálí fuk ak, ž oaím a ; ˆ a a a a P a a álě pak { } P b 4 Věa o obrau kovolu Nhť fuk u, g jou přmě aarího pu, majíí -obra U, G pak plaí } { } { } { } { U G g u g u g u P Ovoí P : Ovoí vě o kovolu vháí f -raforma, muí pla g u g u g u ] [ } { } { } { Fuk u j ulová pro < Subuí g u g u ] [ ] [ } { Příkla P5 Ko příklau aplaův obra kovolu j á proým oučm jjh -obraů G a U

10 or říí I Příloha P o Ig Oval Morlák, CS 9 54 Výra můžm uprav o varu ] [ ] [ } { g u g u G U g u 5 Věa o pouuí o rala Nhť j přmě aarího pu, krý má -obra Pak fuk pouuá vpravo o má - obra a plaí { } S Τ P Ovoí P : Př ovoí vjm fčího grálu - raforma Plaí { }, proož a rvalu, j grovaá fuk rova ul Zavm-l ubu pak oam Igrál a pravé raě j právě, akž plaí ˆ Nalě -obra parabol pouué vpravo o ObrP Fuk pouuá vpravo Pouuí přměu o oprava opovíá áobí obrau Příkla P6a

11 or říí I Příloha P Řší: { } { }, pol vě o rala plaí Ko příklau Příkla P6b Nalě -obra pulu l obráku u Řší: Pul vvořím kokové fuk výšk o krého očm v čaovém okamžku kok pouuý o ku oprava u ˆ - Ko příklau Příkla P7 Nalě -obra raova mpulu áobého vahou S Řší: Pol f plaí ε δ δ, pro ; lm δ lm δ δ δ ε ε raův mpul váobý vahou S, bu plňova pomíku ε S Sδ, pro ; lm S δ S lm δ S ε δ δ ε a jho aproma j a obrp4 aplaova raforma j pak rova -obrau mpulu a obr P4 lmím přhom δ Př výpoču lmího přhou použjm hopalova pravla a oam -obra v varu Cδ δ C δ ObrP4 raův mpul { S δ } S lm δ δ δ lm δ δ δ [ S ] δ δ S S P 4 J-l S, pak íkám -obra raova mpulu a plaí o Ig Oval Morlák, CS 54

12 or říí I Příloha P { } δ P 5 raův mpul můžm aké vjář jako rva jokového koku Ko příklau δ P 6 6 Věa o lumí ubu v obra Nhť a j lbovolá komplí koaa a hť j přmě k obrau, poom plaí { } a a, P 7 ož amá, ž áobí přměu fukí a v k ubu v obra ávl proměé Ovoí P 7: ůka vě o lumí vplývá přímo fčího grálu - raforma: a a a { } a Příkla P8 Nalě -obra fukí a a o ω, ω Řší: Pol P 5a,b jou -obra fukí o ω, ω rov ω { o ω }, { } ω ω ω Pol P 7 oam Ko příklau a a { o ω} a a ω a ω { ω} a a ω, P 8b P 8a 7 Věa o rva obrau ubu v obra Nhť fuk má -obra, poom Obě plaí P 9 { } { },,,, K P o Ig Oval Morlák, CS 54

13 or říí I Příloha P K ovoí rovo P 9 použjm fčího grálu { } Zavm-l ubu a pak pro oam X { } Víáobým použím ohoo poupu a vě P 9 můžm ovo -obra pro lbovolou mou fuk Příkla P9 Nalě -obra rampové fuk Řší: Z fuk j řjmé, ž j můžm pokláa a ouč fuk a jokového koku obra { } rov, akž pol P 9 plaí Ko příklau { } P 8 Věa o áobí přměů kovolu obraů Nhť fuk, mají -obra, pak π j j { } r{ } P k, jou aalké fuk pro R > α α j růu fukí, gračí a j vrkálí přímka R > α, j komplí proměá R > α plňuj pomíku R > α, poč pólů Im α R ObrP5 Igračí a o Ig Oval Morlák, CS 54

14 or říí I Příloha P o Ig Oval Morlák, CS 54 Ovoí P : Naačím pou ovoí rovo P Z uvýh pomík vplývá, ž obrau j možo pomoí fčího grálu pěé raforma P urč { }, π k > α, α poloměr kovrg fuk oaím o P oam { } π Z roboru proměýh v rovo vplývá, ž j možo prové álujíí úpravu ] [ π π, k Nalě -obra fuk pomoí vě o - obrau ouču vou přměů Řší: Fuk ; a jou přmě aarího pu, majíí -obra ; ; Pol vě P 4 plaí { } π π π Poámka: Fuk - j aalká pro < R, jlž j pvé a plňuj pomíku > α R, proož pak plaí R R α > > Z oho vplývá, ž pro oačě vlké R gračí a oěluj gulárí bo fuk a -: prví lží vlvo o éo přímk, ruhé lží vpravo Ko poámk Příkla P

15 or říí I Příloha P Igrál řším pomoí vě o ruí P 9, Igračí uavřou křvku volím ak, ab obahovala pól ; a Pro plaí π lm lm F π b Pro plaí j R F j lm lm π lm lm Můžm lh přvěč, ž oba va poup ávají hoé výlk Závěr j π { } { } Výlk j možo ověř pomoí vě o rva obrau P-9 Ko příklau { } IMINÍ VĚ 9 Věa o počáčí hooě Nhť fuk má -obra a lm, pak plaí lm R lm P Ovoí P : Abhom ukáal ovoí vě P použjm vě o obrau rva P 6 Na čaovém rvalu fuk, jlž R, akž plaí lm lm R R [ ], o Ig Oval Morlák, CS 4 54

16 or říí I Příloha P a éo rov pak oam lm R Příkla P -obra fuk j Urč! Řší: Pol P plaí lm lm R R Ko příklau Věa o kočé hooě Nhť j přměm aarího pu a hť ál uj kočá lma lm pak plaí: lm lm P 4 Poámka: mu v P 4 hápm jako lm Pomíka kočé R Arg < π / lm j, ž pól lží v lvé čá rov Ovoí P 4: Abhom ukáal ovoí vě P 4 provm lmí přho lm lm [ ] R R Proož lm oam lm R Porováím pak oam lm lm[ ] Příkla P -obra fuk j Urč! Řší: Pol P - 4 plaí lm lm R R Ko příklau Příkla P Vpočě hoou kvarakého fukoálu J ; Řší: Hoou fukoálu vpočm v obra a provm ho v ěho kroíh: o Ig Oval Morlák, CS 5 54

17 or říí I Příloha P Nalí -obrau fuk { }; Pol vě o áobí přměů P plaí { } r π Igrál ; určím pol vě o obrau gra přměu P 9 { } Hoou fukoálu pak v obra vpočm pomoí vě o kočé hooě P 4 Plaí J lm lm lm Hooa kvarakého fukoálu j rova J Ko příklau APACEOVA RANSFORMACE PERIOICKÉ FUNKCE Uvažujm prokou fuk, k j proa v obrp6 Fuk aývá vvářjíí mpul, krý plňuj o pomík pro <, pro, pro Přpoklájm ál, ž vvářjíí mpul má -obra Pak -obra proké fuk j rov ObrP6Proká fuk ; >, P 5 k { } ; { } o Ig Oval Morlák, CS 6 54

18 or říí I Příloha P Ovoí P 5: Provm ouč -obraů pouuýh fukí vž o prou opakováí Plaí { } { } { } { } [ ] Vhlm k omu, ž ouč k j oučm gomrké řa,j rov k k k ; pro < Z oho pak pl Příkla P4 Urč -obra proké fuk u l obrp6 Řší: u u ObrP6 Proká vupí fuk u -obra vvářjíího mpulu -obra proké fuk proou pol P 5 j U U Ko příklau OEZVA SOUSAV NA PERIOICKÝ VSUPNÍ SIGNÁ V éo kapol bu kuová problém výpoču ov amkého ému, krý j popá obraovým přom F a jho vupm j obý proký gál Pro jouho bum přpokláa, ž obraový přo má pou pól rálé růé, j možo prové rokla o Ig Oval Morlák, CS 7 54

19 or říí I Příloha P F B A B a A -obra obé proké fuk u u proou j U U Výup ako buého ému muí bý opě proká fuk proou, krou můžm vjář jako ouč proké fuk výupu a účku rováží v varu U A F P 6 Moka výpoču ov bu morováa a álujíím příklaě Příkla P5 amka ému j vjářa obraovým přom F 5 U -obra vupího prokého gál j U Urč aalk ovu? Řší: F má j pól, a j možo ho apa o varu F 5, Pol P - 6 j -obra výupu rov U A F, A Váobím-l rov člm - - a provm-l a lvé raě rokla člu 6 a parálí lomk, j možo uo rov přpa o varu, B C, A Kof jou B, C - Přvm-l rovo o čaové obla, oam [ ] [,, ] A[, Ní j řba urč koau A a vvářjíí výupí mpul Pro rval j, ] o Ig Oval Morlák, CS 8 54

20 or říí I Příloha P 4 a vvářjíí mpul výupí fuk oaím-l pro 4 o a vkráím-l fuk -, oam,4,4,6 A A 7,94 5, 6 Pro čaový rval < plaí:, 6 7 oaím-l 6,7 o oam,,4 A,,,4 A oaím-l a A 5 bu vvářjíí mpul v omo rvalu rov,6,, 6 8 7,947,9 7,947,6 a Pro j rov,,9, 6,6, b Pro j rov 7,947, 6 ObrP7 Vvářjíí mpul Pro čaový rval < plaí:, 9 oaím-l 9, o oam,, A a Pro ; 7,947 b Pro ;,9 A,476,, Průběh fuk j a obrp7 Ova ému a prokou fuk j rova o Ig Oval Morlák, CS 9 54

21 or říí I Příloha P A 7,947,, Průběh ov j a obrp8 ObrP8 Průběh ov a proký gál ZPĚNÁ -RANSFORMACE POE EFINIČNÍHO INEGRÁU Pol f pěé -raforma plaí π { } r[ ] k Poup bu morová a álujííh příklah Příkla P6 Řší: Pol P plaí: Nalě přmě k -obrau r Ko příklau [ ] r r k r Příkla P7 Nalě přmě k -obrau Řší: Pol P plaí: r [ ] r r k lm lm lm 4 Ko příklau o Ig Oval Morlák, CS 54

22 or říí I Příloha P SOVNÍK - A Z-RANSFORMACE m δ m!!! 4 η, <, ε m ε ε ε ε ε 6ε 6 6 4! aε,,, lm a a a -a aε a a ; a j obé komplí čílo -a a a aε ε a a! a -a ε ε a aε a! -a aε a a a a a aε a a a ω ω ωε ω ε ω oω o ω oωε oω ε ω oω ω a a ω εaa ωε ω ε εa a a ω oω a a a oω εaa oωε oω ε εa a a ω oω / / ob kompl čílo ;,,, ε /,,, ε a a a o Ig Oval Morlák, CS 54

23 or říí I Příloha P IERAURA [] Pírko, Z, V, J: aplaova raforma Zákla or a uží v lkroh SN, Praha, 97 [] Mačák, K, umajr, F, Zlka, B: Maamaka III Mamaká aalýa Skrpa, VŠS br, 978 [] Aramaovč, I, G, u, G,, Elgol,, E: Fuk komplj prmj, opráorový poč óra abl AFA Bralava, SN Praha, 97 o Ig Oval Morlák, CS 54