Kapitola 5. Druhý zákon termodynamiky. 5.1 Základní idea

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 5. Druhý zákon termodynamiky. 5.1 Základní idea"

Transkript

1 Kapitola 5 Druhý zákon termodynamiky Historie: d-stroje-2.tex: Ponechány d potenciály; pumpa čerpadlo; někde upřesněno stroj motor; izoterma čára nadplocha; uvozovky účinnost ujinéhostrojenežmotoru;integrace1/xvedenaln x/x 0,nikolinasamotnéln x.stylistickézměny. d-stroje-1.tex: Výřez ze skript pro UJEP v Ústí n.l. 5.1 Základní idea Přenos tepla i konání práce jsou podle prvního zákona termodynamiky dva různé způsoby přenosu energie. Praxe však ukazuje na podstatnou nesymetrii mezi nimi: zatímcorůznédruhyprácepřipomínajírůzné tvrdéměny navzájembezeztrátyvolně směnitelné, je teplo měnou jaksi méněcennou: snadno ji nakoupíte, obtížně prodáváte. Projevem práce bývá zvětšení energie potenciální, kinetické, elektrické, magnetické, chemické 1,kterélzevprincipuvratně vybrat toutéžnebojinouformou.projevem dodání tepla je zpravidla zvýšení teploty(nikoli však vždycky, viz Fázové přechody), to však volně vratné není. Smícháním studené a teplé vody získáme vodu vlažnou; nestane se však, aby se vlažná voda rozdělila na studenou a teplou. aké zahříváním zadřeného ložiska se kolo samo neroztočí. outo nesouměrností se zabývá druhý zákon termodynamiky. Jádro rozdílu mezi prací a teplem je v uspořádanosti. Práce je popisem uspořádaného, vratného přenosu, zatímco teplo je popisem přenosu dokonale chaotického. Mechanický pohyb pístu je typickou prací, ale neorganizovaný, byť mechanický pohyb tisíce mravenečků získává některé rysy tepla. Podobně přenosenergieprostřednictvímvlnypřesnéhotvarunapř. A=A 0 cos(ωt k r)sechovájakopráce; jekoherentní,tedypřesně vypočitatelný,interferencílzevytvořitstojatévlnyapod.naprotitomu hluk či světlo žárovky přenáší energii jako teplo; obsahuje záplavu nejrůznějších frekvencí i polarizací, není vratný, přenášená energie je nenulová, ale nelze definovat např. u světla vektor E, má-li záření býtizotropní.nelzetakénapř.kneznámémuhlukuvyslat antihluk,abyinterferencíobounastalo ticho. Přenos energie částečně koherentním světlem leží mezi prací a teplem; precizovat takové jevy lze až poté, co bude k dispozici kvantitativní popis neuspořádanosti, tj. entropie. Nicméně systém, kterému dodáváme teplo, může také produkovat práci. Rovněž, i když teplo samovolně přechází jen z teplejšího tělesa na chladnější, jsou způsoby, jak 1 Pokudjeovšemlzevůbecnavzájemodlišit.onenísamozřejmé,někdytoaninenímožné;vdalším to však naštěstí není podstatné. 1

2 2 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY ochladit plyn(např. pracovní médium v chladničce) jinak než stykem s ještě chladnějším prostředím. Popíšeme nejprve několik základních typů termodynamických strojů: tepelnýmotor vyrábějícípráciztepla,chladničku vyrábějícíchlad atepelné čerpadlo zahřívajícíteplejšíprostředíteplemodčerpanýmzestudenějšíhoprostředí. 5.2 ermodynamické stroje Cyklický stroj Asi bychom nepřijali jako perpetuum mobile(přesněji: perpetuum mobile 1. druhu) natažené hodinové pero nebo bombu stlačeného plynu s tím, že z nich lze(jednorázově) uvolnit jistou energii. o, co zajímalo nadšence mnoha věků, byl stroj, který by energii mohl vydávat opakovaně; nejlépe, kdyby se čas po času vrátil to téhož stavu, abychom měli záruku, že energie vyrobená mezi oběma průchody týmž stavem nám byla dána anejen zapůjčena zrozdíluenergiípočátečníhoaokamžitéhostavu. Definujme proto jako cyklický stroj takový systém, který se po jisté době(až vykoná celý cyklus) vrátí do původního stavu(koná tedy cyklický děj). Protože vnitřní energie U jestavovouveličinou,musíplatitpoprovedeníceléhocyklu0= du = d Q+ d W,tedyúhrnnépřijatéteplojerovnoúhrnnévykonané(tj.záporněvzaté dodané) práci; úhrnné vydané teplo je rovno úhrnné dodané práci. Q 2 S W A Q 1 Ukazujese,žejepodstatnénejento,kolikteplasepřejme,aleipřijakéteplotěse toto teplo předává. Zavedeme si proto značení podle vedlejšího obrázku.láznějsouznačenyhranatě,teplejší L 2 oteplotě nahoře, chladnější L 1 oteplotě dole;kroužekznačívlastnítermodynamickýstrojs.běhemcyklupřijalstrojzlázně L 2 teplo Q 2 při teplotě,předallázni L 1 teplo Q 1 přiteplotě avykonalpráci W.(Eventuálníčárkauveličin Q, Wnahrazujeindex W vyk apřipomíná,žejdeotepločipráci,kteréjdouzesystémuvenabudoutedy v celkové bilanci se záporným znaménkem.) Šipky udávají jednak svou polohou typ energie(vodorovně=práce, svisle=teplo), jednak svou orientací tok energie(práce i tepla). Hodnoty energie budou zpravidla kladné(pokud by měly být záporné, změnili bychom orientaci příslušné šipky a tím i znaménko). První zákon termodynamiky zaručuje, že součet všech energií(práce i tepla) vtékajících dostrojesjenulový;vuvedenémpřípadětedy Q 2 Q 1 W =0. Výslovně opakujeme: 1) Q, W, Q, W jsoudějovéveličiny 2) Číselné hodnoty dějových veličin udávají energii přenesenou za 1 cykl 3) Šipka udává směr toku energie 4) Šipka svislá popisuje teplo, šipka vodorovná práci 5) Přidáme-li k číslům u šipek kladné znaménko pro šipky směřující ke stroji(kroužku) a záporné znaménko pro šipky směřující od stroje, pak jejich součet pro každý stroj samostatně musí být nulový.

3 5.2. ERMODYNAMICKÉ SROJE 3 Je-li stroj vratný, pak stroj k němu obrácený má absolutní hodnoty Q, W stejné, ale má obráceny smysly všech šipek. Předpokládáme také, že stroje můžeme navzájem kombinovat;práceje volněsměnitelná.dálepředpokládáme,žestrojůdanéhotypu máme k dispozici libovolný počet. Pokudbychompotřebovalinapř.všech5jednotekprácevyrobenéstrojemS A spotřebovatvestrojis B sevstupem3,spojíme3strojes A s5strojis B.entotrik (vizzáviška)námumožníslibovolnoupřesnostíužívatineceločíselné násobky stroje, kdykoliv toho bude zapotřebí vzhledem k ostatním strojům. Podobně můžeme vykrátit či vynásobit všechny hodnoty Q, W stroje touž konstantou(je-li stroj vratný, může být konstantaizáporná).vnásledujícíukázcevýsledeknakonec vydělímedvěma ,5 7,5 1,5 2,5 Uvedená kombinace tepelného motoru a chladničky(tzv. tepelný transformátor, viz str. 5) může např. značně schématicky popisovat plynovou chladničku, odebírající teplo z lázně vysoké teploty(plynový plamen) a nízké teploty(obsah mrazáku) a předávající teplo do lázně střední teploty(okolní vzduch) Idea tepelného motoru epelnýmotorjezařízenívyměňujícíteplo(konkrétně:odebírajícíjistéteplo Q 2 odteplejšílázněadodávajícímenšíteplo Q 1 chladnějšílázni)adodávající práci. Jak ho navrhneme? Vezměme ze zkušenosti, že např.vzduchteploty,atmosférickéhotlaku p 1 aobjemu V 1 serychlým(adiabatickým)stlačenímnapolovičníobjem V 2 = V 1 /2zahřejenateplotu > abudemíttlak p 2 >2p 1, zatímco pomalým stlačováním a udržováním konstantní teploty bypřipolovičnímobjemuměljenzhrubadvojnásobný tlak. Na tom založíme svůj motor, konající Carnotův cyklus, viz kap Předpokládejme, že máme dvě tepelné lázně oteplotách <.Plynvmotoruprojdečtyřmivýznačnými stavy: S A (, p A, V A ), S B (, p B, V B ), S C (, p C, V C ), S D (, p D, V D ).

4 4 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Napočátku(S A )hovlázni L 1 (tedyizotermicky)stlačujemeaždoobjemu V B vbodě B;lázeňudržujestálouteplotu plynutím,žemupostupněodebereteplo Q AB.Poté pokračujemevestlačování,alesadiabatickouizolací: Q BC =0.lakiteplotaplynu roste,stlačováníukončíme,aždosáhnemeteploty vbodě C.Dálenechámeplyn rozpínat:nejprveizotermickyvlázni L 2 přiteplotě kbodu D,kčemužjenutno dodatteplo Q CD,potéadiabatickykbodu A,přičemž Q DA = 0aplynsebude ochlazovat.stav S D změnyzvolímetak,abyseplynprávědostaldovýchozíhostavu S A. Protože jsme zmenšovali objem plynu při nižším tlaku a jeho objem se zvětšoval za vyššího tlaku, získali jsme jistou kladnou práci; ta je podle 1.Zd rovna rozdílu tepel Q CD Q AB.Úhrnnýmdodánímkladnéhotepla(tj.dodánímvíceteplazL 2 aodebráním méněteplazl 1 )jsmetedyzískalipráci. Účinnostítepelnéhomotorubudemerozumětvýraz η = W Q 2 = Q 2 Q 1 Q 2 =1 Q 1 Q 2 vzhledemkrovnosti Q 2 Q 1 = W,plynoucíz1.Zd.Jaksedáočekávat,protepelné motory, vyrábějící práci z tepla, bude účinnost vždy menší než Idea chladničky Chladnička je stroj, který dodanou prací odčerpává teplo z chladnějšího prostředí. Carnotův děj z předchozího odstavce budeme provádět obráceně, přičemžzačnemevestavu S D připokojovéteplotě.stlačujeme plyn;abychommuudrželistálouteplotu,odeberememupostupněteplo Q DC.Potéhoadiabatickyizolujemeanechámevratně expandovat(tj.konatpřitompráci);teplotaplynupoklesnena vestavu S B.Odstranímeadiabatickoustěnuastudenýplynnecháme dále expandovat; plyn odebírá svému okolí teplo při teplotě (audržujetímsvéokolístudené).podostatečnéexpanzidostavu S A plynopětadiabatickystlačímedopůvodníhostavu S D.Dodánímprácejsmeumožniliodebíráníteplapřiteplotě nižšínežteplotaokolí. 2 Q 2 W Q 1 Výraz β= Q 1 W = Q 1 Q 2 Q 1,vystihující účinnost chladničky,senazýváchladicífaktor;můžebýtlibovolný,tedyimenší,ivětšínež1.maximálníhodnotunabývápro vratnýstroj: β max =.

5 5.2. ERMODYNAMICKÉ SROJE Idea tepelného čerpadla 2 Q 2 W Q 1 epelné čerpadlo zahřívá i tak teplé prostředí ještě více, a to převáděním tepla z chladnějšího. Princip je přesně stejný jako u chladničky, jen důraz klademe na něco jiného. Vezměme obyčejnou chladničku, ale zkonstruujeme ji trochu neobvykle: obrátíme ji naruby, dřívější vnitřní mrazák ponořímedoblízkéhopotokaoteplotěvody např.10 Canaopak trubice za lednicí, v nichž se stlačený plyn udržuje při teplotě např.40 C,budouvyhřívatnašimístnost.Nynísitedyoproti původníchladničce nevážímechladu,alenaopaktepla;dodáváním práce přečerpáváme teplo z chladnější nádrže(řeka, okolí) do teplejší(náš pokoj). Schéma tepelného čerpadla je totožné se schematemchladničky.jeho účinnost všakvystihujejinývýraz(proč?),totiž ǫ= Q 2 = W Q 2 =1+ Q Q 1 anazývásetopnýfaktor;jevždyvětšínež1(iujakkolinedokonalého reálného stroje!). Zřejmě platí ǫ = β + 1; maximální hodnotu nabývá pro vratný 2 Q 1 Q 2 Q 1 stroj,ato ǫ max =1+. Práci bychom ovšem mohli proměnit v teplo(nevratně) přímo, např. v elektrických kamínkách; v čerpadle však za tutéž práci dostaneme ještě navíc teplo, které jsme přečerpali.jakuvidímevkap.5.5akap.5.7,máčerpadlomezi5 Cřekouvziměa25 C pokojemteoretickou účinnost 1490%,tedyskoro15 většínežpřímotopnétělesose 100% účinností. Ekonomický a ekologický význam jistě není třeba zdůrazňovat. epelný měnič resp. termotransformátor vznikne z tepelného motoru, jímž vyrobená práce pohání tepelné čerpadlo(pracující v jiném intervalu teplot). Příkladem je na str.3 zmíněná plynová chladnička Nevratné stroje Vedení tepla Ze zkušenosti víme, že lze nevratně převést teplo z teplejší lázně přímo do studenější. K tomu stačí měděná tyč nebo jakákoliv diatermická stěna. Žádnou práci při tom nezískáváme ani neztrácíme. Q Připomeňme, že teplo lze přenést z teplejší lázně do studenější i vratně, koná-li při tom systém práci. Příkladem je před chvílí popsaný tepelný motor.

6 6 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Přeměna práce v teplo Mechanické stroje s třením, elektrická zařízení s nenulovým odporem atd. realizují nevratnýproces,přiněmžse práceměnívteplo ;tím míníme, že použitím práce dostaneme týž výsledek, jaký W Q by šlo také získat použitím tepla, např. zvýšení energie W lázně jisté teploty. Jelikož se zahřívá jediný objekt(lázeň),jeovšemjedno,zdahooznačímejako teplejší Q nebo studenější. 1 Předpokládáme, že práci můžeme(nevratně) převést na teplo vždy. Faktickyjdeozvýšeníentropie ds=d Q/systému,vizkap onastávápřidodánítepla vždy, je-li teplota systému kladná. Usystémůsezápornouteplotou <0(cožseprojevujejakoteplotanikolinižšínežnulová,ale naopak vyšší než nekonečná!) je situace opačná: dodání tepla vede ke snížení entropie, takže u takových systémů lze naopak měnit neomezeně teplo v práci, zatímco změna práce v teplo je podrobena analogickým omezením, jaká známe z kladných teplot se změnou tepla v práci. 5.3 Druhý zákon termodynamiky Poznatek, že práce se koná jen tehdy, přechází-li teplo(přes vhodný stroj) z teplejšího tělesa na studenější, formuloval již v r Carnot. Pozoruhodná byla jeho výborná intuice; ve svých úvahách totiž vycházel z(nesprávné) fluidové teorie tepla. Podle ní by teplo bylo fluidum(nevažitelná tekutina) podobné např. vodě padající pod jezemnamlýnskékolo.vestrojizkap.5.2.2bytedybylo Q AB = Q CD,práce W bybylaúměrná jednak Q AB,jednakrozdílu oboupracovníchteplot,podobnémurozdíluvýšekhladinnad a pod jezem. Přes tyto nesprávné výchozí ideje došel Carnot ke správným závěrům, které umožnily překonat fluidovou teorii a posléze ji nahradit správnými termodynamickými představami. ZCarnotovýchpracívyšelClausiusavyslovilvr.1850tvrzení 2,kterénazvaldruhý zákon termodynamiky. Uvedeme několik formulací tohoto zákona: Clausius: Je nemožné cyklickým procesem přenášet teplo z chladnějšího tělesa na teplejší, aniž se přitom změní jisté množství práce na teplo. Ekvivalentní formulace homsonova(1851) zní: homson 1: Je nemožné cyklickým procesem odnímat jednomu tělesu teplo a měnit je v kladnou práci, aniž přitom přejde jisté množství tepla z tělesa teplejšího na chladnější. 2 Kvasnica,str.87,uvádíomylemrok1854

7 5.3. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY 7 NE Clausius: ANO NE Q Q 2 Q W Q Q 1 W Jináformulacehomsonova(1851)zní 3 : homson: NE W Q ANO Q 2 W Q 1 homson2:jenemožnézískatcyklickýmprocesemprácijentím,žebysejedna lázeň ochlazovala pod teplotu nižší, než je teplota nejchladnějšího místa v okolí. Je-li jediná lázeň, nemá smyslu rozlišovat, zda je zakreslena nahoře či dole(jinými slovy, zda je teplejšíčichladnější alenežco??) Ostwald zavedl termín perpetuum mobile 2. druhu(pm2) pro stroj, který by získával práci tím, že by pouze ochlazoval okolní tělesa(aniž by tedy jiná, ještě chladnější tělesa zahříval). Při tomto označení zní zákon velmi stručně: Ostwald: Nelze sestrojit perpetuum mobile druhého druhu(tj. stroj, který by cyklicky získával práci jen ochlazováním okolních těles). otooznačení,paralelak obyčejnému perpetuumobile,upřesněnémuproodlišeníjakoperpetuummobile1.druhu(pm1),jevelmivýstižnéahluboké.pm2bytotižbylsnadještěvýhodnější nežpm1.protožesevpříroděkoneckoncůkaždýpřenosenergie znevratňuje nateplo,přehřáloby nám masové nasazení PM1 atmosféru apod. PM1 ovšem neexistuje, což je fyzikálně vyjádřeno principem zachování energie. Naproti tomu PM2 by s principem zachování energie nebyl v rozporu a vsouladusním byodpadovéteplo,např.teplooceánů,měnilzpět( recykloval )vužitečnou energii. Formulace Planckova(1930): Planck: Je nemožné sestrojit periodicky pracující stroj, který by trvale vykonával kladnou mechanickou práci pouze ochlazováním jednoho tělesa, aniž přitom dochází k jiným změnám v ostatních tělesech. 3 Kvasnica,str.87,uvádíomylemjméno hompson adatuje1853.

8 8 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Jakjevidět,uvedlijsmedvatypy fyzikálních formulací:jednyzakazujísamovolný přechod tepla z chladnějšího tělesa na teplejší(ale neprotestují proti chladničce), druhé zakazují úplnou přeměnu tepla v práci(ale neprotestují proti tepelnému motoru). Vzájemnou ekvivalenci obou typů nahlédneme, přijmeme-li ze skutečnosti existenci tepelného motoru a chladničky. Následující obrázky ukazují, že stroj odporující jednomu typu by po doplnění vytvořil stroj odporující druhému typu formulací: Clausius + S = homson homson + Chl = Clausius 2 Q 1 Q 1 Q 2 Q 1 W W Q 2 Q 1 2 Q 2 Q 1 Q 2 W W Q 1 2 Q 1 Q 1 Místo chladničky by stačila(nevratná) přeměna práce v teplo. Jak? Všimněme si, že všechny uvedené formulace mají jen kvalitativní ráz a mají fakticky vždy formu jakéhosi zákazu. Je proto velmi poučné, jak z nich budou odvozeny i kvantitativní závěry, tedy zákony zavádějící nové veličiny(entropie) a zákony určující i číselné hodnoty různých fyzikálních veličin(účinnost strojů). Omezení na cyklické děje ve všech dosavadních formulacích je podstatné. Odejmout teplojednélázniazměnithovprácilzenapř.takto:pracovnímprostředímbude1mol ideálníhoplynu,napočátkuoteplotěokolí 0,sobjemem V 0 asatmosférickýmtlakem p 0.Kontaktemslázníteploty = 2 0 bezezměnyobjemu(izochorickýmdějem) dodámeplynuteplo;tímvzrostejehotlakna p 1 =2p 0.Potéhonechámevestálém kontaktuslázníizotermickyrozpínat(počátečnímtlakem p 1 protiatmosférickémutlaku p 0 )naobjem V 1 =2V 0 azískámetímpráci(nakresletesivšedo p-v diagramu!) V1 V1 ( ) W R1 = (p p 0 )dv= V 0 V 0 V p 0 dv ( ) V1 = R ln p 0 (V 1 V 0 )=R 0 (2ln2 1) >0. (5.1) V 0 Dějvšaknenícyklický;nazačátkujeobjem V 0 plynuteploty 0,nakoncijeobjem V 1 =2V 0 plynuteploty =2 0.Napřevedenísystémudovýchozíhostavu(ochladit, stlačit) bychom ovšem práci opět spotřebovali. Formulaci druhého zákona termodynamiky přistupující z hlediska matematiky integrability Pfaffových forem podal Carathéodory(1909):

9 5.4. CARNOŮV CYKLUS 9 Carathéodory: V každém okolí každého stavu teplotně homogenního systému existují stavy, k nimž se není možno libovolně přiblížit adiabatickou změnou stavových parametrů.(existují tedy adiabaticky nedosažitelné stavy). Názorná představa: Uvažujte stavový prostor, 2k rozměrný, kde každý bod představuje možný rovnovážný stav systému. Každý děj(tj. posloupnost stavů), je zobrazen křivkou; poeticky řečeno nití osudusystému,kterásevinestavovýmprostorem.jde-linapř.odějizotermickýpřiteplotě 0,jsou všechnymožnénitěosudunalepenynanadplochusrovnicí (a i, A i )= 0 = konst.vlibovolnémbodě (tj. okamžiku v osudu systému) se vyskytují libovolně blízko body izotermicky nedosažitelné: jsou to prostěbodyodpovídajícíjinéteplotě 0. Uvedená formulace tvrdí, že adiabatické děje mají podobný charakter, třebaže je jejich křivka dána diferenciálně(rovnicíd Q du+ a i da i =0),tj.vkaždémbodějeurčenjensměr,jakdál.vrdí, žeitytokřivkyjsounalepenynaurčitéplochy S(a i, A i )=konstavylučujítedysituaci,žebyniťbyla rozložena asi jako v obvyklém klubíčku nití, tj. vyplňovala(s přiměřenou přesností) nikoli plochu, ale celý objem, zaujímaný klubíčkem. 5.4 Carnotův cyklus Vkap.5.2.2jsmepopsalinejjednoduššítepelnýstroj,kterýodebíráteplo Q 2 zlázně L 2 oteplotě,předáváteplo Q 1 < Q 2dolázně L 1 oteplotě < akonápráci W. Uvažme, jak takový stroj může vypadat. Výše byly již vysvětleny důvody, proč se zabýváme jen cyklickými ději. Přímým důsledkemtoho,ževnitřníenergie Ujestavováveličina(narozdílodpráce Watepla Q),jesplněnírovnosti W = Q 2 Q 1 prokaždýcyklusstroje. Odebíránítepla Q 2 lázni L 2 jezřejměproces,kterýjeizotermický( = konst). Proces A 21 přechoduodlázně L 2 klázni L 1 nesmíbýtspojensvýměnouteplaaje tedyadiabatický(q=0).následnépředánítepla Q 1lázni L 1 jeopětděj,kterýje izotermický( = konst)akonečněpřechod A 12 zpětklázni L 2 dovýchozíhostavu jeadiabatický(q=0).entočtyřdílnýděj { A A }senazývácarnotův cyklus a příslušný stroj Carnotův stroj. Jsou snad možné jednodušší cyklické děje produkující práci? Ukážeme, že nikoli: probereme všechny myslitelné typy. Cyklický děj {A } tvořený samostatnou adiabatou je možný, ale nemůže konat prácipodle1.zdprocyklickéděje:je-li Q=0,jeiW=0. Cyklický děj { } tvořený samotnou izotermou je rovněž možný, ale nemůže konat práci, neboť by konal práci jen ochlazováním jedné lázně, což odporuje 2.Zd. Cyklický děj {A } by rovněž odebíral teplo jen jediné lázni a nemůže proto konat práci.

10 10 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Není pravdivá rozšířená téze, že takový stroj neexistuje, tj. že adiabata nemůže mít s izotermou dva různé společné body. Především i v jednoduchém systému může adiabata s izotermou splývat; tojenejenpřípadabsolutnínuly( =0K),alenapř.ivodypřijejímaximálníhustotě,tedypro. =3,96 C.Přejdeme-litedyzboduApotétokřivcecobyadiabatědoboduBavrátíme-liseprostým opakováním stavů v opačném stavu po téže křivce coby izotermě do bodu A, vykonali jsme bezesporu cyklickýděj {A }(ataké {A }ataké { }).otojejistětriviálnípřípad( smyčka dějemá nulovou plochu), ale ve složitějších systémech, popsaných k > 1 dvojicemi sdružených proměnných, jsou možné mnohem pestřejší situace. Uvažujme např. elektrický kondenzátor pod tlakem, popsaný dvojicemi(p, V)a(E, D).Ve4Dprostoru 4 (p, V, E, D)ležíkaždáizotermanajisté3Dnadploše 5 orovnici (p, V, D, E)=konst.akékaždáadiabataležínajisté3Dnadploše.Každárovniceadiabaty A p dp+a V dv+ A E de+ A D dd=0,kdekaždé A i jeobecněfunkcívšechproměnných(p, V, D, E), je integrabilní a je tedy po event. vynásobení vhodným integračním faktorem převeditelná na tvar ds(p, V, D, E)=0čili S= konst;tovšaknenítriviálnítvrzení(jakopropouhédvěproměnné p, V), ale výrok ekvivalentní 2.Zd. yto dvě nadplochy(pro izotermu a pro adiabatu) se obecně protínají, atov2dobjektu O,vněmžkaždákřivkajesoučasněadiabatouiizotermou.LzetedypřímovO sestrojit uzavřené smyčky mající nenulovou plochu, představující cyklický děj současně typu A i. LzevšaktakézvolitvOdvarůznébodyaspojitjejednakizotermouležícív,alemimo O, jednakadiabatouležícíprozměnuva,alemimo O,adostattak poctivý,netriviálnídějtypu {A }. Průmět ploch smyček do rovin(p,v) a(e,d) pro určení práce příslušného typu je nenulový, ale jejich součet, tedy úhrnná práce, je vždy nulový. akový stroj tedy jen např. mění mechanickou práci velektrickou apracujejensjedinoulázní;tovšaknenívžádnémsporus2.zd. Cyklický děj typu {A A } je identický s dějem {A }.(Proč?) Cyklickýdějtypu { A }nenímožný,protožeizotermy a senemohou protínat.(jakouteplotubymělzobrazovatjejichprůsečík,je-li??) ZůstávátedyCarnotůvcyklus { A A }nejjednoduššímcyklemschopným měnit teplo na práci. Pro úplnost bychom měli dodat, že se často Carnotovým cyklem nazývá i složitější cyklus střídající pravidelně adiabatu a izotermu; nazvěme si ho pro účely těchto skript složený Carnotův cyklus. Každý takový cyklus můžeme totiž vytvořit jako součet elementárníchcarnotovýchcyklů typu { A A },stejnějakokaždou uzavřenou lomenou čáru Γ sledující linie čtverečkovaného papíru lze složit z obdélníků na této síti; jejich vnější obvody tvoří dohromady Γ, zatímco každá z vnitřních čar je zásadně probíhána dvakrát v navzájem opačných směrech. Plocha omezená uzavřenou křivkou Γ je ovšem součtem ploch dílčích obdélníků. Nadruhémobrázkulze velký Carnotůvcyklus A D E H Auvažovatjako součettřícarnotovýchcyklů A B G H A, B C F G B, C D E F C. rasy B G, C F jsouprobíhányvždydvakrát(tamazpětvopačnýchsměrech). Vykonaná práce daná plochou ADEHA je součet dílčích prací. Na třetím obrázku je naznačeno, jak libovolnou uzavřenou křivku Γ zobrazující zkoumaný cyklický děj lze ozubit adiabatamiaizotermami,anahraditjitaksdostatečnoupřesnostídostatečně velkým počtem Carnotových cyklů.(podobně na milimetrovém papíře nahradíte křivku ozubenou lomenoučarouslibovolnoupřesnostívesmysluvelikostiplochyaodchylky odčáry nikolivesmysludélkyčáry!) 4 Zkratka4Dznamenáčtyřrozměrný,angl.4-dimensional. 5 Ipronisečastoužíváoznačeníizoterma.

11 5.5. ÚČINNOS ERMODYNAMICKÝCH SROJŮ 11 ermínu izoterma se užívá ve dvou blízkých, ale rozdílných významech: jednak je to 1D křivka popisující konkrétní děj se zachováním teploty, jindy je to(f-1)-rozměrná nadplocha tvořená body s toutéžhodnotouteploty.sprominutím,taprvníizotermaječáraležícínatédruhéizotermě.otéž platí o termínech adiabata, izobara, izochora atp. Carnotův cyklus Složený Carnotův cyklus Obecný cyklus 5.5 Účinnost termodynamických strojů Účinností se myslí vždy poměr užitečné energie k celkové dodané energii. Z hlediska filozofieparníchstrojů,tj.tepelnýchmotorůurčenýchktransformacidodanéhotepla Q 2 naodebranoupráci W bezohledunachlazenímodebranéteplo Q 1,jeprotoúčinnost definována vztahem η= W Q 2 resp. η= Q 2 Q 1 Q 2 =1 Q 1 Q 2 (5.2) vzhledemkrovnosti Q 2 Q 1=W,plynoucíz1.Zd.Jaksedáočekávat,budepro tepelné motory(vyrábějící práci z tepla) platit η 1. V technické praxi a zejména v běžném životě budeme často vyjadřovat účinnost v procentech, tj. η = 1 odpovídá 100%. Předpokládáme, že vzájemný převod nebude činit čtenářům nejmenší potíže, stejně jako rozlišování údajů prostě podle symbolu%. Naprotitomutentýžpřístupaplikovanýnajinéstrojesjiným rozloženímzájmu dáváúčinnostinaprvnípohledpřekvapující,atodotémíry,žeproněvolímeijiné termíny,neobsahujícíslovo účinnost.uchladniček(sopačnouorientacítokuenergie) jeužitečnouenergiíteplo Q 1 odčerpanézchlazenéhoprostoru,zatímcododanáenergieje W;pakovšemchladicífaktor β= Q 1 /Wmůžebýtivětší,imenšínež100%.Utepelného čerpadlajeužitečnouenergiíteplo Q 2dodanédonašehopokoje,dodanáenergiejeopět W;topnýfaktor ǫ=q 2 /Wjepakvždyvětšínež100%,atozpravidlavýrazně.Rozvažte všesamipodrobně,uvažteiznaménka Q 1, Q 2, Wzhlediskačinnosti,kteránásnastroji zajímá.

12 12 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Jako ilustraci, kterou si budete moci sami ověřit po probrání kap. 5.7, uvádíme tabulku účinností vratnýchtepelnýchstrojů účinnosti ηtepelnéhomotoru,chladicího faktoru β chladničky a topného faktoru ǫ tepelného čerpadla, pracujících mezi teplotamijednak5 Ca25 C,jednak20 Ca500 C.Hodnotybylyzaokrouhlenynacelá čísla. Účinnosti reálnýchstrojůsebudouuvedenýmúčinnostemblížitnatolik,nakolik se nám podaří přiblížit se vratnosti prováděných dějů. Budou vesměs nižší, což poznáme připojením typicky nevratného děje přímého převedení ztrátového tepla Q ztr zteplejšílázně dochladnější. Účinnosti vratnýchtepelnýchstrojů typ stroje teploty lázní přenášené energie motor: chladnička: čerpadlo: účinnost chladicí f. topný f. t 1 t 2 Q 1 Q 2 W η β ǫ 5 C=278K 25 C=298K % 1390% 1490% 20 C=293K 500 C=773K % 61% 161% Pro praxi jsou ovšem důležité i jiné aspekty. Z mimofyzikálních jsou to jistě cena a životnost zařízení; z fyzikálních také rychlost, s jakou stroj pracuje(např. doba jednoho cyklu). Je jistě velmi realistická představa, že dáme přednost menší účinnosti na rychleji pracujícím stroji. Je obecně známo, že spotřeba automobilu na ujetí 100 km narůstá prudce s rychlostí; přesto řada lidí spěchá. 5.6 Účinnost Carnotova stroje Účinnost vratného stroje Vratnýstrojvyměňujícíteplomezilázněmi L 1, L 2 daných(empirických)teplot, (aničímjiným),máúčinnost η(, )nezávislounakonstrukcistroje. oto velmi silné tvrzení tedy zajišťuje, že nezáleží ani na konstrukci, ani na pracovnímmédiu,...,alejennateplotělázní. Důkaz: Především ze slovní formulace plyne, že jde o Carnotovy stroje, třebaže nebyly výslovně pojmenovány. Ovšem kontakt s tepelnou lázní je izotermický děj a výhradně při něm nastává přenos tepla. Naopak přechod od jedné lázně ke druhé probíhá bez výměny tepla a je tedy dějem adiabatickým.

13 5.6. ÚČINNOS CARNOOVA SROJE 13 Uvažujmenejprvetepelnémotory.Kdybydvavratnémotory S A, S B mělypřipřeměněteplavprácirůznéúčinnostianapř. η B < η A (vizobr.),pakbychomméněúčinný motor S B zapojiliobráceně(tj.:dodanoupracíbyčerpalteplozestudenějšíláznědo teplejšíjakotepelnéčerpadlo).ímby S B přeneslzlázněteploty dolázněvyšší teploty vícetepla,než S A spotřeboval.jejichspojenímbytedyvzniklstroj,který by přenesl(bez vnější dodávané práce) teplo ze studenější lázně do teplejší, což je spor s jednou z formulací druhého zákona termodynamiky.(s kterou?) Proto dva vratné motory pracující mezi týmiž teplotami musí mít stejnou účinnost. Analogickou úvahu lze ovšem provést i pro čerpadlo, které je obráceným tepelným motorem.jetedyúčinnostvratnéhocarnotovastrojefunkcíteplotlázní: η= η(, ) a ničeho jiného. 7 S A S B 3 1 obrátímechodméněúčinnéhomotoru S B (aby S B využilvšechenpříkonzmotoru S A,užijeme S B dvakrát:) 7 S A SB = ,atojespors2.Zd Účinnost nevratného stroje V předchozím odstavci jsme rovnost účinností dvou vratných motorů dokázali tím, že jsmeobrátilichodmotorusmenšíúčinnostíadošlijsmekesporusdruhýmzákonem termodynamiky.aplikujeme-listejnouideunajedenvratný(s A )ajedennevratný(s B ) motor, je zřejmé, že vratný motor nemůže mít účinnost nižší než nevratný. Kdyby totiž účinnost vratného motoru byla menší, mohli bychom jeho chod obrátit a dospět ke sporujakodříve.obecnělzeprovšechnytepelnéstrojedokázat,že η nevr < η vr. Účinnost libovolného nevratného stroje je menší než účinnost vratného stroje, pracujícíhoslázněmitýchžteplot: η nevr < η vr.

14 14 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY 5.7 ermodynamická teplota Úvaha: Zvolme libovolnou konkrétní empirickou teplotu τ. Dokážeme, že účinnost η Carnotova stroje pracujícího mezi lázněmi o teplotách τ 1, τ 2 > τ 1 závisínatěchtoteplotáchspeciálním způsobem: existuje taková funkce (τ), τ 3 τ 3 že Q 3A A W 32A Q 2A τ 2 Q 2B τ 2 B W 21B Q 1B τ 1 = Q 3C C W 31C Q 1C τ 1 účinnost η 21 η(τ 2, τ 1 )=1,kde k (τ k ). ato funkce je rovněž(empirickou) teplotou, ale není již závislá na konkrétní volbě teplotoměrné látky či konkrétní konstrukci tepelného stroje; požadujeme jen, aby byl vratný. Proto ji nazveme termodynamickou teplotou (dříve absolutní teplotou. Zapojme za účelem důkazu jeden vratný stroj mezi lázněoteplotách τ 3, τ 2 adruhýmezilázněoteplotách τ 2, τ 1,kdepředpokládáme τ 3 > τ 2 > τ 1.Seřiďmejejichvýkon( rychlost )tak,abyteplo Q 2A dodanéprvnímstrojembyloprávěrovnoteplu Q 2B spotřebovanémudruhýmstrojem,tj. Q 2A= Q 2B. Pakjelázeň L 2 nadbytečnáaobastrojea,blzepokládatzajedinýstrojc,pracující mezilázněmi L 3 a L 1.Výpočtem Q k, Q j, W jk arozboremprostrojea,b,czjistíme vztahymeziúčinnostmi η jk těchtostrojů. Odvození:StrojeA,B,Cjsounavrženytak,abyplatilo Q 3A = Q 3C, Q 2A= Q 2B, Q 1B=Q 1C, W 31C= W 32A+W 21B.Platíproně η ik =1 Q k,tedy1 η ik = Q k,zčehož Q i Q i plyne(1 η 31C )=(1 η 32A )(1 η 21B ).Protoževšakúčinnosti ηvratnýchstrojůnezávisí najejichkonstrukcích,lzepsátprostě(1 η 31 )=(1 η 32 )(1 η 21 )bezuváděnítypů strojůa,b,c.olzesplnitzavedenímnovéteploty úměrnévyměněnémuteplu Q, takženapř.1 η 31 = 3.Pakpřilibovolně,alepevnězvolenéhodnotě 3 proteplotu lázně L 3 vyjdoujižjednoznačněteploty, chladnějšíchlázní L 1, L 2 vztahem ( ) η 3k =1 k Q 3 = 1 k Q 3 = 1 Q k Q 3 neboli k = 3 (1 η 3k ) Číselnáhodnota závisínavolběteploty 3 prolázeň L 3.Protožese vyskytujeve vzorci pro η v podílu, lze snadno nahlédnout, že je dáno jednoznačně až na libovolný multiplikativní faktor(fyzikálně: volba velikosti jednotky). en byl zvolen tak, aby teplotní interval nové stupnice 1 K(kelvin) byl roven dosavadnímu teplotnímu intervalu, 1 C(stupniCelsia).Zaspolehlivýteplotoměrnýbodbylavzatateplotatrojnéhobodu vody 6,podlestupniceCelsia0,01 C;tébylapřiřazenahodnota =273,16K,čímž byladosaženashodavevelikostikroků1 Ca1K.eplotě,udávanévkelvinech,říkáme termodynamická teplota(nebo též, pro připomenutí jejího nulového bodu, absolutní termodynamická teplota). 6 ehdyvedlesebemůžebýtvrovnováze(obvyklý)led,kapalnávodaijejípára.

15 5.7. ERMODYNAMICKÁ EPLOA 15 ÚdajCelsiovystupnice tseodkelvinů lišío273,15;platí = t+273,15. Velikost teplotního rozdílu je v obou stupnicích stejná: rozdílteploto1kjetotéžcorozdílo1 C. Vedle Celsiovy stupnice a kelvinů se v anglofonních zemích užívají(z historických důvodů)istupnicefahrenheitova( F)akníabsolutnístupniceRankinova( R). Převodnívztahymeziúdaji K, C, F, Rtěchtostupnicplynouzjejichlinearitazdefiničních vztahů0 C=32 F,100 C=212 F.Propohodlíčtenářejsouuvedenyvtabulce5.1. Grafické porovnání všech čtyř stupnic je na obr Propamětníkydodejme,žestupněRéaumurovy,kde0 C=0 Réa100 C=80 Ré,senyníuž opravdu neužívají. C = K 273,15 = 5(F 32) = 5R 273, C+273,15 = K = 5(F+459,67)= 5 R 9 9 1,8C+32 =1,8K 459,67= F = R 459,67 1,8(C+273,15)= 1,8K = F+459,67 = R abulka 5.1: Převod údajů v kelvinech a stupních Celsia, Fahrenheita a Rankina K C F R Obrázek 5.1: Srovnání kelvinů a stupnic Celsiovy, Fahrenheitovy a Rankinovy Jiná, ekvivalentní definice termodynamické teploty je uvedena v následující poznámce při zavedení entropie.

16 16 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY 5.8 Entropie Clausiova rovnost a nerovnost Clausiova rovnost Zabývejme se nejprve vratným Carnotovým cyklem. Již víme, že účinnost motoru je η 21 = 1 Q 1/Q 2 = 1 / ;ztohovšakplyne, že Q 2 = Q 1.Zavedeme-li tzv. redukovanéteplojako Q anezapomeneme-li,ževydanémuteplu Q k odpovídádodané teplo Q k = Q k,lzeříci,žepřicyklickémdějijecelkovédodanéredukovanéteplo rovnonule: i Q i i =0.OvěřmesitonajednoduchémCarnotověcyklu:podéladiabat je d Q=0,podélizoteremje konstantníalzehovytknoutpředintegrál;tepla Q 2 a Q 1= Q 1 majístejnáznaménkaajetedy Q 2 / Q 1/ = Q 2 / + Q 1 / =0. Přesně stejnou úvahu lze provést pro složený Carnotův cyklus(kap. 5.4): výsledkem je rovnost i Q i i =0avpřípadě,žedělenízjemňujemevesmysluRiemannovaintegrálu, platí konečně pro vratné děje tzv. Clausiova rovnost: Pro vratné děje platí Clausiova rovnost: Γ d Q vr =0 Pro libovolný cyklický děj, který dokážeme dostatečně jemně nahradit složeným Carnotovým cyklem, platí ovšem Clausiova rovnost také. Clausiova nerovnost ZabývejmesenynínevratnýmCarnotovýmcyklem.Účinnost η nevr nevratnéhomotoru jenižší,nežúčinnost η vr vratnéhomotorupracujícíhostýmižlázněmi.jetedy η nevr 1 Q 1nevr/Q 2nevr <1 /,odkudplyne Q 2 < Q 1.Postupemjakovýšeodvodíme pro nevratné děje tzv. Clausiovu nerovnost: Pro nevratné děje platí Clausiova nerovnost: Γ d Q nevr < Zavedení entropie Platí-lirovnost d Q Γ =0prokaždoudráhuΓ,znamenáto,ževýraz d Q je totálním diferenciálem(narozdílodsamotnéhod Q,kterýtotálnímdiferenciálemnení).Lzetedy psát ds= d Q pro vratné děje, (5.3) a zavést tak novou stavovou funkci S, zvanou entropie. Zřejmě při vratném adiabatickémději(d Q=0)platítéž ds=0neboli S= konst;entropiesezachováváavratný adiabatický děj můžeme nazvat též dějem izentropickým.

17 5.8. ENROPIE 17 Lzetedyříci,ževýrazd Qproteplomáintegračnífaktor 1. ermodynamickou teplotu lze též definovat jako převrácenou hodnotu integračního faktoru tepla. Je tím opět určena jednoznačně až na multiplikační konstantu. Veličinad Qnenítotálnímdifrenciálemajejíintegrál Γ d Qbytedybylzávislýna dráze fyzikálněřečenonaprůběhuděje,kterýprobíhal.nynívidíme,ževýraz d Q můžebýtvyjádřentotálnímdiferenciálem dsstavovéproměnnéentropie,jako d Q= ds. ento zápis umožňuje dosadit konkrétní tvar dráhy(= průběh děje) a integraci provést. Zcela analogicky, s využitím Clausiovy nerovnosti pro nevratné děje, dostaneme výsledek ds > d Q pro nevratné děje. (5.4) Samotný fakt existence entropie je ekvivalentní druhému zákonu termodynamiky; nejjasnější je to ovšem z Carathéodoryho formulace: z daného stavu, který má entropii S 0,jsoutotižadiabatickynedosažitelnévšechnystavymajícíjinouentropii S S 0. Entropie jako fyzikální veličina má však bohužel jednu velikou nevýhodu: neexistuje entropiometr,tedypřístroj,kterýbychommohli,jakotřebateploměr,vsunoutdo systému, a on by nám ukázal, jakou entropii systém má. Entropii, resp. její přírůstek či úbytek, počítáme ze změřených veličin jiných, např. z vyměněného tepla a teploty. o bylo také důvodem, proč řada významných fyziků(nernst jako jeden za mnohé) zpočátku entropii neuznávali a vyhýbali se jí. Např. Nernstovy formulace termín entropie nepoužívají vůbec. Na druhou stranu, energiometr také nemáme, a nevadí nám to v používání energie. Entropie a pravděpodobnost Na tomto místě musíme předběhnout a ještě uvést něco navíc ze statistické fyziky. Prozradíme, že entropie systému S ve stavu S souvisí velmi úzce s pravděpodobností. Je úměrná logaritmu počtu N různých mikrostavů, které by mohly realizovat týž makrostav S. Zanedlouho(str. 23) ukážeme, že při nevratných dějích entropie roste, a to zcela obecně; přírůstkem entropie můžeme dokonce kvantitativně hodnotit vzdálenost systémuodrovnováhy.zpraxevšakvíme,ževlastnost,kterásamaodseberoste,je nepořádek neuspořádanost v systému. o nás přivádí na myšlenku vzájemné souvislosti entropie a neuspořádanosti. Neuspořádaný systém je více pravděpodobný; lze ho realizovat větším počtem mikroskopicky různými, ale makroskopicky stejnými mikrostavy.rozdělíme-lisystém Snadvěčásti S 1, S 2,pakentropiejeaditivní: S= S 1 +S 2, zatímco pravděpodobnost w i počet různých mikrostavů N realizujících daný makrostav jsoumultiplikativní: w= w 1 w 2 resp. N= N 1 N 2.Funkce,převádějícímultiplikativní veličinu na aditivní, je logaritmus; proto je entropie úměrná logaritmu pravděpodobnosti ln w(se zápornou konstantou úměrnosti, neboť w < 1) resp. logaritmu počtu mikrostavů ln N(s kladnou konstantou úměrnosti).

18 18 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Entropie je tedy, jak říká okřídlené úsloví, mírou nepořádku v systému. ím se nám stane pochopitelné, proč při vratných dějích se entropie nemění a při samovolných nevratných dějích roste. Rovněž bude jasné, že stav s nulovou teplotou, mající nejnižší energii a realizovaný tím jediným mikrostavem s nejnižší teplotou(n = 1) má entropii nulovou:ln N=ln1=0.Úplnývýkladvšakpatříaždostatistickéfyziky. Entropie definovaná pravděpodobností či počtem různých, ale makroskopicky stejných mikrostavů daleko překračuje rámec termodynamiky i celé fyziky. Je použitelná např. i v teorii informace Spojenézákonytermodynamické Získané výsledky nám dovolují spojit první a druhý termodynamický zákon pro vratné děje do tvaru(pro obecný resp. jednoduchý systém): du= ds+d W, resp. du= ds pdv. (5.5) Snadnosepřesvědčíme,žepronevratnéděje,proněžd Q < ds,platí du < ds+d W, resp. du < ds pdv (5.6) a společně tedy platí du ds+d W, resp. du ds pdv ; rovnost platí pro vratné děje Souvislost kalorické a termické stavové rovnice Jakojednoduchécvičeníukážeme,žezávislostvnitřníenergienaobjemu ( ) U vkalorické stavové rovnici je již dána termickou stavovou V rovnicí. Vztah du = ds pdv upravímena ds = 1 (du+ pdv)avyjádříme du ( ) (( ) vproměnných V, : ds(v, )= 1 U U V d+1 + V p) dv.nynípoužijeme podmínkyintegrability,tj.rovnosti 2 S = 2 S ( ) : V V 1 L: U = ( ) 1 2 U ; V (( V ) V 1 P: U + (( ) V p) = 1 U + (( ) ( ) ) V p) U V + p, V odkud porovnáním dostaneme ( ) U V = ( ) p V p (5.7) a to je na začátku skript zmíněný vztah mezi kalorickou a termickou stavovou rovnicí.

19 5.8. ENROPIE Entropie konkrétních soustav DorovnicedS= 1 du + p dv= C V dosadímeprávězjištěnouzávislost ( U V d+ 1 ) (( ) U V ) = ( p ds= C ( ) V p d+ V + p) dv prodiferenciálentropie V p;tímdostanemerovnici dv. (5.8) Do ní stačí dosazovat konkrétní stavové rovnice a integrovat vzniklou Pfaffovu formu (o níž víme, že je totálním diferenciálem entropie). Jelikož je entropie dána diferenciálem, je určena až na libovolnou aditivní konstantu. ou se budeme zabývat až ve třetím zákonu termodynamiky na str. 27; zatím ji zvolíme zcela libovolně. Protože zatím používáme jen diferenciál entropie(např. ds) nebo její derivaci nebo přírůstek(rozdíl dvou hodnot entropie), aditivní konstanta se nijak neprojeví. Entropie ideálního plynu Uvažujmenejprveideálníplynskonstantnítepelnoukapacitou C V,charakterizovaný stavovýmirovnicemi pv= R, U= C V + U 0.Dosazenímdo(5.8)dostanemevztah ds= C ( ) V p d+ V dv= C V d+r V dv. (5.9) riviálníintegrace S= C V ln + Rln V bybylachybná!!!integračníkonstanta,byť neurčená jednoznačně, je zde totiž nepostradatelná, nechceme-li se dostat do problémů srozměremvýrazůln,ln V aještědotzv.gibbsovaparadoxu.správnývýsledek s explicitní závislostí na množství látky n zní S= C V ln 0 + Rln V/n V 0 /n 0 + S 0, (5.10) kde S 0 jeentropie n 0 molůplynuvestavusobjemem V 0 ateplotou 0 aponechámena čtenáři, zda je srozuměn. Jinými slovy: 1) ověřte, že(5.10) vyhovuje rovnici(5.8); 2) ověřte, že je to nejobecnější řešení(pro pevný počet molů); 3) zapamatujte si trik s odstraněním rozměrových problémů u logaritmu: za primitivní funkci k 1/x bertevždyln(x/x 0 )slibovolnoukonstantníhodnotou x 0,nikolijenlnx.Aktomucelémulzeovšem ještě přičíst integrační konstantu, která takto bude bezrozměrová. Podrobnývýkladceléhoproblémujenajinémmateriálu( Gibbsůvparadox )proobecnýpočetmolů. Nejobecnějšíideálníplynsproměnnoutepelnoukapacitou C V ()máentropii,jak čtenář jistě snadno dokáže sám, rovnu S= 0 C V (τ) τ dτ+ Rln V/n V 0 /n 0 + S 0. (5.11)

20 20 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Entropie van der Waalsova plynu Dosazenímstavovérovnicevetvaru p= nr n2 a do(5.8)aanalogickouintegrací V nb V 2 dostaneme(zapředpokladu C Vm = konst)výsledek S= nc Vm ln 0 + nrln V nb V 0 nb + ns 0m. (5.12) Výsledek zřejmě vyhovuje pro vyšší teploty, nikoli pro 0. Entropie ideálního krystalu Předpoklad C Vm =3qR=konstproideálníkrystalsharmonickýmikmity(který,jak víme,pro 0Knesouhlasíseskutečností)dáváproenergiirovnicitvaru U m (V, )= 3qR+ U m (V),znížplyne S= n 3qRln 0 + n S 0m. (5.13) Výsledek je dobře použitelný pro většinu látek při pokojové teplotě a vyšších(použitelnost je stejná jako u Dulongova-Petitova zákona). Pro 0 K zřejmě nevyhovuje. Entropie Debyeova krystalu Entropii Debyeova krystalu lze získat snadnou integrací: S=4nqRD(β) 3nqRln(1 e β ) (5.14) Proteploty 0Kje β aplatípřibližně D(β). = π4 5 β 3.Odtud S. = 4 5 π4 nqr 3 / D 3 (5.15) Výsledek velmi dobře vystihuje termodynamické vlastnosti většiny reálných látek pro 0K. Entropie záření černého tělesa Zevztahu U = uv = σ V 4 plyne C V ( ) U V = 4σ V 3.Rovniceprototální diferenciál ds=4σ Vd+ 4 3 σ 3 dv jesnadnointegrovatelná: S= S σ 3 V. entovzorecumožňujezvolitintegračníkonstantu S 0 =0vsouladustřetímzákonem termodynamiky(kap. 6.1). Konečným výsledkem tedy je správný pro všechny teploty bez omezení. S= 4 3 σ 3 V (5.16)

21 5.9. ERMODYNAMICKÉ POENCIÁLY ermodynamické potenciály Při zavedení entalpie jsme vyřešili problém přechodu mezi různými proměnnými. Od proměnné Vvyskytujícísevevnitřníenergii Ujsmepřešlikptím,žejsmeprovedlitzv. Legendrovu transformaci, kterou jsme zavedli místo vnitřní energie U(S, V) entalpii H(S, p) = U + pv. Podobně můžeme vytvořit další termodynamické potenciály, vyjádřené v jiných proměnných: volnouenergii F(V, )=U S Gibbsůvpotenciál G(p, )=F+ pv = H S= U S+ pv. Význam těchto potenciálů je analogický významu vnitřní energie U(S, V) pro adiabatickyizolovanýsystém(d Q=0,tedy S= konst)nekonajícípráci(pdv =0,tedy V= konst).jsoutovesměsstavovéveličinyajejichzměnyvystihujízměnyteplačipráce (tedy dějových veličin) při speciálních dějích takových, při nichž jsou nezávislými proměnnými jejich tzv. přirozené proměnné. značka přir.prom. název F V, volná energie, Helmholtzova funkce G, p Gibbsův potenciál, volná entalpie H p, S entalpie,(zastar. tepelný obsah) U V, S vnitřní energie Změna Fvolnéenergie F(V, )udávápřivratnémizotermickémději(= 0 = konst)dodanoupráci W(resp.záporněvzatouvykonanoupráci W = W).atopráce selišíoteplovyměněnéslázníteploty 0 odpráce,kterábysevykonalapřivratném adiabatickémději(s= S 0 = konst)akterábybylarovnazměně Uvnitřníenergie U(, S). Pokud pracujeme při konstantním tlaku a nikoli objemu(např. za atmosférického tlaku),můžeseměnitobjemsystémuakonattímpráci;totojetypickásituacepro chemické reakce. Pro takové případy je vhodné brát jako nezávisle proměnnou tlak p audávatzměnyprácečiteplazměnougibbsovapotenciálu G(p, )čientalpie H(p, S) podle toho, zda jde o děj izotermický či vratný adiabatický. Volná energie F je velmi významná ve statistické fyzice, neboť její proměnné V, jsou výhodné parametrypřimikroskopickémpopisu(pravděpodobnosttypuexp( E k )). Gibbsův potenciál oceníme v systémech s proměnným počtem částic, tzv. otevřených systémech: molární Gibbsův potenciál je přímo roven chemickému potenciálu. Jiné názvy a značení: Volnáenergie F užíváčsniso31-4;kvasnica;leontovičsesymbolemψ; Helmholtzovaenergie, Helmholtzovavolnáenergie sesymbolem AMoore,Bazarov; Helmholtzovafunkce připouští ičsniso31-4. Gibbsůvpotenciál G užívákvasnica; Gibbsova(volná)energie Moore,Bazarov; volnáentalpie LeontovičsesymbolemΦ; Gibbsovafunkce jeuvedenavčsniso31-4. ermín potenciál jeanalogiíkpotenciáluvmechanicečivpoli;derivacípotenciálupodle(zobecněné) souřadnice získáváme intenzitu resp.(zobecněnou) sílu.

22 22 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Magický čtverec Řadu vztahů mezi termodynamickými proměnnými a potenciály pro jednoduchý systém si lze snadno mnemotechnicky zapamatovat z následujícího magického čtverce: 1)Dorohůčtvercezapíšeme V,, p, S(jdeoVelmiěžkopamatovatelnéSchéma!) 2)Kehranámpřipíšemevabecednímpořadí F, G, H, U 3) Magickou moc dodají šipky, směřující vzhůru(a určující pak znaménka výrazů). V S 1. krok p U V S 2. krok Magický čtverec nám připomene následující fakta a vzorce: F H p G MAGICKÝ ČVEREC U V S F 1.Stavováfunkcejepotenciálem,je-livyjádřenav sousedních stavovýchproměnných: F= F(V, ) G=G(, p) H= H(p, S) U= U(S, V) 2. Diferenciál potenciálu je lineární kombinací(pfaffovou formou) diferenciálů jejích proměnných(v rozích). Pro koeficienty této formy si dojdeme naproti. Jdeme-li pošipce,znaménkobude +,jdeme-liprotišipce,bude.edy: df= pdv Sd dg= Sd+ Vdp dh= Vdp+dS a spojenévětytermodynamické du= ds pdv. 3.Zezápisudiferenciálůplynourovnice ( ) F = p; ( ) F V V H p G = S,apodobně ( ) G = S; ( ) G = V p p ( ) H = V; ( ) H = p S S p ( ) U = ; ( ) U = p S V V S 4. Diferenciály ad 2) jsou ovšem úplnými diferenciály; musí proto platit podmínky integrability Riemannovy-Cauchyovy rovnosti, vyjadřující záměnnost v pořadí proměnných u druhých derivací; zde se nazývají Maxwellovy vztahy: ( p ) V = ( S V ) ( S p ) = ( V ) p ( V S ) = ( ) p p S ( V Příklad odvození první z rovnic záměnností druhých parciálních derivací F: ( ) p = p(v, )= F(V,) = 2 F = 2 F = F(V,) = ( ) S V V V V V V ) = ( ) p S S V

23 5.10. PODMÍNKY ROVNOVÁHY 23 V magickém čtverci jde o dva trojúhelníky s jednou společnou odvěsnou(na níž je potenciál, o jehož druhé derivace jde); opět šipky přepon určí znaménko. 4) Pro potenciály platí definiční vztahy; šipky opět určují znaménko: H= U+ pv U= F+ S F= G V p G=H S. 5) Další fantazii se meze nekladou Gibbsovy-Helmholtzovy rovnice Přioznačení β 1,kde k=konst,můžemeodvoditazapsatdalšídůležitévztahy. k Jsou to zejména Odvodíme je takto: 1.Gibbsova-Helmholtzovarovnice: U= β (βf) V 2.Gibbsova-Helmholtzovarovnice: H= β (βg) p ( ) ( ) (βf) F = F+ β β β V ( ) ( ) (βg) G = G+β β β p V p ( ) F = F+ β ( ) G = G+β V p d dβ d dβ = F+ S= U (5.17) = G+S= H (5.18) Konstanta k může být libovolná; její fyzikální rozměr i multiplikativní konstanta se vždy vykrátí. V molekulové a statistické fyzice se využívá těchto vztahů s tzv. Boltzmannovou konstantou k. =1, JK 1. Dalším užitečným vztahem je ( ) F U= F+ S= F V ( ) (F/) = V ( ) (J) = V (5.19) využívajícítzv.massieuovy funkce J F ;užitímjejímaplanckovy funkce Y GlzezjednodušitivýšeuvedenéGibbsovy-Helmholtzovyrovnice. epelné kapacity lze též dobře vyjádřit potenciály: C p = ( 2 G ; C )p 2 V = ( ) 2 F. V 5.10 Podmínky rovnováhy Přechod izolovaného systému k rovnováze Přechod izolovaného systému z nerovnovážného stavu do rovnovážného je nevratný děj parexcellence ;toplyneznultéhozákonatermodynamikyazdefinicerovnovážného stavu. Co nám o tom může říci termodynamika?

24 24 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY Druhý zákon stanoví, že některé děje samovolně neprobíhají, např. přechod tepla z chladnějšího tělesa na teplejší nebo přeměna tepla na práci; opačné děje mohou probíhat i samovolně. Práce a teplo jsou ovšem dějové a nikoli stavové veličiny. V dalším ukážeme, že nevratnost děje lze popsat i stavovou veličinou entropií: při samovolném přechodu z nerovnováhy do rovnováhy entropie roste. Druhý zákon termodynamiky tvrdí, že při vratných adiabatických dějích se nemění jistástavováveličina,totižentropie S;celýstavovýprostorsetedyrozpadána slupky skonstantnímientropiemi S = konst.vyjdeme-lizbodunajednéznich S = S 0, nemůžemesevratnýmadiabatickýmdějemdostatnažádnoujinou S= S 1 S 0. V dalším se budeme zabývat nevratnými adiabatickými ději; uvidíme, že jimi můžemepřejítnajiné slupky,alejennaty,kterémajíentropiivětší.clausiovanerovnost (kap.5.8.1)říká,že d Q nevr / <0.Pokudtedysystémpřejdesamovolněadiabaticky zestavu S A dostavu S B azpětsedostanevratně(nenutněadiabaticky!),musíplatit d Q B = A d Q nevr + A B d Q vr =0+ A B ds= S A S B <0 (5.20) apřechodtedynastalzestavu S A smenšíentropií S A dostavu S B světšíentropií S B. Entropie nerovnovážného izolovaného systému může samovolně jen vzrůstat; v rovnováze nabývá svého maxima. o nám dává možnost zkoumat situace v okolí rovnovážného stavu. Procházejme myšleně fázovým prostorem po jisté dráze a parametrizujme ji libovolným parametrem τ (nemusítobýtčas).zjišťujmepřitomentropii S = S(τ).Pokudjsmeprošli rovnovážnýmstavemsystémupřihodnotě τ 0,pakbylo S(τ 0 ) S 0 maximální.má-li funkce S(τ)potřebnéderivace,musíbýt S (τ 0 )=0(extrém)aS (τ 0 ) 0(maximum) Podmínky rovnováhy uvnitř systému Uvažujmeizolovanýsystémsloženýzedvoučástí: S=S 1 S 2,naněmžlzeprácikonat vícerýmzpůsobem: d W = pdv + Ada,kde ajeextenzivníveličina.je-lisystém vrovnováze,platípronějdruhýzákontermodynamikyvetvaru du = d W+d Q, odkud dostaneme po vydělení ds= 1 du+ p dv A da. (5.21) Protože veličiny S, U, V, a jsou extenzivní, platí S= S 1 + S 2 ; U= U 1 + U 2 ; V= V 1 + V 2 ; a=a 1 + a 2, takželzepsát ds 1 +ds 2 = 1 du du 2 + p 1 dv 1 + p 2 dv 2 A 1 da 1 A 2 da 2. (5.22)

25 5.10. PODMÍNKY ROVNOVÁHY 25 Systémjeizolovaný,takže U= konst, V= konst, a=konst,aproto du=du 1 +du 2 =0, dv=dv 1 +dv 2 =0, da=da 1 +da 2 =0. (5.23) Po dosazení do(5.22) dostaneme ( 1 ds= 1 ) du ( p1 p ) ( 2 A1 dv 1 A ) 2 da 1. (5.24) Projděme se nyní stavovým prostorem jako v předchozím odstavci a parametrizujme přitom S(τ), U(τ), V(τ), a(τ).vrovnováze τ 0 musíbýt S (τ 0 )= ds=0přilibovolné dτ parametrizaci; bude tedy vždy ds = 0. Svou cestu můžeme obměňovat tak, abychom na nípřizměně τměniliiu, V, a.(nejste-lidosudzvyklínaprácisdiferenciály, vydělte rovnici(5.24) výrazem dτ a pracujte s derivacemi.) Pokud však musí být v rovnováze stále ds=0,musíbýtvšechnyzávorkyuvšechdiferenciálův(5.24)býtrovnynule. Ztohoovšemplyne(proveďtetosami),ževestavurovnováhyplatí = ; p 1 = p 2 ; A 1 = A 2. (5.25) Za sdružené parametry(a, a) můžeme brát cokoli, pokud je a extenzivní. Ve stavu rovnováhy mají tedy parametry sdružené k extenzivním parametrům stejnou hodnotu v každé části systému; jsou vždy intenzivní. Při studiu chemické a fázové rovnováhy v systémech s proměnným počtem částic n vezmeme A=µ, a=n.

26 26 KAPIOLA 5. DRUHÝ ZÁKON ERMODYNAMIKY

27 Kapitola 6 řetí zákon termodynamiky 6.1 Základní idea První zákon termodynamiky definoval teplo, druhý zákon zavedl teplotu a entropii. eplota je určena absolutně, svým počátkem i způsobem měření(účinností vratného Carnotova cyklu), a jediná libovůle spočívá ve velikosti měrné jednotky. a byla stanovena hodnotou 273,16 K pro teplotu trojného bodu vody; tím bylo zajištěno, aby se rozdíl teplot jeden kelvin co nejméně lišil od dosavadního jednoho stupně Celsia. Entropievšakjedefinovánajendiferenciálnětím,žeprovratnédějeplatí d Q=dS. Jetedydánaažnaaditivníkonstantu S 0,kteráseneprojevíanivdiferenciálu,ani při rozdílech entropií.(naproti tomu jednotka entropie je dána jednoznačně, zvolíme-li jednotku teploty, protože jejich součin musí dávat jednotku energie.) řetí zákon termodynamiky v jedné ze svých formulací(planck, Falk) odstraňuje tento nedostatek tím, že stanoví absolutní hodnotu entropie: zhruba řečeno, při teplotě absolutní nuly je entropie rovna nule. Jiné, historicky starší formulace třetího zákona termodynamiky popisují fyzikální dějepřiteplotách 0Kapoukazujínanedosažitelnostteploty =0Kkonečným počtem kroků. 6.2 Formulace třetího zákona termodynamiky Jak jsme již zmínili při zavedení entropie, neměli mnozí fyzikové entropii rádi; její bezprostřední neměřitelnost jim byla těžko přijatelnou. Upřednostňovali proto formulace obsahující jen přímo měřitelné veličiny, ze současného hlediska tedy výrazy ) s diferenci- ) ályčiderivacemientropie.akzmaxwellovýchvztahůvíme,že ( S = ( p ( ) aže V V S = ( ) V.Experimentyvšakukazují,žeobatytovýrazyseblížínuleprotep- p p lotuklesajícíkabsolutnínule.pro 0setedyentropie Sstávánezávislouna p, V, provratnézměnyje S 0pro 0. Nernstova formulace(1906) říká: 27

Kapitola 5. Druhý zákon termodynamiky. 5.1 Základní idea

Kapitola 5. Druhý zákon termodynamiky. 5.1 Základní idea Kapitola 5 Druhý zákon termodynamiky Historie: d-stroje-3.tex: Zkráceno jen na tepelné stroje(bez Podmínek rovnováhy a 3Zd) a odstraněny odkazy na ně. d-stroje-2.tex: Ponechány d potenciály; pumpa čerpadlo;

Více

Druhý a třetí zákon termodynamiky

Druhý a třetí zákon termodynamiky Kapitola 5 Druhý a třetí zákon termodynamiky Historie: d-stroje-4.tex: Vynechány Gibbsovy-Helmholtzovy rovnice a podmínky rovnováhy. d-stroje-2.tex: Ponechány d potenciály; pumpa čerpadlo; někde upřesněno

Více

Termodynamika. Děj, který není kvazistatický, se nazývá nestatický.

Termodynamika. Děj, který není kvazistatický, se nazývá nestatický. Termodynamika Zabývá se ději, při nichž se mění tepelná energie v jiné druhy energie (zejména mechanické). Studuje vlastnosti látek bez přihlédnutí k jejich mikrostruktuře. Je vystavěna na axiomech (0.,

Více

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno

Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno JAMES WATT 19.1.1736-19.8.1819 Termodynamika principy, které vládnou přírodě Obsah přednášky Vysvětlení základních

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

IDEÁLNÍ PLYN 14. TEPELNÉ STROJE, PRVNÍ A DRUHÝ TERMODYNAMICKÝ ZÁKON

IDEÁLNÍ PLYN 14. TEPELNÉ STROJE, PRVNÍ A DRUHÝ TERMODYNAMICKÝ ZÁKON IDEÁLNÍ PLYN 14. TEPELNÉ STROJE, PRVNÍ A DRUHÝ TERMODYNAMICKÝ ZÁKON Autor: Ing. Eva Jančová DESS SOŠ a SOU spol. s r. o. TEPELNÝ STROJ Tepelný stroj je stroj, který pracuje na základě prvního termodynamického

Více

FYZIKÁLNÍ CHEMIE chemická termodynamika

FYZIKÁLNÍ CHEMIE chemická termodynamika FYZIKÁLNÍ CHEMIE chemická termodynamika ermodynamika jako vědní disciplína Základní zákony termodynamiky Práce, teplo a energie Vnitřní energie a entalpie Chemická termodynamika Definice termodynamiky

Více

LOGO. Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn

LOGO. Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Ideální plyn Protože popsat chování plynů je nad naše možnosti, zavádíme zjednodušený model tzv. ideálního plynu, který má tyto vlastnosti: Částice ideálního plynu

Více

Termodynamika a živé systémy. Helena Uhrová

Termodynamika a živé systémy. Helena Uhrová Termodynamika a živé systémy Helena Uhrová Základní pojmy termodynamiky soustava izolovaná otevřená okolí vlastnosti soustavy znaky popisující soustavu stav rovnováhy tok m či E =0 funkce stavu - soubor

Více

Termodynamické zákony

Termodynamické zákony Termodynamické zákony Makroskopická práce termodynamické soustavy Již jsme uvedli, že změna vnitřní energie soustavy je obecně vyvolána dvěma ději: tepelnou výměnou mezi soustavou a okolím a konáním práce

Více

Termodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn

Termodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Termodynamika materiálů Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Důležité konstanty Standartní podmínky Avogadrovo číslo N A = 6,023.10

Více

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST

FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 2. ČÁST KCH/P401 Ivo Nezbeda Ústí nad Labem 2013 1 Obor: Klíčová slova: Anotace: Toxikologie a analýza škodlivin, Chemie

Více

1.4. II. věta termodynamiky

1.4. II. věta termodynamiky ... věta termodynamiky Slovní formulace: homsonova formulace: Nelze sestrojit periodicky pracující stroj, který by konal práci, přičemž by ochlazoval jediné těleso, jehož teplota by byla všude stejná,

Více

Mol. fyz. a termodynamika

Mol. fyz. a termodynamika Molekulová fyzika pracuje na základě kinetické teorie látek a statistiky Termodynamika zkoumání tepelných jevů a strojů nezajímají nás jednotlivé částice Molekulová fyzika základem jsou: Látka kteréhokoli

Více

9. Struktura a vlastnosti plynů

9. Struktura a vlastnosti plynů 9. Struktura a vlastnosti plynů Osnova: 1. Základní pojmy 2. Střední kvadratická rychlost 3. Střední kinetická energie molekuly plynu 4. Stavová rovnice ideálního plynu 5. Jednoduché děje v plynech a)

Více

Termomechanika 3. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK

Termomechanika 3. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK ermomechanika 3. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK Upozornění: ato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

IDEÁLNÍ PLYN. Stavová rovnice

IDEÁLNÍ PLYN. Stavová rovnice IDEÁLNÍ PLYN Stavová rovnice Ideální plyn ) rozměry molekul jsou zanedbatelné vzhledem k jejich vzdálenostem 2) molekuly plynu na sebe působí jen při vzájemných srážkách 3) všechny srážky jsou dokonale

Více

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední

Více

Elektroenergetika 1. Termodynamika a termodynamické oběhy

Elektroenergetika 1. Termodynamika a termodynamické oběhy Termodynamika a termodynamické oběhy Termodynamika Popisuje procesy, které zahrnují změny teploty, přeměny energie a vzájemný vztah mezi tepelnou energií a mechanickou prací Opakování fyziky Termodynamický

Více

metoda je základem fenomenologické vědy termodynamiky, statistická metoda je základem kinetické teorie plynů, na níž si princip této metody ukážeme.

metoda je základem fenomenologické vědy termodynamiky, statistická metoda je základem kinetické teorie plynů, na níž si princip této metody ukážeme. Přednáška 1 Úvod Při studiu tepelných vlastností látek a jevů probíhajících při tepelné výměně budeme používat dvě různé metody zkoumání: termodynamickou a statistickou. Termodynamická metoda je základem

Více

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Termodynamika: Nauka o obecných zákonitostech, kterými se se řídí transformace CELKOVÉ energie makroskopických systémů v její různé formy. Je založena na výsledcích experimentílních

Více

Fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302. 14. února 2013

Fyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302. 14. února 2013 Fyzikální chemie Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302 14. února 2013 Co je fyzikální chemie? Co je fyzikální chemie? makroskopický přístup: (klasická) termodynamika nerovnovážná

Více

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické

Termodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické Termodynamika termodynamická teplota: Stavy hmoty jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické teploty trojného bodu vody (273,16 K = 0,01 o C). 0 o C = 273,15 K T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]=

Více

Teplo, práce a 1. věta termodynamiky

Teplo, práce a 1. věta termodynamiky eplo, práce a. věta termodynamiky eplo ( tepelná energie) Nyní již víme, že látka (plyn) s vyšší teplotou obsahuje částice (molekuly), které se pohybují s vyššími rychlostmi a můžeme posoudit, co se stane

Více

Termomechanika 4. přednáška

Termomechanika 4. přednáška ermomechanika 4. přednáška Miroslav Holeček Upozornění: ato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů

Více

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník PLYNNÉ LÁTKY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník Ideální plyn Po molekulách ideálního plynu požadujeme: 1.Rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul

Více

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček:

Základem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček: Molekulová fyzika zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného působení částic, ze kterých se látky skládají. Termodynamika se zabývá zákony přeměny různých forem energie

Více

Termodynamika 1. UJOP Hostivař 2014

Termodynamika 1. UJOP Hostivař 2014 Termodynamika 1 UJOP Hostivař 2014 Termodynamika Zabývá se tepelnými ději obecně. Existují 3 termodynamické zákony: 1. Celkové množství energie (všech druhů) izolované soustavy zůstává zachováno. 2. Teplo

Více

Elektroenergetika 1. Termodynamika

Elektroenergetika 1. Termodynamika Elektroenergetika 1 Termodynamika Termodynamika Popisuje procesy, které zahrnují změny teploty, přeměny energie a vzájemný vztah mezi tepelnou energií a mechanickou prací Opakování fyziky Termodynamický

Více

II. MOLEKULOVÁ FYZIKA 1. Základy termodynamiky III

II. MOLEKULOVÁ FYZIKA 1. Základy termodynamiky III II. MOLEKULOVÁ FYZIKA. Základy termodynamiky III Obsah Cyklický děj. epelné stroje. Základní formulace. zákona D. Carnotův cyklus. Ottův cyklus. Stirlingův motor. Účinnost D strojů. Účinnost vratného a

Více

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter.

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter. CHEMICKÁ ENERGETIKA Energetickou stránkou soustav a změnami v těchto soustavách se zabývá fyzikální disciplína termodynamika. Z široké oblasti obecné termodynamiky se chemická termodynamika zajímá o chemické

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Do známky zkoušky rovnocenným podílem započítávají získané body ze zápočtového testu.

Do známky zkoušky rovnocenným podílem započítávají získané body ze zápočtového testu. Podmínky pro získání zápočtu a zkoušky z předmětu Chemicko-inženýrská termodynamika pro zpracování ropy Zápočet je udělen, pokud student splní zápočtový test alespoň na 50 %. Zápočtový test obsahuje 3

Více

2.4 Stavové chování směsí plynů Ideální směs Ideální směs reálných plynů Stavové rovnice pro plynné směsi

2.4 Stavové chování směsí plynů Ideální směs Ideální směs reálných plynů Stavové rovnice pro plynné směsi 1. ZÁKLADNÍ POJMY 1.1 Systém a okolí 1.2 Vlastnosti systému 1.3 Vybrané základní veličiny 1.3.1 Množství 1.3.2 Délka 1.3.2 Délka 1.4 Vybrané odvozené veličiny 1.4.1 Objem 1.4.2 Hustota 1.4.3 Tlak 1.4.4

Více

Fluktuace termodynamických veličin

Fluktuace termodynamických veličin Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ

Více

Molekulová fyzika a termika. Přehled základních pojmů

Molekulová fyzika a termika. Přehled základních pojmů Molekulová fyzika a termika Přehled základních pojmů Kinetická teorie látek Vychází ze tří experimentálně ověřených poznatků: 1) Látky se skládají z částic - molekul, atomů nebo iontů, mezi nimiž jsou

Více

Nultá věta termodynamická

Nultá věta termodynamická TERMODYNAMIKA Nultá věta termodynamická 2 Práce 3 Práce - příklady 4 1. věta termodynamická 5 Entalpie 6 Tepelné kapacity 7 Vnitřní energie a entalpie ideálního plynu 8 Výpočet tepla a práce 9 Adiabatický

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Základy molekulové fyziky a termodynamiky

Základy molekulové fyziky a termodynamiky Základy molekulové fyziky a termodynamiky Molekulová fyzika je částí fyziky, která zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného silového působení částic, z nichž jsou

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

dq = 0 T dq ds = definice entropie T Entropie Při pohledu na Clausiův integrál pro vratné cykly :

dq = 0 T dq ds = definice entropie T Entropie Při pohledu na Clausiův integrál pro vratné cykly : Entropie Při pohledu na Clausiův integrál pro vratné cykly : si dříve či později jistě uvědomíme, že nulová hodnota integrálu nějaké veličiny při kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho,

Více

4 Term ika. D ůsledky zavedení tep lo ty a tep la Stavová r o v n i c e Stavová rovnice termická a kalorická

4 Term ika. D ůsledky zavedení tep lo ty a tep la Stavová r o v n i c e Stavová rovnice termická a kalorická Obsah Předm luva И 1 Výchozí představy term odynam iky 13 1.1 Předmět zkoumání termodynamiky... 13 1.1.1 Celkový r á m e c... 13 1.1.2 Teplo, teplota, e n tr o p ie... 14 1.1.3 Vymezení term o d y n am

Více

soustava - část prostoru s látkovou náplní oddělená od okolí skutečnými nebo myšlenými stěnami okolí prostor vně uvažované soustavy

soustava - část prostoru s látkovou náplní oddělená od okolí skutečnými nebo myšlenými stěnami okolí prostor vně uvažované soustavy Soustava soustava - část prostoru s látkovou náplní oddělená od okolí skutečnými nebo myšlenými stěnami okolí prostor vně uvažované soustavy Okolí Hraniční plocha Soustava Soustava Rozdělení podle vztahu

Více

Termodynamické potenciály

Termodynamické potenciály Kapitola 1 Termodynamické potenciály 11 Vnitřní energie a U-formulace Fyzikání význam vnitřní energie: v průběhu adiabatického děje je vykonaná práce rovna úbytku vnitřní energie Platí pro vratné i pro

Více

Termomechanika. Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK

Termomechanika. Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK ermomechanika. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK Upozornění: ato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných

Více

Fáze a fázové přechody

Fáze a fázové přechody Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Fáze a fázové přechody Pojem fáze je zobecněním pojmu skupenství, označuje homogenní část makroskopického tělesa. Jednotlivé fáze v

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální energie

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Vnitřní energie, práce a teplo

Vnitřní energie, práce a teplo Vnitřní energie, práce a teplo Zákon zachování mechanické energie V izolované soustavě těles je v každém okamžiku úhrnná mechanická energie stálá. Mění se navzájem jen potenciální energie E p a kinetická

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

T0 Teplo a jeho měření

T0 Teplo a jeho měření Teplo a jeho měření 1 Teplo 2 Kalorimetrie Kalorimetr 3 Tepelná kapacita 3.1 Měrná tepelná kapacita Měrná tepelná kapacita při stálém objemu a stálém tlaku Poměr měrných tepelných kapacit 3.2 Molární tepelná

Více

Vnitřní energie, práce, teplo.

Vnitřní energie, práce, teplo. Vnitřní energie, práce, teplo. Vnitřní energie tělesa Částice uvnitř látek mají kinetickou a potenciální energii. Je to energie uvnitř tělesa, proto ji nazýváme vnitřní energie. Značíme ji písmenkem U

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 11. listopadu 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky

Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky Cvičení termodynamiky a statistické fyiky 1Nechť F(x, y=xe y Spočtěte F/ x, F/, 2 F/ x 2, 2 F/ x, 2 F/ x, 2 F/ x 2 2 Bud dω = A(x, ydx+b(x, ydy libovolná diferenciální forma(pfaffián Ukažte, ževpřípadě,žedωjeúplnýdiferenciál(existujefunkce

Více

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3.

Poznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3. Vnitřní energie U Vnitřní energie U je stavová veličina U = U (p, V, T), ale závisí pouze na teplotě (experiment Gay-Lussac / Joule) U = f(t) Pro měrnou vnitřní energii (tedy pro vnitřní energii jednoho

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Zpracování teorie 2010/11 2011/12

Zpracování teorie 2010/11 2011/12 Zpracování teorie 2010/11 2011/12 Cykly Děje Proudění (turbíny) počet v: roce 2010/11 a roce 2011/12 Chladící zařízení (nakreslete cyklus a nakreslete schéma)... zde 13 + 2 (15) Izochorický děj páry (nakreslit

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení:

13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení: 13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení: 4 otázky za 2 body = 8 bodů Datum: 1 příklad za 3 body = 3 body Body: 1 příklad za 6 bodů = 6 bodů Celkem: 30 bodů příklady: 1) Sportovní vůz je schopný zrychlit

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

ÚVODNÍ POJMY, VNITŘNÍ ENERGIE, PRÁCE A TEPLO POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A

ÚVODNÍ POJMY, VNITŘNÍ ENERGIE, PRÁCE A TEPLO POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D08_Z_OPAK_T_Uvodni_pojmy_vnitrni_energie _prace_teplo_t Člověk a příroda Fyzika

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM

Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM Kontrolní otázky k 1. přednášce z TM 1. Jak závisí hodnota izobarického součinitele objemové roztažnosti ideálního plynu na teplotě a jak na tlaku? Odvoďte. 2. Jak závisí hodnota izochorického součinitele

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Fyzikální chemie Úvod do studia, základní pojmy

Fyzikální chemie Úvod do studia, základní pojmy Fyzikální chemie Úvod do studia, základní pojmy HMOTA A JEJÍ VLASTNOSTI POSTAVENÍ FYZIKÁLNÍ CHEMIE V PŘÍRODNÍCH VĚDÁCH HISTORIE FYZIKÁLNÍ CHEMIE ZÁKLADNÍ POJMY DEFINICE FORMY HMOTY Formy a nositelé hmoty

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Úloha č.1: Stanovení molární tepelné kapacity plynu za konstantního tlaku

Úloha č.1: Stanovení molární tepelné kapacity plynu za konstantního tlaku Úloha č.1: Stanovení molární tepelné kapacity plynu za konstantního tlaku Teorie První termodynamický zákon je definován du dq dw (1) kde du je totální diferenciál vnitřní energie a dq a dw jsou neúplné

Více

Molekulová fyzika a termodynamika

Molekulová fyzika a termodynamika Molekulová fyzika a termodynamika Molekulová fyzika a termodynamika Úvod, vnitřní energie soustavy, teplo, teplota, stavová rovnice ideálního plynu Termodynamické zákony, termodynamické děje Teplotní a

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Základy vakuové techniky

Základy vakuové techniky Základy vakuové techniky Střední rychlost plynů Rychlost molekuly v p = (2 k N A ) * (T/M 0 ), N A = 6. 10 23 molekul na mol (Avogadrova konstanta), k = 1,38. 10-23 J/K.. Boltzmannova konstanta, T.. absolutní

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více