Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 I Z klad pojmy teorie pravd podobosti { eoci l u eb text pro p edm t MATEMATIKA V, FS,FM TUL, ( drob chyby ejsou vylou ey) P. Volf, b eze 999 N hod pokus, syst m jev P edm tem teorie pravd podobosti je vytv e a studium matematick ch model pro hod d je, tj. takov d je, jejich v sledek e p edem jedoza ur e a o ek v se pouze, e v sledek bude jed m z jak mo iy mo ch v sledk. Takov mu hod mu d ji budeme kat hod pokus (i kdy "experimet torem" ejsme asto my, ale ap klad p roda). Mo ia v ech mo ch v sledk da ho pokusu se kdy t az v v b rov m prostorem ebo prostorem pozorov. V sledkem pokusu mohou b t sla (po et bod a hor stra hrac kostky p i jedom vrhu po et vrh hrac kostkou e pade \6", am e hodoty jak veli iy, ap. krev tlak pacieta, ebo odchylka rozm ru sou stky od ormy), sel vektory a poslouposti, asov pr b h jak fukce a da m itervalu, ale i libovol kvalitativ ukazatel (ap. vyta e koule da barvy z osud obsahuj c r zobarev koule, dosa e t da kvality v robku, odpov ao i e u respodeta p i pr zkumu m ). V teorii pravd podobosti je uva ov a mo ia mo ch v sledk, vduchu uvede ch p klad, jako jak epr zd abstrakt mo ia. Tak po et jej ch prvk m e b t koe, spo et ebo i espo et. Podmo iy mo iy az v me jevy. ekeme, e p i da m pokusu astal jev A, kdy v sledek pokusu! je prvkem A (tj.! 2 A). V echy mo v sledky pokusu! 2 ch pa jako jedobodov mo iy f!g az v me syst mem elemet r ch jev. Cel mo ia je tedy vlast jist m jevem. M eme uva ovat i pr zdou mo iu, kterou pak az v me emo m jevem. Nap klad p i jedom hodu kostkou, elemet r jevy jsou jedotliv mo v sledky, tj., 2,..., 6, ale krom ich m eme uva ovat jevy slo e z kolika elemet r ch, ap. "sud slo", ebo "v sledek v t e 4" apod. Mezi jedotliv mi jevy mohou platit r z vztahy a m eme pomoc ich vytvo it jevy dal. V echy tyto vztahy a operace jsou stej jako vteorii mo i. Jsou{li A a B jevy, pak oza ujeme A B A = B { situaci, kter odpov d tomu, e kdykoliv astae jev A, astae ijevb { plat sou as A B a B A A [ B { jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae alespo jede z jev A ebo B (sjedoce jev A a B) A\B { jev, kter astae pr v tehdy, kdy astaou oba jevy A a B sou as (pr ik jev A a B) A \ B = { situaci, kdy emohou astat oba jevy A a B sou as (jevy A a B jsou eslu itel { disjukt, eexistuje el. jev, kter by byl z rove v A i v B)

2 A { jev, kter astae pr v tehdy, kdy eastae jev A (dopl k jevu A) A ; B {jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae jev A, ale sou as eastae jev B (rozd l jev A a B) A 4 B {jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae jev A ebo B, ale e oba sou as (symetrick diferece jev A a B). Deici sjedoce a pr iku dvou jev lze zobecit a libovol koe, spo et, ale i espo et po et jev. Tak ap klad pro syst m jev fa 2 Ig, kdei je jak mo ia idex, za S A 2I T 2I jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae alespo jede z jev A 2 I A jev, kter astae pr v tehdy, kdy astaou sou as v echy jevya 2 I. Pro pr v zavede pojmy sjedoce, pr iku a dopl ku m eme uk zat, e plat sleduj c vztahy: Jsou{li A B C jevy, tak A: A [ = A A2: A \ = A3: A [ = A4: A \ =A A5: A [ A = A A6: A \ A = A A7: A [ B = B [ A A8: A \ B = B \ A A9: A [ (B [ C) =(A [ B) [ C A0: A \ (B \ C) =(A \ B) \ C A: A [ (B \ C) =(A [ B) [ (A [ C) A2: A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) A3: A [ A = A4: A \ A = : Zt chto vztah A { A4 je mo o odvodit prakticky v echy dal vztahy, kter jsou d le it v t to "algeb e s jevy", kter je p evzata z mo iov algebry. V sleduj c m p ehledu uv d me kter z ich. P itom relaci () a operace rozd lu (;) a symetrick diferece (4) deujeme jako A B () A \ B = A A ; B = A \ B A 4 B = (A ; B) [ (B ; A): Jsou{li A B C a D libovol jevy, pak plat, krom ji ho:. A A A (A B B C) =) A C. 2. (A ; B) \ B = (A ; B) [ B = A [ B A =(A \ B) [ (A ; B) A ; B = A ; (A \ B) A \ (B ; C) =(A \ B) ; (A \ B). 3. A B =) A [ C B [ C a A \ C B \ C A B () A \ B = A () A [ B = B () A \ B = D kazy jedotliv ch vztah jsou dobr m cvi e m. 2

3 2 Syst m hod ch jev, pravd podobost, pravd podobost prostor Uva ujeme-li ur it hod pokus a chceme-li jej popsat, zaj maj s je ur it elemet r jevy! a z ich slo e A B :::. Proto se v dy sa me volit co ejvhod j mo iu. Na druh stra, vhod deice pravd podobosti mus zahrovat i za slo it situace. V jedoduch m p pad, kdy mo ia v ech mo ch v sledk hod ho pokusu jekoe, je z hlediska aplikac teorie pravd podobosti rozum po adovat, abychom byli schopi uva ovat jedotliv elemet r jevy jako hod jevy. Situace je odli, p edev m z form l ho matematick ho hlediska, v p pad espo et ho (tam, jak uvid me v p kladech v t iou epracujeme ji s jedotliv mi elemet r mi jevy - body!, alea s jejich mo iami, hod mi jevy A B :::).Abychom tyto p pad t kosti p ekoali a vytvo ili jedi matematick model hod ho pokusu, zavedeme tzv. syst m hod ch jev S. Je p iroze po adovat, aby jist jev a emo jev byly hod mi jevy, tj. prvky S, stej tak, aby s ka d mi dv ma hod mi jevy jejich sjedoce, pr ik, rozd l apod. byly hod mi jevy. Takov po adavek je rozum i pro spo et sjedoce a spo et pr ik hod ch jev. Form l matematicky zavedeme syst m hod chjev S jako syst m podmo i mo iy,pro kter plat S. 2S S2. kdy A i 2S i = 2 :::=) S i= A i 2S S3. A 2S=) A 2S. Takov to syst m, ch pa jako syst m mo i, se az v -algebrou (ebo -okruhem) mo i. Samoz ejm, cel komplet syst m v ech podmo i -oza me jej 2 - vyhovuje v em t mto po adavk m, ale m e b t a asto je zbyte rozs hl. Na druh stra v ak v p pad 'je' spo et mo iy, kdy elemet r jevy maj b t hod mi jevy, je 2 jedi m syst mem hod ch jev (tj. spl uj c m S { S3). Plat toti, e ka d podmo ia A ejv e spo et mo iy je ejv e spo et a d se ps t jako spo et sjedoce elemet r ch jev, co podle S2 je hod m jevem. Uk eme si y dal vlastosti syst mu hod ch jev S:. 2S D kaz: 2S=) 2S, ale = 2. (A B 2S)=) A \ B 2S. D kaz: (A B 2 S) =) ( A B 2 S) =) ( A [ B 2 S) =) ( A [ B 2 S), p itom A [ B = A \ B. 3. (A B) 2S=) (A ; B 2S) D kaz: (A B 2S)=) (A B 2 S) =) A \ B 2S ale A \ B = A ; B. 4. (A B 2S)=) (A4B 2S) D kaz: (A B 2S)=) (A ; B B ; A 2 S) =) ((A ; B) [ (B ; A) 2S) 3

4 5. A i 2S i = 2 :::=) T i= A i 2S D kaz: A i 2S i = 2 :::=) ( Ai 2S i = 2 ::: )=) ( S i= A i 2S)=) S i= Ai 2S, ale S i= Ai = T i= Ai = T i= A i. Jak deovat pravd podobost? Pro ka d hod jev A 2S chceme ur it takov slo P (A), kter by m lo v kvatikovat, oceit aci, s jakou p i provede p slu ho hod ho pokusu astae jev A. M labytob t vlast mo iov m ra a syst mu mo i { jev. Deujme proto pravd podobost jako m9ru, tj. re lou fukci P : S!< 0 > zobrazuj c jevy ze syst mu hod ch jev do itervalu h0 i. Budeme po t to fukci po adovat sleduj c : P. (A 2S)=) (P (A) 0) P2. (A i 2S i = 2 ::: A i \ A j = pro ka d i 6= j) =) (P ( S i= A i )= P i= P (A i )) P3. P () =. Z t chto podm ek plyou kter dal vlastosti pravd podobosti:. P ( ) =0 D kaz: Jeliko \ = a 2 S, jsou a disjukt, a tedy podle P2 P ( [ )=P () + P ( ). Ale [ =,a tedy =+P ( ) eboli P ( ) =0. 2. (A B 2S) A B =) (P (A) P (B)). D kaz: A B =) B = A [ (B ; A) =) A \ (B ; A) = =) P (B) = P (A)+ P (B ; A) P (A). 3. (A B 2S A B) =) (P (B ; A) =P (B) ; P (A)). D kaz: plye z B = A [ (B ; A) az P2. 4. (A B 2S)=) (P (A [ B) =P (A)+P (B) ; P (A \ B)). D kaz: A [ B = [(A [ B) \ B] [ h (A [ B) \ B i = B [ (A \ B) = B [ (A ; B) = B [ (A ; (A \ B)): Jeliko B \ (A ; (A \ B)) =, tak z P2 m me P (A [ B) =P (B)+P (A ; (A \ B)) = P (B)+P (A) ; P (A \ B) { posled rovost dostaeme z (A B 2 S) =) (P (A4B) = P (A ; B)+P (B ; A) = P (A ; (A \ B)) + P (B ; (A \ B)) = P (A)+P (B) ; 2P (A \ B)). 6. (A 2S)=) (P ( A)=; P (A)). D kaz: =A [ A A \ A = =) =P (A)+P ( A)=) P ( A)=; P (A). Jestli e A je hod jev takov, e jeho pravd podobost P (A) = (co je ekvivalet tomu, e P ( A) = 0), k me, e jev A ast v skoro jist. P itom je t eba si uv domit, e kdy P ( A) = 0, tak A emus b t emo jev, tj. A emus 4

5 b t pr zd mo ia (v tom p pad ale mus existovat elemet r jevy, kter m jsme p i adily ulovou pravd podobost)! M me y k dispozici trojici ( S P), kde 6= je epr zd mo ia, S syst m hod ch jev spl uj c ch S { S3 a P pravd podobost spl uj c P - P3. Tuto trojici az v me pravd podobost m prostorem a slou jako ejobec j model libovol ho hod ho pokusu. Je ov em t eba pro ka d hod pokus specikovat S i P. Zat mco specikace prv ch dvou sou st je celkem jas a odpov d \bohatosti" jev, kter chceme vy et ovat a kter tedy bereme v potaz, je volba P pro kokr t situaci slo it j. Hodoty pravd podobosti lze z skat bu p mo z podstaty hod ho pokusu ebo mus b t odhaduty metodami matematick statistiky z miul cha ich zku eost. V dal sti t to kapitoly si uk eme kostrukci pravd podobost ch prostor pro typick p klady, kdy je koe, spo et a espo et mo ia. 3 Mo osti kostrukce pravd podobost ch prostor. je koe mo ia P edpokl dejme, e je koe mo ia s prvky!! 2 :::! ( = f! :::! g) a chceme, aby ka d elemet r jev f! i g byl hod m jevem, tj. uva ujeme za syst m hod ch jev syst m v ech podmo i mo iy, tj.s = 2. Celkov po et v ech hod ch jev je2 (tj =2, kde j je po et r z ch hod ch jev sest vaj c ch pr v zj elemet r ch jev ). Nech p p 2 ::: p je -tice ez por ch re l ch sel takov ch, e X i= p i =: Polo me-li P (f! i g)=p i i = 2 :::, dostaeme pak pro ka dou podmo iu A P (A) = X fi:! i 2Ag Potom ( 2 P)spl uje v echy p edpoklady pravd podobost ho prostoru. Speci l p pad ast v, kdy p = p 2 = = p tj. p i =. Potom P (A) = X fi:! i 2Ag p i : = m(a) kde m(a) je po et elemet r ch jev, kter vytv hod jev A. V tomto p pad dost v me klasickou deici pravd podobosti tak, jak jsme se ji u ili a st ed kole, kdy pravd podobost hod ho jevu byla deov a jako pom r po tu p pad p ziv ch m(a) ku v em mo m. P klady jsou asad : v sledky hod kostkami, s zky do loterie, je spo et mo ia V p pad spo et mo iy = f!! 2 :::g, kdy tak v t iou po adujeme, aby elemet r jevy f! i g byly pro v echa i hod mi jevy, dost v me jako syst m hod ch jev syst m v ech podmo i mo iy, tj. S =2. Ny v ak po et v ech hod ch 5

6 jev je ekoe. Jestli e pro ka d i = 2 ::: jsou pravd podobosti elemet r ch jev rovy p i (y po adujeme P i= p i = ), tak pro libovolou podmo iu A deujeme stej jako v p pad koe ho P (A) = X fi:! i 2Ag trojice ( 2 P) pak tvo pravd podobost prostor. P kladem takov ch jev je t eba po et jak ch "ud lost " v ur it m asov m itervalu (ap. po et tel. hovor spoje ch st edou, po et stic zachyce ch pozorovac m p strojem,...). 3. je espo et mo ia I kdy ivtomto p pad je mo o kostruovat pravd podobost prostor v pl obecosti, omez me se pouze a p pad kdy = R (mo ia v ech re l ch sel), kter bude p edm tem a ich vah i v dal m textu. Zobec a p pad = R (-tice re l ch sel) je pak bez jak chkoliv probl m. P kladem takov ch hod ch pokus je t eba ka d m e, kter ikdy e prosto ( hod ch) chyb, i rozm r v robku hod vybra ho kekotrole (p eci je se v robek od v robku li, v r mci p esosti v rob ho postupu) ebo t eba doba ivotosti p stroje (kdy ka d re l slo > 0 m e b t v sledkem, alespo teoreticky). Jak ji jsme uvedli v e, emus b t ve v ech p padech aplikac po adov o, aby v echy elemet r jevy byly hod mi jevy. P esto v ak je rozum, aby syst m hod ch jev v p pad = R obsahoval takov mo iy jako ap klad itervaly, otev e mo iy apod. Nap klad syst m v ech iterval ji espl uje podm ky S { S3 (ap. sjedoce dvou disjukt ch iterval u emus b t iterval). Plat v ak obec v ta, kter k, e pro libovol syst m podmo i mo iy (oza me jej A) existuje syst m podmo i obsahuj c A jako sv j podsyst m, kter spl uje podm ky S { S3 a kter je v jist m smyslu miim l. V p pad = R uva ujme tedy syst m A, kter je vytvo e ze v ech iterval ha b) =fx : x 2 R a x<bg, kde a b 2 R. Potom existuje miim l m syst m S(A) obsahuj c A, kter spl uje S { S3. Ne sad probl m si alespo z klady syst mu budova ho ze v ech iterval p edstavit. P edev m, ka d uzav e iterval ha bi (a b 2 R a b) se d vyj d it jako ha bi = \ = p i ha b + ) () a tedy ha bi 2S(A). Obdob se uk e, e i ostat typy iterval pat do S. Tak i itervaly tvaru (; ai = fx : x 2 R x ag resp. (a ) pat do S(A), ebo (; ai = [ = (; ai a (a ) =R ; (; ai: Mo iy ze syst mu S(A) se az vaj borelovsk mo iy a p mce a oza me je B resp. B(R). Z t to kostrukce ov em plye, e ka d bod je tak v B(R), ebo 6

7 fag = (; ai;(; a). ili elemet r mi jevy jsou pak jedotliv hodoty { body re l p mky. V p pad = R je situace podob, je vych z me ze syst mu A vytvo e ho v emi polootev e mi -rozm r mi itervaly, tj. mo iami typu ha b ) ha 2 b 2 ) ha b ): Bereme tedy v p pad = R za syst m v ech hod ch jev syst m v ech borelovsk ch mo i a p mce. Obr t me se y k ot zce kostrukce pravd podobosti a borelovsk ch mo i ch a p mce. Je t eba pozameat, e v tomto p pad e mo pou t postup aplikova v koe m ebo spo et m p pad, kdy staovujeme pravd podobost elemet r ch jev azich potom pravd podobost a cel m syst mu hod ch jev. V espo et m p pad mus me postupovat po kud odli m zp sobem. Nech F je libovol, eklesaj c re l fukce, kter je v ka d m bod spojit zleva (F (x) = F (x;)) a takov, e (8 x 2 R) 0 F (x) a F (;) = lim x!; F (x) = 0 F () = lim x! F (x) =. Pro ka d iterval ha b) 2Adeujme pravd podobost P (ha b)) = F (b) ; F (a): Plat sleduj c obec v ta, kterou uvedeme bez d kazu. V ta. Nech F je ez por, eklesaj c, zleva spojit re l fukce s limitami F (;) =0 F (+) = deova a R. Potom existuje jedi pravd podobost a S(A) spl uj c P { P3 takov, e pro libovol iterval ha b) P (ha b)) = F (b) ; F (a): Uka me si je t, jak dostaeme pravd podobost pro uzav e iterval. Te m eme apsat jeko limitu polootev e ch iterval, viz. (), a tak P (ha bi) = lim! P (ha b + )) = lim F (b + ) ; F (a) =F (b+ ) ; F (a) kde F (b + ) oza uje limitu zprava v bod b. Pozameejme je, e kostrukce pravd podobosti P a borelovsk ch mo i ch a p mce da ve V t je aalogick kostrukci tzv. Lebesgueovy m ry a p mce, kter odpov d speci l fukci F (x) =x aje obec e koe. Trojice (R B P) je potom po adova pravd podobost prostor. Zde trochu p edb h m a ek me si, e fukce F se az v distribu fukce. A je to pojem uiverz l v tom smyslu, e je ji mo pou t jako z klad charakteristiku pro rozd le pravd podobosti ivp padech koe i spo et R. Hed vid me, e pokud je fukce F spojit v bod a, je P (fag) =F (a + ) ; F (a) =0, eboli toto je p klad situace, kdy elemet r jev m ulovou pravd podobost. 7

8 4 Podm pravd podobost, ez vislost hod ch jev Zavede pravd podobost ho prostoru odpov daj c ho da mu hod mu pokusu, kter mu byly v ov y vahy v p edch zej c ch odstavc ch, m umo uje zav st tzv. podm pravd podobosti, tj. pravd podobosti, e astae jak hod jeva v me{li, e astal jak hod jev B takov, ep (B) > 0. Istiktiv c t me, e takov vaha m smysl, jestli e jev A je jak a jevu B z visl. Matematicky je podm pravd podobost hod ho jevu A za podm ky jevu B pro P (B) > 0 oza ea adeov a jako P (AjB) = P (A \ B) : P (B) P mo z t to deice plye, e. P (BjB) = 2. P ( jb) =0 P (jb) = 3. 0 P (AjB) pro ka d A 2S 4. A i 2S A i \ A j = i 6= j i j = 2 ::: =) P ( S i= A i jb) = P i= P (A i jb) 5. A 2S=) P ( AjB) =; P (AjB). Zuvede ch vztah vypl v, e pro xova hod jevb 2Ss P (B) > 0 je podm pravd podobost P (jb) pravd podobost a S, a tedy ( S P(jB)) je pravd podobost prostor. Nav c podm pravd podobost P (jb) jepravd podobost a me mo i mo ch v sledk pokusu a me m syst mu hod ch jev, a to a B a S\B (S\B je syst m v ech mo i tvaru A \ B, kde A prob h cel S), tj. (B S\B P(jB)) je pravd podobost prostor. Z deice podm pravd podobosti plye tzv. v ta o sobe pravd podobosti. Plat toti pro P (B) > 0 vztah P (A \ B) =P (B) P (AjB) co se d zobecit pro hod jevy B B 2 ::: B s P (B \ B 2 \\B ) > 0atvar P (B \ B 2 \B )=P (B ) P (B 2 jb ) P (B 3 jb \ B 2 ) ::: :::P (B j B \ B 2 \\B ; ) : Uva ujme y rozklad mo iy a sjedoce disjukt ch hod ch jev D D 2 ::: D (D i 2S D i \ D j = i 6= j i j = 2 ::: )sklad mi pravd podobostmi, tj. =D [ D 2 [[D P (D i ) > 0: Potom pro jak koliv hod jev A 2Sz ejm plat A = A \ =A \ [ i= 8 D i! = [ i= (A \ D i )

9 a dle P2 P (A) = X i= P (A \ D i ) : S pou it m v ty o sobe pravd podobosti dost v me P (A) = X i= P (D i ) P (AjD i ) co se v teorii pravd podobosti az v v tou o pl pravd podobosti. Jestli e d le p edpokl d me, e hod jevy A B 2Smaj klad pravd podobosti P (A) > 0 P (B) > 0, tak podle v ty o sobe pravd podobost je ale t P (A \ B) =P (B) P (AjB) P (A \ B) =P (B \ A) =P (A) P (BjA): Odtud pak m me tzv. Bayes v vzorec P (BjA) = P (B) P (AjB) : P (A) P itom, pokud je i P ( B) > 0, m eme s pomoc v ty o pl pravd podobosti vyj d it P (A) =P (AjB)P (B)+P (Aj B)P ( B): Zobec m Bayesovy formule pro libovol disjukt rozklad = D [D 2 [[D (D i 2 S D i \ D j = P (D i ) > 0 i = 2 ::: ) dost v me pro ka d i = 2 :::, p i P (A) > 0, P (D i ja) = P (D i) P (AjD i ) P (A) = P (D i ) P (AjD i ) P j= P (D j ) P (AjD j ) : Teto vztah az v me zobec m Bayesov m vzorcem. Jedotliv mo iy rozkladu D D 2 ::: D p edstavuj pro s jevy, jejich pravd podobost za ur it ch podm ek chceme zjistit (ap klad stav za ze a z klad pozorova ch v j ch projev, emoc pacieta a z klad v sledk test ). Dost v me tak vlast "hypot zy", i s jejich pravd podobostmi podm mi t m, co jsme zjistili pozorov m. Budeme az vat pravd podobosti P (D i ) aprior mi pravd podobostmi hypot z, P (AjD i ) pravd podobostmi jevu A, kdy plat hypot za D i apravd podobost P (D i ja) aposterior pravd podobost hypot zy D i, kdy v hod m pokusu astal jev A. Bayes v vzorec je pou v p edev m ve statistick m rozhodov, kdy p edem ez me jak hypot za skute plat a prov d me jak hod pokus odpov daj c ez m mu pravd podobost mu prostoru ( S P(jD i )). Po provede hod ho pokusu, kdy astal jev A, rozhodeme, e plat ta hypot za, pro kterou je aposterior pravd podobost ejv t. Teto postup, kter se t az v Bayesovo rozhodovac pravidlo, je vyu v v statistick aal ze dat a je i z kladem pro kostrukci pravd podobost ch expert ch syst m. 9

10 Nez vislost hod ch jev. k me, e dva hod jevy A a B jsou ez visl, kdy P (A \ B) =P (A) P (B): Odtud bezprost ed vypl v, e kdy P (A) 6= 0 P (B) 6= 0a A a B jsou ez visl, tak P (AjB) =P (A) P (BjA) =P (B) eboli pro ez visl jevy A a B iformace o tom, e astal jede z ich ezm pravd podobost druh ho jevu. Plat potom sleduj c jedoduch vztahy. Ka d hod jev A 2Sje ez visl a a. 2. N hod jeva 2Sje ez visl a sob pr v tehdy,kdy P (A) =0eboP (A) =. 3. Jsou{li hod jevy A B 2Sez visl, potom t a) A B jsou ez visl, b) A B jsou ez visl, c) A B jsou ez visl. Uk eme platost vztahu 3a), pak u stej m zp sobem lze dok zat i ostat. Proto e A \ B = B ; A = B ; (A \ B) a proto e je (A \ B) B, tak P ( A\B) =P (B) ; P (A \ B) =P (B) ; P (A) P (B) =P (B) ( ; P (A)) = P (B) P ( A): ekeme, e hod jevy A A 2 ::: A jsou vz jem ez visl, kdy pro ka d k = 2 :::, i <i 2 < <i k plat P (A i \ A i2 \\A ik )=P (A i ) P (A i2 ) P (A ik ) tj. kdy libovol podsyst m syst mu fa A 2 ::: A g tvo vz jem ez visl jevy. V sleduj c m p klad si uk eme, e k vz jem ez vislosti jev esta je to, aby ka d dva jevy byly ez visl. P klad. Nech = f!! 2! 3! 4 g, S = 2 a P je d a pomoc pravd podobost elemet r ch jev p! = p!2 = p!3 = p!4 =.Uva ujme sleduj c t i hod jevy: 4 Potom A = f!! 2 g B = f!! 3 g C = f!! 4 g : a P (A) =P (B) =P (C) = 2 P (A \ B) = 4 P (A \ C) = 4 P (B \ C) = 4 tj. dvojice jev (A B) (A C) (B C) je ka d dvojic ez visl ch hod ch jev, ale p esto P (A \ B \ C) =P (f! g)= 4 6= = P (A) P (B) P (C): 8 0

11 Na z v r t to sti si uk eme p klad, e je z rovosti P (A \ B \ C) =P (A) P (B) P (C) ijak eplye, e jevy A B C jsou vz jem ez visl. P klad 2. Nech =f! =(!! 2 ):!! 2 = 2 ::: 6g tj. elemet r jevy jsou dvojice sestave z sel a 6. Je jich tedy celkem 36. Nech S je syst m v ech podmo i a pravd podobost je deov a z pravd podobost elemet r ch jev, kter ech jsou v echy stej a rovy p! =.Uva ujme sleduj c 36 t i hod jevy: A = f! :! libovol! 2 = 2 ebo 5g B = f! :! libovol! 2 =4 5 ebo 6g C = f! :! +! 2 =9g : Potom z ejm P (A) = P (B) = P (C) = 2 9 elemet r jev (!! 2 )=(4 5), tak a proto e jev A \ B \ C obsahuje jedi P (A \ B \ C) = 36 = P (A) P (B) P (C): Ale P (A \ C) = 36 P (B \ C) = 2 6= P (A) P (C) = 8 6= P (B) P (C) = 8 : 5 Dodatek: Dv "tradi deice" pravd podobosti. Empirick, etost. P edstavme si, e za st le stej ch podm ek opakujeme (ez visle) tet pokus {kr t a sledujeme etost jevu A, ap. "a kostce padlo 6" p i opakova ch hodech kostkou. P i rostouc m bychom zjistili, e etost jevu A (oza me ji (A)) roste tak, e pom r (A)=A koverguje k ur it hodot v h0 i. Toto slo (p(a), ek me) pova ujeme pak za pravd podobost jevu A. Nap klad tu me, e p( a kostce) =. Tato deice je tedy op ea o p edpoklad existece limity, kterou 6 ov em samot mi pokusy em eme prok zat. A av c, je pou itel je pro d j ur it ho typu (mohokr t se opakuj c za stej ch podm ek). Na druh stra, uvid me, e z a obec deice pravd podobosti tato kovergece relativ ch etost v t chto speci l ch p padech plye (viz z ko velk ch sel). Odtud d le vypl v d vod, pro relativ etost je v t chto p padech rozum m odhadem pravd podobosti.

12 2. 'Klasick ' pravd podobost. Tato deice je pou itel v p pad, kdy situace je pops a koe m po tem M r z ch v sled (elemet r ch jev!), z ich ka d je "stej mo ". Nech s zaj m pravd podobost jevu A. Oza me M(A) po et t ch el. v sledk!, kter jsou jevu A "p ziv ", tj. takov, e! 2 A. Pak deujeme pravd podobost jevu A jako P (A) =M(A)=M: Nap klad, ech je v tombole 00 los, z ich 5 vyhr v. Koupil jsem 3 losy. Jak je pravd podobost jevu A, e ai jede z ich ic evyhraje? Jako elemet r jevy uva ujme v echy mo trojice los (kter jsem mohl koupit), 00 je jich M =.Takov ch trojic, kter eobsahuj ai jede vyhr vaj c los, je M(A) = P itom ka d trojice m la stejou aci, e ji koup m. Tak e P (A) = = =0:856 : Tato deice sice u ite vede k p m mu v po tu pravd podobosti, ale je op t pou itel je pro ur it typ p klad. 2

13 II N hod veli iy a hod vektory 6 N hod veli ia Volbou pravd podobost ho prostoru si vytv me z klad pro modelov hod chd j. Syst m elemet r ch jev a syst m hod ch jev v ak ejsou jedoza ur ey a je mo o je volit r z m zp sobem. Sa me se vybrat syst m co ejjedodu a p itom takov, kter situaci dostate vystihe. Proto e c lem je matematick popis hod ch jev, tak se p edev m sa me popis "kvatikovat", tj. vyj d it pomoc (re l ch) sel. Nap klad, m sto jev { odpov d v aket "ao", "e" pou ijeme "", "0", m sto jevu "kvalita v robku" zavedeme oza e,2,3,... pro t dy kvality, a pod. asto je samoz ejm u z klad prostor jev st R a emus me jej trasformovat (v sledky m e, doba bezporuchov ho provozu, po et v robk za sm u,...). Prove me formalizaci zat m ep es my leky p ev st pravd podobost prostor a re lou p mku R. M jme jak pravd podobost prostor ( A P). Deice. N hodou veli iou budeme az vat zobraze X : ;! R, kter je av c m itel, tj. vzor ka d borelovsk mo iy je prvkem jevov ho pole A (symbolicky: 8 B 2Bje X ; (B) 2A). N hodou veli iu si tedy ejl pe p edstav me jako hod pokus s v sledky v (R B) { kter je obrazem jak ho hod ho pokusu a p vod m prostoru jev. Je v hod umericky pracovat s takovouto selou p edstavou hod ch d j (mo ost geeralizace, v po tu r z ch sel ch charakteristik, uikace popisu v bec). N hod veli ia se vyza uje rozd le m pravd podobosti a (R B), co e ic ji ho e p vod pravd podobost a ( A) p evede a (R B). Budeme se sa- it zp sob popisu rozd le pravd podobosti uikovat. Rozd le pravd podobosti hod veli iy lze ekvivalet popsat kolika zp soby. Nejjedodu, uiverz l a sou as ej zor j je u it distribu fukce hod veli iy. Deice. Distribu fukc hod veli iy X budeme az vat fukci F X (X) =P (X <x): Distribu fukce v bod x je tedy pravd podobost jevu, e hodota hod veli- iy X je me e slo x. Distribu fukce m kolik d le it ch vlastost : (i) 0 F (x) pro v echa re l x. (ii) F je eklesaj c fukce, tj. F (x ) F (x 2 ) pro ka d x <x 2. (iii) lim F (x) =0=F (;) lim x!; F (x) ==F (+). x! (iv) F je zleva spojit. Vlastost (i) vypl v z faktu, e pravd podobost libovol ho jevu je v h0 i. Moot ost distribu fukce odvod me jedoduchou vahou. Pro x <x 2 je F X (x 2 )=P (X <x 2 )=P (X <x )+P (x X <x 2 ) P (X <x )=F X (x ) 3

14 ebo pravd podobost je v dy ez por. Vlastosti (iii), (iv) ji vy aduj hlub zalost chov pravd podobosti, a ebudeme je proto zde ukazovat. Uvede vlastosti pl charakterizuj distribu fukce. Tvrze. Kdy F je fukce s vlastostmi (i), (ii), (iii), (iv), pak existuje hod veli ia X tak, e F je distribu fukc rozd le t to veli iy. N kdy, aby edo lo k m lce, budeme rozd le pravd podobosti pro hodou veli- iu X oza ovat jako P X a budeme j m ch pat pravd podobost a borelovsk ch mo- i ch deovaou vztahem P X (B) =P (X 2 B). Uv domme si, e distribu fukce a rozd le prad podobosti esou ekvivalet iformaci o hod veli i. Co do rozd le pravd podobosti jsou v za dva typy hod ch veli i. Prv m jsou hod veli iy s diskr t m rozd le m. To jsou takov hod veli iy, pro kter existuje ejv e spo et bod x j tak, e P (X = x j ) > 0 a samoz ejm P j P (X = x j ) =. Distribu fukce hod veli iy s diskr t m rozd le m je skokovitou fukc. Skoky ast vaj ve v ech t chto bodech x j, velikost skoku je pr v P (X = x j ). P klady diskr t ch rozd le P klad : Nech hod veli ia X ab v pouze dvou hodot 0 a a to tak, e hodoty ab v s pravd podobost p (0 < p < ) a hodoty 0 s pravd podobost q =; p. Rozd le takov to hod veli iy se az v 0 { rozd le s parametrem p ( kdy t alterativ i Beroulliovo rozd le ), oza me je Alt(p). P klad 2: Uva ujme hodou veli iu X, kter ab v hodotx =0 2 :::, a to tak, e P (X = x) =p x ( ; p). Parametr p 2 (0 ). Takov to rozd le se az v geometrick a budeme je oza ovat Ge(p). M e popisovat ap klad po et "" p ed prv "0" v poslouposti vz jem ez visle opakova ch realizac alterativ hod veli iy s parametrem p. P klad 3: Nech hod veli ia X ab v hodot 0 ::: M s pravd podobostmi M P (X = x) = p x q M;x pro ka d x = 0 ::: M a q = ; p 0 < p <. Toto x rozd le se az v rozd le m biomick m s parametrem p, za me je Bi(M p). Takovouto hodou veli iu si m eme p edstavit jako X = P M j= Y j, kde Y j jsou vz jem ez visl veli iy s alterativ m rozd le m Alt(p). Neboli X je po et "" z M vz jem ez visl ch "ulajedi kov ch" pokus. P klad 4: Nech hod veli ia X ab v hodot 0 2 ::: s pravd podobostmi ; x P (X = x) = e pro ka d x = 0 2 :::. Takov to rozd le se az v Poissoovo x! rozd le s parametrem >0. Za it je budeme Poiss(). Druh m v za m typem jsou hod veli iy se spojit m rozd le m. Jsou to takov hod veli iy, pro existuje ez por re l fukce f X takov, e distribu fukci F X lze zapsat ve tvaru F X (x) = Z x ; f X(y) dy pro ka d re l x: () 4

15 Fukce f X se az v hustotou rozd le pravd podobosti. Vztah () je vhod pou vat pro odvoze distribu fukce k zada hustot! Uv domme si, e ve v ech bodech, kde existuje derivace distribu fukce F X, plat vztah df X (x) dx = f X (x). Takto zase odvod me hustotu z distribu fukce. Z deice hod veli iy sespojit m rozd le m je patr, e k zad jej ho rozd le pl posta zadat hustotu f X. Ze vztahu () d le plye, e hustota spl uje R ; f X (x)dx =. Distribu fukce hod veli iy se spojit m rozd le m je spojit, co je zes le obec vlastosti distribu fukce (iv). Z toho tak plye, e pravd podobost toho, e hod veli ia ab v hodot v jak m itervalu (a b), ez vis a tom, zda kraj body a b do itervalu pat ebo e: P (a X b) =P (a <X b) =P (a X <b)= = P (a <X<b)= Z b a f X (t) dt: i jiak, pravd podobost jedoho (ebo koe, ebo i spo et moha bod ) je 0 pro spojitou. veli iu. P klady spojit ch rozd le P klad : Nech hod veli ia X m hustotu f(x) = ( b;a pro a<x<b 0 pro x a ebo x b: O takov hod veli i ekeme, e m rovom r spojit rozd le a itervalu (a b) a budeme je oza ovat R(a b). Toto rozd le se vyza uje distribu fukc F (x) = 8 >< >: 0 x a x;a b;a a<x<b x b: P klad 2: Nech hod veli ia X m hustotu f(x) = p 2 exp ; 2 (x;) 2, pak 2 ekeme, e X m orm l (Gaussovo) rozd le se st ed hodotou a rozptylem 2. Toto rozd le budeme oza ovat N( 2 ). Distribu fukci orm l ho rozd le elze zapsat dou explicit formul a lze ji je p ibli odhadout umerickou itegrac. Proto existuj tabulky, kde jsou hodoty distribu fukce velice p es tabelov y. V bal c ch statistick ch program pak existuj zp soby, jak apo st hodotu distribu fukce se zadaou p esost. P klad 3: Nech hod veli ia X m hustotu f(x) =, pak budeme kat, 2 +(x;) 2 e tato hod veli ia X m Cauchyovo rozd le s parametry a. Pro Cauchyovo rozd le lze distribu fukci vyj d it ve tvaru F (x) = + 2 arcta x;. P klad 4: Nech.v. X m hustotu f(x) = ce ;cx pro x 0, f(x) = 0 pro x < 0, s parametrem c > 0. Tomuto rozd le k me expoeci l, oza me je Exp(c). 5

16 Distribu fukce (odvoze p mo pomoc ()) je F (x) =; e ;cx pro x 0, F (x) =0 pro x<0. P klad 5: Zobec m je hod veli ia s rozd le m Weibulla, kter m distribu fukci F (x) =; exp(;cx d ) pro x 0 =0 pro x < 0 s parametry c d > 0. Hustota je pak 0 pro x<0aprox 0 dostaeme derivac F (x) f(x) =c d x d; exp(;cx d ): 7 St ed hodota a momety hod veli iy Rozlo e pravd podobosti d v plou iformaci o chov hod veli iy. P i vyhodocov pokus a sledov hod ch jev v ak asto vysta me se zalost je kter ch zvl t ch charakteristik. Nap klad st ed hodota hod veli iy vyjad uje jistou pr m rou hodotu. Deice. St ed hodotou hod veli iy X budeme az vat obec itegr l E(X) = R ; xdf X (x): P edstav me{li si tedy st ed hodotu geometricky, zjist me, e jde o t i t bod re l p mky, p i em hmotost bod je ur ea pravd podobost P X. Pro dva ej ast ji se vyskytuj c typy rozd le hod veli iy z sk me sleduj c vztahy: St ed hodota diskr t hod veli iy m tvar sou tu p es v echy hodoty x j, kter ch.v. X m e ab t s eulovou pravd podobost : E(X) = X j x j P (X = x j ): St ed hodota hod veli ia se spojit m rozd le m ashustotou f X m tvar Z + E(X) = xf X(x) dx: ; St ed hodota hod veli iy a rozd l od distribu fukce emus v dy existovat. Jako p klad uve me hodou veli iu ab vaj c pouze hodot 2 pro = 2 ::: s pravd podobostmi 2 ;, ebo hodou veli iu scauchyho rozd le m. St ed hodota je zalo ea a obec m itegr lu, a proto p ej m i jeho z klad vlastost. Vezmeme{li lie r kombiaci koe moha hod ch veli i, pak st ed hodota t to lie r kombiace je stej lie r kombiace st ed ch hodot. Tud, kdy Y = a 0 + a X + a 2 X a k X k kde a a 2 ::: a k jsou re l sla a X X 2 ::: X k jsou hod veli iy, potom E(Y )=a 0 + a E(X )+a 2 E(X 2 )++ a k E(X k ): Z klad mi charakteristikami zalo e mi a st ed hodot jsou momety. Jed se vlast o st ed hodotu (pokud existuje) z trasformace hod veli iy. Mometm obec tvar E[h(X)], kde h(x) je jak m itel re l fukce. 6

17 Pro diskr t hodou veli iu dostaeme E[h(X)] = P x j h(x j ) P (X = x j ), pro hodou veli iu se spojit m rozd le m je E[h(x)] = R + ; h(x) f(x) dx. Speci l volbou trasforma fukce dost v me r-t obec momet 0 r(x) =E(X r )a r-t cetr l momet r (X) =E f[x ; E(X)] r g : Oba typy momet jsou vz jem jedoza p evoditel. Odvo me si oba p evody. Pov im me si, e! rx [X ; E(X)] r r = (;) j X r;j [E(X)] j : j Odtud dost v me r (X) = rx j=0 j=0 (;) j r j Opa p evodov vztah je d sledkem rozpisu Odtud jsou X r = f[x ; E(X)] + E(X)g r = 0 r(x) = rx j=0 r j!! 0 r;j(x)[e(x)] j : rx j=0! r [X ; E(X)] r;j [E(X)] j : j r;j (X)[E(X)] j : Krom st ed hodoty E(X) = 0 (X), eju va j m mometem je 2 (X) =E(X 2 ) ; [E(X)] 2 kter se az v rozptyl hod veli iy X, ivariace a za se tak var(x) ebo D 2 (X), ebo i 2 (X). Odmocia z rozptylu je pak (X) {sm rodat odchylka. Op t, proto e jsou to charakteristiky zalo e a itegr lu, emus existovat (ap. zovu pro Cauchyho rozd le ). Z dal ch momet se je t asto u vaj cetr l momety 3 (X) a 4 (X). ikmost rozd le se posuzuje koecietem ikmosti (skewess) 3 (X) = 3(X) [(X)] 3, kter zachycuje odchylky rozd le od symetrie kolem st ed hodoty E(X). Je{li rozd le prot hlej doleva, je koeciet 3 (X) z por a je{li rozd le prot hlej doprava, pak koeciet 3 (X) ab v klad ch hodot. pi atost rozd le popisuje koeciet pi atosti (excess, kurtosis) 4 (X) = 4(X) [(X)] 4 ; 3. Teto koeciet porov v p sp vek vzd le ch hodot rozd le hod veli iy s p padem orm l ho rozd le. Pokud hod veli ia m sama orm l rozd le, pak 4 (X) =0. Cvi e : Spo t te EX a VarXpro tato rozd le : Alterativ, biomick, Poissoovo, rovom r a (a b), orm l ( 2 ), expoeci l Exp(c). Vyu ijte deice st ed hodoty a vztahu varx = E(X 2 ) ; (EX) 2. 7

18 7. Mometov vytvo uj c fukce M jme hodou veli iu X diskr t ho typu, kter ab v hodot 0,,2,...,spravd podobostmi P (X = i) =p i. Deujme mometovou vytvo uj c fukci jako g(t) = X i=0 Tato fukce existuje v dy alespo pro jtj <, pro veli iy ab vaj c je koe hodot (ap. alterativ, biomick veli ia) existuje g(t) pro ka d re l t. V im me si sleduj c ch vlastost t to fukce: g() = P i p i = p i t i : prv derivace podle t je g 0 (t) = P i=0 ip i t i;, tak e g 0 () = P i ip i = E(X) druh derivace je g"(t) = P i(i ; )p i t i;2 tak e g"() = P i 2 p i ; P ip i = 2 ;. Z toho dostaeme, e var(x) =g"() + g 0 () ; (g 0 ()) 2 : Podob m zp sobem bychom odvodili i v po et momet vy ch d. Cvi e : Pomoc mometov vytvo uj c fukce spo t te st ed hodotu a rozptyl pro biomick, Poissoovo a geometrick rozd le. 8 Kvatily Distribu fukce pl charakterizuje rozd le pravd podobosti hod veli iy. asto je v ak t eba e it lohu al zt bod x tak, aby P (X < x) byla rova ur it hodot 2 (0 ), tj. F X (x) = pro p edem zada. Z tohoto d vodu se zav d kvatilov fukce, je je zobec m iverz fukce k F X. Probl m je s body, kde fukce F X m skok, a tak s body, kde F (x) eroste, ili iverz fukce by ebyla jedoza. Deice. M jme hodou veli iu X a distribu fukci F X pak kvatilovou fukc azveme fukci F X ; () = if fx j F X (x) g pro 0 <<. Jiak e eo F X ; () jetakov bod, e F X F X ; () aproka d x>f X ; () plat F X (x). Pokud F X je spojit fukce, pak F X F ; X () = pro ka d 0 <<. Hodota kvatilov fukce v bod, tj. F ; X (), je az v a kvatil rozd le hod veli iy a hladi ebo -kvatil a b v za e t x (u v ebo i jiak). Kvatily jsou velmi d le it, a proto existuje velk mo stv tabulek, kde jsou kvatily tabelov y. Samoz ejm ve statistick ch programech jsou v dy i procedury, je dok kvatily vypo tat, alespo pro d le it rozd le. Pro spojitou veli iu s rostouc F (x) m eme zkusit kvatil u vypo st p mo z rovice F (u )=. N kter kvatily maj speci l zvy: F X ; (0:5) { medi, med(x) { vlast ud v "st ed" rozd le v tom smyslu, e P (X < med(x)) atak P (X >med(x)). 2 2 F X ; (0:25) { dol kvartil, 8

19 F ; X (0:75) { hor kvartil F ; F ; X (k=0) { k-t decil pro k = 2 ::: 9 X (k=00) { k-t percetil pro k = 2 ::: 99. Mezikvartilov rozp t F ; X (0:75);F ; X (0:25) slou jako dal m ra rozpt leosti hod veli iy. Jde o charakteristiku, kter je v z sad odli od sm rodat odchylky a m kter v hod vlastosti. Nap klad a rozd l od sm rodat odchylky existuje v dy. Cvi e : Spo t te medi a mezikvartilov rozp t pro expoeci l rozd l Exp(c). 9 Charakteristick fukce Rozd le pravd podobosti hod veli iy lze pl charakterizovat je t jed m zp sobem. Deice. Pro hodou veli iu X az v me fukci X(t) =E [exp(itx)] charakteristickou fukc hod veli iy X (i je zde imagi r jedotka). P ipome me, e pro diskr t hodou veli iu dost v me X(t) = X x j exp(itx j ) P (X = x j ) a pro hodou veli iu sespojit m rozd le m a hustotou f X je X(t) = Z + ; exp(itx) f X (x) dx: V ta. Rozd le pravd podobosti hod veli iy je jedoza ur eo jej charakteristickou fukc. D le, i z charakteristick fukce m eme jej m derivov m spo st momety hod veli iy: Tvrze. Nech hod veli ia X m prv ch obec ch momet 0 r(x). Potom existuje prv ch derivac charakteristick fukce X aplat d r X(t) r = ::: : Nav c plat, e kde dt r t=0 = i r 0 r(x) X(t) = X r=0 (it) r 0 r! r(x)+z (t) Z (t) lim t!0 t =0: Charakteristick fukce je velmi u ite i pro limit vahy o hod veli i, kter budou studov y pozd ji. Zde uve me je jedu v tu: 9

20 V ta. Nech F F 2 :::jsou distribu fukce a 2 :::odpov daj c charakteristick fukce, pak je ekvivalet : a) F (x) ;! F (x) v ka d m bod spojitosti F a F je distribu fukce. b) (t) ;! (t) pro v echa re l t a je spojit v bod t =0. P itom je charakteristick fukce p slu k distribu fukci F. Zb v je t uv st charakteristick fukce pro kter speci l rozd le. P klady charakteristick ch fukc P klad : Nech hod veli ia X m degeerova rozd le (tj. soust ed do jedoho bodu) X = s pravd podobost. Pak X(t) =e it : P klad 2: Nech hod veli ia X m 0- rozd le s parametrem p, potom je X(t) =pe it + q: P klad 3: rozptylem 2, pak jej charakteristick fukce m tvar Nech hod veli ia X m orm l rozd le se st ed hodotou a X(t) =e it; 2 t 2 2 : P klad 4: (a b), pak jej charakteristick fukce je tvaru Nech hod veli ia X m spojit rovom r rozd le a itervalu X(t) = i (b ; a)t e ita ; e itb : Ve speci l m p pad, kdy a = ;b a b>0, dost v me X(t) = si bt : bt P klad 5: jej charakteristick fukce je tvaru Nech hod veli ia X m Cauchyho rozd le s parametry a, potom X(t) =e it;jtj : P klad 6: Pro expoeci l rozd le Exp(c) je charakteristick fukce X(t) = Z 0 e itx ce ;cx dx = Z 0 ce x(it;c) dx = c c ; it : 20

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š...

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š... 2 0 1 2 / 2 01 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í k r2o0 1 2 / 2 01 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d o v á D o k u m e n t : I I V O S / I / S M 9 8 8 S c h v

Více

V. VYBRAN METODY MATEMATICK STATISTIKY Neoci ln u ebn text pro Matematiku V, FS,FM TUL, { st.. Volf, b ezen 1999 D se ci, e p edm tem teorie pravd podobnosti je tvorba a studium matematick ch model pro

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

l. 1 Úvodní ustanovení

l. 1 Úvodní ustanovení OBEC V EMYSLICE Obecn závazná vyhlá ka. 1 / 2015 o stanovení systému shroma ování, sb ru, p epravy, t íd ní, vyu ívání a odstra ování komunálních odpad a nakládání se stavebním odpadem na území obce V

Více

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola )

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád d sledn vychází ze zákona. 561/2004 Sb., o p ed kolním, základním, st edním, vy ím odborné a jiném vzd

Více

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení. 7/2000 V Y H L Á K A.7/2000 Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení Obecní zastupitelstvo v Plavsku schválilo dne 21.7.2000 tuto obecn závaznou

Více

Zpracov n v decko v zkumn ch dat trubka Znojil zpracoval Ale K enek nor duben 1995 Obsah 1 Z kladn pojmy 1 2 Momenty a rozd len 1 3 Testovac krit ria 2 4 Optimalizace 2 5 Anal za variance 3 6 Zp tn anal

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání Základní kola pro t lesn posti ené, Opava, Dostojevského 12 Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání (sou ást VP kola pro ivot, dodatek k 1. 9. 2012) A/ Pravidla pro hodnocení a klasifikaci ák Z Hodnocení

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU OBEC TY KOLY ÁST I Úvodní ustanovení LÁNEK 1 edm t úpravy Tato sm rnice upravuje zp sob a postup

Více

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 1. Úvod nezbytné kroky ne se p ipojíte 2. Jak si vytvo it heslo 3. Nastavení VPN p ipojení pro Windows 7 1. Úvod Slu ba VPN umo uje vstoupit

Více

Finan ní ízení projekt

Finan ní ízení projekt Finan ní ízení projekt Jaká témata budou probrána v rámci prezentace: Jak pracovat s rozpo tem projektu Jak sledovat harmonogram projektu Jak na finan ní plán projektu Zdroje informací P íru ka pro adatele

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Pr zkumy a ankety provedené v posledních letech jak mezi zam stnavateli, tak mezi absolventy vysokých škol shodn ukazují,

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ.

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS SYSTÉMU: NA ÚSTŘEDÍ FIRMY NEBO NA PRONAJATÉM SERVERU JE NAINSTALOVANÝ

Více

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra speciální pedagogiky RADKA BENEŠOVÁ III. roč ník prezenč ní studium obor: speciální pedagogika př edškolního vě ku MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

U ivatelská p íru ka

U ivatelská p íru ka U ivatelská p íru ka k eearth aplikaci pro prohlí ení vrt a dal ích geologicky dokumentovanýc h objekt z databáze GDO v informa ním systému GS-Geofondu ( íjen 2008) eearth systém umo uje u ivatel m prohlí

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

j^ SPP 0 j = j^ SP 0 T j. Odtud plyne, e 3 j^spp 0 j = j^sp 0 Qj. Ze soum rnosti sdru en ch hl kone n plyne ' = j^ SPQ 0 j = j^ SP 0 Qj, tedy = 1 3 '. Jak jsme d ve zd vodnili, tato konstrukce nem e b

Více

Sm rnice o pracovní dob

Sm rnice o pracovní dob Sm rnice o pracovní dob Pracovní doba je op t na po adu jednání a Evropská komise pravd podobn zve ejní nové návrhy na související sm rnici za átkem roku 2015. Dopady na EPSU a její lenské organizace budou

Více

Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

ý ě ý ů ň Á á Ř á ý ě ý ů ň Ú ř á ě Č ů ůž ě ě ť ČÍ Á Ž Í Í ě é é ČÍ Ů Ž Ň é č é ó ř ňš é á ú é é é ž ž á č ř ň čá á á é ě á á é š č é é ě ř ř Č é ý á č é é ý é č é ář ů ý ů ř á š Ž á Ž ř ý ý č ý Ž č ň

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Archivní fond eského horolezeckého svazu

Archivní fond eského horolezeckého svazu Archivní fond eského horolezeckého svazu I. ízení fondu, správa a umíst ní Archivní fond HS je založen rozhodnutím Výkonného výboru eského horolezeckého svazu, o.s., v souladu s ustanovením 3 odst. 2 písmeno

Více

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy ke standardu ISA 720 ODPOV DNOST AUDITORA VE VZTAHU K OSTATNÍM INFORMACÍM V DOKUMENTECH OBSAHUJÍCÍCH AUDITOVANOU Ú ETNÍ ZÁV RKU Aplika ní doložku mezinárodního

Více

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA VE EJNÁ NABÍDKA POZEMK UR ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH P EVODU ZEM D LSKÝCH A LESNÍCH POZEMK Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZN NÍ POZD JŠÍCH P EDPIS (DÁLE JEN ZÁKON

Více

Letem světem s aerobikem v Podolí u Brna aneb jak prožila den Kateřina Křístková - lektorka z Ostravy

Letem světem s aerobikem v Podolí u Brna aneb jak prožila den Kateřina Křístková - lektorka z Ostravy L b P B b j ž Kř Kř - O S x DEN ý žů b b 2. bř, b ý. Přb ý, b ů, ř, ý ř, g úů, b x w,, ý, j Sb b ý ů, ý j. A Z Sb j š j b, b j, ů g, ý ů x. Z ž žj x řš j. A wb Z fb j j 2. 3. 2013 P B L b. O ř ý : K Z?

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Sch zky se zú astnilo 7 zástupc rodi, len KRPŠ, paní editelka, celý pedagogický sbor mimo jedné u itelky a paní vychovatelka družiny. P vodní plán byl, aby

Více

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI Proto e Vy víte, e jsou velice nákladné na provo Šet et votní prost edí Sní ení stresu a zlepšení vzt Redukce pr kováním Menší pot kovacích míst, znamená v dy úsporu jak

Více

Obsah. Předm luva / п M o tto /13. G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15

Obsah. Předm luva / п M o tto /13. G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15 Předm luva / п M o tto /13 G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15 I. V ý z n a m la tin y /2 3 1.1 P ř e d c h ů d c i la tin y ja k o m e z in á r o d n íh o ja z y k a /2 3 1.2 L a tin a ja k o m e

Více

Jazykový rozbor 2 - ešení

Jazykový rozbor 2 - ešení Jazykový rozbor 2 - ešení Varianta A hem okupace se mnozí ob ané podíleli na protifašistickém odboji, který vyjad oval jejich bytostný odpor v i fašismu. (všechny následující úkoly se týkají tohoto souv

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN P edkládaný návrh koncepce dal ího rozvoje Archivu bezpe nostních slo ek (ABS) s výhledem na dobu

Více

Í Ě Ť Ž š Ž Éč č ž é ě ž ě é ě Í ž š ě é ž ž ž ě ž ž ň ě ž ž ž ž ž žš č ě č ž č č č ě č č ě ž ě ž č č š ě ě č ě ů ů š é č ě š é č ě ě č ů ž č č ě ě ě ž š é č š š é é ě ž é é é ě ě é ě ě š ě ž é é ů ů š

Více

1) CHCEME, ABY RADNICE - M

1) CHCEME, ABY RADNICE - M petice-za-zmenu-pravidel_050509.doc PETICE A POŽADAVKY ob an M stské ásti Praha 3 za zm nu pravidel prodeje byt ve IV. etap privatizace byt a na podporu prohlášení Ob anského sdružení ŽIŽKOV (NEJEN) SOB

Více

Obsah. K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5. C o u m í tříle tý človíček? 18

Obsah. K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5. C o u m í tříle tý človíček? 18 Obsah K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5 Jak to bylo s prvním vydáním této knihy? 8 Jak to bylo s druhým vydáním této knihy? 10 Jak to bylo s třetím vydáním této knihy? 11

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

í í ž á ů č ř í Íý ú ě é íč ě áčě ěř Í á ě čč áď ě á ý ý ěš é ú ě í é š ě í ž ří ě é šá ě ý á ě á é á ě é č Í í ě á ě ě é š Í á á Í Í ž á í á š š řě ě ř á Ž ě Í í í čí š á š ě ý ží č á ě í í š ě í ý á

Více

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV Obecn závazná vyhlá ka obce Bludov íslo 3 /2003 Obec Bludov na základ usnesení zastupitelstva obce ze dne 29.9.2003, podle 29 odst. 1 písm. O) bod 1. zákona. 133/1985 Sb. o po ární ochran, ve zn ní pozd

Více

ď ď áý ó ůó šó é Í á ú á ě ž é Ť á áš Ť ř á á ú é ž ý ř á Í á ě ž é ú Ť ť ď á ď é é ž ú Ž Í ú á ý ý ď á ě á á Č ýť á ě ý Í ů š á é Í ř Í ář á é Č é šý š ď é á Č ř ř é ýš ů é ý ř Ž é Ž úč á š é á á ů š

Více

Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu z 21. 8. 1944 s po moc ným ra zít kem ŽRS v Pra ze. /Sou kro má sbír ka, SRN/

Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu z 21. 8. 1944 s po moc ným ra zít kem ŽRS v Pra ze. /Sou kro má sbír ka, SRN/ Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu s no vým po moc ným ra zít kem po pře jme no vá ní Ži dov ské ná bo žen ské ob ce na Ži dov skou ra du star ších v Pra ze. /ŽM/ Do pisni ce z ghet ta do pro tek

Více

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.

Více

Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1

Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1 Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1 ijímací zkouška z ESKÉHO JAZYKA A VŠEOBECNÉHO P EHLEDU pond lí 23. 4. 2012 Dopl te vynechané pravopisné jevy v etn interpunkce. Na n která

Více

GRAPE SC IPTV. více než televize

GRAPE SC IPTV. více než televize GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri

Více

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA"

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní TOP VÍNO SLOVÁCKA - 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA" VIII. ro ník 2015 - Slovácko, Zlínský kraj Ocen ní výrobku z odv tví zem d lství a potraviná ství Okresní agrární komora pro okres Uh. Hradi t a Zem

Více

ៗ勗 ICKÁ úplné zněnៗ勗 Ⴧ厷ást. I čl. Ⴧ厷 zá 厷l 厷 厷nៗ勗 厷st 厷n 厷 厷 厷nៗ勗 ៧剧stvo Ot adovická je společe៧剧stv៧剧៧剧 ៧剧áje៧剧c厷 byt厷 do៧剧厷 č. p. 732, 733 a 734 v P aze 4- Ka៧剧ýk, zalo៧剧e៧剧ý៧剧 za účele៧剧 ko pě ៧剧e៧剧ovitosti

Více

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva )

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva ) Ní e uvedeného dne, m síce a roku uzav ely svazek obcí Povodí Berounky se sídlem Nám. Republiky 1, Plze, 306 32 I : 75042860 zaps. v registru svazku obcí vedeném Krajským ú adem Plze ského kraje zast.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek - tak se nazývá projekt, který v roce 2008 zahájil Hasi ský záchranný sbor Jiho eského kraje, územní odbor Strakonice (dále jen HZS Strakonice).

Více

Akce náboru a formy propagace st edních škol loni a letos. Studie ob anského sdružení Než zazvoní

Akce náboru a formy propagace st edních škol loni a letos. Studie ob anského sdružení Než zazvoní Akce náboru a formy propagace st edních škol loni a letos Studie ob anského sdružení Než zazvoní 30. b ezna 2015 Pr zkum st edních škol Tento dokument shrnuje, jak probíhal nábor student na st ední školy

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

č č Úč ě č ě č č č ů ů Č č Č š č č ů č ů Ú Š Ť č Ž Ž č Ž š š ě é ůž č Ž č ůž Ž é š ě č š é ůž é č é č é é č ůž č é ě š é č ůž š č š ů ě č Ž š ě č é ě č č ě ě š ě ů ůž š ě ž Ž é Ž ůž ž é š ě č š é Ž ě é

Více

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Stroj na peníze I. díl Námitky a jak na n IVO TOMAN Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s.

Více

JukeboxPlus v6 SETUP

JukeboxPlus v6 SETUP 1 Setup 2 P ehrávání skladeb 3 Nastavení kredit 4 Vizualizace, Ovládání 5 R zné 6 Vzhled 7 Staristika reklam JukeboxPlus v6 SETUP 1 Setup POZOR: Po provedení ve kerých zm n v nastavení je doporu eno program

Více

ůř Í ý Í Ť ý Á Ž Í Á ť Í ť ý ť Ť ě č ě Š ř ú ý š Č ř č ď ř Á Í Í ě ě ř ó ě č ř č ě ř š ě Á Í č ě Í Í Č É ě Š Í Č ě Í ě ů ů ů Č ý ú Ž ří Á Ý Í Á ÍČ ŽÍ Ý Ů ě č ě ě ě ř ě ě ó ž ž ě ýš ě ě ó ě ř ú ě ďý ě Ú

Více

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 2 celkem 40 zákon. 83/1990 Sb. o sdružování ob an ve zn ní pozd jších p edpis - zvláštní zákon (má p ednost p ed OZ) zákon. 40/1964 Sb. ob

Více

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06.

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06. VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ ODMÍNKY č CTS..r.., IČ: 272 10 651 : Brc, N Vý 370, SČ 293 06 (á VO ) 1. Vý jů M 1 1.1. y j bch č C S..r.., rc, ý37,s 293 06, IČ: 72 0 51, á ch rjř é ě ý r,, 1 4718. y j á ě ěč Č h čh

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

katastru e o itostí ČR Jiří Poláček

katastru e o itostí ČR Jiří Poláček Služ i for ač ího s sté u katastru e o itostí ČR Jiří Poláček Obsah prezentace Přehled služe )kuše osti s o ě za ede ý i služ a i Pro oz í statistik Připra o a é o i k Strá ka 2 On-line Geoportál ETL 3

Více

LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE

LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE Zpracováno s podporou programu Evropské unie Phare Ústav pro informace ve vzdělávání Národní vzdělávací fond 1999 Autorský tým: Pavla Burdová, Sociologick stav Akademie

Více

Výchozí poznámky k panelové diskusi: Kapitálový trh, IPO a ekonomický r st. Prof. RNDr. Jan Hanousek, CSc. CERGE-EI

Výchozí poznámky k panelové diskusi: Kapitálový trh, IPO a ekonomický r st. Prof. RNDr. Jan Hanousek, CSc. CERGE-EI Výchozí poznámky k panelové diskusi: Kapitálový trh, IPO a ekonomický r st Prof. RNDr. Jan Hanousek, CSc. CERGE-EI Význam kapitálového trhu, vazby na ekonomický r st Alternativní zp sob získaní kapitálu

Více

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku Prohlá ení o shode a informace o vý robku CSN EN 14471 Systé mové komí ny s p lastový mi vlo kami Po adavky a zku ební metody Edited by Foxit PDF Editor For Evaluation nly. Informace o vý robci: znacení

Více

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2013, i nasazení verze zpracující p ehled o p íjmech a výdajích za rok 2013 upozornit na projetí dávkového programu v N_UDRZBA pro vy len

Více

Zápis. z jednání ádné valné hromady podle ust. 423 zákona o obchodních korporacích

Zápis. z jednání ádné valné hromady podle ust. 423 zákona o obchodních korporacích Zápis z jednání ádné valné hromady podle ust. 423 zákona o obchodních korporacích I. Firma a sídlo spole nosti P-D Refractories CZ a. s. (d íve Moravské šamotové a lupkové závody a. s.) 679 63 Velké Opatovice,

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í D I T A D E R K O V Á 2. r o n ík n a v a z u j íc

Více

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14

Smlouvy o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta. 29/23/4405/14 Smluvní strany: Smlouva o poskytnutí ve ejné finan ní podpory z rozpo tu m sta 29/23/4405/14 1. Poskytovatel m sto Uherský Brod Masarykovo nám. 100, 688 17 Uherský Brod, zastoupeno: Patrikem Kun arem,

Více

Psychiatrická nemocnice ( lé ebna):

Psychiatrická nemocnice ( lé ebna): Psychiatrická nemocnice ( lé ebna): Psychiatrická nemocnice je léka ské za ízení, které se zam uje p evážn na lé bu závažných duševních onemocn ní. Psychiatrické nemocnice se mohou lišit v metodice a postupu

Více

K VÍZOVÉ OTÁZKY: MAKROEKONOMIE I. Vždy platí pouze jedna správná odpov.

K VÍZOVÉ OTÁZKY: MAKROEKONOMIE I. Vždy platí pouze jedna správná odpov. K VÍZOVÉ OTÁZKY: MAKROEKONOMIE I. Vždy platí pouze jedna správná odpov. 1) Inflace mimo jiné vyjad uje: a) snižování všeobecné cenové hladiny b) že dochází k deflaci c) že roste kupní síla pen z d) i tu

Více

Zp soby sledování pohybu zraku

Zp soby sledování pohybu zraku Mechanické metody Zp soby sledování pohybu zraku Mgr. Jeroným Klimeš DIMAR s.r.o. 200 P esné monitorování zraku se objevilo po válce, kdy se pokusné osob na rohovku oka nalepilo malé zrcátko, na které

Více

SENIORSKÝ DŮM OŘECH. Dne 27.10.2014. Služby Seniorského domu Ořech. SD Bohemia Group a.s.

SENIORSKÝ DŮM OŘECH. Dne 27.10.2014. Služby Seniorského domu Ořech. SD Bohemia Group a.s. SD Bohemia Group a.s. Ukrajinská 1488/10 101 00 Praha 10 Telefon: 731 126 002 Email: info@sdbohemiagroup.cz www.sdbohemiagroup.cz Dne 27.10.2014 SENIORSKÝ DŮM OŘECH Služby Seniorského domu Ořech OBSAH

Více

Obecný cíl vyu ovacího p edm tu

Obecný cíl vyu ovacího p edm tu 7.18 Pojetí vyu ovacího p edm tu Ekonomika Obecný cíl vyu ovacího p edm tu Cílem p edm tu ekonomika je umožnit žák m osvojit si základy ekonomického myšlení a obchodn -podnikatelských aktivit, orientovat

Více