Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 I Z klad pojmy teorie pravd podobosti { eoci l u eb text pro p edm t MATEMATIKA V, FS,FM TUL, ( drob chyby ejsou vylou ey) P. Volf, b eze 999 N hod pokus, syst m jev P edm tem teorie pravd podobosti je vytv e a studium matematick ch model pro hod d je, tj. takov d je, jejich v sledek e p edem jedoza ur e a o ek v se pouze, e v sledek bude jed m z jak mo iy mo ch v sledk. Takov mu hod mu d ji budeme kat hod pokus (i kdy "experimet torem" ejsme asto my, ale ap klad p roda). Mo ia v ech mo ch v sledk da ho pokusu se kdy t az v v b rov m prostorem ebo prostorem pozorov. V sledkem pokusu mohou b t sla (po et bod a hor stra hrac kostky p i jedom vrhu po et vrh hrac kostkou e pade \6", am e hodoty jak veli iy, ap. krev tlak pacieta, ebo odchylka rozm ru sou stky od ormy), sel vektory a poslouposti, asov pr b h jak fukce a da m itervalu, ale i libovol kvalitativ ukazatel (ap. vyta e koule da barvy z osud obsahuj c r zobarev koule, dosa e t da kvality v robku, odpov ao i e u respodeta p i pr zkumu m ). V teorii pravd podobosti je uva ov a mo ia mo ch v sledk, vduchu uvede ch p klad, jako jak epr zd abstrakt mo ia. Tak po et jej ch prvk m e b t koe, spo et ebo i espo et. Podmo iy mo iy az v me jevy. ekeme, e p i da m pokusu astal jev A, kdy v sledek pokusu! je prvkem A (tj.! 2 A). V echy mo v sledky pokusu! 2 ch pa jako jedobodov mo iy f!g az v me syst mem elemet r ch jev. Cel mo ia je tedy vlast jist m jevem. M eme uva ovat i pr zdou mo iu, kterou pak az v me emo m jevem. Nap klad p i jedom hodu kostkou, elemet r jevy jsou jedotliv mo v sledky, tj., 2,..., 6, ale krom ich m eme uva ovat jevy slo e z kolika elemet r ch, ap. "sud slo", ebo "v sledek v t e 4" apod. Mezi jedotliv mi jevy mohou platit r z vztahy a m eme pomoc ich vytvo it jevy dal. V echy tyto vztahy a operace jsou stej jako vteorii mo i. Jsou{li A a B jevy, pak oza ujeme A B A = B { situaci, kter odpov d tomu, e kdykoliv astae jev A, astae ijevb { plat sou as A B a B A A [ B { jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae alespo jede z jev A ebo B (sjedoce jev A a B) A\B { jev, kter astae pr v tehdy, kdy astaou oba jevy A a B sou as (pr ik jev A a B) A \ B = { situaci, kdy emohou astat oba jevy A a B sou as (jevy A a B jsou eslu itel { disjukt, eexistuje el. jev, kter by byl z rove v A i v B)

2 A { jev, kter astae pr v tehdy, kdy eastae jev A (dopl k jevu A) A ; B {jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae jev A, ale sou as eastae jev B (rozd l jev A a B) A 4 B {jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae jev A ebo B, ale e oba sou as (symetrick diferece jev A a B). Deici sjedoce a pr iku dvou jev lze zobecit a libovol koe, spo et, ale i espo et po et jev. Tak ap klad pro syst m jev fa 2 Ig, kdei je jak mo ia idex, za S A 2I T 2I jev, kter astae pr v tehdy, kdy astae alespo jede z jev A 2 I A jev, kter astae pr v tehdy, kdy astaou sou as v echy jevya 2 I. Pro pr v zavede pojmy sjedoce, pr iku a dopl ku m eme uk zat, e plat sleduj c vztahy: Jsou{li A B C jevy, tak A: A [ = A A2: A \ = A3: A [ = A4: A \ =A A5: A [ A = A A6: A \ A = A A7: A [ B = B [ A A8: A \ B = B \ A A9: A [ (B [ C) =(A [ B) [ C A0: A \ (B \ C) =(A \ B) \ C A: A [ (B \ C) =(A [ B) [ (A [ C) A2: A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) A3: A [ A = A4: A \ A = : Zt chto vztah A { A4 je mo o odvodit prakticky v echy dal vztahy, kter jsou d le it v t to "algeb e s jevy", kter je p evzata z mo iov algebry. V sleduj c m p ehledu uv d me kter z ich. P itom relaci () a operace rozd lu (;) a symetrick diferece (4) deujeme jako A B () A \ B = A A ; B = A \ B A 4 B = (A ; B) [ (B ; A): Jsou{li A B C a D libovol jevy, pak plat, krom ji ho:. A A A (A B B C) =) A C. 2. (A ; B) \ B = (A ; B) [ B = A [ B A =(A \ B) [ (A ; B) A ; B = A ; (A \ B) A \ (B ; C) =(A \ B) ; (A \ B). 3. A B =) A [ C B [ C a A \ C B \ C A B () A \ B = A () A [ B = B () A \ B = D kazy jedotliv ch vztah jsou dobr m cvi e m. 2

3 2 Syst m hod ch jev, pravd podobost, pravd podobost prostor Uva ujeme-li ur it hod pokus a chceme-li jej popsat, zaj maj s je ur it elemet r jevy! a z ich slo e A B :::. Proto se v dy sa me volit co ejvhod j mo iu. Na druh stra, vhod deice pravd podobosti mus zahrovat i za slo it situace. V jedoduch m p pad, kdy mo ia v ech mo ch v sledk hod ho pokusu jekoe, je z hlediska aplikac teorie pravd podobosti rozum po adovat, abychom byli schopi uva ovat jedotliv elemet r jevy jako hod jevy. Situace je odli, p edev m z form l ho matematick ho hlediska, v p pad espo et ho (tam, jak uvid me v p kladech v t iou epracujeme ji s jedotliv mi elemet r mi jevy - body!, alea s jejich mo iami, hod mi jevy A B :::).Abychom tyto p pad t kosti p ekoali a vytvo ili jedi matematick model hod ho pokusu, zavedeme tzv. syst m hod ch jev S. Je p iroze po adovat, aby jist jev a emo jev byly hod mi jevy, tj. prvky S, stej tak, aby s ka d mi dv ma hod mi jevy jejich sjedoce, pr ik, rozd l apod. byly hod mi jevy. Takov po adavek je rozum i pro spo et sjedoce a spo et pr ik hod ch jev. Form l matematicky zavedeme syst m hod chjev S jako syst m podmo i mo iy,pro kter plat S. 2S S2. kdy A i 2S i = 2 :::=) S i= A i 2S S3. A 2S=) A 2S. Takov to syst m, ch pa jako syst m mo i, se az v -algebrou (ebo -okruhem) mo i. Samoz ejm, cel komplet syst m v ech podmo i -oza me jej 2 - vyhovuje v em t mto po adavk m, ale m e b t a asto je zbyte rozs hl. Na druh stra v ak v p pad 'je' spo et mo iy, kdy elemet r jevy maj b t hod mi jevy, je 2 jedi m syst mem hod ch jev (tj. spl uj c m S { S3). Plat toti, e ka d podmo ia A ejv e spo et mo iy je ejv e spo et a d se ps t jako spo et sjedoce elemet r ch jev, co podle S2 je hod m jevem. Uk eme si y dal vlastosti syst mu hod ch jev S:. 2S D kaz: 2S=) 2S, ale = 2. (A B 2S)=) A \ B 2S. D kaz: (A B 2 S) =) ( A B 2 S) =) ( A [ B 2 S) =) ( A [ B 2 S), p itom A [ B = A \ B. 3. (A B) 2S=) (A ; B 2S) D kaz: (A B 2S)=) (A B 2 S) =) A \ B 2S ale A \ B = A ; B. 4. (A B 2S)=) (A4B 2S) D kaz: (A B 2S)=) (A ; B B ; A 2 S) =) ((A ; B) [ (B ; A) 2S) 3

4 5. A i 2S i = 2 :::=) T i= A i 2S D kaz: A i 2S i = 2 :::=) ( Ai 2S i = 2 ::: )=) ( S i= A i 2S)=) S i= Ai 2S, ale S i= Ai = T i= Ai = T i= A i. Jak deovat pravd podobost? Pro ka d hod jev A 2S chceme ur it takov slo P (A), kter by m lo v kvatikovat, oceit aci, s jakou p i provede p slu ho hod ho pokusu astae jev A. M labytob t vlast mo iov m ra a syst mu mo i { jev. Deujme proto pravd podobost jako m9ru, tj. re lou fukci P : S!< 0 > zobrazuj c jevy ze syst mu hod ch jev do itervalu h0 i. Budeme po t to fukci po adovat sleduj c : P. (A 2S)=) (P (A) 0) P2. (A i 2S i = 2 ::: A i \ A j = pro ka d i 6= j) =) (P ( S i= A i )= P i= P (A i )) P3. P () =. Z t chto podm ek plyou kter dal vlastosti pravd podobosti:. P ( ) =0 D kaz: Jeliko \ = a 2 S, jsou a disjukt, a tedy podle P2 P ( [ )=P () + P ( ). Ale [ =,a tedy =+P ( ) eboli P ( ) =0. 2. (A B 2S) A B =) (P (A) P (B)). D kaz: A B =) B = A [ (B ; A) =) A \ (B ; A) = =) P (B) = P (A)+ P (B ; A) P (A). 3. (A B 2S A B) =) (P (B ; A) =P (B) ; P (A)). D kaz: plye z B = A [ (B ; A) az P2. 4. (A B 2S)=) (P (A [ B) =P (A)+P (B) ; P (A \ B)). D kaz: A [ B = [(A [ B) \ B] [ h (A [ B) \ B i = B [ (A \ B) = B [ (A ; B) = B [ (A ; (A \ B)): Jeliko B \ (A ; (A \ B)) =, tak z P2 m me P (A [ B) =P (B)+P (A ; (A \ B)) = P (B)+P (A) ; P (A \ B) { posled rovost dostaeme z (A B 2 S) =) (P (A4B) = P (A ; B)+P (B ; A) = P (A ; (A \ B)) + P (B ; (A \ B)) = P (A)+P (B) ; 2P (A \ B)). 6. (A 2S)=) (P ( A)=; P (A)). D kaz: =A [ A A \ A = =) =P (A)+P ( A)=) P ( A)=; P (A). Jestli e A je hod jev takov, e jeho pravd podobost P (A) = (co je ekvivalet tomu, e P ( A) = 0), k me, e jev A ast v skoro jist. P itom je t eba si uv domit, e kdy P ( A) = 0, tak A emus b t emo jev, tj. A emus 4

5 b t pr zd mo ia (v tom p pad ale mus existovat elemet r jevy, kter m jsme p i adily ulovou pravd podobost)! M me y k dispozici trojici ( S P), kde 6= je epr zd mo ia, S syst m hod ch jev spl uj c ch S { S3 a P pravd podobost spl uj c P - P3. Tuto trojici az v me pravd podobost m prostorem a slou jako ejobec j model libovol ho hod ho pokusu. Je ov em t eba pro ka d hod pokus specikovat S i P. Zat mco specikace prv ch dvou sou st je celkem jas a odpov d \bohatosti" jev, kter chceme vy et ovat a kter tedy bereme v potaz, je volba P pro kokr t situaci slo it j. Hodoty pravd podobosti lze z skat bu p mo z podstaty hod ho pokusu ebo mus b t odhaduty metodami matematick statistiky z miul cha ich zku eost. V dal sti t to kapitoly si uk eme kostrukci pravd podobost ch prostor pro typick p klady, kdy je koe, spo et a espo et mo ia. 3 Mo osti kostrukce pravd podobost ch prostor. je koe mo ia P edpokl dejme, e je koe mo ia s prvky!! 2 :::! ( = f! :::! g) a chceme, aby ka d elemet r jev f! i g byl hod m jevem, tj. uva ujeme za syst m hod ch jev syst m v ech podmo i mo iy, tj.s = 2. Celkov po et v ech hod ch jev je2 (tj =2, kde j je po et r z ch hod ch jev sest vaj c ch pr v zj elemet r ch jev ). Nech p p 2 ::: p je -tice ez por ch re l ch sel takov ch, e X i= p i =: Polo me-li P (f! i g)=p i i = 2 :::, dostaeme pak pro ka dou podmo iu A P (A) = X fi:! i 2Ag Potom ( 2 P)spl uje v echy p edpoklady pravd podobost ho prostoru. Speci l p pad ast v, kdy p = p 2 = = p tj. p i =. Potom P (A) = X fi:! i 2Ag p i : = m(a) kde m(a) je po et elemet r ch jev, kter vytv hod jev A. V tomto p pad dost v me klasickou deici pravd podobosti tak, jak jsme se ji u ili a st ed kole, kdy pravd podobost hod ho jevu byla deov a jako pom r po tu p pad p ziv ch m(a) ku v em mo m. P klady jsou asad : v sledky hod kostkami, s zky do loterie, je spo et mo ia V p pad spo et mo iy = f!! 2 :::g, kdy tak v t iou po adujeme, aby elemet r jevy f! i g byly pro v echa i hod mi jevy, dost v me jako syst m hod ch jev syst m v ech podmo i mo iy, tj. S =2. Ny v ak po et v ech hod ch 5

6 jev je ekoe. Jestli e pro ka d i = 2 ::: jsou pravd podobosti elemet r ch jev rovy p i (y po adujeme P i= p i = ), tak pro libovolou podmo iu A deujeme stej jako v p pad koe ho P (A) = X fi:! i 2Ag trojice ( 2 P) pak tvo pravd podobost prostor. P kladem takov ch jev je t eba po et jak ch "ud lost " v ur it m asov m itervalu (ap. po et tel. hovor spoje ch st edou, po et stic zachyce ch pozorovac m p strojem,...). 3. je espo et mo ia I kdy ivtomto p pad je mo o kostruovat pravd podobost prostor v pl obecosti, omez me se pouze a p pad kdy = R (mo ia v ech re l ch sel), kter bude p edm tem a ich vah i v dal m textu. Zobec a p pad = R (-tice re l ch sel) je pak bez jak chkoliv probl m. P kladem takov ch hod ch pokus je t eba ka d m e, kter ikdy e prosto ( hod ch) chyb, i rozm r v robku hod vybra ho kekotrole (p eci je se v robek od v robku li, v r mci p esosti v rob ho postupu) ebo t eba doba ivotosti p stroje (kdy ka d re l slo > 0 m e b t v sledkem, alespo teoreticky). Jak ji jsme uvedli v e, emus b t ve v ech p padech aplikac po adov o, aby v echy elemet r jevy byly hod mi jevy. P esto v ak je rozum, aby syst m hod ch jev v p pad = R obsahoval takov mo iy jako ap klad itervaly, otev e mo iy apod. Nap klad syst m v ech iterval ji espl uje podm ky S { S3 (ap. sjedoce dvou disjukt ch iterval u emus b t iterval). Plat v ak obec v ta, kter k, e pro libovol syst m podmo i mo iy (oza me jej A) existuje syst m podmo i obsahuj c A jako sv j podsyst m, kter spl uje podm ky S { S3 a kter je v jist m smyslu miim l. V p pad = R uva ujme tedy syst m A, kter je vytvo e ze v ech iterval ha b) =fx : x 2 R a x<bg, kde a b 2 R. Potom existuje miim l m syst m S(A) obsahuj c A, kter spl uje S { S3. Ne sad probl m si alespo z klady syst mu budova ho ze v ech iterval p edstavit. P edev m, ka d uzav e iterval ha bi (a b 2 R a b) se d vyj d it jako ha bi = \ = p i ha b + ) () a tedy ha bi 2S(A). Obdob se uk e, e i ostat typy iterval pat do S. Tak i itervaly tvaru (; ai = fx : x 2 R x ag resp. (a ) pat do S(A), ebo (; ai = [ = (; ai a (a ) =R ; (; ai: Mo iy ze syst mu S(A) se az vaj borelovsk mo iy a p mce a oza me je B resp. B(R). Z t to kostrukce ov em plye, e ka d bod je tak v B(R), ebo 6

7 fag = (; ai;(; a). ili elemet r mi jevy jsou pak jedotliv hodoty { body re l p mky. V p pad = R je situace podob, je vych z me ze syst mu A vytvo e ho v emi polootev e mi -rozm r mi itervaly, tj. mo iami typu ha b ) ha 2 b 2 ) ha b ): Bereme tedy v p pad = R za syst m v ech hod ch jev syst m v ech borelovsk ch mo i a p mce. Obr t me se y k ot zce kostrukce pravd podobosti a borelovsk ch mo i ch a p mce. Je t eba pozameat, e v tomto p pad e mo pou t postup aplikova v koe m ebo spo et m p pad, kdy staovujeme pravd podobost elemet r ch jev azich potom pravd podobost a cel m syst mu hod ch jev. V espo et m p pad mus me postupovat po kud odli m zp sobem. Nech F je libovol, eklesaj c re l fukce, kter je v ka d m bod spojit zleva (F (x) = F (x;)) a takov, e (8 x 2 R) 0 F (x) a F (;) = lim x!; F (x) = 0 F () = lim x! F (x) =. Pro ka d iterval ha b) 2Adeujme pravd podobost P (ha b)) = F (b) ; F (a): Plat sleduj c obec v ta, kterou uvedeme bez d kazu. V ta. Nech F je ez por, eklesaj c, zleva spojit re l fukce s limitami F (;) =0 F (+) = deova a R. Potom existuje jedi pravd podobost a S(A) spl uj c P { P3 takov, e pro libovol iterval ha b) P (ha b)) = F (b) ; F (a): Uka me si je t, jak dostaeme pravd podobost pro uzav e iterval. Te m eme apsat jeko limitu polootev e ch iterval, viz. (), a tak P (ha bi) = lim! P (ha b + )) = lim F (b + ) ; F (a) =F (b+ ) ; F (a) kde F (b + ) oza uje limitu zprava v bod b. Pozameejme je, e kostrukce pravd podobosti P a borelovsk ch mo i ch a p mce da ve V t je aalogick kostrukci tzv. Lebesgueovy m ry a p mce, kter odpov d speci l fukci F (x) =x aje obec e koe. Trojice (R B P) je potom po adova pravd podobost prostor. Zde trochu p edb h m a ek me si, e fukce F se az v distribu fukce. A je to pojem uiverz l v tom smyslu, e je ji mo pou t jako z klad charakteristiku pro rozd le pravd podobosti ivp padech koe i spo et R. Hed vid me, e pokud je fukce F spojit v bod a, je P (fag) =F (a + ) ; F (a) =0, eboli toto je p klad situace, kdy elemet r jev m ulovou pravd podobost. 7

8 4 Podm pravd podobost, ez vislost hod ch jev Zavede pravd podobost ho prostoru odpov daj c ho da mu hod mu pokusu, kter mu byly v ov y vahy v p edch zej c ch odstavc ch, m umo uje zav st tzv. podm pravd podobosti, tj. pravd podobosti, e astae jak hod jeva v me{li, e astal jak hod jev B takov, ep (B) > 0. Istiktiv c t me, e takov vaha m smysl, jestli e jev A je jak a jevu B z visl. Matematicky je podm pravd podobost hod ho jevu A za podm ky jevu B pro P (B) > 0 oza ea adeov a jako P (AjB) = P (A \ B) : P (B) P mo z t to deice plye, e. P (BjB) = 2. P ( jb) =0 P (jb) = 3. 0 P (AjB) pro ka d A 2S 4. A i 2S A i \ A j = i 6= j i j = 2 ::: =) P ( S i= A i jb) = P i= P (A i jb) 5. A 2S=) P ( AjB) =; P (AjB). Zuvede ch vztah vypl v, e pro xova hod jevb 2Ss P (B) > 0 je podm pravd podobost P (jb) pravd podobost a S, a tedy ( S P(jB)) je pravd podobost prostor. Nav c podm pravd podobost P (jb) jepravd podobost a me mo i mo ch v sledk pokusu a me m syst mu hod ch jev, a to a B a S\B (S\B je syst m v ech mo i tvaru A \ B, kde A prob h cel S), tj. (B S\B P(jB)) je pravd podobost prostor. Z deice podm pravd podobosti plye tzv. v ta o sobe pravd podobosti. Plat toti pro P (B) > 0 vztah P (A \ B) =P (B) P (AjB) co se d zobecit pro hod jevy B B 2 ::: B s P (B \ B 2 \\B ) > 0atvar P (B \ B 2 \B )=P (B ) P (B 2 jb ) P (B 3 jb \ B 2 ) ::: :::P (B j B \ B 2 \\B ; ) : Uva ujme y rozklad mo iy a sjedoce disjukt ch hod ch jev D D 2 ::: D (D i 2S D i \ D j = i 6= j i j = 2 ::: )sklad mi pravd podobostmi, tj. =D [ D 2 [[D P (D i ) > 0: Potom pro jak koliv hod jev A 2Sz ejm plat A = A \ =A \ [ i= 8 D i! = [ i= (A \ D i )

9 a dle P2 P (A) = X i= P (A \ D i ) : S pou it m v ty o sobe pravd podobosti dost v me P (A) = X i= P (D i ) P (AjD i ) co se v teorii pravd podobosti az v v tou o pl pravd podobosti. Jestli e d le p edpokl d me, e hod jevy A B 2Smaj klad pravd podobosti P (A) > 0 P (B) > 0, tak podle v ty o sobe pravd podobost je ale t P (A \ B) =P (B) P (AjB) P (A \ B) =P (B \ A) =P (A) P (BjA): Odtud pak m me tzv. Bayes v vzorec P (BjA) = P (B) P (AjB) : P (A) P itom, pokud je i P ( B) > 0, m eme s pomoc v ty o pl pravd podobosti vyj d it P (A) =P (AjB)P (B)+P (Aj B)P ( B): Zobec m Bayesovy formule pro libovol disjukt rozklad = D [D 2 [[D (D i 2 S D i \ D j = P (D i ) > 0 i = 2 ::: ) dost v me pro ka d i = 2 :::, p i P (A) > 0, P (D i ja) = P (D i) P (AjD i ) P (A) = P (D i ) P (AjD i ) P j= P (D j ) P (AjD j ) : Teto vztah az v me zobec m Bayesov m vzorcem. Jedotliv mo iy rozkladu D D 2 ::: D p edstavuj pro s jevy, jejich pravd podobost za ur it ch podm ek chceme zjistit (ap klad stav za ze a z klad pozorova ch v j ch projev, emoc pacieta a z klad v sledk test ). Dost v me tak vlast "hypot zy", i s jejich pravd podobostmi podm mi t m, co jsme zjistili pozorov m. Budeme az vat pravd podobosti P (D i ) aprior mi pravd podobostmi hypot z, P (AjD i ) pravd podobostmi jevu A, kdy plat hypot za D i apravd podobost P (D i ja) aposterior pravd podobost hypot zy D i, kdy v hod m pokusu astal jev A. Bayes v vzorec je pou v p edev m ve statistick m rozhodov, kdy p edem ez me jak hypot za skute plat a prov d me jak hod pokus odpov daj c ez m mu pravd podobost mu prostoru ( S P(jD i )). Po provede hod ho pokusu, kdy astal jev A, rozhodeme, e plat ta hypot za, pro kterou je aposterior pravd podobost ejv t. Teto postup, kter se t az v Bayesovo rozhodovac pravidlo, je vyu v v statistick aal ze dat a je i z kladem pro kostrukci pravd podobost ch expert ch syst m. 9

10 Nez vislost hod ch jev. k me, e dva hod jevy A a B jsou ez visl, kdy P (A \ B) =P (A) P (B): Odtud bezprost ed vypl v, e kdy P (A) 6= 0 P (B) 6= 0a A a B jsou ez visl, tak P (AjB) =P (A) P (BjA) =P (B) eboli pro ez visl jevy A a B iformace o tom, e astal jede z ich ezm pravd podobost druh ho jevu. Plat potom sleduj c jedoduch vztahy. Ka d hod jev A 2Sje ez visl a a. 2. N hod jeva 2Sje ez visl a sob pr v tehdy,kdy P (A) =0eboP (A) =. 3. Jsou{li hod jevy A B 2Sez visl, potom t a) A B jsou ez visl, b) A B jsou ez visl, c) A B jsou ez visl. Uk eme platost vztahu 3a), pak u stej m zp sobem lze dok zat i ostat. Proto e A \ B = B ; A = B ; (A \ B) a proto e je (A \ B) B, tak P ( A\B) =P (B) ; P (A \ B) =P (B) ; P (A) P (B) =P (B) ( ; P (A)) = P (B) P ( A): ekeme, e hod jevy A A 2 ::: A jsou vz jem ez visl, kdy pro ka d k = 2 :::, i <i 2 < <i k plat P (A i \ A i2 \\A ik )=P (A i ) P (A i2 ) P (A ik ) tj. kdy libovol podsyst m syst mu fa A 2 ::: A g tvo vz jem ez visl jevy. V sleduj c m p klad si uk eme, e k vz jem ez vislosti jev esta je to, aby ka d dva jevy byly ez visl. P klad. Nech = f!! 2! 3! 4 g, S = 2 a P je d a pomoc pravd podobost elemet r ch jev p! = p!2 = p!3 = p!4 =.Uva ujme sleduj c t i hod jevy: 4 Potom A = f!! 2 g B = f!! 3 g C = f!! 4 g : a P (A) =P (B) =P (C) = 2 P (A \ B) = 4 P (A \ C) = 4 P (B \ C) = 4 tj. dvojice jev (A B) (A C) (B C) je ka d dvojic ez visl ch hod ch jev, ale p esto P (A \ B \ C) =P (f! g)= 4 6= = P (A) P (B) P (C): 8 0

11 Na z v r t to sti si uk eme p klad, e je z rovosti P (A \ B \ C) =P (A) P (B) P (C) ijak eplye, e jevy A B C jsou vz jem ez visl. P klad 2. Nech =f! =(!! 2 ):!! 2 = 2 ::: 6g tj. elemet r jevy jsou dvojice sestave z sel a 6. Je jich tedy celkem 36. Nech S je syst m v ech podmo i a pravd podobost je deov a z pravd podobost elemet r ch jev, kter ech jsou v echy stej a rovy p! =.Uva ujme sleduj c 36 t i hod jevy: A = f! :! libovol! 2 = 2 ebo 5g B = f! :! libovol! 2 =4 5 ebo 6g C = f! :! +! 2 =9g : Potom z ejm P (A) = P (B) = P (C) = 2 9 elemet r jev (!! 2 )=(4 5), tak a proto e jev A \ B \ C obsahuje jedi P (A \ B \ C) = 36 = P (A) P (B) P (C): Ale P (A \ C) = 36 P (B \ C) = 2 6= P (A) P (C) = 8 6= P (B) P (C) = 8 : 5 Dodatek: Dv "tradi deice" pravd podobosti. Empirick, etost. P edstavme si, e za st le stej ch podm ek opakujeme (ez visle) tet pokus {kr t a sledujeme etost jevu A, ap. "a kostce padlo 6" p i opakova ch hodech kostkou. P i rostouc m bychom zjistili, e etost jevu A (oza me ji (A)) roste tak, e pom r (A)=A koverguje k ur it hodot v h0 i. Toto slo (p(a), ek me) pova ujeme pak za pravd podobost jevu A. Nap klad tu me, e p( a kostce) =. Tato deice je tedy op ea o p edpoklad existece limity, kterou 6 ov em samot mi pokusy em eme prok zat. A av c, je pou itel je pro d j ur it ho typu (mohokr t se opakuj c za stej ch podm ek). Na druh stra, uvid me, e z a obec deice pravd podobosti tato kovergece relativ ch etost v t chto speci l ch p padech plye (viz z ko velk ch sel). Odtud d le vypl v d vod, pro relativ etost je v t chto p padech rozum m odhadem pravd podobosti.

12 2. 'Klasick ' pravd podobost. Tato deice je pou itel v p pad, kdy situace je pops a koe m po tem M r z ch v sled (elemet r ch jev!), z ich ka d je "stej mo ". Nech s zaj m pravd podobost jevu A. Oza me M(A) po et t ch el. v sledk!, kter jsou jevu A "p ziv ", tj. takov, e! 2 A. Pak deujeme pravd podobost jevu A jako P (A) =M(A)=M: Nap klad, ech je v tombole 00 los, z ich 5 vyhr v. Koupil jsem 3 losy. Jak je pravd podobost jevu A, e ai jede z ich ic evyhraje? Jako elemet r jevy uva ujme v echy mo trojice los (kter jsem mohl koupit), 00 je jich M =.Takov ch trojic, kter eobsahuj ai jede vyhr vaj c los, je M(A) = P itom ka d trojice m la stejou aci, e ji koup m. Tak e P (A) = = =0:856 : Tato deice sice u ite vede k p m mu v po tu pravd podobosti, ale je op t pou itel je pro ur it typ p klad. 2

13 II N hod veli iy a hod vektory 6 N hod veli ia Volbou pravd podobost ho prostoru si vytv me z klad pro modelov hod chd j. Syst m elemet r ch jev a syst m hod ch jev v ak ejsou jedoza ur ey a je mo o je volit r z m zp sobem. Sa me se vybrat syst m co ejjedodu a p itom takov, kter situaci dostate vystihe. Proto e c lem je matematick popis hod ch jev, tak se p edev m sa me popis "kvatikovat", tj. vyj d it pomoc (re l ch) sel. Nap klad, m sto jev { odpov d v aket "ao", "e" pou ijeme "", "0", m sto jevu "kvalita v robku" zavedeme oza e,2,3,... pro t dy kvality, a pod. asto je samoz ejm u z klad prostor jev st R a emus me jej trasformovat (v sledky m e, doba bezporuchov ho provozu, po et v robk za sm u,...). Prove me formalizaci zat m ep es my leky p ev st pravd podobost prostor a re lou p mku R. M jme jak pravd podobost prostor ( A P). Deice. N hodou veli iou budeme az vat zobraze X : ;! R, kter je av c m itel, tj. vzor ka d borelovsk mo iy je prvkem jevov ho pole A (symbolicky: 8 B 2Bje X ; (B) 2A). N hodou veli iu si tedy ejl pe p edstav me jako hod pokus s v sledky v (R B) { kter je obrazem jak ho hod ho pokusu a p vod m prostoru jev. Je v hod umericky pracovat s takovouto selou p edstavou hod ch d j (mo ost geeralizace, v po tu r z ch sel ch charakteristik, uikace popisu v bec). N hod veli ia se vyza uje rozd le m pravd podobosti a (R B), co e ic ji ho e p vod pravd podobost a ( A) p evede a (R B). Budeme se sa- it zp sob popisu rozd le pravd podobosti uikovat. Rozd le pravd podobosti hod veli iy lze ekvivalet popsat kolika zp soby. Nejjedodu, uiverz l a sou as ej zor j je u it distribu fukce hod veli iy. Deice. Distribu fukc hod veli iy X budeme az vat fukci F X (X) =P (X <x): Distribu fukce v bod x je tedy pravd podobost jevu, e hodota hod veli- iy X je me e slo x. Distribu fukce m kolik d le it ch vlastost : (i) 0 F (x) pro v echa re l x. (ii) F je eklesaj c fukce, tj. F (x ) F (x 2 ) pro ka d x <x 2. (iii) lim F (x) =0=F (;) lim x!; F (x) ==F (+). x! (iv) F je zleva spojit. Vlastost (i) vypl v z faktu, e pravd podobost libovol ho jevu je v h0 i. Moot ost distribu fukce odvod me jedoduchou vahou. Pro x <x 2 je F X (x 2 )=P (X <x 2 )=P (X <x )+P (x X <x 2 ) P (X <x )=F X (x ) 3

14 ebo pravd podobost je v dy ez por. Vlastosti (iii), (iv) ji vy aduj hlub zalost chov pravd podobosti, a ebudeme je proto zde ukazovat. Uvede vlastosti pl charakterizuj distribu fukce. Tvrze. Kdy F je fukce s vlastostmi (i), (ii), (iii), (iv), pak existuje hod veli ia X tak, e F je distribu fukc rozd le t to veli iy. N kdy, aby edo lo k m lce, budeme rozd le pravd podobosti pro hodou veli- iu X oza ovat jako P X a budeme j m ch pat pravd podobost a borelovsk ch mo- i ch deovaou vztahem P X (B) =P (X 2 B). Uv domme si, e distribu fukce a rozd le prad podobosti esou ekvivalet iformaci o hod veli i. Co do rozd le pravd podobosti jsou v za dva typy hod ch veli i. Prv m jsou hod veli iy s diskr t m rozd le m. To jsou takov hod veli iy, pro kter existuje ejv e spo et bod x j tak, e P (X = x j ) > 0 a samoz ejm P j P (X = x j ) =. Distribu fukce hod veli iy s diskr t m rozd le m je skokovitou fukc. Skoky ast vaj ve v ech t chto bodech x j, velikost skoku je pr v P (X = x j ). P klady diskr t ch rozd le P klad : Nech hod veli ia X ab v pouze dvou hodot 0 a a to tak, e hodoty ab v s pravd podobost p (0 < p < ) a hodoty 0 s pravd podobost q =; p. Rozd le takov to hod veli iy se az v 0 { rozd le s parametrem p ( kdy t alterativ i Beroulliovo rozd le ), oza me je Alt(p). P klad 2: Uva ujme hodou veli iu X, kter ab v hodotx =0 2 :::, a to tak, e P (X = x) =p x ( ; p). Parametr p 2 (0 ). Takov to rozd le se az v geometrick a budeme je oza ovat Ge(p). M e popisovat ap klad po et "" p ed prv "0" v poslouposti vz jem ez visle opakova ch realizac alterativ hod veli iy s parametrem p. P klad 3: Nech hod veli ia X ab v hodot 0 ::: M s pravd podobostmi M P (X = x) = p x q M;x pro ka d x = 0 ::: M a q = ; p 0 < p <. Toto x rozd le se az v rozd le m biomick m s parametrem p, za me je Bi(M p). Takovouto hodou veli iu si m eme p edstavit jako X = P M j= Y j, kde Y j jsou vz jem ez visl veli iy s alterativ m rozd le m Alt(p). Neboli X je po et "" z M vz jem ez visl ch "ulajedi kov ch" pokus. P klad 4: Nech hod veli ia X ab v hodot 0 2 ::: s pravd podobostmi ; x P (X = x) = e pro ka d x = 0 2 :::. Takov to rozd le se az v Poissoovo x! rozd le s parametrem >0. Za it je budeme Poiss(). Druh m v za m typem jsou hod veli iy se spojit m rozd le m. Jsou to takov hod veli iy, pro existuje ez por re l fukce f X takov, e distribu fukci F X lze zapsat ve tvaru F X (x) = Z x ; f X(y) dy pro ka d re l x: () 4

15 Fukce f X se az v hustotou rozd le pravd podobosti. Vztah () je vhod pou vat pro odvoze distribu fukce k zada hustot! Uv domme si, e ve v ech bodech, kde existuje derivace distribu fukce F X, plat vztah df X (x) dx = f X (x). Takto zase odvod me hustotu z distribu fukce. Z deice hod veli iy sespojit m rozd le m je patr, e k zad jej ho rozd le pl posta zadat hustotu f X. Ze vztahu () d le plye, e hustota spl uje R ; f X (x)dx =. Distribu fukce hod veli iy se spojit m rozd le m je spojit, co je zes le obec vlastosti distribu fukce (iv). Z toho tak plye, e pravd podobost toho, e hod veli ia ab v hodot v jak m itervalu (a b), ez vis a tom, zda kraj body a b do itervalu pat ebo e: P (a X b) =P (a <X b) =P (a X <b)= = P (a <X<b)= Z b a f X (t) dt: i jiak, pravd podobost jedoho (ebo koe, ebo i spo et moha bod ) je 0 pro spojitou. veli iu. P klady spojit ch rozd le P klad : Nech hod veli ia X m hustotu f(x) = ( b;a pro a<x<b 0 pro x a ebo x b: O takov hod veli i ekeme, e m rovom r spojit rozd le a itervalu (a b) a budeme je oza ovat R(a b). Toto rozd le se vyza uje distribu fukc F (x) = 8 >< >: 0 x a x;a b;a a<x<b x b: P klad 2: Nech hod veli ia X m hustotu f(x) = p 2 exp ; 2 (x;) 2, pak 2 ekeme, e X m orm l (Gaussovo) rozd le se st ed hodotou a rozptylem 2. Toto rozd le budeme oza ovat N( 2 ). Distribu fukci orm l ho rozd le elze zapsat dou explicit formul a lze ji je p ibli odhadout umerickou itegrac. Proto existuj tabulky, kde jsou hodoty distribu fukce velice p es tabelov y. V bal c ch statistick ch program pak existuj zp soby, jak apo st hodotu distribu fukce se zadaou p esost. P klad 3: Nech hod veli ia X m hustotu f(x) =, pak budeme kat, 2 +(x;) 2 e tato hod veli ia X m Cauchyovo rozd le s parametry a. Pro Cauchyovo rozd le lze distribu fukci vyj d it ve tvaru F (x) = + 2 arcta x;. P klad 4: Nech.v. X m hustotu f(x) = ce ;cx pro x 0, f(x) = 0 pro x < 0, s parametrem c > 0. Tomuto rozd le k me expoeci l, oza me je Exp(c). 5

16 Distribu fukce (odvoze p mo pomoc ()) je F (x) =; e ;cx pro x 0, F (x) =0 pro x<0. P klad 5: Zobec m je hod veli ia s rozd le m Weibulla, kter m distribu fukci F (x) =; exp(;cx d ) pro x 0 =0 pro x < 0 s parametry c d > 0. Hustota je pak 0 pro x<0aprox 0 dostaeme derivac F (x) f(x) =c d x d; exp(;cx d ): 7 St ed hodota a momety hod veli iy Rozlo e pravd podobosti d v plou iformaci o chov hod veli iy. P i vyhodocov pokus a sledov hod ch jev v ak asto vysta me se zalost je kter ch zvl t ch charakteristik. Nap klad st ed hodota hod veli iy vyjad uje jistou pr m rou hodotu. Deice. St ed hodotou hod veli iy X budeme az vat obec itegr l E(X) = R ; xdf X (x): P edstav me{li si tedy st ed hodotu geometricky, zjist me, e jde o t i t bod re l p mky, p i em hmotost bod je ur ea pravd podobost P X. Pro dva ej ast ji se vyskytuj c typy rozd le hod veli iy z sk me sleduj c vztahy: St ed hodota diskr t hod veli iy m tvar sou tu p es v echy hodoty x j, kter ch.v. X m e ab t s eulovou pravd podobost : E(X) = X j x j P (X = x j ): St ed hodota hod veli ia se spojit m rozd le m ashustotou f X m tvar Z + E(X) = xf X(x) dx: ; St ed hodota hod veli iy a rozd l od distribu fukce emus v dy existovat. Jako p klad uve me hodou veli iu ab vaj c pouze hodot 2 pro = 2 ::: s pravd podobostmi 2 ;, ebo hodou veli iu scauchyho rozd le m. St ed hodota je zalo ea a obec m itegr lu, a proto p ej m i jeho z klad vlastost. Vezmeme{li lie r kombiaci koe moha hod ch veli i, pak st ed hodota t to lie r kombiace je stej lie r kombiace st ed ch hodot. Tud, kdy Y = a 0 + a X + a 2 X a k X k kde a a 2 ::: a k jsou re l sla a X X 2 ::: X k jsou hod veli iy, potom E(Y )=a 0 + a E(X )+a 2 E(X 2 )++ a k E(X k ): Z klad mi charakteristikami zalo e mi a st ed hodot jsou momety. Jed se vlast o st ed hodotu (pokud existuje) z trasformace hod veli iy. Mometm obec tvar E[h(X)], kde h(x) je jak m itel re l fukce. 6

17 Pro diskr t hodou veli iu dostaeme E[h(X)] = P x j h(x j ) P (X = x j ), pro hodou veli iu se spojit m rozd le m je E[h(x)] = R + ; h(x) f(x) dx. Speci l volbou trasforma fukce dost v me r-t obec momet 0 r(x) =E(X r )a r-t cetr l momet r (X) =E f[x ; E(X)] r g : Oba typy momet jsou vz jem jedoza p evoditel. Odvo me si oba p evody. Pov im me si, e! rx [X ; E(X)] r r = (;) j X r;j [E(X)] j : j Odtud dost v me r (X) = rx j=0 j=0 (;) j r j Opa p evodov vztah je d sledkem rozpisu Odtud jsou X r = f[x ; E(X)] + E(X)g r = 0 r(x) = rx j=0 r j!! 0 r;j(x)[e(x)] j : rx j=0! r [X ; E(X)] r;j [E(X)] j : j r;j (X)[E(X)] j : Krom st ed hodoty E(X) = 0 (X), eju va j m mometem je 2 (X) =E(X 2 ) ; [E(X)] 2 kter se az v rozptyl hod veli iy X, ivariace a za se tak var(x) ebo D 2 (X), ebo i 2 (X). Odmocia z rozptylu je pak (X) {sm rodat odchylka. Op t, proto e jsou to charakteristiky zalo e a itegr lu, emus existovat (ap. zovu pro Cauchyho rozd le ). Z dal ch momet se je t asto u vaj cetr l momety 3 (X) a 4 (X). ikmost rozd le se posuzuje koecietem ikmosti (skewess) 3 (X) = 3(X) [(X)] 3, kter zachycuje odchylky rozd le od symetrie kolem st ed hodoty E(X). Je{li rozd le prot hlej doleva, je koeciet 3 (X) z por a je{li rozd le prot hlej doprava, pak koeciet 3 (X) ab v klad ch hodot. pi atost rozd le popisuje koeciet pi atosti (excess, kurtosis) 4 (X) = 4(X) [(X)] 4 ; 3. Teto koeciet porov v p sp vek vzd le ch hodot rozd le hod veli iy s p padem orm l ho rozd le. Pokud hod veli ia m sama orm l rozd le, pak 4 (X) =0. Cvi e : Spo t te EX a VarXpro tato rozd le : Alterativ, biomick, Poissoovo, rovom r a (a b), orm l ( 2 ), expoeci l Exp(c). Vyu ijte deice st ed hodoty a vztahu varx = E(X 2 ) ; (EX) 2. 7

18 7. Mometov vytvo uj c fukce M jme hodou veli iu X diskr t ho typu, kter ab v hodot 0,,2,...,spravd podobostmi P (X = i) =p i. Deujme mometovou vytvo uj c fukci jako g(t) = X i=0 Tato fukce existuje v dy alespo pro jtj <, pro veli iy ab vaj c je koe hodot (ap. alterativ, biomick veli ia) existuje g(t) pro ka d re l t. V im me si sleduj c ch vlastost t to fukce: g() = P i p i = p i t i : prv derivace podle t je g 0 (t) = P i=0 ip i t i;, tak e g 0 () = P i ip i = E(X) druh derivace je g"(t) = P i(i ; )p i t i;2 tak e g"() = P i 2 p i ; P ip i = 2 ;. Z toho dostaeme, e var(x) =g"() + g 0 () ; (g 0 ()) 2 : Podob m zp sobem bychom odvodili i v po et momet vy ch d. Cvi e : Pomoc mometov vytvo uj c fukce spo t te st ed hodotu a rozptyl pro biomick, Poissoovo a geometrick rozd le. 8 Kvatily Distribu fukce pl charakterizuje rozd le pravd podobosti hod veli iy. asto je v ak t eba e it lohu al zt bod x tak, aby P (X < x) byla rova ur it hodot 2 (0 ), tj. F X (x) = pro p edem zada. Z tohoto d vodu se zav d kvatilov fukce, je je zobec m iverz fukce k F X. Probl m je s body, kde fukce F X m skok, a tak s body, kde F (x) eroste, ili iverz fukce by ebyla jedoza. Deice. M jme hodou veli iu X a distribu fukci F X pak kvatilovou fukc azveme fukci F X ; () = if fx j F X (x) g pro 0 <<. Jiak e eo F X ; () jetakov bod, e F X F X ; () aproka d x>f X ; () plat F X (x). Pokud F X je spojit fukce, pak F X F ; X () = pro ka d 0 <<. Hodota kvatilov fukce v bod, tj. F ; X (), je az v a kvatil rozd le hod veli iy a hladi ebo -kvatil a b v za e t x (u v ebo i jiak). Kvatily jsou velmi d le it, a proto existuje velk mo stv tabulek, kde jsou kvatily tabelov y. Samoz ejm ve statistick ch programech jsou v dy i procedury, je dok kvatily vypo tat, alespo pro d le it rozd le. Pro spojitou veli iu s rostouc F (x) m eme zkusit kvatil u vypo st p mo z rovice F (u )=. N kter kvatily maj speci l zvy: F X ; (0:5) { medi, med(x) { vlast ud v "st ed" rozd le v tom smyslu, e P (X < med(x)) atak P (X >med(x)). 2 2 F X ; (0:25) { dol kvartil, 8

19 F ; X (0:75) { hor kvartil F ; F ; X (k=0) { k-t decil pro k = 2 ::: 9 X (k=00) { k-t percetil pro k = 2 ::: 99. Mezikvartilov rozp t F ; X (0:75);F ; X (0:25) slou jako dal m ra rozpt leosti hod veli iy. Jde o charakteristiku, kter je v z sad odli od sm rodat odchylky a m kter v hod vlastosti. Nap klad a rozd l od sm rodat odchylky existuje v dy. Cvi e : Spo t te medi a mezikvartilov rozp t pro expoeci l rozd l Exp(c). 9 Charakteristick fukce Rozd le pravd podobosti hod veli iy lze pl charakterizovat je t jed m zp sobem. Deice. Pro hodou veli iu X az v me fukci X(t) =E [exp(itx)] charakteristickou fukc hod veli iy X (i je zde imagi r jedotka). P ipome me, e pro diskr t hodou veli iu dost v me X(t) = X x j exp(itx j ) P (X = x j ) a pro hodou veli iu sespojit m rozd le m a hustotou f X je X(t) = Z + ; exp(itx) f X (x) dx: V ta. Rozd le pravd podobosti hod veli iy je jedoza ur eo jej charakteristickou fukc. D le, i z charakteristick fukce m eme jej m derivov m spo st momety hod veli iy: Tvrze. Nech hod veli ia X m prv ch obec ch momet 0 r(x). Potom existuje prv ch derivac charakteristick fukce X aplat d r X(t) r = ::: : Nav c plat, e kde dt r t=0 = i r 0 r(x) X(t) = X r=0 (it) r 0 r! r(x)+z (t) Z (t) lim t!0 t =0: Charakteristick fukce je velmi u ite i pro limit vahy o hod veli i, kter budou studov y pozd ji. Zde uve me je jedu v tu: 9

20 V ta. Nech F F 2 :::jsou distribu fukce a 2 :::odpov daj c charakteristick fukce, pak je ekvivalet : a) F (x) ;! F (x) v ka d m bod spojitosti F a F je distribu fukce. b) (t) ;! (t) pro v echa re l t a je spojit v bod t =0. P itom je charakteristick fukce p slu k distribu fukci F. Zb v je t uv st charakteristick fukce pro kter speci l rozd le. P klady charakteristick ch fukc P klad : Nech hod veli ia X m degeerova rozd le (tj. soust ed do jedoho bodu) X = s pravd podobost. Pak X(t) =e it : P klad 2: Nech hod veli ia X m 0- rozd le s parametrem p, potom je X(t) =pe it + q: P klad 3: rozptylem 2, pak jej charakteristick fukce m tvar Nech hod veli ia X m orm l rozd le se st ed hodotou a X(t) =e it; 2 t 2 2 : P klad 4: (a b), pak jej charakteristick fukce je tvaru Nech hod veli ia X m spojit rovom r rozd le a itervalu X(t) = i (b ; a)t e ita ; e itb : Ve speci l m p pad, kdy a = ;b a b>0, dost v me X(t) = si bt : bt P klad 5: jej charakteristick fukce je tvaru Nech hod veli ia X m Cauchyho rozd le s parametry a, potom X(t) =e it;jtj : P klad 6: Pro expoeci l rozd le Exp(c) je charakteristick fukce X(t) = Z 0 e itx ce ;cx dx = Z 0 ce x(it;c) dx = c c ; it : 20

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů 1 7 KORELACE Pro vyádřeí itezity vztahů ezi složkai ξ ξ -rozěrého áhodého vektoru 1 ξ se používá korelačích koeficietů Data tvoří áhodý výběr z -rozěrého rozděleí áhodého vektoru ξ Neuvažue se obyčeě a

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

2.5.10 Přímá úměrnost

2.5.10 Přímá úměrnost 2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

20. Kontingenční tabulky

20. Kontingenční tabulky 0. Kotigečí tabulky 0.1 Úvodí ifomace V axi e velmi častá situace, kdy vyšetřueme aedou dva statistické zaky, kteé sou svou ovahou diskétí kvatitativí( maí řesě staoveý koečý očet všech možostí ); soité

Více

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava Katedra elektrotechiky Fakulta elektrotechiky a iformatiky, VŠB - TU Ostrava 10. STŘÍDAVÉ STROJE Obsah 1. Asychroí stroje 1. Výzam a použití asychroích strojů 1.2 Pricip čiosti a provedeí asychroího motoru.

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka.

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Testování Menu: QCExpert Testování Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Síla a rozsah výběru Menu: QCExpert Testování Síla a rozsah výběru

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace Periodicita v časové řadě, její popis a idetifikace 1 Periodicita Některé časové řady obsahují periodickou složku. Pomocí vybraých ástrojů spektrálí aalýzy budeme tuto složku idetifikovat. Mějme fukci

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha FINANČNÍ MATEMATIA Jarmila Radová BP VŠE Praha Osova Jedoduché úročeí Diskotováí krátkodobé ceé papíry Metody vedeí a výpočtu úroku z běžého účtu Skoto Složeé úrokováí Budoucí hodota auity spořeí Současá

Více

5. cvičení 4ST201_řešení

5. cvičení 4ST201_řešení cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice Části a mechaismy strojů III Předmět : 34750/0 Části a mechaismy strojů III Cvičí : Doc Ig Jiří Havlík, PhD Ročík : avazující Školí rok : 00 0 Semestr : zimí Zadáí cvičeí Navrhěte a kostrukčě zracujte

Více

4. Připoutejte se, začínáme!

4. Připoutejte se, začínáme! 4. Připoutejte se, začínáme! Pojďme si nyní zrekapitulovat základní principy spreadů, které jsme si vysvětlili v předcházejících kapitolách. Řekli jsme si, že klasický spreadový obchod se skládá ze dvou

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642

Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55 modul Sklad 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Obsah 1 Programový komplet pro evidenci provozu jídelny modul SKLAD...3 1.1

Více

1.1.11 Poměry a úměrnosti I

1.1.11 Poměry a úměrnosti I 1.1.11 Poměry a úměrnosti I Předpoklady: základní početní operace, 010110 Poznámka: Následující látka bohužel patří mezi ty, kde je nejvíce rozšířené používání samospasitelných postupů, které umožňují

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

Odůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby

Odůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby Odůvodnění veřejné zakázky Veřejná zakázka Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby Zadavatel: Právní forma: Sídlem: IČ / DIČ: zastoupen: EAST

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Dopravní stroje a zařízení odborný základ - 2015

Dopravní stroje a zařízení odborný základ - 2015 Dopraví stroje a zařízeí odbor zálad - 05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 5 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí Bodové hodoceí otáze: otáza body 0 0 3 0 0 5 0 OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdch

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

Název: O co nejvyšší věž

Název: O co nejvyšší věž Název: O co nejvyšší věž Výukové materiály Téma: Pevnost, stabilita, síly Úroveň: 1. stupeň ZŠ Tematický celek: Jak se co dělá Věci a jejich původ (Suroviny a jejich zdroje) Předmět (obor): prvouka a přírodopis

Více

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace:

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: 1. na str. 3 požadujete: Volání a SMS mezi zaměstnanci zadavatele zdarma bez paušálního poplatku za tuto službu. Tento požadavek

Více

OPTIMÁLNÍ FILTRACE METALURGICKÝCH SIGNÁLŮ POMOCÍ INFORMAČNÍCH KRITÉRIÍ

OPTIMÁLNÍ FILTRACE METALURGICKÝCH SIGNÁLŮ POMOCÍ INFORMAČNÍCH KRITÉRIÍ OPTIMÁLNÍ FILTRACE METALURGICKÝCH SIGNÁLŮ POMOCÍ INFORMAČNÍCH KRITÉRIÍ Ja Morávka Třiecký ižeýrig, a.s. Abstract Příspěvek popisuje jede přístup k optimálí filtraci metalurgických sigálů pomocí růzých

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2661/108/15 o obvyklé ceně ideální 1/2 nemovité věci bytové jednotky č. 1238/13 včetně podílu 784/15632 na pozemku a společných částech domu v katastrálním území a obci Strakonice, okres

Více

Metodický pokyn k zařazení vzdělávací oblasti Výchova k volbě povolání do vzdělávacích programů pro základní vzdělávání čj.

Metodický pokyn k zařazení vzdělávací oblasti Výchova k volbě povolání do vzdělávacích programů pro základní vzdělávání čj. Metodický pokyn k zařazení vzdělávací oblasti Výchova k volbě povolání do vzdělávacích programů pro základní vzdělávání čj. 19485/2001-22 V Praze dne 2.7.2001 V současné dynamické době dochází k pohybu

Více

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK 21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK Pavel Rokos ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektrotechnologie Úvod Světelné zdroje jsou jedním

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2588/35/15 o obvyklé ceně nemovitých věcí pozemku p.č.st. 235 jehož součástí je stavba rodinného domu č.p. 149 a pozemku p.č. 1317/5 vše v katastrálním území Řetová a obci Řetová, okres

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

Lineární Regrese Hašovací Funkce

Lineární Regrese Hašovací Funkce Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Čtvrtletní výkaz o zaměstnancích a mzdových prostředcích v regionálním školství a škol v přímé působnosti MŠMT za 1. -.

Čtvrtletní výkaz o zaměstnancích a mzdových prostředcích v regionálním školství a škol v přímé působnosti MŠMT za 1. -. Škol (MŠMT) P 1-04 Čtvrtletní výkaz o zaměstnancích a mzdových prostředcích v regionálním školství a škol v přímé působnosti MŠMT za 1. -. čtvrtletí 2010 Pokyny a vysvětlivky pro vyplnění Do nadpisu výkazu

Více

ZPRÁVA O VÝSLEDKU PŘEZKOUMÁNÍ HOSPODAŘENÍ

ZPRÁVA O VÝSLEDKU PŘEZKOUMÁNÍ HOSPODAŘENÍ TEL: +420 602 157 517 E-MAIL: INFO@ADU.CZ WWW.ADU.CZ ZPRÁVA O VÝSLEDKU PŘEZKOUMÁNÍ HOSPODAŘENÍ podle zákona č. 93/2009 Sb., o auditorech a o změně některých zákonů, ve znění pozdějších předpisů, auditorského

Více

Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele

Využití pojistné matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele Medelova uiverzita v Brě Provozě ekoomická fakulta Využití pojisté matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele Bakalářská práce Vedoucí práce: Doc. Ig. Eva Vávrová Ph.D. Lucie Pečiková Bro 2012

Více

Základy zpracování obrazů

Základy zpracování obrazů Základy zpracování obrazů Martin Bruchanov BruXy bruxy@regnet.cz http://bruxy.regnet.cz 23. března 29 1 Jasové korekce........................................................... 1 1.1 Histogram........................................................

Více

Zákon o veřejných zakázkách

Zákon o veřejných zakázkách Zákon o veřejných zakázkách Zákon č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů (dále i zákon), je základním stavebním kamenem veřejného investování v České republice. Veřejní a

Více

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik

Více

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Marketing. Modul 3 Zásady marketingu

Marketing. Modul 3 Zásady marketingu Marketing Modul 3 Zásady marketingu Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován z Evropského

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY 3Masarykova uiverzita 6 P 0 0 rodov deck fakulta Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY Bro 2002 3c П Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 2002 ISBN 80-20-949-2

Více

Specialista pro vytvá řenívztahů Specialist for Creating Relations

Specialista pro vytvá řenívztahů Specialist for Creating Relations Specialista pro vytvá řenívztahů Specialist for Creating Relations Roman KOZEL If universities want to succeed on the market, they have to deal with higher assertivity their graduates. They need a specialist,

Více

Zadávací dokumentace dle ustanovení 44 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen zákon )

Zadávací dokumentace dle ustanovení 44 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen zákon ) Vyřizuje: Milena Pecnová Telefon: 267 994 541 Fax: 272 936 383 E-mail: milena.pecnova@sfzp.cz Zadávací dokumentace dle ustanovení 44 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen zákon ) Název

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým

Více

Programy SFRB využijte co nejvýhodněji státní úvěr na opravu vašeho bytového domu.

Programy SFRB využijte co nejvýhodněji státní úvěr na opravu vašeho bytového domu. Říjen 2013 Programy SFRB využijte co nejvýhodněji státní úvěr na opravu vašeho bytového domu. Z pohledu státního rozpočtu jsou programy SFRB charakteristické výrazným multiplikačním efektem a pro stavebnictví

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

OKO občanské kompetence občanům. registrační číslo :CZ.1.07/3.1.00/50.0009

OKO občanské kompetence občanům. registrační číslo :CZ.1.07/3.1.00/50.0009 OKO občanské kompetence občanům registrační číslo :CZ.1.07/3.1.00/50.0009 Finanční trh, finanční produkty Obsah workshopu co je to banka, druhy bank, druhy účtů, debetní vs. kreditní karta pojmy jako termínovaný

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14 ODBORNÝ POSUDEK č. 2381/21/14 o obvyklé ceně nemovité věci bytu č. 1765/6 a podílu 622/73998 na společných částech domu a pozemcích, v katastrálním území Svitavy předměstí a obci Svitavy, vše okres Svitavy

Více

Modul Řízení objednávek. www.money.cz

Modul Řízení objednávek. www.money.cz Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Leadership JudgementIndicator -LJI (Test stylůvedení)

Leadership JudgementIndicator -LJI (Test stylůvedení) Leadership JudgementIndicator -LJI (Test stylůvedení) Hogrefe Testcentrum, Praha 2012 Autoři: M. Lock, R. Wheeler Autořičeskéverze:R. Bahbouh, V. Havlůj(ed.), M. Konečný, H. Peterková, E. Rozehnalová LJI

Více

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu I. ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ 1.1 Soutěžní řád soutěží ČSOB v orientačním běhu (SŘ) stanovuje podmínky mistrovských a dlouhodobých soutěží v orientačním běhu na území

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE Fakulta provozně ekonomická Obor: Provoz a ekonomika Statistické aspekty terénních průzkumů Vedoucí diplomové práce: Ing. Pavla Hošková Vypracoval: Martin Šimek 2003

Více

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ 1. LNEÁNÍ APLKACE OPEAČNÍCH ZESLOVAČŮ 1.1 ÚVOD Cílem laboratorní úlohy je seznámit se se základními vlastnostmi a zapojeními operačních zesilovačů. Pro získání teoretických znalostí k úloze je možno doporučit

Více

METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ

METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ Regionální rada regionu soudržnosti Moravskoslezsko METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ verze 1.06 Evidence změn Verze Platnost od Předmět změny Strany č. 1.01 22. 10. 2007 Sestavování

Více

Úprava tabulek v MS Word. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí

Úprava tabulek v MS Word. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Úprava tabulek v MS Word Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Jestli-že chcete uspořádat informace do pravidelných řádků a

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

STANDARD 3. JEDNÁNÍ SE ZÁJEMCEM (ŽADATELEM) O SOCIÁLNÍ SLUŽBU

STANDARD 3. JEDNÁNÍ SE ZÁJEMCEM (ŽADATELEM) O SOCIÁLNÍ SLUŽBU STANDARD 3. JEDNÁNÍ SE ZÁJEMCEM (ŽADATELEM) O SOCIÁLNÍ SLUŽBU CÍL STANDARDU 1) Tento standard vychází ze zákona č. 108/2006 Sb., o sociálních službách (dále jen Zákon ) a z vyhlášky č. 505/2006 Sb., kterou

Více

Metodika pro učitele Optika SŠ

Metodika pro učitele Optika SŠ Metodika pro učitele Optika SŠ Základní charakteristika výukového programu: Popis: V šesti kapitolách se žáci seznámí se základními principy geometrické optiky, s optickými klamy a světelným spektrem.

Více

Sedláčková TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY

Sedláčková TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY ČÍSLO SADY III/2 AUTOR/KA Mgr. Ilona Sedláčková číselné označení DUM 1 NÁZEV Pádové otázky, určování pádů - PL DATUM OVĚŘENÍ DUM 20.12.2012 IV. TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY Pracovní list slouží k procvičení

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro čtvrtý ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro čtvrtý ročník dálkového studia -1- Kozultace z předmětu MATEMATIKA pro čtvrtý ročík dálkového studia 1) Základy procetového počtu ) Poslouposti a jejich využití ve fiačí matematice 3) Úlohy ekoomického charakteru 4) Úlohy jedoduchého

Více

Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny *

Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny * Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny * Název: Pohádkové počítání,sčítání a odčítání do 20-typ příkladů 10+4, 14-4, reedukační pracovní listy Autor: Mgr.

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI Předmě t STATISTICKÁ ANALÝ ZA JEDNOROZMĚ RNÝ CH DAT (ADSTAT) Ú stav experimentá lní biofarmacie, Hradec

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality. 15.3.2012 Tůmová

Národní informační středisko pro podporu kvality. 15.3.2012 Tůmová Národní informační středisko pro podporu kvality 1 SeminářČSJ Odborná skupina statistické metody 15.3.2012 Praha 2 Nejistoty měření v teorii a praxi Doc. Ing. Olga Tůmová, CSc. 3 O měření 1 Ve 20. století

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Poukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4.

Poukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4. MOJESODEXO.CZ Poukázky v obálkách Verze aplikace: 1.4.0 Aktualizováno: 22. 9. 2014 17:44 Strana 1 / 1 OBSAH DOKUMENTU 1. ÚVOD... 2 1.1. CO JSOU TO POUKÁZKY V OBÁLKÁCH?... 2 1.2. JAKÉ POUKÁZKY MOHOU BÝT

Více

INTELIGENTNÍ DŮM. Zdeněk Kolář, Viktor Daněk. Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 856/3, 110 00 Praha 1

INTELIGENTNÍ DŮM. Zdeněk Kolář, Viktor Daněk. Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 856/3, 110 00 Praha 1 Středoškolská technika 2013 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT INTELIGENTNÍ DŮM Zdeněk Kolář, Viktor Daněk Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 856/3, 110 00 Praha

Více

ZKUŠEBNÍ ŘÁD PRO ZKOUŠKY TERIÉRŮ A JEZEVČÍKŮ BARVÁŘSKÉ ZKOUŠKY (BZ)

ZKUŠEBNÍ ŘÁD PRO ZKOUŠKY TERIÉRŮ A JEZEVČÍKŮ BARVÁŘSKÉ ZKOUŠKY (BZ) ZKUŠEBNÍ ŘÁD PRO ZKOUŠKY TERIÉRŮ A JEZEVČÍKŮ BARVÁŘSKÉ ZKOUŠKY (BZ) BARVÁŘSKÉ ZKOUŠKY BZ Jsou zkouškami, jejichž absolvováním získá pes loveckou upotřebitelnost pro honitby s odstřelem spárkaté zvěře.

Více