FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE DIPLOMOVÁ PRÁCE Nástroj pro modální analýzu fraktálových patch antén Bc. Miloslav Čapek Vedoucí práce: Ing. Pavel Hazdra České Budějovice 2009

2

3 i Zadání Vytvořte SW nástroj pro generaci (pomocí IFS) a modální analýzu mikropáskových patch antén založených na fraktální geometrii. 1. Implementujte optimalizační algoritmus (např. na bázi PSO), který bude generovat IFS koláže s cílem nalézt struktury s minimální rezonanční frekvencí základního modu. Rezonanční frekvence a rozložení proudů stanovte pomocí dutinového modelu (např. s využitím výpočetního jádra COMSOL Multiphysics). Maximální rozměry koláže uvažujte konstantní tak, aby bylo možné porovnávat struktury vůči kanonickým tvarům (obdélník, kruh) a navzájem vůči sobě. 2. Na základě rozložení magnetických proudů na hraně antén implementujte výpočet vyzařovacího diagramu pro jednotlivé mody. 3. Vybranou strukturu z bodu 1) nasimulujte v některém full-wave simulátoru (např. CST-MWS) a porovnejte vlastnosti antény s dutinovým modelem (rezonanční frekvence, proudová distribuce).

4 ii Poděkování Rád bych poděkoval několika lidem, bez kterých by tato práce stěží kdy vznikla. Předně děkuji mému školiteli Pavlu Hazdrovi, nejen za přísun literatury a podkladů, tipů a rad, ale zejména za nenápadné a přesto jisté vedení celé práce. Dále bych rád poděkoval těm, kteří přispěli radou; jmenovitě: Petrovi Černému, Stanislavu Zvánovcovi, Aleši Němečkovi, Jaroslavu Tišerovi, Pavlu Tišnovskému a dalším. V neposlední řadě děkuji rodině, Janě a výrobcům japonských zelených čajů.

5 iii Prohlášení Tímto stvrzuji, že tato práce je mé vlastní dílo a že všechny použité zdroje jsou uvedeny v Literatuře (případně na datovém nosiči). Dále souhlasím s případným využitím mé práce pro nekomerční účely katedry elekromagnetického pole na FEL-ČVUT. V Českých Budějovicích dne

6 Abstrakt Diplomová práce shrnuje získané poznatky v oblasti fraktálních antén a optimalizace. V mnoha ohledech rozvádí závěry bakalářské práce. Text je tematicky rozdělen na několik částí, které reflektují na sebe navazující témata. Nejprve je věnována pozornost definici, generaci a zpracování IFS struktur. Jsou představeny postupy jak dynamicky vyhodnocovat obvod a obsah koláže v prostředí Matlab, věnujeme se i tzv. box-counting metodě. Pro vlastní modální řešení je využit dutinový model, výpočet provádí Comsol. Další pasáž reflektuje vývoj v oblasti optimalizace, je implementován a testován PSO algoritmus. Představen je nástroj na nastavení optimalizačních podmínek s cílem získat optimalizované IFS antény s ohledem na minimální rezonanční frekvenci. Exportovaná data z Comsolu využijeme pro výpočet vyzařovacího diagramu. Na závěr vybranou strukturu simulujeme v referenčním softwaru CST MWS. Naprostá většina aplikací je původní, jsou vytvářeny v prostředí Matlab s ohledem na modularitu a další rozvoj. iv Klíčová slova IFS, dutinový model, rezonanční frekvence, proudové rozložení, módy, optimalizace, PSO, vyzařovací diagram.

7 Abstract This thesis summarieses all obtained knowledge about fractal patch antenna and particle swarm optimization. All aspects of the bachelor thesis are expand in many ways, some new topic are shown too. The whole text is divided into separate chapters which contain particular topics. First we take care of definition, generation and manipulation of IFS fractal structures. There are introduced new approaches to fractal s circumference and area measure in Matlab environment. We attend to socalled box-counting method also. Further section contains cavity model characterization. Evaluation of this model provides Comsol Multiphysics. The PSO algorithm is chosen for optimization of patch antennas. The IFSLimiter, instrument for setup the conditions of optimization, is introduced. Radiation pattern is computed from obtained data. In the end, we choose the proper structure to simulate it in CST-MWS with a view to make a reference between Comsol and CST. Most of described applications have been developed in Matlab considering modularity and extensibility. v Keywords IFS, cavity model, resonant frequency, current distribution, modes, optimization, PSO, radiation pattern.

8 Předmluva Přírodní zákony: skryté, tajemné a fascinující. Jsou od nepaměti jedním z hlavních determinant lidské společnosti. Možná proto, možná pro přirozenou lidskou zvídavost, zcela jistě však s cílem ukojit vrozenou pohodlnost, je odkrývání těchto tajů hnací silou rozvoje lidstva. Stav poznání se však od dob Aristotela, Newtona, Maxwella, Einsteina a dalších v mnohém změnil. Vzpomeňme na Laplaceova démona; názor na řád a chaos se dynamicky vyvíjel a zajisté bude vyvíjet i dál. A právě oblast na pomezí je v současné době v hledáčku mnoha velikánů světové fyziky, chemie a teorie informace. Spadají sem dodnes nevyřešené problémy jako Navier-Stokesovy rovnice popisující proudění nebo Riemannova hypotéza spojující svět prvočísel (o kterých jsme se donedávna domnívali, že jsou výtvorem člověka), neuspořádané chaotické systémy, ale překvapivě zahrnující i řešení planárních rezonátorů. Do stejné kategorie můžeme zařadit fraktály a rojovou optimalizaci, která, ač s pevně daným algoritmem, generuje z krátkodobého pohledu nedeterministický pohyb agentů. Tak docházíme k poznatku, že nejefektivnější systémy jsou právě ty na pomezí striktně predikovatelného a pouze pravděpodobného 1. Dost možná i elementární principy antén a elektromagnetického pole (vlnění) spadají do této skupiny. Všechny tyto problémy zobecňují nové náhledy na čas, prostor, determinismus i klasickou mechaniku. Přitom naše neustálé zkoumání ovlivňuje postoje umění, filosofie, společenských věd, ekonomie... Věnujme proto zvýšenou pozornost této komplexitě a interdisciplinaritě, nebot, dost možná, žijeme na úsvitu nové revoluce ([7]). S veškerou pokorou si přeji, aby předložená práce, byt nepatrným dílem, přispěla do inventáře té nejdobrodružnější výpravy té, kterou Richard Feynman označil za obrovskou šachovou partii. vi Autor 1 Bezpečnostní služba, převážející peníze z banky, jezdící stále po stejné trase, by byla často vystavena přepadení; naopak při zcela náhodné jízdě by svou neefektivitou podlehla konkurenci. Pozn.: Obrázek na následující straně zobrazuje Juliovu množinu. Jedná se o fraktál, který získáme vyšetřením divergence rovnice z n+1 = z 2 n + c, kde z je komplexní a c je (též komplexní) konstanta.

9

10 Obsah 1 Úvod Koncepce Konspekt IFS fraktály Fraktál Generace IFS Metrika Pevný bod Kontraktivní zobrazení Banachova věta o pevném bodu Interpretace IFS Transformace Typy afinních transformací Způsoby uložení Míry a dimenze Topologická dimenze Vnější míra ɛ-pokrytí Hausdorffova míra Hölderova funkce s parametrem α Hausdorffova dimenze Mřížková dimenze Metoda box-counting IFS software Programovací techniky v Matlabu Úvod Switched board programming Strukturální programování OOP AntTool Generace IFS viii

11 OBSAH ix Export koláže Připojení ke Comsolu Náhrada IFSMakerem IFSMaker Nedostatky a možná vylepšení Numerické metody Mikropáskové patch antény Metoda momentů Dutinový model Metoda konečných prvků Teorie charakteristických modů EvalInFem Popis, syntaxe Geometrie Mesh, fyzika Zpracování výsledků Ošetření chyb, stabilita Výsledky Propojení s PSO Vyzařovací diagram Rozložení zdrojů Odvození potřebných vztahů Magnetické proudy Rekonstrukce patche, získání dat pro normálu Směr normály Využití hodnot NaN z Comsol gridu Povrchové elektrické proudy Simulace v CST Realizace EvalRadPattern Výpočet proudů Algoritmus GUI Optimalizace Rozbor výsledků PSO optimalizace PSO algoritmus Historie Princip PSO Omezení agentů Optimální parametry PSO

12 OBSAH x 7.3 Stretched PSO GSO algoritmus PSOptimizer Implementace PsoData formát Fitness funkce, testy Zpracování výsledků Spojení s EvalInFem Zrychlení metody IFSLimiter Struktura programu Testovací úloha Zadání úloh Úloha A Úloha B Úloha B Úloha C Úloha C Rozšířené možnosti IFSLimiteru Optimalizace a analýza FRC Závěr Přílohy Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Dodatek B: Simulace vybraných FRC Dodatek C: Přehled aplikací Dodatek D: Příkazy AntTool Dodatek E: Srovnání programů Dodatek F: Obsah DVD

13 Seznam obrázků 2.1 Sierpinského koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83]) Význam Hutchinsonova operátoru První tři iterace Sierpinského koberce, IFSMaker Význam koeficientů a, b, c, d, e, f Demonstrace ɛ-pokrytí, ɛ vlevo > ɛ vpravo K definici D h (F ): vlevo množina F, vpravo její D h Zjemnění mřížky pokrývající množinu F Směrnice box-counting dimenze K výpočtu mřížkové dimenze (fraktály FRC A a FRC B) Výpočet mřížkové dimenze Scierpinského trojúhelníka (FRC A) Výpočet mřížkové dimenze čtverce Struktura grafiky v Matlabu Příklad užití switched boad programmingu (AntTool1.3) Strukturální segment kódu (IFSLimiter) Užití objektů v IFSMakeru AntTool, screenshot hlavního okna AntTool: Zadání bodů a transformací AntTool: Zobrazení bodů a transformací AntTool: Řešič a výsledný fraktál IFSMaker: celý program IFSMaker: část UML schematu, MS Visio IFSMaker: Selection List IFSMaker: Ukázka modifikace IFSMaker: Připojení nodů do polygonu IFSMaker: Ukázka lazení transformací IFSMaker: Pracovní plocha, detail IFSMaker: Canvas options IFSMaker: Práce s polygony Mikropásková patch anténa Jednorozměrné bázové funkce (a-c) a jejich uplatnění (d) Hraniční podmínky pro řešení patche xi

14 SEZNAM OBRÁZKŮ xii 4.4 První 3 módy obdélníkového patche (nahoře: proudová hustota J, dole: elektrická intenzita E z ) Původní funkce (a) a její lineární aproximace (b) Triangularní, quadrilateralní sít a kvalita sítě (tmavá je nejlepší) Typické hodnoty charakteristického úhlu, zdroj: [85] EvalInFem (screenshot) Vypočtená koláž, mesh, dominantní mód a jeho proudové rozložení Nesmyslné řešení (vlevo) a dominantní mód struktury (vpravo) Příklad duplicitních módů Nadbytečné nody, jejich vznik a nepříjemné důsledky Lokalizované proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyšší módy Pokles frekvence s iterací, vybrané koláže Dominantní módy FRC struktur Proudy na struktuře FRC F podle TCM Průběh charakteristického úhlu pro FRC F (TCM) Proudové rozložení pro 1-3 mód koláže FRC F Postup výpočtu, ve shodě s [29] K odvození vyzařovacího diagramu Pole E z na hranici (vlevo) a nad celým patchem (vpravo) Stanovení normály na fraktální hranici K normále v Comsolu Stanovení normály pomocí NaN Povrchové proudy pro 3000 elementů, napravo rozložení E z Povrchové proudy, 4.mód, více elementů Zahrnutí nekonečné zemní roviny Vyzařování dipólu, délka λ 2, 3D diagram z CST MWS Vyzařování dipólu, délka λ 2, řezy CST MWS Vyzařování dipólu, délka 3 2λ, 3D diagram z CST MWS Vyzařování dipólu, délka 3 2λ, řezy CST MWS K obdélníkové metodě EvalRadPattern (screenshot) Složky F x a F y v kartézských souřadnicích VD velice úzkého patche Orientace diagramů, barvy korespondují s obr Princip PSO Typy zdí používané v PSO Optimalizace funkce Levy5 pro různá c 1 a c 2 (20 agentů, 150 iterací) Optimalizace funkce Levy5 pro různá c 1 a c 2 (20 agentů, 150 iterací) Počet agentů mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agentů, 150 iterací) Rozptyl agentů, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agentů, 150 iterací) 90

15 SEZNAM OBRÁZKŮ xiii 7.7 Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47] Princip GSO optimalizace, na základě [50] GUI PSOptimizeru Optimalizace kvadratické funkce v rozsahu x 2, Rosenbrockova funkce, s.s. 10, 10 10, 10 a cost funkce Konvergence ke skutečnému minimu Rosenbrockovy funkce Funkce Levy No.5, s.s. 10, 10 10, 10 a cost funkce Program PSOPost, vč. průběhu funkce Levy5 a agentů Pozice agentů pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s ) IFSLimiter Obrázek optimalizačních mezí pro testovací úlohu Zadání podmínky, vstup a výstup Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu A Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu B Úloha B3 v IFSLimiteru Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu C Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu C IFSLimiter: parametrický řešič Postup optimalizace Několik agentů optimalizace A Několik agentů optimalizace B Několik agentů optimalizace B Závislost rez. frekv. na iteraci před PSO a po PSO Parametrické srovnání Několik agentů optimalizace C Výsledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace) Pohyb agentů při úloze H2, začátek (vlevo) a závěr (vpravo) Fraktál FRC A v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC A inicializační objekt a transformace Fraktál FRC B v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC B inicializační objekt a transformace Fraktál FRC C v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC C inicializační objekt a transformace Fraktál FRC D v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC D inicializační objekt a transformace Fraktál FRC E v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC E inicializační objekt a transformace Fraktál FRC F v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC F inicializační objekt a transformace Fraktál FRC H v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC H inicializační objekt a transformace

16 SEZNAM OBRÁZKŮ xiv 12.15Fraktál FRC J v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC J inicializační objekt a transformace Fraktál FRC K v první, druhé a třetí iteraci Fraktál FRC K inicializační objekt a transformace VD pro 1. mód koláže FRC F (CST-MWS) VD pro 2. mód koláže FRC F (CST-MWS) Módy struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava) Módy struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava) Proudové rozložení dominantních modů Schéma celého projektu CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo) IFS editor z BP (dole) a DP (nahoře)

17 Seznam tabulek 2.1 Hodnoty topologické dimenze Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro některé přírodní útvary Výpočet dimenze programem boxcount Struktura souboru data.3dt Struktura souboru data.txt Možné chyby v EvalInFem Rezonanční frekvence vybraných koláží (prvních 5 iterací) Rez. frekvence pro FRC F v simulátorech CM, CST-MWS a TCM Shrnutí parametrů Success rate funkce Levy5 (se změnou iterace), 20 agentů Success rate funkce Levy5 (se změnou iterace), 45 agentů Success rate funkce Levy5 (podle počtu agentů), 150 agentů Success rate funkce Levy5 (podle počtu agentů), 50 iterací Principiální schéma PSOptimizeru Výsledky vybraných optimalizací Parametry koláže FRC A Parametry koláže FRC B Parametry koláže FRC C Parametry koláže FRC D Parametry koláže FRC E Parametry koláže FRC F Parametry koláže FRC H Parametry koláže FRC J Parametry koláže FRC K Přehled všech vyvinutých nástrojů Přehled1 dostupných příkazů programu AntTool (Matlab) Přehled2 dostupných příkazů programu AntTool (Comsol) xv

18 Seznam symbolů Symbol Veličina ɛ r relativní permitivita ɛ 0 permitivita vakua (= F m 1 ) µ r relativní permeabilita µ 0 permeabilita vakua (= 4π.10 7 Hm 1 ) D t topologická dimenze D h Hausdorffova dimenze D b mřížková dimenze ω afinní transformace, úhlová rychlost M S, M x, M y transformace změny měřítka P x, P y posun polygonu λ vlnová délka Γ modul činitele odrazu R Φ fáze činitele odrazu R tan δ ztrátový činitel dielektrika E vektor intenzity elektrického pole H vektor intenzity magnetického pole s 11 činitel odrazu j imaginární jednotka Q T činitel jakosti antény k n, λ n vlastní (n-té) číslo k vlnový vektor E z,n, ψ vlastní funkce c 0 rychlost světla ve vakuu P SV poměr stojatých vln BW šířka pásma antény (v % z pracovní frekvence) W t celková energie η účinnost M hustota magnetického proudu J hustota povrchových elektrických proudů A magnetický vektorový potenciál φ, F skalární elektrický potenciál Z, R, X impedance, realná a komplexní část G Greenova funkce α n charakteristický úhel N zářivý vektor f n, w n bázové funkce, testovací funkce N an Not a Number podle IEEE-745 (Matlab) F funkcionál L lineární operátor xvi

19 Seznam značek Operátor t =. gradψ ( ψ) diva ( A) rota ( A) m i=1 ni=0 dx u, v Význam Nabla operátor ( Laplaceův operátor; x ( 2 ) ψ gradient; â x x + â y ψ y + â z ψ z ( ) A divergence; x x + Ay y + Az z ( ( rotace; â Az x y ) ( Ay z + Ax ây z 2 y 2 ) ) ( Az Ay x + âz x obecné sjednocení (general consequence op.) suma od i = 0 do i = n blíží se zobrazení diferenciál x skalární součin parciální derivace vektorový součin současně ) ) Ax y Nadpis Funkce, cizojazyčný výraz Příkaz www odkaz Pohyb v menu aplikací Matematika Tlačítko Literatura xvii

20 SEZNAM TABULEK xviii Seznam zkratek FPA PDE CM GA PSO SPSO s.s. c.f. s.r. f.f. GSO ACO IFS TCM MoM FEM GUI OOP PMC PEC VD TM TE HUS Zkratky Fractal Patch Antenna Partial Differential Equation Cavity Model Genetic Algorithm Particle Swarm Optimization Stretched PSO solution space cost function success rate fitness function Genetic Swarm Optimization Ant Colony Optimization Iterated Function System Theory of Characteristic Modes Method of Moments Finite Element Method Graphical User Interface Object Oriented Programming Perfect Magnetic Conductor Perfect Electric Conductor Radiation Pattern (vyzařovací diagram) Transversal Magnetic Transversal Electric Harmonický ustálený stav

21 Kapitola 1 Úvod Neštípejte mne do prstu pohled te, kam ukazuje. 1.1 Koncepce Warren S. McCulloch Patche patří do oblasti dynamicky se rozvíjejících antén. Disponují mnoha přednostmi, mají pochopitelně i své neřesti. Mnoho z poznatků platných pro patchové antény, jmenujme metody simulace nebo optimalizační postupy, lze využít v oblastech jako jsou periodické struktury, selektivní povrchy a další. Využijemeli pro tvar zářiče fraktální geometrie, obdržíme další výhodné vlastnosti. Generace a simulace takových antén je však složitější a zdaleka ne všechny postupy jsou dostatečně prozkoumány. Tato práce také těží z trvajícího zájmu o optimalizaci čehokoliv, který je jen zřídka kdy systematický. Většina publikací se zpravidla zaměřuje na průzkum jedné, či více struktur se stejným charakteristickým rysem (patch se štěrbinou, vybraný typ fraktálu... ). Tento přístup mnohdy generuje zajímavé výsledky, nicméně velice obtížně odkrývá obecnější vlastnosti daného zářiče, což v případě fraktálního motivu platí dvojnásob. V této práci jsme si vytkli za úkol optimalizovat přímo fraktální parametry IFS (body základního objektu a transformace, které fraktál dláždí), tedy nikoliv geometrii, ale hodnoty, které tvar v pozadí formují. Abychom toto mohli uskutečnit, je potřeba důkladně porozumět mechanismům generace IFS i principům PSO optimalizace, musíme také zvolit dostatečně přesnou a efektivní simulační metodu. Využijeme schéma, které bylo úspěšně aplikováno v bakalářské práci (BP): pro návaznost pracujeme opět v Matlabu, výklad je zpracován v tematicky propojených blocích teorie a implementace daného problému. Dílčí výsledky jsou konzultovány na konci každé kapitoly, nicméně vlastní rozbor struktur je proveden až v samostatné kapitole. Velice důležitá je závěrečná část probírané téma je tak rozsáhlé, že ho tato práce nejen nevyčerpala, ale je oprávněné tvrdit že zatím pouze letmo prozkoumala. Pokrývá totiž prostor od fraktální geometrie, blízce sousedící s chaosem 1

22 Nástroj pro modální analýzu FPA 1.2. Konspekt a chaotickými vědami, přes numerické metody a relativně obtížnou diferenciální i algebraickou matematiku spojenou s elektromagnetismem a modálními metodami, až po ryze přírodní jevy rojové inteligence, jež musíme převést do strojového jazyka a vhodným způsobem naprogramovat. Mnoho desítek, ba stovek hodin zabrala i samotná příprava jednotlivých aplikací (AntTool, IFSMaker, IFSLimiter, EvalIn- Fem, PSOPtimizer a další). Tyto programy lze případně využít ve výuce na katedře elektromagnetického pole. Bohužel, pro vytvoření hlubších závěrů v oblasti IFS patch antén je nutné v této oblasti systematicky zkoumat jednotlivé motivy, na což DP nedává dostatečný prostor. Se závěrem této práce je tedy ponechána dostatečná paleta aplikací potřebných pro další výzkum, sami pak konstatujeme pouze některé partikulární výsledky. V případě některých pasáží (fraktální dimenze, box counting, OOP v Matlabu, SPSO) výrazně převažuje teorie. Autor tak činí vědomně a s ohledem na fakt, že o těchto tématech není v českém jazyce dostatek literatury. Nezúčastněný čtenář může takový text bez ztráty návaznosti přeskočit, přesto však doufáme, že nejeden ho ocení. 1.2 Konspekt Nyní se krátce věnujme obsahu diplomové práce (DP). Projekt jako celek navazuje tam, kde byla zakončena BP. Tomu odpovídá i teoretický základ. První kapitola je věnována fraktálům, přesněji fraktálům typu IFS. Na tento výklad navazuje představení programů AntTool a IFSMaker, které umožňují komplexnější operace s IFS fraktály a jejich návrh na zcela jiné úrovni, než tomu bylo v BP. Pozornost je věnována využité technice programování a nestandartnímu připojení Comsolu k Matlabu. Další část popisuje metody modálního řešení patchů. Opět volíme dutinový model, na rozdíl od BP však využíváme jádra programu Comsol, což vede k přesnějším výsledkům. Vytvořený solver popisuje kapitola 5. Mezi fundamentální charakteristiky antény patří vyzařovací diagram, jeho zobrazení a výpočet je diskutován v 6. kapitole. Tato část se do jisté míry kryje s obsahem Individuálního projektu, který autor zpracoval v předchozím semestru. Následuje teorie PSO optimalizace a představení vlastního optimalizátoru. Kapitola 9 popisuje software, který umožňuje nastavit jednotlivé podmínky. Bez tohoto programu je zadání složitější optimalizace takřka nemožné. 10. kapitola shrnuje výsledky simulace a optimalizace vybraných struktur. K dispozici je srovnání s referenčním simulátorem CST MWS. Závěrečná kapitola jmenuje nedostatky a nedodělky, vč. dalších možností rozvoje celého projektu. Krátce také shrnuje výsledky celé diplomové práce. Většina obsáhlejších obrázků je uvedena v dodatcích. Ty jsou uvedeny až za literaturou a rejstříkem důležitých termínů. 2

23 How long is the coast of Britain? Benoit B. Mandelbrot Kapitola 2 IFS fraktály V následující kapitole se budeme věnovat fraktálním motivům. Obecné informace o jednotlivých typech a možnostech uplatnění byly zmíněny v bakalářské práci ([69]). Zde se podrobněji zaměříme na vlastnosti IFS systémů a práci s nimy. Iterované systémy mohou v principu vznikat deterministicky nebo stochasticky 1. Pro exaktní popis IFS koláží a jejich vlastností, je potřeba znát mj. fraktální 2 dimenzi. Jejímu zavedení předchází definice pojmu IFS v následující části a rozbor jednotlivých afinních transformací v odstavci 2.3. Na závěr kapitoly se pokusíme tuto dimenzi s pomocí Matlabu vypočítat. 2.1 Fraktál Počátek IFS 3 je datován do roku 1985 [83], kdy S. Demko a M. F. Barnsley publikovali práce se zaměřením na tento typ fraktálů. Pro jakýkoliv fraktál musí platit: (1) Fraktál podle B. B. Mandelbrota v [5]: Fraktálem je každý objekt, jehož topologická dimenze se liší od dimenze fraktální (Hausdorffovy). 1 Oběma možnostem jsme věnovali pozornost v [69]. Zopakujme tedy pouze, že v případě stochastického přístupu jsou jednotlivým transformacím přiděleny pravděpodobnosti, s kterými se daná transformace při dláždění uplatní. U deterministického přístupu se každá transformace uplatní v každé iteraci. 2 Známá také jako Hausdorffova, případně Hausdorffova-Besicovitchova dimenze. Tato dimenze byla, jak je z názvu patrno, objevena Felixem Hausdorffem ( ) a Abramem Samoilovitchem Besicovitchem ( ), a to dlouho před definováním pojmu fraktál. Až později Benoit B. Mandelbrot (1924*) odvodil vztah mezi fraktální strukturou a Hausdorffovou dimenzí. 3 Z původního anglického Iterated Function System, tj. systém iterovaných funkcí. 3

24 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.1. Fraktál tedy: D t D h (2.1) (2) Matematická definice 4 v [4]: Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém; dělí se na soběpodobné a soběpříbuzné. Soběpodobné fraktály v detailech přesně kopírují celek. Jde o uměle vytvořené fraktály a patří sem tedy i IFS. Tyto množiny mají několik zajímavých vlastností: Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe sama při určité transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení... ). Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při libovolném zvětšení či zmenšení vypadají stejně (viz obrázky níže). Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe, resp. vzniká opakováním motivu. Podrobněji se těmito množinami budeme zabývat dále. Soběpříbuznost není tak striktní jako soběpodobnost, můžeme ji nalézt ve všech přírodních útvarech (duny, delty řek, kořeny stromů, kůra a další). Její vyjádření je komplikované a v kontextu deterministických IFS nepodstatné, více [3]. Jak ukážeme později, tyto Obrázek 2.1: Sierpinského koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83]) podmínky IFS koláže splňují. Důsledkem těchto vlastností je tzv. Richardsonův efekt 5. Budeme-li měřit obvod ne-fraktálního objektu, se zjemňujícím se měřidlem 4 Jde o ustálenou formuli, z pohledu matematického formalismu o definici nejde. 5 Richardson měřil obvod Korsiky a zjistil, že výsledek je závislý na délce tyče. 4

25 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.2. Generace IFS (pásmo, metr, milimetrový papír... ), blížíme se určité limitní hodnotě. U faktálů toto neplatí, délka neustále narůstá (v případě IFS pro nekonečně velkou iteraci zpravidla nade všechny meze). Tak se dostáváme k paradoxům, kdy např. na obr. 2.3 narůstá obvod do nekonečna a obsah objektu se blíží k nule, případně na obr. 2.1 vpravo roste obsah k nekonečnu ovšem objem jde k nule. Tyto vlastnosti se mohou v kontextu Euklidovské geometrie jevit jako zarážející a značně znepokojivé. Současně se však můžeme pokusit jich využít, tak jako v přírodě stromy, oblaka, pobřeží a řeky, vše má fraktální charakter a jistě ne pouze náhodnou. Sapoval například publikoval svou doměnku, že pobřeží má fraktální charakter (tedy maximální možnou délku) protože pak dokáže nejlépe utlumit narážející vlny. Planeta Země má zase teoreticky nekonečný povrch, ačkoliv z vesmíru se jeví jako koule (geoid). Další podrobnosti lze nalézt v [3], [4], [5] a [83]. V této práci se věnujeme pouze dvourozměrným motivům s cílem generovat na tomto základě patche. Existují nicméně i trojrozměřnné a vícerozměrné IFS, jeden z nich je na obr. 2.1 vpravo. V této podobě IFS fraktály v přírodě nenajdeme, lze říci, že v kontextu fraktální geometrie je IFS stejné zjednodušení, jako je Euklidovská geometrie v našem světě. Generaci IFS se budeme podrobněji věnovat v následující části Generace IFS Zopakujme, že deterministické IFS fraktály jsou striktně soběpodobné. Co přesně to znamená? Při libovolném přiblížení vidíme stále stejné tvary. Vycházíme tedy z transformací, které se podařilo formalizovat Hutchinsonovi. Definujme soběpodobnou množinu U na prostoru R n tak, že existuje konečně mnoho kontraktivních, příp. i afinních zobrazení (transformací): takových, aby platilo: w 1, w 2,..., w m : R n R n (2.2) U = m w i (U), (2.3) i=1 přitom pro libovolná i j obsahuje průnik w i (U) w j (U) (2.4) jen konečný počet prvků (nebo je prázdný). Na potenci R n je zobrazeními definován operátor m w(x) = w i (X), X R n (2.5) i=1 který se nazývá Hutchinsonův operátor. Operátor (2.5) objasňuje obr Nyní se znalostí principu dláždění podmnožin, si můžeme položit otázku, jak zajistit generaci IFS. Je potřeba zavést pojmy metriky, pevného bodu, pokrytí a vyjmenovat vhodné transformace w i. 5

26 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.2. Generace IFS Obrázek 2.2: Význam Hutchinsonova operátoru Metrika Metriku vyžadujeme i v části 2.4 v souvislosti s termínem diametr, uvádíme ji proto bez vynechávek. Metrika d měří vzdálenost mezi dvěma body, je to tedy nezáporné reálné číslo. Podmínky pro existenci metriky uved mě v prostoru R 2 pro zobrazení X: (1) d(x, y) 0, d(x, x) = 0 (2) d(x, y) = 0 x = y (3) d(x, y) = d(y, x) x, y, z X. (2.6) (4) d(x, y) x + y (5) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Podmínku (4) označujeme jako trojúhelníkovou nerovnost a v podm. (5) jako metrickou trojúhel. nerovnost. Platí-li (2.6), označuje (X, d) metrický prostor Pevný bod Pevný bod je řešením rovnice S(x p ) = x p, (2.7) kde S je transformací metrického prostoru S : X X v R n. Body x p vyhovující řešení označujeme jako pevné body, často také jako invariantní body zobrazení S. Takovým bodem je např. bod [0,0,0] pro funkce násobení v R 3. At ho násobíme čímkoliv (jakékoliv zobrazení S), vždy je mapován sám na sebe Kontraktivní zobrazení Podstatný požadavek pro existenci atraktoru (2.5) je konečný počet prvků průniku w i (U) w j (U). Tak je soubor všech možných transformací omezen pouze na kontrakce. V opačném případě by velikost množin X při velkých iteracích rostla nade všechny meze a průnik by obsahoval nekonečně mnoho bodů. Pro X metrický prostor s metrikou d, jsou pak zobrazení S : X X kontraktivní na množině A X, pokud existuje δ (0, 1) takové, že pro každá x, y A platí: d(s(x), S(y)) δd(x, y). (2.8) 6

27 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.2. Generace IFS Banachova věta o pevném bodu Platí tvrzení, že je-li (X, d) úplný metrický prostor a zobrazení S : X X je na celém X kontraktivní, potom existuje právě jeden pevný bod x p X zobrazení S. Toto tvrzení se nazývá Banachova věta 6, [3]. Určení pevného bodu je jednoduché a vychází z iterace předpisu: x n+1 = S(x n ), kde {x n } n=0 (2.9) za předpokladu libovolně zvoleného bodu x 0 X. Platí také popř. (každá kontrakce je spojitá) Pro odhad můžeme využít vztahu 7 : Interpretace IFS lim x n = x p, (2.10) n S lim n x n = Sx p. (2.11) d(x p, x n ) δn 1 δ d(x 0, x 1 ). (2.12) Z výše uvedeného vidíme, jakým způsobem je IFS generováno (Hutchisonůn operátor, rov. (2.5)) a jaké podmínky musíme splnit (kontrakce, pevný bod). Základní objekt (zadán body) je v každé iteraci transformován jedním nebo několika zobrazeními a vznikají tak nové podmnožiny. Tyto podmnožiny jsou rekurzivně využity pro dláždění další iterace. Princip zobrazuje obr První iterace vznikla díky 8 transformacím původního (čtvercového) objektu. Další iterace vznikají transformováním iterace předešlé. Díky kontrakci jsou velikosti transformovaných objektů vždy nanejvýše stejně velké jako vzor, velikost koláže tedy neroste 8. Základní objekt může být libovolného tvaru a nebudeme se jím více zabývat. Až v praktické části jsou uvedena omezení, která vycházejí s požadavků na patch antény. Transformací je několik základních typů, rovněž možností zápisu je více. Krátce se tedy o nich zmiňme. 6 Stefan Banach ( ). Důkaz se provádí zpravidla sporem snažíme se ukázat, že bodů existuje více, což se nám může podařit, ale pouze pro nekontraktivní zobrazení. 7 Pouze však pokud je S kontraktivní, tj. kvocient δ (0, 1). To zde mlčky předpokládáme, nebot pouze za této podmínky má Banachova věta smysl. Lze ukázat, že posloupnost je Cauchyovská, pak úpravou přes trojúhelníkovou nerovnost a součtem řady získáme (2.12), zde bez odvození. 8 Jak bude poukázáno později, v IFSMakeru existuje výjimka. Pro zvětšování koláže stačí zadat hodnoty posunu p x nebo p y tak velké, aby nový objekt vznikl mimo plochu předchozí iterace. 7

28 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.3. Transformace Obrázek 2.3: První tři iterace Sierpinského koberce, IFSMaker 2.3 Transformace Afinní transformace je definována vztahem: x(w) = AW + B (2.13) Tato rovnice může být dále rozepsána: ( ) ( x2 a11 a w : = 12 a 21 a 22 y 2 ) ( x1 y 1 ) ( b1 + b 2 ) (2.14) Jednotlivé koeficienty matice A se uplatňují při rotaci, zkosení a změně měřítka, koeficienty matice B při posunutí. Souřadnice x n a y n náleží iterovanému bodu. Výraz (2.14) lze upravit tak, aby celá transformace byla v jedné matici a kombinace transformací šla získat jejich násobením. Tak dostáváme matici 3 3 pro prostor R 3 : w : [x 2, y 2, 1] = [x 1, y 1, 1] a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 b 1 b 2 1. (2.15) Jednotlivé body jsou potom IFS algoritmem získávány na základě roznásobení matice (2.15) zdrojovým bodem: x 2 = x 1 a 11 + y 1 a 12 + t x, (2.16) y 2 = x 1 a 21 + y 1 a 22 + t y, (2.17) (1 = 0x 1 + 0y 1 + 1). (2.18) Poslední rovnice (2.18) není pro 2D zapotřebí. Diagonálně doplňuje matici (2.15) Typy afinních transformací Základní operace nad množinou jsou (seřazeny podle [72]): 8

29 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.3. Transformace Posun bodu o vzdálenost [p x, p y ] M trans1 = p x p y 0 (2.19) Změna měřítka M s M trans2 = M s M s (2.20) Horizontální změna měřítka M x M trans3 = M x (2.21) Vertikální změna měřítka M y M trans4 = M y (2.22) Horizontální zešikmení S x M trans5 = S x (2.23) Vertikální zešikmení S y M trans6 = 1 S y (2.24) Rotace kolem počátku o úhel α M trans7 = cos α sin α 0 sin α cos α (2.25) 9

30 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze Obrázek 2.4: Význam koeficientů a, b, c, d, e, f Způsoby uložení K dispozici jsou dva ekvivalentní zápisy koeficientů: ( ) a11 a 1. transformační (původní) matice 12 + a 21 a matice koeficientů [ a b c d e f ] ( b1 b 2 ) Vzájemný vztah mezi členy matic: a 11 = a, a 12 = b, a 21 = c, a 22 = d, b 1 = e a b 2 = f. Zatímco v BP byly matice zadávány pomocí prvního způsobu, v DP (AntTool i IFSMaker) je využita druhá metoda. Užití původního nezkráceného zápisu je výhodné při práci se samotnými transformacemi každá je složena z jedné nebo více elementárních operací, které jsou dekomponovány v čtvercových maticích. Druhá metoda pracuje s upraveným součinem všech operací a je vhodná pro kompaktní zápis, tedy i do generátorů IFS. V literaturě je pracováno většinou s maticí [a, b, c, d, e, f], učiníme taktéž. Význam jednotlivých parametrů objasňuje obr Míry a dimenze Hlubší studium fraktální geometrie je prakticky nemožné bez znalosti teorie míry a dimenze. Pomocí těchto termínů je fraktál definován, generován i měřen. Z fraktální míry lze odvodit fraktální (Hausdorffovu) dimenzi, jednu z nejdůležitějších dimenzí vůbec. Zavedení předchází výklad nezbytných termínů. 10

31 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze Topologická dimenze Topologická dimenze je jedním z údajů, který potřebujeme získat pro porovnání klasického hladkého útvaru a fraktálu. Tuto dimenzi dobře známe a intuitivně chápeme; nazýváme ji zpravidla mohutností prostoru, nebo také stupněm volnosti. Topologická dimenze nabývá hodnoty celého nezáporného čísla, nejčastěji {0, 1, 2, 3}, obecně však {0, 1, 2... }. Číslo nám říká, kolika směry je možné pohybovat po objektu s bodem, resp. kolika údaji se dá přesně popsat pozice bodu na/v útvaru. V případě jednoho bodu D t = 0, v případě spojité křivky D t = 1 a tak dále. To ovšem neznamená, že křivka s dimenzí jedna je zobrazována v jednorozměrném prostoru. Přehledněji to ukazuje tabulka: Hodnota D t Příklad úvaru Možnosti pohybu 0 bod Bez možného pohybu 1 křivka Pohyb po délce l 2 plocha Pohyb po ploše [x, y] 3 prostor Pohyb v prostoru [x, y, z] 4... Pohyb např. v hyperkomplexní rovině Tabulka 2.1: Hodnoty topologické dimenze Tato tabulka platí ovšem pouze pro hladké, euklidovské útvary. At měříme hladkou křivku v jakémkoliv měřítku, dostaneme vždy konečné číslo Vnější míra Míra µ lze definovat na systému M, který je σ-algebrou 9 podmnožin X. Míra µ je množinová funkce s následujícími vlastnostmi: (1) µ{ } = 0 (2) µ(a) µ(b) A B (3) A 1, A 2 jsou počitatelné (2.26) Potom platí: ( µ i=1 A i ) µ ( ) A i. (2.27) Tak jsme si zajistili možnost počítat velikost množin. Vnitřní míra lze definovat analogicky. Další nezbytná operace je pokrytí množiny. 9 Pro takový systém platí: i=1. (1) X M (2) pokud A M, pak A M, kde A = X\A je doplněk A X (3) pokud A = i=1 Ai pro Ai spočetné Ai M, pak A M 11

32 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze ɛ-pokrytí Definujme tedy ɛ-pokrytí, na rozdíl od obecného spočetného pokrytí F A i A A i, zde uvažujeme (maximální) velikost množin, jimiž pokrýváme, [84]. Musí platit: diamp ɛ (2.28) pro ɛ-pokrytí P, kde P P a ɛ je kladné (optimálně malé) reálné číslo. Tato formulace poskytuje základ pro mřížkovou dimenzi, uvedenou níže. Obrázek 2.5: Demonstrace ɛ-pokrytí, ɛ vlevo > ɛ vpravo Poznamenejme, že diam značí diametr(a), často značen A. Diametr popisuje velikost množiny, můžeme na jeho základě rozhodnout i o její ohraničenosti. Diametr množiny P je: diamp = sup { d(x, y) : x, y P }, (2.29) kde sup (resp. inf) značí supremum (resp. infimum), viz [21]. Např. pro n-rozměrnou krychly o straně a je diam roven a n. Diametr nám říká, jak rozměrný potřebujeme obal, abychom zabalili celou množinu Hausdorffova míra Předpokládejme neprázdnou podmnožinu X R n, jejíž diametr je definovám podle (2.29). Dále mějme množinu množin {U i }, která je počitatelná, pro i platí 0 diamu i ɛ a která pokrývá F. Pak tvrdíme, že {U i } je ɛ-pokrytí množiny F : H s ɛ(f ) = inf diam(u i ) s. (2.30) i=1 Budeme-li nyní ɛ postupně zmenšovat, bude klesat i počet množin, schopných pokrýt F. V limitě H s (F ) = lim H s ɛ 0 ɛ(f ). (2.31) Tato limita existuje pro jakoukoliv množinu F R n a nazýváme ji s-rozměrná Hausdorffova míra 10 množiny F. Její hodnota je často rovna 0 nebo. V kontextu generace IFS má Hausdorffova míra jednu příjemnou vlastnost je-li S afinní 10 Podle [34] a [35] lze dokázat, že pro takové H s, kde s D t odpovídá Hausdorffova míra Lebesqueově míře. Pro H 0 je rovna počtu bodů, pro H 1 délce křivky a tak dále. 12

33 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze transformace s měřítkem δ > 0 a X R n, pak: Hölderova funkce s parametrem α H s( S(F ) ) = δh s (F ). (2.32) Následující vztah (2.33) a jeho odvozeniny (2.34)-(2.35) formulují obecný tvar funkcí, s nimiž se ve fraktální geometrii setkáváme. Necht X R n a f : X Y je zobrazení. Potom, pokud pro jednu (nebo několik) konstant c > 0 existuje α > 0 tak, že: f(x) f(y) c x y α pro (x, y X), (2.33) můžeme (2.33) nazvat Hölderovou funkcí. Je-li α = 1: f(x) f(y) c x y pro (x, y X), (2.34) nazývá se funkce Lipschitzova. Podstatná je též funkce bi-lipschitzova, rozšiřující podmínku (2.34), tj. a kde 0 c 1 c 2. c 1 x y f(x) f(y) c 2 x y pro (x, y X) (2.35) Hausdorffova dimenze Z předchozího lze odvodit následující tvrzení. Necht F R n je borelovská množina 11 a platí nerovnost 0 < s < t, (s, t) R. Potom platí, že pro rostoucí s klesá H s (F ). A dále: (1) pokud je H s (F ) < pak H t (F ) = 0 (2) pokud je H t (F ) > 0 pak H s (2.36) (F ) = Příklad tohoto jevu uvedeme dále. Najdeme-li tedy číslo s takové, že H t = pro t < s a H t = 0 pro t > s, nazýváme s Hausdorffovou dimenzí D h, přesněji D h (F ) = inf { s 0 : H s (F ) = 0 } = sup { s 0 : H s (F ) = } (2.37) a H s (F ) nabývá hodnot: H s (F ) = { pokud 0 s Dh (F ) 0 pokud s > D h (F ) (2.38) Tento závěr je klíčový a vyžaduje plné pochopení. Demonstrujme ho na příkladu výpočtu rovinného útvaru F (např. čtverce) v R 3. Budeme sledovat závislost H s (F ) 11 Borelovská množina(borel set) v R n disponuje následujícími vlastnostmi: (a) jakákoliv uzavřená i otevřená množina je borelovská; (b) sjednocení konečného (nebo spočitatelného) počtu borelovských množin je opět borelovská množina, což platí i pro konečný (nebo spočitatelný) počet průniků b. množin. Poznamenejme, že v této práci jsou prakticky všechny množiny borelovské. 13

34 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze na s, tento průběh nakonec vykreslíme na obr Čtverec dosahuje nekonečné délky H 1 (F ) =, nebot se jedná o plochý útvar. Míra H 2 (F ) je rovna součinu ca 2, kde a je strana čtverce a c je konstanta. Tento součin je zjevně konečný, kladný a reálný. Objem, tj. H 3 (F ) takového útvaru je nulový. Pro hodnoty s (0, 2) je H s (F ) =, pro hodnoty s = (2, ) je H s (F ) = 0. Tzn. že D h (F ) = 2, v tomto případě se navíc D h (F ) = D t (F ), nebot čtverec patří mezi jednoduché euklidovské obrazce. Obrázek 2.6: K definici D h (F ): vlevo množina F, vpravo její D h Tato dimenze byla založena na dřívejší Carathéodoryho 12 konstrukci teorie měr. Hausdorffova dimenze je matematicky transparentní a definovatelná pro všechny množiny v R n. Její obecnost má však i své úskalí, a to její obtížný výpočet. To platí dokonce i pro odvozené numerické metody, která jsou navíc zpravidla omezeny jen na určitou skupinu množin. Mezi tyto metody patří i box-counting, který počítá mřížkovou dimenzi. Tu definujeme na základě fraktální dimenze s uvážením omezujících podmínek v části Následující tabulka dává představu o fraktální dimenzi některých přírodních útvarů, viz [3], [72] a jiné: Přírodní útvar Odhad D h Pobřeží 1.26 Povrch mozku člověka 2.76 Povrch neerodovaných skal Obvod 2D průmětu mraku 1.33 Tabulka 2.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro některé přírodní útvary. Vidíme, že hodnoty nejsou celočíselné. To ukazuje na objekty ne-euklidovské, fraktální geometrie. Chceme-li změřit míru složitosti těchto útvarů, využijeme rozdílu f = D h D t. Tato hodnota může limitně nabývat hodnoty f 1 13 a 12 Constantin Carathéodory ( ) 13 Platí pouze pro křivkový fraktál v ploše Sierpinského trojúhelník, Mandelbrotovu množinu aj. Pro fraktál v objemu by se limita mohla blížit dvěma. 14

35 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.4. Míry a dimenze platí, že s rostoucí hodnotou roste i úroveň členitosti objektu Mřížková dimenze Tato dimenze je jednou z nejvíce užívaných její výpočet je relativně jednoduše implementovatelný a rychlý. Je založena na měření s měřítkem δ, které se postupně zmenšuje k nule. Situace je podobná, jakou sledoval Richardson s měřením obvodu Korsiky. Nepravidelnosti menší, než je rozměr měřítka zanedbáváme. Procházíme postupně celou množinu (pobřeží) a počítáme, kolik délek δ (pásem, metrů, centimetrů) je potřeba pro její úplné pokrytí. Jak lze dokázat, pro velkou třídu (kam spadají i IFS) množin podává mřížková dimenze stejné výsledky jako Hausdorffova dimenze. Je-li F neprázdná ohraničená podmnožina R n a N δ (F ) je nejmenší počet množin s diametrem δ, které pokrývají množinu F, potom definujeme dolní a horní mřížkovou dimenzi množiny F následovně 14 ([34]): log N δ (F ) D b F = lim, (2.39) δ 0 log δ log N δ (F ) D b F = lim. (2.40) δ 0 log δ Pokud se D b F = D b F, mluvíme o mřížkové dimenzi (box-counting dimension): D b F = lim δ 0 log N δ (F ) log δ. (2.41) Kdyby byla množina prázdná nebo neohraničená, hrozí hodnoty log 0 příp. log ve jmenovateli. Tvar množin N i jejich rozměr δ je volitelný, ale pro naše účely je nejvhodnější pracovat s mřížkou postupně se zjemňujících čtverců se stranou δ. Takový systém je na obrázku 2.7. Obrázek 2.7: Zjemnění mřížky pokrývající množinu F Zároveň platí následující vztah mezi D b a D h pro F R n, [34]: D h (F ) D b (F ) D b (F ) (2.42) Pokusíme se ho dokázat na příkladu v části 2.5.Ve velké části případů se Hausdorffova a mřížková dimenze přímo rovná, nicméně je i skupina objektů, kde striktně platí uvedená nerovnost. 14 lim odpovídá lim sup a lim lim inf. 15

36 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.5. Metoda box-counting 2.5 Metoda box-counting Jak bylo uvedeno výše, jedná se o rychlou a pohodlnou metodu, jak vypočítat mřížkovou dimenzi. Zkoumaný objekt pokrýváme čtvercovou sítí a pro každý čtverec zjišt ujeme, zda v něm leží byt jakkoliv malá část koláže. Pokud ano, tento čtverec započítáme. Měřítko je vhodné v každém kroku zmenšit na polovinu. Na obr. 2.7 vidíme zleva doprava měřítka δ 1 = 1 7, δ 2 = 1 14 a δ 3 = Vypočteme-li počet obsazených čtverců, dostaneme se k číslům 16, 52 a 164 (zde je jich ve skutečnosti 174, pokud však vezmeme čistě jen plochu fraktálu bez tučně značených hran, několik čtverců zmizí). Mřížkovou dimenzi vypočteme ze směrnice log log grafu, jak bylo uvedeno dříve, a to následovně: D b (F sierp ) = log log log log 10 7 = (2.43) Jedná se o dosti nepřesný výsledek, Hausdorffova dimenze Sierpinského trojúhelníka je log 10 3 log Vysoká chyba je dána zejm. dvěma faktory. Tím prvním je fakt, že počítáme dimenzi pro 1.iteraci fraktálu; výhodnější je počítat pro 3. a vyšší iteraci. Druhým důvodem je nedostatečná jemnost měřidla δ. Pro uspokojivý výsledek by bylo vhodné alespoň dvakrát krok zjemnit, bohužel pak by bylo ruční počítání čtverců velice obtížné. Přesto nám vztah (2.43) ukazuje spolu s obr. 2.8, jakým způsobem se chová směrnice box-counting dimenze. Obrázek 2.8: Směrnice box-counting dimenze Pro výpočty mřížkových dimenzí v tomto projektu byl, do doby než implementujeme vlastní algoritmus, vybrán program boxcount, který lze stáhnout na komunitních stránkách [99]. Pochází z roku 2008 a autorem je F. Moisy. Bez nápovědy a částí pro 1D a 3D útvary obsahuje pouhých 70 řádek kódu, čehož je dosaženo důvtipným využitím logických funkcí v Matlabu. S drobnými úpravami lze využívat přímo výstupu IFSMakeru (popis programu viz část 3.3). Kroky výpočtu si ukažme opět pro příklad Scierpinského trojúhelníka: 1. Generace požadovaného IFS v IFSMakeru (lze i načíst) 16

37 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.5. Metoda box-counting 2. Zobrazit samotný fraktál jako výplň, viz obr. v dodatku Sejmeme obrazovku a uložíme samotný FRC bez GUI 4. Načíst do Matlabu pomocí funkce imread 5. Výplň fraktálu sjednotit na černou barvu 6. Výpočet dimenze pomocí boxcount 7. Přepočet směrnice, výsledek Bod 5 lze v případě exportu z IFSMakeru vynechat. Body 4-7 jsou zadávány ve formě příkazů, ty zobrazuje tabulka 2.3. c = imread( fractal.jpg ); c = (c<198); % imagesc( c); [n,r] = boxcount(c); df = -diff(log(n))./diff(log(r)); disp([ Fractal dimension, Df = num2str(mean(df(4:8)))... +/- num2str(std(df(4:8)))]); Tabulka 2.3: Výpočet dimenze programem boxcount Obrázek 2.9: K výpočtu mřížkové dimenze (fraktály FRC A a FRC B) Nyní můžeme srovnat výsledky ručního výpočtu i programu boxcount se skutečnou hodnotou dimenze. Pro fraktál 2. iterace vychází D b = ± a pro fraktál 3. iterace D b = ± , vzory jsou na obr. 2.9 vlevo. Již pro 3. iteraci se výsledek blíží skutečnosti, přičemž i výsledek 2. iterace je v toleranci. Pokud stejný mechanismus aplikujeme na FRC B 3. iterace (viz obr. 2.9 vpravo, příp vpravo), dostaneme: D b = ± To odpovídá naší intuici FRC A vyplňuje plochu méně efektivně než FRC B. Na obr je zobrazen průběh výpočtu vlevo trend snižování měřítka δ se zvyšujícím se počtem čtverců pokrytí N, pravo potom hodnota mřížkové dimenze v každém kroku výpočtu. Z těchto dat je vypočten logaritmický průběh podstatný pro výpočet směrnice. 17

38 Nástroj pro modální analýzu FPA 2.5. Metoda box-counting Obrázek 2.10: Výpočet mřížkové dimenze Scierpinského trojúhelníka (FRC A) Pro kontrolu byla vypočítána i hodnota mřížkové dimenze čtverce (zde se D h = D t = 2 a mělo by se i D h = D b ). Výsledek D b = ± vychází v toleranci a je velice blízký hodnotě D t = 2. Na obr vidíme, že dimenze je téměř stále rovna dvěma. Obrázek 2.11: Výpočet mřížkové dimenze čtverce Hodnota mřížkové, potažmo Hausdorffovy dimenze je významným ukazatelem složitosti planárního útvaru. Jejím odvozením a zavedením metody výpočtu jsme se přiblížili možnosti klasifikovat některé parametry IFS patch antén s ohledem na hodnotu mřížkové dimenze. Můžeme si též položit otázku, zda míra křivosti hranice patche nemá vliv na distribuci nebo velikost jednotlivých modů. V budoucnu bude možné optimalizovat IFS strukturu tak, aby její fraktální dimenze vyhovovala zadanému číslu. 18

39 Kapitola 3 IFS software Tato kapitola má za úkol seznámit čtenáře zejména s praktickým návrhem IFS struktur a představit programy AntTool a IFSMaker. Ještě předtím se krátce věnujeme vlastnostem Matlabu a možným přístupům k programování. Tak vyniknou rozdíly mezi oběma nástroji a připravíme si půdu na představení modálního řešiče, PSO optimalizátoru a IFSLimiteru. 3.1 Programovací techniky v Matlabu Úvod Prostředí Matlab (MAtrix LABoratory) vytvořil r Cleve Moler. Roku 1984 byl Matlab přepsán z Fortranu do jazyka C a byla založena společnost The MathWorks ([99]), ta pracuje na nových verzích dodnes (nejnověji R2009a). Matlab se od svého vzniku vyvinul v komplexní, uživatelsky příjemný a po programové stránce komfortní balík, obsahující stovky implementovaných funkcí. Jejich výhoda je, že v případě potřeby můžeme takové funkce prohlížet, případně kopírovat, přepisovat a podobně 1. Vlastnosti Narozdíl od Javy, případně C++ nemáme k dispozici vlákna, omezené jsou možnosti hardwarových naslouchačů (např. oddělení pravého kliku myši od levého) a rychlost aplikací je zpomalena o režii vlastního Matlabu. Matlab jako takový rovněž nelze považovat za plnohodnotný programovací jazyk (i když syntax má vlastní), nebot dokončené programy stále potřebují k běhu Matlab. Toto do jisté míry řeší Matlab Compiler [20], přesto však musíme mít stále nainstalovaný podpůrný program, nemluvě o úskalích převodu větších projektů (donedávna nesměla mít kompilovaná aplikace GUI apod.). 1 Uvedené operace platí pro všechny funkce s výjimkou tzv. Built-in funkcí. Náhled na funkci je možný pomocí příkazu edit jmeno funkce. Popisem nejdůležitějších funkcí se zabývá [17]. 19

40 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.1. Programovací techniky v Matlabu Mluvíme-li o negativech, nesmí chybět pozitiva. Je jich mnoho. Toolboxy, kvalitní editor s M-Lintem, rozsáhlý help s příklady a demy, uživatelská podpora, komunitní weby, možnost propojení s Excelem, Comsolem, C++, Javou, Maplem, aplikace profiler pro lazení skriptů a funkcí, velice rychlé jádro založené na práci s maticemi. Mezi další výhody, které ocení zkušený uživatel, patří objektové programování, distribuované výpočty, podpora handle funkcí, polí a struktur, pohodlná správa a export dat. Můžeme integrovat funkce z jazyka C a Javy, zakládat vlastní (com) server... Grafika Práce s grafikou je nedílnou součástí Matlabu. K dispozici máme celé rodiny 2D a 3D grafů, obrázků, sítí. Můžeme pracovat s animacemi, renderovat (OpenGL), stínovat, nasvěcovat. Hierarchie grafických objektů je zobrazena na obr Při tvorbě složitější aplikace, jako je IFSMaker se bez znalosti jednotlivých závislostí neobejdeme. Obrázek 3.1: Struktura grafiky v Matlabu Všechny prvky, at již elementární plot, line, text, nebo nadřazené axes a figure, mají mnoho vlastností, ke kterým můžeme přistupovat pomocí funkce get. Měnit existující parametry lze pomocí funkce set. Abychom mohli přistupovat k dané instanci (objektu), je potřeba mít uloženou její referenci, v Matlabu je označovaná jako handle. Pokud handle není přístupný, lze ho najít pomocí jiných vlastností objektu 2. Některé grafické prvky však (velice zřídka) handle vůbec nemají. Je vhodné se zmínit i o tzv. callback funkcích, nebot právě ty zprostředkovávají odezvu všech aktivních prvků. Klikneme-li na tlačítko, jedná se o událost, o určitý typ callback funkce. Pokud máme tuto funkci definovanou, je provedena ihned po aktivaci daného tlačítka. Tak lze řídit i pohyb myši, případně naslouchání jednotlivých kláves a tlačítek. Callback funkcí je mnoho typů a nebudeme se jim zde podrobněji věnovat. Jsou popsány v [9] na str až Obvykle využíváme vlastností tag, userdata a name. Toto hledání, realizované pomocí funkce findobj je nepoměrně pomalejší než přístup přes handle. 20

41 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.1. Programovací techniky v Matlabu Typy proměnných V Matlabu, stejně jako ve většině ostatních programovacích jazyků, jsou definovány datové typy. Ty slouží k označení proměnné a umožňují efektivní alokaci paměti. Všechny typy mají charakter objektů a jsou tedy nad nimi definovány určité operace (více v části 3.1.4). Matlab provádí deklaraci typu sám podle dat, která vložil uživatel. Jsou však výjimečné případy, kdy se tato znalost hodí i v Matlabu 3. Základní datové typy (třídy) jsou: double (8B) char (2B) logical (1B) struct (> 100B) cell (> 100B) vlastní třídy (OOP) Více lze nalézt v helpu a odborné literatuře. Bez ohledu na daný typ jsou všechna data uvnitř Matlabu interpretována jako matice, nebot Matlab pracuje jen s nimi (maticový zápis je vždy nejrychlejší). OOP přístup OOP (Object-Oriented Programming) je v Matlabu relativně novou 4 technikou programování 5. Základní myšlenky jsou společné s ostatními vyššími programovacími jazyky, realizace některých prvků je však v Matlabu netypická. Například propojení komplexnějšího GUI s faktickým jádrem programu je dosti obtížné, zajímavé je využití událostí (Events) a naslouchačů (Listeners), [19]. Vícenásobnou dědičnost (jako v C++) a absenci interfejsů 6 (Java) lze hodnotit spíše pozitivně. Skripty, funkce Nejjednodušší využití Matlabu je z příkazové řádky (též prompt, značka ), tento způsob je efektivní pouze pro jednoduché matematické operace, pro spouštění 3 Uved me alokace polí, rozsáhlé matice, velký počet logických operací a další. Například pro matici znamená užití typu logical namísto typu double, pokud to úloha umožňuje, úsporu 700MB v operační paměti. Proto při pozdější práci s NaN poli ihned měníme matici na logical a NaN pole mažeme. 4 Až od verze R2008a (7.6.0). 5 Byly zde pokusy implementovat OOP do Matlabu již dříve. Nejlépe se tohoto úkolu zhostil zřejmě Andy H. Register v knize [18]. Jeho paradigma však vyžadovalo pokročilou znalost objektového programování např. z C++. 6 Interfejsy lze nahradit pomocí abstraktních tříd. 21

42 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.1. Programovací techniky v Matlabu vlastních programů, nebo modulů Matlabu (editor, profiler, help,... ). Více je uvedeno v [16]. Ve všech ostatních případech pracujeme v editoru, kde vytváříme skripty nebo funkce. Ten lze otevřít příkazem edit. Skript obsahuje posloupnost příkazů, které jsou po spuštění provedeny. Nevrací žádné výsledky zpět do prostoru volající funkce (caller workspace), nicméně může vypsat / vykreslit výsledky a všechny proměnné zůstanou v základním pracovním prostoru (base workspace). Skript je stále velice primitivní formou programování, nebot pouze provádí sérii příkazů, bez další návaznosti nebo proměnných parametrů. Funkce musí mít hlavičku, která definuje vstupní a výstupní parametry a jméno. Definice parametrů není povinná. Rovněž lze využívat proměnný počet parametrů s pomocí varargin a varargout. Klíčové slovo end na konci funkce je vyžadováno pouze při práci se zanořenými funkcemi (nested functions), případně s více funkcemi v jednom mfilu. Nemusíme zadávat všechny vstupní (pokud nejsou potřeba) nebo požadovat všechny výstupní parametry. Až při práci s funkcemi lze plně docenit všechny možnosti Matlabu oproti ostatním matematickým balíkům (Matematika, Maple, Derive). Pro účely dalšího výkladu nyní jmenujme trojici autorem nejčastěji využívaných programovacích technik Switched board programming Následující postup tvorby m-filů je dosti atypický a je vhodný zejm. pro funkce obsahující grafické prvky. Využívá schopnosti funkce volat sebe samu s různým počtem parametrů. Program větvíme příkazy switch a case nebo analogicky if a else (elseif ) 7. Obrázek 3.2: Příklad užití switched boad programmingu (AntTool1.3) Obrázek 3.2 zobrazuje hlavičku takto napsané funkce. Ihned po vstupu je funkce 7 Zde je volba mezi switch-case a if-else nepodstatná, ve většině případů je však vhodné zvolit správné příkazy, ačkoliv provedou totéž. Pro logické a matematické podmínky volíme if-else, pro výběr možnosti z dlouhého výčtu, při práci s řetězci string a podobně volíme switch-case formu. 22

43 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.1. Programovací techniky v Matlabu členěna, a to but podle hodnoty prvního vstupního parametru, nebo, později, podle počtu parametrů. Volání bez parametrů, nebo s jedním vstupním parametrem (init a podobně) zpravidla inicializuje funkci, tj. vykreslí GUI, definuje callback funkce a nastaví jeho prvky. Závěr takové pasáže může obsahovat opětovné volání stejné funkce (ale s jinými parametry). Častěji však nyní čekáme na vstup od uživatele a na aktivaci GUI, která skrze callback funkce provádí rekurzi, avšak nově např. s parametry z GUIe. Detaily lze nalézt v [2]. Tato metoda je vhodná pro programátorské začátečníky. Nevyžaduje nutnost propojovat a koncipovat velký počet funkcí. Její užití je však omezené (zejm. benevolencí Matlabu, kterou u jiných jazyků nenajdeme) a po bližším seznámení je vhodnější přechod k plně strukturálnímu programování. Pochopitelně tato technika podává nejlepší výsledky v kombinaci s dalšími at již strukturálními, či objektovými segmenty kódu. Na druhou stranu, i v případě komplikovaných projektů založených na OOP se občas vyskytují funkce, které samy sebe opakovaně volají s různým počtem parametrů Strukturální programování Idea je velice jednoduchá. Celkový problém dělíme (tzv. atomizace) na dílčí, dále nedělitelné části. Z těchto částí programujeme funkce, které svým vzájemným voláním vytvářejí původní celek. V principu je nepřípustné využití skoků (např. goto); výhodou je, že tyto skoky Matlab vůbec nepodporuje. Do určité rozlohy pro- Obrázek 3.3: Strukturální segment kódu (IFSLimiter) jektu je strukturální programování názorné a nenáročné. V Matlabu můžeme využít 23

44 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.1. Programovací techniky v Matlabu nested funkce pro další zjednodušení. Strukturální přístup však trpí hned několika neduhy. Nedostatkem je oddělení dat a algoritmů. To se muže jevit jako výhoda pro malé programy, v projektu o 100 funkcích je ovšem přidání další funkce strastiplná událost neobsahuje část kompetencí nové funkce již jiná starší (duplicity), kdo a s jakými daty bude smět tuto funkci volat (autorizace), nemění mi tato funkce uložená data nežádoucím způsobem? Problém je také absence vyšších datových struktur s omezeným vstupem, které jsou pro větší aplikace nezbytností. Hrozí totiž, že nepodstatná funkce nastavující barvu pozadí změní ve stejném poli např. hodnoty IFS transformací. Dohledání podobné chyby je též problematické. Všechny jmenované nedostatky odstraňuje objektové paradigma OOP Objektové paradigma se inspiruje světem okolo nás. Označme jisté dveře za objekt, jejich otevření je potom metodou. Dřevěné i laminátové dveře patří do stejné kategorie třídy, totiž do třídy dveří. Další metodou může být třeba zavření nebo zamčení. Zatímco otevření i zavření dveří je podobné i u třídy oken (jedná se o polymorfismus), zamčení je metoda přístupná obvykle pouze dveřím. Přestože objektové myšlení je lidem vlastní, vyložení a implementace objektového paradigmatu je poměrně obtížné. Zavedení jednotlivých pojmů je podrobně zpracováno v literatuře a platí i v Matlabu, drobné změny jsou dostatečně popsány v [19]. Obrázek 3.4: Užití objektů v IFSMakeru Při studiu OOP se vždy setkáme s trojicí pojmů, které OO přístup charakterizují. Jsou to: 24

45 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.2. AntTool zapouzdření (na objekt se díváme jako na černou skříňku s definovaným přístupem) polymorfismus (jedna metoda lze využít pro více různých tříd otevření okna i dveří) dědičnost (třída je potomkem, podmnožinou jiné: psi < čtyřnohá zvířata < zvířata) Těmito vlastnostmi disponuje i OO programování v Matlabu. Dědit lze vícenásobně, čehož s výhodou využíváme. Lze dědit i od vnitřních tříd Matlabu, např. < handle, < double atd. Pro přístup k zapouzdřeným datům vytváříme funkce get a set, ty navíc musí spolupracovat s callback funkcemi editace tabulek, myši, klávesnice a menu. Tak lze omezit viditelnost citlivých dat zvenčí. O změnách dat musí být informováno jádro programu, které udržuje všechna (navazující) data aktuální. Návrh objektově orientovaných programů je pro začátečníka ze všech uvedených metod ten nejobtížnější a vyžaduje jistý cvik (zejm. správnou metodiku uvažování) a zkušenosti. 3.2 AntTool Základ programu je odvozen od předchozího nástroje, který byl předložen v BP. Snaží se odstranit nedostatky předchozího návrhu IFS, zejm. těžkopádnost a zdlouhavou generaci. Také již nativně pracuje s maticí transformací ve tvaru [a b c d e f], lze tedy vzory volně přejímat z literatury. Rozšířeny byly možnosti exportu, ukládání a načítání koláže. Nově program obsahuje konzoly, pomocí níž lze řídit generaci příkazy 8. Jednotlivé příkazy jsou uvedeny v Dodatku Tak lze spustit dávku, která je provedena automaticky. Tento postup vyžadoval návrh vlastního tokenizeru a interpreteru, o kterých se zde (jde spíše o programování) více nezmiňujeme. Obě funkce byly využity i později při návrhu IFSMakeru. Obrázek 3.5: AntTool, screenshot hlavního okna 8 Defaultní verze AntToolu obsahuje jeden skriptovaný soubor jako vzor, nalézt lze ve složce B program source. 25

46 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.2. AntTool Generace IFS Zadávání bodů Zadanými body je definován výchozí objekt, odpovídající okna AntTool ukazuje obr. 3.6 nahoře a 3.7 vlevo. K definici plošného útvaru jsou potřeba nejméně tři body. Body lze v případě potřeby uložit i načíst z připravených souborů. Lze vytvořit i vlastní txt soubory, musí však respektovat daný formát (viz vzory přiložené v programu). Obrázek 3.6: AntTool: Zadání bodů a transformací Zadávání transformací Vkládáme transformace, pro generaci IFS však nejméně jednu. Pro kontrolu lze všechny transformace vykreslit (dlážděn však není zadaný objekt, ale obecný čtverec). Více na obr. 3.6 dole 3.7 vpravo. Výpočet a zobrazení IFS Po zadání bodů a transformací můžeme otevřít vlastní řešič, obr. 3.8 vlevo. Je potřeba nastavit počet iterací, poté již lze spustit výpočet. Generace probíhá podle vztahů odvozených v minulé kapitole. Po jejím dokončení se můžeme na strukturu podívat (můžeme zadat meze iterací, které se mají zobrazit), případně ji exportovat jako souřadnici bodů (.txt), ve formátu IE3D (.3dt) nebo jako objekt fem pro další analýzu v Comsol Multiphysics (viz další kapitoly). Vzorová koláž je na obr. 3.8 vpravo. 26

47 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.2. AntTool Obrázek 3.7: AntTool: Zobrazení bodů a transformací Vlastní vykreslení fraktálu lze uložit jako animaci, lze uložit i vykreslenou koláž jako bitmapu (bmp). Aktuální proměnné z výpočtů IFS (cell), geometrie (fem) a meshe jsou ukládány do základního pracovního prostoru Matlabu (přístupný z promptu) Export koláže Program nabízí dva možné formáty výsledného souboru. První má příponou txt (tabulka 3.1), druhý příponou 3dt (tabulka 3.2). Oba soubory lze nalézt v adresáři program output IFS generátoru. Za úpravu ukládaných souborů je zodpovědná funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bez problémů modifikovat dle potřeby. V tab. 3.1 označuje Σ počet bodů (v polygonu), α 1,2 souřadnice bodu x, POLY Σ α 1 α 2 0 β 1 β 2 0 γ 1 γ 2 0 POLY Σ. Tabulka 3.1: Struktura souboru data.3dt. β 1,2 bodu y a γ 1,2 bodu z v polygonu. Formát je použitelný např. pro export do Excelu. V tab. 3.2 X označuje pořadové číslo polygonu, α 1,2 souřadnice bodu x, β 1,2 bodu y a γ 1,2 souřadnice z v polygonu X. Tento soubor lze načíst do IE3D k následné simulaci. 27

48 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.2. AntTool PolyX : α 1 α 2 0 β 1 β 2 0 γ 1 γ 2 0 Poly(X + 1) :. Obrázek 3.8: AntTool: Řešič a výsledný fraktál Připojení ke Comsolu Tabulka 3.2: Struktura souboru data.txt. Pokud chceme navržený patch analyzovat pomocí dutinového modelu, je nutné propojení s Comsolem. Toto propopojení lze realizovat přímo spuštěním pomocí Comsol with Matlab, případně lze využít opačného postupu, který byl vyvinut právě pro AntTool. V případě první možnosti je totiž nutno právě otevřený Matlab uzavřít a počkat na spuštění nového Matlabu. V něm znovu najít cestu k programu a ten spustit. Opačný přístup, tedy připojení Comsolu k Matlabu není na jeden klik možný, nebot je potřeba incializovat Comsol server a poté spustit Matlab, do kterého jsou přidány cesty (addpath) ke Comsolu. Přesto lze realizovat funkci, která z Matlabovského GUIe připojí Comsol. Je potřeba mít správně nastavené cesty k souborům comsol.exe a matlab.bat. Pro připojení Comsolu jsou využívány soubory matlabrc.m a startup.m. Matlabrc obsahuje každá instalace Matlabu a je potřeba pro lokalizaci akresáře, kam se uloží startup (vždy se jedná o stejný adresář). Pokud uživatel soubor startup aktivně využívá pro start své instalace Matlabu (umožňuje to modifikovat start Matlabu), bude tento soubor smazán. Dávkový soubor, který se vytvoří na disku 28

49 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker (start fem.bat) bude po zdárném startu Matlabu s Comsolem smazán. Stejně tak startup.m. Tento postup je funkční až do verze Matlabu (R2007a) a Comsolu 3.4. Pro vyšší verze takto spojení navázat nelze, nebo je nestabilní a přerušované. Připojení pracuje díky dávkovému souboru start fem.bat (vytváříme ho z Matlabu automaticky AntToolem), který po samovolném ukončení Matlabu spustí sám Comsolem nastavený server, zároveň s tím byly uloženy do souboru startup příkazy pro opětovné spuštění programu AntTool (tj. nalezení cesty a spuštění). Další část kódu v startup čistí vytvořené pomocné soubory. Celá problematika je poměrně komplikovaná a vyžaduje znalost systémových příkazů, funkci Comsol serveru a spouštění Matlabu. Získáme však kontinuitu ve zpracování příkazů i přes nutnost připojit ručně Comsol Náhrada IFSMakerem AntTool měl původně obsahovat moduly pro IFS, CM, PSO i postprocessing. Postupné rozšiřování se však ukázalo být komplikované. Pro některé úkony je stále platným pomocníkem (vzory kódu, rychlá generace, schopnost pracovat automaticky a narozdíl od IFSMakeru bez omezení iterace), v poslední době však převažují spíše nevýhody (není tak komplexní, stále jsou omezené možnosti exportu a importu, nepodporuje formát FRC, o němž se dále zmíníme a který je nezbytný v případě využití rojové optimalizace). Většina nedostatků vychází z jednoduší metody programování a špatné volby koncepce integrace příliš mnoha modulů není zatím v Matlabu lehce zvládnutelná (o čemž vypovídají i izolovaně řešené toolboxy). Ant- Tool byl nahrazen novějším IFSMakerem (IFS) a EvalInFem (CM). 3.3 IFSMaker Z důvodů uvedených výše, byl po nastudování OOP v Matlabu vytvořen IFSMaker. Současný stav odpovídá cca. 70% hotové práce. Celý kód je napsán v Matlabu, je otevřený a dále rozšiřitelný. Popis Program umožňuje interaktivně pracovat s IFS, dále pak s polygony, které lze odečítat i sjednocovat. Zatímco IFS jsou uloženy ve formátu FRC, polygony doposud pevný formát nemají a ukládáme je do proměnné typu cell. Jednotlivé útvary můžeme načítat, případně ukládat a exportovat přímo do Matlabu. IFSMaker podporuje typy txt, 3dt a FRC, v budoucnu pak i typy fem, geom a polygons. Uživatelským komfortem jsme se snažili přiblížit komerčním programům grafické prvky lze vybírat rámečkem myši (windows), společně s klávesou SHIFT přidávat, s CTRL ubírat. Rozměry plátna i gridu lze přednastavit do slotů. Ty vyvoláme ikonou (viz video tutoriál na DVD odevzdaném s touto prací) příp. klávesami 1-4. K dispozici je grid podobný jako v programu CorelDraw. Ten lze 29

50 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker Obrázek 3.9: IFSMaker: celý program využít na konstrukci bodů, pomoc. čar (není dokončeno), pro měření vzdáleností apod. Přiblížení lze realizovat kolečkem myši nebo klávesami +/- (lze navíc nastavit velikost přírustku; defaultně nastavena o jedno políčko gridu). Posun po canvasu provádíme šipkami (krok nastavitelný). Pozice kursoru se vypisuje v pravém horním rohu. Pod tím se zobrazuje aktivovaný snap režim, včetně souvisejících informací (k čemu je kursor přichycen). V pravém dolním rohu je drobná konzole, určená pro komunikaci směrem k uživateli (dokončené úkoly, chyby apod.). Snap režimy, známé např. z AutoCadu, významně usnadňují práci s grafikou. Na výběr je trojice režimů: Snap free, Snap to Grid a Snap to Points. Vzdálenosti přichycení lze nastavit. Zobrazení všech těchto informací na plátně je volitelná. Pro dosažení vysoké flexibility jsou funkce koncipovány podle obr Objekty jsou zapouzdřeny ve vlastní třídě, přístup je omezený a veškeré operace mimo objekty probíhají ve třídě supergui. FRC formát Pro potřeby jednoznačné definice a přenositelnosti IFS koláží napříč všemi aplikacemi byl navrhnut následující FRC formát: 30

51 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker Obrázek 3.10: IFSMaker: část UML schematu, MS Visio FRC.base = [ ] FRC.tran = [ ] FRC.iter = [ ] FRC.type = pntstrns V proměnné typu FRC jsou jednoznačně uloženy body základního útvaru FRC.base, transformace ve tvaru [a b c d e f] a iterace v poli FRC.iter. Na úrovni IFS návrhu bychom se bez takového formátu ještě obešli, potřebujeme ho však v případě analýzy pomocí CM a PSO optimalizace. Konečná podoba všech IFS fraktálů, které jsou v tomto projektu využity je zobrazana v Dodatku 12.1, a to vč. návrhových hodnot (FRC polí). Současně lze všechny koláže ve tvaru FRC nalézt na průvodním DVD nosiči. Utility IFSMaker obsahuje celou řadu utilit, které usnadňují práci s fraktály. S vybranými body lze pracovat v Selection Listu (obr. 3.11). Body můžeme přidávat, ubírat (vyhledávání pomocí tagu / označení myší / výběr více bodů podle ID), mazat, zneviditelnit a zpět zviditelnit. Tyto body slouží jako výchozí množina pro úpravy 31

52 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker nastavené v Modification (obr. 3.12). Obrázek 3.11: IFSMaker: Selection List Obrázek 3.12: IFSMaker: Ukázka modifikace Okno modifikací se inspiruje programem CST-MWS, navíc je přítomna možnost hromadně měnit vlastnosti bodů (grafika, tag). V případě úprav vyžadujících zadání středu lze vybrat globální střed [0, 0], zvolit určitý bod, nebo zadat střed manuálně. U všech úprav lze nastavit počet kroků, do kterých je výsledná modifikace rozdělena. Pro vytvoření základního objektu IFS, ale i pro vytvoření polygonu musíme zadat vrcholové body. Z nich vytvoříme nový polygon, do kterého vybrané body přidáme. Tyto polygony slouží jako zdrojové objekty IFS (vždy jen jeden polygon), lze pomocí nich tvořit i složitější útvary (obr. 3.17). V tom případě musíme nastavit typ polygonu různý od 0 ( + pro přidání nebo - pro jeho odečtení od ostatních). Pro připojení uzlů (nodů) do označeného polygonu lze využít tabulky na obr Jako nody lze rovnou vybrat všechny body (Select all), můžeme měnit jejich pořadí 32

53 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker Obrázek 3.13: IFSMaker: Připojení nodů do polygonu v polygonu (pravý sloupec), toto pořadí lze celé vynulovat (Order zeroing) pro přehlednější zadávání 9. Obrázek 3.14: IFSMaker: Ukázka lazení transformací Protože úprava transformací patří mezi časté operace nad již hotovým IFS, zařadili jsme do IFSMakeru nástroj Tune (často využíván např. v MWOffice). Požadované transformace a lazený koeficient lze vybrat ručně, event. s pomocí zjednodušující funkce dostupné z horní lišty. Krok lazení je nastavitelný, lze dokonce 9 Zpravidla však nody přidáváme v pořadí jak byly tvořeny body, v tomto pořadí jsou tedy body defaultně označeny jako budoucí nody. 33

54 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker otevřít více Tune oken najednou a pohybovat s více parametry naráz. Taková práce s transformacemi je velice názorná a šetří mnoho času. Všechny tyto operace jsou demonstrovány ve videu IFSMaker tutorialavi.avi na DVD. Kreslící plátno Jako v každém grafickém editoru, i zde je velice důležité chování a možnosti kreslícího plátna (canvas). Celé plátno zobrazuje obr Jednotlivé operace jako posun, zoom, označování apod. byly popsány výše. Zde se zmíníme pouze o zjednodušení z obr Obrázek 3.15: IFSMaker: Pracovní plocha, detail Protože často pracujeme s fraktály rozdílných velikostí, je nutné efektivně měnit velikost pracovní plochy, včetně hustoty pomocné mřížky (gridu). Opětovné zadávaní jednotlivých údajů je zdlouhavé a zoom myší nepřesný. Vytvořeno bylo proto okno 3.16, obsahující 3 sloty s přednastavenými rozměry plátna. Ty lze měnit, mezi sebou kopírovat, uložit a v případě potřeby vyvolat. Obvod, obsah, fraktální (mřížková) dimenze Správné určení obvodu a obsahu je základním předpokladem k hlubšímu studiu fraktální geometrie. Využíváme zde Mapping Toolbox, zejm. funkce poly2cw, poly- 34

55 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.3. IFSMaker Obrázek 3.16: IFSMaker: Canvas options bool, poly2fv a polyarea. Pokud je funkce aktivována, vypisuje se aktuální obsah a obvod při jakékoliv změně 10. Tato problematika není doposud zcela zvládnuta při postupném zjednocování členitých koláží obsahujících více děr (nebo dokonce menší otvory ve větších) program ztratí přehled o tom, co jsou díry a co patch. Potom vychází obsah záporný. K výraznému zlepšení došlo po zařazení bloku, který testuje, zda je výsledek sjednocení díra, a pokud ano, zařadí ho nakonec tabulky souřadnic (polygony jsou odděleny hodnotami NaN). Vše od prvního výskytu NaN níže je po úplném sjednocení odříznuto. Problém však zůstává s komplikovanějšími (z topologického hlediska) útvary. K dispozici je i možnost vykreslit výsledný tvar patche (at už složeného z polygonů nebo IFS) zahrnující všechny logické operace, tedy tak, jak bude exportován (viz obr nalevo). Podstatnou součástí konečné podoby IFSMakeru bude výpočet fraktální dimenze metodou box-counting. Pokud nerealizujeme jednu z vlastních metod, bude upraven skript boxcount. Jako argument načítá jpg nebo gif soubor IFS koláže, výpočet bude zahrnovat i potřebný převod z FRC na obrázek. Spojení s Comsolem Díky propojení s Comsolem můžeme zjistit rezonanční frekvenci přímo v návrhovém editoru 11. K dispozici je parametrická analýza podobně jako v IFSLimiteru (9. kapitola, obr. 9.9). Z ní můžeme vyčíst trend rezonanční frekvence se změnou vybraného parametru. V případě potřeby lze Comsol využít k testování jednolitosti navrženého patche. Spojení musíme navázat standartní cestou (tj. spustit Comsol s Matlabem). Operace s Comsolem zatím nemají v IFSMakeru grafické rozhraní a nelze je tedy využívat. Vše bude dokončeno v nejbližší době. 10 To při vyšších iteracích nebo v případě složitější struktury zatěžuje PC, pak je vhodné dynamické vyhodnocení vypnout. 11 Ve skutečnosti frekvenci zjišt uje EvalInFem, ke kterému se dostaneme v 5. kapitole. 35

56 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.4. Nedostatky a možná vylepšení Práce s polygony IFSMaker není omezen pouze na tvorbu IFS koláží, lze pracovat i s polygony. Jednotlivé polygony nakreslené na základě zadaných bodů můžeme sjednocovat i odečítat, viz obr Tak lze navrhnout desky obsahující štěrbiny a jiné složité nefraktální obrazce. Výsledný obrazec lze zkontrolovat pomocí utility na výpočet obsahu a obvodu. Obrázek 3.17: IFSMaker: Práce s polygony V budoucnu bude možné přímo z IFSMakeru ihned zjistit rezonanční frekvenci dominantního módu takové struktury, a to vč. rozložení elektrického pole a proudů. 3.4 Nedostatky a možná vylepšení Prostor pro další zdokonalování je značný. Mnohdy programy těžko zvládají komplexní operace, případně jsou tyto pomalé a neefektivní (práce s obsahem, hranicemi, eliminace nepotřebných bodů, sjednocování). V případě programu AntTool byl vývoj zcela zastaven, nyní se soustředíme pouze na IFSMaker a jeho další vylepšování. Jmenujme nedokončené oblasti, v kterých je nutno zjednat nápravu: Zrychlit s pomocí Matlab Profileru operace nad objekty pro větší koláže Dokončit sekci s Lines, která bude zajišt ovat pomocné a vodící čáry (jako v AutoCadu) Test počtu objektů upravit tak, aby vždy podávat stejný výsledek, implementovat i možnost volat Comsol (úprava na geom) Dokončit utility Measuring a Simplify (umožní rozličné měření nakreslené geometrie a její zjednodušení) 36

57 Nástroj pro modální analýzu FPA 3.4. Nedostatky a možná vylepšení Integrovat nástroj na výpočet fraktální / mřížkové dimenze, lze využít modifikovanou funkci boxcount, příp. vlastní postupy Práce s grafikou oddělit pravý a levý klik (jak?), správa objektů a jejich překreslování (možnost volit, co vpředu a co vzadu, vrstvy) V okně Modification opravit volbu Apply to copy Využít Parameter Sweep z IFSLimiteru a napojit optimalizátor pro hledání koláže dle D b, obsahu a obvodu Upravit operace nad polygony, umožnit výpis vhodný pro řešič dutinového modelu a rojovou optimalizaci 37

58 Kapitola 4 Numerické metody All models are wrong. Some models are useful. William Edwards Deming Simulace a vývoj antén je v součastnosti bez numerických metod prakticky nemyslitelný. S prudkým nárůstem výkonu počítačů v 80. a 90. letech se rozvíjí i jednotlivé metody a hlavně software, který jich využívá. Tak dostáváme efektivní nástroje, umožňující názorně nahlédnout fyzikální principy jednotlivých struktur. Tato kapitola odkazuje na teorii povětšinou ukrytou v jádrech simulátorů pole a jako takovou bychom ji snad mohli i vynechat. Protože jsou ovšem naše požadavky dosti specifické, je vhodné znát možnosti i omezení metod, které se nabízejí. Pro potřeby analýzy mikropáskových antén existuje mnoho různých přístupů využitelných k simulaci elektromagnetického pole. Obecně platí, že složitější metoda dává přesnější výsledky, ovšem za cenu delšího času výpočtu a větších nároků na operační pamět. Proto je třeba nalézt optimální poměr mezi navzájem ambivalentními požadavky přesnosti a rychlosti. Metody lze v prvním přiblížení rozdělit na tzv. analytické a numerické. Díky četným zjednodušením jsou analytické metody rychlé a jednoduché na implementaci. Prakticky nejsou využívány pro komerční software. Analytický přístup využívá dutinový model (dále např. model vedení, [11]). Oproti tomu numerické metody pracují bez počátečních zjednodušení a často nejsou omezeny tvarem ani složením struktury antény. Poskytují přesnější výsledky. Pro jejich efektivní využívání je nutný kvalitní software i hardware. Mezi nejznámější patří metoda konečných prvků (FEM), momentová metoda (MoM) a metoda konečných diferencí (FDTD). Tyto metody lze dále dělit podle domény, ve které se hledá řešení na časové a frekvenční. Prvně jmenované umožňují nalézt řešení pro libovolný časový průběh. Druhý typ strukturu analyzuje pro soubor diskrétních frekvencí. Nutným průběhem je tedy harmonický ustálený stav. Mezi oběma doménami lze přecházet pomocí (diskrétní) Fourierovy transformace. 38

59 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.1. Mikropáskové patch antény 4.1 Mikropáskové patch antény Tato tematika je velice široká a skvěle ji pokrývá dostupná literatura, uveden bude jen zkrácený extrakt. Případné podrobnosti lze nalézt v [11], [27], [28], [30], [31], [32]. Obrázek 4.1: Mikropásková patch anténa Zářič může zastoupit v principu jakýkoliv celistvý planární (2D) útvar. Ten je umístěn z jedné strany dielektrického substrátu. Z druhé strany je umístěna zemní rovina a to po celém povrchu substrátu, viz obr Poznamenejme, že funkci substrátu často plní vzduch (ɛ r = ). Umístíme-li vhodně napájení, vybudí se bud to (a) stojatá proudová vlna, nebo (b) postupná proudová vlna. Zde se věnujeme pouze možnosti (a), o postupné proudové vlně více např. v [27]. Rovněž metody napájení odbudeme pouze výčtem, nebot patche řešíme modálně, tedy bez připojeného buzení. Znalost všech možností je však zejm. ve spojitosti s návrhem v CST vhodná. Využívané techniky jsou: mikropáskové vedení koaxiální vazební štěrbina otevřený konec vedení L-probe (použitelné i pro vyšší substráty). 39

60 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.1. Mikropáskové patch antény Podrobněji o napájení v [30]. Samotný mechanismus vyzařování je zpracován v oddílech 4.3 a Parametry IFS patchů Následuje krátký přehled parametrů typických pro patchové antény uváděné v literatuře. Níže uvedené hodnoty jsou sjednoceny podle [11]. Rozsah pracovní frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, přičemž šířka pásma je velice úzká, typicky 2-6% v oblasti GHz. Důvodem malé šířky pásma je vysoký činitel jakosti běžných zářičů pohybující se v řádu několika desítek. Použitím vhodného tvaru patche, tvaru a druhu substrátu a napájení je možné dosáhnout až 30 i více procent pro středně vysoké kmitočty (patch výše nad zemní rovinnou, L-probe napájení). Směrovost můžeme očekávat v rozmezí 5 až 10 dbi, pro vyšší substráty s nižší relativní permitivitou i více. Vyšší směrovosti dosáhneme i provozem antény na modech s vysoce lokalizovanými proudy. Vyzařovací účinnost antény se pohybuje kolem 80 procent i více (údaj v případě zcela přizpůsobeného napájení), celková účinnost je potom od do maximálně 90 procent. Pokud je relativní permitivita substrátu větší než jedna (vzduchová a pěnová dielektrika), může na rozhraní substrát vzduch docházet ke vzniku povrchových vln. Ty zhoršují impendanční i vyzařovací vlastnosti a snižují účinnost antény, což je nežádoucí. V této práci analyzujeme pouze tvar patche, nikoliv dielektrikum, které předpokládáme vzduchové. Problematická je též výkonová zatížitelnost, pohybuje se kolem max. 100W. Impendance zářiče klesá od hodnot Ω až po teoretickou hodnotu 0Ω. Vlastnosti patch antén Na závěr jsou shrnuty vlastnosti ovlivňující zásadním způsobem nasazení mikropáskových patch antén v konkrétní aplikaci. Obsáhleji se některým z výhod věnuje publikace [27]. 1. Výhody nízký profil (zemní rovina, substrát, motiv) nízká hmotnost jednoduchá a levná výroba (tištěné obvody) mechanická robustnost snadná integrace do anténních řad rychlý návrh podle požadavků mohou být vzájemně integrovány do obvodů možnost přizpůsobit anténu samotným napájením plochou se může přizpůsobit okolí 40

61 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.2. Metoda momentů Fraktální patch antény mají navíc následující výhody: uzpůsobení pro vícepásmovou činnost nižší rezonanční frekvence možnost simulace anténní řady (lokalizace proudů) mírné snížení rozměrů 2. Nevýhody relativně malá šířka pásma (velký činitel jakosti Q) omezený výkon výkonější anténní pole vyžadují složitý systém napájení na vyšších frekvencích je potřeba velmi kvalitní (drahý) substrát nelze použít unifikované napájení pro všechny typy antén 3. Podle použití vyzařování pouze do jedné poloroviny (přítomnost zemní roviny) 4.2 Metoda momentů Jedná se o široce rozšířenou techniku, umožňující řešit diferenciální, integrální, případně integro-diferenciální rovnice. Do této oblasti, přirozeně, spadají i problémy spojené s elektromagnetickým polem. Základní myšlenka metody MoM je velice jednoduchá a spočívá v linearizaci (převodu na lineární algebraické rovnice) daného problému. Mějme obecně rovnici 1 : L(f) = g, (4.1) kde L je libovolný lineární operátor a g je zdrojová funkce (buzení systému). Úkolem je nalézt funkci f splňující zadané okrajové podmínky, a to inverzí operátoru L: f = L 1 g. (4.2) Hledanou funkci nyní rozložme do řady tzv. bázových funkcí f n a k nim definujme váhovací (testovací) funkce w m : f = α n f n, (4.3) n=1 1 Postupujeme zde podle [12], nicméně notaci volíme (s ohledem na návaznost dalších kapitol) vlastní. 41

62 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.2. Metoda momentů koeficienty α n neznáme. Počet členů řady je třeba omezit na konečné číslo N, dále můžeme před f z (4.3) dosadit operátor L jako v (4.1). Po uvážení linearity sumy vůči operátoru L píšeme: N α n L(f n ) + ɛ = g, (4.4) n=1 ɛ odpovídá chybě způsobené konečným počtem členů řady. Chybu dále neuvádíme, nebot počet členů N bývá zpravidla dostatečný. Nyní definujme skalární součin dvou funkcí na oblasti Ω (objem, plocha, křivka): f, g = f g dω. (4.5) Ω Tento součin je lineární, komutativní a definuje míru a metriku (tyto vlastnosti jsou nezbytné pro závěrečnou úpravu výrazu). Vynásobíme-li nyní obě strany rovnice (4.4) N testovacími funkcemi w m, dostaneme: N α n wm, L(f n ) = w m, g, m = 1, 2, 3,..., N. (4.6) n=1 Bázové funkce jsou de-facto vzory 2, kterými jsou vyplňovány neznámé funkce; míra Obrázek 4.2: Jednorozměrné bázové funkce (a-c) a jejich uplatnění (d) vyplnění odpovídá velikosti váhovací funkce. Na problém lze nahlížet jako na analogii k Fourierovým řadám, což umocňuje i obr Doplňme, že jako bázové funkce se používají i sofistikovanější funkce jako jsou čebyševovské polynomy apod. Dělíme je na dvě skupiny: Definované na subintervalech definičního oboru funkce f Definované na celé oblasti Ω Na základě vztahu (4.6) dostáváme ze spojitého integro-diferenciálního problému soustavu N algebraických lineárních rovnic pro koeficienty α n. Využijme možnosti 2 Splňující celou řadu kritérií: jsou po částech spojité (obdélník, sinus) / jsou všude spojité (F. řada), jsou lineárně nezávislé, navzájem ortogonální, normované... Protože tento text není zaměřen na výběr bázových funkcí, specifičtější vlastnosti těchto funkcí vynecháme. 42

63 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.2. Metoda momentů kompaktního maticového zápisu: kde A }{{} [A mn] α }{{} [α n] = g }{{} [g m] Pokud je matice regulární 3, lze α nalézt inverzí: tedy, (4.7) A mn = w m, L(f n ). (4.8) α = L 1 g, (4.9) f = [f n ][L mn ] 1 [g m ]. (4.10) Řešení úlohy závisí pouze na parametrech N, f n a w m. Zvolíme-li w m = f n, dostáváme tzv. Galerkinovu metodu. Ta je v podstatě analogií řešení FEM, které bude představeno dále. Při volbě N = nezávisí na výběru f n a w m, viz [12]. Pro využití MoM v elektromagnetickém poli je vhodné se seznámit s Greenovými funkcemi, tvoří totiž pomyslnou styčnou plochu mezi elektromagnetismem a metodou momentů 4. Greenovy funkce Greenova funkce je odezvou systému na zdroj jednotkové amplitudy. Toho můžeme využít při řešení rovnice (4.22), která jinak neobsahuje buzení. Z rovnice (4.1) tedy píšeme: L ( G(r, r ) ) = δ(r r ), (4.11) r (x, y) je místo pozorování, r (x 0, y 0 ) je zdroj Diracova impulsu a L vyhovuje rovnici (4.24). Hledaná odezva systému je potom 5 : f(r) = G(r, r )g(r ) dω. (4.12) Ω Pokud hledáme Greenovu funkci, lze využít rozkladu v řadu vlastních funkcí ψ n : G(r, r ) = A n (r )ψ n (r), (4.13) n=1 kde A n (r ) = ψ n(r ) λ n (4.14) 3 Tj. det(a) 0, matice není singulární. 4 A nejenom jí. 5 Platí totiž následující: LG(r, r )g(r ) dr = δ(r r )g(r ) dr = g(r), potom: Lf(r) = LG(r, r )g(r ) dr a z předpokladu linearity operátoru L a jeho nezávislosti na integrační proměnné ho můžeme vytknout a zkrátit. 43

64 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.3. Dutinový model pro vlastní čísla λ n. Pak platí: G(r, r ) = n=1 Zobecnění tohoto problému se nazývá Fredholmova teorie. 4.3 Dutinový model ψ n (r )ψ n (r) λ n. (4.15) Dutinový model (Cavity Model, CM) představuje jeden z možných aproximativních přístupů k patchovým antenám. Jedná se o modální metodu, která popisuje anténu jako dutinu obklopenou na okraji dokonalou magnetickou (PMC) a ze spodu a ze zhora dokonalou elektrickou (PEC) okrajovou podmínkou, viz obr Matematicky lze tyto podmínky vyjádřit následovně: E z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h (4.16) H n = 0, E.n = 0; na hranici antény. (4.17) Obrázek 4.3: Hraniční podmínky pro řešení patche Vztah pro dokonalou magnetickou stěnu Ez,n n = 0 je znám jako Neumannova okrajová podmínka. Malá výška antény (h λ) umožňuje uvnitř dutiny zanedbat rozměr z ( / z = 0), tedy: E x = 0, E y = 0, H z = 0. (4.18) Tak jsou eliminovány všechny složky kromě složek E z, H x a H y. Patch jsme redukovali na dvourozměrnou dutinu ohraničenou PMC. Díky tomu můžeme očekávat plošné proudové rozložení, čili TM módy a také vertikální elektrické pole 6. Pro zbývající složky platí 7 : jωe z = H y x H x y, (4.19) 6 Jak bude ukázáno dále, právě toto pole vypočítáme pomocí FEM. Proudové rozložení získáme na základě Maxwellových rovnic, konkrétně další úpravou rovnic (4.20) a (4.21). 7 Uvažujeme harmonicky ustálený stav (HUS) nahrazující časové derivace. 44

65 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.3. Dutinový model jωµh x = E z y (4.20) a jωµh y = E z x. (4.21) Z těchto tří rovnic lze odvodit Helmholtzovu vlnovou rovnici pro složku E z : ( t + kn 2 ) Ez,n = 0, (4.22) kde k 2 n jsou vlastní čísla jednoznačně odpovídající rezonančním frekvencím f rn, (n {1, 2, 3... }) a E z,n jsou vlastní funkce mapující rozložení E z v dutině Ω. Nula na pravé straně rovnice indikuje stav bez buzení, tedy modální řešení. Ve shodě s předchozí částí můžeme přepsat rovnici (4.22) do tvaru: Lψ n = λ n ψ n, (4.23) kde operátor L je roven: L = t + k 2 n. (4.24) Obrázek 4.4: První 3 módy obdélníkového patche (nahoře: proudová hustota J, dole: elektrická intenzita E z ) Problém formulovaný s pomocí rovnic (4.22)-(4.24) řešíme pomocí FEM (následují část kapitoly). Výsledkem je diskrétní spektrum vlastních funkcí 45

66 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.4. Metoda konečných prvků ψ n = E z,n, popisujících elektrické pole v dutině a vlastních čísel. Rezonanční frekvence lze vyčíslit na základě obecné podmínky rezonance: kde k = jωµ(δ + jωɛ) a k 2 n = k 2, (4.25) λ n = k 2 n. (4.26) Uvažujeme-li bezeztrátový magnetický substrát, je kn 2 = ω 2 µ 0 ɛ. S pomocí c 0 = 1 ɛ0 µ 0 a ω = 2πf r dostáváme: f rn = c 0 λn. (4.27) 2π ɛ r. Index n odpovídá n-tému módu struktury, c 0 = ms -1 je rychlost světla ve vakuu. Výpočet povrchových proudů je uveden v kapitole 6, protože až tam proudy skutečně potřebujeme. Obrázek 4.4 ukazuje módy T M 10, T M 01 a T M 11 vzorové struktury. CM je zatížen relativně velkou chybou ve srovnání s charakteristickými mody, případně řešením v CST-MWS. Chybu budeme diskutovat dále v praktické části. Tato metoda umožňuje velice rychlé, názorné a pro nízké motivy uspokojivě přesné modální řešení daného zářiče. Díky tomu můžeme využít optimalizace pro nalezení vhodnějšího tvaru patche (viz další kapitoly věnující se PSO). 4.4 Metoda konečných prvků CM představený výše je pouze přibližným modelem popisujícím patchovou anténu. Popisuje okrajové podmínky a zjednodušuje řešení Helmholtzovy rovnice. Stále se však jedná o diferenciální rovnici, a proto musíme pro řešení úlohy využít vhodnou numerickou metodu. MoM je přesná, avšak velice robustní a pomalá, vystačíme si zde proto s metodou konečných prvků/elementů (Finite Element Method, FEM). Navažme na MoM a CM s ukázkou řešení. Helmholtzovu rovnici můžeme obecně napsat jako (4.23) nebo též obecněji: L(u l ) = g, (4.28) kde L je diferenciální operátor, g budící funkce a u l je hledaná veličina (funkce). Vycházíme nejčastěji v Ritzovy nebo Galerkinovy metody 8. První z metod je variační, hledáme minimum daného funkcionálu 9 ; druhá metoda patří do třídy vážených reziduí, hledáme funkci u l : ũ l = i U i ϕ (l) i, (4.29) 8 Navazujeme zde na část 4.1, notace je upravena ve shodě s Comsol Multiphysics, [37]. 9 Funcionál lze definovat na základě Thomsonova principu: Veličiny pole mají takové hodnoty, aby byla splněna podmínka minimálního rozdílu mezi energií potřebnou na vytvoření zdrojů tohoto pole. Je to tehdy, je-li funcionál nulový, [12]. 46

67 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.4. Metoda konečných prvků ϕ (l) i jsou již diskutované bázové funkce pro ũ l (pro MoM značeny f n ), U je hledaný vektor se stupněm volnosti U i (v Comsolu tzv. Degree of Freedom, DOF). Pro funkci ũ l, která aproximuje přesné řešení platí v kontextu (4.28) a (4.29): ξ = L(ũ l ) g, (4.30) vážené reziduum na dané oblasti Ω je tedy: R = wξdω. (4.31) Ω Pro většinu úloh je nalezení aproximační funkce ũ l definované na celé oblasti Ω Obrázek 4.5: Původní funkce (a) a její lineární aproximace (b) obtížné, či přímo nemožné. Na tomto místě vstupuje do FEM diskretizace. S její pomocí rozdělíme řešenou oblast na mnoho malých podoblastí (elements). V každé podoblasti potom aproximujeme řešení jednoduchou funkcí (kupříkladu lineární, pomocí úseček). Například řešení funkce na obrázku 4.5 vlevo (u l = 750x 250x x 3 ) by bylo na celé oblasti Ω 0, 10 obtížné, nebot bychom museli najít rozvoj bázových funkcí ve formátu: 3 ũ l = c i x i = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3. (4.32) i=1 V tomto případě je lepší postupná linearizace (ũ l = a + bx) po jednotlivých elementech (obr. 4.5 vpravo). V praxi je vytvoření meshe (diskretizační sítě) zpravidla rozděleno na dvě části: 1. Inicializace sítě (funkce meshinit v Comsolu) vytvoří počáteční pokrytí 2. Zahuštění (funkce meshrefine) / jiné úpravy (lokální zahuštění, vymazání části sítě apod.) 47

68 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.4. Metoda konečných prvků Obrázek 4.6: Triangularní, quadrilateralní sít a kvalita sítě (tmavá je nejlepší) V prvním kroku vybíráme z možných typů elementů (viz obr. 4.6 vlevo a uprostřed), v druhém hlídáme jakost a dostatečnou jemnost/kvalitu sítě (obr. 4.6 vpravo). Hodnoty hledané funkce jsou nalezeny pouze v uzlech (nodes) diskretizované struktury, mezi nimy je úloha aproximována dodatečně. Aproximující funkce Φ je volena s ohledem na počet uzlů jednoho elementu. V případě trojúhelníkového elementu postačuje polynom 3. stupně (Φ = a 1 + a 2 x + a 3 y), v případě obdélníhového prvku potřebujeme polynom 4. stupně (Φ = a 1 + a 2 x + a 3 xy + a 4 y). Takto lze počet uzlů dále zvyšovat (přičemž tvar polynomu lze odvodit z Pascalova trojúhelníka), nicméně pro 2D úlohy se zpravidla využívá trojúhelníková sít. Tak dostáváme soustavu rovnic, [95]: Φ 1 = a 1 + a 2 x 1 + a 3 y 1 Φ 2 = a 1 + a 2 x 2 + a 3 y 2 (4.33) Φ 3 = a 1 + a 2 x 3 + a 3 y 3 Jemnost sítě je vždy kompromisem mezi hardwarovými nároky (obsazení paměti, délka výpočtu) a přesností výsledného řešení. Elementy se nesmí vzájemně překrývat, ani mezi nimi nesmí vznikat mezery. Logickým požadavkem je také podobný tvar jednotlivých elementů, co nejvíce se blížící rovnostranným trojúhelníkům 10. V místech prudkých změn pole je vhodné volit menší elementy. Kvalita sítě a způsoby jejího hodnocení nás budou zajímat v následující kapitole. Minimalizovaný funkcionál má rozměr energie, jeho hodnota na celé oblasti je tedy součtem funkcionálů jednotlivých elementů: F(Φ) = E F e (Φ e ), (4.34) e=1 kde E je celkový počet elementů a F e (Φ e ) je funkcionál elementu. Vztah (4.34) je posledním zcela obecným vztahem, dále se již problém větví podle typu řešení. V 10 Podle [12] chyba vzrůstá nepřímo úměrně sinu nejmenšího vnitřního úhlu elementu. 48

69 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.5. Teorie charakteristických modů našem případě využíváme tzv. The Eigenvalue Solver Algorithm, v Comsolu potom řešič (solver) femeig. Způsob jakým se výsledná matice vyplňuje a následně řeší se liší podle typu softwaru, tyto techniky tedy vynecháme. Pro implementaci byl vybrán Comsol Multiphysics. Umožňuje řešení úloh z oblastí akustiky, tepla, elektromagnetismu, mechaniky a dalších oblastí s využitím předdefinovaných modulů 11. Využívá Lagrangeův variační princip 12. Funkce jsou psány m-jazykem jako funce Matlabu 13, čehož lze využívat pro případné úpravy. Navíc lze Matlab a Comsol propojit a vše řídit z Matlabu. 4.5 Teorie charakteristických modů Základním předpokladem této metody je existence dokonale vodivého motivu (PEC) ve volném prostoru bez napájení. Tomuto motivu potom můžeme jednoznačně přiřadit množinu módů (z vypočteného spektra vlastních čísel), které jsou dány pouze jeho rozměry. Po připojení napájení dochází ke kolapsu vlnové funkce, proto se vybudí jen určité módy, vyhovující buzení. Konečné rozložení pole na struktuře je potom dáno superpozicí takto vybuzených módů. Vyjdeme z poznatku, že pro tečné pole elektrické intenzity na dokonalém vodiči musí platit: E tot tan = E s tan + E i tan E tot tan = 0, (4.35) index s značí vyzářené pole, index i dopadající pole. Protože vyzářené pole E s tan je závislé na proudové hustotě J, zavádíme opět operátor L: L(J) = E s tan, (4.36) popisující integro-diferenciální závislost. A tedy ([81]): [ L(J) E i] = 0. (4.37) tan Rovnice (4.37) je tzv. EFIE (Electric field integral equation), viz [29]. Struktura operátoru vyhovuje rovnicím a L(J) = jωa(j) + gradf(j), (4.38) A(J) = µ J(r)G(r, r ) dω (4.39) Ω F(J) = 1 jωɛ gradj(r )G(r, r ) dω (4.40) Ω 11 Podle vybraného modelu je definována jedna PDE: Laplaceova / Poissonova / Helmholtzova / tepelná / vlnová / Schrödingerova / difuzní rovnice. 12 Postup minimalizace funkcionálu tj. potenciální energie, volných nábojů (výše uvedené Thomsonovo pravidlo je aplikací Lagrangeova principu v oblasti elektromagnetismu) apod. 13 Comsol, původním názvem Femlab byl součástí Matlabu. Od nové verze Comsolu 3.5 je namísto Comsol Scriptu preferován Matlab Editor. 49

70 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.5. Teorie charakteristických modů Potenciály A a F fyzikálně nemají žádný smysl a nelze je nijak intepretovat, jde pouze o identity zjednodušující řešení MR. Potenciály budeme potřebovat zejm. v kapitole 6, kde jsou řádně zavedeny. Tvar Greenovy funkce v rovnicích (4.39) a (4.40) pro případ bezeztrátového materiálu ve volném prostoru je 14 : G(r, r ) = e jk r r 4π r r. (4.41) Bližším pohledem na (4.36) lze odvodit, že operátor L má charakter impendance. Tu lze rozložit: Z(J) = R(J) + jx(j). (4.42) Variační řešení Na celý problém můžeme nahlížet jako na variační úlohu s cílem minimalizovat vhodný funkcionál. K tomu nám poslouží upravený vztah pro jednotlivé složky impedance. Funcionál pak píšeme ve tvaru: F(J) = J, XJ J, RJ. (4.43) Vztah vyjadřuje poměr mezi nahromaděnou a vyzářenou energií. Zda budeme minimalizovat složku J, XJ nebo J, RJ bude jasné z požadavku na typ rezonance. Ty dělíme na: 1. Interní rezonance rezonance uvnitř dutinového rezonátoru. Požadujeme maximum akumulované energie, minimum vyzářené. Funcionál: F I (J) = 1 F(J) a tomu příslušná Eulerova rovnice, [65]: R(J n ) = λ n X(J n ). (4.44) 2. Externí rezonance rezonance anténních struktur. Požadujeme maximum vyzářené energie, tj. F E (J) = F(J) a X(J n ) = λ n R(J n ). (4.45) Nalezené charakteristické proudy J n mají následující vlastnosti: tvoří ortogonální systém, závisí pouze na tvaru patche, na dané oblasti Ω jsou reálné, mají stejnou fázi. 14 Lze odvodit z vlnové rovnice A + k 2 A = µ 0J. 50

71 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.5. Teorie charakteristických modů Hodnota vlastního čísla udává charakter daného módu: = 0 n-tý mód je v rezonanci λ n < 0 n-tý mód má kapacitní charakter > 0 n-tý mód má induktivní charakter (4.46) Vlastní čísla jsou často nahrazována tzv. charakteristickým úhlem: α n = 180 tan 1 (λ n ). (4.47) Průběh α n hodnotou 180 (rezonancí) je strmější než u λ n, proto je toto zobrazení vhodnější. Řešení pro charakteristické úhly je na obr Obrázek 4.7: Typické hodnoty charakteristického úhlu, zdroj: [85] Modální řešení Podle [65] platí následující ortogonality: J m, R(J n ) = δ mn (4.48) J m, X(J n ) = λ n δ mn (4.49) δ mn je Kroneckerovo delta 15. Pro celou impendanci pak platí: J m, Z(J n ) = (1 + jλ n )δ mn. (4.50) Dále zaved me algebraický skalární součin (komplexní transpozici): B, C = [ B ] [ C ], (4.51) 15 δ mn = { 1 je-li m = n 0 je-li m n, častý zápis pro jednotkovou matici je též δmn = [m = n]. 51

72 Nástroj pro modální analýzu FPA 4.5. Teorie charakteristických modů tento vztah je analogií k (4.5) a modální superpozici charakteristických proudů: J = n α n J n, (4.52) což odpovídá (4.3). Vztahy (4.37) a (4.52) můžeme upravit následovně: [ α n L(J n ) E i] = 0. (4.53) tan Aplikací (4.51) na (4.53) získáme: α n J m, Z(J n ) n Užitím (4.50) na (4.54) se podle [85] problém redukuje na n J m, E i = 0 (4.54) α n (1 + jλ n ) = J n, E i (4.55) Produkt J n, E i se nazývá excitační koeficient a často se značí jako Vi n. Platí také: = J n E i dω (4.56) V n i Ω Po připojení napájení se vybudí jen určitá množina módů, ostatní nikoliv. Výsledné pole je superpozicí vybuzených módů. Tak se dostáváme k závěrečnému vztahu pro celkový proud, parametr Vi n zapíná jednotlivé módy: J = Vi nj n. (4.57) 1 + jλ n n Dále můžeme odvodit vztahy s vlastními poli E n a H n, to však již překračuje rozsah této práce. Uplatnění v projektu Na katedře elektromagnetického pole byl vyvinut Ing. Pavlem Hamouzem TCM simulátor, představený v diplomové práci [81]. Určení impendanční matice a tomu předcházející diskretizace (využívá RWG bázové funkce 16 ) vychází z práce S. N. Marakova [33]. V době vzniku DP nebylo možné tento software využívat. Předně čas potřebný na výpočet patche je v porovnání s CM příliš velký, dále bychom pro účely optimalizace museli zajistit ošetření některých stavů, které v CM řešíme s pomocí Comsolu 17. Využití tohoto nástroje je pro jeho přesnost a schopnost analyzovat i komplikované struktury optimální a je s ním, po překonání uvedených obtíží počítáno namísto CM. 16 Rao-Wilton-Glisson; viz S.M.Rao, D.R.Wilton, A.W.Glisson: Electromagnetic scattering by sufraces of arbitrary shape, IEEE Trans. AP, 30(3):pp , 1982, případně přímo [51]. 17 Celistvost patche, pořadí módů,... 52

73 Kapitola 5 EvalInFem Implementace dutinového modelu je komplikována zejm. faktem, že vše musí být naprogramováno zcela obecně. Také krizové situace musí program vyřešit sám, vč. navrácení adekvátních hodnot. Tato kapitola rozebírá strukturu funkce EvalInFem, určené pro analýzu fraktálních patch antén. 5.1 Popis, syntaxe Jednotlivé úkoly podrobněji rozebereme v následujících částech. Každá pasáž je pro jednoduchost tvořena jednou nested funkcí zanořenou do EvalInFem. Jejich voláním lze jednoduše ošetřit chyby a zajistit tak stabilitu programu. Tak můžeme program dále upravovat a rozšiřovat bez narušení jiné sekce. V principu lze jednotlivé úkoly EvalInFem rozdělit do těchto separátních částí: 1. Inicializace GUIe 2. Úprava polygonů, velikostí 3. Sjednocení a check počtu částí 4. Disketizace 5. Nastavení fyziky, CM model 6. Vlastní výpočet 7. Přepočet frekvence, úprava módů 8. Uložení, ukončení, ošetření vyjímek a chyb Uspořádání respektuje i grafické okno (na obr. 5.1), informující uživatele o jednotlivých operacích. To je vytvořeno při každém volání EvalInFem a nelze ho vypnout před ukončením výpočtu 1. Pokud je řešič součástí optimalizace, je okno 1 Thread se může nacházet v jedné z funkcí Comsolu, v PSOptimizeru apod. Bez tohoto omezení by se EvalInFem choval nevyzpytatelně. 53

74 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.1. Popis, syntaxe otevřeno pouze jednou a pro každé další volání jsou pouze resetovány údaje, což šetří čas. Obrázek 5.1: EvalInFem (screenshot) Syntaxe Pro obdržení výpisu rezonančních frekvencí jednotlivých módů, použijeme zápis: results = EvalInFem( stat,frc). Parametr stat je v tomto případě fixní a indikuje statické volání bez inicializace PSO. Využíváme ho zpravidla pro zjištění dominantního módu pevně dané struktury. Pro získání fem proměnné voláme následovně: [results fem] = EvalInFem( stat,frc). Toto volání má velkou výhodu ve zpětném využití Comsolu fem objekt můžeme importovat z Matlabu do Comsolu a pracovat s výsledkem ručně (grafy, rozložení módů, převod do dxf pro CST apod.). Funkce EvalInFem umožňuje přímé spuštění 54

75 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.2. Geometrie optimalizace, o které bude pojednáno v dalších kapitolách, nicméně již zde uved me, že existují dvě možnosti, jak toho dosáhnout. Optimalizaci lze zahájit voláním funkce EvalInFem i PSOptimizer. Elegantnější je: PSOresults = PSOptimizer(PsoData, EvalInFem,ag,it), nebot tak jsou volány i všechny ostatní fitness funkce (viz PSO optimalizace). K objektu fem nelze při optimalizaci získat přímý přístup, ag označuje počet agentů v roji, it určuje počet iterací. Lze využít i následující příkaz: results = EvalInFem( pso,psodata,ag,it). Poznamenejme, že všechny příkazy jsou vysvětleny i v nápovědě EvalInFem. Při návrhu EvalInFem jsme vycházeli z instrukcí v tutoriálu [63] a z nápovědy Comsolu, která se ovšem programování v Matlabu příliš nevěnuje. Popišme nyní jednotlivé kroky řešení. Následující části 5.2 a 5.3 přibližují mechanismy EvalInFem a lze je případně přeskočit. 5.2 Geometrie Předpokladem správné funkce EvalInFem je FRC nebo Poly proměnná na vstupu. Pro její vytvoření lze využít AntTool, IFSMaker, můžeme ji definovat i ručně. V případě fraktální struktury obsahuje pole jednotlivé IFS parametry. Z nich je potřeba vygenerovat fraktál a jednotlivé polygony setřídit podle iterací, které se mají do výsledné koláže započítat. Ty potom sjednotit a upravit tak, aby zápisu rozuměl Comsol. Nezbytné je omezení velikosti koláže máme-li hledat nejmenší strukturu, tedy de-facto nejmenší rezonanční frekvenci, je potřeba zafixovat max. velikost, aby byly výsledky vzájemně porovnatelné. Tato velikost je na řádce 341 nastavena na 10cm. EvalInFem sám zhodnotí, zda delší hrana je ve směru x nebo y a koláž poměrně zmenší/zvětší na tuto velikost. O změně velikosti jsme informování v sekci polygons grafického okna. Obrázek 5.2: Vypočtená koláž, mesh, dominantní mód a jeho proudové rozložení Součástí převodu je i automatické vykreslení analyzované koláže. To je užitečné zejm. ve spojení s PSO, vidíme ihned jaký tvar koláže je právě řešen. 55

76 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.3. Mesh, fyzika Upřednostňujeme-li rychlost a zajímáme se až o výsledek, můžeme tento výpis deaktivovat na řádce 337 funkce 2 EvalInFem. Možná vykreslení shrnuje obr Po vypočtení IFS a upravení velikosti následuje sjednocení do stejného (3D) pole, což je pouze operace s maticemi v cellu 3. Další část je zajímavější musíme převést geometrii do Comsolem akceptovatelného tvaru. Celou proceduru provádí nested funkce makegeomfcn. Postupně zvětšujeme dva string řetězce, které jsou vyhodnoceny funkcí eval, následují další úpravy a uložení geom objektu do instance fem. Jde o jednu z klíčových funkcí EvalInFem, kterou obyčejně provádíme pomocí zakreslování v Comsolu. Na závěr je nezbytné otestovat celistvost patche. Počet částí, z nich je zářič složen zjistí funkce flgeomnmr. Pokud je výsledek různý od jedné, končí výpočet chybou. 5.3 Mesh, fyzika Ve shodě s výkladem o FEM je nutné povrh pokrýt diskretizační mřížkou. Musíme dodržet vysokou kvalitu sítě, tedy jemnost a pravidelnost, na druhé straně je vhodné pracovat s nejmenším možným počtem elementů. Pro tyto účely slouží v Comsolu odhad velikosti jednotlivých trojúhelníčků a jejich kvality: q = 4 3S a a2 2 +, (5.1) a2 3 kde S je obsah, a 1, a 2 a a 3 jsou hrany trojúhelníka. Kvalita sítě nabývá hodnot q min (0, 1), 1 značí perfektní sít, které však stěží kdy dosáhneme. Podle literatury je dostačující hodnota q min = 0.3, je vhodné volit rezervu q min = 0.4. Pro rovnostranný trojúhelník je q = 1; pro rovnoramenný se stranami 1, 1.25, 1.25 (výška k ramenům rovna 1) už pouze q = Frekvenci, do které považujeme CM za spolehlivý, lze odvodit i ze vztahu: h max = λ 6, (5.2) kde h max je maximální délka hrany jakéhokoliv trojúhelníka. Podmínku (5.2) jsme získali z dokumentace simulátoru FEKO, [102]. Z předpokládané frekvence dominantního módu 4 zpětně vypočítáme požadovanou velikost. Tento postup však skýtá několik úskalí. Zaprvé je tento odhat dosti nepřesný, zadruhé musíme zjišt ovat rozměry všech elementů a konečně zatřetí není celý proces snadné naprogramovat. Po zdlouhavých testech byl nalazen 2 Na dalších řádcích lze nastavit vykreslení meshe (defaultně ne), rozložení elektrického pole nad dutinou (ano) a rozložení proudu (ano). 3 Každé pole cellu odpovídá jedné iteraci, tak můžeme jednoduše zařadit ty polygony, které přísluší do požadovaných iterací. 4 Nejnižší frekvenci můžeme s jistou rezervou odhadnout ze znalosti max. rozměru pro λ domi- 2 nantní mód. 56

77 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.4. Zpracování výsledků kompromis mezi jemností sítě a rychlostí výpočtu, totiž tvorba sítě funkcí meshinit s parametrem Hauto = 3. Sít sice není dále zjemňována, avšak od počátku na ní máme přísné nároky. Tak šetříme cenný výpočetní čas. Důležité je též nastavení parametru Report na off, v opačném případě by po každém nameshování byl proces přerušen oznámením, což by znemožnilo plynulou optimalizaci. Ukazuje se, že počet elementů (narozdíl od jejich kvality) nemá na přesnost řešení zásadnější vliv. Kvalitu zjistíme pomocí funkce meshqual, přičemž je vhodné se zajímat o průměrnou i minimální kvalitu na celé ploše koláže. Musíme tedy znát i počet elementů, toho docílíme příkazem length(fem.mesh.t). Celkový počet elementů je spolu s průměrnou a minimální kvalitou sítě vypsán v sekci mesh v GUI. V dalším kroku nastavujeme podmínky řešení, tj. typ řešení (InPlaneWaves), modul (RF), typ analýzy (eigen), hraniční podmínku pro všechny hrany (H0, navíc všechny bnd.ind = 1), systém jednotek (SI) a další parametry 5. Nyní lze přistoupit k vlastnímu řešení struktury. To provádíme pomocí řešiče femeig s nastavením hledané veličiny a počtem vlastních čísel (=nalezených módů), které mají být nalezeny. Vlastní čísla jsou uložena do objektu fem.sol, odkud je jednoduše získáme pro další úpravy. 5.4 Zpracování výsledků Vypočtená vlastní čísla nyní převedeme na rezonanční frekvence daných módů. Využijeme následujícího vztahu: f min (i) = fem.sol.lambda(i) 2π (5.3) Obrázek 5.3: Nesmyslné řešení (vlevo) a dominantní mód struktury (vpravo) Po převodu na frekvenci se však často setkáváme s tzv. nesmyslnými módy (obr. 5.3). Tato řešení nemají žádné fyzikální opodstatnění. Navíc v případě optimalizace 5 Podařilo se je zjistit po odsimulování vzorového příkladu v Comsolu a jeho uložení jako mfile. Část kódu musí respektovat proměnlivý počet hran. 57

78 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.4. Zpracování výsledků hrozí, že takový mód bude vyhodnocen jako dominantní. Jeho (velice malá) hodnota rezonanční frekvence určí nové globální minimum a celé hejno bude konvergovat k této zcela nesmyslné hodnotě. Všechna taková řešení předcházející skutečnému dominantnímu módu musíme efektivně odstranit. To provádíme ve dvou krocích. Nejprve smažeme všechny módy s nulovou frekvencí, potom i takové, které dosahují pouze 1% rezonanční frekvence módu následujícího. Nesmyslné módy mají většinou nenulovou reálnou část vlastního čísla, zatímco všechny ostatní módy mají nenulovou pouze imaginární část. Ta nabývá zpravidla záporných, extrémně vysokých hodnot. Obrázek 5.4: Příklad duplicitních módů Na další obtíže narážíme v souvislosti s duplicitními módy. Několik jich zobrazuje obrázek 5.4. Všechna tři řešení jsou správná, ukazují 5.,6. a 7. nalezený mód. Na první pohled je však jasné, že jde o stejné rozložení pole, pouze jinak orientované. Je to dáno pravděpodobně malými odchylkami v diskretizační mříži, čímž se struktura stává mírně nesymetrickou. Poznávacím znamením takových módů jsou blízké rezonanční frekvence. Na druhou stranu blízké frekvence mohou mít i dva geometricky velice rozdílné módy, nemůžeme tedy toto tvrzení využít k eliminaci duplicit. Řešení je potřeba hledat přímo v rozboru daného rozložení pole. Převedením módů na bitmapy, jejich pomyslným rozdělením na pole a hledáním shodných hustot určitých barev bychom mohli duplicitní módy odhalit. Tento postup zatím nebyl testován, v budoucnu zejména při multipásmové optimalizaci se bez něj ale neobejdeme. Obrázek 5.5: Nadbytečné nody, jejich vznik a nepříjemné důsledky 58

79 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.4. Zpracování výsledků Posledním zjištěným nedostatkem je přítomnost nadbytečných nodů (uzlů) ve výsledné koláži. Ty vidíme na obr. 5.5 vlevo. V okolí těchto bodů je sít více zahuštěna (obr. 5.5 vpravo), nebot Comsol zde předpokládá diskontinuity. Větší počet elementů se negativně promítá do času potřebného na výpočet, a to nejen v Comsolu, ale i pokud fraktál dále exportujeme (IE3D apod.). Tyto nechtěné nody vznikají při dláždění fraktálu, jde vlastně o vrcholy transformovaného základního objektu (obr. 5.5 uprostřed). Automatické odstraňování takových bodů je komplikované 6. Obrázek 5.6: Lokalizované proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyšší módy Při pohledu na obr. 5.6 si můžeme všimnout zajímavého fenoménu, který je fraktálním anténám vlastní, totiž proudové lokalizace. K té dochází pro některé vyšší módy a vyznačuje se zvýšenou směrovností zářiče (klidně 13dBi i více). Na obrázky můžeme pohlížet jako na velice efektivní a ideálně zfázované anténnní řady. 6 Tato automatická procedura by musela spolehlivě pracovat pro všechny IFS všech iterací a musela by být velmi rychlá. 59

80 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.5. Ošetření chyb, stabilita 5.5 Ošetření chyb, stabilita O výsledku všech operací je uživatel informován skrze GUI. V případě chyby je vypsán červeně text Error, navíc je i s kódem (viz tabulka 5.1) chyba uvedena v okně Matlabu. Tak lze sledovat všechny chyby při dlouhé optimalizaci. kód chyby označení popis 0 There s no connection to Comsol není připojen Comsol 1 Bad input data (x psopt type). špatný vstup 2 Convert to polygons. nevhodné polygony 3 Geometry convert problem. chyba v převodu geometrie 4 Bad mesh (subdomains = 1) segmentů je více než 1 5 Comsol physics hasn t been set. fyzika není nastavena 6 There s no feasible solution. nebylo nalezeno řešení Tabulka 5.1: Možné chyby v EvalInFem EvalInFem musí za všech okolností vracet hodnotu rezonanční frekvence. V opačném případě by hrozilo přerušení optimalizace. Pokud je vypsána chyba, vrací program f r =. To není z hlediska konvergence hejna optimální 7 návratová hodnota, lepší řešení však doposud nebylo nalezeno. Další skupinu chyb lze označit jako chyby metody. Některé aspekty jsou v CM aproximovány nebo zanedbány, což zhoršuje (omezuje) výsledky. Na zkreslení řešení se podílí již diskretizace, kterou jsme probrali výše. Dále musíme mít na paměti omezení výšky substrátu, pomocí CM řešíme pouze 2D planární rezonátor. Největším problémem je zanedbání vnitřních vazeb ve struktuře. Z principu tak nelze řešit zářič složený z více částí. Omezena je množina použitelných koláží 8. Pro ověření CM modelu byl vybraný fraktál analyzován i v CST-MWS, více v následující části. 5.6 Výsledky Všechny nesmyslné módy byly odstraněny, neuvádíme ani duplicitní módy. Hodnoty v tabulce 5.2 jsou omezeny rozměrem delší hrany rovným 10cm. Příklady silně lokalizovaných proudů byly uvedeny na obr Vyhledávání takových módů ručně je zdlouhavé a nepohodlné, přesto však s pomocí Comsolu možné. Video na DVD s ukázkou řešení se jmenuje EvalInFem staticanalysisavi.avi. Je zde i ukázka chybné simulace a jejího zakončení. 7 Toto místo je automaticky zavrhnuto celým rojem a příslušní agenti se od něj vzdalují. To komplikuje nalezení minima v sousedství takové singularity. 8 Příklady na obr. 5.8 jsou řešitelné bez potíží, pouze koláž FRC B přezařuje a velikost chyby tak roste. 60

81 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.6. Výsledky patch f r1 [MHz] f r2 [MHz] f r3 [MHz] f r4 [MHz] f r5 [MHz] FRC A FRC B FRC C FRC D FRC E FRC F FRC H FRC J FRC K Tabulka 5.2: Rezonanční frekvence vybraných koláží (prvních 5 iterací) Obrázek 5.7: Pokles frekvence s iterací, vybrané koláže Je zajímavé sledovat velikost rezonanční frekvence různých koláží v závislosti na stupni iterace. Lze ukázat, že frekvence postupně klesá. Např. pro koláž FRC B klesá frekvence (pro iterace 1-5) následovně: 1025MHz, 686MHz, 501MHz, 370MHz a 271MHz. Pro koláž FRC H 1380MHz, 1053MHz, 815MHz, 630MHz, 487MHz. Pokles je velice rychlý a to i v případě, že rezonance probíhá na rameni, které svou délku nemění (FRC H). Průběh zároveň naznačuje, že hodnoty směřují k určité asymptotě, kterou můžeme předpokládat pro nekonečnou iteraci. Pro každý fraktál klesá frekvence jinak rychle a z jiné počáteční hodnoty, viz obr Pokles frekvence probíhá bez nečekaných výkyvů (křivky jsou hladké), tento jev lze prokázat i u vyšších módů IFS struktur. 61

82 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.6. Výsledky Obrázek 5.8: Dominantní módy FRC struktur CST a TCM simulace Nyní srovnejme obdržené výsledky s referenčním simulátorem. Primárně byl vybrán CST-MWS, je velice přesný a uživatelsky příjemný. Dále jsme do srovnání zařadili TCM analyzátor z [81], který by mohl nahradit náš CM řešič. Obrázek 5.9: Proudy na struktuře FRC F podle TCM Jako srovnávací objekt byl zvolen FRC F ve třetí iteraci (viz obr. 5.8, případně přímo obr a v dodatcích). Tento fraktál se jeví jako vhodný kandidát pro další optimalizaci. Výška nad zemní rovinou je 1mm (v toleranci CM) a 10mm (zde již CM nepodává optimální výsledky). V souvislosti s nalezením rezonanční frekvence je vhodné sledovat, jak (zda vůbec) může na daném módu anténa vyzařovat. Situaci přehledně ukazuje obr

83 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.6. Výsledky První dva módy mají proudy orientované shodným směrem, ty se sčítají a vytvoří vertikální, resp. horizontální polarizaci. Proudy třetího módu (vpravo) tečou proti sobě, anténa má v podstatě charakter vedení a nevyzařuje. Rozložení proudů lze sledovat i u CM modelu, jak ukážeme v následující kapitole. Tyto proudy vypočítáme z elektrického pole, které jsme získali z dutinového modelu. Obrázek 5.10: Průběh charakteristického úhlu pro FRC F (TCM) Nalezené rezonanční frekvence z tab. 5.3 dokládá i obr. 5.10, kde je vykreslen průběh charakteristického úhlu na frekvenci. Pomocná čára (oranžová) prochází 180, kde dochází k rezonanci. Zde můžeme odečíst rezonanční frekvenci prvních 3. módů. Zobrazení proudů v CST pro první 3 módy je ukázáno na obr Prodouvé rozložení vyšlo podobně jako v TCM a CM, orientace proudů odpovídá obr Pro zajímavost uvedeme s předstihem i tvar VD pro FRC F s výškou 10mm CM CST TCM IE3D CST TCM výška 1mm výška 10mm 1. mód MHz 735 MHz 720 MHz 745 MHz 913 MHz 890 MHz 2. mód MHz 787 MHz 775 MHz 817 MHz 947 MHz 915 MHz 3. mód MHz ( ) 2150 MHz ( ) 1000 MHz 985 MHz (*) tento mód nebyl v CST/IE3D nalezen Tabulka 5.3: Rez. frekvence pro FRC F v simulátorech CM, CST-MWS a TCM 63

84 Nástroj pro modální analýzu FPA 5.7. Propojení s PSO Obrázek 5.11: Proudové rozložení pro 1-3 mód koláže FRC F nad zemní (nekonečnou) rovinou. Horní obrázky ukazují jednotlivé polarizace 9, jak se promítají do výsledného VD (spodní část obr.). Výsledky jsou pro svou velikost uvedeny v dodatku 12.2, obr a Propojení s PSO Napojení na rojový optimalizátor je realizováno podle obr. 10.1, z pohledu PSO je blíže popsáno v části 8.5. Úpravou geometrie patche (změna pozice bodů základního objektu nebo koeficienty transformací) lze získat nižší rezonanční frekvenci. V průběhu optimalizace dochází k občasnému rozdělení koláže na více částí (vlivem změny transforamčních koeficientů), pak je situace ošetřena v EvalInFem. K nastavení optimalizace je potřeba stanovit jednotlivé meze a zvolit objekty, které mají být optimalizovány. Pro tento účel vznikl IFSLimiter, popsaný v 9. kapitole. Načítá zvolenou koláž ve formátu FRC a po nastavení optimalizace exportuje PsoData proměnnou do Matlabu. Ta je vstupním parametrem PSOptimizeru, který řídí celou optimalizaci a volá EvalInFem jako svou fitness funkci. Pro každého agenta je stanovena velikost rezonanční frekvence, jak bylo popsáno výše. Vše ale probíhá automaticky. Právě EvalInFem hraje v celém procesu zásadní roli, nebot spotřebuje cca. 95% času potřebného na jednu optimalizaci. Celkový čas se pohybuje v řádu hodin 10. Vícepásmová optimalizace Lákavá je též možnost optimalizovat patch tak, aby jeho vybrané módy byly n-násobkem / posunuty o pevně danou frekvenci od módu předešlého. Díky tomu, že pracujeme s IFS parametry, zůstává fraktální charakter zachován i zde (se všemi výhodami). Abychom mohli specifikovat požadavky na jednotlivé módy, musíme mít možnost je vzájemně rozeznat, vč. eliminace duplicitních módů. Bude potřeba definovat i nové rozhraní, hlídající váhování jednotlivých příspěvků (výsledků pro daný mód) a jejich ohodnocování pro cost funkci (viz kapitola o PSO). Tento úkol vyžaduje celou řadu zásahů a úprav. Čtenář se tedy bude muset spokojit pouze s touto zmínkou. 9 Zobrazení vertikální a horizontální polarizace v CST je možné s pomocí Ludwig3. 10 Předpokládáme zhruba 5 sekund na jedno řešení CM, 20 členů roje a 150 iterací. 64

85 Kapitola 6 Vyzařovací diagram Představte si lampu! At je jakkoliv umělecká a krásně zdobená, musí především svítit! Honoré de Balzac Obecná anténa se vyznačuje tím, že vyzařuje resp. přijímá elektromagnetickou enegii různě v různých směrech. Zobrazení těchto poměrů se nazývá vyzařovací diagram ([11]). Vyzařovací diagram (VD) řadíme mezi směrové vlastnosti antény. Jsme schopni popsat na něm hlavní lakol, vedlejší lalok a zpětný svazek, můžeme odečíst šířku svazku na poloviční výkon (HPBW) a další parametry. Úzce souvisí se směrovostí, učinností svazku atp. Z těchto důvodů je nutné pro většinu praktických aplikací VD dané antény znát. V případě patchových antén s fraktálním povrchem jsme nuceni nejprve stanovit rozložení zdrojů, tj. zjistit na kterých módech anténa rezonuje (=vyzařuje) a jak. Až poté využijeme algoritmus EvalRadPattern, který byl v rámci DP rozpracován. Pozornost bude věnována i možné optimalizaci geometrie patche s ohledem na VD. Celá kapitola je koncipována podle Individuálního projektu, [70]. 6.1 Rozložení zdrojů Vlastní výpočet vyzařovacího diagramu (dále jen VD 1 ) je založen na řešení Maxwellových rovnic. K získání VD je potřeba znát přesné rozložení zdrojů na povrchu antény. Zdroji zde myslíme: (a) hustotu elektrického proudu J, nebo (b) fiktivní magnetickou proudovou hustotu M. 1 Máme na mysli směrovou, případně vyzařovací charakteristiku. Principy reciprocity a duality zajišt ují, že jsou shodné. Viz [11], [32]. 65

86 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.1. Rozložení zdrojů Obrázek 6.1: Postup výpočtu, ve shodě s [29] Tyto možnosti zobrazuje i obr Proudy nejsou pro daný typ patche dopředu známy, nebot jsou závislé na tvaru antény. Zatímco elektrické proudy jsou ideální pro drátové antény, pro patchové antény (tedy plošné, dále platí i pro trychtýře) je vhodnější využít ekvivalentních magnetických proudů (které tečou po hranách patche). Získáme-li totiž hodnoty těchto proudů, je určení vyzářeného pole jednodušší 2. Oba postupy, jak získat tyto proudy, jsou uvedeny dále. V dalším kroku se musíme rozhodnout, zda budeme VD určovat přímo z Maxwellových rovnic (dále MR), nebo si odvozování zjednodušíme zavedením potenciálů (tento postup je obecně preferován). Vektorový potenciál A, i skalární potenc. F využívájí známých diferenciálních identit ke zjednodušení tvaru MR. Zde pouze nastíníme myšlenku potenciálů 3. Pro vektorový potenciál A využijeme skutečnosti, že: div(rota) = 0, (6.1) pro libovolný vektor A. V oblasti beze zdrojů (tj. v nezřídlovém poli) potom přepisujeme z MR: divb = 0, (6.2) tedy Konečně B A = µh A = rota. (6.3) H A = 1 rota. (6.4) µ Podobně pro potenciál F pokládáme: div( rotf) = 0, (6.5) pro nezřídlovou oblast je Gaussův zákon elektrostatiky divd = 0 tedy (předpokládáme linearitu operátorů): D F = rotf, (6.6) 2 Jak z hlediska praktického, tak z hlediska časové náročnosti výpočtu. 3 Zápis má notaci ve shodě s [29] a [32], pouze značení grad ( ), dif ( ) a rot ( ) respektuje evropské, nikoli americké zvyklosti (tedy varianty vně závorek). 66

87 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.2. Odvození potřebných vztahů E F = 1 rotf. (6.7) ɛ Vztahy (6.4) a (6.7) jsou symetrické. Po odvození VD (uvedeno v další části) je potřeba dbát na správné značení souřadnicového systému. Řešení jednotlivých složek zpravidla získáme v kartézských souřadnicích, je tedy potřeba tyto výsledky převést do souřadnic sférických (transformační matice), nebo s tímto převodem počítat již při vlastním výpočtu. Nezbytným krokem je normování, často prováděné až po zlogaritmování výsledků (pro velkou dynamiku je zobrazení VD v logaritmickém měřítku mnohem názornější). Nyní přistupme k výkladu jednotlivých partikulárních problémů. 6.2 Odvození potřebných vztahů Vycházíme ze základního tvaru Maxwellových rovnic: roth = J + D t, (6.8) dive = 1 ρ. (6.9) ɛ Uvážíme-li dualitu mezi elektrickým a magnetickým polem (E H,H E,J M, atd., více v [32]), můžeme psát ekvivatelně: rote = M B t, (6.10) divh = 1 µ ρ m. (6.11) Náboj ρ m a proudová hustota M jsou pouze fiktivní, protože fyzikální representace těchto veličin není známa. Přesto tento formalismus podává správné výsledky. Známe-li rozložení proudů skutečných nebo fiktivních, je řešení (vnější) úlohy podobné. Nalezení zdrojů se věnují části 6.3 a 6.4, nyní předpokládejme, že tyto zdroje (J a M) známe. Rovnice řešíme s pomocí zavedených potenciálů podle [32]. Po dosazení a úpravě dostáváme: a E = gradf A t 1 ɛ rota m (6.12) H = gradf m A m t + 1 rota, (6.13) µ kde F a A jsou elektrické potenciály a F m a A m jsou magnetické potenciály. Splňují Lorenzovy podmínky. Řešení pro elektrické potenciály: F(r) = 1 ρ(r )G(r r )dv, (6.14) ɛ V 67

88 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.2. Odvození potřebných vztahů Obrázek 6.2: K odvození vyzařovacího diagramu A(r) = µ J(r )G(r r )dv (6.15) V a magnetické potenciály: F m (r) = 1 µ ρ m (r )G(r r )dv, (6.16) Funkci G(r 1 r 2 ) rozepíšeme: A m (r) = ɛ V V M(r )G(r r )dv. (6.17) G(r r ) = e jk r r 4π r r, (6.18) vektory r a r ukazuje obr Řešíme-li úlohu ve vzdálené oblasti, je r r a r proto zanedbáváme. Navíc R r. Pro R tedy platí: { r r R = cosψ pro fázi r pro amplitudu (6.19) Maximální fázová chyba této aproximace je π 8, za předpokladu, že pozorovací vzdálenost r je alespoň: r 2D2 (6.20) λ kde D je největší rozměr antény. 68

89 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.2. Odvození potřebných vztahů Dále si budeme všímat pouze relevantních vztahů (6.15) a (6.17) (podle [29]). Ty lze přepsat následovně: A = µe jkr 4πr N (6.21) F = ɛe jkr L, (6.22) 4πr kde (odsud dále předpokládáme plochý patch v rovině x-y, složku z vypouštíme) N = J(x, y)e jkr cos ψ dxdy (6.23) a L = x,y x,y M(x, y)e jkr cos ψ dxdy. (6.24) Ve vztazích výše jsou vytknuté integrály, které jsou podstatné pro tuto práci a také upravený průvodič, který úlohu zjednodušuje. Nyní vynecháme několik přepisů, které nejsou příliš důležité (čtenář je může nalézt na str. 287 v [29]) a uvedeme rovnou vztahy pro vyzařování v jednotlivých řezech: E r = 0 (6.25) E θ jke jkr ( ) = Lφ + ηn θ 4πr E φ jke jkr ( ) = Lθ ηn φ 4πr (6.26) (6.27) Integrály řešíme numericky, jde tedy o součet dvou sum. Podle transformace (6.40) můžeme jednotlivé složky v integrálech roznásobit: N θ = xmax ymax x min y min (J x cos θ cos φ + J y cos θ sin φ)e jkr cos ψ dxdy (6.28) Analogicky: N φ = xmax ymax x min y min ( J x sin φ + J y cos φ)e jβr cos ψ dxdy (6.29) L θ = xmax ymax x min L φ = y min (M x cos θ cos φ + M y cos θ sin φ)e jkr cos ψ dxdy (6.30) xmax ymax x min y min ( M x sin φ + M y cos φ)e jβr cos ψ dxdy (6.31) Dále potřebujeme vyjádřit průvodič r cos ψ pomocí veličin, které známe. Využijeme vztahu 6-127a až 6-127c v [29], nebot námi definovaná soustava je podobná. r cos ψ = r â r = (â x x + â y y ) (â x sin θ cos φ + â y sin θ sin φ) (6.32) 69

90 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.2. Odvození potřebných vztahů Pro pozici pozorovatele můžeme vyjádřit: Z výše uvedeného lze vztahy shrnout: E θ = jkηe jkr 4πr E φ = jkηe jkr 4πr (x,y) (x,y) r cos ψ = x sin θ cos φ + y sin θ sin φ (6.33) (K x cos φ + K y sin φ) cos θ e jk(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ) dxdy (6.34) ( K x sin φ + K y cos φ)e jk(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ) dxdy (6.35) K zastupuje zdroje: M podle následující části 6.3 nebo J podle části 6.4. Závěrem uved me pomocné vztahy potřebné k vyčíslení integrálů: η = µ ɛ = Z 0, (6.36) β = 2π λ = k, (6.37) λ = c 0 = (6.38) f β = ω µɛ, (6.39) transformační matici z kartézské do sférické souřadné soustavy: T r sin(θ)cos(φ) sin(θ)sin(φ) cos(θ) T x T θ = cos(θ)cos(φ) cos(θ)sin(φ) sin(θ) T y T φ sin(φ) cos(φ) 0 T z a pro úplnost i opačně (matice je symetrická podél hlavní diagonály): T x T y T z = sin(θ)cos(φ) cos(θ)cos(φ) sin(φ) sin(θ)sin(φ) cos(θ)sin(φ) cos(φ) cos(θ) sin(θ) 0 T r T θ T φ (6.40) (6.41) 70

91 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.3. Magnetické proudy 6.3 Magnetické proudy Obrázek 6.3: Pole E z na hranici (vlevo) a nad celým patchem (vpravo) Na základě principu ekvivalence lze odvodit vztahy pro vyzařování úzké štěrbiny apertury. Jako zdroj záření chápeme hrany patche, resp. náboj, který se hromadí na těchto hranách díky přitékajícímu proudu z plochy antény. Tyto proudy značíme M a nazýváme je magnetické proudy 4. Pole E z vybudí (indukuje) v těchto místech proudy se složkami x a y: M(x, y) = ze z n out (6.42) Získání jednotlivých skalárních složek E z zajišt uje EvalRadPattern skrze Comsol. Výsledek vidíme na obr. 6.3 vlevo. Obrázek 6.4: Stanovení normály na fraktální hranici 4 V tomto případě je název pouze konvencí. Viz [30], [31], [32]. 71

92 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.3. Magnetické proudy Do větších potíží se dostáváme, máme-li stanovit vnější normálu n out v jednotlivých bodech E z. Situaci objasňuje obr. 6.4, kde vlevo vidíme rozložení pole a příslušné normály a vpravo několik normál na hranách složitějšího fraktálu. Problém je dvojí zaprvé určit vektor normály z dostupných údajů v Comsolu, zadruhé určit směr normály (a to i v místech uprostřed koláže). Autor DP se pokoušel tyto údaje importovat z Comsolu do Matlabu, avšak neuspěl. Požadujeme totiž import dat, ke kterým je přístup mimo grafické rozhraní Comsolu obtížný, nebot se jedná o data upravená následným postprocessingem Rekonstrukce patche, získání dat pro normálu Na příkladu obdélníkového patche (zadán čtveřicí body) ukažme využitelná data: 1. Geometrie: geom2get(fem.geom, p ) nebo geom2get(fem.geom, mp ). Jde o rohové body obdélníků na obr. 6.5, tj. o body, které zadal uživatel. [ ] body = (6.43) geom2get(fem.geom, rb ), struktura obsahuje dvě pole. První obsahuje čísla křivek (subdomains, číslice 1-4 nalevo), druhé jejich směr (šipky domains direction). 2. Mesh (import z: ptd = posteval(fem, Ez, solnum,1, U,fem.sol, Edim,1,... Refine,1): ptd.p popisuje spojení všech nodů (vč. těch, co vzniknout při diskretizaci patche na obr. 6.5 značeny zelenými body). Svislé oddělovací čáry matice neobsahuje, pro přehlednost je ovšem doplňujeme. [ nody = ] (6.44) ptd.t ukazuje na směry mezi jednotlivými nody (opět po skupinách, červené šipky na pravém obdélníku). [ spoj = Comsol disponuje dvojicí funkcí, které tento neduh řeší: postinterp a posteval. Práce s nimi probíhá skrze prompt Matlabu a nastavení složitějších příkazů je zdlouhavé a komplikované. Navíc zjištění normály touto funkcí trvá velice dlouho. 72

93 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.3. Magnetické proudy ] (6.45) ptd.d je matice o velikosti (1, pocet nodu), obsahuje řešení pole E z v nodech ptd.p. res = [ ] (6.46) 3. Proměnná fem programu Comsol: fem.mesh.p representuje všechny nody mesh sítě [ ] sit = (6.47) fem.mesh.v ukazuje na ta místa matice fem.mesh.p, na kterých figurují body zadané uživatelem. Právě pomocí této matice lze získat první představu o tvaru fraktálu. Druhá řádka této matice obsahuje zpravidla hodnoty NaN. umist = [ ] (6.48) Obrázek 6.5: K normále v Comsolu Směr normály Podaří-li se nám sestavit patch, což je s ohledem na uvedená data obtížný úkol 6, narážíme stále na problém s normálou. Podle vztahu (6.42) máme směr E z vyjádřen 6 Výše uvedený příklad zobrazuje pouze obdélníkový útvar se čtyřmi body, v praxi však zadáváme fraktál pomocí mnoha polygonů s typicky 4 a více hranami. Po sjednocení na jeden patch se data nikterak neřadí. V Comsolu toto provádí jádro volané pomocí Javy, nelze se tedy podívat jak je úkol řešen tam. 73

94 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.3. Magnetické proudy jednoznačně vždy pouze ve směru +z nebo -z. Normála n out je závislá na orientaci hrany (spojuje body 1 a 2 na obr. 6.6) a lze si tedy představit dvě možnosti (červené šipky). Stanovit správný směr normály pouze s ohledem na geometrii samotného patche se doposud nepodařilo 7. Krok opačným směrem, tedy získání více informací o geometrii, je také nemožný (ukázáno výše) Využití hodnot NaN z Comsol gridu Jeden z alternativních postupů využívá matici hodnot, kterou získáme, dotážeme-li se Comsolu na hodnoty pole nad patchem. Tento návrh je inspirován některými funkcemi Matlabu, přesněji těmi, které pracují s NaN hodnotou. Funkce postinterp dokáže velice rychle vrátit 8 velikost elektrického pole nad patchem. Zobrazeno na obr. 6.3 vpravo. Vidíme, že vrací hodnoty v gridu. V místech, kde není hodnota známa (tj. mimo plochu patche) vrací Comsol hodnoty NaN. Pro jednoduchý patch můžeme dostat například takovouto matici: NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN (6.49) Za normálních podmínek NaN pouze indikuje ve shodě s definicí IEEE-745 jako Not a Number absenci řešení v této oblasti. Z našeho pohledu jde v podstatě o redundantní data, pro která však lze nalézt uplatnění 9. Vrat me se nyní k obr. 6.6 s dvěmi možnými normálami. Jedna míří přímo do patche a druhá ven. Míří-li ven, směřuje konec normály k hodnotě NaN, příp. s uvážením př a faktu, že Comsol bere grid pouze těsně kolem antény mimo matici gridu. Tato idea byla rozpracována krátce před dokončením diplomové práce, proto není testována. Její implementace by však nemusela být příliš složitá a práce s maticemi NaN hodnot je v Matlabu velmi rychlá. Tento postup lze využít i pro rekonstrukci tvaru patche, popisované v části Po získání těchto proudů bychom již pouze integrovali podél hranice patche C : M = M(c)e jkr cosψ dc, (6.50) C výsledek převedli do sférických souřadnic (transformační matice (6.40)) a normovali. Integrál (6.50) uvádíme s ohledem na odvození v části 6.2 (vzorec (6.24)). Otázkou však zůstává, zda do křivky C započítáváme i vnitřní hranice patche (6 děr na obr. 6.7). Tyto hrany také vyzařují, nevíme však, jak moc se podílí na výsledném tvaru diagramu. 7 Tato část byla konzultována nezávisle s několika vyučujícími na katedře matematiky bez výsledku. 8 Platí do počtu cca elementů. 9 Např. je zajímavé sledovat procentuélní obsah NaNů v IFS fraktálech. Tuto hodnotu vrací EvalRadPattern. Zpravidla jde o 20-45%, tj. IFS fraktál zabírá obvykle 55-80% plochy. Příklad 6.49 obsahuje 33.3% NaN hodnot. Tak můžeme odhadnout i obsah patche. Zjemňováním gridu navíc získáme rychlou a velice jednoduchou metodu odhadu mřížkové dimenze. 74

95 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.4. Povrchové elektrické proudy Obrázek 6.6: Stanovení normály pomocí NaN 6.4 Povrchové elektrické proudy Obrázek 6.7: Povrchové proudy pro 3000 elementů, napravo rozložení E z Druhá možnost, jak nalézt zdroje, je jistým způsobem komplementární k možnosti uvedené výše. V tomto případě tečou proudy přes celou plochu patche, což znesnadňuje výpočet VD, nebot jsme nuceni integrovat postupně přes všechny známé zdroje (tedy body plochy), a to pro všechny zvolené body 10 na kouli ve vzdálené oblasti. Dalším znepříjemněním je přítomnost zemní roviny (obr. 6.9). Ta působí jako zrcadlo, tečou po ní tedy také proudy a musíme je zahrnout do výpočtu, což lze provést násobením faktorem: GF = 2sin(khcos(θ)). (6.51) 10 Tyto body jsou stanoveny na základě kroku pro úhly θ a φ; krok zadává uživatel, při uvážení kompromisu mezi rychlostí a přesností. 75

96 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.5. Simulace v CST Obrázek 6.8: Povrchové proudy, 4.mód, více elementů Faktor GF je v podstatě roven tzv. array factoru AF (AF = 2cos(khcos(θ))). Zatímco GF odpovídá konfiguraci dvou protifázových dipólů, faktor AF počítá se soufázově umístěnými dipóly (zpravidla dipóly vedle sebe). Proud se indukuje vlivem elektrického pole E z, což lze postihnout následovně: H = 1 jωµ Z 0 grade z, (6.52) J = n H. (6.53) Co do velikosti je proud J grade z a s přihlédnutím k vektorovým součinům hledáme proudy v Matlabu následovně: J(x, y) = grade z (6.54) Korelace rozložení elektrického pole a tekoucích proudů zobrazuje obr Počet složek E z lze v EvalRadPattern ovlivňovat, výsledné proudy vypočtené z jemnějšího gridu jsou na obr

97 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.5. Simulace v CST Obrázek 6.9: Zahrnutí nekonečné zemní roviny Obrázek 6.10: Vyzařování dipólu, délka λ 2, 3D diagram z CST MWS 6.5 Simulace v CST Pro porovnání s výsledky v Matlabu byla provedena simulace v programu CST Microwave Studio. Zatímco v Matlabu počítáme VD obdélníhového patche, v CST byl simulován drátový dipól (elektrická délka zvolena podle požadovaného módu λ 2 a 3 2 λ). Předpokládáme ale, že velice tenký dlouhý patch bez zemní roviny vyzařuje ve dvou rovinách podobně jako dipól. Obrázky 6.11 a 6.10 odpovídají napájení jednou proudovou půlvlnou, obr a 6.13 pak napájení na trojnásobné frekvenci. Půl vlny dlouhý dipól má HPBW 78 a směrovost 2.15dB. Zde vyšly poněkud odlišné hodnoty (zejm. HPBW o několik stupňů), to však není podstatné, jde nám především o tvar VD. Další možností je simulace úzkého patche (stačí upravit předdefinový model). Protože však CST modeluje vyzařovací diagram pouze pro θ (0, π) a φ (0, 2π), dosáhneme stejných výsledků jako v případě tenkého dipólu. 77

98 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.6. Realizace EvalRadPattern Obrázek 6.11: Vyzařování dipólu, délka λ 2, řezy CST MWS Obrázek 6.12: Vyzařování dipólu, délka 3 2λ, 3D diagram z CST MWS 6.6 Realizace EvalRadPattern Výpočet proudů Nejprve je potřeba stanovit mřížku, pro jejíž uzly bude zjištěna hodnota E z. Její velikost může stanovit uživatel, a to souhrně nebo zvlášt pro směr x i y. Import rozložení elektrického pole z Comsolu zabírá v celém postupu nejvíce času a je silně závislý na jemnosti zadaného gridu, srovnání poskytují obr. 6.7 vlevo a 6.8. Získaná matice E z je řádková a proto ji pomocí funkce reshape převedeme na čtvercovou (obdélníkovou podle typu gridu). Nyní stanovíme gradient, proudy uložíme a případně vykreslíme. Část tohoto postupu byla využita i pro funkci Eval- InFem. 78

99 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.6. Realizace EvalRadPattern Obrázek 6.13: Vyzařování dipólu, délka 3 2λ, řezy CST MWS Algoritmus Vlastní integraci realizujeme pomocí sumace pomocných matic. K výpočtu přírustků používáme jednoduchou obdélníkovou metodu (obr. 6.14), která je v tomto případě dostačující aproximací, [24]. Postupným zjednodušováním algoritmů přecházíme z cyklů for na indexaci matic, čímž dramaticky zkracujeme dobu výpočtu. Obrázek 6.14: K obdélníkové metodě Naprogramovali jsme několik variant výpočtu. Postupně se podařilo zkrátit výpočet na cca. 5% času. Převedení odvozených integrálů (6.34) a (6.35) se ukázalo jako největší problém a tato část není dokončena. Zvýšené pozornosti je potřeba dbát při převodu proudů a zpětném přepočtu vypočteného vyzařovacího diagramu. K výsledkům více v části GUI Grafické rozhraní je zobrazeno na obr Okno postrádá ovládací prvky, pouze informuje o průběhu výpočtu a nastavení. V kontextu optimalizace jsou ovládací prvky nežádoucí. Jde o podobný solver jako EvalInFem s totožným způsobem připojení na 79

100 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.7. Rozbor výsledků PSO. Počet operací (Ops vlevo nahoře) ovlivňuje rychlost jednoho výpočtu. Inicializace GUIe probíhá automaticky a v případě PSO optimalizace je okno i automaticky uzavřeno. Obrázek 6.15: EvalRadPattern (screenshot) Optimalizace Optimalizace VD bude plně využitelná až po dokončení funkce OptimRadPattern, která řídí všechny úkoly spojené s výpočtem VD a váhuje získané výsledky. Pak bude možné zvolit i více cílů s váhou každého z nich. Budeme schopni také maximalizovat vyzařování v určitém směru, případně omezit postranní laloky. A to i pro vybraný mód. Více k optimalizaci ve zbývajících kapitolách. 6.7 Rozbor výsledků Obrázek 6.16: Složky F x a F y v kartézských souřadnicích 80

101 Nástroj pro modální analýzu FPA 6.7. Rozbor výsledků Podle zadání jsme analyzovali úzký patch s rozměry x = 10cm, y = 0.5cm. Následující obrázky (6.16 a 6.17) zobrazují obdržené výsledky. Pro lepší orientaci v řezech je přiloženo schéma Pro modelový příklad získáváme očekávané tvary VD. Adekvátní normování v Matlabu je ve spojitosti s vyzařováním poněkud delikátní problém, protože jednotlivé součtové složky (vybuzené elementárními proud. zdroji) se svou velikosti pohybují na hranici přípustné přesnosti (eps). Obrázek 6.17: VD velice úzkého patche Při výpočtech VD se vyskytly jisté nepřesnosti (tvar některých fraktálních křivek se vůbec nepromítne do výsledného řešení). Jejich zdroj se doposud nepodařilo odhalit může jít o implementaci výpočtu, převod z kaztézských do sférických souřadnic (v nesprávnou chvíli), případně o nepřesné uvážení výchozích vztahů. Obrázek 6.18: Orientace diagramů, barvy korespondují s obr Přes veškerou snahu se zatím nepodařilo tuto část zcela dokončit. Důvodem je zejména časová náročnost (mnoho času zabral efektivní export zdrojových dat z Comsolu 11 ), ale také paralelní práce na dalších částech (viz dodatek 12.3). Po odstranění těchto drobností se výpočet VD stane užitečným pomocníkem při analýze i optimalizaci IFS patch antén. 11 Původní záměr byl výpočet z magnetických proudů, avšak v cestě stojí zmiňované potíže s určením směru normály. 81

102 Kapitola 7 PSO optimalizace Zaprvé: matematika je jazykem přírody. Zadruhé: vše kolem nás může být reprezentováno a pochopeno čísly. Zatřetí: pokud znázorníte čísla jakéhokoliv systému, objevíte vzory. Tudíž, vzory jsou všude v přírodě. Důkaz? prolog filmu Pi (Darren Aronofsky, 1998) V mnoha vědních oblastech je nezbytnou součástí návrhu systému jeho optimalizace. Důvodem je prostý fakt, že ne vše lze jednoduše spočítat. Pro funkci f : S R n hledáme bod x m S takový, že: f(x m ) f(x), x S. (7.1) Hledáme-li maximum, invertujeme kritérium funkce. Předpokládáme neprázdnou množinu S, funkci f nazýváme objektivní funkcí (objective function), v souvislosti s PSO často též jako fitness funkci (fitness function, dále jen f.f.). Obecně můžeme optimalizační techniky rozdělit do dvou skupin: deterministické a pravděpodobnostní. PSO (Particle Swarm Optimalization) patří do druhé skupiny, nebot pozice jednotlivých členů hejna je spoluurčena náhodně generovanými čísly (více dále). Tak lze efektivně odolat konvergenci do lokálního minima funkce PSO algoritmus Historie Optimalizace vychází z rojové inteligence pozorované např. u včelstev a napodobuje jejich vzorce chování. V některých aspektech je PSO podobná ACO (Ant Colony Optimization), v jiných můžeme nalézt paralelu s GA (Genetic Algorithm). Ve všech případech jde o samo se organizující systémy vykazující silné kolektivní chování. 1 Zatímco v případě deterministických metod musíme využívat složitých úprav trajektorie a penalizace. 82

103 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.1. PSO algoritmus Zásadní rozdíl však spočívá v přístupu k členu hejna (agentovi), nad kterým jsou definovány určité operace a disponuje částí znalostí, které má celý roj. Tento princip je vysoce efektivní a dosahuje skvělých výsledků. Jistě ne nadarmo můžeme stejné vzorce chování odhalit u hejna ptáků, roje včel, ryb atp. Vlastní algoritmus izoloval roku 1995 Eberhart na základě simulací které provedl J. Kennedy, [45]. Od té doby vznikla celá řada studií a výzkumů, které PSO využívají. Její význam dokládá i fakt, že byla zařazena jako optimalizační metoda do nové verze CST MWS. Mezi velké výhody patří zejm. rychlost, jednoduchost, robustnost, odolnost vůči uvíznutí v lokálním minimu, využitelnost na velký soubor problémů a malé režijní nároky na výpočet 2. Nyní se věnujme vlastnímu principu PSO Princip PSO Idea vychází z existence určitého počtu agentů, kteří jsou rozmístěni nad optimalizovanou funkcí. Plochu funkce, tedy na které její části budeme minimum hledat, stanoví uživatel. Tento prostor se nazývá solution space (dále jen s.s.). Situaci zobrazuje obr Agenti se snaží nalézt minimum kdekoliv v s.s. (v případě obr. maximum, totiž místo s nejvíce květy). V mnoho aplikacích nemá řešení mimo s.s. smysl (v našem případě by mohla být vedle definované louky např. řeka, kde sledovat hustoru květů nemá smysl), proto se snažíme udržet agenty v určeném prostoru. Způsoby jak toho dosáhnout probereme později. Obrázek 7.1: Princip PSO 2 U jiných metod je potřeba navíc sledovat gradientní informace vlastní funkce. Zde si postačíme s pozicí a rychlostí každého agenta. 83

104 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.1. PSO algoritmus Každý agent si pamatuje svůj dosavadní nejlepší objev (pbest, proměnná p n id v rovnici (7.2)). Nejlepší objev celého hejna (gbest, p n gd ) je potom tím nejlepším ze všech osobních objevů. Chování jednotlivých agentů popisují následující dva vztahy. Nejprve uved me výpočet rychlosti agenta. Rychlost je stanovena v každé iteraci pro každého agenta zvlášt a ovlivňuje směr, jímž se pohybuje. Počet složek tohoto vektoru je rovný dimenzi (index d) řešeného problému. υ n+1 id = wυ n id + c 1r n 1 (p n id χn id ) + c 2r n 2 (p n gd χn id ) (7.2) V Matlabu je potřeba vsadit tuto rovnici do for cyklu, čímž je zajištěno procházení celého hejna (index i označuje agenty). Zabalením do dalšího for cyklu umožníme iterování celého problému od n = 1 do n = N (paralela k jednotlivým generacím u GA). Dále je nutno objasnit význam zbylých proměnných a konstant. Koeficient w je často nazýván váhovací faktor (weighted factor). Může být po celou dobu optimalizace konstantní, nebo se může měnit (potom je zadávana dvojice parametrů w max a w min ). Klesající koeficient zabraňuje nepříjemným oscilacím a zároveň stimuluje hejno ke konvergenci nad nalezeným globálním minimem. Parametry c 1 a c 2 udávají, nakolik bude výsledná rychlost odvozena od osobního minima daného agenta a nakolik od společného globálního min. Jejich optimální velikost bude diskutována v části 7.2. Bez komentáře zůstaly již pouze hodnoty r1 n a rn 2. V obou případech se jedná o náhodně generovaná čísla 3 s normálním rozložením v rozsahu (0,1), pro tyto účely je v Matlabu k dispozici funkce rand(). Víme-li již, jakým směrem a jak rychle se pohybují agenti, můžeme aktualizovat jejich pozici: χ n+1 id = χ n id + υn+1 id t. (7.3) Rovnice (7.3) odpovídá pohybové rovnicí. Nové umístění agenta tedy získáváme jako součet koordinátů v minulé iteraci pozměněné o pohyb v současné iteraci. Protože t může obecně nabývat libovolných hodnot, lze přiřadit t = 1 (jednotkový, diskrétní čas) Omezení agentů Vztahy uvedené výše žádným způsobem neomezují pohyb agentů, mohou tedy opustit s.s. Z toho důvodu bylo navrženo několik technik, které zajistí, aby se agenti nerozběhli daleko za hranice s.s. Mezi nejcitovanější a nejužívanější patří následující, [43]: Omezení maximální rychlosti agenta (υ n+1 id ) Ohraničující zdi: 1. Absorbční zed (Absorbing Wall, obr. 7.2 a) 2. Odrazná zed (Reflecting Wall, obr. 7.2 b) 3 Právě zde je ukryta síla PSO, nebot do algoritmu zanáší jistý stupeň nejistoty. 84

105 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO 3. Neviditelná zed (Invisible Wall, obr. 7.2 c) První uvedená možnost, tedy omezení rychlosti agentů, byla využita např. v [48]. Rychlost je omezena i uvnitř s.s., což není vhodné. Lepším řešením je použití jedné ze zdí. Ty popisují způsob, jakým je naloženo s agentem, pokud překročí povolené hranice. Neovlivňují průběh optimalizace uvnitř s.s. a navíc, pokud již agent opustil prohledávaný prostor, ho efektivně nasměrují zpět. Obrázek 7.2: Typy zdí používané v PSO V případě absorbční zdi je s.s. lemován pomyslným mantinelem. Ta složka rychlosti, která vede ven ze s.s. je nulována, agent se tedy pohybuje pouze podél ohraničení. Odrazná zed uprostřed obrázku 7.2 též obsahuje stěnu. Namísto vynulování je však složce rychlosti v nežádnoucím směru obrácena orientace (znaménko) a agent se tedy od stěny odrazí. Tyto dvě zdi využívají stejného principu, a to úpravy rychlosti 4. Užitím odrazné zdi umožníme agentům vyletět ze s.s., ovšem po jeho opuštění není vyhodnocována f.f. To zapříčíní pozvolný návrat 5 agentů zpět do s.s. Velkou předností je výrazná úspora výpočetního času, poněvadž jsou vyhodnocována pouze ta schémata, o která se skutečně zajímáme. I z tohoto důvodu se jedná o pravděpodobně nejlepší řešení pro většinu inženýrských problémů. Na závěr zrekapitujme důležité parametry PSO optimalizace v tabulce Optimální parametry PSO Výsledek, stejně tak jako rychlost, s jakou je řešení nalezeno, lze významným způsobem ovlivnit vhodnou volbou parametrů z tabulky 7.1. Konkrétně se budeme zabývat počtem iterací a velikostí hejna, a také koeficienty c 1 a c 2. Průběh jednotlivých optimalizací je v podstatě náhodný a jakékoliv údaje musíme získat jako průměr velkého počtu opakování (zpravidla 50). Celá procedura se tak stává časově náročnější. Proto dále pracujeme pouze s analytickými funkcemi. 4 Korektní je termín přírustkový vektor, ovšem zavedením jednotkového času tento vektor splývá s aktuální rychlostí. 5 Animace zachycující chování hejna s touto zdí je na přiloženém nosiči. 85

106 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO Parametr c 1 poznávací parametr (cognitive rate) c 2 sociální parametr (social rate) w min váhovací koeficient (na konci optimalizace) w max váhovací koeficient (na začátku optimalizace) t časová konstanta (nejčastěji volena jednotková, tj. t = 1) iterace počet iterací (vliv velikosti iterací viz níže) počet agentů počet agentů nad s.s. (viz níže) p n i (současné) individiální nalezené minimum agenta (f min (x i )) p n g (současné) globální nalezené minimum agenta f min (x i ) Tabulka 7.1: Shrnutí parametrů Nejprve uved me grafické průběhy. Jejich úkolem není zobrazit nalezenou hodnotu, sledujeme zde průběh funkčních hodnot v čase. Tento typ grafů je v anglické literatuře označován jako cost funkce (cost function, dále c.f.) a dává dobrou představu o průběhu optimalizace. Zajímavé jsou zejména růžové a fialová křivka. Na nich vidíme, že v případě zcela nevhodně nastavených parametrů nekonverguje hejno dostatečně. Následující tabulky demonstrují zásadní vliv parametrů c 1 a c 2 na konečný výsledek optimalizace. Úspěšnost algoritmu testujeme podmínkou, zda je nalezená hodnota menší než (Levy5, hodnota blízká známému globálnímu minimu 6, viz [46]). Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuštěno, 20 agentů iterace úspěšnost [%] chyb celkový čas [s] evalfun c 1 = 2.0, c 2 = 2.0, w min = 0.4, w max = % 48/ % 11/ % 4/ % 0/ % 0/ c 1 = 0.5, c 2 = 0.6, w min = 0.4, w max = % 10/ c 1 = 1.0, c 2 = 1.0, w min = 0.4, w max = % 4/ PC: HP Compaq nx6125 (Turion GHz, 768MB 333MHz) Tabulka 7.2: Success rate funkce Levy5 (se změnou iterace), 20 agentů 6 Více o funkci Levy5 uvedeme v kap. 8., kde bude popsán i PSOptimizer, v němž byly obdrženy tyto výsledky. 86

107 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO Obrázek 7.3: Optimalizace funkce Levy5 pro různá c 1 a c 2 (20 agentů, 150 iterací) Z aplikačního hlediska jsou zajímavé dva údaje. První je ten, kdy je úspěšnost poprvé rovna 100%, tedy chvíle, kdy optimalizace vždy najde správný výsledek. Tento moment lze určit pouze pro již zmapované funkce. Druhý zajímavý výsledek je ten s nejvyšší účinností v nejkratším možném čase 7. Vidíme tedy, že úspěšnost funkce lze významným způsobem zvýšit úpravou parametrů (c 1, c 2, ale i dalšími, kterými se zde nebudeme zabývat), což popisují některé studie 8. Na základě výsledků testování pracujeme s hodnotami c 1 = c 2 = 2, příp. c 1 = 0.5, c 2 = 2. Bohužel optimalizované funkce mají různý charakter, a proto jsou tyto parame- 7 V přímé úměře odpovídá případu s nejmenším celkovým počtem vyhodnocení fitness funkce (v tabulce evalfun). 8 Z počátku, v roce 1998 Kennedy doporučoval hodnoty c 1 = 2 a c 2 = 2, ovšem mnohdy se lepších výsledků dosahovalo s c 1 = 0.5. V současné době se obecně respektuje podmínka c 1 + c 2 4 (Carlisle a Dozier, 2001). Více např. [46]. 87

108 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO Obrázek 7.4: Optimalizace funkce Levy5 pro různá c 1 a c 2 (20 agentů, 150 iterací) Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuštěno, 45 agentů iterace úspěšnost [%] chyb celkový čas [s] evalfun c 1 = 2.0, c 2 = 2.0, w min = 0.4, w max = % 42/ % 1/ % 1/ % 0/ % 0/50 > c 1 = 0.5, c 2 = 0.6, w min = 0.4, w max = % 14/ c 1 = 1.0, c 2 = 1.0, w min = 0.4, w max = % 5/ PC: HP Compaq nx6125 (Turion GHz, 768MB 333MHz) Tabulka 7.3: Success rate funkce Levy5 (se změnou iterace), 45 agentů try voleny zpravidla na základě doporučení v referenční literatuře. Pro úplnost uved me i účinnost optimalizace při změně počtu agentů (tabulky 7.2, 7.3 a 7.4). Počet agentů je zpravidla pevně stanoven (nejčastěji jedinců). Zvýšit jejich počet je doporučeno u problémů, které jsou definovány na velmi rozlehlém s.s., anebo (zejména) pokud prohledávaný prostor obsahuje mnoho lokálních minim. Mnohem častěji je v případě problémů navýšen počet iterací, případně jsou pozměněny parametry c 1 a c 2. 88

109 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuštěno, 150 iterací agentů úspěšnost [%] chyb celkový čas [s] evalfun c 1 = 2.0, c 2 = 2.0, w min = 0.4, w max = % 28/ % 18/ % 4/ % 0/ % 0/ PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz Tabulka 7.4: Success rate funkce Levy5 (podle počtu agentů), 150 agentů Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuštěno, 50 iterací agentů úspěšnost [%] chyb celkový čas [s] evalfun c 1 = 2.0, c 2 = 2.0, w min = 0.4, w max = % 50/ % 50/ % 49/ % 47/ % 44/ c 1 = 0.5, c 2 = 0.6, w min = 0.4, w max = % 12/ c 1 = 1.0, c 2 = 1.0, w min = 0.4, w max = % 4/ c 1 = 1.5, c 2 = 1.5, w min = 0.4, w max = % 5/ PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz Tabulka 7.5: Success rate funkce Levy5 (podle počtu agentů), 50 iterací V omezeném rozsahu lze pracovat i s hodnotami w min a w max. Pokud chceme využít maximálního rozletu hejna až do konce optimalizace, ponecháme obě hodnoty stejně vysoké. Zpravidla však požadujeme, aby po hrubém nalezení řešení roj hledal kolem tohoto místa důkladněji. K tomuto účelu je vhodné nastavení hodnot w min = 0.4 (nejméně však 0.1) a w max = 0.9 (nejvýše 1.2). Tak efektivně omezíme i časté oscilace agentů. Pro hlubší porozumnění mechanismům PSO je vhodné zavést takové indikátory, které by byly měřitelné u všech optimalizovaných funkcí. Tento požadavek splňuje rozptyl, zavedený následovně: σ = ag i=1 ( pn g p n i ), (7.4) ag 89

110 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.2. Optimální parametry PSO Obrázek 7.5: Počet agentů mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agentů, 150 iterací) kde ag je celkový počet agentů. Tak lze pro stejně velké s.s. vzájemně porovnávat a sledovat rozlet hejna nezávisle na zkoumané funkci. Zajímavá hodnota v každé iteraci je i počet agentů mimo s.s. Pomocí ní můžeme odhadnout jak řešení konverguje a tím i efektivitu hejna. Obrázek 7.6: Rozptyl agentů, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agentů, 150 iterací) Na závěr krátce okomentujme obrázky 7.5 a 7.6. Grafy jsme získali na základě hodnot exportovaných z PSOPost, postprocessingového nástroje, který představíme v následující kapitole. Ten umožňuje vykreslit hladiny funkce s nalezeným globálním minimem a v animaci pohyb jednotlivých agentů. Rovněž můžeme sledovat hodnoty rozptylu a počet agentů mimo s.s. Na první pohled je patrné, že ač pro zcela rozdílné funkce jsou si průběhy dosti podobné a napovídají, jakým způsobem se pohybuje hejno během optimalizace. Může být předmětem dalšího výzkumu, zda lze této závislosti využít k zefektivnění PSO. Tuto domněnku jsme publikovali v [38], dosud však nebyl prostor jí hlouběji prozkoumat. 90

111 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.3. Stretched PSO 7.3 Stretched PSO Klasické pojetí PSO je dostatečně efektivní, přesto existují funkce (Corana 4D, XOR, Freudenstein-Rothova a další), kde selhává. K. E. Parsopoulos a M. N. Vrahatis v [47] navrhli postup, který dosahuje i pro problematické funkce stoprocentní účinnosti. Největším problémem zmíněných funkcí je existence mnoha lokálních minim. Ty stojí v cestě agentům při hledání globálního minima 9. Pro další účely si můžeme lokální minimum popsat jako nejmenší hodnotu funkce f v okolí B bodu x: f(x) f(x), x B. (7.5) A právě všechny body x krom globálního minima si přejeme eliminovat. Ukazuje se, že stretching technika je vhodným nástrojem na potlačení těchto (vedlejších) minim. V podstatě jde o transformaci předpisu f(x), která je provedena ve dvou krocích. Ihned po objevení lokálního minima podle (7.5) převedeme funkci podle vztahů: ( G(x) = f(x) + γ 1 x x sign ( f(x) f(x) ) ) + 1 (7.6) a sign ( f(x) f(x) ) + 1 H(x) = G(x) + γ 2 tanh (µ ( )), (7.7) G(x) G(x) kde γ 1, γ 2 a µ jsou libovolně zvolené vysoké konstantní hodnoty a sign(x) splňuje podmínku: 1 pro x > 0 sign(x) = 0 pro x = 0 (7.8) 1 pro x < 0 Funkci (7.8) můžeme numericky modelovat pomocí vztahu 10 : Obrázek 7.7: Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47] 9 Pochopitelně lze situaci řešit zvýšením počtu agentů a iterací, ale tento postup není příliš efektivní, resp. jeho efektivita strmě klesá s rostoucí složitostí funkce. 91

112 Nástroj pro modální analýzu FPA 7.4. GSO algoritmus sign(x) log sig(x) = exp ( λx ) λx = tanh, (7.9) 2 případně můžeme volat funkci sign v Matlabu. Testy SPSO pro funkci Levy5 dopadly podle [46] o 10-20% lépe. Jak vidíme na obr. 7.7 uprostřed (po transformaci G(x), podle (7.6)) a vpravo (po transformaci G(x) i H(x), podle (7.7)), lokální minima jsou roztažena a rozmazána, zatímco globální minimum zůstalo nedotčeno. V takto upravené krajině se mohou agenti pohybovat mnohem snadněji. Princip SPSO pouze nastiňujeme pro eventuelní budoucí využití. V současné podobě PSOptimizeru není stretched PSO využíváno všechny dosavadní úkoly spojené s optimalizací patch antén se ukázaly dostatečně řešitelné i pomocí klasického PSO v kombinaci s neviditelnou zdí. 7.4 GSO algoritmus V roce 2006 byla publikována práce [50], zabývající se možností spojit GA a PSO. Tato metoda je označována jako GSO (Genetical Swarm Optimization). Obrázek 7.8: Princip GSO optimalizace, na základě [50] Motivací bylo mj. zjištění, že v případě mimořádně složitých funkcí (10, 20 i více rozměrů s.s.) klesá účinnost PSO i GA k nule. Jejich spojení do GSO však poskytuje potřebnou flexibilitu a rapidně zvyšuje úspěšnost nalezení globálního minima. V každé iteraci jsou agenti nově vybíráni a upraveni pomocí PSO nebo GA. GSO je vhodné mít do budoucna na paměti, nebot s požadavkem na současnou optimalizaci rezonanční frekvence a vyzářovacího diagramu jsme nuceni na jedné straně zvětšovat rozlohu s.s., na druhé straně se vzrůstajícím počtem podmínek i počet rozměrů s.s. V důsledku se tak optimalizace stává o řád obtížnější. Realizace GSO je nenáročné díky tomu, že pouze slučuje dva již známe postupy, viz obr Jako největší obtíž se jeví vytvoření vlastního GA optimalizátoru, který komunikuje s PSO a zvolení vhodného formátu, s kterým GA i PSO dokáží pracovat. 10 Rovnice (7.9) je široce využívána i v oblasti umělých neuronových sítí. 92

113 Kapitola 8 PSOptimizer Princip PSO byl vysvětlen v předcházející kapitole, zde se zaměříme na vývoj optimalizátoru. Mezi praktickými požadavky byla na počátku prioritně rychlost algoritmu, jeho univerzálnost, možnost měnit jednotlivé parametry (iterace, počet agentů atd.), dále schopnost rekurzivního volání 1, řešitelnost problémů libovolné dimenze a v neposlední řadě stabilita (zdaleka ne všechny scénáře jsou řešitelné může jít např. o fyzikální omezení v souvislosti s optimalizací antény). Vyžadujeme možnost shrnout více prvků do jedné podmínky a tím je spřáhnout, aby byly optimalizovány nejednou (např. všechna 4 ramena fraktálu mají mít stejnou výsledkou hodnotu). Toto se podařilo zavedením PsoData struktury a speciální úpravou PSO algoritmu. Optimalizátor tak umožňuje pracovat zcela univerzálně. Dokončený PSOptimizer respektuje všechny výše uvedené požadavky. Nyní se věnujme jeho popisu, testování a ukázce zadávaní jednotlivých úloh. 8.1 Implementace Aplikace je stejného typu jako ostatní solvery (EvalInFem, EvalRadPattern). Obsahuje pouze minimum ovládacích prvků. Pro jednotlivé části jsme užili lokálních funkcí, fitness funkce je řešena separátně (definuje ji uživatel pro konkrétní problém). V inicializační části je ověřeno, jsouli hodnoty správně zadány, je stanovena počáteční generace agentů a vykresleno grafické rozhraní. Není-li zadán počet iterací a agentů, jsou dosazeny hodnoty 50 resp 25. Celý algoritmus přehledně shrnuje tab Počet optimalizačních podmínek 2 udává rozměr s.s., ale i dimenzi jednotlivých agentů. PsoData struktura může obsahovat i data, která se neoptimalizují (to je příklad i FRC koláže), je proto nutné data přeskupit. To je úkol funkce callff v tabulce Návratová hodnota funkce musí obsahovat nejen optimalizované údaje, ale i informace o nastavení PSO, jednotlivých generacích, konvergenci ke globálnímu minimu atd. 2 Spřažené podmínky se počítají jako jedna, nebot se jejich hodnota mění společně. 93

114 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.2. PsoData formát Obrázek 8.1: GUI PSOptimizeru GUI programu je navržen tak, aby byl jednoduchý 3, ale zároveň podrobně informoval o stávajícím stavu optimalizace. Text v levém rámu zobrazuje nastavené výchozí parametry, v pravé části potom aktuální průběh. Stupnice na ose y grafu zobrazujícího cost funkci je v (zde názornějším) logaritmickém měřítku. Tlačítko Exit ukončuje optimalizaci, nejdříve však po dokončení dané iterace. I v tomto případě se vrací výsledky, kterých bylo dosaženo 4. Základní tvar volání funkce je: res = PSOptimizer(PsoData, fitnessfunction,ag,it), kde ag je počet agentů, it počet iterací a řetězec fitnessfunction obsahuje jméno mfile souboru s fitness funkcí. Proměnná PsoData popisuje co a jakým způsobem se má optimalizovat. 8.2 PsoData formát Obsahuje následující pole: PsoData.data1 = [ ] PsoData.data2 = [ ] PsoData.data3 = [ ] PsoData.type = psopt PsoData.rank PsoData.bound{} = [ ] PsoData.cond{} = [ ] 3 Pokud je program volán opakovaně, nezatěžuje PC. 4 Tak nedojde ke ztrátě výsledků ani po přerušení několikahodinové optimalizace. 94

115 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.2. PsoData formát krok 1. krok 2. krok 3. krok 4. krok 5. krok 6. krok 7. krok 8. krok 9. krok 10. krok 11. krok 12. krok 13. krok 14. krok 15. krok 16. krok 1. krok 2. krok 3. PSOptimizer kontrola vstupních parametrů inicializace GUI tvorba hejna (náhodná pozice i rychlost všech agentů) vyhodnocení 1. iterace for i = 1:iteraciCelkem úprava w actual update rychlosti agentů update pozice agentů for j = 1:agentůCelkem if agent(j) s.s. callff end end update pbest, gbest výpis informací end callff upraví PsoData podle aktuálních agentů volá f.f. s aktuálními daty (PsoData) agentům je přiřazen výsledek f.f. Tabulka 8.1: Principiální schéma PSOptimizeru Předně do funkce vstupují 3 sloty (PsoData.data1-3), ve kterých se mohou umístit optimalizovaná data. Velikost matic data1-3 je libovolná, vždy však musí být všechny tři matice definovány (alespoň jako prázdné). Počet slotů volíme tak, aby byl dostatečný pro řešení IFS antén (body základního útvaru, transformace a iterační matice). Dalším polem je PsoData.type, které je fixně zadáno string řetězcem psopt. Pole je potřeba při identifikaci příchozích dat uvnitř funkce. PsoData.rank je nepovinný údaj, jenž koresponduje s dimenzí optimalizace. Na závěr zde figurují pole PsoData.bound, ve kterém jsou uloženy hranice 5 definující s.s. a také PsoData.cond, indexující optimalizované parametry 6. Matice PsoData.cond může mít libovolný počet řádek. Protože každá řádka označuje jednu optimalizovanou pozici v jedné z matic, lze takto svázat do jedné dimenze (PsoData.cond{dim}) několik optimalizovaných hodnot. Takové hodnoty jsou potom v rámci PSO považovány za jeden údaj a jsou optimalizovány společně. 5 Způsob zápisu: ProData.bound{dimenze}= [min max] pro danou dimenzi. a 1 b 1 c 1 6 Formát je následující: PsoData.cond{dimenze} = a 2 b 2 c 2, kde a odpovídá číslu da-... tového slotu 1-3, b ukazuje na řádku daného slotu, c potom značí pozici na řádce (číslo sloupce). 95

116 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.3. Fitness funkce, testy Tento postup je ideální v případě, že potřebujeme mezi některými hodnotami zachovat fixní poměr (jejich rovnost). Uvedeným postupem zajistíme, že do funkce vstupují všechna uživatelská data (fitness funkce tedy může s těmito daty komplexně pracovat) a navíc ucelený údaj co a v jakých mezích se má optimalizovat. Tento přístup šetří čas a umožňuje optimalizovat pravidelné útvary. 8.3 Fitness funkce, testy Strukturu PsoData musíme zohlednit při návrhu jakékoliv fitness funkce. Nikoliv pouze hlavičky, ale i při zpracování dat zaslaných PSO algoritmem na ohodnocení. Definice funkce by měla odpovídat následujícímu vzoru: function fitnessvalue = fitnessfunction(sign, tested data) String sign má vždy hodnotu eval, často ho využíváme pro označení volání 7. Proměnná fitnessvalue vrací zpět hodnotu, podle které se celá roj pohybuje (v případě EvalRadPattern rezonanční frekvenci dominantního módu). Uvnitř tested data nalezneme sloty.data1-3 podobně jako v PsoData, v tomto případě obsahují aktuální hodnoty určené k vyhodnocení funkce (např. základní útvar, optimalizované transformace a iterace). Díky volání externího mfilu, můžeme využívat PSOptimizer pro libovolné účely postačí dodržet předepsanou hlavičku f.f. (mfile) a data zadávat ve formě Pso- Data 8. Vzhledem k neexistenci řádného PSO toolboxu v Matlabu, může být využití PSOptimizeru dobrou volbou. Testované funkce Před využitím k návrhu patch antén je nutné ověřit funkčnost PSOptimizeru na analytických funkcích, u kterých známe výsledek (tj. globální minima). Algoritmus byl prověřen následujícími funkcemi: Kvadratická funkce Rosenbrockova funkce Funkce Levy No.5 Funkce jsou rozdílně členité (krajina, kterou se pohybují agenti) a jsou dostatečně popsány v literatuře, lze tedy verifikovat získané hodnoty. Algoritmus byl využit i pro optimalizaci jiných funkcí (Levy No.3, Rastigrinova funkce... ), ve všech případech PSO podalo očekávané výsledky. Metodika využitá pro hodnocení výsledků optimalizace respektuje obvyklé postupy ([46] a další). 7 Např. EvalInFem nebo EvalRadPattern podle něj poznají, že jde o optimalizaci a nevypínají na konci grafická okna, jinak nakládají i s chybami. 8 Využití PSO v antenní technice je obrovské. Od optimalizace zářičů, přes úpravy čoček, reflektorů a ohnisek, až po komplexní optimalizace celých systémů. 96

117 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.3. Fitness funkce, testy Funkce 1 (kvadratická) f kv (x) = x 2 10 (8.1) Na této funkci demonstrujeme vliv neviditelné zdi 9. Pokud s.s. zvolíme pouze v rozsahu 2, 5, bude nalezené minimum rovno -6, a to i přes to, že jednotliví agenti mohou krátkodobě proniknout i blíže k 0 na ose x. Situace je znázorněna na obr Obrázek 8.2: Optimalizace kvadratické funkce v rozsahu x 2, 5 Funkce 2 (Rosenbrockova) f(x) = N i=1 ( 100(x i+1 x 2 i ) 2 + (x i 1) 2) (8.2) f ro (x, y) = 100(y x 2 ) 2 + (x 1) 2 (8.3) Funkce se široce uplatňuje ve většině optimalizační testů. Pro svou monotonii (obr. 8.3) lze využít i gradientní metody, nebot nehrozí uvíznutí v lokálním minimu. Globální mininum můžeme nalézt na souřadnicích x = 1, y = 1 a hodnota f(x min, y min ) = 0. Podle rovnice (8.2) je funkce definována v [43], využijeme však jednoduššího tvaru (8.3). Obr. 8.4 ukazuje, jak rychle klesá chyba, s kterou je nalezeno globální minimum. Tuto rychlost lze výrazně ovlivnit nastavením parametrů w min a w max. Pokud váhovací koeficient s iterací klesá, klesá také příspěvek nově vypočtené rychlosti a agent je spíše udržován v současné pozici. Eliminujeme tím oscilace, při kterých agenti kmitají kolem nalezeného minima. 9 Neviditelná zed se uplatňuje nepřímo tím, že neumožní vyhodnotit možné nižší minimum v rozsahu 2, 2. Vybraná pole PsoData pro tuto optimalizaci jsou rovna: PsoData.rank = 1; PsoData.cond{1} = [1 1 1]; PsoData.bound{1} = [2 5]. 97

118 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.3. Fitness funkce, testy Obrázek 8.3: Rosenbrockova funkce, s.s. 10, 10 10, 10 a cost funkce Obrázek 8.4: Konvergence ke skutečnému minimu Rosenbrockovy funkce Funkce 3 (Levy No.5) f l5 (x, y) = 5 i=1 ( ( i cos (i 1)x+i )) 5 j=1 ( ( )) j cos (j+1)y+j +(x ) 2 +(y ) 2 (8.4) Na prostoru 2, 2 2, 2 můžeme nalézt 760 lokálních a jedno globální minimum (souřadnice x = , y = ). Velikost s.s. je úmyslně zvětšena na 10, 10 10, 10 (jako u Rosenbrockovy f.). Tato funkce dobře testuje odolnost vůči uvíznutí agentů v lokálních extrémech. Úspěšnost optimalizace pro různá nastavení ukazují tab. 7.2 až 7.5 a obr Z presentovaných výsledků je vidět, že návrh PSO algoritmu byl úspěšný a mnohdy dosahuje vyšší účinnosti než srovnatelné publikované algoritmy, viz [46] a [48]. To je dáno pravděpodobně použitím vhodného typu zdi a testováním pro 98

119 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.4. Zpracování výsledků Obrázek 8.5: Funkce Levy No.5, s.s. 10, 10 10, 10 a cost funkce relativně (v kontextu optimalizace) jednoduché funkce. 8.4 Zpracování výsledků V souvislosti s optimalizací nás nezajímá pouze vlastní výsledek, tedy geometrie koláže s nejnižší rezonanční frekvencí, požadovaným VD atp. Chceme znát i průběh optimalizace, chování jednotlivých agentů, jak vypadá prohledávaná funkce a míra efektivity celého hejna. Přirozeně, abychom tyto informace získali, musíme zahrnout do PSO další techniky. Pro plné využití potenciálu PSO definujeme výstup v následujícím tvaru: res.data1 = [ ] res.data2 = [ ] res.data3 = [ ] res.done res.score res.type = optim res.history.populposition = [ ] res.history.iter = [ ] res.history.value = [ ] res.history.psodta = [ ] res.options.... Výstupní pole obsahuje opět sloty 1-3, patřičné hodnoty jsou ale optimalizovány. Hodnota f.f. pro tyto hodnoty je uvedena v res.score. Pole done referuje o zdárném ukončení PSO (res.done = 1), v opačném případě je res.done = 0 (určeno jako návěstí pro nadřazené programy). Res.options uvádí parametry, za kterých byla optimalizace dokončena a konečně res.history obsahuje většinu vnitřních stavů PSOptimizeru v 99

120 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.4. Zpracování výsledků každé iteraci. Právě tohoto pole lze využít např. pro vykreslení cost funkce (obr. 8.2 vpravo pro kvadratickou funkci), nebo pro vykreslení pozice jednotlivých agentů v dané iteraci (screenshot 53. iterace je vidět na obr. 8.6). Souvislosti mezi uvedenými formáty jsou naznačeny na obr dodatku PSOPost Pro dynamické zobrazení průběhu optimalizace byl vytvořen program PSOPost. Náhled ukazuje obr V tuto chvíli je promítání optimalizace omezeno na dvě existující podmínky (2D). Počítáme však s rozšířením do 3D, kdy jednotlivé podmínky půjdou zvolit (neomezený počet podmínek). Do programu byl dodatečně připojen výpočet rozptylu agentů, později i výpočet všech, kteří překročili hranice s.s. Tyto hodnoty jsou i real-time vykreslovány do grafů vpravo. Obrázek 8.6: Program PSOPost, vč. průběhu funkce Levy5 a agentů Ovládací rozhraní je jednoduché. Obsahuje tlačítka na spuštění videa, jeho pauzu (opětovné spuštění restartuje video) a tlačítka na reset canvasu a ukončení programu. Funkce může být volána s celou řadou parametrů a nastavení. 100

121 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.4. Zpracování výsledků PSOPost syntaxe Program disponuje celou řadou možností, jak jej volat. Základní tvar PSOPost(PsoData,res,0) pouze zpracuje res a zobrazí pohyb roje v s.s. a patřičné parametry. Příznak 0 (false) zajistí, že animace je pouze připravena a start zajistí uživatel ( Run movie ). Další příkaz umožňuje vykreslit hladiny funkčních hodnot f.f. v daném s.s. Tyto hodnoty musí být zpracovány ve formě dvou sloupcových matic [x],[y] a m n matice [z] o rozměrech (x,y). Pak lze PSOPost volat: PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z). Pokud navíc požadujeme návrat vypočtených hodnot, využijeme: [roz age] = PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z). Při změně příznaku 0 na 1 (true) je po spuštění aplikace automaticky spuštěna animace: [roz age] = PSOPost(PsoData,res,1) nebo [roz age] = PSOPost(PsoData,res,1,x,y,z). Vhodným vylepšením, umožňující ještě lepší náhled na chování hejna, je zavedení vektorů, které by v každé iteraci zobrazovali směr a velikost přírustkového vektoru (rychlosti). Obrázek 8.7: Pozice agentů pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s ) DVD obsahuje video s ukázkou pohybu hejna při hledání minima úlohy H2 (označení úloh viz další kapitoly) a další snímky PSO optimalizace. 101

122 Nástroj pro modální analýzu FPA 8.5. Spojení s EvalInFem 8.5 Spojení s EvalInFem Z pohledu PSOptimizeru se jedná o standardní optimalizaci po porovnání dat je ve funkci calff volána f.f. EvalInFem. Díky parametru eval (namísto stat, jak bylo uvedeno v 5. kapitole) CM analyzátor pozná, že příchozí data jsou optimalizována a běh programu je podřízen spuštěné PSO. Celý postup je netradiční v tom smyslu, že zatímco v drtivé většině případů je optimalizován analytický předpis, zde je to výsledek celé sady operací generace a úpravy IFS, analýzy CM modelu a navrácení správné rezonanční frekvence. 8.6 Zrychlení metody Vzhledem k faktu, že drtivou většinu času trvá vyhodnocení fitness funkce (dutinový model) a režie PSOptimizeru je minimální, je vhodné, až na jeden případ, mluvit spíše o zvýšení efektivity než o zrychlení celé metody. Tou jedinou vyjímkou je možnost využití distribuovaných výpočtů. Matlab podporuje distribuované výpočty ve více úrovních. Motivací je maximální zrychlení výpočtu. První úroveň, využívající vícejádrových procesorů, je nativně aktivována a zabudované matematické knihovny Matlabu defaultně pracují vícejádrově. Stále se však jedná pouze o jeden proces, který je zpracováván více procesory. Druhý level paralelizace obsahuje Parallel Computing Toolbox. S tímto toolboxem lze vytvářet a řídit běh více paralelních procesů. A konečně poslední úrovní je společné využití Parallel Computing Toolboxu a Matlab Distributed Computing Serveru. Do jednoho clusteru lze pojmout max. 256 procesorů (PC jsou propojené v síti). Pochopitelně využití této technologie vyžaduje patřičné licence 10. Vzhledem k časové náročnosti optimalizace je distribuovaný výpočet logickým krokem k jejímu zkrácení. Např. při možnosti vytvořit cluster o cca. 15 PC, kdy se dostáváme na velikost jedné generace členů hejna v PSO, zrychlujeme výpočet takřka 15x a můžeme si dovolit úvahy o záměně dutinového modelu za nepoměrně přesnější metodu momentů, více [12], [33] a další. Hotové rozhraní by se dalo využít i pro jiné úlohy v souvislosti s Matlabem. Vzhledem k uvedeným nárokům na licence, je tato část zatím pouze v přípravě. Více k licenční politice, i cenám samotným na stránkách [98]. Ostatní techniky (SPSO, GSO) byly zmíněny dříve. 10 Krom základního Matlabu tedy ještě Parallel Computing Toolbox, Matlab Distributed Computing Server, příp. Matlab Compiler. 102

123 Kapitola 9 IFSLimiter Jak jsme ukázali v předchozích kapitolách, zadávání optimalizační podmínek není příliš přehledné. Zjevně je to daň za zobecněný přístup, jenž užíváme. Situace je u IFS fraktálů o to složitější, že optimalizovaný parametr má na koláž pouze zprostředkovaný vliv (je potřeba nejprve IFS vypočítat). K přehlednému nastavení všech parametrů a mezí slouží IFSLimiter. Je vhodné poznamenat, že tento nástroj neslouží k tvorbě ani úpravě koláže, k tomu jsou určené IFSMaker a AntTool. 9.1 Struktura programu Z programátorského hlediska se jedná o samou mez, kdy lze využít strukturovaného programování. IFSLimiter obsahuje přes 120 funkcí na 3500 řádcích. Aplikace se spouští bez dalších argumentů. Screenshot je zobrazen na obr Fraktál se po načtení FRC (nebo PsoData) objeví uprostřed, jeho velikost lze upravit zoomem. Všimněme si, že body i transformace mají před svými koordináty tag (P- nebo T-), toho využijeme při zadávání podmínek. Postup je následující: 1. Načtení koláže FRC. Je automaticky zarovnána a vykreslena. 2. Vytvoření nové položky s hranicemi s.s., např. (0, 10). Tlačítko New stock. 3. V tabulce zobrazující tyto položky vybereme právě vytvořenou a tlačítkem Add condition otevřeme průvodce pro zadávání optimalizačních podmínek. 4. V zobrazeném okně se můžeme ujistit, že je vybrána vhodná dimenze s.s. Zvolíme, zda se optimalizace bude týkat bodu či transformace. 5. Následující krok zobrazí všechny dostupné body/transformace a jejich souřadnice. Z nich zvolíme tu správnou hodnotu. Finish uloží podmínku do připraveného slotu. 103

124 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.1. Struktura programu Obrázek 9.1: IFSLimiter 6. Zadanou podmínku si nyní můžeme vykreslit. Stačí ji vybrat v dolní tabulce a zvolit SHOW. Červené hranice pak značí minimum, kterého koláž může při optimalizaci této podmínky nabýt, zelená hranice značí maximum. Jedna hranice (Stock) může obsahovat i více podmínek, což bývá v souvislosti s IFS velice časté. V tomto případě lze ovlivnit, zda se budou vykreslovat všechny podmínky z jedné hranice, či pouze vybrané. Protože při zadávání hranic není ještě zřejmé, čemu připadnou (bodu, transformaci), nemůže IFSLimiter hlídat správné zadávání hodnot 1. To je vyžadováno od uživatele. Defaultně lze vykreslit pouze jednu hranici, tak aby byla situace přehledná, lze jich však vhodným nastavením 2 vykreslit i více, viz obr Již existující hranice i podmínky lze libovolně editovat, mazat a znovu vytvářet. Při práci se složitější koláží je často vhodné skrýt body, základní objekt nebo transformace. To umožňuje menu Show v horní liště. Lze nastavovat i grafiku jednotlivých prvků. Podrobněji je práce s IFSLimiterem zpracována v pdf nápovědě k programu. Narozdíl od IFSMakeru změny v nastavení grafiky a odezva na některé příkazy není automatická, ale je potřeba kliknout na Refresh. Podobně jako předchozí 1 Máme zde na mysli zejm. podmínku kontrakce pro IFS. Pokud by výše uvedená hranice (0, 10) platila pro parametr a transformační matice, který správně nabývá hodnot (0, 1), nebude dodržen požadavek afinních transformací. 2 Volby Show only one Stock a Show all Conditions. 104

125 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.2. Testovací úloha editory, i tento obsahuje některé další funkce, usnadňující vlastní práci. Lze namítnout, že výhodnější by bylo spojit IFSMaker a IFSLimiter do jednoho programu. To je však těžce realizovatelné hlavně v souvislosti s univerzalitou obou nástrojů. Přehlednější je proto rozdělení úkolů tak, jak je tomu v současnosti. 9.2 Testovací úloha Jednotlivé mechanismy demonstrujme na jednoduchém příkladu. Předpokládejme obdélník, jehož delší stranu bychom rádi optimalizovali. Neuvažujme nyní fixní délku hrany nastavenou v EvalInFem na 10cm. Situace je zobrazena na obr Obrázek 9.2: Obrázek optimalizačních mezí pro testovací úlohu Délku obdélníka ovlivňuje parametr a transformační matice. Pokud nastavíme F RC.iter rovno [1 1 1], tj. vypočtena bude 1. iterace a pouze tato bude použita na vlastní patch, můžeme rozsahem parametru a ovlivňovat délku výsledné koláže. Je-li velikost obdélníka 10 4 cm a koeficientu a 0.6, bude výsledná délka 6cm, resp. velikost 6 4. Obrázek 9.3: Zadání podmínky, vstup a výstup Zvolme tedy hranice s.s. v rozsahu (0.6, 1), jak ukazuje i obrázek 9.3. Nyní k této 105

126 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.3. Zadání úloh hranici přidáme podmínku. V prvním kroku zvolíme transformace, poté klikneme vlevo na transformaci T 1 (víc jich ani pro obdélník nemáme) a zvolíme parametr a. Tento výsledek exportujeme jako PsoData do Matlabu (na obr. 9.3 vpravo, je vidět i doplnění polí bound a cond) a spustíme optimalizaci. Rezonanční frekvence dominantního módu je dána pouze délkou optimalizované hrany a nejmenší vychází pro nejdelší hranu. PSOptimizer proto vrací výsledek 10cm. 9.3 Zadání úloh Stejným postupem, jaký byl uveden u příkladu výše, řešíme i složitější struktury s více body a transformacemi. Iteraci zpravidla volíme 3, což je vhodný kompromis mezi požadovanou křivostí útvaru a rychlostí výpočtu. Na následujících řádcích popišme konkrétní úlohy, které byly optimalizovány. Výsledky a jejich rozbor provedeme v následující kapitole. Úlohy jsou značeny podle jednoduchého klíče, který nám zajistí systematický přístup ke všech vstupům i výstupům optimalizace. Písmeno je odvozeno od názvu zdrojové koláže (FRC A, FRC B apod.), číslo značí pořadí optimalizace. Všechny provedené simulace jsou uvedeny v tabulce na DVD. Ta obsahuje souřadnice koláže, nastavení, počáteční podmínky, celkový čas a výsledky optimalizace. Na dalším listu tabulky je přehled užívaných FRC Úloha A1 Do DP byly vybrány vzorové úlohy se třemi tvarově odlišnými zářiči. K zadávání podmínek využíváme IFSLimiter. Zobrazení 9.4, 9.5, 9.7 a 9.8 dávají představu o optimalizovaných parametrech. Obrázek 9.4: Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu A1 V tomto případě, obr. 9.4, optimalizujeme velikost jednotlivých trojúhelníků. Rozměr s.s. je (0.5, 0.7). Minimum je limitováno celistvostí patche. Již při hodnotách koeficientů a a d 0.5 se jednotlivé trojúhelníky dotýkají pouze v bodech, což eliminuje tekoucí proudy po struktuře. S rezervou je tedy za minimum považována hodnota

127 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.3. Zadání úloh Obrázek 9.5: Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu B Úloha B1 Pro Minkowského fraktál je důležitý zejm. tvar střední spojky (tj. první transformace základního objektu). Ten může nabývat mnoha tvarů, viz obr Pro základní tvar fraktálu jsou hodnoty transformačních koeficientů středové příčky rovny: a = 0.2, d = 0.334, b = c = e = f = 0. PSO se pokusí najít nižší frekvenci v rozsahu a (0.1, 1) d (0.334, 1). Tento s.s. je tedy dvourozměrný. První dvě úlohy jsou dostatečně jednoduché, abychom případné výsledky mohli ověřit rychlou parametrickou analýzou. Zároveň se na nich prokáže, zda všechny součásti fungují bezchybně Úloha B3 Jak ukazuje obr. 9.6, tato úloha zkoumá vliv naklonění ramen fraktálu FRC B. Obrázek 9.6: Úloha B3 v IFSLimiteru Toho lze docílit pomocí změny koeficientů c, d. Ty zajišt ují rotaci a zkosení objektu. Pomocí IFSLimiteru lze efektivně hlídat, kdy je ještě koláž souvislá a kdy se již rozdělí na menší části. Díky tomu byl stanoven optimalizovaný interval na 107

128 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.4. Rozšířené možnosti IFSLimiteru (0, 0.1) Úloha C3 Největší snížení frekvence dominantního módu očekáváme v případě tohoto fraktálu. Je velice členitý, lze tedy nalézt mnoho optimalizačních podmínek. Navíc má tenkou spojku a vysoká ramena, která dále prodlužují rezonanční délku. Obrázek 9.7: Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu C3 Začneme jednoduššími podmínkami (C1-C3) a postupně přidáváme další (C4- C6). Jak naznačuje obr. 9.7, budeme zkoumat optimální pozici střední spojky (zda dole, uprostřed nebo nahoře) a míru zasunutí postranních ramen Úloha C6 K předchozí úloze C3 byly přidány další dvě podmínky. Obě pracují s body 3, jak ukazuje obr Tato úloha je v programu IFSLimiter zobrazena na obr. 9.1 (pouze první dvě podmínky). Přestože obsahuje celkem 7 neznámých, díky spřažení nám stačí čtyřrozměrný s.s. 9.4 Rozšířené možnosti IFSLimiteru IFSLimiter byl postupem času rozšířen o další užitečné moduly. Mezi ně patří parametrická analýza, obr Lze analyzovat pouze načtený fraktál, všechny hranice (se všemi podmínkami), vybranou hranici (s podružnými podmínkami), vybranou podmínku, v závislosti na stupni iterace. Krok sweepu je nastavitelný a výstupní informace jsou volitelné. Po uložení a startu je opětovně volán EvalInFem 4, který ukládá výsledky do IFSLimiteru. Ty si lze prohlédnout v Parameter sweep Show results, a tím získat hrubý přehled o chování struktury. Z pohledu optimalizace je také zásadní pro všechny scénáře uchovat pokud možno celistvý tvar koláže. Zda tomu tak je pro všechny hranice se všemi 3 Vždy dva vrcholové body jsou spřaženy do jedné hranice/stocku tak, aby se měnily najednou. 4 Vyžaduje připojený Comsol. 108

129 Nástroj pro modální analýzu FPA 9.4. Rozšířené možnosti IFSLimiteru Obrázek 9.8: Obrázek optimalizačních mezí pro úlohu C6 Obrázek 9.9: IFSLimiter: parametrický řešič podmínkami ověřuje funkce Check subdomains. Existuje-li varianta, kdy se koláž rozpadne, je tato s upozorněním zobrazena. V nezbytných případech (viz změna měřítka a pevný bod) je též vhodné mít možnost přesunout střed fraktálu o určitou vzdálenost. Pak jsou upraveny odpovídající koeficienty transformací a IFS je znovu vygenerováno. Pro podobné účely lze v IFSLimiteru upravit i vybraný bod, příp. transformaci. Tyto úpravy jsou dosažitelné z menu Tools. 109

130 Kapitola 10 Optimalizace a analýza FRC Optimalizační proces probíhá podle schématu Obrázek 10.1: Postup optimalizace Jsou do něj zapojeny všechny moduly, které jsme doposud představili. Po vytvoření koláže (IFSMaker) a nastavení podmínek (IFSLimiter) dochází k inicializaci PSO (počet agentů, počet iterací). Po spuštění PSOptimizeru je v každém kroku volána fitness funkce (EvalInFem) a skrze ní i jádro Comsolu. K řešiči Eval- InFem lze přistoupit již dříve, a to bud parametrickou analýzou nebo jednorázovým řešením z Matlabu. Na závěr jsme vybrali tři fraktály, které byly v minulé kapitole připraveny k optimalizaci. Její výsledky nalezneme v tab Podmínky jsou bud bodové (b) nebo transformační (tr), značka 3tr pak značí 3 podmínky se společnou hranicí. Počet agentů (Ag.) i iterací (it.) byl volen různý podle složitosti optimalizace a s ohledem na typ struktury. V rámci jedné struktury je potřebný čas přibližně úměrný součinu agentů a iterací (viz B1 a B3), v případě různých struktur (B3 vs. C3) to však neplatí. Je to dáno různou složitostí meshe a tedy i různou délkou výpočtu. První úloha (A1) došla ke stejnému fraktálu, který byl zadán na vstupu. To 110

131 Nástroj pro modální analýzu FPA PsoData A1 B1 B3 C3 C6 Podmínky 3tr, 3tr 1tr, 1tr 4tr, 4tr 1tr, 2tr 1tr, 2tr, 2b, 2b Ag., it. 15, , , 75 25, 75 25, 80 f r před PSO 637 MHz 684 MHz 684 MHz 637 MHz 637 MHz f r po PSO 637 MHz 408 MHz 504 MHz 543 MHz 310 MHz f r MHz 180 MHz 94 MHz 327 MHz Zlepšení 0% 40.3% 26.2% 14.8% 51.3% Doba výpočtu ( ) 4813s 2209s 3066s 2062s (*) nezaznamenáno Tabulka 10.1: Výsledky vybraných optimalizací Obrázek 10.2: Několik agentů optimalizace A1 ukazuje, že pro zadané podmínky (tedy velikost trojúhelníků) je známá hodnota ta nejlepší. Několik agentů této optimalizace ukazuje obrázek Při rozboru výsledků se musíme vyvarovat určitým chybám. Např. A1 vrací jako optimální pro obě podmínky hodnotu 0.5, ta je však (jak bylo uvedeno v minulé kapitole) chybná, nebot spojuje části koláže jen v bodech. Z toho plyne, že pro každý výsledek je vhodné zkontrolovat navrženou koláž přímo v Comsolu (CST, IE3D, TCM atd.). Po úpravě na vychází správné výsledky. PSO algoritmus tímto způsobem postupuje automaticky a pro všechny podmínky. Je proto dobré již při jejich zadávání meze správně omezit. Další úloha je lehce ověřitelná pomocí jednoduché parametrické analýzy. Hledáme minimum s pomocí změny šířky a výšky střední příčky fraktálu FRC B. Pro všechny extrémy je hodnota rezonanční frekvence uvedena na obr Nejnižší 111

132 Nástroj pro modální analýzu FPA Obrázek 10.3: Několik agentů optimalizace B1 Obrázek 10.4: Několik agentů optimalizace B2 frekvenci nalézáme pro případ v dolní řadě uprostřed (f r = 409 MHz, a = 0.1, b = 1). Ke stejnému závěru docházíme i s pomocí PSO (f r = 408 MHz, a = , b = ). S dobrým výsledkem pak skončila optimalizace C3 a C6, kde bylo dosaženo značného poklesu rezonanční frekvence. Struktury navíc nepotřebují další úpravy. Významný pokles v případě C6 je dán masivní úpravou geometrie (obr. 10.8). Na základě optimalizovaných dat se můžeme podívat i na pokles frekvence s iterací u optimalizovaného i neoptimalizovaného patche, obr Průběh je pro oba zářiče podobný, pouze v případě po PSO (zelená křivka) je mírný výkyv v 2. iteraci. Pokud aproximujeme hodnotu optimalizované koláže v první iteraci na základě ostatních hodnot, získáme zajímavý poznatek. Optimalizace fraktální struktury trend poklesu f r s rostoucí iterací pouze posouvá směrem k nižší frekvenci. Směrnice poklesu zůstává stejná. Obrázek 10.9 ukazuje krajinu optimalizace úlohy H2. Vrstevnice naznačují stejné hodnoty frekvence. Ze známých hodnot s.s. a zadaných podmínek lze určit 112

133 Nástroj pro modální analýzu FPA Obrázek 10.5: Závislost rez. frekv. na iteraci před PSO a po PSO Obrázek 10.6: Parametrické srovnání rez. frekvenci dominantního módu všech odvozených zářičů. Kontury funkce byly zjitěny systematickým sweepem přes celý s.s. ( hodnot). Z uvedených příkladů je vidět, že snižování rezonanční frekvence (resp. zmenšování rozměrů patche) je v Comsolu realizováno zužováním cest, kudy teče proud. Tyto spoje jsou díky PSO zmenšovány až za mez výrobní tolerance. Správným nastavením hranic všech podmínek lze tomuto úkazu efektivně předcházet. Druhým důležitým faktorem je prodlužování dominantní proudové cesty. Vyvstává otázka, zda jsou uvedená zjednodušení platná obecně (figuruje tento mechanismus i v TCM?). V této kapitole byly shrnuty výsledky celého projektu. V případě vhodně nastavené optimalizace může pokles rezonanční frekvence překročit i 50%. Stále je však nutné finální zářič podrobit pokročilejší analýze, ve které je zpravidla rozdíl mezi původním a optimalizovaným tvarem menší. Omezeni jsme i ze strany 113

134 Nástroj pro modální analýzu FPA Obrázek 10.7: Několik agentů optimalizace C6 použitelných koláží a výrobních možností. Bohužel, systematičtější přístup je časově velmi náročný. Neuvádíme proto příklady dalších optimalizačních úloh, ani jednotlivé rezonanční frekvence všech FRC koláží. Všechny toto údaje jsou uvedeny na DVD, je možné je zjistit i s pomocí EvalInFem a PSOptimizeru. Důležitost PSO se ještě zvětší s požadavkem na multipásmovou optimalizaci. 114

135 Nástroj pro modální analýzu FPA Obrázek 10.8: Výsledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace) Obrázek 10.9: Pohyb agentů při úloze H2, začátek (vlevo) a závěr (vpravo) 115

136 Kapitola 11 Závěr Tato práce měla za cíl ukázat, že v geometrické rovině lze nalézt nový typ objektů, které jsou vhodné jako zářiče patch antén v mnoha ohledech více, než běžně využívané euklidovské útvary. Ukázali jsme některé zajímavé vlastnosti fraktálních křivek a nalezli analogie v přírodě. Pro četná zjednodušení jsme zvolili generaci IFS struktur, ta byla popsána vč. příkladů a potřebných nástrojů. Vlastní simulaci předcházel výběr vhodné numerické metody a její implementace. Výsledky CM analýzy byly srovnány s referenčními simulátory. Pro malou výšku nad zemní rovinou je chyba minimální. Zvážili jsme možnost optimalizovat tvar antény při fixním zachování fraktálního charakteru, tak jsme došli k optimalizaci IFS parametrů. Toho bylo dosaženo díky PSO; dokončený PSOptimizer dosahuje skvělých výsledků, doložitelných i na řadě testovaných funkcí. Popsány byly způsoby, jak ze známých dat extrapolovat VD, vč. jeho výpočtu. Pro zpracování výsledků, kalibraci PSO, úpravu nodů a řízení optimalizace je potřeba celá sada nástrojů, které byly postupně představeny. Vyjmenujme v heslech důležité výsledky diplomové práce: Vznikl efektivní a názorný generátor IFS fraktálů, který lze využít ve výuce numerických metod, Matlabu a anténní problematiky. Vznikly nástroje na simulaci a analýzu IFS antén, viz dodatek 12.3, vč. řešiče EvalInFem, který má mnohostranné využití. Byly odvozeny a navrhnuty nové postupy hodnocení IFS koláží a nalezeny nové fraktály (FRC J, FRC K a další) Zavedeny byly formáty FRC a PsoData. Byl vytvořen univerzální a rychlý optimalizátor PSOptimizer. Ten lze využívat na rozličné typy úloh. Úspěšně jsme implementovali metodu, která vypočte, exportuje a zpracuje proudy z Comsolu. Díky nim lze vypočítat VD. 116

137 Nástroj pro modální analýzu FPA Analyzovány byly vybrané IFS patche, které se podařilo s pomocí PSO zmenšit (resp. nalézt při stejném rozměru nižší f r ). Mnoho problémů zůstalo nedořešeno, některá řešení nejsou optimální a vyžadují další úpravy. Občas se (vždy však s upozorněním) vyskytuje nepodložená domněnka nebo myšlenka. Zde jsou možnosti, jak v projektu pokračovat: Prozkoumat možnosti návrhu IFS pomocí neuronových sítí s kritériem obsahu, obvodu, 1. módu a mřížkové dimenze. Případně alespoň nalézt a zkonstruovat další tvary IFS koláží ručně. Místo CM využít TCM řešič (vyřešit související problémy). Zrychlit IFSMaker, dokončit moduly na sweep, box-counting, zrychlit práci s Tune nástrojem a správu velkého počtu objektů. Opravit měření obsahu a počtu segmentů pro komplikovanější útvary, otestovat přesnost NaN metody i pro výpočet mřížkové dimenze. Pokusit se extrahovat vnější normálu pomocí NaN metody (rychlejší výpočet VD). Upravit algoritmus na výpočet VD a zrychlit jej, upravit jeho optimalizaci na váhování více cílů. Je možný další rozvoj PSO hledání více minim najedou, možnost vytvářet více rojů, SPSO pro analytické funkce, GSO, další možnosti zpracování. Soustavné studium vlastností fraktálních zářičů s nasazením vyvinutých nástrojů (velikost fraktální dimenze a obsahu vs. rezonanční kmitočet, případně rozložení módů). Klasifikace módu na základě bitmapy (vhodné vylepšení i pro TCM), dodatečná stratifikace módů, označení módů se silně lokalizovanými proudy. Užitečnost celé práce může posoudit jen a pouze její čtenář, kterému tímto děkuji, dostal-li se až na závěr. Když je dílo dokonáno, necht se člověk vzdálí. Lao-C, O Tau a ctnosti, IX. báseň 117

138 Literatura Monografie [1] Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar: MATLAB pro začátečníky. 2.vydání, BEN, Praha, ISBN [2] Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar: MATLAB tvorba uživatelských aplikací. 1.dotisk 1.vydání, BEN, Praha, ISBN [3] Ivan Zelinka, František Včelař, Marek Čandík: Fraktální geometrie: principy a aplikace. BEN, Praha, ISBN [4] Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman, [5] Benoit B. Mandelbrot: Fraktály: tvar, náhoda a dimenze. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 163. ISBN [6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a řádem. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 160. ISBN [7] Ilya Prigogine, Isabelle Stengersová: Řád z chaosu. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 158. ISBN [8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2., User s Guide, The MathWorks, [9] The MathWorks: Using Matlab Graphics. ver. 7., User s Guide, The Math- Works, [10] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User s Guide, The MathWorks, [11] Miloš Mazánek, Pavel Pechač: Šíření elektromagnetických vln a antény. dotisk 2.vydání, ČVUT, Praha, Nakladatelství ČVUT, publikace. ISBN

139 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [12] Jan Macháč, Karel Novotný, Zbyněk Škvor, Jaroslav Vokurka: Numerické metody v elektromagnetickém poli. ČVUT, Praha, Nakladatelství ČVUT, ISBN [13] Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození. 1.vydání, BEN, Praha, ISBN [14] Zdeněk Nováček: Elektromagnetické vlny, antény a vedení. [15] Jiří Šíma, Roman Neruda: Teoretické otázky neuronových sítí. [16] Blanka Heringová, Petr Hora: Matlab. Díl I. - Práce s programem. Plzeň, 1995, H-S. [17] Blanka Heringová, Petr Hora: MatLab. Díl II. - Popis funkcí. Plzeň, 1995, H-S. [18] Andy H. Register: A Guide to Matlab Object-Oriented Programming. SciTech Publishing Inc., Atlanta, Georgia, USA. ISBN [19] The MathWorks: Classes and Object-Oriented Programming. User s Guide, The MathWorks, [20] The MathWorks: Matlab Compiler. ver. 2., User s Guide, The MathWorks, [21] Petr Olšák: Lineární algebra. ČVUT, Praha, Také na: ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/. [22] Felix T. S. Chan, Manoj K. Tiwari: Swarm Inteligence Focus on Ant and Particle Swarm Optimization. I-Tech Education and Publishing, ISBN [23] Karl E. Lonngren, Sava V. Savov: Fundamentals of Electromagnetics with Matlab. Scitech Publishing Inc., ISBN [24] Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris: Applied Numerical Methods Using Matlab. John Wiley Inc., ISBN [25] Solving the Engineering Problem. [26] Jaan Kiusalaas: Numerical Methods in Engineering with Matlab. Cambridge University Press, ISBN [27] J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, Peter Peregrinus Ltd. ISBN chapter 1 3 [28] Constantine A. Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed., USA, John Wiley. ISBN

140 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [29] Constantine A. Balanis: Advanced Engineering Electromagnetics. USA, John Wiley. ISBN Chapter 6. [30] J. R. James, P. S. Hall, C. Wood: Microstrip Antenna Theory and Design. USA, Peter Peregrinus Ltd. ISBN [31] Thomas A. Milligan: Modern Antenna Design. 2nd ed., USA, John Wiley. ISBN [32] S. J. Orfanidis: Electromagnetic waves & Antennas. orfanidi/ewa. [33] Sergey N. Makarov: Antenna and EM Modeling with Matlab. USA, John Wiley. ISBN [34] Kenneth Falconer: Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications. USA, John Wiley. ISBN (HB) [35] Gerald Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry. 2nd ed., USA, Springer. ISBN [36] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs [37] Comsol AB.: Comsol Documentation , Comsol Články a příspěvky [38] Miloslav Čapek, Pavel Hazdra: PSO optimalizace v Matlabu. Technical Computing Prague 2008, ISBN sborníku: ISBN [39] Miloslav Čapek: PSO Optimization of IFS Fractal Patch Antennas. Poster 2009, CTU-FEE, Prague. [40] Pavel Hazdra, Miloslav Čapek, Jan Kraček: Optimization Tool for Fractal Patches Based on the IFS Algorithm. EuCAP 2009, Berlin. [41] Pavel Hazdra, Miloslav Čapek: IFS Tool for Microstrip Patch Antenna Analysis. In Proceedings of the 14th Conference on Microwave Techniques COMITE 2008 [CD-ROM]. Praha: Československá sekce IEEE, 2008, p ISBN [42] Jordi Romeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and Their Applications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wireless, [43] Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization in Electromagnetics. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2, pp , February

141 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [44] Nanbo Jin, Yahya Rahmat-Samii: Advances in Particle Swarm Optimization for Antenna Designs: Real-Number, Binary, Single-Objective and Multiobjective Implementations. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 55, No. 3, pp , March [45] James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. IEEE, pp , [46] K. E. Parsopoulos, M. N. Vrahatis: Recent approaches to global optimization problems through Particle Swarm Optimization. Natural Computing, pp , [47] K. E. Parsopoulos, V. P. Plagianakos, G. D. Magoulas, M. N. Vrahatis: Stretching Technique for Obtaining Global Minimizers Through Particle Swarm Optimization. Dostupné na: neum/glopt/mss/parpm01.pdf [48] Ružica M. Golubović, Dragan I. Olćan: Antenna Optimization Using Particle Swarm Optimization Algorithm. Journal of Automatic Control, Vol. 16, pp.21-24, [49] Chia-Feng Juang, Yuan-Chang Liou On the Hybrid of Genetic Algorithm and Particle Swarm Optimization For Evolving Recurrent Neural Network. [50] A. Gandelli, F. Grimaccia, M. Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich: Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for Antenna Design. AUTOMATIKA 47 (2006) 3 4, str [51] Sergey Makarov: MoM Antenna Simulation with Matlab: RWG Basis Functions. EM Programmer s Notebook [52] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna. IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, [53] Krzysztof Gdawiec: Fractals [54] Carla M. Riggi: Hutchinson Operators In R 3. [55] J. Láčík, Z. Raida: Analýza planárních struktur pomocí metody momentů a jejich optimalizace. VUT v Brně, příspěvek [56] M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol [57] M. V. Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum Billiard Geometry. University of Bristol, Bristol

142 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [58] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-band Antenna. AWPL [59] D. H. Werner, P. L. Werner, K. H. Church: Genetically Engineered Multiband Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No [60] Z. Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE, X/99. [61] P. Hazdra, M. Polívka, V. Sokol: Microwave Antennas and Circuits Modeling Using Electromagnetic Field Simulator. [62] Christopher Lum: Matlab Class Tutorial. Autonomous Flight Systems Laboratory, [63] Matt Aasted: Primer on Scripting Comsol with Matlab [64] André Waser: On the Notation of Maxwell s Field Equations. [65] R. F. Harrington, J. R. Mautz: Theory of Characteristic Modes for Conducting Bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-19, No. 5, pp , Sept [66] J. C. Malzahn Kampe: Matlab Programming [67] Shardul Bhatia, Wen Eu Cheah: Matlab Documentation for OOP. Dostupné na: spring/ Práce většího rozsahu [68] Miloslav Čapek: Možnosti generování fraktálů pomocí IFS. Semestrální práce, FEL ČVUT. Praha, [69] Miloslav Čapek: Modální analýza mikropáskových patch antén. Bakalářská práce, FEL ČVUT. Praha, [70] Miloslav Čapek: Implementace vyzařovacího diagramu v prostředí Matlab. Individuální projekt, FEL ČVUT. Praha, [71] Pavel Hazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep. of Electromagnetic Field, CTU. Prague, [72] Pavel Tišnovský: Interaktivní editor afinních transformací. Diplomová práce, VUT. Brno, [73] Pavel Hazdra: Fraktálové antény. Diplomová práce, FEL ČVUT. Praha,

143 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [74] Jan Rohan: Návrh patchové antény pomocí genetického algoritmu. Bakalářská práce, VUT. Brno, [75] Genetické algoritmy. Diplomová práce, Praha. [76] Miroslav Janošík: Algoritmy pro optimalizaci sítí GAME. Bakalářská práce, FEL ČVUT. Praha, [77] Miloš Němec: Optimalizace pomocí mravenčích kolonií. Diplomová práce, ČVUT. Praha, [78] Martin Štumpf: Frekvenčně selektivní struktury s fraktálními motivy. Bakalářská práce, VÚT v Brně. [79] Vlastimil Koudelka: Neuronová sít pro návrh širokopásmové antény. Bakalářská práce, VÚT v Brně. Brno, [80] Aleš Maršálek: Multifrekvenční ozařovač malé parabolické antény s kruhovou polarizací. Diplomová práce, VÚT v Brně. [81] Pavel Hamouz: Analýza antén metodou charakteristických módů. Diplomová práce, FEL ČVUT v Praze. Praha, [82] Robert Zálešák: L-systémy a systémy iterovaných funkcí Popis a realizace v prostředí Matlab. Bakalářská práce, VUT. Brno, [83] Robert Wiesner: Užití a zneužití fraktálů. Diplomová práce, Masarykova Univerzita. Brno, [84] Petr Pauš: Počítačové metody analýzy fraktálních množin. Diplomová práce, FjFi ČVUT v Praze. Praha, [85] Marta Cabedo Fabrés: Systematic Design of Antennas Using the Theory of Characteristic Modes. Ph. D. dizertace, Universidad Politécnica de Valencia, Internetové zdroje [86] Fraktály v počítačové grafice, na serveru: Seriál. I. IV [87] Galleries and Resources: Otevřená galerie fraktálů. [88] Genetic Algorithms in Plain English: [89] Matlab tutorial1: beda/cz/matlab/primercz/. 123

144 Nástroj pro modální analýzu FPA Literatura [90] Matlab tutorial2: [91] Simulace elektromagnetického pole. Presentace dostupná na: nebo [92] Numerická simulace elektromagnetického pole Simulátory elmag. pole. Presentace k předmětu na: [93] Rojová inteligence, mravenční kolonie. Osobní stránky zabívající se mj. rojovou optimalizací, na: [94] Objekty a objektové paradigma. [95] Metoda konečných prvků. [96] Počítačové generování fraktálních množin. pauspetr/html/skola/fraktaly/ reserse.htm Toc [97] Vybrané fraktály a jejich dimenze. [98] Humusoft. Stránky výhradního prodejce Matlabu, Comsolu a HeavyHorse stanic v ČR. Dostupné na: [99] Matlab. [100] Comsol Multiphysics. [101] Computer Simulation Technology. [102] EM Software & Systems-S.A.. [103] Benoit B. Mandelbrot: Fractals in Science, Engineering and Finance. Video přednáška na MIT, 124

145 Rejstřík σ-algebra, 11 šířka pásma, 40 absorbční zed, 84 afinní transformace, 8 agent, 83 apertura, 71 bázové funkce, 42, 47 Banach,Stefan, 7 Banachova věta, 7 Barnsley, M. F., 3 Besicovitch, Abram S., 3 Borelovská množina, 13 C++, 19 callback funkce, 20 Carathéodory, Constantin, 14 charakteristické proudy, 50 charakteristický úhel, 51 Comsol Multiphysics, 49 cost funkce, 86 CST-MWS, 62 datový typ, 21 Demko, S., 3 Diracův impuls, 43 diskretizace, viz mesh dokonalá elektrická stěna, 44, 49 dokonalá magnetická stěna, 44 Eulerova rovnice, 50 excitační koeficient, 52 FEKO, 56 fraktál, 3 Fredholmova teorie, 44 funcionál, 46 funkce (Matlab), 22 Galerkinova metoda, 43, 46 Hölderova funkce, 13 handle, 20 harmonický ustálený stav, 44 Hausdorff, Felix, 3 Hausdorffova dimenze, 13 Helmholtzova vlnová rovnice, 45 Hutchinson, John E., 5 Hutchinsonův operátor, 5 IFS, 3 Java, 19 kolektivní chování, 82 kontrakce, 6 Kroneckerovo delta, 51 Lagrangeův variační princip, 49 lineární operátor, 41 Lipschitzova funkce, 13 míra, 11 mřížková dimenze, 15 Makarov, Sergey N., 52 Mandelbrot, Benoit B., 3 Matlab, 19 mesh, 47, 56 metrika, 6 Moler, Cleve, 19 napájení antény, 39 nesmyslné módy, 57 Neumannova podmínka,

146 Nástroj pro modální analýzu FPA Rejstřík neviditelná zed, 85 odrazná zed, 84 pevný bod, 6 postupná proudová vlna, 39 princip ekvivalence, 71 proudová hustota, 67 Register, Andy H, 21 rezonance, 46, 50 Richardsonův efekt, 4 Ritzova metoda, 46 rojová optimalizace, 82 RWG bázové funkce, 52 Scierpinského trojúhelník, 17, 127 skalární potenciál, 50, 66 skalární součin, 42 skript (Matlab), 22 soběpříbuznost, 4 soběpodobnost, 4 solution space, 83 stojatá proudová vlna, 39 Thomsonův princip, 46 topologická dimenze, 11 transformační matice, 70 trojúhelníkovou nerovnost, 6 vektorový potenciál, 50, 66 vlastní čísla, 45 vnější normála,

147 Kapitola 12 Přílohy 12.1 Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.1: Fraktál FRC A v první, druhé a třetí iteraci Obrázek 12.2: Fraktál FRC A inicializační objekt a transformace Parametry IFS: FRC A.base =

148 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů FRC A.tran = FRC A.iter = [ ] Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.1: Parametry koláže FRC A Obrázek 12.3: Fraktál FRC B v první, druhé a třetí iteraci Obrázek 12.4: Fraktál FRC B inicializační objekt a transformace Parametry IFS: FRC B.base =

149 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů FRC B.tran = FRC B.iter = [ ] Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.2: Parametry koláže FRC B Parametry IFS: Obrázek 12.5: Fraktál FRC C v první, druhé a třetí iteraci FRC C.tran = FRC C.base =

150 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.6: Fraktál FRC C inicializační objekt a transformace FRC C.iter = [ ] Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.3: Parametry koláže FRC C Parametry IFS: FRC D.base = FRC D.tran = FRC D.iter = [ ] 130

151 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.7: Fraktál FRC D v první, druhé a třetí iteraci Obrázek 12.8: Fraktál FRC D inicializační objekt a transformace Parametry IFS: FRC E.base = FRC E.tran = FRC E.iter = [ ] 131

152 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.4: Parametry koláže FRC D Obrázek 12.9: Fraktál FRC E v první, druhé a třetí iteraci Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.5: Parametry koláže FRC E Parametry IFS: FRC F.tran = FRC F.base = FRC F.iter = [ ] 132

153 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.10: Fraktál FRC E inicializační objekt a transformace Obrázek 12.11: Fraktál FRC F v první, druhé a třetí iteraci Parametry IFS: FRC H.base = FRC H.tran = FRC H.iter = [ ] 133

154 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.12: Fraktál FRC F inicializační objekt a transformace Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.6: Parametry koláže FRC F Parametry IFS: FRC J.tran = FRC J.base = FRC J.iter = [ ] 134

155 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.13: Fraktál FRC H v první, druhé a třetí iteraci Obrázek 12.14: Fraktál FRC H inicializační objekt a transformace Parametry IFS: FRC K.base =

156 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.7: Parametry koláže FRC H Obrázek 12.15: Fraktál FRC J v první, druhé a třetí iteraci FRC K.tran = FRC K.iter = [ ] 136

157 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.16: Fraktál FRC J inicializační objekt a transformace Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.8: Parametry koláže FRC J Obrázek 12.17: Fraktál FRC K v první, druhé a třetí iteraci Počet nodů a polygonů: 1.iterace 2.iterace 3.iterace Nodů Polygonů Tabulka 12.9: Parametry koláže FRC K 137

158 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek A: Výběr IFS fraktálů Obrázek 12.18: Fraktál FRC K inicializační objekt a transformace 138

159 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek B: Simulace vybraných FRC 12.2 Dodatek B: Simulace vybraných FRC Obrázek 12.19: VD pro 1. mód koláže FRC F (CST-MWS) 139

160 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek B: Simulace vybraných FRC Obrázek 12.20: VD pro 2. mód koláže FRC F (CST-MWS) 140

161 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek B: Simulace vybraných FRC Obrázek 12.21: Módy struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava) Obrázek 12.22: Módy struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava) 141

162 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek B: Simulace vybraných FRC Obrázek 12.23: Proudové rozložení dominantních modů 142

163 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek C: Přehled aplikací 12.3 Dodatek C: Přehled aplikací Obrázek 12.24: Schéma celého projektu Název Status Komentář AntTool 09/08 pozastaveno IFSMaker nedokončeno +sweep, FEM, poly a další IFSLimiter 11/08 PSOptimizer 1/09 +multiple-min, DBT, GSO / SPSO PSOPost 2/09 volba dimenzí, další údaje EvalInFem 10/08 max f r podle meshe EvalRadPattern 03/09 upravit algoritmus OptimRadPattern ne DBT ne podle licence Tabulka 12.10: Přehled všech vyvinutých nástrojů 143

164 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek D: Příkazy AntTool 12.4 Dodatek D: Příkazy AntTool Příkaz Operace add pt x,y uloží bod [x, y] add tr a,b,c,d,e,f uloží transf. podle [a, b, c, d, e, f] add it x uloží počet iterací, v rozsahu (1, 15) save pt X uloží všechny body do souboru points arrayx.mat save pt otevře dialog, ukládá do zadaného txt souboru save tr / tr X ukládání transformací, podobně jako u bodů save ifs X uloží polygony (cell) do externího souboru save ifs x,y,z jako výše, ale od iterace y do iterace z save pc screenshot obrázků, otevře výběr možností load pt X načte slot X s body load pt otevře dialog pro výběr txt souboru load tr / tr X načítání transformací, jako u bodů cor pt x umožní opravit bod č.x cor tr x lze opravit transformaci x del pt x,y,z,... smaže body č.x,y,z,... del tr x,y,z,... smaže transformace č.x,y,z,... del pt/tr 0 maže všechny body/transformace sw pt vykreslí zadané body sw tr vykreslí zadané transformace sw ifs vykreslí celou koláž sw ifs y,z vykreslí IFS od iterace y do z solve ifs vypočte IFS fraktál sc txt načte a vyřeší skript z B program source/script data1.txt about ant otevře info okno Tabulka 12.11: Přehled1 dostupných příkazů programu AntTool (Matlab) Většina uvedených příkazů má více tvarů, rozšiřující jejich možnosti. Tento přehled je základní a měl by umožnit vytvořit a vykreslit koláž. I když funkci Ant- Toolu převzal IFSMaker, je vhodné tyto příklady uvést, nebot dokladují, že i v Matlabu lze vytvořit fungující konzoly založenou na přesném tokenizeru a rychlé interpretaci rozdělených příkazů Dodatek E: Srovnání programů Tato příloha dokladuje vývoj vybraných aplikací od BP k DP. 144

165 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek E: Srovnání programů Vyžaduje připojený Comsol Multiphysics conv ifs převede IFS na FEM geometrii conv ifs y,z převede IFS na FEM geometrii od it. y do z conv poly převede polygony na FEM geometrii sw geom vykreslí FEM geometrii siz ifs xk,yk body koláže jsou násobeny xk,yk dim ifs slot najde max. rozměr koláže a ten vypíše mesh geo Y,Z diskretizuje FEM geometrii, Y je multiplik., Z Q min a další... Tabulka 12.12: Přehled2 dostupných příkazů programu AntTool (Comsol) Obrázek 12.25: CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo) 145

166 Nástroj pro modální analýzu FPA Dodatek E: Srovnání programů Obrázek 12.26: IFS editor z BP (dole) a DP (nahoře) 146