Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou
|
|
- Tereza Kubíčková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný text je komentovným přepisem podsttné části mých1 přednášek z předmětu Mtemtik, který je přednášen v prvním ročníku n oborech krjinářství výrob tvorb nábytku n Lesnické dřevřské fkultě Mendelovy univerzity v Brně. Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text tké nbízí oporu v oblstech, které jsou vyloženy poněkud odlišně, než je tomu v doporučovných skriptech může doplnit studentovy vlstní zápisky z přednášek, které jsou čsto neúplné nebo zkrtkovité t už z důvodu (učitelov) zkráceného zápisu n tbuli, nebo z důvodu nízké pozornosti (student) při psní poznámek. Oproti přenáškám skriptům jsou v textu vypuštěny motivční, plikční vzorové příkldy doprovodné obrázky. Text je poměrně krátký hutný, proto není míněn jko náhrd doporučené litertury. Text je šířen v elektronické podobě je nepřípustné do něj jkkoliv zshovt. Text je primárně určen k tisku, protože s textem n ppíře se přece jenom prcuje nejpohodlněji. Pro studenty kteří potřebují do textu pouze občs nhlédnout je k dispozici i verze vhodná pro prohlížení n obrzovce. Pro přípdné jiné použití než pro příprvu ke zkoušce si prostudujte licenční podmínky n licence.html. Z upozornění n přípdné překlepy, chyby nepřesnosti, jkož i z dlší relevntní komentáře předem děkuji. Podpořeno grntem 99/2008 FRVŠ projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MNDLU v Brně (LDF) s ohledem n discipliny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) z přispění finnčních prostředků U státního rozpočtu České republiky.
2 Obsh Kpitol 1. Diferenciální počet 3 1. Funkce, vlstnosti funkcí 3 2. Limit, spojitost 7 3. Derivce funkce Tylorův polynom Věty o spojitých funkcích Lokální extrémy, průběh funkce Závěrečné poznámky Shrnutí 24 Kpitol 2. Integrální počet Neurčitý integrál Riemnnův integrál Nevlstní integrál Obyčejné diferenciální rovnice (úvod) Diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými Shrnutí 36 Kpitol 3. Lineární lgebr Algebrický vektorový prostor Mtice Hodnost mtice Inverzní mtice Determinnt Soustvy lineárních rovnic Shrnutí 46 Kpitol 4. Nelineární rovnice, numerická mtemtik Algebrické rovnice Přibližné řešení rovnic Metod nejmenších čtverců Shrnutí 57 Vzorce pro derivování integrování 59 2
3 KAPITOLA 1 Diferenciální počet V této kpitole se budeme zbývt funkcemi. Pomocí funkcí v prxi popisujeme vzthy mezi veličinmi. Nejprve se změříme n nejjednodušší vlstnosti funkcí. 1. Funkce, vlstnosti funkcí Definice (funkce). Bud te A B neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Prvidlo f, které kždému prvku množiny A přiřdí jediný prvek množiny B se nzývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zpisujemef : A B. Skutečnost, že prvku A je přiřzen prvek b B zpisujeme tkto: f() = b. Přitom říkáme, že b je obrzem prvku při zobrzení f, resp. že je vzorem prvkubpři zobrzeníf. Definice (pojmy spojené s funkcemi). Množin A z definice funkce se nzývá definiční obor funkce f. OznčujemeD(f) (resp.dom(f)). Množin všechb B, pro které existuje A s vlstnostíf() = b se nzývá obor hodnot funkce f. Oznčujeme H(f) (resp. Im(f)). Je-li y = f(x) nzýváme proměnnou x též nezávislou proměnnou proměnnou y závislou proměnnou. Grfem funkce rozumíme množinu všech uspořádných dvojic[x,y] R 2 s vlstnostíy = f(x). Poznámk 1.1. Funkce je tedy prvidlo, které jednomu reálnému číslu přiřdí jediné, přesně definovné jiné reálné číslo. Je-li toto prvidlo tvru y = vzorec s proměnnou x, nzýváme tento předpis explicitním tvrem funkce, npř.y = x 2 +lnx. Je-li toto prvidlo ve tvru vzorec s proměnnými x, y = 0, nzýváme tento předpis implicitním tvrem funkce., npř. x y lny = 0. Zjednodušeně řečeno se tedy jedná o prvidlo, které je bud efektivní (explicitní tvr) nebo málo efektivní (implicitní tvr) pro výpočet funkčních hodnot. Definice (periodičnost funkce). Řekneme, že funkce f je periodická, existuje-li kldné číslo p s vlstnostmi: je-li x D(f), je i x + p D(f) f(x) = f(x + p). Nejmenší číslo p s touto vlstností nzýváme (nejmenší) periodou. V následující definici se budeme zjímt o to, jestli existuje nějký vzth mezi funkční hodnotou v boděx z definičního oboru v bodě opčném. Definice (prit funkce). Necht funkce f splňuje následující podmínku: x D(x) ( x) D(f). (i) Řekneme, že funkce f je sudá pokud pltí f( x) = f(x). (ii) Řekneme, že funkce f je lichá pokud pltí f( x) = f(x). (iii) Řekneme, že funkce f má pritu, je-li sudá nebo lichá. Poznámk 1.2 (grf funkce mjící pritu). Grf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. Grf liché funkce je středově souměrný podle bodu[0, 0]. Poznámk 1.3 (k pritě). Prit funkce nás informuje o tom, že funkční hodnoty f(x) f( x) u funkce nejsou nezávislé, le jsou definovné obě součsně jsou bud stejné, nebo se liší znménkem. V obecném přípdě zkoumáme sudost či lichost funkce přímo z definice. Sudost či lichost polynomu rcionální funkce 1 poznáme přímo ze zápisu této funkce použitím následující věty. 1 Předpokládáme, že čtenář je s pojmem polynom již obeznámen. Pokud ne, uvádíme definici v kpitole věnovné nelineárním rovnicím. Rcionální funkce je podíl dvou polynomů. 3
4 1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 4 Vět 1.1. Pritu polynomů rcionálních funkcí lze určit následovně: (i) Polynom je sudá (lichá) funkce právě tehdy, když obshuje právě členy se sudým (s lichým) exponentem. (ii) Rcionální funkce, která je podílem sudého lichého polynomu (v libovolném pořdí), je lichá. (iii) Rcionální funkce, která je podílem dvou sudých nebo dvou lichých polynomů, je sudá. Poznámk 1.4. Poznmenejme, že číslo nul je tké sudé. Sudý polynom tedy může obshovt i bsolutní člen. To že polynom je sudý (lichý) právě tehdy, když obshuje pouze mocniny se sudým (lichým) exponentem slouží jko vysvětlení toho, proč se používá pojem sudá lichá funkce. Příkld 1.1 (prit). Následující funkce jsou sudé:f(x) = x 4 6,g(x) = x3 +x 2x 5 3x,h(x) = x4 6 x Následující funkce jsou liché:f(x) = x 3 6x 7,g(x) = x3 x 2x 4 3,h(x) = x6 3 x 3 x. Následující funkce nejsou ni sudé ni liché: f(x) = x 4 +x 2 x, g(x) = x3 x 2x 4 3x, y = ex. Definice (ohrničenost). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme, že funkce f je n množině M zdol ohrničená, existuje-li reálné číslo s vlstností f(x) pro všechnx M. (ii) Řekneme, že funkce f je n množině M shor ohrničená, existuje-li reálné číslo b s vlstností f(x) b pro všechnx M. (iii) Řekneme, že funkce f je n množině M ohrničená, je-li n M ohrničená zdol i shor. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.5 (grfický důsledek). Funkce je shor ohrničená, jestliže existuje vodorovná přímk, která leží celá nd grfem funkce. Podobně poznáváme n grfu ohrničenost zdol. Motivce. Pro libovolnou dobře definovnou funkci f pltí implikce x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). nyní se budeme zjímt o to, z jkých podmínek lze tuto implikci obrátit. Obrácení implikce by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic. Definice (prostost). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. Řekneme, že funkcef je prostá, jestliže kždý obrz má jen jediný vzor, tj. pro kždéy f(m) existuje jedinéx M s vlstnostíf(x) = y. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.6 (grfický důsledek). Funkce je prostá, jestliže kždá vodorovná přímk protíná grf nejvýše jednou. Poznámk 1.7 (k prostým funkcím). kvivlentně lze říci, že funkce f je prostá n množině M, jestliže stejné obrzy mjí nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřzeny různé obrzy. Mtemticky formulováno: pltí implikce (1.1) f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2, tj. je-li funkce f prostá, můžeme tuto funkci odstrnit z obou strn rovnice místo f(x 1 ) = f(x 2 ) psát ekvivlentněx 1 = x 2. Definice (inverzní funkce). Necht funkce f : A B je prostá. Prvidlo, které kždému x z množiny f(a) přiřdí to (jediné) y, pro které pltí f(y) = x se nzývá inverzní funkce k funkci f, oznčujeme f 1.
5 1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 5 Poznámk 1.8. Symbol f 1 (x) lze tedy chápt bud jko hodnotu inverzní funkce k funkci f v bodě x, nebo jko převrácenou hodnotu k číslu f(x), tj jko [f(x)] 1 = 1. Nebude-li z kontextu zřejmé, f(x) o kterou vrintu se jedná, musíme toto upřesnit. Poznámk 1.9 (geometrický význm inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že grf funkce f grf funkce k ní inverzníf 1 jsou souměrné podle přímkyy = x, tj. podle osy prvního třetího kvdrntu. Poznámk 1.10 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme tkto: změníme formálně v zdání funkce proměnné x y, máme tedy x = f(y). Tto rovnice definuje implicitně inverzní funkciy = f 1 (x). Z této rovnice vyjádříme proměnnouy (pokud toto nelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvru). Toto vyjádření je jednoznčné (jink by to znmenlo, že funkce f není prostá inverzní funkce neexistuje) definuje explicitně inverzní funkcif 1. U zákldních elementárních funkcí (viz dále) je zprvidl inverzní funkce jednoduše jiná zákldní elementární funkce, npříkld inverzní funkce k logritmické funkci je exponenciální funkce podobně (viz Tbulk 1). Protože vlstnost být inverzní funkcí je vlstnost vzájemná, je tké logritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Funkcey = f(x) Funkce inverzníy = f 1 (x) y = x y = x 2, x 0 y = x 2,x 0 y = x y = e x y = lnx y = lnx y = e x y = x y = log x y = sinx, x [ π/2,π/2] y = rcsinx y = cosx, x [0,π] y = rccosx y = tgx, x [ π/2,π/2] y = rctgx TABULKA 1. Inverzní funkce k zákldním elementárním funkcím. Příkld 1.2 (výpočet inverzní funkce). Nlezneme inverzní funkci k funkci y = 2x 1. Záměnnou x proměnných získáváme implicitní tvr inverzní funkce x = 2y 1 odsud y xy = 2y 1 1 = (2 x)y inverzní funkce má předpis y = 1 2 x Příkld 1.3 (výpočet inverzní funkce). Nlezneme inverzní funkci k funkci y = x+e x. Tto funkce je zřejmě prostá, protože je rostoucí. Záměnnou proměnných obdržíme implicitní tvr inverzní funkce x = y +e y. Odsud již proměnnou y neumíme vyjádřit. Ponecháme proto inverzní funkci v implicitním tvru. Poznámk 1.11 (zápis čísl jko výsledku předem zdné operce). Je zřejmé, že f(f 1 (x)) = x f 1 (f(x)) = x pro všechn, pro která má tento zápis smysl. Toto nám umožňuje zpst dné číslo jko výsledek nějké operce. Npř. číslo 1 lze zpst libovolnou z následujících možností 1 = lne 1 = log = 6 log 6 1 = sin(rcsin1) = rctg(tg1) = ( 1) 2 Poznámk 1.12 (využití inverzní funkce nelineární rovnice). Má-li funkcef inverzní funkcif 1 je-li tto inverzní funkce definován v bodě x, potom má nelineární rovnice s neznámou y f(y) = x právě jedno řešení dné vzorcem y = f 1 (x).
6 1. FUNKC, VLASTNOSTI FUNKCÍ 6 Příkld 1.4 (nelineární rovnice). Řešme rovnici e 2 x 1 = 2. Protože k exponenciální funkci je inverzní logritmická funkce, plyne odsud 2 x 1 = ln2, odkud již sndno vyjádříme x = 2 ln2 +1. Jinou možností je přepst rovnici do tvru, který obshuje exponenciální funkci n obou strnách rovnice e 2 x 1 = e ln2 odstrnit tuto exponenciální funkci z obou strn rovnice (exponenciální funkce je totiž prostá lze použít (1.1) připojenou poznámku). Obdržíme smozřejmě stejný výsledek. Motivce. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí klesjící funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zchovávjí (rostoucí) nebo obrcejí (klesjící) směr nerovnosti při plikci funkce n obě strny nerovnice. Definice (monotonie funkce). Necht f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme, že funkce f je n množině M rostoucí jestliže pro kždé x 1,x 2 M s vlstností x 1 < x 2, pltíf(x 1 ) < f(x 2 ). (ii) Řekneme, že funkce f je n množině M klesjící jestliže pro kždé x 1,x 2 M s vlstností x 1 < x 2, pltíf(x 1 ) > f(x 2 ). (iii) Řekneme, že funkce f je n množině M (ryze) monotonní je-li bud rostoucí, nebo klesjící n M. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oboru funkcef. Poznámk 1.13 (k monotonnosti). U vlstností monotonie nás zjímá nejčstěji přípd, kdy množinou M je intervl. Potom má monotonie ryzí monotonie názornou geometrickou interpretci n grfu funkce (obrázek!). Pozor: funkce y = 1/x není klesjící n celém svém definičním oboru, le pouze n kždém z intervlů(, 0) (0, ). Poznámk 1.14 (využití monotonie nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně znmená, že jsou-li vzory funkce (hodnotyx) uspořádány podle velikosti, pltí pro jejich obrzy (hodnotyf(x)) stejné uspořádání. Je-li f(x) tedy rostoucí funkce, jsou nerovnosti < b f() < f(b) ekvivlentní. Totéž pltí i pro neostré nerovnice. Můžeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici npř. logritmovt, nebo odlogritmovt logritmem o zákldu větším než 1. Pozor! Je-li funkcef(x) klesjící, obrcí se při plikci funkce (nebo při vynechání funkce) n obě strny nerovnice znménko nerovnosti. Příkld 1.5 (nelineární nerovnice). Nerovnici ln(x 2 4x 4) > 0 lze řešit npříkld tk, že ji přepíšeme do tvru s logritmy n obou strnách nerovnice odlogritmujeme: ln(x 2 4x 4) > ln1 x 2 4x 4 > 1 Odsud poté dostáváme postupně: x 2 4x 5 > 0 (x 5)(x+1) > 0
7 2. LIMITA, SPOJITOST 7 x (, 1) (5, ), přičemž kvdrtickou nerovnici vyřešíme npříkld grficky. Okmžitě z definice vyplývá následující vět. Vět 1.2. Je-li funkcef n množiněm ryze monotonní, je n této množině i prostá. Následující vět ukzuje, že při přechodu k inverzní funkci se zchovává ryzí monotonie lichost. Vět 1.3. Je-li funkcef(x) rostoucí (klesjící, lichá), má tutéž vlstnost i funkce inverzníf 1 (x). Poznámk Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci. Poznámk 1.16 (shrnující poznámk). Shrňme si, jk nám znlost vlstností funkcí umožňuje prcovt s rovnicemi nerovnostmi. = b < b < b f je prostá f() = f(b) f je rostoucí f() < f(b) f je klesjící f() > f(b) Je-li funkce f prostá, pk pro kždé y H(f) má rovnice f(x) = y b b f je rostoucí f() f(b) f je klesjící f() f(b) s neznámoux právě jedno řešení toto řešení je možno vyjádřit vzthemx = f 1 (y). 2. Limit, spojitost Motivce. Nyní budeme hledt vhodnou veličinu, která nám umožní popst, jk rychle se mění jedn veličin při změnách veličiny druhé. U přímky je tkovouto vhodnou veličinou směrnice (zprvidl oznčujeme symbolem k): Je-li směrnice kldná, přímk roste, je-li záporná tk nopk. Je-li směrnice blízká k nule, přímk roste pozvoln, je-li mnohem větší něž jedn, přímk rychle roste, je-li mnohem menší než minus jedn, přímk rychle klesá. f(x+h) tečn sečn f(x) x x+h OBRÁZK 1. Tečn jko limitní poloh sečen (geometrický význm derivce) Při studiu funkcí se ukzuje, že vhodnou mírou rychlosti růstu funkce v dném bodě je směrnice tečny v tomto bodě (tto směrnice se pochopitelně může měnit podlé křivky, křivk může nejprve rychle růst, potom npříkld růst zpomlit opět klest). Jk le njít směrnici tečny ke křivce v bodě [x,f(x)]? Použijeme následující úvhu: Uvžujme sečnu n grfu funkce, která prochází body [x, f(x)] [x + h,f(x+h)]. Směrnice této sečny je k sečny = f(x+h) f(x) (x+h) x = f(x+h) f(x). h Přiblížíme-li bod [x + h,f(x + h)] k bodu [x,f(x)], přiblíží se sečn k tečně ze směrnice sečny dostneme směrnici tečny (sledujte n obrázku 1). Tímto procesem všk veličin h, která je ve jmenovteli udává vodorovnou vzálenost průsečíků n sečně, klesne n nulu nemůže se objevit ve jmenovteli (nulou nemůžeme dělit). Proto je nutno podrobně prozkoumt, co se děje s funkčními hodnotmi funcí při
8 2. LIMITA, SPOJITOST 8 změnách nezávislé proměnné (x). Budeme se přitom nejvíce zjímt o přípdy, kdy se blížíme k nějké problemtické hodnotě, npř. k nule ve jmenovteli, k nule uvnitř logritmu, nebo k nekonečnu (viz dále). Motivce. Definice v této podkpitole mjí následující smysl: Budeme sledovt, jk souvisí funkční hodnot v dném bodě (pokud je definován) s funkčními hodnotmi v nejbližších okolních bodech. Dále, pokud funkční hodnot v dném bodě není definován, budeme se zjímt o to, jestli funkční hodnoty v nejbližších okolních bodech jsou ustáleny okolo nějké význčné hodnoty, či nikoliv. Nejprve je vhodné rozšířit si množinu reálných čísel o dv dlší body, plus minus nekonečno. Definice (rozšířená množin reálných čísel). Rozšířenou množinou reálných číselr rozumíme množinu reálných číselrrozšířenou o body± následovně:r = R {, }, přičemž pro R definujeme: + =, =, + =, =. =.( ) =,.( ) =, = = 0 < <, ± =, je-li > 0 definujeme. = je-li < 0 definujeme.( ) =,. =.( ) =. Dlší operce definujeme pomocí komuttivnosti opercí +.. Body ± nzýváme nevlstní body, body množiny R nzýváme vlstní body. Poznámk 2.1. Nejsou tedy definovány operce, ±.0 ±. Poznmenejme, že smozřejmě není definováno dělení ± nulou. Definice (okolí). Okolím bodu R nzýváme libovolný otevřený intervl, který ve svém vnitřku obshuje bod, znčíme O(). Ryzím (též prstencovým) okolím bodu rozumíme množinu O()\{}, znčímeo(). Okolím bodu rozumíme libovolný intervl tvru(a, ), kdeaje reálné číslo okolím bodu intervl(, A). Ryzím okolím nevlstních bodů rozumíme totéž, co okolím těchto bodů. Definice (limit funkce). Necht,L R f : R R. Necht je funkcef definovná v nějkém ryzím okolí bodu. Řekneme, že funkcef má v bodělimitu rovnu číslul, jestliže ke kždému okolío(l) bodul existuje ryzí okolí O() bodu tkové, že pro libovolné x O() je f(x) O(L). Píšeme (2.1) lim x f(x) = L, nebof(x) L prox. Definice (vlstní nevlstní limit). Je-li v předchozí definici L R, nzývá se limit vlstní, je-li L {, }, nzývá se limit nevlstní. Vlstní limitu ve vlstním bodě je někdy vhodné ekvivlentně definovt následovně: Definice (εδ-definice limity). Necht,L R f : R R. Řekneme, že funkce f má v bodě limitu rovnu číslu L, jestliže ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro libovolné x ( δ, + δ), x pltí f(x) (L ε,l+ε). Poznámk 2.2. Místo x ( δ, + δ), x lze ekvivlentně psát 0 < x < δ. Podobně místo f(x) (L ε,l+ε) lze psát f(x) L < ε Poznámk 2.3. Definice limity je nprosto nevhodná pro výpočet. Jednodušší je ukázt pomocí definice, že číslo L není limitou funkce v bodě.
9 2. LIMITA, SPOJITOST 9 Definice (jednostrnné okolí). Prvým (resp. levým) okolím bodu R nzýváme libovolný intervl tvru[, b),(resp. tvru(b, ], pro levé okolí), kde b je reálné číslo splňující b > (resp. b < ). Znčíme O + () (O ()). Ryzím prvým (resp. levým) okolím bodu rozumíme odpovídjící jednostrnné okolí, ze kterého vyjmeme bod. ZnčímeO + (), (O ()). Definice (jednostrnná limit). Necht R, L R f : R R. Dále necht je funkce f definovná v nějkém prvém (levém) ryzím okolí bodu. Řekneme, že funkcef má v bodě limitu zprv (limitu zlev) rovnu číslu L, jestliže ke kždému okolí O(L) bodu L existuje prvé ryzí okolí O + () (levé ryzí okolí O ()) bodu tkové, že pro libovolné x O + () (x O ()) pltí f(x) O(L). Píšeme lim f(x) = L ( lim f(x) = L). x + x Poznámk 2.4 (zkrácená form zápisu). Jiná form zápisu jednostrnné limity je f(+) = L pro limitu zprv f( ) = L pro limitu zlev. Fkt, že z rgumentem funkce je znménko přitom signlizuje, že se nejedná o funkční hodnotu v bodě (tj. nejde o f()), le o limitu v bodě zprv nebo zlev. Pro oboustrnné limity se symbolik tohoto typu používá zřídk, píšeme potom f(±). okolí bodu ryzí okolí bodu prvé okolí bodu prvé ryzí okolí bodu OBRÁZK 2. Okolí jednostrnné okolí bodu. Poznámk 2.5. Vidíme, že nedefinujeme ni jednostrnná okolí nevlstních bodů ni jednostrnné limity v těchto bodech. Poznámk 2.6. Aby existovl limit v bodě R, nemusí být funkce f v bodě definován, protože sinx f() v definici limity nikde nevystupuje. Npříkld limit funkce lim existuje, i když tto funkce není x 0 x definován v bodě 0. Funkce nopk musí být definován v nějkém ryzím okolí (nebo ryzím jednostrnném okolí, v přípdě jednostrnné limity) bodu. Nedefinujeme tedy npříkld lim 1 3x2, nebo lim x 1 x 0 ln(x). Poznámk 2.7 ( vulgární vyjádření pojmu limit). Nepřesně řečeno, předpis lim x f(x) = L znmená, že je-li hodnotx blízká k číslu, je funkční hodnotf(x) blízká k číslu L. Vět 2.1 (jednoznčnost limity). Funkce má v kždém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprv, limitu zlev). Vět 2.2 (souvislost limity s jednostrnnými limitmi). Funkce má v bodě R limitu právě tehdy, má-li v tomto bodě obě jednostrnné limity tyto limity jsou shodné. Poznámk 2.8 (technická grfické nlezení limity). xistenci hodnotu limity poznáme pěkně z grfu funkce (umíme-li ho nkreslit). Předstvme si grf funkce y = f(x) hledejme hodnotu limity lim x + f(x) Uvžujme n grfu funkce testovcí bod. x-ová souřdnice tohoto bodu necht je větší než Posunujme testovcí bod po grfu funkce zprv dolev tk, by se x-ová souřdnice blížil k bodu. Pokud při tomto procesu dochází k tomu, že y-ová souřdnice se ustálí kolem nějkého čísl L, je číslo L limitou funkce v bodě zprv. Obrázek 3 ilustruje tuto myšlenku. Funkce n obrázku má obě jednostrnné limity v bodě, jsou všk různé. Proces nlezení limity zprv je zchycen n obrázku, limit zlev se njde nlogicky.
10 2. LIMITA, SPOJITOST 10 y f(x) testovcí bod L cílový bod limitní proces x x OBRÁZK 3. Limitní proces lim x +f(x) = L. Poznámk 2.9 ( experimentální stnovení limity ). Chceme-li odhdnout, zd jistá limit existuje či nikoliv, lze použít následující postup: zvolíme nějkou posloupnost čísel, která se blíží k číslu postupně počítáme funkční hodnoty funkce f v těchto číslech. Měl by vycházet posloupnost čísel, které se přibližují k jistému číslu L. Pokud toto skutečně vychází, je prvděpodobné, že toto číslo L je limitou funkce f v bodě ve smyslu výše uvedené definice. Toto přibližování může být porušeno v bodech, které jsou již znčně blízko bodu, což bývá způsobeno omezenou přesností počítcích strojů následným selháním lgoritmů, které jsou v těchto strojích zbudovány. sinx Příkld 2.1 (numerický experiment). Odhdneme hodnotu limity lim pomocí numerického experimentu. Budeme hledt hodnoty funkce sinx n posloupnosti hodnot x, které konvergují k nule zprv. x 0 + x x Dostáváme x sinx x Odsud se zdá být rozumné se domnívt, že sinx lim x 0 + x = 1. Nicméně, tto domněnk může býti zvádějící. Klkulátor zokrouhluje. Z tbulky se zdá, že hodnot funkce je přesně jedn, pro x dost blízké nule. Bohužel, není tomu tk. Ve skutečnosti hodnot funkce sin(x)/x není rovn jedné nikde. Rovnice sinx = 1 nemá řešení. x Z tbulky je prvděpodobné, že sin(x)/x se přibližuje číslu 1 pokud se x přibližuje k číslu 0. Avšk tímto fktem si nemůže být zcel jisti. Žádné množství konkrétních dt neukzuje, že hodnoty nemohou být zcel jiné, pokud jsou hodnoty x ještě blíže k nule, než je zchyceno v tbulce. Numerický experiment dává dobrou předstvu, jká by mohl hodnot limity být, nemůže všk být použit pro důkz existence limity. Je nutno odvodit přesnou teorii pro výpočet limit, jk bude provedeno níže. Následující vlstnost nám dává informci o vzthu limity v bodě funkční hodnoty v tomto bodě. Tyto mohou být zcel nezávislé můžou existovt obě součsně být různé, nebo kterákoliv z nich existovt nemusí. Pokud všk obě existují jsou stejné, je funkce určitým způsobem pěkná spojitá. Definice (spojitost v bodě). Řekneme, že funkcef : R R je spojitá v bodě, jestližeje v definičním oboru funkcef lim f(x) = f(). x Řekneme, že funkcef : R R je spojitá zprv (spojitá zlev) v bodě, jestližeje v definičním oboru funkce f lim f(x) = f() ( lim f(x) = f()). x + x
11 2. LIMITA, SPOJITOST 11 Definice (spojitost n intervlu). Řekneme, že funkce je spojitá n otevřeném intervlu(, b), je-li spojitá v kždém jeho vnitřním bodě. Řekneme, že funkce je spojitá n uzvřeném intervlu [, b], je-li spojitá v kždém jeho vnitřním bodě, v bodě je spojitá zprv v boděbje spojitá zlev. Oznčení. Množinu všech funkcí spojitých 2 n intervlu I oznčujeme C(I). Je-li I = (,b) nebo I = [,b], píšemec((,b)), neboc([,b]). Poznámk 2.10 (filozofická). Všimněte si, že definice spojitosti je zcel odlišná od běžné předstvy spojité funkce jkožto funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them. Tto skutečnost je všk přirozená, protože nedokonlost, která nutně provází jkoukoliv vizulizci grfu funkce, nám nedovoluje zvést přesně jkýkoliv pojem, tedy ni spojitost, pokud se odvoláváme pouze n geometrický názor. Definice vlstně vyjdřuje fkt, že n intervlu, n kterém je funkce spojitá, se její funkční hodnoty mění pozvoln mlá změn proměnné x vyvolá reltivně mlou změnu proměnné y. Následující definice se týká nprosté většiny funkcí, se kterými budeme prcovt. Definice (zákldní elementární funkce). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální logritmické funkce obecná mocnin se nzývjí zákldní elementární funkce. Definice (elementární funkce). Všechny funkce, které ze zákldních elementárních funkcí získáme konečným počtem opercí sčítání, odečítání, násobení, dělení skládání těchto funkcí nvzájem se nzývjí elementární funkce. Poznámk lementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvru vyjádřit explicitním vzorcem z použití funkcí známých ze střední školy cyklometrických funkcí. Vět 2.3 (spojitost elementárních funkcí). lementární funkce jsou spojité v kždém vnitřním bodě svého definičního oboru. Poznámk 2.12 (technická). Předchozí vět nám říká, že u elementárních funkcí je limit funkční hodnot v bodech ptřících do definičního oboru totéž. Limitu v bodě proto zkusíme počítt tk, že nejprve dosdíme x =. Pouze pokud nelze dosdit, tj. pokud D(f), musíme limitu počítt jink. Díky této větě je pro nás pojem limit u elementárních funkcí zjímvý již jen v bodech, které neptří do definičního oboru funkce. Příkld 2.2 (výpočet limity doszením). Funkce y = ex ln(x) x 2 je spojitá n intervlech (0,1) (1, ). 1 Proto npř. e x ln(x) lim x 2 x 2 1 = e2 ln2. 3 Čtenář má ze střední školy prvděpodobně intuitivní předstvu o symptotách ke grfu funkce. Následující definice včleňují symptoty do konceptu limit. Definice (symptot bez směrnice, svislá symptot). Bud f funkce x 0 R vlstní bod. Řekneme, že přímk x = x 0 je symptotou bez směrnice (též svislá nebo vertikální symptot) ke grfu funkce f, jestliže lespoň jedn z jednostrnných limit funkcef v boděx 0 existuje je nevlstní. Definice (vodorovná symptot). Bud q R. Přímk y = q je vodorovnou (horizontální) symptotou ke grfu funkcey = f(x) v bodě+ právě tehdy, když pltí lim f(x) = q. x Podobně definujeme horizontální symptotu v bodě. 2 nglicky continuous
12 2. LIMITA, SPOJITOST 12 svislá symptot vodorovná symptot v+ OBRÁZK 4. Vodorovná svislá symptot. Poznámk 2.13 (souvislost mezi limitou vodorovnou symptotou). Předchozí vět definice říkjí, že vodorovná (horizontální) symptot v nevlstním bodě je totéž, co limit v tomto bodě. Vskutku, blíží-li se grf funkce y = f(x) k přímce y = q (přímk je symptotou), znmená to, že funkční hodnoty f(x) se blíží k čísluq (čísloq je limitou), nopk. Definice (symptot se směrnicí). Bud f funkce definovná v nějkém okolí bodu. Přímky = kx+q se nzývá symptot se směrnicí ke grfu funkcey = f(x) v bodě+, jestliže pltí lim kx+q f(x) = 0 x Podobně, změníme-li bod z bod, obdržíme definici symptoty se směrnicí ke grfu funkce f v bodě. Poznámk 2.14 (geometrický význm předchozí definice). Asymptot se směrnicí je tedy přímk, ke které se grf přibližuje v některém z nevlstních bodů. Všimněte si, že definice nevylučuje přípd, kdy kx + q f(x) = 0, tj. kdy je funkce f lineární. V tomto přípdě je grfem funkce přímk, která je sm svojí symptotou. Dále podotkněme, že vodorovná symptot je pouze speciální přípd symptoty se směrnicí, jejíž směrnice je nulová. Vět 2.4 (symptot se směrnicí). Bud f funkce definovná v nějkém okolí bodu. Přímk y = kx+q je symptot se směrnicí ke grfu funkce y = f(x) v bodě + právě tehdy, když existují konečné limity f(x) (2.2) k := lim x x q := lim x (f(x) kx). Podobně, změníme-li bod z bod, obdržíme symptotu se směrnicí ke grfu funkce f v bodě. y = f(x) g(x) y = kx+q OBRÁZK 5. Asymptot se směrnicí v+.
13 2. LIMITA, SPOJITOST 13 Poznámk Grf funkce může le nemusí mít symptotu. U symptot se směrnicí mohou, le i nemusí, být obě symptoty v nevlstních bodech ± stejné. Dokonce může existovt pouze jedn (viz npř funkce y = e x ). U symptot ke grfům rcionálních funkcí je situce jednodušší (viz následující vět). Vět 2.5 (symptoty rcionální funkce). Asymptoty se směrnicí ke grfu rcionální funkce v bodech ± existují součsně jsou stejné. Poznámk Polynom stupně lespoň 2 nemá symptoty. Asymptoty rcionálních funkcí určíme sndno pomocí dělení polynomů se zbytkem. V následujícím textu si ukážeme některé techniky umožňující prktický výpočet limit. Vět 2.6 (prvidl pro počítání s limitmi). Bud R, f,g : R R. Pltí (2.3) lim(f(x)±g(x)) = lim f(x)± lim g(x) x x x (2.4) lim(f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x x f(x) lim x g(x) = lim x f(x) (2.5) lim x g(x) (2.6) lim f(x) = lim f(x), x x kde limit vlevo existuje, jestliže existují limity vprvo (vlstní nebo nevlstní) výrz vprvo je definován. Totéž pltí i pro jednotlivé jednostrnné limity. Příkld 2.3 (plikce předchozí věty). S využitím věty lze počítt následující limity (i) (ii) (iii) lim x (rctgx+rccotgx) = π 2 +0 = π 2 1 lim x 0 x lim x cosx =.1 = 1 xe x = 1. = 1 = 0 Příkld 2.4 (selhání předchozí věty). Větu nelze použít pro výpočet limity lim x 0 +(1 + lnx), protože x bychom obdrželi nedefinovný výrz. Stejně tk větu nelze použít npř. pro výpočet limit lim x (sin2 x+cos 2 1 x) nebo lim x x cos2 x, protože limity lim x sin2 x lim x cos2 x neexistují. Toto všk nic nevypovídá o tom, zd původní limit existuje nebo neexistuje! Následující vět je plikovtelná v přípdech, kdy hledáme limitu součinu dvou funkcí, z nichž jedn limitu nemá druhá má limitu nulovou. Vět 2.7. Necht R, lim f(x) = 0 necht existuje ryzí okolí bodu, kde je funkce g(x) ohrničená. Pk x f(x)g(x) = 0, tj. limit existuje je rovn nule. lim x Příkld 2.5 (plikce předchozí věty). S pomocí této věty již lze vypočítt limitu z předchozí poznámky: 1 lim x x cos2 x = 0.(ohrničená funkce) = 0 Následující vět má použití npříkld při výpočtu limity rcionální funkce v bodech, ve kterých tto funkce není definován, tj. v bodech, pro které po doszení vychází nul ve jmenovteli nenulové číslo v čitteli (vychází-li nul i v čitteli, lze ve zlomku provést krácení, čímž se situce převede n některý z osttních přípdů). Vět 2.8 (limit typu L 0 ). Necht R, lim g(x) = 0 lim f(x) = L R \{0}. Necht existuje x x ryzí okolí bodu, ve kterém je funkceg(x) nemění znménko. Potom { f(x) lim x g(x) = + pokud g(x) L mjí stejné znménko, pokud g(x) L mjí různá znménk. Totéž pltí i pro jednostrnná okolí příslušné jednostrnné limity.
14 2. LIMITA, SPOJITOST 14 Poznámk 2.17 (symboly +0, 0 ). Limit typu L, pokud existuje, je vždy nevlstní. Znménko 0 určíme pomocí běžných prvidel pro určení znménk podílu podíl dvou kldných nebo dvou záporných čísel je kldný, podíl kldného záporného čísl (v libovolném pořdí) je záporný. Vyjádříme-li tedy symbolem +0 skutečnost, že funkce ve jmenovteli má limitu (jedno- nebo oboustrnnou) rovnu nule, v nějkém ryzím okolí (jedno- nebo oboustrnném) je všk nenulová kldná, lze podle předchozí věty počítt npř. tkto: 2 =, =. Podobně symbolem 0 vyjádříme skutečnost, že funkce ve jmenovteli má nulovou limitu v nějkém ryzím okolí je nenulová záporná lze psát npř. 2 0 =. Poznámk 2.18 (technická). V prxi je při plikci předchozí věty obvyklé vyšetřovt nejprve jednostrnné limity z jejich vzájemného vzthu poté usoudit n existenci nebo neexistenci oboustrnné limity. Příkld 2.6 (limit lomené funkce ve vlstním bodě neptřícím do definičního oboru). 1 x (i) lim x 2 + x 2 4 = 1 +0 = (ii) 1 x lim x 2 x 2 4 = 1 0 = 1 x (iii) lim x 2 x 2 neexistuje, protože jednostrnné limity nejsou stejné. 4 Následující vět ukzuje, že při výpočtu limity složené funkce lze postupovt tk, že určíme nejprve limitu vnitřní složky poté n výsledek plikujeme složku vnější. Vět 2.9 (limit složené funkce se spojitou vnější složkou). Je-li lim f(x) = b g(x) je funkce spojitá x v boděb, pltí lim g(f(x)) = g(b), tj. x lim g(f(x)) = g(lim f(x)). x x Totéž pltí i pro jednotlivé jednostrnné limity. Příkld 2.7 (limit složené funkce se spojitou vnější složkou). (i) lim x cos(e x ) = cos0 = 1 (ii) lim x erctgx = e π/2 Předchozí větu nelze plikovt v přípdě, že limit vnitřní složky je nevlstní, nebo pokud uvedeným postupem obdržíme nedefinovný výrz, npř. ln 0. V tomto přípdě lze využít následující větu. Vět 2.10 (limit složené funkce). Necht lim f(x) = b, lim g(y) = L existuje ryzí okolío() tkové, x y b že prox O() je f(x) b. Potom lim g(f(x)) = L. x Poznámk 2.19 (substituce v limitě). Vět je vlstně větou o substituci v limitě. Npř. v limitě L = lim 1 x 0 +ln x substituce y = 1 1 vede n limitul = lim lny (protože lim = ) odsud dostáváme L = x y x 0 + x Příkld 2.8 (limit složené funkce). (i) lim ln( 1 x 0 + x ) = ln = (ii) lim x rctg(e x ) = rctg = π 2 (iii) lim ln(sinx) = ln(0+) = x 0 + Následující vět umožní sndné počítání limity polynomu rcionální funkce v nevlstních bodech. Vět 2.11 (limit polynomu rcionální funkce v nevlstních bodech). Pltí lim x ± ( 0x n + 1 x n n 1 x+ n ) = lim x ± 0x n lim x ± 0 x n + 1 x n n 1 x+ n 0 b 0 x m +b 1 x m 1 = lim x n m + +b m 1 x+b m x ± b 0
15 3. DRIVAC FUNKC 15 Poznámk 2.20 (technická). Limit polynomu stupně lespoň jedn v nevlstních bodech je tedy vždy nevlstní, přičemž o jejím znménku rozhoduje pouze vedoucí člen. O hodnotě limity podílu dvou polynomů rozhoduje pouze podíl vedoucího člene čittele vedoucího člene jmenovtele. Příkld 2.9 (limit polynomu lomené funkce v nevlstních bodech). (i) lim x (6x3 2x+1) = lim x 6x3 = 6.( ) 3 = (ii) lim x (3x5 2x 2 +2) = 3.( ) 5 = x 3 2 (iii) lim x 2x 3 4x 2 +1 = lim 1 x 2 = 1 2 x 5 2 (iv) lim x 2x 3 4x 2 +1 = lim 1 x 2 x2 = 3. Derivce funkce Nyní můžeme ve směrnici sečny n grfu funkce (viz strn 7) použít limitní přechod h 0, čímž dostneme směrnici tečny. Tuto veličinu předstvujeme v následující definici. Definice (derivce funkce v bodě). Necht x D(f). Řekneme, že funkce f má v bodě x derivci rovnu číslu oznčenémuf (x), jestliže existuje konečná limit (3.1) f f(x+h) f(x) (x) = lim. h 0 h Poznámk 3.1 (jednostrnné derivce). Podobně definujeme i derivci zprv derivci zlev. Požíváme při tom limitu zprv zlev místo oboustrnné limity (3.1). Definice (derivce funkce). Necht má funkce f derivci v kždém bodě otevřeného intervlu I. Předpisem, který kždému bodu x z intervlu I přiřdí derivci funkce f v bodě x je definován funkce, kterou nzýváme derivcí funkcef n intervlui oznčujemef. Definice (vyšší derivce). Bud f(x) funkce f (x) její derivce. xistuje-li derivce (f (x)) funkce f (x), nzýváme ji druhou derivcí funkce f(x) oznčujemef f (x). n-násobným opkováním tohoto postupu dospíváme k n-té derivci funkcef(x), kterou oznčujemef (n) (x). Poznámk 3.2 (geometrický význm derivce). Z definice derivce plyne, že se jedná přesně o tu veličinu, udávjící rychlost růstu funkce, kterou jsme zčli hledt v motivci n strně 7. Geometrický význm derivce je následující: nkreslíme-li sečnu ke grfu funkce f procházející body[x, f(x)] [x+h, f(x+h)] (viz obrázek 1, strn 7), je směrnice této sečny f(x+h) f(x). Fixujeme-li bod [x,f(x)] s bodem h (x+h) se k boduxblížíme (tj. provádíme-li limitní přechod lim ), přejde sečn v tečnu v bodě[x,f(x)]. h 0 Limitní hodnot, tj. směrnice tečny, je potom rovn derivcif (x). Grf funkce má tedy v pevném bodě tečnu právě tehdy, když funkcef má v bodě derivci. Body, kde funkce nemá derivci, mohou být body, kde je limit (3.1) nevlstní (funkce má svislou tečnu), body kde existují jednostrnné derivce (tečny zlev i zprv existují) le tyto jsou různé (npř. funkce y = x ) konečně body, kde neexistuje některá z jednostrnných derivcí. Poznámk 3.3 (rovnice tečny). Má-li funkce f v bodě derivci, je rovnice tečny ke grfu funkce v tomto bodě y = f ()(x )+f(). Rovnici tečny můžeme použít k lineární proximci funkce. V okolí bodu pltí přibližný vzorec f(x) f()+f ()(x ), který umožňuje v okolí bodu nhrdit (obecně nelineární) funkci f(x) funkcí lineární.
16 3. DRIVAC FUNKC 16 Poznámk 3.4 (prktický význm derivce). Necht veličin x oznčuje čs, měřený ve vhodných jednotkách, necht veličin y se mění v průběhu čsu, tj. y = y(x). Derivce y (x) poté znčí okmžitou rychlost, s níž dochází ke změně velikosti veličiny y v čse x. Znčí-li npř. y(x) polohu pohybujícího se těles v čse x, je derivce y (x) rovn okmžité rychlosti tohoto těles (pojem rychlost užíváme ve fyzikálním smyslu tohoto slov). Znčí-li veličin y velikost populce určitého živočišného druhu v čse x, znčí derivcey (x) rychlost nárůstu této populce, tj. počet živočichů, který se v dném okmžiku nrodil (z čsovou jednotku), zmenšený o počet živočichů, který v dném okmžiku uhynul. Vět 3.1 (souvislost derivce spojitosti). Má-li funkce v bodě (n intervlu I) derivci, je v tomto bodě (n tomto intervlu) spojitá. Poznámk 3.5. Opčná vět nepltí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivce. Příkldem budiž funkcey = x v boděx = 0. Oznčení. Množinu všech funkcí které mjí n intervlu I spojitou derivci oznčujeme C 1 (I). Tyto funkce zprvidl nzýváme hldké funkce. Množinu všech funkcí které mjí n intervlu I spojité všechny derivce ž do řáduk včetně oznčujemec k (I). Poznámk 3.6 (filozofická). Dlouho přetrvávl názor, že spojitá funkce je funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them. Kreslíme-li grf tkovéto funkce, znmená to, že když při kreslení posunujeme pisátko nějkým směrem. Tkto kreslíme grf funkce, která má tečnu ( tedy i derivci), přípdně čáru zlomíme. Těchto zlomení může být konečně mnoho, proto se věřilo, že spojité funkce mjí derivci všude, s přípdnou výjimkou konečného počtu bodů. To, že tková předstv je nesprávná, ukázl B. Bolzno, který zkonstruovl funkci spojitou n R, která nemá v žádném bodě derivci. Grf tkovéto funkce podle výše uvedeného nelze nkreslit. Tento příkld ukzuje, že předstv spojité funkce pouze jko funkce, jejíž grf lze nkreslit jedním them je nesprávná. Poznámk 3.7 (k oznčení). Je-li funkce f ve tvru y = f(x), píšeme místo f (x) tké y (x), nebo stručněji y. V přírodních technických vědách se čsto setkáváme ještě s následujícím ekvivlentním znčením derivce y = dy. Přitom výrzy dx dy (které jsou v derivci formálně v podílu ) se dx nzývjí diferenciály. Je-li nezávislou proměnnou čs, oznčujeme jej zprvidl t nmísto x derivci v tomto přípdě znčíme tečkou tkto:ẏ Poznámk 3.8 (vzorce pro derivování zákldních elementárních funkcí). Zákldní elementární funkce derivujeme pomocí následujících vzorců. (c) = 0 (x n ) = nx n 1 ( x ) = x ln (e x ) = e x (sinx) = cosx (cosx) = sinx (tgx) = 1 cos 2 x (cotgx) = 1 sin 2 x (log x) = 1 xln (lnx) = 1 x (rcsinx) 1 = 1 x 2 (rccosx) 1 = 1 x 2 (rctgx) = 1 1+x 2 (rccotgx) = 1 1+x 2
17 3. DRIVAC FUNKC 17 Vět 3.2 (prvidl pro počítání s derivcemi). Necht f, g jsou funkce c R konstnt. Pltí (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) [cf(x)] = cf (x) [f(x)±g(x)] = f (x)±g (x) [f(x)g(x)] = f(x)g (x)+f (x)g(x) [ f(x) ] f (x)g(x) g (x)f(x) = g(x) g 2, (x) přičemž derivce vlevo existují, existují-li derivce vprvo, je-li výrz vprvo definován (tj. není nul ve jmenovteli zlomku). Příkld 3.1 (plikce předchozí věty). [ ] xe x = (xex ) (x+1) (x+1) xe x x+1 (x+1) 2 = (ex +xe x )(x+1) 1xe x (x+1) 2 = ex (x 2 +x+1) (x+1) 2 Poznámk 3.9 (technická). Protože derivce součtu je jednodušší než derivce součinu podílu, snžíme se součin nebo podíl rozdělit (pokud to lze) n součet jednodušších výrzů. (i) [(x+1)(x 2)] = (x 2 x 2) = 2x 1 ( x 3 ) x+1 (ii) = 1 4x 4 (x2 1+x 1 ) = 1 4 (2x x 2 ) Vět 3.3 (derivce složené funkce, řetězové prvidlo). Pltí (3.6) [f(g(x))] = f (g(x))g (x), kde existence derivce vlevo plyne z existence derivcí vprvo. Poznámk Výrzf (g(x)) v předchozí větě znmená derivci funkcef vypočtenou v boděg(x). Příkld 3.2 (derivce složené funkce). (i) (ln(sinx)) = 1 sinx cosx (ii) (ln(xsinx)) = 1 ( xsinx (sinx+xcosx) (iii) ln ( xsin 2 (2x) )) 1 = xsin 2 (2x) [1.sin2 (2x)+x.2sin(2x)cos(2x)2] Následující vět nám umožní ve většině přípdů výpočet limit typu 0 0. Vět 3.4 (l Hospitlovo prvidlo). Necht R necht funkce f g jsou definovány v nějkém ryzím okolí bodu mjí zde derivci. Necht dále pltí bud lim f(x) = lim g(x) = 0, nebo lim g(x) =. x x x Pltí f(x) (3.7) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), pokud limit n prvé strně rovnosti (3.7) existuje. Totéž pltí i pro obě jednostrnné limity. Poznámk 3.11 (k použití l Hospitlov prvidl). Pokud limit vprvo ve vzorci (3.7) neexistuje, nemůžeme ještě nic říci o limitě lim f(x)/g(x). Tto limit může nebo nemusí existovt. Pokud limit vprvo neexistuje, přípdně pokud pokus o použití l Hospitlov prvidl nevede ke zjednodušení, x musíme hledt pro výpočet limity jinou cestu. Poznmenejme ještě, že l Hospitlovo prvidlo lze použít libovolně-krát z sebou. Potom z existence poslední limity vyplývá existence všech limit předchozích. lnx x rctgx xe x +x 2e x +2 Příkld 3.3. Vypočtěte limity lim, lim x x x 0 x 3 lim x 0 x 3.
18 4. TAYLORŮV POLYNOM 18 Řešení. 1 lnx lim = x x = lim x x 1 2 x x rctgx lim x 0 x 3 = 0 0 = lim x 0 = 2 lim x x 2 3x 2 1 x = 0, = lim x 0 1 3(1+x 2 ) = 1 3, xe x +x 2e x +2 lim x 0 x 3 = 0 0 = lim e x +xe x +1 2e x x 0 3x 2 e x +e x +xe x 2e x = 0 0 = lim x 0 = 0 0 = lim x 0 xe x 6x = lim x 0 6x e x 6 = Tylorův polynom Motivce. Předpokládejme že je dán funkce f s následujícími vlstnostmi: Dokážeme vypočítt funkční hodnotu hodnotu derivcí (ž do řádun) v jistém boděx 0. Nemáme dosttečně efektivní lgoritmus n výpočet funkčních hodnot v osttních bodechx x 0. Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodux 0 se budeme snžit funkci proximovt jednodušší funkcí, v nšem přípdě polynomem stupněn. Nejlepší polynom, který funkcif v okolí bodux 0 proximuje je tkový polynom, který má s dnou funkcí totožné v boděx 0 derivce ž do řádun. Tkový polynom se nzývá Tylorův polynom nlezneme ho pomocí následující definice. Definice (Tylorův polynom). Necht n N je přirozené číslo f funkce, která je definovná v bodě x 0 R má zde všechny derivce do řádunvčetně. Polynom T n (x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! se nzývá Tylorův polynom stupněn funkcef v boděx 0. Bodx 0 se nzývá střed Tylorov polynomu. Poznámk 4.1. Tylorův polynom je jediný polynom stupněn, který má s funkcí f v bodě x 0 společnou funkční hodnotu hodnotu prvních n derivcí. V přípdě že středem polynomu je x 0 = 0 používáme pro Tylorův polynom název Mclurinův polynom. Vět 4.1 (Tylorov vět). Necht funkcef má v boděx 0 nějkém jeho okolío(x 0 ) spojité derivce do řádun+1, včetně. Pk pro všechnx O(x 0 ) pltí f(x) = T n (x)+r n+1 (x), kdet n (x) je Tylorův polynom funkcef stupněnse středem v boděx 0 R n+1 (x) je zbytek. Tento zbytek splňuje (4.1) R n+1(x) = f(n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, kde c je vhodné číslo ležící mezi x x 0. Poznámk 4.2 (proximce její přesnost). Z vyjádření zbytku (4.1) plyne, že tento zbytek je mlý, jestliže x je blízkox 0, tj. bsolutní hodnot rozdílu(x x 0 ) je mlá n je velké f (n+1) (x) je mlá v uvžovném okolí bodux 0 Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodux 0 f(x) T n (x)
19 5. VĚTY O SPOJITÝCH FUNKCÍCH 19 chyb, které se při tom dopustíme bude mlá. (Z (4.1) jsme schopni určit mximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.) Poznámk 4.3 (plikční). Tylorův polynom tedy slouží k tomu, bychom jistou funkční závislost proximovli závislostí polynomickou. Tím se závislost podsttně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí. Mějme všk n pměti, že polynomická proximce může být vynikjící, le i dosttečná pouze pro některá x, nebo dokonce tk šptná, že její použití nevede k rozumným výsledkům. 5. Věty o spojitých funkcích Jk jsem viděli výše, spojitost není definován, tk, jk si spojitou funkci běžně předstvujeme jko funkci, kde nejsou skoky či nějké podobné drstické změny funkčních hodnot, le jko funkci, kde veškeré změny funkčních hodnot probíhjí reltivně pozvoln. Přesná definice všk byl zcel odlišná od této předstvy. Je tedy definice spojitosti pomocí limity přesně to, co si běžně předstvujeme pod pojmem spojitá čár v rovině (funkce, kde nejsou žádné drmtické změny )? Odpověd je poněkud překvpivá: Ne zcel. Český mtemtik B. Bolzno nšel příkld funkce, která je spojitá n R, le její grf se vůbec nedá nkreslit proto se při studiu spojitých funkcí nelze v důkzech odvolávt n zřejmé vlstnosti rovinných křivek. Nštěstí, i když definujeme spojitost n první pohled složitě pomocí limity, ty nejpěknější vlstnosti zůstnou zchovány, jk ukzují následující důležité věty. Vět 5.1 (Weierstrssov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu[, b]. Potom je n tomto intervlu ohrničená nbývá zde své největší nejmenší hodnoty, tj. existují čísl x 1,x 2 [,b] s vlstnostíf(x 1 ) f(x) f(x 2 ) pro všechnx [,b]. Vět 5.2 (první Bolznov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu [, b] pltí f() f(b) < 0 (tj. f() f(b) mjí opčná znménk). Pk funkce f(x) má n intervlu (,b) nulový bod, tj. existuje číslo c (, b) s vlstností f(c) = 0. Vět 5.3 (druhá Bolznov vět). Necht funkce f(x) je spojitá n uzvřeném intervlu [,b]. Potom nbývá všech hodnot mezi svou nejmenší největší hodnotou. Poznámk 5.1. Předešlé věty mjí jednoduchou grfickou interpretci, jk je ukázáno n Obrázku 6. Funkce n obrázku je ohrničená n[,b], její grf leží mezi čerchovnými črmi. Funkce má bsolutní minimum n intervlu [,b] v krjním bodě x = bsolutní mximum v boděx = M. Příslušné funkční hodnoty jsou n ose y. Funkce mění znménko n intervlu[,b], pltíf() < 0 f(b) > 0. Jeden z kořenů, o kterých mluví první Bolznov vět, je n obrázku oznčen symbolem c. Hodnot y 0 leží mezi mximální minimální funkční hodnotou. xistuje tedy, podle druhé Bolznovy věty,x 0 [,b] tkové, že f(x 0 ) = y 0. Jeden z bodů s touto vlstností je vyznčen n obrázku. Tvrzení vět jsou tedy zcel přirozená. Obrovskou zásluhou výše uvedených mtemtiků je mimo jiné fkt, že si uvědomili, že tyto věty nejsou žádnými sndnými důsledky definice spojitosti je potřeb podt jejich přesný důkz. Poznámk 5.2 (nelineární nerovnice). Bolznov vět umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.2 totiž funkce může změnit znménko jedině v bodě, kde je porušen její spojitost (= skokem), nebo v nulovém bodě (= grf protíná osu x). Řešíme-li tedy nerovnici f(x) > 0, nlezneme nejprve body nespojitosti funkce f nulové body této funkce, tj. řešení rovnice f(x) = 0. Obě skupiny bodů vyneseme n reálnou osu definiční obor se tímto rozpdne n několik podintervlů. Uvnitř kždého z těchto intervlů pltí bud f(x) > 0 nebo f(x) < 0. Která z těchto vrint pltí ve kterém z intervlů lze zjistit npříkld postupným doszováním reprezentntů z jednotlivých intervlů.
20 y 6. LOKÁLNÍ XTRÉMY, PRŮBĚH FUNKC 20 horní hrnice bsolutní mximum y 0 kořen x 0 c M b x dolní hrnice bsolutní minimum OBRÁZK 6. Funkce spojitá n[, b]. 6. Lokální extrémy, průběh funkce Definice (lokální extrém). Bud f funkce x 0 D(f). Řekneme, že funkce má v boděx 0 lokální mximum, jestliže existuje ryzí okolío(x 0 ), tkové, žef(x 0 ) f(x) pro všechnx O(x 0 ). Je-li nerovnost ostrá, říkáme, že funkcef má v bodě x 0 ostré lokální mximum. Pltí-li opčné nerovnosti, říkáme, že funkce má v bodě x 0 lokální minimum ostré lokální minimum. Lokální mximum minimum nzýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální mximum ostré lokální minimum nzýváme společným názvem ostré lokální extrémy. Poznámk 6.1 (k předchozí definici). Funkce má v bodě x 0 ostré lokální mximum (minimum), jestliže v nějkém ryzím okolí bodu x 0 nbývá pouze nižších (vyšších) funkčních hodnot, než f(x 0 ). Hodnot f(x 0 ) je tedy jediná nejvyšší (nejnižší) funkční hodnot v nějkém okolí bodux 0. Okolí bodux 0 z předchozí definice musí nutně celé ležet v definičním oboru funkce f. (V některé litertuře je tto podmínk poněkud oslben. Npř. u funkce y = x nemluvíme o lokálním minimum v bodě 0, protože nlevo od bodu 0 vůbec není definován. Jiní utoři tento bod všk z lokální extrém povžují.) Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jk ukzuje následující vět. Vět 6.1 (postčující podmínky pro existenci neexistenci lokálních extrémů). Bud f funkce definovná spojitá v nějkém okolí bodux 0. Jestliže existuje levé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce rostoucí prvé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce klesjící, je bodx 0 bodem ostrého lokálního mxim funkcef. Jestliže existuje levé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce klesjící prvé okolí bodu x 0, ve kterém je funkce rostoucí, je bodx 0 bodem ostrého lokálního minim funkcef. Jestliže existuje okolí bodu x 0 ve kterém je funkce ryze monotonní, lokální extrém v bodě x 0 nenstává. Poznámk 6.2. Grficky můžeme předchozí větu ilustrovt následovně. ր MAX ց min ր ր MAX ց b Poznámk 6.3 (bsolutní extrémy funkce). Uvžujme funkci, která je spojitá n uzvřeném intervlu [, b]. Podle Weierstrssovy věty tto funkce nbývá n intervlu [, b] své nejmenší největší hodnoty. Tyto hodnoty nzýváme bsolutní mximum bsolutní minimum funkce f n intervlu [, b]. Je zřejmé c d
21 6. LOKÁLNÍ XTRÉMY, PRŮBĚH FUNKC 21 (odkud?), že těchto extremálních hodnot může funkce nbývt pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy, nebo v některém z krjních bodů intervlu[, b]. Definice (konvexnost, konkávnost). Bud f funkce mjící derivci v bodě x 0. Řekneme, že funkce f je v boděx 0 konvexní (konkávní), jestliže existuje ryzí okolí bodux 0 tkové, že pro všechnx O(x 0 ) leží body grfu funkce nd tečnou (pod tečnou) ke grfu funkcef sestrojenou v boděx 0, tj. pltí ( ) (6.1) f(x) > f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) < f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Řekneme, že funkce je konvexní (konkávní) n otevřeném intervlu I, má-li tuto vlstnost v kždém bodě intervlu I. Definice (inflexní bod). Bod ve kterém se mění chrkter funkce z konvexní n konkávní nebo nopk nzýváme inflexním bodem funkce f. V následujících větách si ukážeme, že monotonie lokální extrémy úzce souvisí s první derivcí funkce, ztímco konvexnost/konkávnost inflexní body souvisí s druhou derivcí. Definice (stcionární bod). Řekneme, že bod x 0 je stcionárním bodem funkce f, jestliže funkce f má v boděx 0 nulovou derivci, tj. f (x 0 ) = 0. Poznámk 6.4 (geometrický význm). Geometricky jsou stcionární body body, ve kterých má grf funkce vodorovnou tečnu (proč?). Vět 6.2 (souvislost derivce lokálních extrémů). Necht má funkce v boděx 0 lokální extrém. Pk funkce f v bodě x 0 bud nemá derivci, nebo je tto derivce nulová, tj. pltí f (x 0 ) = 0 x 0 je stcionárním bodem funkce f. Poznámk 6.5 (strtegie hledání lokálních extrémů). Podle předchozí věty jsou body kde derivce neexistuje stcionární body jedinými podezřelými kndidáty n body, v nichž by funkce mohl nbývt lokálního extrému. Nikde jinde ( tkových bodů bývá nprostá většin) lokální extrém nemůže nstt. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tk, že nejprve nlezneme všechny tyto podezřelé body (tj. funkcif zderivujeme zjistíme, kde je tto derivce nulová kde není definovná) poté v kždém bodě smosttně rozhodneme, je-li v něm lokální extrém přípdně jký. K tomu nám může posloužit Vět 6.1 ve spojení s následující Větou 6.3. Vět 6.3 (souvislost derivce monotonie). Necht funkcef má derivci n otevřeném intervlui. Je-li f (x) > 0 n intervlui, je funkcef rostoucí ni. Je-li f (x) < 0 n intervlui, je funkcef klesjící ni. Poznámk 6.6. Při stnovení intervlů, kde je derivce kldná kde záporná, nejčstěji používáme Poznámku 5.2. Situce je obzvláště jednoduchá u rcionálních funkcí viz. Poznámk 1.5 n strně 49. Následující dvě věty jsou jednoduchým důsledkem definice lokálních extrémů definice rostoucí klesjící funkce. Přesto mohou tyto věty znčně zjednodušit hledání lokálních extrémů funkce. Vět 6.4 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnější složkou). Necht funkce g(x) je definovná ni f(x) je ryze monotonní ng(i). Potom funkceg(x) f(g(x)) nbývjí ni svých lokálních extrémů ve stejných bodech. Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce f rostoucí opčného typu, pokud je funkce f klesjící. Vět 6.5 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnitřní složkou). Necht funkce g(x) je spojitá ryze monotonní ni necht funkcef(x) je definovná ng(i). Potom složená funkcef(g(x)) má lokální v boděx = právě tehdy, když funkcef(t) má lokální extrém v bodět = g(). Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce g rostoucí opčného typu, pokud je funkce g klesjící. Příkld 6.1 (lokální extrém složené funkce). N intervlu (0, 1) hledejme lokální extrémy funkce y = x 1 x 2. Podle Věty 6.4 stčí njít extrémy druhé mocniny této funkce, tj. funkce y = x 2 (1 x 2 ).
x + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceZáklady vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík
Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Více22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Více2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem
2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první
VíceFI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017
FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Více