Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík"

Transkript

1 Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipliny společného zákldu(reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky.

2 Obsh Kpitol 1. Diferenciální počet 3 1. Funkce jedné proměnné 3 2. Funkce více proměnných 6 3. Spojitost 6 4. Derivce 7 5. Využitíderivcí 7 Kpitol 2. Integrální počet Neurčitýintegrál Určitýintegrál Dvojnýintegrál Polárnísouřdnice Obyčejné diferenciální rovnice(úvod) 23 2

3 KAPITOLA 1 Diferenciální počet 1. Funkce jedné proměnné Definice(funkce). Buďte A B neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Prvidlo f,kterékždémuprvkumnožiny Apřiřdíjedinýprvekmnožiny Bsenzýváfunkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zpisujeme f : A B. Skutečnost, že prvku Ajepřiřzenprvek b Bzpisujemetkto: f() = b.přitomříkáme,že bjeobrzemprvku přizobrzení f,resp.že jevzoremprvku bpřizobrzení f. Definice(pojmy spojené s funkcemi). Množin A z definice funkce se nzývá definiční obor funkce f.oznčujeme D(f)(resp. Dom(f)).Množinvšech b B,prokteréexistuje A svlstností f() = bsenzýváoborhodnotfunkce f.oznčujeme H(f)(resp. Im(f)). Je-li y = f(x)nzývámeproměnnou xtéžnezávislouproměnnouproměnnou yzávislouproměnnou.grfemfunkcerozumímemnožinuvšechuspořádnýchdvojic [x,y] R 2 svlstností y = f(x). Poznámk 1.1. Funkce je tedy prvidlo, které jednomu reálnému číslu přiřdí jediné, přesně definovnéjinéreálnéčíslo.je-litotoprvidlotvru y = vzorecsproměnnou x,nzýváme tentopředpisexplicitnímtvremfunkce,npř. y = x 2 +lnx. Je-litotoprvidlovetvru vzorecsproměnnými x,y = 0,nzývámetentopředpisimplicitním tvremfunkce.,npř. x y lny = 0.Zjednodušeněřečenosetedyjednáoprvidlo,kteréjebuď efektivní (explicitnítvr)nebo máloefektivní (implicitnítvr)provýpočetfunkčníchhodnot. Následující definice se týká nprosté většiny funkcí, se kterými budeme prcovt. Definice(zákldní elementární funkce). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální logritmické funkce obecná mocnin se nzývjí zákldní elementární funkce. Definice(elementární funkce). Všechny funkce, které ze zákldních elementárních funkcí získáme konečným počtem opercí sčítání, odečítání, násobení, dělení skládání těchto funkcí nvzájem se nzývjí elementární funkce. Poznámk 1.2. Elementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvru vyjádřit explicitním vzorcem z použití funkcí známých ze střední školy cyklometrických funkcí. Motivce. Pro libovolnou dobře definovnou funkci f pltí implikce x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). nyní se budeme zjímt o to, z jkých podmínek lze tuto implikci obrátit. Obrácení implikce by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic. Definice(prostost). Nechť fjefunkcem D(f)podmnožindefiničníhooborufunkce f. Řekneme,žefunkce fjeprostá,jestližekždýobrzmájenjedinývzor,tj.prokždé y f(m) existujejediné x Msvlstností f(x) = y. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oborufunkce f. 3

4 1. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 4 Poznámk 1.3(grfický důsledek). Funkce je prostá, jestliže kždá vodorovná přímk protíná grf nejvýše jednou. Poznámk1.4(kprostýmfunkcím).Ekvivlentnělzeříci,žefunkce fjeprostánmnožině M, jestliže stejné obrzy mjí nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřzeny různé obrzy. Mtemticky formulováno: pltí implikce (1.1) f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2, tj.je-lifunkcefprostá,můžemetutofunkci odstrnit zoboustrnrovnicemístof(x 1 ) = f(x 2 ) psátekvivlentně x 1 = x 2. Definice(inverzní funkce). Nechť funkce f : A B je prostá. Prvidlo, které kždému x zmnožiny f(a)přiřdíto(jediné) y,prokterépltí f(y) = xsenzýváinverznífunkcekfunkci f,oznčujeme f 1. Poznámk 1.5. Symbol f 1 (x)lzetedycháptbuďjkohodnotuinverznífunkcekfunkci f vbodě x,nebojkopřevrácenouhodnotukčíslu f(x),tjjko [f(x)] 1 = 1 f(x).nebude-lizkontextu zřejmé, o kterou vrintu se jedná, musíme toto upřesnit. Poznámk 1.6(geometrický význm inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že grf funkce f grffunkcekníinverzní f 1 jsousouměrnépodlepřímky y = x,tj.podleosyprvníhotřetího kvdrntu. Poznámk 1.7(výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme tkto: změnímeformálněvzdánífunkceproměnné xy,mámetedy x = f(y).ttorovnicedefinuje implicitněinverznífunkci y = f 1 (x).ztétorovnicevyjádřímeproměnnou y(pokudtotonelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvru). Toto vyjádření je jednoznčné(jink by to znmenlo, že funkce f není prostá inverzní funkce neexistuje) definuje explicitně inverzní funkci f 1.Uzákldníchelementárníchfunkcíjezprvidlinverznífunkcejednodušejinázákldní elementární funkce, npříkld inverzní funkce k logritmické funkci je exponenciální funkce podobně(viztbulk1).protoževlstnost býtinverznífunkcí jevlstnostvzájemná,jetké logritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Funkce y = f(x) Funkceinverzní y = f 1 (x) y = x y = x 2, x 0 y = x 2, x 0 y = x y = e x y = lnx y = lnx y = e x y = x y = log x y = sinx, x [ π/2,π/2] y = rcsinx y = cosx, x [0,π] y = rccosx y = tgx, x [ π/2,π/2] y = rctgx Tbulk 1. Inverzní funkce k zákldním elementárním funkcím. Poznámk1.8(využitíinverznífunkce nelineárnírovnice).má-lifunkce finverznífunkci f 1 je-littoinverznífunkcedefinovánvbodě x,potommánelineárnírovnicesneznámou y f(y) = x právě jedno řešení dné vzorcem y = f 1 (x).

5 1. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 Příkld 1.1(nelineární rovnice). Řešme rovnici e 2 x 1 = 2. Protože k exponenciální funkci je inverzní logritmická funkce, plyne odsud 2 x 1 = ln2, odkud již sndno vyjádříme x = 2 ln2 +1. Jinou možností je přepst rovnici do tvru, který obshuje exponenciální funkci n obou strnách rovnice e 2 x 1 = e ln2 odstrnit tuto exponenciální funkci z obou strn rovnice(exponenciální funkce je totiž prostá lze použít(1.1) připojenou poznámku). Obdržíme smozřejmě stejný výsledek. Motivce. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí klesjící funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zchovávjí(rostoucí) nebo obrcejí(klesjící) směr nerovnosti při plikci funkce n obě strny nerovnice. Definice(monotonie funkce). Nechť f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme,žefunkce fjenmnožině Mrostoucíjestližeprokždé x 1,x 2 Msvlstností x 1 < x 2,pltí f(x 1 ) < f(x 2 ). (ii) Řekneme,žefunkce fjenmnožině Mklesjícíjestližeprokždé x 1,x 2 Msvlstností x 1 < x 2,pltí f(x 1 ) > f(x 2 ). (iii) Řekneme,žefunkce f jenmnožině M (ryze)monotonní je-libuďrostoucí,nebo klesjícín M. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oborufunkce f. Poznámk 1.9(využití monotonie nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně znmená, že jsou-li vzory funkce(hodnoty x) uspořádány podle velikosti, pltí pro jejich obrzy (hodnoty f(x))stejnéuspořádání.je-li f(x)tedyrostoucífunkce,jsounerovnosti < bf() < f(b) ekvivlentní. Totéž pltí i pro neostré nerovnice. Můžemetedylibovolnou(ostrouneboneostrou)nerovnicinpř. logritmovt,nebo odlogritmovt logritmemozáklduvětšímnež 1.Pozor!Je-lifunkce f(x)klesjící,obrcísepřiplikci funkce(nebo při vynechání funkce) n obě strny nerovnice znménko nerovnosti. Okmžitě z definice vyplývá následující vět. Vět1.1.Je-lifunkce fnmnožině Mryzemonotonní,jentétomnožiněiprostá. Následující vět ukzuje, že při přechodu k inverzní funkci se zchovává ryzí monotonie. Vět1.2.Je-lifunkce f(x)rostoucí(klesjící),mátutéžvlstnostifunkceinverzní f 1 (x). Poznámk Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci. Poznámk 1.11(shrnující poznámk). Shrňme si, jk nám znlost vlstností funkcí umožňuje prcovt s rovnicemi nerovnostmi. = b f jeprostá f() = f(b) < b fjerostoucí f() < f(b) b fjerostoucí < b f jeklesjící f() > f(b) b fjeklesjící f() f(b) f() f(b)

6 3. SPOJITOST 6 Je-lifunkce fprostá,pkprokždé y H(f)márovnice f(x) = y sneznámou xprávějednořešenítotořešeníjemožnovyjádřitvzthem x = f 1 (y). 2. Funkce více proměnných Symbol R n oznčujeuspořádnou n-ticireálnýchčísel. Definice(funkce, definiční obor, obor hodnot). Řekneme, že prvidlo f je funkcí n proměnných sdefiničnímoborem D(f) R n oboremhodnot Im(f) R,jestližetotoprvidlokždému X D(f)přiřzujejedinéčíslo Y Im(f).Píšeme Y = f(x). Prvek Xnzývámevzorčíslo Y obrz.je-li ffunkce nproměnných,píšeme f : R n R Definice(grf,vrstevnice). Uvžujmefunkcidvouproměnných f : R 2 R. Grfemfunkce frozumímemnožinubodů (x,y,z) R 3 svlstností z = f(x,y).zprvidltouto množinou bude nějká ploch v prostoru. Nechť C Im(f)jepředemdnéčíslo.Vrstevnicínúrovni Crozumímemnožinuvšechbodů (x,y) R 2,splňující f(x,y) = C. Poznámk 2.1(geometrická předstv). Geometricky lze grf funkce dvou proměnných chápt jko plochu v trojrozměrném prostoru, popsném souřdnicemi x, y z. Vrstevnice n úrovni C je potom křivk, která je řezem grfu funkce rovinou z = C, tj. vodorovnou rovinou, procházející bodem [0,0,C]. 3. Spojitost Následující definice vět se vzthuje n funkce jedné i více proměnných. Definice(spojitost). Buď funkce f funkcí jedné nebo více proměnných. Řekneme, že funkce f jespojitávbodě Xjestližekekždémuokolí V bodu f(x)existujeokolí Ubodu Xtkové,že obrzyvšechobodůzuležíve V. Poznámk 3.1. Okolím bodu n reálné ose rozumíme libovolný otevřený intervl obshující tento bod. Okolím bodu v rovině rozumíme vnitřek libovolného kruhu, který tento bod obshuje, podobně v prostoru rozumíme okolím bodu vnitřek libovolné koule, která tento bod obshuje. Vět 3.1(spojitost elementárních funkcí). Elementární funkce jsou spojité v kždém bodě svého definičního oboru.

7 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 7 4. Derivce Definice(derivce elementární funkce jedné proměnné). Buď f(x) elementární funkce proměnné x.funkce f (x)vytvořenápostupnouplikcínásledujícíchprvidelsenzýváderivcefunkce f(x). (1) (c) = 0 (2) (x n ) = nx n 1 (3) ( x ) = x ln (4) (e x ) = e x (5) (log x) = 1 xln (6) (lnx) = 1 x (7) (sinx) = cosx (8) (cosx) = sinx (9) (tgx) = 1 cos 2 x (10) (cotgx) = 1 sin 2 x (11) (rcsinx) = 1 1 x 2 (12) (rccosx) 1 = 1 x 2 (13) (rctgx) = 1 1+x 2 (14) (rccotgx) = 1 1+x 2 Ajsou-li u,v : R R, c R,potom 1. (u(x)±v(x)) = u (x)±v (x) 2. (cu(x)) = cu (x) 3. (u(x)v(x)) = u (x)v(x)+u(x)v (x) ( u(x) ) u (x)v(x) u(x)v (x) 4. = v(x) v 2 (x) ( 5. u(v(x))) = u (v(x))v (x) Poznámk 4.1(druhá derivce vyšší derivce). Protože výsledkem derivce je funkce, můžeme tuto funkci opět derivovt. Výsledkem je druhá derivce funkce původní. Dlším derivováním získámetřetídlšíderivce.druhouderivciončujeme y,třetíderivci y td,obecně n-tou derivcioznčujeme y (n).npříkldfunkce y = x 3 splňuje y = 3x 2, y = 6x, y = 6y (n) = 0 prolibovolné n 4. Definice(prciálníderivce). Nechť f : R 2 Rjefunkcedvouproměnných.Prolibovolné lepevné ydefinujmefunkcijednéproměnné ϕ(x) = f(x,y).derivcifunkce ϕ(x)nzýváme prciální derivci funkce f(x, y) podle proměnné x. Podobně definujeme prciální derivci podle ypomocíderivcefunkcejednéproměnné ϕ(y) = f(x,y) Poznámk4.2.Derivcifunkcejednéproměnné y = f(x)oznčujemetéž dy dx nebo df dx. Derivcifunkcedvouproměnnýchz = f(x,y)podle xoznčujemetéž f x, z x, z x, f x, z x.podobně proderivcipodle y.druhéderivceoznčujeme z xx, f yy, z xy, 2 z x y, 2 z y 2 podobně. Druhé prciální derivce funkce dvou proměnných jsou celkem čtyři. Následující vět ukzuje, že smíšené druhé derivce jsou většinou totožné, tj. že druhé derivce existují ve většině přípdů pouze tři. Vět4.1(Schwrzovvět).Jsou-liprciálníderivce f xy f yx definovnéspojiténotevřené množině M,pkjsoutotožné,tj.provšechn (x,y) Mpltí f xy (x,y) = f yx (x,y). 5. Využití derivcí Není-li níže výslovně uvedeno jink, rozumíme v této podkpitole pod pojmem funkce vždy funkci jedné proměnné.

8 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ Rychlost změny veličiny. Poznámk 5.1(prktický význm derivce). Nechť veličin x oznčuje čs, měřený ve vhodných jednotkách,nechťveličin yseměnívprůběhučsu,tj. y = y(x).derivce y (x)potéznčí okmžitou rychlost, s níž dochází ke změně velikosti veličiny y v čse x. Znčí-li npř. y(x) polohu pohybujícíhosetělesvčse x,jederivce y (x)rovnokmžitérychlostitohototěles(pojem rychlost užíváme ve fyzikálním smyslu tohoto slov). Znčí-li veličin y velikost populce určitého živočišnéhodruhuvčsex,znčíderivcey (x)rychlostnárůstutétopopulce,tj.početživočichů, který se v dném okmžiku nrodil(z čsovou jednotku), zmenšený o počet živočichů, který v dném okmžiku uhynul Lineární proximce funkce jedné proměnné. Vět 5.1(souvislost derivce spojitosti). Má-li funkce v bodě(n intervlu I) derivci, je v tomto bodě(n tomto intervlu) spojitá. Poznámk 5.2. Opčná vět nepltí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivce. Příkldembudižfunkce y = x vbodě x = 0. Poznámk5.3(rovnicetečny).Má-lifunkce fvbodě derivci,jerovnicetečnykegrfufunkce vtomtobodě y = f ()(x )+f(). Rovnici tečny můžeme použít k lineární proximci funkce. V okolí bodu pltí přibližný vzorec f(x) f()+f ()(x ), který umožňuje v okolí bodu nhrdit(obecně nelineární) funkci f(x) funkcí lineární Lineární proximce funkce dvou proměnných. Vět 5.2(dosttečná podmínk spojitosti, lineární proximce funkce pomocí prciálních derivcí). Nechťfunkce fmádefinovnéspojitéprciálníderivcevokolíbodu (x 0,y 0 ).Potom pltí následující. Funkce fjevbodě (x 0,y 0 )spojitá. Rovinorovnici z = f(x 0,y 0 )+f x(x 0,y 0 )(x x 0 )+f y(x 0,y 0 )(y y 0 ) jetečnárovinkegrfufunkce fvbodě (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) Pltí přibližný vzorec f(x,y) f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ). Vtomtovzorcijepřesnosttímvětší,čím jemenšívzdálenostbodů (x,y)(x 0,y 0 ), jsou menší druhé derivce funkce f(pokud existují) Tylorův polynom. Předpokládejme že je dán funkce f s následujícími vlstnostmi: Dokážeme vypočítt funkční hodnotu hodnotu derivcí(ž do řádu n) v jistém bodě x 0. Nemáme dosttečně efektivní lgoritmus n výpočet funkčních hodnot v osttních bodech x x 0. Provýpočetfunkčníchhodnotvbodechvokolíbodu x 0 sebudemesnžitfunkciproximovt jednodušší funkcí, v nšem přípdě polynomem stupně n. Nejlepší polynom, který funkci f v okolí bodu x 0 proximujejetkovýpolynom,kterýmásdnoufunkcítotožnévbodě x 0 derivceždo řádu n. Tkový polynom se nzývá Tylorův polynom nlezneme ho pomocí následující definice.

9 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 9 Definice(Tylorův polynom). Nechť n N je přirozené číslo f funkce, která je definovná vbodě x 0 Rmázdevšechnyderivcedořádu nvčetně.polynom T n (x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! senzývátylorůvpolynom stupně nfunkce f vbodě x 0.Bod x 0 senzývástřed Tylorov polynomu. Poznámk 5.4. Tylorůvpolynomjejedinýpolynomstupně n,kterýmásfunkcí f vbodě x 0 společnoufunkčníhodnotuhodnotuprvních nderivcí.vpřípděžestředempolynomuje x 0 = 0používámeproTylorůvpolynomnázevMclurinůvpolynom. Vět5.3(Tylorovvět). Nechťfunkce f mávbodě x 0 nějkémjehookolí O(x 0 )spojité derivcedořádu n+1,včetně.pkprovšechn x O(x 0 )pltí f(x) = T n (x)+r n+1 (x), kde T n (x)jetylorůvpolynomfunkce f stupně nsestředemvbodě x 0 R n+1 (x)jezbytek. Tento zbytek splňuje (5.1) R n+1(x) = f(n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, kde cjevhodnéčísloležícímezi xx 0. Poznámk 5.5(proximce její přesnost). Z vyjádření zbytku(5.1) plyne, že tento zbytek je mlý, jestliže xjeblízko x 0,tj.bsolutníhodnotrozdílu (x x 0 )jemlá njevelké f (n+1) (x)jemlávuvžovnémokolíbodu x 0 Jsou-litytopodmínkysplněny,můžemepsátvokolíbodu x 0 f(x) T n (x) chyb, které se při tom dopustíme bude mlá.(z(5.1) jsme schopni určit mximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.) Poznámk 5.6(plikční). Tylorův polynom tedy slouží k tomu, bychom jistou funkční závislost proximovli závislostí polynomickou. Tím se závislost podsttně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí Bolznov vět. Vět5.4(prvníBolznovvět). Nechťfunkce f(x)jespojitánuzvřenémintervlu [,b] pltí f() f(b) < 0(tj. f()f(b)mjíopčnáznménk).pkfunkce f(x)mánintervlu (,b)nulovýbod,tj.existuječíslo c (,b)svlstností f(c) = 0. Poznámk 5.7(nelineární nerovnice). Bolznov vět umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.4 totiž funkce může změnit znménko jedině v bodě, kde je porušen její spojitost(= skokem), nebo v nulovém bodě(= grf protíná osu x). Řešíme-li tedy nerovnici f(x) > 0, nlezneme nejprve body nespojitosti funkce f nulové body této funkce, tj. řešení rovnice f(x) = 0.Oběskupinybodůvynesemenreálnouosudefiničníoborsetímtorozpdne nněkolikpodintervlů.uvnitřkždéhoztěchtointervlůpltíbuď f(x) > 0nebo f(x) < 0. Která z těchto vrint pltí ve kterém z intervlů lze zjistit npříkld postupným doszováním reprezentntů z jednotlivých intervlů Lokální extrémy, konvexnost konkávnost.

10 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 10 Definice(lokálníextrém). Buď ffunkcex 0 D(f). Řekneme,žefunkcemávbodě x 0 lokálnímximum,jestližeexistujeryzíokolí O(x 0 ), tkové,že f(x 0 ) f(x)provšechnx O(x 0 ).Je-linerovnostostrá,říkáme,žefunkce fmávbodě x 0 ostrélokálnímximum. Pltí-liopčnénerovnosti,říkáme,žefunkcemávbodě x 0 lokálníminimumostré lokální minimum. Lokální mximum minimum nzýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální mximum ostré lokální minimum nzýváme společným názvem ostré lokální extrémy. Poznámk5.8(kpředchozídefinici).Funkcemávbodě x 0 ostrélokálnímximum(minimum), jestliževnějkémryzímokolíbodu x 0 nbývápouzenižších(vyšších)funkčníchhodnot,než f(x 0 ).Hodnot f(x 0 )jetedyjedinánejvyšší(nejnižší)funkčníhodnotvnějkémokolíbodu x 0. Okolíbodu x 0 zpředchozídefinicemusínutněceléležetvdefiničnímoborufunkce f.(vněkteré litertuřejettopodmínkponěkudoslben.npř.ufunkce y = xnemluvímeolokálním minimumvbodě 0,protoženlevoodbodu 0vůbecnenídefinován.Jiníutořitentobodvšk z lokální extrém povžují.) Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jk ukzuje následující vět. Vět 5.5(postčující podmínky pro existenci neexistenci lokálních extrémů). Buď f funkce definovnáspojitávnějkémokolíbodu x 0. Jestližeexistujelevéokolíbodu x 0,vekterémjefunkcerostoucíprvéokolíbodu x 0, vekterémjefunkceklesjící,jebod x 0 bodemostréholokálníhomximfunkce f. Jestližeexistujelevéokolíbodu x 0,vekterémjefunkceklesjícíprvéokolíbodu x 0, vekterémjefunkcerostoucí,jebod x 0 bodemostréholokálníhominimfunkce f. Jestližeexistujeokolí bodu x 0 vekterémje funkceryzemonotonní, lokální extrém vbodě x 0 nenstává. Poznámk 5.9. Grficky můžeme předchozí větu ilustrovt následovně. ր MAX ց min ր ր MAX ց b c d Poznámk 5.10(bsolutní extrémy funkce). Uvžujme funkci, která je spojitá n uzvřeném intervlu [, b]. Tto funkce nbývá n intervlu [, b] své nejmenší největší hodnoty(toto tvrzení je známé jko Weierstrssov vět). Tyto hodnoty nzýváme bsolutní mximum bsolutní minimum funkce f n intervlu [, b]. Je zřejmé(odkud?), že těchto extremálních hodnot může funkce nbývt pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy, nebo v některém z krjních bodů intervlu [, b]. Definice(konvexnost,konkávnost).Buď ffunkcemjícíderivcivbodě x 0.Řekneme,žefunkce fjevbodě x 0 konvexní(konkávní),jestližeexistujeryzíokolíbodu x 0 tkové,žeprovšechn x O(x 0 )ležíbodygrfufunkcendtečnou(podtečnou)kegrfufunkce fsestrojenouvbodě x 0,tj.pltí ( ) (5.2) f(x) > f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) < f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Řekneme, že funkce je konvexní(konkávní) n otevřeném intervlu I, má-li tuto vlstnost v kždém bodě intervlu I. Definice(inflexní bod). Bod ve kterém se mění chrkter funkce z konvexní n konkávní nebo nopk nzýváme inflexním bodem funkce f. V následujících větách si ukážeme, že monotonie lokální extrémy úzce souvisí s první derivcí funkce, ztímco konvexnost/konkávnost inflexní body souvisí s druhou derivcí.

11 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 11 Definice(stcionárníbod). Řekneme,žebod x 0 jestcionárnímbodemfunkce f,jestližefunkce fmávbodě x 0 nulovouderivci,tj. f (x 0 ) = 0. Poznámk 5.11(geometrický význm). Geometricky jsou stcionární body body, ve kterých má grf funkce vodorovnou tečnu(proč?). Vět5.6(souvislostderivcelokálníchextrémů). Nechťmáfunkcevbodě x 0 lokálníextrém. Pkfunkce fvbodě x 0 buďnemáderivci,nebojettoderivcenulová,tj.pltí f (x 0 ) = 0 x 0 jestcionárnímbodemfunkce f. Poznámk 5.12(strtegie hledání lokálních extrémů). Podle předchozí věty jsou body kde derivceneexistujestcionárníbodyjedinými podezřelými kndidátynbody,vnichžbyfunkce mohl nbývt lokálního extrému. Nikde jinde( tkových bodů bývá nprostá většin) lokální extrém nemůže nstt. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tk, že nejprve nlezneme všechny tyto podezřelé body(tj.funkci fzderivujemezjistíme,kdejettoderivcenulovákdenení definovná) poté v kždém bodě smosttně rozhodneme, je-li v něm lokální extrém přípdně jký.ktomunámmůžeposloužitvět5.5vespojenísnásledujícívětou5.7. Vět 5.7(souvislost derivce monotonie). Nechť funkce f má derivci n otevřeném intervlu I. Je-li f (x) > 0nintervlu I,jefunkce frostoucín I. Je-li f (x) < 0nintervlu I,jefunkce fklesjícín I. Následující dvě věty jsou jednoduchým důsledkem definice lokálních extrémů definice rostoucí klesjící funkce. Přesto mohou tyto věty znčně zjednodušit hledání lokálních extrémů funkce. Vět 5.8(lokální extrémy složené funkce s monotonní vnější složkou). Nechť funkce g(x) je definovnán I f(x)jeryzemonotonnín g(i).potomfunkce g(x)f(g(x))nbývjín I svých lokálních extrémů ve stejných bodech. Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce f rostoucí opčného typu, pokud je funkce f klesjící. Vět 5.9(lokální extrémy složené funkce s monotonní vnitřní složkou). Nechť funkce g(x) je spojitáryzemonotonnín Inechťfunkce f(x)jedefinovnán g(i).potomsloženáfunkce f(g(x))málokálnívbodě x = právětehdy,kdyžfunkce f(t)málokálníextrémvbodě t = g(). Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce g rostoucí opčného typu, pokud je funkce g klesjící. Příkld 5.1(lokální extrém složené funkce). N intervlu (0, 1) hledejme lokální extrémy funkce y = x 1 x 2.PodleVěty5.8stčínjítextrémydruhémocninytétofunkce,tj.funkce y = x 2 (1 x 2 ).Studovnáfunkcejetotižnintervlu Ikldnádruhámocnintedyroste.Podle Věty5.9můžemezvéstsubstituci x 2 = tstudovtfunkci y = t(1 t).pořádtotižprcujeme skldnýmihodnotmi xdruhámocninjetedyrostoucífunkce.grfemfunkce y = t(1 t)je prbolslokálnímmximemvevrcholu,tj.vbodě t = 1 2,kterýležíuprostředmezinulovými body t = 0t=1.Zdnáfunkce y = x 1 x 2 mátedylokálníextrémvbodě,kterýsplňuje x 2 = 1 2,tj.vbodě x = 1 2.Protožejsmepoužilirostoucífunkce,jednáseolokálníextrémy stejného typu, tj. je zde lokální mximum. Vidíme, že lokální extrém jsme nšli pouze použitím zcel elementárních prostředků. Postup zložený n výpočtu derivce jejích nulových bodů by byl nepoměrně náročnější. Vět 5.10(souvislost druhé derivce s konvexností konkávností). Buď f funkce mjící druhou derivci n otevřeném intervlu I. Je-li f (x) > 0nintervlu I,jefunkce fkonvexnín I. Je-li f (x) < 0nintervlu I,jefunkce fkonkávnín I.

12 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 12 Definice(kritický bod). Bod, ve kterém má funkce f nulovou druhou derivci nzýváme kritickýmbodemfunkce f. Vět5.11(souvislostinflexníchbodůdruhéderivce). Nechťmáfunkcevbodě x 0 inflexní bod.pkfunkce fvbodě x 0 buďnemádruhouderivci,nebojettodruháderivcenulová,tj. pltí f (x 0 ) = 0x 0 jekritickýmbodemfunkce f. Vět5.12(souvislostdruhéderivceslokálnímiextrémy). Buď ffunkcex 0 stcionárníbod funkce f.je-li f (x 0 ) > 0,nbýváfunkcevbodě x 0 lokálníhominim,je-li f (x 0 ) < 0,nbývá funkcevbodě x 0 lokálníhomxim. Poznámk 5.13(technická). Předchozí vět nedává odpověď n otázku zd jký lokální extrém nstává ve stcionárním bodě, který je součsně i kritickým bodem. V tomto přípdě totiž nelze o existenci kvlitě lokálního extrému pomocí druhé derivce rozhodnout. Proto je lepší při hledání lokálních extrémů využívt Věty Newtonov Rphsonov metod. Budeme se zbývt úkolem njít přibližné řešení rovnice (5.3) f(x) = 0, kde f(x) je diferencovtelná funkce. Při přibližném řešení rovnic zprvidl máme k dipozici jistý počáteční odhd, který nám udává přibližnou polohu kořene, nším úkolem je tento počáteční odhd zpřesnit n poždovnou přesnost. Tento počáteční odhd získáme npříkld grfickým řešením rovnice, nebo v nouzi hrubou výpočetní silou střelbou nslepo. Jedn z metod zpřesnění počátečního odhdu kořenů(newtonov Rphsonov) spočívá v proximcifunkcetečnouhledáníkořenetétotečny.je-lipočátečníodhdkořene x = x 0,můžeme funkci v okolí bodu dotyku proximovt tečnou (5.4) f(x) f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) oznčíme-li x 1 novouproximcikořene,určíme x 1 zpodmínky tj. 0 f(x 0 )+f (x 0 )(x 1 x 0 ) f (x 0 )(x 1 x 0 ) f(x 0 ) x 1 x 0 f(x 0) f (x 0 ) x 1 x 0 f(x 0) f (x 0 ). Tentopostupmůžemeopkovtodhd x 1 můžemedálezpřesnit.zjistýchpodmíneksetkto budeme přibližovt k řešení rovnice f(x). Stnovení podmínek konvergence metody je obsženo v následující větě. Zhrub řečeno, funkce f(x), musí být dosttečně hldká, počáteční odhd musí být dosttečně blízko kořene derivce zde nesmí být rovn nule. Vět 5.13(Newtonov Rphsonov metod). Nechť f(x) je funkce, která má n [, b] spojitou druhouderivcinechťexistuječíslo ctkové,že f(c) = 0.Jestliže f (c) 0,potomexistuje δ > 0tkové,žeposloupnost (5.5) x k+1 = x k f(x k) f (x k ) konvergujekčíslu cprolibovolnépočáteční x 0 splňující x 0 c < δ. Konvergence metody je velmi rychlá kždým krokem se počet přesných cifer prkticky zdvojnásobí.

13 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 13 Příkld 5.2(Newtonov Rphsonov metod). Pro funkci f(x) = cos(x) x má iterční schém tvr x n+1 = x n + cos(x n) x n volíme-li x 0 = 0.5,vypdáposloupnostitercínásledovně: 1+sin(x n ) x 1 = ,x 2 = ,x 3 = ,x 4 =

14 KAPITOLA 2 Integrální počet V kpitole věnovné diferenciálnímu počtu jsme k funkci nšli její derivci veličinu udávjící rychlost, se kterou se mění funkční hodnoty. Nyní problém otočíme: ke známé derivci(tj. ke známé rychlosti změny) budeme hledt původní funkci. 1. Neurčitý integrál Definice(neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený intervl, f F funkce definovné n I. Jestliže pltí (1.1) F (x) = f(x)provšechn x I, nzývásefunkce Fprimitivnífunkcíkfunkci f,nebotéžneurčitýintegrálfunkce fnintervlu I. Zpisujeme f(x)dx = F(x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál n intervlu I, nzývá se funkce f integrovtelná n I. Poznámk 1.1(spojitost primitivní funkce). Primitivní funkce F(x) je vždy spojitá n I, plyne to z existence derivce. Vět 1.1(postčující podmínk existence neurčitého integrálu). Ke kždé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Vět 1.2(jednoznčnost primitivní funkce). Primitivní funkce je n dném intervlu k dné funkci určen jednoznčně, ž n libovolnou ditivní konstntu. Přesněji, pltí následující: (i) Je-li F primitivnífunkcíkfunkci fnintervlu I,pltítotéžiprofunkci G(x) = F(x)+c, kde c Rjelibovolnákonstntnezávislán x. (ii) Jsou-li F Gprimitivnífunkcektéžefunkci fnintervlu I,lišíseoběfunkcenintervlu Inejvýšeoditivníkonstntu,tj.existuje c Rtkové,že F(x) = G(x)+c provšechn x I. Poznámk 1.2(filozofická). Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně njít. Ztímco problém nlezení derivce funkce složené z funkcí, které umíme derivovt, spočívá pouze ve správné plikci vzorců pro derivování, problém nlézt neurčitý integrál i k funkci tk jednoduché, jko je npříkld e x2 jeneřešitelnývetříděelementárníchfunkcí(viztéžvět2.5) Vět 1.3(linerit neurčitého integrálu). Nechť f, g jsou funkce integrovtelné n I, c nechť jereálnéčíslo.pknintervlu Ipltí f(x)+g(x)dx = f(x)dx+ g(x) dx, cf(x)dx = c f(x)dx. Poznámk 1.3(technická). Vzhledem k součtu násobení konstntou se tedy integrál chová pěkně,tkjkjsmetoviděliiuderivce.bohuželvškneexistujípodobnévzorečkyprointegrál složené funkce, podílu nebo součinu. 14

15 1. NEURČITÝ INTEGRÁL 15 Poznámk 1.4(zákldní vzorce pro integrování). Následující vzorce jsou opkem( v některých přípdech mírným zobecněním) vzorců pro derivci zákldních elementárních funkcí. dx = x+c 1 x n dx = xn+1 n+1 +c 1 dx = ln x +c x x dx = x ln +c e x dx = e x +c sinxdx = cosx+c cosxdx = sinx+c cos 2 dx = tgx+c x 1 sin 2 dx = cotgx+c x 1 A2 x dx = rcsin x 2 A +c 1 x+ x2 ±B dx = ln x2 ±B +c 1 A 2 +x 2 dx = 1 A rctg x A +c 1 A 2 x 2 dx = 1 2A ln A+x A x +c 1.1. Metod per-prtés. Motivce. Pokud vyjdeme ze vzthu pro derivci součinu (uv) = u v +uv zintegrujeme jej n tvr uv = u vdx+ uv dx, nbízí se nám možnost, vypočítt jeden z integrálů n prvé strně pomocí druhého. To je zákldní myšlenkou následující metody. Vět 1.4(metod per-prtés, speciální přípd součinu). Nechť funkce u v mjí derivce n intervlu I. Pk pltí (1.2) u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx, pokud integrál n prvé strně existuje. Poznámk 1.5(integrály typické pro výpočet metodou per-prtés). Buď P(x) polynom. Metodou per-prtés integrujeme npříkld integrály následujících typů P(x)e αx dx, P(x)sin(αx)dx, P(x)cos(αx)dx, P(x)rctgxdx, P(x)ln m xdx. U první skupiny integrálů postupujeme tk, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, v přípdě potřeby tento postup opkujeme. U druhé skupiny integrálů nopk derivujeme funkce rctg x ln x. Ve všech těchto přípdech je integrál figurující n prvé strně vzorce(1.2) jednodušší než integrál původní. Příkld 1.1(integrce per-prtés). u = rctgx u = 1 xrctgxdx per-prtés: x 2 +1 v = x v = x2 2 = x2 2 rctgx 1 x x 2 dx = = x2 2 rctgx x2 dx = 1+x2 2 rctgx 1 2 x+ 1 2 rctgx+c

16 2. URČITÝ INTEGRÁL Substituční metod. Vět 1.5 (první substituční metod, speciální přípd složené funkce). Nechť f(t) je funkce spojitánintervlu I,nechťfunkce ϕ(x)máderivcinintervlu J pltí ϕ(j) = I.Potom n intervlu J pltí (1.3) f(ϕ(x))ϕ (x)dx = f(t)dt, dosdíme-li nprvo t = ϕ(x) Poznámk 1.6(technická). Formálně substituci provádíme tk, že píšeme v integrálu vprvo t místo ϕ(x) dtmísto ϕ (x)dx. Příkld 1.2(substituční metod). sin tg 3 3 x sin 2 xdx = cos 3 x dx = x cos 3 x sinxdx = 1 cos 2 x cosx = t = cos 3 x sinxdx substituce: sinxdx = dt sinxdx = dt = 1 t2 1 t 3 dt = t t 3 dt = = ln t t 2 = ln cosx + 2cos 2 x +c V jistém smyslu opčným postupem je druhá substituční metod. Vět 1.6(druhá substituční metod). Nechť f(x) je funkce spojitá n intervlu I, nechť funkce ϕ(t)mánenulovouderivcinintervlu Jpltí ϕ(j) = I.Potomnintervlu Ipltí (1.4) f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt, dosdíme-linprvo t = ϕ 1 (x),kde ϕ 1 (x)jefunkceinverzníkfunkci ϕ(x). Poznámk 1.7. Existenceinverznífunkce ϕ 1 plyneznenulovostiderivcefunkce ϕ.výrz nprvo v(1.4) sice vypdá komplikovněji, v prxi všk substituci volíme vždy tk, by po úprvě vprvo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítt. Poznámk 1.8(technická). Formálně substituci provádíme tk, že píšeme v integrálu vprvo ϕ(t)místo xϕ (t)dtmísto dx. Poznámk 1.9. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlstně jedná o použití vzorce(1.3) zprv dolev. 2. Určitý integrál Definice(děleníintervlu). Buď [,b]uzvřenýintervl < < b <.Dělenímintervlu [,b]rozumímekonečnouposloupnost D = {x 0,x 1,...,x n }bodůzintervlu [,b]svlstností = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < < x n 1 < x n = b. Čísl x i nzývámedělícíbody. Definice(dolní závor). Buď A neprázdná zdol ohrničená množin reálných čísel. Číslo m se nzývádolnízávormnožiny A,jestliže m provšechn A Příkld 2.1. Dolní závorou intervlu (0, 1) jsou npříkld čísl 1, π, 0. Dolnízávorouintervlu (0,1)nejsoučísl 1, 6ni e. 2

17 2. URČITÝ INTEGRÁL 17 Definice(infimum). Buď A neprázdná zdol ohrničená množin reálných čísel. Číslo inf(a) se nzývá infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A. Příkld2.2.Intervly (0,1), [0,1], (0,1]mjívšechnyinfimumrovnočíslu 0. Definice(horní závor). Buď A neprázdná shor ohrničená množin reálných čísel. Číslo M senzýváhornízávormnožiny A,jestliže M provšechn A Definice(supremum). Buď A neprázdná shor ohrničená množin reálných čísel. Číslo sup(a) se nzývá supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A. Příkld2.3.Intervly (0,1), [0,1], (0,1]mjívšechnysupremumrovnočíslu 1. Definice(dolníhornísoučet). Buď [,b]uzvřenýintervlf funkcedefinovná,spojitá ohrničenán [,b].buď Dděleníintervlu [,b].buď s i = min{f(x),x i 1 ξ i x i }pro i = 1..n minimum funkce f n jednotlivých intervlech dělení. Potom součet n s(f,d) = s i (x i x i 1 ) i=1 se nzývá dolní součet funkce f příslušný dělení D. Podobně obdržíme horní součet funkce f, pokudpoužijeme S i = min{f(x),x i 1 ξ i x i } n S(f,D) = S i (x i x i 1 ). i=1 tentopředpokldjemožnooslbit Definice(určitý integrál). Buď [, b] uzvřený intervl f funkce definovná, spojitá ohrničenán [,b]dmnožinvšechděleníintervlu [,b].řekneme,žefunkce fjeintegrovtelná nintervlu [,b],jestližeexistuječíslo I Rsvlstností I = sup s(f,d) = inf S(f,D), D D D D pkčíslo Inzývámeurčitýintegrálfunkce fnintervlu [,b]oznčujeme b f(x)dx. Definice(hornídolnímez). Číslo vdefiniciurčitéhointegrálusenzývádolnímezčíslo bhornímez. Následující definice doplňuje definici určitého integrálu v přípdě, že dolní mez není menší než mez horní. Definice(výměn mezí v určitém integrálu). Pro > b definujeme Dále definujeme f(x)dx = 0. b f(x)dx = b f(x)dx. Vět 2.1(linerit určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť f, g jsou funkce integrovtelné n [,b], cnechťjereálnéčíslo.pkpltí b [f(x)+g(x)]dx = b cf(x)dx = c b b f(x)dx+ f(x)dx. b g(x) dx,

18 2. URČITÝ INTEGRÁL 18 Funkce Střední hodnot stř. hodnot b b Obrázek 1. Určitý integrál integrální střední hodnot funkce Vět 2.2(ditivit určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť f je funkce integrovtelná n [,b].buď c (,b)libovolné.pkje fintegrovtelnánintervlech [,c][c,b]pltí b f(x)dx = c f(x)dx+ b c f(x)dx. Vět2.3(monotonievzhledemkfunkci).Buďte f gfunkceintegrovtelnén [,b]tkové,že f(x) g(x)pro x (,b).pkpltí b f(x)dx b g(x) dx. Poznámk 2.1(integrál z nezáporné funkce). Pro f 0 dostáváme z předchozí věty tvrzení, že integrál z funkce nezáporné n celém integrčním oboru je nezáporný. Definice(střední hodnot). Číslo intervlu [, b]. 1 b b V prxi se určitý integrál počítá užitím následující věty. f(x)dxsenzývástředníhodnot funkce f n Vět 2.4(Newtonov Leibnizov vět). Nechť funkce f(x) je Riemnnovsky integrovtelná n [,b].nechť F(x)jefunkcespojitán [,b],kterájeintervlu (,b)primitivníkfunkci f(x).pk pltí b f(x)dx = [F(x)] b = F(b) F(). Příkld2.4(použitíNewtonovy Leibnizovyvěty).Protožeprimitivnífunkcíkfunkcix 3 jefunkce x 4 4,pltí 1 [ ] x x dx = = = V následující poznámce si uvedeme metodu, jk přibližně určit hodnotu určitého integrálu v přípdě, že není sndné použít Newtonovu Leibnizovu větu, npř. když nedokážeme nlézt primitivní funkci. Poznámk 2.2(lichoběžníkové prvidlo, přibližný výpočet určitého integrálu). Nechť je funkce f spojitánintervlu[,b].rozdělmeintervl[,b]n nintervlůstejnédélky h,tj.pltí h = b n. Krjníbodytěchtointervlůoznčmepořdě x 0, x 1,..., x n jimodpovídjícífunkčníhodnoty y 0, y 1,..., y n.hlvnímyšlenkproximceintegrálufunkce fnintervlu [,b]spočívávtom,že ntomtointervlunhrdímefunkci f(x)lomenoučrousvrcholyvbodech [ = x 0,y 0 ], [x 1,y 1 ],...[x n = b,y n ]integrálztktouprvenéfunkcevypočtemejkosoučetobshůjednotlivých lichoběžníků, z nichž je obrzec pod lomenou čárou sestven.(toto lze provést i když funkce f

19 3. DVOJNÝ INTEGRÁL 19 i x i y i m my i Součet: Tbulk 1. Lichoběžníkové prvidlo nezchovává znménko n intervlu [, b].) Potom pltí: b f(x)dx h ) (y 0 +2y 1 +2y y n 1 +y n. 2 Přitomchybvtomtovzorcijetímmenší,čímje větší n, menšírozdíl b, menší f (x) n (,b). Příkld 2.5(lichoběžníkové prvidlo). Pokusíme se pomocí lichoběžníkového prvidl proximovt integrál 1 0 x 3 dxzpříkldu2.4.rozdělímeintervl[0,1]n4dílkyodélce0.25propohodlný výpočet použijeme Tbulku 1. Výsledná proximce tedy je x 3 dx = Porovnáme-li tuto hodnotu s přesným výsledkem z Příkldu 2.4 vidíme, že přes poměrně primitivní proximci, je chyb menší než 7%. Jemnějším dělením získáme hodnotu ještě přesněji. Pomocí integrálu můžeme definovt užitečné neelementární funkce npříkld primitivní funkce k funkcím, které jsme doposud neuměli integrovt. Umožní nám to následující vět. Vět2.5(integráljkofunkcehornímeze).Nechťfunkce f(x)jespojitánintervlu Inechť I.Potomfunkce F(x)definovnán Ivzthem F(x) = x f(t)dt mánintervlu Iderivcipltí F (x) = f(x). x [ ] t Příkld2.6. Profunkci f(x) = x 2 pltí t 2 3 x dt = = x cožjeskutečnějednzprimitivníchfunkcíkfunkci x 2,jkjižvímezkpitolyoneurčitémintegrálu(viztéžvzorcenkonci tohoto textu). Poznámk2.3.Jiždřívejsmeuvedli,žekfunkci e x2 existujeprimitivnífunkce,letutofunkci neumíme njít. Nyní vidíme, že tuto primitivní funkci lze zpst npříkld ve tvru e t2 dt.pokudnászjímánpříkldfunkčníhodnotvbodě x = 1,stčíurčithodnotuintegrálu 1 x e x2 dx. Tuto hodnotu sice neumíme vypočítt přesně, můžeme ji všk přibližně vypočítt pomocí lichoběžníkového prvidl. 3. Dvojný integrál 3.1. Dvojný integrál n obdélníku.definujmefunkcinobdélníku R = [,b] [c,d] ohrničenoufunkci f(x,y).obdélníkrozdělmenpodobdélníky p 1, p 2,..., p n oobszích p 1, p 2,..., p n.totoděleníoznčme D.

20 3. DVOJNÝ INTEGRÁL 20 Vobdélníčku p i njdemesupremum M i infimum m i funkce f(x,y).sestrojmehornídolní integrální součet příslušný dělení D podle vzorců k S(D) = M i p i...hornísoučet s(d) = i=1 k i=1 m i p i...dolnísoučet Supremum množiny všech dolních součtů nzýváme dolní dvojný integrál. Infimum množiny všech horních součtů nzýváme horní dvojný integrál. Definice(dvojný integrál). Jestliže jsou si horní dolní integrál rovny, pk jejich společnou hodnotu znčíme (3.1) f(x,y)dxdy R nzývámedvojnýintegrálfunkce fv R.Ofunkci fříkáme,žejenmnožině Rintegrovtelná. Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu ndvojnásobný(dv obyčejné integrály). Vět3.1(Fubini). Nechť R = [,b] [c,d]jeuzvřenýobdélníkvr 2 ffunkcedefinovná spojitán R.Pkpltí b [ d ] d [ b ] f(x,y)dxdy = f(x,y)dy dx = f(x,y)dx dy. R c Vět 3.2(Důsledek Fubiniovy věty). Pltí-li ve větě 3.1 rovnost f(x, y) = g(x)h(y), pltí b d f(x,y)dxdy = g(x) dx h(y) dy. R 3.2. Dvojný integrál v obecné oblsti. c Definice(dvojný integrál v obecné oblsti). Buď Ω uzvřená ohrničená oblst. Buď R dosttečněvelkýobdélník,tkový,že Ω R.Definujmen Rfunkci gpředpisem { f(x,y) (x,y) Ω g(x,y) = 0 jink Potom definujeme integrál funkce f n množině Ω předpisem f(x,y)dxdy = g(x,y)dxdy. Ω R V dlším budeme pro jednoduchost předpokládt, že oblsti přes které integrujeme mjí hrnici tvořenu po částech hldkou uzvřenou křivkou. c

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více