Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík"

Transkript

1 Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipliny společného zákldu(reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky.

2 Obsh Kpitol 1. Diferenciální počet 3 1. Funkce jedné proměnné 3 2. Funkce více proměnných 6 3. Spojitost 6 4. Derivce 7 5. Využitíderivcí 7 Kpitol 2. Integrální počet Neurčitýintegrál Určitýintegrál Dvojnýintegrál Polárnísouřdnice Obyčejné diferenciální rovnice(úvod) 23 2

3 KAPITOLA 1 Diferenciální počet 1. Funkce jedné proměnné Definice(funkce). Buďte A B neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Prvidlo f,kterékždémuprvkumnožiny Apřiřdíjedinýprvekmnožiny Bsenzýváfunkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zpisujeme f : A B. Skutečnost, že prvku Ajepřiřzenprvek b Bzpisujemetkto: f() = b.přitomříkáme,že bjeobrzemprvku přizobrzení f,resp.že jevzoremprvku bpřizobrzení f. Definice(pojmy spojené s funkcemi). Množin A z definice funkce se nzývá definiční obor funkce f.oznčujeme D(f)(resp. Dom(f)).Množinvšech b B,prokteréexistuje A svlstností f() = bsenzýváoborhodnotfunkce f.oznčujeme H(f)(resp. Im(f)). Je-li y = f(x)nzývámeproměnnou xtéžnezávislouproměnnouproměnnou yzávislouproměnnou.grfemfunkcerozumímemnožinuvšechuspořádnýchdvojic [x,y] R 2 svlstností y = f(x). Poznámk 1.1. Funkce je tedy prvidlo, které jednomu reálnému číslu přiřdí jediné, přesně definovnéjinéreálnéčíslo.je-litotoprvidlotvru y = vzorecsproměnnou x,nzýváme tentopředpisexplicitnímtvremfunkce,npř. y = x 2 +lnx. Je-litotoprvidlovetvru vzorecsproměnnými x,y = 0,nzývámetentopředpisimplicitním tvremfunkce.,npř. x y lny = 0.Zjednodušeněřečenosetedyjednáoprvidlo,kteréjebuď efektivní (explicitnítvr)nebo máloefektivní (implicitnítvr)provýpočetfunkčníchhodnot. Následující definice se týká nprosté většiny funkcí, se kterými budeme prcovt. Definice(zákldní elementární funkce). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální logritmické funkce obecná mocnin se nzývjí zákldní elementární funkce. Definice(elementární funkce). Všechny funkce, které ze zákldních elementárních funkcí získáme konečným počtem opercí sčítání, odečítání, násobení, dělení skládání těchto funkcí nvzájem se nzývjí elementární funkce. Poznámk 1.2. Elementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvru vyjádřit explicitním vzorcem z použití funkcí známých ze střední školy cyklometrických funkcí. Motivce. Pro libovolnou dobře definovnou funkci f pltí implikce x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). nyní se budeme zjímt o to, z jkých podmínek lze tuto implikci obrátit. Obrácení implikce by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic. Definice(prostost). Nechť fjefunkcem D(f)podmnožindefiničníhooborufunkce f. Řekneme,žefunkce fjeprostá,jestližekždýobrzmájenjedinývzor,tj.prokždé y f(m) existujejediné x Msvlstností f(x) = y. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oborufunkce f. 3

4 1. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 4 Poznámk 1.3(grfický důsledek). Funkce je prostá, jestliže kždá vodorovná přímk protíná grf nejvýše jednou. Poznámk1.4(kprostýmfunkcím).Ekvivlentnělzeříci,žefunkce fjeprostánmnožině M, jestliže stejné obrzy mjí nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřzeny různé obrzy. Mtemticky formulováno: pltí implikce (1.1) f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2, tj.je-lifunkcefprostá,můžemetutofunkci odstrnit zoboustrnrovnicemístof(x 1 ) = f(x 2 ) psátekvivlentně x 1 = x 2. Definice(inverzní funkce). Nechť funkce f : A B je prostá. Prvidlo, které kždému x zmnožiny f(a)přiřdíto(jediné) y,prokterépltí f(y) = xsenzýváinverznífunkcekfunkci f,oznčujeme f 1. Poznámk 1.5. Symbol f 1 (x)lzetedycháptbuďjkohodnotuinverznífunkcekfunkci f vbodě x,nebojkopřevrácenouhodnotukčíslu f(x),tjjko [f(x)] 1 = 1 f(x).nebude-lizkontextu zřejmé, o kterou vrintu se jedná, musíme toto upřesnit. Poznámk 1.6(geometrický význm inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že grf funkce f grffunkcekníinverzní f 1 jsousouměrnépodlepřímky y = x,tj.podleosyprvníhotřetího kvdrntu. Poznámk 1.7(výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme tkto: změnímeformálněvzdánífunkceproměnné xy,mámetedy x = f(y).ttorovnicedefinuje implicitněinverznífunkci y = f 1 (x).ztétorovnicevyjádřímeproměnnou y(pokudtotonelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvru). Toto vyjádření je jednoznčné(jink by to znmenlo, že funkce f není prostá inverzní funkce neexistuje) definuje explicitně inverzní funkci f 1.Uzákldníchelementárníchfunkcíjezprvidlinverznífunkcejednodušejinázákldní elementární funkce, npříkld inverzní funkce k logritmické funkci je exponenciální funkce podobně(viztbulk1).protoževlstnost býtinverznífunkcí jevlstnostvzájemná,jetké logritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Funkce y = f(x) Funkceinverzní y = f 1 (x) y = x y = x 2, x 0 y = x 2, x 0 y = x y = e x y = lnx y = lnx y = e x y = x y = log x y = sinx, x [ π/2,π/2] y = rcsinx y = cosx, x [0,π] y = rccosx y = tgx, x [ π/2,π/2] y = rctgx Tbulk 1. Inverzní funkce k zákldním elementárním funkcím. Poznámk1.8(využitíinverznífunkce nelineárnírovnice).má-lifunkce finverznífunkci f 1 je-littoinverznífunkcedefinovánvbodě x,potommánelineárnírovnicesneznámou y f(y) = x právě jedno řešení dné vzorcem y = f 1 (x).

5 1. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 Příkld 1.1(nelineární rovnice). Řešme rovnici e 2 x 1 = 2. Protože k exponenciální funkci je inverzní logritmická funkce, plyne odsud 2 x 1 = ln2, odkud již sndno vyjádříme x = 2 ln2 +1. Jinou možností je přepst rovnici do tvru, který obshuje exponenciální funkci n obou strnách rovnice e 2 x 1 = e ln2 odstrnit tuto exponenciální funkci z obou strn rovnice(exponenciální funkce je totiž prostá lze použít(1.1) připojenou poznámku). Obdržíme smozřejmě stejný výsledek. Motivce. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí klesjící funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zchovávjí(rostoucí) nebo obrcejí(klesjící) směr nerovnosti při plikci funkce n obě strny nerovnice. Definice(monotonie funkce). Nechť f je funkce M D(f) podmnožin definičního oboru funkce f. (i) Řekneme,žefunkce fjenmnožině Mrostoucíjestližeprokždé x 1,x 2 Msvlstností x 1 < x 2,pltí f(x 1 ) < f(x 2 ). (ii) Řekneme,žefunkce fjenmnožině Mklesjícíjestližeprokždé x 1,x 2 Msvlstností x 1 < x 2,pltí f(x 1 ) > f(x 2 ). (iii) Řekneme,žefunkce f jenmnožině M (ryze)monotonní je-libuďrostoucí,nebo klesjícín M. Nespecifikujeme-li množinu M, máme n mysli, že uvedená vlstnost pltí n celém definičním oborufunkce f. Poznámk 1.9(využití monotonie nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně znmená, že jsou-li vzory funkce(hodnoty x) uspořádány podle velikosti, pltí pro jejich obrzy (hodnoty f(x))stejnéuspořádání.je-li f(x)tedyrostoucífunkce,jsounerovnosti < bf() < f(b) ekvivlentní. Totéž pltí i pro neostré nerovnice. Můžemetedylibovolnou(ostrouneboneostrou)nerovnicinpř. logritmovt,nebo odlogritmovt logritmemozáklduvětšímnež 1.Pozor!Je-lifunkce f(x)klesjící,obrcísepřiplikci funkce(nebo při vynechání funkce) n obě strny nerovnice znménko nerovnosti. Okmžitě z definice vyplývá následující vět. Vět1.1.Je-lifunkce fnmnožině Mryzemonotonní,jentétomnožiněiprostá. Následující vět ukzuje, že při přechodu k inverzní funkci se zchovává ryzí monotonie. Vět1.2.Je-lifunkce f(x)rostoucí(klesjící),mátutéžvlstnostifunkceinverzní f 1 (x). Poznámk Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci. Poznámk 1.11(shrnující poznámk). Shrňme si, jk nám znlost vlstností funkcí umožňuje prcovt s rovnicemi nerovnostmi. = b f jeprostá f() = f(b) < b fjerostoucí f() < f(b) b fjerostoucí < b f jeklesjící f() > f(b) b fjeklesjící f() f(b) f() f(b)

6 3. SPOJITOST 6 Je-lifunkce fprostá,pkprokždé y H(f)márovnice f(x) = y sneznámou xprávějednořešenítotořešeníjemožnovyjádřitvzthem x = f 1 (y). 2. Funkce více proměnných Symbol R n oznčujeuspořádnou n-ticireálnýchčísel. Definice(funkce, definiční obor, obor hodnot). Řekneme, že prvidlo f je funkcí n proměnných sdefiničnímoborem D(f) R n oboremhodnot Im(f) R,jestližetotoprvidlokždému X D(f)přiřzujejedinéčíslo Y Im(f).Píšeme Y = f(x). Prvek Xnzývámevzorčíslo Y obrz.je-li ffunkce nproměnných,píšeme f : R n R Definice(grf,vrstevnice). Uvžujmefunkcidvouproměnných f : R 2 R. Grfemfunkce frozumímemnožinubodů (x,y,z) R 3 svlstností z = f(x,y).zprvidltouto množinou bude nějká ploch v prostoru. Nechť C Im(f)jepředemdnéčíslo.Vrstevnicínúrovni Crozumímemnožinuvšechbodů (x,y) R 2,splňující f(x,y) = C. Poznámk 2.1(geometrická předstv). Geometricky lze grf funkce dvou proměnných chápt jko plochu v trojrozměrném prostoru, popsném souřdnicemi x, y z. Vrstevnice n úrovni C je potom křivk, která je řezem grfu funkce rovinou z = C, tj. vodorovnou rovinou, procházející bodem [0,0,C]. 3. Spojitost Následující definice vět se vzthuje n funkce jedné i více proměnných. Definice(spojitost). Buď funkce f funkcí jedné nebo více proměnných. Řekneme, že funkce f jespojitávbodě Xjestližekekždémuokolí V bodu f(x)existujeokolí Ubodu Xtkové,že obrzyvšechobodůzuležíve V. Poznámk 3.1. Okolím bodu n reálné ose rozumíme libovolný otevřený intervl obshující tento bod. Okolím bodu v rovině rozumíme vnitřek libovolného kruhu, který tento bod obshuje, podobně v prostoru rozumíme okolím bodu vnitřek libovolné koule, která tento bod obshuje. Vět 3.1(spojitost elementárních funkcí). Elementární funkce jsou spojité v kždém bodě svého definičního oboru.

7 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 7 4. Derivce Definice(derivce elementární funkce jedné proměnné). Buď f(x) elementární funkce proměnné x.funkce f (x)vytvořenápostupnouplikcínásledujícíchprvidelsenzýváderivcefunkce f(x). (1) (c) = 0 (2) (x n ) = nx n 1 (3) ( x ) = x ln (4) (e x ) = e x (5) (log x) = 1 xln (6) (lnx) = 1 x (7) (sinx) = cosx (8) (cosx) = sinx (9) (tgx) = 1 cos 2 x (10) (cotgx) = 1 sin 2 x (11) (rcsinx) = 1 1 x 2 (12) (rccosx) 1 = 1 x 2 (13) (rctgx) = 1 1+x 2 (14) (rccotgx) = 1 1+x 2 Ajsou-li u,v : R R, c R,potom 1. (u(x)±v(x)) = u (x)±v (x) 2. (cu(x)) = cu (x) 3. (u(x)v(x)) = u (x)v(x)+u(x)v (x) ( u(x) ) u (x)v(x) u(x)v (x) 4. = v(x) v 2 (x) ( 5. u(v(x))) = u (v(x))v (x) Poznámk 4.1(druhá derivce vyšší derivce). Protože výsledkem derivce je funkce, můžeme tuto funkci opět derivovt. Výsledkem je druhá derivce funkce původní. Dlším derivováním získámetřetídlšíderivce.druhouderivciončujeme y,třetíderivci y td,obecně n-tou derivcioznčujeme y (n).npříkldfunkce y = x 3 splňuje y = 3x 2, y = 6x, y = 6y (n) = 0 prolibovolné n 4. Definice(prciálníderivce). Nechť f : R 2 Rjefunkcedvouproměnných.Prolibovolné lepevné ydefinujmefunkcijednéproměnné ϕ(x) = f(x,y).derivcifunkce ϕ(x)nzýváme prciální derivci funkce f(x, y) podle proměnné x. Podobně definujeme prciální derivci podle ypomocíderivcefunkcejednéproměnné ϕ(y) = f(x,y) Poznámk4.2.Derivcifunkcejednéproměnné y = f(x)oznčujemetéž dy dx nebo df dx. Derivcifunkcedvouproměnnýchz = f(x,y)podle xoznčujemetéž f x, z x, z x, f x, z x.podobně proderivcipodle y.druhéderivceoznčujeme z xx, f yy, z xy, 2 z x y, 2 z y 2 podobně. Druhé prciální derivce funkce dvou proměnných jsou celkem čtyři. Následující vět ukzuje, že smíšené druhé derivce jsou většinou totožné, tj. že druhé derivce existují ve většině přípdů pouze tři. Vět4.1(Schwrzovvět).Jsou-liprciálníderivce f xy f yx definovnéspojiténotevřené množině M,pkjsoutotožné,tj.provšechn (x,y) Mpltí f xy (x,y) = f yx (x,y). 5. Využití derivcí Není-li níže výslovně uvedeno jink, rozumíme v této podkpitole pod pojmem funkce vždy funkci jedné proměnné.

8 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ Rychlost změny veličiny. Poznámk 5.1(prktický význm derivce). Nechť veličin x oznčuje čs, měřený ve vhodných jednotkách,nechťveličin yseměnívprůběhučsu,tj. y = y(x).derivce y (x)potéznčí okmžitou rychlost, s níž dochází ke změně velikosti veličiny y v čse x. Znčí-li npř. y(x) polohu pohybujícíhosetělesvčse x,jederivce y (x)rovnokmžitérychlostitohototěles(pojem rychlost užíváme ve fyzikálním smyslu tohoto slov). Znčí-li veličin y velikost populce určitého živočišnéhodruhuvčsex,znčíderivcey (x)rychlostnárůstutétopopulce,tj.početživočichů, který se v dném okmžiku nrodil(z čsovou jednotku), zmenšený o počet živočichů, který v dném okmžiku uhynul Lineární proximce funkce jedné proměnné. Vět 5.1(souvislost derivce spojitosti). Má-li funkce v bodě(n intervlu I) derivci, je v tomto bodě(n tomto intervlu) spojitá. Poznámk 5.2. Opčná vět nepltí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivce. Příkldembudižfunkce y = x vbodě x = 0. Poznámk5.3(rovnicetečny).Má-lifunkce fvbodě derivci,jerovnicetečnykegrfufunkce vtomtobodě y = f ()(x )+f(). Rovnici tečny můžeme použít k lineární proximci funkce. V okolí bodu pltí přibližný vzorec f(x) f()+f ()(x ), který umožňuje v okolí bodu nhrdit(obecně nelineární) funkci f(x) funkcí lineární Lineární proximce funkce dvou proměnných. Vět 5.2(dosttečná podmínk spojitosti, lineární proximce funkce pomocí prciálních derivcí). Nechťfunkce fmádefinovnéspojitéprciálníderivcevokolíbodu (x 0,y 0 ).Potom pltí následující. Funkce fjevbodě (x 0,y 0 )spojitá. Rovinorovnici z = f(x 0,y 0 )+f x(x 0,y 0 )(x x 0 )+f y(x 0,y 0 )(y y 0 ) jetečnárovinkegrfufunkce fvbodě (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) Pltí přibližný vzorec f(x,y) f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 ). Vtomtovzorcijepřesnosttímvětší,čím jemenšívzdálenostbodů (x,y)(x 0,y 0 ), jsou menší druhé derivce funkce f(pokud existují) Tylorův polynom. Předpokládejme že je dán funkce f s následujícími vlstnostmi: Dokážeme vypočítt funkční hodnotu hodnotu derivcí(ž do řádu n) v jistém bodě x 0. Nemáme dosttečně efektivní lgoritmus n výpočet funkčních hodnot v osttních bodech x x 0. Provýpočetfunkčníchhodnotvbodechvokolíbodu x 0 sebudemesnžitfunkciproximovt jednodušší funkcí, v nšem přípdě polynomem stupně n. Nejlepší polynom, který funkci f v okolí bodu x 0 proximujejetkovýpolynom,kterýmásdnoufunkcítotožnévbodě x 0 derivceždo řádu n. Tkový polynom se nzývá Tylorův polynom nlezneme ho pomocí následující definice.

9 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 9 Definice(Tylorův polynom). Nechť n N je přirozené číslo f funkce, která je definovná vbodě x 0 Rmázdevšechnyderivcedořádu nvčetně.polynom T n (x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 1! 2! n! senzývátylorůvpolynom stupně nfunkce f vbodě x 0.Bod x 0 senzývástřed Tylorov polynomu. Poznámk 5.4. Tylorůvpolynomjejedinýpolynomstupně n,kterýmásfunkcí f vbodě x 0 společnoufunkčníhodnotuhodnotuprvních nderivcí.vpřípděžestředempolynomuje x 0 = 0používámeproTylorůvpolynomnázevMclurinůvpolynom. Vět5.3(Tylorovvět). Nechťfunkce f mávbodě x 0 nějkémjehookolí O(x 0 )spojité derivcedořádu n+1,včetně.pkprovšechn x O(x 0 )pltí f(x) = T n (x)+r n+1 (x), kde T n (x)jetylorůvpolynomfunkce f stupně nsestředemvbodě x 0 R n+1 (x)jezbytek. Tento zbytek splňuje (5.1) R n+1(x) = f(n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, kde cjevhodnéčísloležícímezi xx 0. Poznámk 5.5(proximce její přesnost). Z vyjádření zbytku(5.1) plyne, že tento zbytek je mlý, jestliže xjeblízko x 0,tj.bsolutníhodnotrozdílu (x x 0 )jemlá njevelké f (n+1) (x)jemlávuvžovnémokolíbodu x 0 Jsou-litytopodmínkysplněny,můžemepsátvokolíbodu x 0 f(x) T n (x) chyb, které se při tom dopustíme bude mlá.(z(5.1) jsme schopni určit mximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.) Poznámk 5.6(plikční). Tylorův polynom tedy slouží k tomu, bychom jistou funkční závislost proximovli závislostí polynomickou. Tím se závislost podsttně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí Bolznov vět. Vět5.4(prvníBolznovvět). Nechťfunkce f(x)jespojitánuzvřenémintervlu [,b] pltí f() f(b) < 0(tj. f()f(b)mjíopčnáznménk).pkfunkce f(x)mánintervlu (,b)nulovýbod,tj.existuječíslo c (,b)svlstností f(c) = 0. Poznámk 5.7(nelineární nerovnice). Bolznov vět umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.4 totiž funkce může změnit znménko jedině v bodě, kde je porušen její spojitost(= skokem), nebo v nulovém bodě(= grf protíná osu x). Řešíme-li tedy nerovnici f(x) > 0, nlezneme nejprve body nespojitosti funkce f nulové body této funkce, tj. řešení rovnice f(x) = 0.Oběskupinybodůvynesemenreálnouosudefiničníoborsetímtorozpdne nněkolikpodintervlů.uvnitřkždéhoztěchtointervlůpltíbuď f(x) > 0nebo f(x) < 0. Která z těchto vrint pltí ve kterém z intervlů lze zjistit npříkld postupným doszováním reprezentntů z jednotlivých intervlů Lokální extrémy, konvexnost konkávnost.

10 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 10 Definice(lokálníextrém). Buď ffunkcex 0 D(f). Řekneme,žefunkcemávbodě x 0 lokálnímximum,jestližeexistujeryzíokolí O(x 0 ), tkové,že f(x 0 ) f(x)provšechnx O(x 0 ).Je-linerovnostostrá,říkáme,žefunkce fmávbodě x 0 ostrélokálnímximum. Pltí-liopčnénerovnosti,říkáme,žefunkcemávbodě x 0 lokálníminimumostré lokální minimum. Lokální mximum minimum nzýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální mximum ostré lokální minimum nzýváme společným názvem ostré lokální extrémy. Poznámk5.8(kpředchozídefinici).Funkcemávbodě x 0 ostrélokálnímximum(minimum), jestliževnějkémryzímokolíbodu x 0 nbývápouzenižších(vyšších)funkčníchhodnot,než f(x 0 ).Hodnot f(x 0 )jetedyjedinánejvyšší(nejnižší)funkčníhodnotvnějkémokolíbodu x 0. Okolíbodu x 0 zpředchozídefinicemusínutněceléležetvdefiničnímoborufunkce f.(vněkteré litertuřejettopodmínkponěkudoslben.npř.ufunkce y = xnemluvímeolokálním minimumvbodě 0,protoženlevoodbodu 0vůbecnenídefinován.Jiníutořitentobodvšk z lokální extrém povžují.) Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jk ukzuje následující vět. Vět 5.5(postčující podmínky pro existenci neexistenci lokálních extrémů). Buď f funkce definovnáspojitávnějkémokolíbodu x 0. Jestližeexistujelevéokolíbodu x 0,vekterémjefunkcerostoucíprvéokolíbodu x 0, vekterémjefunkceklesjící,jebod x 0 bodemostréholokálníhomximfunkce f. Jestližeexistujelevéokolíbodu x 0,vekterémjefunkceklesjícíprvéokolíbodu x 0, vekterémjefunkcerostoucí,jebod x 0 bodemostréholokálníhominimfunkce f. Jestližeexistujeokolí bodu x 0 vekterémje funkceryzemonotonní, lokální extrém vbodě x 0 nenstává. Poznámk 5.9. Grficky můžeme předchozí větu ilustrovt následovně. ր MAX ց min ր ր MAX ց b c d Poznámk 5.10(bsolutní extrémy funkce). Uvžujme funkci, která je spojitá n uzvřeném intervlu [, b]. Tto funkce nbývá n intervlu [, b] své nejmenší největší hodnoty(toto tvrzení je známé jko Weierstrssov vět). Tyto hodnoty nzýváme bsolutní mximum bsolutní minimum funkce f n intervlu [, b]. Je zřejmé(odkud?), že těchto extremálních hodnot může funkce nbývt pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy, nebo v některém z krjních bodů intervlu [, b]. Definice(konvexnost,konkávnost).Buď ffunkcemjícíderivcivbodě x 0.Řekneme,žefunkce fjevbodě x 0 konvexní(konkávní),jestližeexistujeryzíokolíbodu x 0 tkové,žeprovšechn x O(x 0 )ležíbodygrfufunkcendtečnou(podtečnou)kegrfufunkce fsestrojenouvbodě x 0,tj.pltí ( ) (5.2) f(x) > f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) < f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Řekneme, že funkce je konvexní(konkávní) n otevřeném intervlu I, má-li tuto vlstnost v kždém bodě intervlu I. Definice(inflexní bod). Bod ve kterém se mění chrkter funkce z konvexní n konkávní nebo nopk nzýváme inflexním bodem funkce f. V následujících větách si ukážeme, že monotonie lokální extrémy úzce souvisí s první derivcí funkce, ztímco konvexnost/konkávnost inflexní body souvisí s druhou derivcí.

11 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 11 Definice(stcionárníbod). Řekneme,žebod x 0 jestcionárnímbodemfunkce f,jestližefunkce fmávbodě x 0 nulovouderivci,tj. f (x 0 ) = 0. Poznámk 5.11(geometrický význm). Geometricky jsou stcionární body body, ve kterých má grf funkce vodorovnou tečnu(proč?). Vět5.6(souvislostderivcelokálníchextrémů). Nechťmáfunkcevbodě x 0 lokálníextrém. Pkfunkce fvbodě x 0 buďnemáderivci,nebojettoderivcenulová,tj.pltí f (x 0 ) = 0 x 0 jestcionárnímbodemfunkce f. Poznámk 5.12(strtegie hledání lokálních extrémů). Podle předchozí věty jsou body kde derivceneexistujestcionárníbodyjedinými podezřelými kndidátynbody,vnichžbyfunkce mohl nbývt lokálního extrému. Nikde jinde( tkových bodů bývá nprostá většin) lokální extrém nemůže nstt. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tk, že nejprve nlezneme všechny tyto podezřelé body(tj.funkci fzderivujemezjistíme,kdejettoderivcenulovákdenení definovná) poté v kždém bodě smosttně rozhodneme, je-li v něm lokální extrém přípdně jký.ktomunámmůžeposloužitvět5.5vespojenísnásledujícívětou5.7. Vět 5.7(souvislost derivce monotonie). Nechť funkce f má derivci n otevřeném intervlu I. Je-li f (x) > 0nintervlu I,jefunkce frostoucín I. Je-li f (x) < 0nintervlu I,jefunkce fklesjícín I. Následující dvě věty jsou jednoduchým důsledkem definice lokálních extrémů definice rostoucí klesjící funkce. Přesto mohou tyto věty znčně zjednodušit hledání lokálních extrémů funkce. Vět 5.8(lokální extrémy složené funkce s monotonní vnější složkou). Nechť funkce g(x) je definovnán I f(x)jeryzemonotonnín g(i).potomfunkce g(x)f(g(x))nbývjín I svých lokálních extrémů ve stejných bodech. Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce f rostoucí opčného typu, pokud je funkce f klesjící. Vět 5.9(lokální extrémy složené funkce s monotonní vnitřní složkou). Nechť funkce g(x) je spojitáryzemonotonnín Inechťfunkce f(x)jedefinovnán g(i).potomsloženáfunkce f(g(x))málokálnívbodě x = právětehdy,kdyžfunkce f(t)málokálníextrémvbodě t = g(). Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce g rostoucí opčného typu, pokud je funkce g klesjící. Příkld 5.1(lokální extrém složené funkce). N intervlu (0, 1) hledejme lokální extrémy funkce y = x 1 x 2.PodleVěty5.8stčínjítextrémydruhémocninytétofunkce,tj.funkce y = x 2 (1 x 2 ).Studovnáfunkcejetotižnintervlu Ikldnádruhámocnintedyroste.Podle Věty5.9můžemezvéstsubstituci x 2 = tstudovtfunkci y = t(1 t).pořádtotižprcujeme skldnýmihodnotmi xdruhámocninjetedyrostoucífunkce.grfemfunkce y = t(1 t)je prbolslokálnímmximemvevrcholu,tj.vbodě t = 1 2,kterýležíuprostředmezinulovými body t = 0t=1.Zdnáfunkce y = x 1 x 2 mátedylokálníextrémvbodě,kterýsplňuje x 2 = 1 2,tj.vbodě x = 1 2.Protožejsmepoužilirostoucífunkce,jednáseolokálníextrémy stejného typu, tj. je zde lokální mximum. Vidíme, že lokální extrém jsme nšli pouze použitím zcel elementárních prostředků. Postup zložený n výpočtu derivce jejích nulových bodů by byl nepoměrně náročnější. Vět 5.10(souvislost druhé derivce s konvexností konkávností). Buď f funkce mjící druhou derivci n otevřeném intervlu I. Je-li f (x) > 0nintervlu I,jefunkce fkonvexnín I. Je-li f (x) < 0nintervlu I,jefunkce fkonkávnín I.

12 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 12 Definice(kritický bod). Bod, ve kterém má funkce f nulovou druhou derivci nzýváme kritickýmbodemfunkce f. Vět5.11(souvislostinflexníchbodůdruhéderivce). Nechťmáfunkcevbodě x 0 inflexní bod.pkfunkce fvbodě x 0 buďnemádruhouderivci,nebojettodruháderivcenulová,tj. pltí f (x 0 ) = 0x 0 jekritickýmbodemfunkce f. Vět5.12(souvislostdruhéderivceslokálnímiextrémy). Buď ffunkcex 0 stcionárníbod funkce f.je-li f (x 0 ) > 0,nbýváfunkcevbodě x 0 lokálníhominim,je-li f (x 0 ) < 0,nbývá funkcevbodě x 0 lokálníhomxim. Poznámk 5.13(technická). Předchozí vět nedává odpověď n otázku zd jký lokální extrém nstává ve stcionárním bodě, který je součsně i kritickým bodem. V tomto přípdě totiž nelze o existenci kvlitě lokálního extrému pomocí druhé derivce rozhodnout. Proto je lepší při hledání lokálních extrémů využívt Věty Newtonov Rphsonov metod. Budeme se zbývt úkolem njít přibližné řešení rovnice (5.3) f(x) = 0, kde f(x) je diferencovtelná funkce. Při přibližném řešení rovnic zprvidl máme k dipozici jistý počáteční odhd, který nám udává přibližnou polohu kořene, nším úkolem je tento počáteční odhd zpřesnit n poždovnou přesnost. Tento počáteční odhd získáme npříkld grfickým řešením rovnice, nebo v nouzi hrubou výpočetní silou střelbou nslepo. Jedn z metod zpřesnění počátečního odhdu kořenů(newtonov Rphsonov) spočívá v proximcifunkcetečnouhledáníkořenetétotečny.je-lipočátečníodhdkořene x = x 0,můžeme funkci v okolí bodu dotyku proximovt tečnou (5.4) f(x) f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) oznčíme-li x 1 novouproximcikořene,určíme x 1 zpodmínky tj. 0 f(x 0 )+f (x 0 )(x 1 x 0 ) f (x 0 )(x 1 x 0 ) f(x 0 ) x 1 x 0 f(x 0) f (x 0 ) x 1 x 0 f(x 0) f (x 0 ). Tentopostupmůžemeopkovtodhd x 1 můžemedálezpřesnit.zjistýchpodmíneksetkto budeme přibližovt k řešení rovnice f(x). Stnovení podmínek konvergence metody je obsženo v následující větě. Zhrub řečeno, funkce f(x), musí být dosttečně hldká, počáteční odhd musí být dosttečně blízko kořene derivce zde nesmí být rovn nule. Vět 5.13(Newtonov Rphsonov metod). Nechť f(x) je funkce, která má n [, b] spojitou druhouderivcinechťexistuječíslo ctkové,že f(c) = 0.Jestliže f (c) 0,potomexistuje δ > 0tkové,žeposloupnost (5.5) x k+1 = x k f(x k) f (x k ) konvergujekčíslu cprolibovolnépočáteční x 0 splňující x 0 c < δ. Konvergence metody je velmi rychlá kždým krokem se počet přesných cifer prkticky zdvojnásobí.

13 5. VYUŽITÍ DERIVACÍ 13 Příkld 5.2(Newtonov Rphsonov metod). Pro funkci f(x) = cos(x) x má iterční schém tvr x n+1 = x n + cos(x n) x n volíme-li x 0 = 0.5,vypdáposloupnostitercínásledovně: 1+sin(x n ) x 1 = ,x 2 = ,x 3 = ,x 4 =

14 KAPITOLA 2 Integrální počet V kpitole věnovné diferenciálnímu počtu jsme k funkci nšli její derivci veličinu udávjící rychlost, se kterou se mění funkční hodnoty. Nyní problém otočíme: ke známé derivci(tj. ke známé rychlosti změny) budeme hledt původní funkci. 1. Neurčitý integrál Definice(neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený intervl, f F funkce definovné n I. Jestliže pltí (1.1) F (x) = f(x)provšechn x I, nzývásefunkce Fprimitivnífunkcíkfunkci f,nebotéžneurčitýintegrálfunkce fnintervlu I. Zpisujeme f(x)dx = F(x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál n intervlu I, nzývá se funkce f integrovtelná n I. Poznámk 1.1(spojitost primitivní funkce). Primitivní funkce F(x) je vždy spojitá n I, plyne to z existence derivce. Vět 1.1(postčující podmínk existence neurčitého integrálu). Ke kždé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Vět 1.2(jednoznčnost primitivní funkce). Primitivní funkce je n dném intervlu k dné funkci určen jednoznčně, ž n libovolnou ditivní konstntu. Přesněji, pltí následující: (i) Je-li F primitivnífunkcíkfunkci fnintervlu I,pltítotéžiprofunkci G(x) = F(x)+c, kde c Rjelibovolnákonstntnezávislán x. (ii) Jsou-li F Gprimitivnífunkcektéžefunkci fnintervlu I,lišíseoběfunkcenintervlu Inejvýšeoditivníkonstntu,tj.existuje c Rtkové,že F(x) = G(x)+c provšechn x I. Poznámk 1.2(filozofická). Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně njít. Ztímco problém nlezení derivce funkce složené z funkcí, které umíme derivovt, spočívá pouze ve správné plikci vzorců pro derivování, problém nlézt neurčitý integrál i k funkci tk jednoduché, jko je npříkld e x2 jeneřešitelnývetříděelementárníchfunkcí(viztéžvět2.5) Vět 1.3(linerit neurčitého integrálu). Nechť f, g jsou funkce integrovtelné n I, c nechť jereálnéčíslo.pknintervlu Ipltí f(x)+g(x)dx = f(x)dx+ g(x) dx, cf(x)dx = c f(x)dx. Poznámk 1.3(technická). Vzhledem k součtu násobení konstntou se tedy integrál chová pěkně,tkjkjsmetoviděliiuderivce.bohuželvškneexistujípodobnévzorečkyprointegrál složené funkce, podílu nebo součinu. 14

15 1. NEURČITÝ INTEGRÁL 15 Poznámk 1.4(zákldní vzorce pro integrování). Následující vzorce jsou opkem( v některých přípdech mírným zobecněním) vzorců pro derivci zákldních elementárních funkcí. dx = x+c 1 x n dx = xn+1 n+1 +c 1 dx = ln x +c x x dx = x ln +c e x dx = e x +c sinxdx = cosx+c cosxdx = sinx+c cos 2 dx = tgx+c x 1 sin 2 dx = cotgx+c x 1 A2 x dx = rcsin x 2 A +c 1 x+ x2 ±B dx = ln x2 ±B +c 1 A 2 +x 2 dx = 1 A rctg x A +c 1 A 2 x 2 dx = 1 2A ln A+x A x +c 1.1. Metod per-prtés. Motivce. Pokud vyjdeme ze vzthu pro derivci součinu (uv) = u v +uv zintegrujeme jej n tvr uv = u vdx+ uv dx, nbízí se nám možnost, vypočítt jeden z integrálů n prvé strně pomocí druhého. To je zákldní myšlenkou následující metody. Vět 1.4(metod per-prtés, speciální přípd součinu). Nechť funkce u v mjí derivce n intervlu I. Pk pltí (1.2) u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx, pokud integrál n prvé strně existuje. Poznámk 1.5(integrály typické pro výpočet metodou per-prtés). Buď P(x) polynom. Metodou per-prtés integrujeme npříkld integrály následujících typů P(x)e αx dx, P(x)sin(αx)dx, P(x)cos(αx)dx, P(x)rctgxdx, P(x)ln m xdx. U první skupiny integrálů postupujeme tk, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, v přípdě potřeby tento postup opkujeme. U druhé skupiny integrálů nopk derivujeme funkce rctg x ln x. Ve všech těchto přípdech je integrál figurující n prvé strně vzorce(1.2) jednodušší než integrál původní. Příkld 1.1(integrce per-prtés). u = rctgx u = 1 xrctgxdx per-prtés: x 2 +1 v = x v = x2 2 = x2 2 rctgx 1 x x 2 dx = = x2 2 rctgx x2 dx = 1+x2 2 rctgx 1 2 x+ 1 2 rctgx+c

16 2. URČITÝ INTEGRÁL Substituční metod. Vět 1.5 (první substituční metod, speciální přípd složené funkce). Nechť f(t) je funkce spojitánintervlu I,nechťfunkce ϕ(x)máderivcinintervlu J pltí ϕ(j) = I.Potom n intervlu J pltí (1.3) f(ϕ(x))ϕ (x)dx = f(t)dt, dosdíme-li nprvo t = ϕ(x) Poznámk 1.6(technická). Formálně substituci provádíme tk, že píšeme v integrálu vprvo t místo ϕ(x) dtmísto ϕ (x)dx. Příkld 1.2(substituční metod). sin tg 3 3 x sin 2 xdx = cos 3 x dx = x cos 3 x sinxdx = 1 cos 2 x cosx = t = cos 3 x sinxdx substituce: sinxdx = dt sinxdx = dt = 1 t2 1 t 3 dt = t t 3 dt = = ln t t 2 = ln cosx + 2cos 2 x +c V jistém smyslu opčným postupem je druhá substituční metod. Vět 1.6(druhá substituční metod). Nechť f(x) je funkce spojitá n intervlu I, nechť funkce ϕ(t)mánenulovouderivcinintervlu Jpltí ϕ(j) = I.Potomnintervlu Ipltí (1.4) f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt, dosdíme-linprvo t = ϕ 1 (x),kde ϕ 1 (x)jefunkceinverzníkfunkci ϕ(x). Poznámk 1.7. Existenceinverznífunkce ϕ 1 plyneznenulovostiderivcefunkce ϕ.výrz nprvo v(1.4) sice vypdá komplikovněji, v prxi všk substituci volíme vždy tk, by po úprvě vprvo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítt. Poznámk 1.8(technická). Formálně substituci provádíme tk, že píšeme v integrálu vprvo ϕ(t)místo xϕ (t)dtmísto dx. Poznámk 1.9. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlstně jedná o použití vzorce(1.3) zprv dolev. 2. Určitý integrál Definice(děleníintervlu). Buď [,b]uzvřenýintervl < < b <.Dělenímintervlu [,b]rozumímekonečnouposloupnost D = {x 0,x 1,...,x n }bodůzintervlu [,b]svlstností = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < < x n 1 < x n = b. Čísl x i nzývámedělícíbody. Definice(dolní závor). Buď A neprázdná zdol ohrničená množin reálných čísel. Číslo m se nzývádolnízávormnožiny A,jestliže m provšechn A Příkld 2.1. Dolní závorou intervlu (0, 1) jsou npříkld čísl 1, π, 0. Dolnízávorouintervlu (0,1)nejsoučísl 1, 6ni e. 2

17 2. URČITÝ INTEGRÁL 17 Definice(infimum). Buď A neprázdná zdol ohrničená množin reálných čísel. Číslo inf(a) se nzývá infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A. Příkld2.2.Intervly (0,1), [0,1], (0,1]mjívšechnyinfimumrovnočíslu 0. Definice(horní závor). Buď A neprázdná shor ohrničená množin reálných čísel. Číslo M senzýváhornízávormnožiny A,jestliže M provšechn A Definice(supremum). Buď A neprázdná shor ohrničená množin reálných čísel. Číslo sup(a) se nzývá supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A. Příkld2.3.Intervly (0,1), [0,1], (0,1]mjívšechnysupremumrovnočíslu 1. Definice(dolníhornísoučet). Buď [,b]uzvřenýintervlf funkcedefinovná,spojitá ohrničenán [,b].buď Dděleníintervlu [,b].buď s i = min{f(x),x i 1 ξ i x i }pro i = 1..n minimum funkce f n jednotlivých intervlech dělení. Potom součet n s(f,d) = s i (x i x i 1 ) i=1 se nzývá dolní součet funkce f příslušný dělení D. Podobně obdržíme horní součet funkce f, pokudpoužijeme S i = min{f(x),x i 1 ξ i x i } n S(f,D) = S i (x i x i 1 ). i=1 tentopředpokldjemožnooslbit Definice(určitý integrál). Buď [, b] uzvřený intervl f funkce definovná, spojitá ohrničenán [,b]dmnožinvšechděleníintervlu [,b].řekneme,žefunkce fjeintegrovtelná nintervlu [,b],jestližeexistuječíslo I Rsvlstností I = sup s(f,d) = inf S(f,D), D D D D pkčíslo Inzývámeurčitýintegrálfunkce fnintervlu [,b]oznčujeme b f(x)dx. Definice(hornídolnímez). Číslo vdefiniciurčitéhointegrálusenzývádolnímezčíslo bhornímez. Následující definice doplňuje definici určitého integrálu v přípdě, že dolní mez není menší než mez horní. Definice(výměn mezí v určitém integrálu). Pro > b definujeme Dále definujeme f(x)dx = 0. b f(x)dx = b f(x)dx. Vět 2.1(linerit určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť f, g jsou funkce integrovtelné n [,b], cnechťjereálnéčíslo.pkpltí b [f(x)+g(x)]dx = b cf(x)dx = c b b f(x)dx+ f(x)dx. b g(x) dx,

18 2. URČITÝ INTEGRÁL 18 Funkce Střední hodnot stř. hodnot b b Obrázek 1. Určitý integrál integrální střední hodnot funkce Vět 2.2(ditivit určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť f je funkce integrovtelná n [,b].buď c (,b)libovolné.pkje fintegrovtelnánintervlech [,c][c,b]pltí b f(x)dx = c f(x)dx+ b c f(x)dx. Vět2.3(monotonievzhledemkfunkci).Buďte f gfunkceintegrovtelnén [,b]tkové,že f(x) g(x)pro x (,b).pkpltí b f(x)dx b g(x) dx. Poznámk 2.1(integrál z nezáporné funkce). Pro f 0 dostáváme z předchozí věty tvrzení, že integrál z funkce nezáporné n celém integrčním oboru je nezáporný. Definice(střední hodnot). Číslo intervlu [, b]. 1 b b V prxi se určitý integrál počítá užitím následující věty. f(x)dxsenzývástředníhodnot funkce f n Vět 2.4(Newtonov Leibnizov vět). Nechť funkce f(x) je Riemnnovsky integrovtelná n [,b].nechť F(x)jefunkcespojitán [,b],kterájeintervlu (,b)primitivníkfunkci f(x).pk pltí b f(x)dx = [F(x)] b = F(b) F(). Příkld2.4(použitíNewtonovy Leibnizovyvěty).Protožeprimitivnífunkcíkfunkcix 3 jefunkce x 4 4,pltí 1 [ ] x x dx = = = V následující poznámce si uvedeme metodu, jk přibližně určit hodnotu určitého integrálu v přípdě, že není sndné použít Newtonovu Leibnizovu větu, npř. když nedokážeme nlézt primitivní funkci. Poznámk 2.2(lichoběžníkové prvidlo, přibližný výpočet určitého integrálu). Nechť je funkce f spojitánintervlu[,b].rozdělmeintervl[,b]n nintervlůstejnédélky h,tj.pltí h = b n. Krjníbodytěchtointervlůoznčmepořdě x 0, x 1,..., x n jimodpovídjícífunkčníhodnoty y 0, y 1,..., y n.hlvnímyšlenkproximceintegrálufunkce fnintervlu [,b]spočívávtom,že ntomtointervlunhrdímefunkci f(x)lomenoučrousvrcholyvbodech [ = x 0,y 0 ], [x 1,y 1 ],...[x n = b,y n ]integrálztktouprvenéfunkcevypočtemejkosoučetobshůjednotlivých lichoběžníků, z nichž je obrzec pod lomenou čárou sestven.(toto lze provést i když funkce f

19 3. DVOJNÝ INTEGRÁL 19 i x i y i m my i Součet: Tbulk 1. Lichoběžníkové prvidlo nezchovává znménko n intervlu [, b].) Potom pltí: b f(x)dx h ) (y 0 +2y 1 +2y y n 1 +y n. 2 Přitomchybvtomtovzorcijetímmenší,čímje větší n, menšírozdíl b, menší f (x) n (,b). Příkld 2.5(lichoběžníkové prvidlo). Pokusíme se pomocí lichoběžníkového prvidl proximovt integrál 1 0 x 3 dxzpříkldu2.4.rozdělímeintervl[0,1]n4dílkyodélce0.25propohodlný výpočet použijeme Tbulku 1. Výsledná proximce tedy je x 3 dx = Porovnáme-li tuto hodnotu s přesným výsledkem z Příkldu 2.4 vidíme, že přes poměrně primitivní proximci, je chyb menší než 7%. Jemnějším dělením získáme hodnotu ještě přesněji. Pomocí integrálu můžeme definovt užitečné neelementární funkce npříkld primitivní funkce k funkcím, které jsme doposud neuměli integrovt. Umožní nám to následující vět. Vět2.5(integráljkofunkcehornímeze).Nechťfunkce f(x)jespojitánintervlu Inechť I.Potomfunkce F(x)definovnán Ivzthem F(x) = x f(t)dt mánintervlu Iderivcipltí F (x) = f(x). x [ ] t Příkld2.6. Profunkci f(x) = x 2 pltí t 2 3 x dt = = x cožjeskutečnějednzprimitivníchfunkcíkfunkci x 2,jkjižvímezkpitolyoneurčitémintegrálu(viztéžvzorcenkonci tohoto textu). Poznámk2.3.Jiždřívejsmeuvedli,žekfunkci e x2 existujeprimitivnífunkce,letutofunkci neumíme njít. Nyní vidíme, že tuto primitivní funkci lze zpst npříkld ve tvru e t2 dt.pokudnászjímánpříkldfunkčníhodnotvbodě x = 1,stčíurčithodnotuintegrálu 1 x e x2 dx. Tuto hodnotu sice neumíme vypočítt přesně, můžeme ji všk přibližně vypočítt pomocí lichoběžníkového prvidl. 3. Dvojný integrál 3.1. Dvojný integrál n obdélníku.definujmefunkcinobdélníku R = [,b] [c,d] ohrničenoufunkci f(x,y).obdélníkrozdělmenpodobdélníky p 1, p 2,..., p n oobszích p 1, p 2,..., p n.totoděleníoznčme D.

20 3. DVOJNÝ INTEGRÁL 20 Vobdélníčku p i njdemesupremum M i infimum m i funkce f(x,y).sestrojmehornídolní integrální součet příslušný dělení D podle vzorců k S(D) = M i p i...hornísoučet s(d) = i=1 k i=1 m i p i...dolnísoučet Supremum množiny všech dolních součtů nzýváme dolní dvojný integrál. Infimum množiny všech horních součtů nzýváme horní dvojný integrál. Definice(dvojný integrál). Jestliže jsou si horní dolní integrál rovny, pk jejich společnou hodnotu znčíme (3.1) f(x,y)dxdy R nzývámedvojnýintegrálfunkce fv R.Ofunkci fříkáme,žejenmnožině Rintegrovtelná. Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu ndvojnásobný(dv obyčejné integrály). Vět3.1(Fubini). Nechť R = [,b] [c,d]jeuzvřenýobdélníkvr 2 ffunkcedefinovná spojitán R.Pkpltí b [ d ] d [ b ] f(x,y)dxdy = f(x,y)dy dx = f(x,y)dx dy. R c Vět 3.2(Důsledek Fubiniovy věty). Pltí-li ve větě 3.1 rovnost f(x, y) = g(x)h(y), pltí b d f(x,y)dxdy = g(x) dx h(y) dy. R 3.2. Dvojný integrál v obecné oblsti. c Definice(dvojný integrál v obecné oblsti). Buď Ω uzvřená ohrničená oblst. Buď R dosttečněvelkýobdélník,tkový,že Ω R.Definujmen Rfunkci gpředpisem { f(x,y) (x,y) Ω g(x,y) = 0 jink Potom definujeme integrál funkce f n množině Ω předpisem f(x,y)dxdy = g(x,y)dxdy. Ω R V dlším budeme pro jednoduchost předpokládt, že oblsti přes které integrujeme mjí hrnici tvořenu po částech hldkou uzvřenou křivkou. c

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy

Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy Základy vyšší matematiky (nejen) pro arboristy Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více