1 Časová hodnota peněz

Transkript

1 1 Časová hodnota peněz Př výpočtech vycházíme ze standardu 30E/360evropský standard) kdy používáme měsíce s 30dnyaujednohorokuuvažujeme360dní. 1.1 Inflace, reálná a nomnální úroková míra Přvýpočtureálnéúrokovémíryvycházímezevzorce real = nomnal ı nflace 1+ nflace Řešené příklady Jaká je reálná úroková míra na termínovém účtu, pokud je nomnální úroková míra na tomto účtu12,5%amíranflaceční10,5%. Řešení real = nomnal nflace 1+ nflace real = 0,125 0, ,105 real =0,018 Reálná úroková míra na termínovém účtu je 1,8% Neřešené příklady Reálnáúrokovámírační-0,05%,nomnálníúrokovámírabyla3,8%.Jakábylavdaném roce výše nflace v ekonomce? [ nflace =3,85%] DlemakroekonomcképredkceMFbylomožnévroce2001očekávatnflac5,1%av roce2002nflacvevýš4,6%.jakoucenumůžemeočekávatnakoncroku2002uzboží, které na konc roku 2000 stálo Kč. Pokud změna ceny zboží bude odpovídat pouze nflac v ekonomce.[10.993,46 Kč] 1.2 Jednoduché úročení Základní vzorec pro jednoduché úročení: u=p t. Kde Pjepočátečnínvestce, jeúrokovámírap.a.atjedobaúročení. 1

2 1.2.1 Řešené příklady Jakoučástkumusímevráttbance,pokudjsmespůjčl35.000Kčna6měsícůpřročníúrokovésazbě8%? Řešení P=35.000, t=6, =8%p.a. u=p t u= u= ,08 Dlužníktedymusívráttpůjčenousumunavýšenouoúrok,tedy P n = tj Kč.Provýpočetlzerovněžpoužítupravenývzorec P n = P 1+ n),kde P n jevýšekaptálu, kterou musí dlužník vrátt tzv. splatná částka. P n = ,08 P n = P n = ) Zajakoudobuvzrostevklad1.000Kčna1.050Kčpřročníúrokovémíře10%p.a.apř standardu 30E/360. Řešení P=1.000, P n =1.050, t, =10%p.a. u= u=50 u=p t 50=1.000 t=180 t 360 0,1 Vkladvzrostez1.000Kčna1.050Kčza181dní. Respektve je možno vycházet také z druhého vzorce. P n = P 1+ t) 1.050= ,1 t=180 2 t 360 )

3 1.2.2 Neřešené příklady Jakéjsouúrokovénákladyúvěruvevýš Kč,kterýjejednorázověsplatnýza8 měsícůtj.240dníatovčetněúroků.pokudvíme,žeúrokovásazbaje9%p.a. [ Kč] Odběratel nezaplatl fakturu na částku Kč, která byla splatná 7. července Penálejestanovenona0,05%zfakturovanéčástkyzakaždýden.Jakvysokébudepenále k9.září2009? [5.983 Kč] Jakýbudestavnaúčtus Kčza210dní,pokudjeúrokstanovenna1,5%p.a.? [ Kč] Jakvelkýbylpočátečnívklad,kterýod do vzrostlo1.500Kč.Pokud víme,žeúrokovásazbajsou2%p.a.aúrokyjsoupřpočítáványjednouročně? [ Kč] Vypočítejte dobu splatnost př jednoduchém úročení, pokud vklad ve výš Kč narostlna4.000kč.úrokovámírační2%p.a. [181 Kč] Jak dlouho byla po splatnost faktura, pokud původní fakturovaná částka Kč narostla započítáním penále na Kč. Penále bylo stanoveno na 0,05% denně z fakturované částky. [92 dnů] Pojakoudobubylúročenvkladvevýší3.960Kč,jestlževzrostlpříúrokovésazbě2% p.a. přpsáním úroků na konc roku na hodnotu Kč. [181 dní] Přjakéúrokovésazběbudečntúrokzvkladu Kčza7měsíců1.500Kč? [2,57%] 1.3 Jednoduché dskontování Základní vzorec pro jednoduché dskontování: D=P n d t Kde Dje,kde P n je, d jeatje Řešené příklady Podnkatel eskontoval dne na banku směnku znějící na částku Kč se splatností dne Jakou částku mu banka dne přpsala na účet? banka používá dskontnímíru10%p.a. Řešení D=P n d t 3

4 30 D= ,1 360 D= Banka podnkatel vyplatí hodnotu uvedenou na směnce sníženou o dskont, tzn = Kč. Rovněžjetentopříkladmožnořeštvzorcem P= P n 1 d t),kde Ppředstavujesoučasnou hodnotu kaptálu nebol jstnu. P= ,1 P= ) Oběma vzorc dojdeme ke stejnému výsledku. Na účet bude přpsána částka Kč. Banka odkoupla směnku znějící na Kč s dobou splatnost 1 rok. Jakou banka používá dskontní sazbu, pokud za směnku vyplatla Kč? Vyjdemezevzorce D=P n I d t Dskontnísazbabankyje13% = d d = d =0, Neřešené příklady OsobaAvystavlasměnkunaosobuB.Směnkajenačástku10.000Kčsdobousplatností 1rokadskontnímírou8%.JakvysokýúvěrosobaAobdrží? [9.200 Kč] Dlužníkpostupujebancesměnkuznějícína Kčazavazujesejsplattza3měsíce. Jakou má banka dskontní sazbu, pokud dlužník obdrží úvěr ve výš Kč. [12%] Kolk dní před dnem splatnost eskontovala banka směnku, pokud její nomnální hodnota byla kčaklentzískáúvěrvevýší kč.dskontnísazbabankyjsou4 %. [35 dní] 1.4 Složené úročení Základní vzorec pro složené úročení: P n = P 1+) n. Kde P jepočátečnívklad, P n jekonečnáčástka, ročníúrokovásazbajeanpočetobdobí úročení. 4

5 1.4.1 Řešené příklady Na dvouletý termínovaný vklad u Komerční banky jste uložl Kč. Úroky jsou přpsoványpololetně.kolksbudetemocvybratza2roky,pokudjeúrokovásazba4%p.a.? P n = P 1+) n P n = ,04 ) 4 2 P n =10.824,3 Zadvarokysklentmůževybrat10.824,3Kč. Přjakévýšročníúrokovésazbysezúročíčástkaza5letz50.000na70.000Kč.Úrokyjsou přpsovány čtvrtletně. P n = P 1+) n P n = P 1+) =1+) =1+) =0,017 Výslednáúrokovámírajeovšemčtvrtletní-p.q.,pokudjchcemepřevéstnaročnípak = =0,0678tj.6,78% Neřešené příklady Jakýbuderozdílza3rokyvkonečnévýškaptálu,pokudbylpočátečnívklad Kč,úrokovámírační1,5%p.a.apokudjsouúrokypřpsovány: půlročně ročně [ ,3 Kč a ,4 Kč, rozdíl ční 20,9 Kč] Jakábylaročníúrokovásazbazvkladu20.000Kč,pokudza4rokymámenaúčtě Kč. Úroky byly přpsovány jednou ročně a byly ponechány na účtu k dalšímu zhodnocení. [ =4%] Uložljsmečástku12.000Kč.Jakábudekonečnávýševkladuza4rokypřsloženém úročení, jestlže úroková sazba ční 11,4% p.a. a úroky jsou přpsovány čtvrtletně.[ Kč] 5

6 1.5 Efektvní úroková míra Základní vzorec pro výpočet efektvní úrokové míry: efekt = 1+ m) m 1. Kde efekt jeefektvníúrokovámíra, jeročníúrokovásazbaamjefrekvenceúročeníkolkrát do roka jsou přpsovány úroky) Řešené příklady Chcetesuložtpenízeamátemožnostszvoltzetříúčtů: 1.bankaAnabízíúrokovousazbu13%p.a.adennípřpsováníúroků 2. banka B nabízí úrokovou sazbu 13,5% p.a. s půlročním přpsováním úroků 3.bankaCnabízíúrokovousazbu14%p.a.sročnímpřpsovánímúroků Kterou banku s vyberete? efekta = efektb = efektc = 1+ 0,13 ) ,135 ) ,14 ) efekta =0,1388tj.13,88% 2. efektb =0,1396tj.13,96% 3. efektb =0,14tj.14% Neřešené příklady Jaké jsou efektvní úrokové sazby obvyklých obdobích přpsování úroků pro nomnální sazbu = 12%, př konvenc 30E/360? Obvyklým obdobím chápeme: 1.den 2. měsíc 3. čtvrtroku 6

7 4. půlroku 5.rok [12,74%,12,68%,12,55%,12,36%,12,00%] Chcetesuložt10.000Kčna3roky.Mátedvěmožnost: 1. =12% p.a, přpsování úroků pololetně 2. =11% p.a, přpsování úroků čtvrtletně Kterou možnost s vyberete? [ efekt =12,36%, efekt =11,46%]klentszvolímožnostčíslo1 1.6 Současná a budoucí hodnota anuty Provýpočetsoučasnéhodnotypolhůtníanutyvycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n.pro výpočetsoučasnéhodnotypředlhůtníanutyvycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n 1+) Řešené příklady Jaká je současná hodnota důchodu, která nám zajstí polhůtní důchod Kč ročně po dobu 20let př úrokové sazbě 4% p.a. s ročním přpsováním úroků. Vycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n PV A= ,04) 20 0,04 PV A= ,22Kč.Současnáhodnotatakovéhodůchoduje ,22Kč. Kolk budeme ochotn zaplatt za nvestc s žvotností 50 let, z které nám vždy počátkem rokubudeplynoutdůchodvevýš80.000kč.úrokovásazbační5%.vycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n 1+) PV A= ,05) 50 0,05 1+0,05) PV A= ,7 Za nvestc, která nám ročně ponese po dobu 50let jsme ochotn př dané úrokové míře zaplatt ,7 Kč. Po kolk let vynášela počáteční nvestce ve výš Kč roční výnos Kč, který byl vyplácen počátkem každého roku. Úroková sazba ční 4,5%. Vycházíme ze vzorce PV A=P 1 1+) n 1+) = ,045) n 0, ,045) 7

8 0,3271=1+0,045) n ln0,67284)= n ln1,045) n=25,4 Výnos Kč z počáteční nvestce Kč bude plynout po dobu 25,4 let Neřešené příklady Jakájesoučasnáhodnotanvestce,pokudpřúrokovémíře3%zníbudevždykoncem rokuplynoutvýnos kčatopodobu15let. [ Kč] Jak velký důchod splatný vždy počátkem roku bude plynout pod dobu 16let z nvestce vevýš kčpřúrokovémíře4%. [ ,5 Kč] Pokolkletbudeplynoutročnídůchod Kčznvestce Kč.Důchodje vyplácen vždy koncem roku. Úroková míra ční 5%. [11 let] Provýpočetbudoucíhodnotypolhůtníanutyvycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1.Pro výpočetsoučasnéhodnotypředlhůtníanutyvycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1 1+) Řešené příklady Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud koncem každého roku ukládáme částku Kč poddobu20letpřúrokovésazbě4%. Vycházímezevzorce: FV A=P 1+)n 1. FV A= ,04)20 1 0,04 FV A= ,23 Po 20letech bude na účtu částka ,23 Kč. Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud počátkem každého roku ukládáme částku Kčpoddobu20letpřúrokovésazbě4%. Vycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1 1+) FV A=P 1+)n 1 FV A=P 1+0,04)20 1 0, ) 1+0,04)

9 FV A= ,2 Po 20letech bude na účtu částka ,22 Kč. Po jaké době bude na spořícím účtu částka Kč, pokud klent koncem každého roku uloží20.000kč.úrokovámíraje3,5%p.a. Opětvycházímezevzorce PV A=P 1+)n 1 Naúčtubude Kčza18,3let. FV A= ,035)n 1 0,035 1,875=1,035) n ln1,875)=n ln1,035) n=18, Neřešené příklady Jakájebudoucíhodnotanvestce,jejížžvotnostje15letakoncemkaždéhorokuzní plyne platba Kč. Požadujeme výnosovou míru 9% p.a. [ Kč] Za kolk let budeme mít na spořícím účtu částku Kč, pokud počátkem každého rokuukládáme kčaúrokovásazbační3,8%p.a. [za21let] 9