Nelineární fotonické nanostruktury II. Podporováno projektem MŠMT CZ.1.07/2.2.00/ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky.

Transkript

1 Podporováno projektem MŠMT CZ.1.07/2.2.00/ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky.

2 Obsah: 1 Optická bistabilita Disperzní bistabilita Absorpční bistabilita 2 Ikedova nestabilita 3 Nelineární susceptibilita 4 Solitony 5 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace 6 Optická nutace 7 Rozpad volné indukce 8 Fotonové echo 9 Ramseyho obrazce 10 Šíření pulzu a teorém plochy 11 Autoindukovaná transparence 12 Kvantování elektromagnetického pole 13 Stlačené stavy

3 Optická bistabilita Optická bistabilita Více výstupních intenzit pro danou vstupní intenzitu - nelineární efekt. Disperzní a absorpční bistabilita. Principiální schéma se zpětnou vazbou: E I E(0) R l E T R Jeden oběh: 100 % 100 % E 0 = T E I + f(e n (0)); f(e n (0)) = R exp( αl) exp(ikl)e n (0). Stacionární stav: E 0 = E n (0): E 0 = T E I + f(e 0 ), E 0 = T EI 1 Rexp( αl + ikl).

4 Optická bistabilita Výstupní pole E T : E T = TE 0 exp( αl + ikl): E T T exp[ik(l L)] = E I exp(αl ikl) R.

5 Optická bistabilita Disperzní bistabilita Disperzní bistabilita I T 1 = I I 1+4R sin 2 (β/2)/t 2, β = α il Kl 2πq. V okolí rezonance platí: Grafické řešení: I T I I = 1 1+Rβ 2 /T 2, β = β 0 +β 2 I T, I I = I I [1+R(β 0 +β 2 I T ) 2 /T 2]. Ι Τ Ι Ι nestabilní stabilní α tg(α)=1/i I Ι Τ

6 Optická bistabilita Disperzní bistabilita Oblast bistability di I /di T < 0, hranice oblasti di T /di I = 0: β 2 I T = 2 3 β 0 ± 1 β T 2 R. Řešení - hysterezní křivka: Ι T hysterezní křivka Ι I

7 Absorpční bistabilita Optická bistabilita Absorpční bistabilita Pro malé hodnoty αl/t : E T E I = 1 1+αl/T. Nelineární absorpce α = α 0 /(1+I), I = I T /T : E I = E [ T 1+ α ] 0l/T. T T 1+I T /T Řešení pro větší hodnoty α 0 l/t : E T T bistabilita E I T

8 Optická bistabilita Absorpční bistabilita Podmínka na bistabilitu de I /de T = 0 dává: C = α 0l 2T, C 4, α 0 l T 8.

9 Ikedova nestabilita Ikedova nestabilita Kruhový rezonátor - řešení jako dříve: E(t +τ) = T E I + R exp( αl) exp(ikl)e(t), E(t +τ) = T E I + R exp[i(β 0 +β 2 TI(t))]E(t), Stabilita ( - komplexní frekvence bočních módů): E(t) = E 2 +ε(t) = E 2 +E 1 exp(i t)+e 3 exp( i t) Rovnice pro amplitudy E 1 a E 3 (τ - doba oběhu v rezonátoru): ] E 1 exp(i τ) = BE 1 + ibtβ 2 [ E 2 2 E 1 +E2 2 E 3, [ ] E3 exp(i τ) = B E3 ib Tβ 2 E 2 2 E3 +E 2 2 E 1, [ ] B = R exp i(β 0 + Tβ 2 E 2 2 ). (1) Analýza rovnic - vlastní čísla λ = exp(i τ).

10 Ikedova nestabilita Rovnice jsou nestabilní pro λ > 1 v oblastech di T /di I < 0 a di T /di I > 0. Na hranici: exp(i τ) = 1 = 2πq, E(t +τ) = E(t), τ v rezonanci s rezonátorem (2q + 1)π exp(i τ) = 1 =, E(t + 2τ) = E(t), τ bifurkace s periodou 2 chaos

11 Nelineární susceptibilita Nelineární susceptibilita Lorentzův model elektronu vázaného k jádru pod vlivem síly F(t): d 2 x dt 2 +Γdx dt +ω 0x + ax 2 = F(t) m = e m E 1 exp(iω 1 t)+c.c.. Γ - tlumení, absorpce. ax 2 - popisuje nelinearitu. Řešení rozvojem podle mocnin el. pole E 1 : Pro lineární výchylku x (1) : x(t) = x (1) (t)+x (2) (t)+... x (1) (t) = q (1) (ω 1 ) exp(iω 1 t), ( ω iγω 1 +ω0 2 ) q (1) (ω 1 ) exp(iω 1 t) = e m E 1 exp(iω 1 t), q (1) ee 1 /m (ω 1 ) = ω0 2 ω2 1 + iγω. 1

12 Nelineární susceptibilita Polarizace P: P (1) (t) = Nex (1) (t) = χ (1) (ω 1 )E 1 exp(iω 1 t), χ (1) (ω 1 ) = e2 m Pro nelineární výchylku x (2) : N ω 2 0 ω2 1 + iγω 1 x (2) (t) = q (2) (ω 1 +ω 2 ) exp[i(ω 1 +ω 2 )t], Nelineární člen ax 2 osciluje na více frekvencích: [ 2, ax 2 a q (1) (ω 1 ) exp(iω 1 t)+q (1) (ω 2 ) exp(iω 2 t)+c.c.] exp(2iω 1 t), exp[i(ω 1 +ω 2 )t], exp[i(ω 1 ω 2 )t], exp(2iω 2 t), 1. Řešení: [ (ω1 +ω 2 ) 2 + iγ(ω 1 +ω 2 )+ω0 2 ] q (2) (ω 1 +ω 2 ) = 2aq (1) (ω 1 )q (1) (ω 2 ), q (2) 2aq (1) (ω 1 )q (1) (ω 2 ) (ω 1 +ω 2 ) = ω0 2 (ω 1 +ω 2 ) 2 + iγ(ω 1 +ω 2 ).

13 Nelineární susceptibilita Nelineární polarizace P (2) : P (2) (ω 1 +ω 2 ) = Neq (2) (ω 1 +ω 2 ) χ (2) (ω 1 +ω 2 ;ω 1,ω 2 ) = 2ae3 m 2 Millerovo pravidlo: = χ (2) (ω 1 +ω 2 ;ω 1,ω 2 )E 1 (ω 1 )E 2 (ω 2 ), N ω0 2 (ω 1 +ω 2 ) 2 + iγ(ω 1 +ω 2 ) 1 1 ω0 2 ω2 2 + iγω, 2 ω0 2 ω2 1 + iγω 1 χ (2) (ω 1 +ω 2 ;ω 1,ω 2 ) = Aχ (1) (ω 1 )χ (1) (ω 2 )χ (1) (ω 1 +ω 2 )

14 Solitony Solitony Vlnová rovnice: 2 P E = µ NL 0 t 2 P L (t) = ǫ 0 P L (ω) = 1 2π +µ 0 2 P L t 2, dt χ (1) (t t )E(t ), dtp L (t) exp(iωt), P L (ω) = ǫ 0 χ (1) (ω)e(ω). Úprava lineárního disperzního členu: 2 P E = µ NL 0 t 2 µ 0 ǫ 0 dωω 2 χ (1) (ω)e(ω) exp( iωt), µ 0 ǫ 0 1/c 2, χ (1) (ω) = n 2 (ω), ω 2 n 2 (ω)/c 2 = β 2 (ω), β(ω) = β 0 +β (ω ω 0 )+β (ω ω 0 ) 2 /2, ] β 2 (ω) β0 [β 2 + 2β (ω ω 0 )+β (ω ω 0 ) 2 /2.

15 Solitony Přechod do časové oblasti: 2 P E = µ NL 0 t 2 dω [β β 0β (ω ω 0 )+β 0 β (ω ω 0 ) 2] E(ω) exp[ i(ω ω 0 )t] exp( iω 0 t). Záměna: ω ω 0 i / t, (ω ω 0 ) 2 2 / t 2, E(t) = Ẽ(t) exp( iω 0t), P NL (ω) = 3χ (3) Ẽ 2Ẽ exp(iω 0t). Rovnice v časoprostorových proměnných: Ẽ = 3µ2 0 ω2 0 χ(3) Ẽ 2 Ẽ β 2 0Ẽ 2iβ 0β Ẽ t β 0 β 2Ẽ t 2.

16 Solitony Substituce Ẽ(z, t) = A(z, t) exp(iβ 0z): z A(z, t) β A(z, t) iβ t 2 2 Substituce k bezrozměrným veličinám: t = t z/v, z = z, ψ = A ; τ 0 2z 0 A 0 t 2A(z, t) = i 3χ(3) µ 0 ω0 2 A(z, t) 2 A(z, t). 2β 0 β = 1 v, τ 0 délka pulzu, 2z 0 = τ 2 0 β, A 0 = γ = 3 2 µ 0cω 0 χ (3), c = c 0 n(ω 0 ). β /γ τ 0, Nelineární Schrödingerova rovnice se solitonovým řešením: i ψ(z, t ) z ψ(z, t ) 2 t 2 + ψ(z, t ) 2 ψ(z, t ) = 0.

17 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Liovilleova rovnice: i ˆ t = [Ĥ, ˆ ]. Statistický operátor ˆ v bázi stavů dvouhladinového atomu a, b : [ ] a ˆ bb ba. ω Γ ab aa b Semiklasický Hamiltonián Ĥ interakce záření s atomem: Ĥ = ω a a [ζe 0 exp( iνt) a b +h.c.]/2. Liouvilleova rovnice rozepsaná po složkách: d dt [ ab exp(iνt)] = [γ + i(ω ν)] ab exp(iνt) i 2 ζe 0( aa bb ), [ ] d bb = d aa i = Γ aa + dt dt 2 ζe 0 exp( iνt) ba + c.c.. (2)

18 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Zavedení nových proměnných: U = ab exp(iνt)+c.c., V = i ab exp(iνt)+c.c., W = aa bb. Blochovy rovnice: du(t) dt dv(t) dt dw(t) dt = δv(t) U(t) T 2, = δv(t) V(t) + R 0 W(t), T 2 = W(t)+1 R 0 V(t). T 1 Rabiho frekvence R 0, R 0 = ζe 0 /. Rozladění δ, δ = ω ν. Tlumící konstanty T 1 a T 2.

19 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Vektorový zápis pro T 1 = T 2 : du(t) dt = γ[u(t)+e 3 ]+U(t) R, R = R 0 e 1 δe 3, U(t) = U(t)e 1 + V(t)e 2 + W(t)e 3. e 3 ω=ν e 3 ω<ν R e 1 e 2 e 1 e 2

20 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Řešení bez absorbce, T 1 = T 2 = 0, a v rezonanci ω = ν: U(t) U(t) V(t) = 0 cos(r 0 t) sin(r 0 t) V(t) W(t) 0 sin(r 0 t) cos(r 0 t) W(t) Řešení pro U(0) = V(0) = 0, zobecněná Rabiho frekvence R = R0 2 +δ2 : U(t) = R 0δ R 2 W(0)[cos(Rt) 1], V(t) = R 0 R W(t) = W(0) W(0) sin(rt), [ 1+ R2 0 R 2 W(0)(cos(Rt) 1) ]..

21 Dvouhladinové atomy, Rabiho oscilace Řešení bez vnějšího pole: R 0 = 0, γ = 1/T 2, T 1 : U(t) V(t) W(t) = Stacionární řešení: cos(δt) exp( γt) sin(δt) exp( γt) 0 sin(δt) exp( γt) cos(δt) exp( γt) U = δr 0 T2 2 1+I +δ 2 T2 2, I = R0 2 T 1T 2, V R 0 T 2 = 1+I +δ 2 T2 2, W 1 = 1+I/(1+δ 2 T2 2). U(t) V(t) W(t).

22 Optická nutace Optická nutace Soubor molekul je náhle exponován intenzivním laserovým pulzem v rezonanci. Molekuly absorbují a emitují fotony, oscilují mezi základním a vzbuzeným stavy - Rabiho oscilace. Celkové elektrické pole E má i složku emitovanou molekulami E s : E(L, t) = Re{[E s (L, t)+e 0 ] exp[i(kl νt)]}, E(L, t) 2 E0 2 + E 0Re{E s (L, t)}. Zdrojem pole E s je polarizace P = Nζab (U + iv): de s (z, t) = i K dz 2ǫ P Re{E s(l, t)} = KL 2ǫ Im{P}, Im{P} = ζ ab NR 0 W(ω ν)w(0)j 0 (R 0 t). (3) J 0 - Besselova funkce. W(ω) - spektrální rozšíření čáry homogenní i nehomogenní.

23 Optická nutace Generované elektrické pole E s : Re{E s (L, t)} = ζ ( abnklw(ω ν) R 0 exp t ) W(0)J 0 (R 0 t). 2ǫ T 2 Re[E (t)] s R t 0

24 Rozpad volné indukce Rozpad volné indukce Cw pole přivede dvouhladinový atom do stacionárního stavu, pole se náhle vypne (metoda Starkova posuvu). Dochází k vyzáření energie atomu do optického pole s amplitudou E s : Re{E s (t)} = E 0 Q cos( s t), Q = πnklζ2 ab T 2 W(ω ν) exp 2 ǫ [ ( 1+ ) t I + 1 T 2 ][ ] 1 1. I + 1 s - Starkův posuv frekvence. 1/T 2 - standardní tlumení. I + 1/T2 - Dopplerovské rozfázování.

25 Fotonové echo Fotonové echo Nehomogenní rozšíření čáry - reverzibilní procesy. Homogenní rozšíření čáry - irreverzibilní procesy. Možnost otočit reverzibilní proces při vhodné konfiguraci interakce. Sekvence 2 pulzů: první pulz π/2 (R 0 t = π/2), poté následuje časová prodleva τ, následně přichází pulz π v čase 2τ vznikne optické pole - fotonové echo: τ τ Vývoj polarizace e 3 e 3 t e 1 e 2 e 1 e 2

26 Fotonové echo Obecný vztah pro polarizaci: ζ ab C a (τ 1 +τ 2 )Cb (τ 1 +τ 2 ) = i 2 ζ abr01 R 02 exp[iδ(τ 1 τ 2 )] (R 1 R2 ) 1 sin(θ 1 ) sin 2 (θ 2 /2). θ 1 - plocha prvního pulzu. θ 2 - plocha druhého pulzu. Pro τ 1 τ 2 = 0 vliv rozfázování δ zmizí.

27 Ramseyho obrazce Ramseyho obrazce Schéma experimentu: proud atomů optické pol Atomy v základním stavu prochází 2 optickými svazky s časovou prodlevou T, měří se pravděpodobnost excitace atomu: C a 2 = a a Re{a1 a 2 exp[i(ω ν)t]}, ( )[ ( θj θ3 j cos a j = R 0 R sin 2 2 ) + i( 1) j δ R sin Využití ve spektroskopii s vysokým rozlišením (konečná doba interakce atomů s polem). ( θ3 j 2 )].

28 Šíření pulzu a teorém plochy Šíření pulzu a teorém plochy Časoprostorový problém šíření optického pole. Pro nehomogenně rozšířená prostředí se dá odvodit vztah pro plochu pulzu ϑ(z): ϑ(z) = dϑ(z) dz V absorpčním prostředí platí: dt ζ abe(z, t), = α sin[ϑ(z)]. dϑ(z) dz = αϑ(z). Násobná stabilní řešení: ϑ(z) = 2πq, q = 1, 2,...

29 Autoindukovaná transparence Autoindukovaná transparence Popsána Blochovými rovnicemi, R 0 (z, t) = ζ ab E(z, t)/ : du dt = δv, dv dt = δu + R 0 (z, t)w, dw dt = R 0 (z, t)v. Řešení pro rezonanci δ = 0 a W( ) = 1, U( ) = V( ) = 0: V(z, t; 0) = sin[ϑ(z, t)], W(z, t; 0) = cos[ϑ(z, t)], ϑ(z, t) = t dt ζe(z, t ) částečná plocha. Započtení nehomogenního rozšíření předpokladem na tvar V : V(z, t;δ) = F(δ)V(z, t; 0), W(z, t;δ) = F(δ)(cos[ϑ(z, t)] 1) 1.

30 Autoindukovaná transparence Funkce V(z, t;δ) a W(z, t;δ) splňují rovnici: d 2 V dt 2 = δ2 V + R 0 (z, t) dw. dt Po úpravě dostáváme rovnici pro částečnou plochu s typickým časem τ: d 2 ϑ dt 2 = δ2 F(δ) 1 F(δ) sin(ϑ) = 1 τ 2 sin(ϑ). Rovnice kyvadla a její řešení: d 2 ϑ(z, t) dt 2 1 sin[ϑ(z, t)] = 0, τ 2 ( )] t ϑ(z, t) = 4 tan [exp 1 τ0. τ Řešení pro časoprostorovou amplitudu E, τ 0 = z/v g, v g - grupová rychlost: E(z, t) = 2 ( ) t τ0 sec. τζ ab τ Pro t je plocha pulzu 2π. Nestabilní řešení s plochami 2πm, m = 2, 3,...

31 Kvantování elektromagnetického pole Kvantování elektromagnetického pole Souřadné osy: x y Amplituda elektrického pole E: 2Ω E(z, t) = xq(t) 2 ǫ 0 V sin(kz). Amplituda magnetického pole B: B(z, t) = y 1 c 2 K q(t) z 2Ω 2 ǫ 0 V cos(kz). Hustota elektrostatické energie U: U(z, t) = 1 [ ǫ 0 E 2 (z, t)+ 1 ] B 2 (z, t). 2 µ 0

32 Kvantování elektromagnetického pole Hamiltonián Ĥ, Ĥ = dvu: Ĥ = 1 ( Ω 2ˆq 2 + ˆp 2), 2 ( ˆq = â+â ), ( 2Ω Ĥ = Ω â â+ 1 ), 2 ˆp = i Ω 2 ( â â ), â = 1 2 Ω (Ωˆq + iˆp), â = 1 2 Ω (Ωˆq iˆp), Vlastní stavy Hamiltoniánu Ĥ, n tvoří bázi: ( Ĥ n = Ω n+ 1 ) n, n = 1, 2,..., 2 ψ = n C n n.

33 Kvantování elektromagnetického pole Operátor amplitudy elektrického pole Ê: Ê(z, t) = E Ω (â+â ) Ω sin(kz), E Ω = ǫ 0 V. Fockovy stavy n mají definovaný počet fotonů: â n = n n 1, â n = n+1 n+1. Koherentní stavy α : â α = α α, ) α = exp ( α 2 α n 2 n! n, α = ˆD ( ) α 0, ˆDα = exp αâ α â, n p n = n α 2 = exp ( α 2) α 2 Poissonovo rozdělení, n! Ê(z, t) α = E Ω (α+α ) sin(kz) semiklasické pole.

34 Stlačené stavy Stlačené stavy Heisenbergův princip neurčitosti: A B 1 2 [Â, ˆB], A = (Â Â ) 2. Pro kvantové optické pole: E B C /2. Operátory kvadratur optického pole, φ - referenční fáze, homodynní detekce: ˆd 1 = 1 [ ] â exp(iφ)+â exp( iφ), ˆd2 = 1 [ ] â exp(iφ) â exp( iφ), 2 2i ] [ˆd1,ˆd 2 = i 2, d 1 d Variance kvadratur pro pole s ˆd 1 = 0: d1 2 = ˆd 1 2 ˆd 1 2 = â â + 1 Re{ ââ exp(2iφ) }. 2

35 Stlačené stavy Minimum d 2 1 pro fázi φ splňující ââ exp(2iφ) = ââ : d 2 1 = â â 1 2 ââ, d 2 2 = â â ââ, d 1 d Stlačené koherentní stavy ζ, α : ( ζ,α = Ŝ(ζ) α, Ŝ(ζ) = exp ζâ 2 ζ â 2), ζ = r 2 exp( 2iφ), d 1 = 1 2 exp(r), d 2 = 1 2 exp( r). Rozdělovací funkce amplitudy ve fázovém prostoru: Im[α] Im[α] φ r α θ Re[α] koherentní stav α=r exp(iθ) α r α θ Re[α] stlačený stav

36 Stlačené stavy Generace stlačených stavů v procesu generace druhé subharmonické nebo čtyřvlnovém směšování: Ĥ = Ωâ â+i Λâ 2 exp( 2iΩt) i Λ â 2 exp(2iωt), dâ(t) = iωâ(t) 2Λâ (t) exp( 2iΩt). dt