ÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT. DOC. ING. MICHAL MICKA, CSc. PŘEDNÁŠKA 4

Transkript

1

2 ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY. Látka, která vtváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mei napětím a přetvořením je lineární ávislost.. Látka hmotného tělesa je homogenní a iotropní. Homogenita v každém mikroobjemu je stejná látka, která vkauje stejné fikální a chemické vlastnosti. Iotropie vjadřuje skutečnost, že v kterémkoliv směru vcháejícího daného bodu jsou stejné fikálně mechanické vlastnosti.. Posun a deformace tělesa od vnějšího atížení uvažujeme velmi malé, tj. v matematickém přepisu je le pokládat a infiniteimální veličin.

3 Základní úloha určit množinu posunů všech bodů tělesa, tj. určit vektorové pole posunutí. Na teorii pružnosti navauje a souvisí s ní: Teorie pevnosti všímá si přípustných meí napětí, které předepisuje růným druhům materiálů hlediska jejich kvalit. Teorie plasticit všetřuje tělesa, která po svém odlehčení ůstávají trvale deformovaná. Reologie sleduje rovoj silových a deformačních faktorů v ávislosti na čase. Přihlíží k vlivu času na měnu fikálně mechanických vlastností látek.

4 STAV DEFORMACE Vnější atížení vvodí v poddajném tělese posun, pootočení a deformace. Deformace elementu se v obecném případě uskutečňuje relativními měnami délek jeho hran a měnami pravých úhlů mei jeho stěnami, které můžeme koumat ve třech vájemně kolmých rovinách. Posun a pootočení jsou charakteristikami přetvoření tělesa. Úhlová deformace A A d O d O B B d C C obdobně pro G, Vektor posunutí u u v w repreentuje vektorové pole posunutí daného tělesa.

5 Složk tenoru deformace Na obráku je náorněna deformace rovinného elementu posunutí vrcholů ve dvou směrech a kosení. Poměrné prodloužení elementu ve směru souřadnicové os se vpočte výrau d d dub d u d d Podobně ve směru d d dvc d v d d Pravý úhel elementárního obdélníku u vrcholu A se měnil o malý úhel (tv. úhel kosení). Pro platí, že je součtem dvou úhlů, takže le psát dvb duc v u dv B d du C d d d v u A potom

6 Složk tenoru deformace kde, u v w, v u w v u w 6 geometrických rovnic poměrné délkové přetvoření (prodloužení) ve směru souřadnicových os. měn pravých úhlů v rovinách onačených příslušnými inde (poměrné úhlové přetvoření) Rovnice pro přetvoření vtvářejí soustavu 6 geometrických rovnic.,,,,, Tenorové pole deformace T T Geometrické rovnice v maticovém ápisu u

7 Operátorová matice Tenor deformace malých deformací A

8 ROVNICE KOMPATIBILITY (SPOJITOSTI DEFORMACÍ) Tvoří soustavu 6 rovnic, kterým musí vhovovat pole deformace. Platí, že pole deformace musí být v každém bodě tělesa spojité (kompatibilní). V maticovém ápisu T A nulová matice. pole operátorové matice (kromě namének)

9 STAV NAPJATOSTI V tělese vnikají vnitřní síl jako odeva na působení sil vnějších. Vnější síl:. Objemové síl atížení, které působí na objem určité hmot např. síl gravitační, setrvačné N m. Povrchové síl atížení, které působí na plochách povrchu tělesa N m Vnější osamělou sílu definujeme jako výslednici sil působících na elementární plochu A. Vnitřní síl působí na elementárních ploškách tělesa F lim N m n A A vektor napětí v bodě P n kde P n normálová složka vektoru napětí A - tečná složka vektoru napětí (tangenciální) F

10 Výsledné napětí A B C A A A ΔA libovolně volená plocha - výsledné napětí na libovolně orientované ploše ΔA Poměr ploch na čtřstěnu A A cos l cos l A A D - normála k plošce BCD svírá se souřadnicovými osami úhl A cos l A

11 K určení výsledného napětí se sestaví součtové podmínk rovnováh po úpravě A A A A A A l l l l l l l l l A A A A A A C A D A A A B Známe-li tenor napětí A na navájem kolmých ploškách, le vpočítat napětí na libovolné jiné plošce. A T l kde,, T T l l, l, l

12 Tenor napětí A popisuje stav napjatosti v daném bodě. A

13 CAUCHYHO STATICKÉ ROVNICE Statické rovnice vcháejí podmínek spojitosti (kompatibilit) měn ve složkách napětí. Součtové podmínk rovnováh elementárního kvádru nebo X X Y Z d d d d d d d d d d d d

14 d d d d Věta o vájemnosti tečných napětí Z momentové podmínk k těžišti elementárního kvádru le odvodit podmínk vjadřující větu o vájemnosti tečných napětí. d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dd d dd d d d d d

15 Obdobně a áměnou indeů se velikost tečného napětí nemění. FYZIKÁLNÍ ROVNICE Do počtu rovnic se musí přidat podmínk, které vjadřují ávislost mei napětím a přetvořeními a jsou váán na konkrétní fikálně-mechanické vlastnosti reálných těles. Vjadřují vtah mei složkami tenoru napětí a tenoru deformace E G E G E G kde E modul pružnosti (Youngův modul) [Nm - ] G modul pružnosti ve smku E me G G m

16 - Poissonova číslo (součinitel) m - Poissonova konstanta součinitel příčné konstrukce l l l a+δa a p l a p a l l+δl p l pro iotropní materiál, 5! E Objemový modul pružnosti E E při relativní měně objemu Fikální rovnice le apsat v maticovém tvaru D D D nebo - matice tuhosti materiálu D - matice poddajnosti materiálu (inversní k matici D)

17 Pro lineárně pružný materiál: E D E D

18 ŘEŠENÍ OBECNÉHO PROBLÉMU Sstém ákladních rovnic je tvořen 5 rovnicemi pro analýu stavu napětí a deformace. Řešení spočívá v určení 5 funkcí proměnných jako funkce (,, ): u u, v, w. složk vektoru posunutí T. 6 složek tenorového pole napětí,,,,, T. 6 složek tenorového pole deformace,,,,, T 5 rovnic pro řešení obecného problému ted obsahuje:. 6 geometrických rovnic. statické rovnice. 6 rovnic fikálních Dále jsou doplněn rovnicemi kompatibilit požadavek spojitosti deformace.

19 Řešení obecného problému má variant:. Deformační varianta Dosaením složek tenorového pole deformace do rovnic fikálních a pak dosaení parametrů napětí ve fikálních rovnicích do statických diferenciálních rovnic a jejich integrováním ískáme nenámé posun u, v, w. V tomto případě tvoří statické rovnice po dosaení Laméov statické rovnice pro tři nenámé posun.. Silová varianta Nenámými jsou složk tenorového pole napětí {}. Postupujeme tak, že rovnice kompatibilit vjádříme pomocí fikálních rovnic v napětích. Těchto rovnic je 6 a mají 6 nenámých funkcí napětí. Protože vjadřují poue podmínku spojitosti, je nutno přičíst upravené Cauchho rovnice rovnováh. Po úpravách dostaneme soustavu 6 Beltramiho rovnic a 6 hledaných funkcí napětí. Volba variant pro řešení ávisí na složitosti problému.

20 Máme-li adán kinematické okrajové podmínk (vektor posunutí) je vhodné aplikovat deformační variantu. Jsou-li adán statické okrajové podmínk (např. atížení je na povrchu) je vhodné použít silovou metodu. V prai se obvkle vsktují kombinované případ okrajových podmínek.

21 HLAVNÍ NAPĚTÍ V obecném bodě atíženého tělesa eistují vžd tři k sobě kolmé ploch na nichž jsou tečná (smková) napětí nulová a normálová napětí nenulová. Budeme je naývat hlavní napětí a rovin, na které působí hlavní rovin. Vhledem k tomu, že na hlavní rovině působí hlavní napětí totožné s výsledným napětím, le pro jeho složk psát: cos cos cos Dosaením do rovnic rovnováh na čtřstěnu mají rovnice rovnováh po úpravě tvar: cos cos cos cos cos cos cos cos cos Tto rovnice mají řešení triviální: cos cos cos, které nevhovuje námému vtahu cos cos cos Netriviální řešení mají a předpokladu nulového determinantu:

22 Pomocí invariantů le poté rovnici ískanou rovojem determinantu upravit takto: I I I kde I je I. invariant napětí I je II.invariant napětí I je III. Invariant napětí Řešením rovnice ískáme velikosti hlavních napětí, pro které platí :.

23 V každém bodě tělesa eistují právě tři hlavní napětí, působící na tři vájemně kolmé ploch. Invariant I, I, I neávisejí na volbě souřadnicového sstému. Tenor napětí ve směrech hlavních napětí má tvar: A příslušné invariant v daném souřadnicovém sstému,, a ve směrech hlavních napětí jsou poté: I I I

24 Hlavní tečná (smková) napětí plnou rovnic: o 45 a k nim korespondují normálové napětí rovnic: Z obráku je řejmé, že hlavní tečná (smková) napětí působí v rovině procháející jednou osou souřadnicového sstému,, a půlící úhel bývajících dvou os.

25 HLAVNÍ DEFORMACE Hlavní poměrné délkové deformace plnou kubické rovnice tvaru: I I I p p p kde I je lineární invariant daný rovnicí: I I je druhý (kvadratický) invariant: 4 I I je třetí (kubický) invariant, daný vtahem: 4 4 I kde kromě dříve uvedených výnamů jsou,, hlavní poměrné délkové deformace. Podobně pro hlavní úhlové deformace platí rovnice:

26 a pro korespondující poměrné délkové přetvoření platí: Ponámka: a předpokladu, že je absolutně největší hlavní úhlová deformace dána vtahem: > > ma

27 Oktaedrické napětí Při studiu plastických deformací je nutné nát smkové napětí působící na plošce ve stejném sklonu ke každé hlavní ose. Tato ploška se jmenuje oktaedrická. C,, Normála k plošce BCD svírá s každou souřadnicovou osou stejný úhel, platí: Protože: cos cos cos platí: cos Oktaedrické napětí je dáno vtahem: Normálová složka oktaedrického napětí je: okt okt, n a tečná složka je okt B A s D

28 POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU OBJEMOVÁ DEFORMACE, STŘEDNÍ NORMÁLNÉ NAPĚTÍ Uvažujme pravoúhlý hranol o délce stran ve směru jednotlivých os d,d,d atížený na protilehlých stranách stejným napětím. Účinkem těchto napětí se stran hranolu prodlouží ve směru jednotlivých os o přírůstk posunutí. d v d d d u d w d Změna objemu se dá vjádřit w w u dv d d dw d d d d d Při anedbání řádově malých násobků veličin se dostane w u v dv d d dw d d d d d d u d d w v d d

29 Poměrná měna objemu je definována w u v d d dw d d d d d d dv v dv d d d resp. v Dosadí se do tohoto vtahu fikální rovnice v E E E a potom v E Zavede-li se tv. objemový modul pružnosti, který je definován vtahem E E K resp. K dostane se poměrná měna objemu ve tvaru v K

30 Zavede-li se pojem střední normálné napětí s s Le psát s K v resp. v K

31 DEVIÁTOR NAPĚTÍ s s s s s s Stav napjatosti na diferenciálu objemu si můžeme představit jako výsledný účinek dvou stavů napjatosti (vi obr.). V prvním působí na všechn stěn objemu stejné napětí s, jedná se ted o hdrostatické napětí, které vvolává poue měnu objemu. Druhý napěťový stav be hdrostatické složk ase vvolává měnu tvaru. Obecný tenor napětí le takto rodělit na na část hdrostatickou a tv. deviátor napětí.

32 Podobně jako tenor napětí má i deviátor napětí tři invariant. s V deviátoru napětí D s s avedeme nová onačení s s a po dosaení D Invariant deviátoru napětí pak mají hodnot I je I. invariant deviátoru napětí I I je II.invariant deviátoru napětí je III.invariant deviátoru napětí s

33 DEVIÁTOR DEFORMACE Podobně, avedeme-li střední deformaci s a s s s Mají invariant deviátoru deformace tvar I je I. lineární invariant deviátoru deformace I 4 je II. (kvadratický) invariant deviátoru deformace I 4 4 je III. (kubický) invariant deviátoru deformace. Deviátor napětí a deformace se používají v teorii plasticit při tvorbě materiálových modelů.

34 Příklad Pro rovinnou úlohu můžeme výpočet hlavních napětí jednodušit I I I I I,, Grafickým náorněním vtahu je tv. Mohrova kružnice

35 Úhel a je možné určit podle vtahu (vi obr.) tg Konstrukce Mohrov kružnice Znalost velikostí hlavních napětí a jejich průběhů pomáhá poroumět chování konstrukce, nalét v konstrukci slabá místa a provést optimaliaci návrhu konstrukce. Vliv smkových napětí je vidět např. při tlakové koušce betonu

36 Průběh směrů hlavních napětí na dlouhé konole Průběh směrů hlavních napětí na krátké konole

37 Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava

38 Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava