3.1 Shrnutí základních poznatků

Transkript

1 3.1 Shrnutí ákladních ponatků Uvažujme nosník, tj. prut, jejichž délka převládá nad charakteristickými roměr průřeu. Při tvorbě výpočtového modelu nosník totožňujeme s jeho podélnou osou a uvažujeme skutečný průře. Průběh normálových a posouvajících sil a ohbových momentů u přímých nosníků Uvažujme nosník atížený silovými účink v rovině procháející jeho osou. Účinek těchto vnějších sil a momentů le obecně v každém přímém průřeu nahradit(vi obr. 1): 1.Normálovousilou N(),kterájerovnasoučtuvšechsilasložekvšechsilvesměru os nosníku po jedné straně řeu. 2. Posouvající(smkovou) silou T(), která je rovna součtu všech sil a složek sil kolmých naosunosníkupojednéstraněřeu. 3.Ohbovýmmomentem M(),kterýjerovensoučtumomentůvšechsilamomentů působících po jedné straně řeu. Uvedené definice umožňují všetřování míněných účinků tv. metodou řeu. Pro vjádření těchto účinků je ale potřeba také nát všechn vnější silové účink(akční i reakční). Proto je nutné nejprve všetřit reakční silové účink ve vabách pomocí příslušných podmínek rovnováh(silových a momentových). Přivšetřováníuvedenýchvnitřníchúčinků N(), T()aM()jeúčelnédodržovat naménkovou úmluvu náorněnou na obr. 2. R F 1 α F 2 q() R F 2 q() R B N() M() T() R B Obr. 1: Vnitřní silové účink v obecném řeu atíženého nosníku. 1

2 +N +M +T +M +N postup leva +T postup prava Obr. 2: Znaménková úmluva pro vnitřní silové účink. Závislosti mei spojitým atížením q(), posouvající silou T() a ohbovým momentem M() vjadřují tv. Schwedlerovu větu. V případě volb neávisle proměnné leva(vi obr. 3) platí dt() d = q(), dm() d = T(), d 2 M() d 2 = q(). (1) V některých případech je výhodné při všetřování uvedených účinků avést sstém souřadnicopačně,takžeosa 1 směřujepravadoleva(viobr.3).schwedlerovavětamápotom tvar dt( 1 ) d 1 = q( 1 ), dm( 1 ) d 1 = T( 1 ), d 2 M( 1 ) d 2 1 = q( 1 ). (2) Vtah(1) a(2) le použit pro všetřování průběhu posouvajících sil a ohbových momentů, ale také poslouží pro kontrolu správnosti všetření jejich průběhů, neboť těchto vtahů vplývá: je-li q()=0,jeposouvajícísílakonstantníaohbovýmomentseměnílineárně je-li q()=konst,měníseposouvajícísílalineárněaohbovýmomentmáparabolický průběh jestližesevnějakémřeumění q()skokem,jeuprůběhuposouvajícísílvtomto místě lom vintervalu,kdeje T() >0,ohbovýmomentroste,při T() <0ohbovýmoment klesá q() B d postup leva 1 postup prava Obr. 3: Nosník atížený obecným spojitým atížením q(). 2

3 vprůřeu,kdeje T()=0,dosahujeohbovýmomentlokálníetrémníhodnot. Normálové napětí při ohbu Předpoklad: Nosník je namáhán prostým ohbem nebo je dostatečně dlouhý, takže le anedbat vliv posouvající síl. Řekolménaosuůstávajípřideformaciohbemrovinnéapouesenatáčejíkolem tv. neutrální os. Tto os v jednotlivých průřeech vplní tv. neutrální rovinu. Platí Hookeův ákon. Materiál je homogenní a iotropní. Uvažujme obecný ře s ohbovým momentem M()(vi obr. 4). Z podmínk rovinnosti řeů vplývá ávislost poměrného prodloužení ε ()= ρ, (3) kde ρjepoloměrkřivostiosprutu.jeřejmé,ževlivemnatočenířeupřiohbuvniká vkaždémřeupouenormálovásložkanapětí σ ()(smkovénapětíjenulové,neboťjsme anedbali vliv posouvající síl T(), vi výše uvedené předpoklad), takže se jedná o jednoosounapjatost(viprostýtah-tlak).potompronormálovénapětí σ ()platí(vsouladu s úmluvou o naménku ohbového momentu) σ ()=E ε ()= E ρ = c. (4) M() d ε () σ() neutralni osa 0 ε σ + + Obr. 4: Obecný ře nosníku. 3

4 Průběhdeformace ε ()anormálovéhonapětí σ ()jenáorněnnaobr.4.(pon.:vhledemktomu,žesejednáojednoosounapjatost,budememísto ε ()aσ ()používat onačenípoue εaσ.) Zvýšeuvedéhojeřejmé,žedeformaceinapětíávisílineárněnavdálenosti od neutrální os. Pro určení skutečného průběhu napětí je potřeba stanovit hodnotu konstant cvrovnici(4)adálepakpolohuneutrálníos. Polohaneutrálníosseurčípodmínkprostéhoohbu.Vnitřnísíla N()vesměru os prutu v případě prostého ohbu musí být N= dn= σ d=0. (5) Odtud vplývá, že neutrální osa musí procháet těžištěm průřeu. Konstanta cseurčírovnostimomentuvnitřníchsil M()amomentuvnějšíchsil M ()vobecnémřeu.ztétopodmínkdostáváme M()=M ()=c J+ 2 D 2, (6) kde D jedeviačnímomentkneutrálníose akose kníkolmé, J jekvadratický momentkneutrálníose,viobr.4. Rovinný ohb V dalším bude uvažován tv. rovinný ohb. O rovinném ohbu hovoříme tehd, jestliže stopa rovin ohbového momentu v rovině řeu je totožná s jednou hlavních os kvadratickýchmomentů,viobr.5.vtakovémpřípaděje D =0akonstanta c= M() J.Potom je velikost normálového napětí v bodech ve vdálenosti od neutrální os dána vtahem σ()= M() J, (7) rovina ohboveho momentu M() 0 S neutralni osa stopa rovin ohboveho momentu Obr. 5: Rovinný ohb. 4

5 M() 1 σ 01 = e 1 neutralni osa =+e 2 tlakova oblast S 0 tahova oblast 2 + σ 02 σ Obr. 6: Roložení napětí v obecném řeu nosníku. kde J jekvadratickýmomentprůřeukneutrálníose,viobr.5aobr.6.neutrální osa rodělí průře na část přenášející tahová napětí a na část přenášející napětí tlaková. V případě dodržení úmluv o naménku ohbového momentu(vi obr. 2), část průřeu pod neutrální osou přenáší napětí tahová, vi obr. 6. Největší napětí vnikají v nejvdálenějších bodechodneutrálníos,tj.vbodech1a2(viobr.6).pronapětívtěchtobodechbude platit Vtah(8)leapsatvetvaru kde σ 01 = M() J e 1 a σ 02 =+ M() J e 2. (8) σ 01 = M() W 01 a σ 02 =+ M() W 02, (9) W 01 = J e 1 a W 02 = J e 2 (10) jsou tv. modul průřeu v ohbu. Z definice modulů průřeů v ohbu(10) vplývá, že narodíl od kvadratických momentů nele modul průřeu v ohbu složené ploch vjádřit jako součet modulů průřeů v ohbu dílčích ploch. Zrovnice(9)vplývá,ževpřípaděprimatickýchnosníků(tj. ()==konst) působímaimálnínapětívřeu,kdepůsobímaimálníohbovýmoment M()=M 0ma. Pro tento ře ted provádíme případné dimenování nosníku. Vhledem k tomu, že při ohbu nosníku vniká jednoosá napjatost(vi výše), můžeme pevnostní podmínku apsat ve tvaru σ 01 σ Dd a σ 02 σ Dt, (11) 5

6 T τ τ τ τ τ d 0 τ d Obr. 7: Smkové napětí v řeu nosníku. kde σ Dd jedovolenénapětívtlakuaσ Dt jedovolenénapětívtahu.protvárnémateriál platí σ Dd = σ Dt = σ D.Vtomtopřípaděrohodujeopevnostivětšíobounapětí σ 01 nebo σ 02. Smkové napětí při ohbu Vpřípadě,ževobecnémřeunosníkupůsobíposouvajícísíla T(),vnikádeodtétosíl smkové napětí. Uvažujme průře smetrický vůči ose. Nechť hranice(obrs) průřeu je vjádřena rovnicí = f(). Ze ákona sdružených smkových napětí vplývá, že smkové napětí τ naobrsumusíbýttečnékobrsovéčáře(viobr.7).potomapředpokladu τ= τ + τ platí τ = d τ d. (12) Diferenciální rovnice(12) platí i pro křivk uvnitř obrsu, které splňují podmínku, že smkovánapětíležínajejichtečnách.ttokřivkjsouafinníkobrsuanaývajísesmkové čár.tečnknimpodél = konstseprotínajívjednombodě naose (viobr.7). Ponámka: Jestliže se nejedná o průře, který má osu smetrie, vvolají vnitřní síl nejen posunutí průřeu(le jej určit např. pomocí Castiglianov vět), ale ještě natočení průřeu. Nemá-li toto natočení nastat, musí posouvající síla působit v tv. středisku smku, což je bod, kterým procháí výslednice vnitřních smkových sil. Jedná-li se o dostatečně štíhlé průře nosníků, tj. platí alespoň h/b > 2, le předpo- 6

7 b h τ 0 b Obr. 8: Ře štíhlým nosníkem. kládat,žepodélšířk b je τ = konst,viobr.8.vtomtopřípadělesložku τ smkového napětí s dostatečnou přesností určit pomocí tv. Žuravského vtahu ve tvaru τ = T()U b J, (13) kde T()jeposouvajícísílavuvažovanémřeu(viobr.7), U lineární(statický)moment ploch vmeenérovnoběžkousosou vevdálenosti vhledemkneutrálníose, b ješířkaprůřeuvmístě,kdenapětí τ počítáme, J jekvadratickýmomentceléhoprůřeu kneutrálníose. 7