Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Teorie her v praxi. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Šárka Hezoučká Teorie her v praxi Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Studijní program: Matematika, obecná matematika 2009

2 Děkuji všem, kteří mě při psaní této práce podpořili. Zvláštní poděkování bych chtěla věnovat Doc. RNDr. Petru Lachoutovi, CSc. za odborné vedení a cenné rady. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Šárka Hezoučká 2

3 Obsah 1 Úvod 6 2 Hry, rozhodovací situace Základní pojmy Způsoby popisu hry Klasifikace rozhodovacích situací Dělení podle počtu hráčů Dělení podle přítomnosti či nepřítomnosti náhodných faktorů Dělení podle informovanosti hráčů Dělení podle počtu možných strategií Dělení podle způsobu generování výhry Dělení podle možnosti přerozdělení výhry Antagonistické hry Optimální strategie Maticové hry Konečné antagonistické hry - příklady Neantagonistické hry dvou hráčů Dvojmaticové hry Hry s více rovnovážnými body Nalezení smíšeného rovnovážného bodu Kooperativní hra - příklad Nekooperativní hry N hráčů Oligopoly Optimální úrovně výroby při oligopolu

4 7 Závěr 57 Literatura 59 4

5 Název práce: Teorie her v praxi Autor: Šárka Hezoučká Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. vedoucího: lachout@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme rozhodovacími situacemi, které lze popsat matematickým modelem teorie her. Definujeme pojem hra, rovnovážná strategie, prostor strategií atd. Nejprve provádíme klasifikaci rozhodovacích situací podle základních kritérií. Poté s těmito pojmy pracujeme v jednotlivých příkladech. Popisujeme hledání optimálního chování tedy optimálních strategií účastníků rozhodovacích situací. Zaměřujeme se zejména na hry dvou hráčů, nebot jejich aplikace lze často najít v reálných situacích. Studujeme jak antagonistické tak neantagonistické hry se dvěma účastníky. K jejich přehlednému popisu využíváme maticové a dvojmaticové hry. V závěru práce pak věnujeme pozornost teorii oligopolu, jedné z mnoha ekonomických aplikací teorie her. Klíčová slova: teorie her, rozhodovací situace, antagonistické hry Title: Game Theory in Praxis Author: Šárka Hezoučká Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Supervisor s address: lachout@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In this submitted thesis we pursue decision situations that can be described by some mathematical model of game theory. We define the term game, optimal strategy, space of strategies etc. First we classify decision situations according to the basic criteria. Afterwards we work with this terms giving particular examples. We describe finding optimal behavior thus optimal strategies of the participants of decision situations. We especially examine 2-player games because it is frequently possible to find their applications in real situations. We study zero-sum two-person games as well as nonzero-sum two-person games. We use matrix and bimatrix games to their synoptical description. In conclusion we pay attention to the oligopoly theory, one of many economic applications of game theory. Keywords: game theory, decision problem, zero-sum two-person games 5

6 Kapitola 1 Úvod Každý den se v životě setkáváme se situacemi, v nichž jsme postaveni před nějakou volbu. Ale jak se v takových situacích správně tedy optimálně rozhodnout? Na výsledek chování člověka má vliv mnoho faktorů a záleží na čase, typu situace jeho informovanosti o daném problému a podobně. Teorie her nám dává návody, jak se v určitých situacích racionálně zachovat tak, abychom byly s následky plynoucími z naší volby co nejspokojenější, matematicky řečeno, abychom maximalizovali svůj zisk z dané situace. Vzhledem k tomu, že takovéto rozhodování může být ovlivněno velmi mnoha vlivy, leží teorie her na pomezí několika vědních oborů a nelze ji zcela jasně zařadit. Hlavní myšlenkou ale stále zůstává převedení reálných rozhodovacích a konfliktních situací na matematický model, v němž jsou v podobě určitých podmínek zahrnuty všechny vlivy, které mohou do situace zasáhnout. Rozhodovací situace se vyskytují ve všech oblastech naší společnosti, a proto se stala teorie her velice užitečným nástrojem v mnoha oborech. Svědčí o tom i značný rozvoj této disciplíny v posledním století a také fakt, že se tato teorie stále vyvíjí a je zkoumána z nových a nových pohledů. Uplatnění nalézá v medicíně, psychologii, biologii, politologii i etice. Nesmíme zapomenout ani na význam ve vojenské a telekomunikační sféře, zejména jsou ovšem modely teorie her aplikovány v ekonomii a finančním sektoru. Tato práce ovšem přináší pouze jakýsi úvod do problematiky, důraz je kladen zejména na objasnění praktického využití různých jednoduchých typů her. V příkladech budou rozhodovací situace oproti skutečnosti často mírně zjednodušeny zanedbáním některých faktorů, které v reálném životě dané 6

7 situace mohou ovlivňovat, aby bylo možné vyřešit problém v rámci teorie obsažené v této práci. V práci bude uveden i příklad salónních her, u nichž je řešení jasné i bez jakéhokoli zjednodušování, ovšem vždy uvažujeme, že účastníci hry jednají racionálně a to nemusí být ve skutečnosti splněno. Chceme-li matematicky popsat nějakou reálnou situaci opravdu podrobně, dostáváme se pak k velice složitým modelům, které přesahují rozsah této práce. Ve druhé kapitole definujeme základní pojmy jako je hra, rozhodovací situace, strategie a výplatní funkce. Dále pak objasníme tři základní způsoby popisu her, tedy hru v normálním tvaru, hru v explicitním tvaru a hru ve tvaru charakteristické funkce. U každého typu ukážeme na příkladech, pro jaké situace má vhodné uplatnění. Kapitola tři je pak celá věnována klasifikaci rozhodovacích situací podle základních hledisek, jimiž jsou počet hráčů, přítomnost náhodných faktorů, informovanost jednotlivých účastníků hry, počet jejich strategií, způsob generování výhry a možnost přerozdělení výhry. Dále pak u příkladů uvedeme, o jaký typ hry se jedná. Ovšem ne všechny typy situací popsané v klasifikaci bylo možné v práci podrobněji rozebírat. Antagonistické hry, pomocí nichž lze modelovat řadu salónních her a mnoho dalších rozhodovacích situací, jsou přiblíženy s několika příklady ve čtvrté kapitole. Půjde zde vždy o konečný typ těchto her. Velká pozornost je věnována zejména maticovým hrám, které představují přehledný model antagonistických her. V reálném životě se také často setkáváme se situacemi, v nichž vystupují dva subjekty, které nutně nemusí mít zcela protichůdné zájmy. Spoluprácí si naopak mohou vzájemně prospět. Takové situace lze modelovat pomocí neantagonistických her dvou hráčů. Těmto hrám se věnujeme v páté kapitole, kde je důraz kladen především na dvojmaticové hry, které názorně popisují neantagonistické hry. Teorie her, jak již bylo zmíněno na začátku, má mnoho aplikací v různých sférách. Velmi často se uplatňuje v ekonomických modelech. Oligopoly, popisované v šesté kapitole, jsou takovým příkladem. Cílem práce je přinést vhled do základních principů teorie her a zaujmout zejména praktickými aplikacemi. 7

8 Kapitola 2 Hry, rozhodovací situace 2.1 Základní pojmy Teorie her se zakládá na matematickém modelování a popisu rozhodovacích situací. K tomu, abychom mohli chápat pojem hry v matematickém významu, je důležité nadefinovat, co to vlastně znamená konflikt. Jedná se o speciální případ rozhodovací situace, ve které dochází ke střetu zájmů jejích účastníků. Rozhodovací situaci, ve které vystupují dva a více účastníků, pak nazýváme hrou. Výsledek každé rozhodovací situace ovlivňují svými rozhodnutími osoby, instituce nebo mechanismy. Tyto faktory budeme souhrnně nazývat hráči. Omezíme-li se na situace, kdy hráčů bude konečný počet, můžeme je označit čísly 1, 2,..., N a množinu Q = {1, 2,..., N} nazveme množinou hráčů. Každý hráč má v dané rozhodovací situaci na výběr z určité neprázdné množiny rozhodnutí. Rozhodnutí budeme v našem modelu nazývat strategiemi. Každý hráč i Q má tedy k dispozici jednu neprázdnou množinu X i, která obsahuje všechny jeho možné strategie (rozhodnutí). Množinu X i nazveme prostorem strategií hráče i. V dané rozhodovací situaci každý hráč i, i = 1, 2,..., N zvolí jednu určitou strategii x i ze svého prostoru strategií X i. Zvolené strategii všech hráčů vytváří N-tici x = [x 1, x 2,..., x N ]. Tato N-tice zvolených strategií přiřazuje každému hráči důsledek, který plyne z jeho účasti v rozhodovací situaci. Uvažujme situaci, kdy lze tento důsledek vyjádřit pomocí funkce nabývající číselných hodnot. Pak je možné každému hráči přiřadit funkci 8

9 M i (x), i = 1, 2,..., N, která charakterizuje důsledek rozhodovací situace pro hráče i. Funkce M i (x) definované na kartézském součinu prostorů strategií jednotlivých hráčů X = X 1 X 2... X N budeme nazývat výplatními funkcemi. Pokud M i (x) nabývá kladné hodnoty, chápeme to jako zisk hráče i, je-li M i (x) záporné číslo, interpretujeme to jako ztrátu hráče i o velikosti M i (x). Funkční hodnoty výplatních funkcí budeme dále v obecném případě nazývat výhry. 2.2 Způsoby popisu hry Rozhodovací situace lze popsat velmi obecně a zároveň každý speciální typ by se dal vhodně konkrétně namodelovat. Abychom mohli hovořit o těchto situacích výstižně a přesto dostatečně obecně, využijeme model rozhodovací situace zvaný hra v normálním tvaru. Pro další typy her pak je lepší zvolit popis pomocí modelu hry v explicitním tvaru případně hry ve tvaru charakteristické funkce. Čím se tyto modely liší objasníme dále v textu. Hra v normálním tvaru Hra v normálním tvaru je dána: 1. Seznamem hráčů Q, kteří jsou očíslovaní přirozenými čísly, tedy Q = {1, 2,..., N}. 2. Prostory strategií jednotlivých hráčů X 1, X 2,..., X N. 3. Výplatními funkcemi jednotlivých hráčů M 1 (x), M 2 (x),..., M N (x) definovanými na kartézském součinu prostorů strategií X = X 1 X 2... X N. Hru v normálním tvaru budeme krátce zapisovat jako posloupnost matematických objektů {Q; X 1, X 2,..., X N ; M 1 (x), M 2 (x),..., M N (x)} Příklad: Hra v normálním tvaru Uvažujme, že dva hráči hrají salónní hru, jejíž pravidla jsou následující: Hráč 1 volí libovolné reálné číslo z intervalu [0, 1] a hráč 2 libovolné reálné 9

10 číslo ze stejného intervalu nezávisle na hráči 1. Po zvolení čísel dostane hráč 1 od hráče 2 částku rovnou součtu obou zvolených čísel. Toto je jen jednoduchý pro praxi asi dosti hloupý příklad hry v normálním tvaru. Modelem této hry je hra v normálním tvaru {Q = {1, 2}; [0, 1], [0, 1]; M 1 (x) = x 1 + x 2, M 2 (x) = (x 1 + x 2 )}. Zatím i bez znalosti pojmu optimální strategie lze intuitivně určit, která strategie bude pro hráče nejvýhodnější. Pokud hráč 1 zvolí strategii x 1 = 1 a hráč 2 strategii x 2 = 0, výhra hráče 1 bude x 1 + x 2 = 1, což znamená, že hráč 1 musí hráči 2 vyplatit částku ve výši jedna jednotka. A kterýkoli z hráčů by se od své strategie ˆx 1 = 1, ˆx 2 = 0 odchýlil, zhoršil by svou výhru ve hře. Proto jsou dané strategie ˆx 1, ˆx 2 těmi nejlepšími možnými. (převzato z [6]) Hra v explicitním tvaru Obvyklé salónní hry a některé jiné rozhodovací situace probíhají tak, že strategie hráče je tvořena posloupností jednotlivých tahů realizovaných postupně a střídavě. Až po skončení hry lze tedy určit, jakou strategii hráč zvolil. Pod pojmem hra si zde můžeme představit nějaký soubor pravidel, jednu jejich realizaci nazveme partií hry. Popisujeme-li rozhodovací situaci, v níž je skutečnost, že se skládá z tahů, podstatná, pak k tomuto účelu použijeme matematický model zvaný hra v explicitním tvaru. Tento model popisuje danou situaci pomocí speciálního typu grafu, který se nazývá strom, souvislý graf bez cyklů. Takový graf pak nazýváme strom hry. Každý možný stav partie, takzvaná pozice, je ve stromu hry zastoupen jedním uzlem. K tomuto uzlu je přiřazen hráč, který je právě na tahu a z uzlu pak vychází tolik hran, kolik má tento hráč možných tahů. Pokud hráč, který je na tahu, provede jeden ze svých možných tahů, posune se hra na další pozici a na tahu je jiný hráč. Této pozici odpovídá jiný uzel, z nějž opět vychází tolik hran, kolik možností tahů má hráč na tahu. Projdeme-li strom hry od počátečního uzlu, tj. od uzlu, do kterého nevchází žádná hrana, získáme průběh jedné konkrétní partie hry. Pozice, ve kterých je rozhodnuto o výsledku a partie hry tedy končí jsou reprezentovány koncovými uzly. Pro celkový popis rozhodovací situace pomocí stromu hry je nutné určit preference hráčů mezi koncovými uzly. 10

11 Příklad: Hra v explicitním tvaru Mějme dva hráče, kteří mají před sebou dvě hromádky. Každá z nich sestává ze dvou kamenů. Hráč 1 musí odebrat z jedné hromádky jeden nebo dva kameny, tyto kameny se pak již do hry nevrací. Poté je na řadě hráč 2, který musí vzít z jedné (neprázdné) hromádky opět jeden nebo dva kameny. Na tahu je opět hráč 1 se stejnými možnými tahy jako prve. Prohrává ten hráč, který musí ze hry odebrat poslední kámen. Tato salónní hra je známá pod jménem nim. Strom této hry znázorňuje následující obrázek V V V 2 2V V 2 1V 3 Čísla v uzlech na tomto obrázku značí čísla hráčů, kteří jsou na tahu v pozici udávané uzlem. Čitatele zlomků v indexech číslech hráčů vyjadřují, o ko- 11

12 likátý tah daného hráče se jedná, jmenovatele pak udávají očíslování jednotlivých možností hráče v tomto tahu. Hodnoty u hran grafu odpovídají počtu odebraných kamenů. Pokud díky symetrii nezáleží na hromádce, ze které se kámen bere, je hrana popsána pouze počtem kamenů. Jestliže záleží na tom, ze které hromádky byly kameny odebrány, popíšeme hranu zlomkem, kde čitatel odpovídá počtu odebraných kamenů a jmenovatel udává, kolik bylo na hromádce kamenů před aktuálním tahem. Koncové uzly značí, který hráč partii vyhrál. 1V (i) znamená výhru pro hráče 1 a 2V (i) výhru pro hráče 2, kde i = 1, 2, 3. (převzato z [5]) Hra ve tvaru charakteristické funkce V jiných rozhodovacích situacích je podstatný fakt, že se účastníci této situace mohou sdružovat do skupin a tím zlepšovat své postavení. Tyto skupiny se nazývají koalice. Pokud je zřejmé, jak se budou hráči sdružení do koalice v dané situaci chovat, pak je k popisu vhodné použít dále popsaný model hry ve tvaru charakteristické funkce. Stejně jako u hry v normálním tvaru, označujeme účastníky takových situací čísly. Koalicí pak rozumíme podmnožinu množiny Q, kde čísla v ní obsažená odpovídají hráčům v koalici. Máme-li například množinu hráčů Q = {1, 2, 3, 4}, možné koalice jsou {2}, {1, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} atd. Necht K 1, K 2,..., K s jsou všechny možné koalice z dané množiny hráčů Q. Pak každé z těchto koalic přiřadíme číslo v(k j ), j = 1, 2,..., s udávající celkovou sumu, kterou si je koalice schopná zajistit bez spolupráce s hráči mimo ni. Funkci v(k) definovanou na množině všech koalic rozhodovací situace nabývající číselných hodnot nazveme hrou ve tvaru charakteristické funkce. Příklad: Hra ve tvaru charakteristické funkce Mějme situaci, kdy se čtyři firmy ucházejí o získání zakázky na investiční akci. K realizaci zakázky a zároveň k jejímu získání je potřeba mít jednak jisté technické vybavení a jednak odborné znalosti. Firma 1 (hráč 1) má sice technické vybavení, ale nemá odborné znalosti. Firmy 2, 3, 4 (hráči 2, 3, 4) mají zčásti technické vybavení a zčásti odborné znalosti. Je tedy nutné, aby se k získání zakázky alespoň některé z firem spojily. Necht zisk ze získané 12

13 a realizované zakázky má hodnotu 100. Předpokládejme, že každá z firem smí být v nejvýše jedné z koalic utvořené z množiny všech firem Q = {1, 2, 3, 4} a může vzniknout všech možných koalic. (Množina Q má 2 4 podmnožin a prázdná množina nepopisuje žádnou koalici.) Zakázku a výhru ve výši 100 mohou získat ty koalice, v nichž je firma 1 a alespoň jedna z firem 2, 3, 4, protože takové koalice již mají potřebné technické vybavení i odborné znalosti. Dále pak může zakázku získat i koalice složená z firem 2, 3, 4 a také koalice všech firem {1, 2, 3, 4}. Ostatní koalice zakázku získat nemohou a jejich výhra je tím pádem nulová. Charakteristická funkce popsané situace je tedy definována na oboru s = 15 prvky a má tyto hodnoty: v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({1, 4}) = v({1, 2, 3}) = v({1, 2, 4}) = v({1, 3, 4}) = = v({2, 3, 4}) = v({1, 2, 3, 4}) = 100; v({1}) = v({2}) = v({3}) = v({4}) = v({2, 3}) = v({2, 4}) = v({3, 4}) = 0. Při popisu situace pomocí hry ve tvaru charakteristické funkce se nezajímáme o to, jak budou firmy, které utvořily koalici, zakázku konkrétně realizovat. Může nás ovšem zajímat, jak se o celkový zisk 100 členové koalice, jenž zakázku získá, podělí. Vyvstává zde také otázka, zda firma 1 nemá v této situace silnější postavení, které plyne z toho, že je až na jednu výjimku zastoupena ve všech realizovatelných koalicích. Dále je patrné, že čím více členů bude v koalici, která zakázku získá, tím bude nutné dělit zakázku na více dílů, které ovšem nemusí být stejné, nebot postavení firem není srovnatelné. (převzato z [5]) 13

14 Kapitola 3 Klasifikace rozhodovacích situací Cílem teorie her je nalezení optimálních strategií hráčů v různých rozhodovacích situacích. K tomu je nutné co nejpřesněji specifikovat všechny podmínky, za kterých hráči své strategie volí. To vede k rozdělení rozhodovacích situací do různých tříd, jejichž matematický popis je pak jednodušší. Třídění lze provádět podle různých kritérií, rozhodující jsou pak hlavně tato: 1. počet hráčů, 2. přítomnost či nepřítomnost náhodných faktorů, 3. informovanost hráčů v okamžiku jejich rozhodování, 4. počty možných strategií, 5. způsob generování výhry, 6. možnost přerozdělení výhry. 14

15 3.1 Dělení podle počtu hráčů Podle toho, kolik je ve hře účastníků (hráčů), dělíme rozhodovací situace následujícím způsobem. Jeden hráč (N = 1) - závisí-li rozhodnutí v dané rozhodovací situaci pouze na jednom hráči, pak má tento hráč plně pod kontrolou důsledky svých rozhodnutí. Tyto důsledky nijak neovlivňují další činitelé, které bychom mohli považovat za hráče. Takovou situaci lze modelovat pomocí matematického programování. Všechny možné strategie hráče představují vektory x = [x 1, x 2,..., x n ], které musí splňovat soustavu podmínek typu g 1 (x) b 1 g 2 (x) b 2 g m (x) b m. V reálných aplikacích tyto podmínky představují omezení, vyplývající z dostupného množství zdrojů - jejich zásoba je udána čísly b i, kde i = 1, 2,..., m. Užitek jediného hráče je určen výplatní funkcí M 1 (x), kterou je ovšem pro tento případ možné psát jako M(x), protože na rozhodnutí má vliv pouze tento jeden hráč. V souvislosti s významem této funkce v modelu matematického programování, budeme M(x) nazývat také účelovou funkcí. Cílem úlohy bude vždy najít pomocí matematického programování takové rozhodnutí x, které účelovou funkci M(x) bud maximalizuje (pokud jde o ukazatel zisku, výkonu a podobně) nebo minimalizuje (pokud jde o ukazatel nákladů, výdajů a podobně). K výše uvedeným podmínkám se často ještě přidávají podmínky x 0, nebot reálná (většinou ekonomická) interpretace složek vektoru M(x) je někdy možná jen, pokud jsou tyto složky nezáporné. Mohou totiž představovat rozsah výroby určitého typu výrobku, objem přepravovaných výrobků apod. 15.

16 Abychom zachovali obecný tvar modelu matematického programování, je formálně možné zahrnout podmínku x 0 do podmínek výše. Zvolíme g i (x) = x i, b i = 0 pro i = 1, 2,..., n. Vlastní podmínky omezených zdrojů atd. pak indexujeme i = n + 1, n + 2,..., n + m. Pokud označíme X množinu všech x splňujících uvedené podmínky a položíme Q = {1}, pak lze říci, že úloha matematického programování je hra v normálním tvaru {Q; X; M(x)}. Cílem matematického programování je nalezení extrému funkce M(x) na množině X, zatímco cílem teorie her je nalezení optimální strategie (proto také matematické programování není většinou považováno za součást teorie her). Tato metoda nám k nalezení řešení úloh teorie her pomáhá následujícím způsobem. Je-li účelová funkce M(x) maximalizačního typu, definujeme optimální strategii jako takovou strategii ˆx, pro kterou platí ˆx = arg max x X M(x). Dva hráči (N = 2) - rozhodovací situaci, ve které vystupují dva a více hráčů jsme nazvali hrou. V teorii her je velká pozornost věnována hrám dvou hráčů. Pro případ N = 2 je totiž možné jednoduše popsat některé pojmy, které jsou pro hry více než dvou hráčů složité. Základní dělení her dvou hráčů je na: antagonistické hry, neantagonistické hry. Hrám dvou hráčů se budeme podrobně věnovat v kapitolách 4 a 5. Více než dva hráči (N > 2) - v této situaci je již možné uvažovat, zda by nebylo přípustné, aby se dva nebo více hráčů sdružilo do koalice a zlepšilo si tak pravděpodobnost na lepší výsledek. Podle toho, zda připouštíme či nepřipouštíme možnost tvoření koalic, pak hry dvou a více hráčů dělíme na: kooperativní hry - tvorba koalic je umožněna, nekooperativní hry - tvorba koalic se nepřipouští. 16

17 3.2 Dělení podle přítomnosti či nepřítomnosti náhodných faktorů V některých rozhodovacích situacích hrají zásadní roli náhodné mechanismy. Náhodný mechanismus je možné uvažovat jako dalšího hráče v rozhodovací situaci, který ovšem nemůže provádět logický rozbor této situace a cíleně se snažit ovlivňovat výši své výhry. Hráče dělíme podle možnosti provádění logické analýzy na: Inteligentní hráče - ti provádí logické rozbory rozhodovacích situací a volí své strategie tak, aby maximalizovali svou výhru. Jsou to tedy racionálně uvažující hráči. Neinteligentní hráče - ti jsou pouze formálními symboly vyjadřujícími vliv náhodného mechanismů. p-inteligentní hráče - stupeň inteligence, který tito hráči používají pro volbu svých strategií, lze vyjádřit pomocí parametru p, který je například z intervalu [0, 1], za předpokladu, že p = 0 znamená neexistenci inteligentní složky - tedy neinteligentního hráče a p = 1 značí inteligentního hráče, p-inteligentního hráče můžeme chápat jakožto kombinaci racionálně uvažujícího rozhodovatele a náhodného mechanismu. Vystupují-li v rozhodovací situaci alespoň dva inteligentní hráči, nazveme tuto situaci konfliktem. V konfliktu mohou vedle inteligentních hráčů figurovat i hráči neinteligentní nebo p-inteligentní. Konfliktem rozumíme i rozhodovací situaci, ve které je optimální strategií inteligentních hráčů vzájemná spolupráce. Vystupuje-li v rozhodovací situaci pouze jeden inteligentní a jeden neinteligentní hráč, mluvíme o: Rozhodování za rizika - pokud inteligentní hráč zná rozložení pravděpodobností, se kterými neinteligentní hráč volí své strategie. Rozhodování při nejistotě - pokud rozložení pravděpodobností není inteligentnímu hráči známo. Je možné ukázat, že bez újmy na obecnosti lze všechny náhodné vlivy shrnout tak, že se v konfliktu vyskytuje nejvýše jeden neinteligentní hráč, jehož 17

18 rozložení pravděpodobností je známo, a jeden hráč s neznámým rozložením pravděpodobností. Příklad: Rozhodování za rizika - Petrohradský paradox Petr hází mincí a pokračuje v tom tak dlouho, dokud nepadne hlava. Zavázal se, že dá Pavlovi jeden dukát, padne-li hlava v prvním hodu, dva dukáty, padne-li ve druhém, čtyři, padne-li ve třetím, osm, padne-li hlava ve čtvrtém atd. Tedy s každým dalším hodem se počet dukátů, které musí Petr zaplatit, zdvojnásobí. Předpokládejme, že se snažíme určit hodnotu Pavlova očekávání. Rozumný člověk by rád prodal svou účast ve hře za dvacet dukátů. Střední hodnota výhry je: ( ) ( ) 1 n n 1. = =. Paradox: Očekávaná hodnota výhry je sice nekonečná, ale intuitivně dá člověk přednost poměrně skromné částce výměnou za účast ve hře. Zde vypočítaná střední hodnota totiž uvažuje velmi mnoho opakování hry, zatímco v reálném životě se hra hraje většinou jednou případně pouze několikrát. (převzato z [3]) 3.3 Dělení podle informovanosti hráčů Existují konflikty, ve kterých strategie hráčů tvoří posloupnosti tahů. Zde je nutné oddělit 2 typy her podle informovanosti hráčů: Hry s úplnou informací - případ, kdy hráči mají před každým tahem přesnou informaci o všem, co se doposud v partii událo. Příkladem jsou šachy nebo dáma. Hry s neúplnou informací - pokud rozložení pravděpodobností není inteligentnímu hráči známo nebo jsou informace o dosavadním průběhu hry jsou pouze částečné. Jako příklad lze uvést karetní hru žolíky nebo kanasta - zde hráči vědí, jaké karty mají sami v ruce a jaké karty byly odehrány, nemají ovšem informace o tom, jaké karty drží zbylí hráči a jaké ještě nejsou ve hře. 18

19 Dělení na hry s úplnou a neúplnou informací platí i pro modely reálných konfliktů, nejen pro modely salónních her. 3.4 Dělení podle počtu možných strategií Při hledání optimálních strategií hráčů je důležité rozlišit případy, kdy všichni hráči mají konečně mnoho strategií a kdy nastává jiná situace. Dané rozhodovací situace pak označujeme jako: Konečné hry - pokud všichni hráči v modelu mají pouze konečný počet možných strategií. Nekonečné hry - pokud alespoň jeden z účastníků hry má nekonečně mnoho možných strategií. V reálných aplikacích teorie her závisí volba popisu pomocí konečné či nekonečné hry na zhodnocení dané situace tvůrcem modelu. Všechny množiny reálných rozhodnutí jsou vždy konečné. Dělíme-li peníze nebo zdroje v reálné situaci, neprovádíme toto dělení na setiny korun nebo gramů. Je-li strategie volbou správného okamžiku, máme zde omezenou přesnost stanovení času a tedy i konečnou množinu možností. Někdy jsou ovšem při matematickém popisu práce s množinami, které obsahují tisíce prvků, výpočty velmi náročné. Je tedy výhodnější uvažovat, že množiny strategií jsou nekonečné a aplikovat na model poznatky spojité matematiky. 3.5 Dělení podle způsobu generování výhry Při klasifikaci rozhodovacích situacích je nutné zohlednit také způsob, jakým se generují výhry, které hráči nakonec získají. Při popisu situace pomocí modelu hry v normálním tvaru se rozhodovací situace dělí podle způsobu generování výhry na: Hry s konstantním součtem - to jsou všechny modely, ve kterých platí M 1 (x) + M 2 (x) M N (x) = konst pro všechna x X = X 1 X 2... X N. 19

20 Je-li konst = 0, jedná se o speciální případ hry s konstantním součtem, kdy si hráči mezi sebou přerozdělují výhry a prohry navzájem. Tyto hry jsou tedy pro účastníky antagonistického charakteru. Hry s nekonstantním součtem - tato skupina zahrnuje modely, u nichž celkový objem výhry závisí na volbách strategií jednotlivých hráčů. Tedy platí, že M 1 (x) + M 2 (x) M N (x) = ϕ(x), kde ϕ je funkce definovaná na X = X 1 X 2... X N. U tohoto typu her se vyplatí uvažovat o spolupráci. 3.6 Dělení podle možnosti přerozdělení výhry Zabýváme-li se okolností možného přesunu výher, rozlišujeme: Hry s nepřenosnou výhrou - popisují rozhodovací situace, v nichž si každý hráč musí ponechat přímo to, co je mu přiřazeno hodnotou jeho výplatní funkce, tedy částku M i (x) pro i = 1, 2,..., N. Tento model umožňuje spolupráci hráčů při volbě strategií, je však nutné, aby se tato kooperace projevila přímo zvýšením hodnot výplatních funkcí u všech hráčů, kteří se na spolupráci podílejí. Hry s přenosnou výhrou - popisují situace, ve kterých připouštíme, aby si hráči poté, co získají částky příslušné jejich výplatním funkcím, tyto sumy přerozdělili. Tak dostáváme nový způsob možné volby strategií, kdy se jeden hráč rozhodne pro strategii, která pro něj primárně není výhodnější, než kdyby nespolupracoval, ovšem způsobí zvýšení výplatní funkce jiného hráče. Ten pak přesunem části výhry, kterou získal, odměňuje prvního hráče za spolupráci. Toto je ovšem smysluplné jen za předpokladu, že si polepší oba hráči. Tímto jsme klasifikovali základní typy rozhodovacích situací podle nejdůležitějších vlastností (viz. [5]). Někdy je potřeba provést ještě podrobnější rozlišení, ale to lze nejlépe u konkrétních příkladů podle situace. 20

21 Kapitola 4 Antagonistické hry 4.1 Optimální strategie Rozhodovací situaci, které se účastní dva inteligentní hráči, jenž se po volbě svých strategií dělí o pevnou částku, jejíž výše není závislá na tom, jaké ze strategií vybrali, nazveme antagonistický konflikt. Modelem antagonistického konfliktu je hra v normálním tvaru s konstantním součtem, tedy {Q = {1, 2}; X 1, X 2 ; M 1 (x 1, x 2 ), M 2 (x 1, x 2 )}, kde pro všechna (x 1, x 2 ) X 1 X 2 platí M 1 (x 1, x 2 ) + M 2 (x 1, x 2 ) = konst. Hra v normálním tvaru, která tuto podmínku splňuje, se nazývá antagonistická hra. Pro tento typ hry (kdy N = 2) zavedeme jednodušší značení bez indexů: necht tedy X 1 = X, X 2 = Y, x jsou prvky X a y jsou prvky Y. Pro antagonistickou hru budeme psát {Q = {1, 2}; X, Y ; M 1 (x, y), M 2 (x, y)}, kde M 1 (x, y) + M 2 (x, y) = konst pro všechna (x, y) X Y. Příklad: Uvažujme nyní antagonistickou salónní hru, která má v různých modifikacích ekonomické a vojenské interpretace. 21

22 Na stole leží k hromádek peněz, které jsou nějak seřazeny a očíslovány 1, 2,..., k. Hodnotu peněz na i-té hromádce označme s i, i = 1, 2,..., k. Hráč 1 má krabičku zápalek s a zápalkami a hráč 2 má krabičku s b zápalkami. Oba účastníci hry znají částky na hromádkách i hodnoty a a b. Každý hráč přidělí tajně zápalky ze své krabičky k jednotlivým hromádkám. Poté si rozdělení zápalek navzájem ukáží. O částky na hromádkách se rozdělí v poměru počtu jimi přiřazených zápalek. Pokud u nějaké z hromádek není přiřazena jedním z hráčů žádná zápalka, získá hráč, který má u hromádky alespoň jednu zápalku celou částku. Jestliže k některé hromádce nepřiřadí žádný hráč žádnou zápalku, rozdělí si částku z ní napůl. Každý z hráčů se snaží přidělit zápalky k hromádkám tak, aby maximalizoval svou celkovou výhru tedy součet výher z jednotlivých hromádek. Model takové hry ve tvaru hry v normálním tvaru vypadá následovně: X = {x = (x 1, x 2,..., x k ); x 1 + x x k = a, x i 0, i = 1, 2,..., k}, Y = {y = (y 1, y 2,..., y k ); y 1 + y y k = b, y i 0, i = 1, 2,..., k}. Vektory x a y mají celočíselné složky, které vyjadřují počty zápalek u jednotlivých hromádek. Jestliže je u i-té hromádky přiřazeno x i zápalek od hráče 1 a y i zápalek od hráče 2 a pokud x i + y i 0, získá hráč 1 částku x i x i + y i s i a hráč 2 částku Tedy celkem kde x i!! = x i + y i y i x i + y i s i. k x i M 1 (x, y) =!!s i, i=1 x i + y i k y i M 2 (x, y) =!!s i, i=1 x i + y i x i x i + y i pro x i + y i 0 = 1 2 pro x i + y i = 0, 22

23 y i!! = x i + y i y i x i + y i pro x i + y i 0 = 1 2 pro x i + y i = 0. je Skutečně jde o antagonistický konflikt, nebot pro všechna (x, y) X Y (převzato z [5]) k M 1 (x, y) + M 2 (x, y) = s i = konst. i=1 I v antagonistické hře má smysl zabývat se tím, jaké strategie jsou pro jednotlivé hráče optimální. To, že jsme v situaci N = 2, znamená, že jakékoli snížení výhry jednoho hráče je současně zvýšením výhry hráče druhého. Tedy strategie ˆx X a ŷ Y jsou optimálními strategiemi hráčů 1 a 2, pokud si při volbě jiné strategie x X nemůže hráč 1 zvýšit svou výhru a podobně při volbě jiné strategie y Y si nemůže polepšit hráč 2. Poznámka: Optimální strategie v tomto smyslu se nazývají rovnovážné, ale obecně optimální strategií rozumíme strategii s v nějakém významu užitečnými vlastnostmi. Definice. Strategie ˆx X, ŷ Y v antagonistické hře {Q = {1, 2}; X, Y ; M 1 (x, y), M 2 (x, y)}, nazveme rovnovážné strategie, jestliže platí M 1 (x, ŷ) M 1 (ˆx, ŷ) M 2 (ˆx, y) M 2 (ˆx, ŷ) současně pro všechna x X a y Y. Bod (ˆx, ŷ) se pak nazývá rovnovážný bod hry. (převzato z [6]) Platí-li ve hře s konstantním součtem M 1 (x, y) + M 2 (x, y) = 0, pak tuto hru nazveme hrou s nulovým součtem. U těchto her volíme vhledem k tomu, že M 1 (x, y) = M 2 (x, y), jednodušší zápis antagonistické hry: {Q = {1, 2}; X, Y ; M(x, y)}, 23

24 kde M(x, y) = M 1 (x, y). Podmínky, které musí splňovat rovnovážné strategie, pak mají tvar M(x, ŷ) M(ˆx, ŷ) M(ˆx, y). Číslo M(ˆx, ŷ) se nazývá cena hry a vyjadřuje sumu, kterou získá hráč 1, pokud oba hráči vyberou své optimální strategie. Příklad: Uvažujme hru s nulovým součtem jako v příkladu na straně 9. Takovou hru nyní můžeme vyjádřit zápisem ve tvaru {Q = {1, 2}; [0, 1], [0, 1]; M 1 (x, y) = x + y, M 2 = (x + y)} V této hře představuje dvojici rovnovážných strategií x = 1 a y = 0, nebot současně platí x y (1 + 0). Nalezení rovnovážných strategií však není vždy zdaleka tak jednoduché. Neexistuje žádný univerzální návod a často se využívá intuice a postupů, které budou uvedeny u typů her, na něž je vhodné je aplikovat. Poznámka: Rovnovážné strategie jsou definovány jako dvojice. Nepřipouštíme tedy, že by jeden hráč rovnovážnou strategii měl a druhý ne. Při hledání rovnovážných strategií se často využívá poznatku, že ke každé hře s konstantním součtem {Q = {1, 2}; X, Y ; M 1 (x, y), M 2 (x, y)}, existuje strategicky ekvivalentní hra v normálním tvaru s nulovým součtem. Tím míníme, že každá dvojice rovnovážných strategií ˆx, ŷ původní hry je zároveň dvojicí rovnovážných strategií v odpovídající hře s nulovým součtem a naopak. Ekvivalence her s konstantním a nulovým součtem souvisí s tvrzením, že ze strategického pohledu nezáleží na tom, zda hráči v antagonistické hře usilují o maximalizaci vlastní výhry nebo o maximalizaci rozdílu mezi svou a protivníkovou výhrou. O tom hovoří následující věta. Věta 1. Necht hra {Q = {1, 2}; X, Y ; M 1 (x, y), M 2 (x, y)}, je hra s konstantním součtem rovným K. Potom ˆx, ŷ jsou rovnovážné strategie v této hře tehdy a jen tehdy, jsou-li ˆx, ŷ rovnovážné strategie ve hře s nulovým součtem {Q = {1, 2}; X, Y ; M(x, y)}, kde M(x, y) = M 1 (x, y) M 2 (x, y). (převzato z [5]) 24

25 Důkaz. Mějme hru {Q = {1, 2}; X, Y ; M 1 (x, y), M 2 (x, y)}. Necht ˆx, ŷ jsou rovnovážné strategie v této hře. Z definice rovnovážné strategie (první nerovnost) dostaneme Protože M 1 (x, ŷ) M 2 (x, ŷ) M 1 (ˆx, ŷ) M 2 (x, ŷ). (4.1) K M 1 (x, ŷ) = M 2 (x, ŷ) M 2 (ˆx, ŷ) = K M 1 (ˆx, ŷ), dostáváme z (4.1) nerovnost M 1 (x, ŷ) M 2 (x, ŷ) M 1 (ˆx, ŷ) M 2 (ˆx, ŷ), (4.2) což je pro M(x, y) = M 1 (x, y) M 2 (x, y) nerovnost M(x, ŷ) M(ˆx, ŷ). Druhou nerovnost dostaneme analogicky. Necht naopak ˆx, ŷ jsou rovnovážné strategie ve hře s nulovým součtem {Q = {1, 2}; X, Y ; M(x, y)}. Potom platí M(x, ŷ) M(ˆx, ŷ) M(ˆx, y). Z toho plyne, že platí i nerovnost (4.2), která je levou částí tohoto vztahu pro M(x, y) = M 1 (x, y) M 2 (x, y). Vztah (4.2) lze přepsat jako M 1 (x, ŷ) (K M 1 (x, ŷ)) M 1 (ˆx, ŷ) (K M 1 (ˆx, ŷ)). Odtud již dostáváme nerovnost M 1 (x, ŷ) M 1 (ˆx, ŷ). Druhou nerovnost odvodíme obdobně. Tím je věta dokázána. (viz. [5]) 4.2 Maticové hry Maticové hry jsou základním nástrojem modelování antagonistických her. Takové situace jsou typické případy vojenských střetnutí, salónních her a některých situacích v ekonomické sféře. Definice. Maticovou hrou nazveme hru dvou hráčů v normálním tvaru s nulovým součtem, kde oba hráči jsou inteligentní a mají konečně mnoho strategií. (převzato z [1]) 25

26 V modelu maticové hry je možné strategie hráčů bez újmy na obecnosti očíslovat přirozenými čísly a dále s nimi pod těmito čísly pracovat. Položme tedy pro m, n N. X = {1, 2,..., m}, Y = {1, 2,..., n} Výplatní funkce M(x, y) nabývá pouze mn hodnot, které nemusí být navzájem různé. Položme nyní M(x, y) = a xy, pro x X, y Y, nyní můžeme výplatní funkci úplně popsat pomocí matice typu (m, n) s prvky a xy, kde čísla řádků značí strategie hráče 1 a čísla sloupců strategie hráče 2. Tuto matici nazveme maticí hry a budeme ji psát ve tvaru A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Pro lepší přehlednost se dále v textu přizpůsobíme zápisu maticového počtu a prvky matice hry budeme značit a ij místo a xy. Mluvíme pak o strategiích i a j. Nyní se nabízí otázka, jak hledat rovnovážné strategie v takto zadané maticové hře. K jejímu vyřešení nám pomůže následující pojem. Definice 1. Mějme maticovou hru s maticí hry A = (a ij ) i=1,...,m; j=1,...,n. Jestliže v matici A existuje prvek (i, j ) takový, že pro všechna i {1,..., m} j {1,..., n} a ij a i j a i j, říkáme této dvojici sedlový prvek matice. (převzato z [1]). Sedlový prvek je tedy současně nejmenší prvek v řádku, ve kterém se nachází, a současně největší ve sloupci, ve kterém se nachází. Jestliže sedlový prvek existuje, hodnota a i j = max i min j a ij = min j 26 max a ij i

27 představuje cenu hry. Dvojice strategií (i, j ) je pak rovnovážným bodem hry. Příklad: Uvažujme hru s maticí min j a ij max i min j. a ij = 4 = min max a ij = a 13 j i Cena hry je rovna 4 a dvojice strategií (1,3) je rovnovážným bodem hry. Při hledání sedlového prvku můžeme postupně vyzkoušet všech mn prvků matice hry. S ohledem na počet potřebných srovnávání velikostí jednotlivých prvků, je úspornější následující postup: Nejprve v každé řádce označíme nejmenší prvek podtržením dole, pak označíme podtržením nahoře vždy největší prvek sloupce. Je-li takových prvků více, označíme všechny. Pokud je ve výsledku u nějakého prvku podtržení nahoře i dole, nalezli jsme sedlový prvek Příklad: Uvažujme hru 2 protivníků, kde oba hráči současně a nezávisle na sobě volí jednu stranu mince. Určí-li oba stranu s orlem (O) nebo oba stranu s pannou (P), zaplatí hráč 2 hráči 1 jednu peněžní jednotku výhry. V jiných případech zaplatí jednu peněžní jednotku hráč 1 hráči 2. Modelem této konfliktní situace je maticová hra s maticí O P O P ( ) 1 1, 1 1 kde označení řádků odpovídá volbám hráče 1 a označení sloupců volbám hráče 2. V takové matici zřejmě neexistuje sedlový prvek. V dané situaci nelze najít žádný jednoznačný návod, jaký řádek nebo sloupec volit. 27

28 Kdyby takový návod existoval, mohl by z této znalosti těžit protihráč. Rozumné by v takové situaci bylo volit mezi orlem a pannou zcela náhodně s pravděpodobnostmi 1/2, tedy například mincí házet. (převzato z [5]) Existují ale také konfliktní situace, ve kterých neexistuje sedlový bod, a u nichž není možné jednoznačně říct s jakou pravděpodobností jednotlivé strategie volit. Například u hry s maticí ( K nalezení řešení i pro takové situace musíme náš model maticových her rozšířit následujícím způsobem. Definice. Mějme maticovou hru s prostory strategií X = {1, 2,..., m}, Y = {1, 2,..., n} a maticí hry A = ) a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn.. Hru dvou hráčů s nulovým součtem s prostory strategií X s = Y s = a s výplatní funkcí { } m x; x T = [x 1, x 2,..., x m ], x i = 1, x o, i=1 { } n y; y T = [x 1, x 2,..., x n ], x i = 1, y o i=1 m n M s (x, y) = x i a ij y j = x T Ay i=1 j=1 nazveme smíšeným rozšířením původní maticové hry. Prvky z původního prostoru strategií X a Y budeme nazývat ryzími strategiemi a prvky z prostorů X s a Y s smíšenými strategiemi. (převzato z[2]) 28

29 Poznámka: Smíšená strategie x X s je vlastně rozložením pravděpodobností na prostoru ryzích strategií X. Zároveň však ryzí strategie leží také v prostoru X s, protože například smíšená strategie [1, 0,..., 0] znamená, že s pravděpodobností 1, tedy skoro jistě, zvolíme i = 1 a ostatní ryzí strategie volíme s pravděpodobností 0. Následující věta hovoří o velmi důležitém poznatku, že ve smíšeném rozšíření maticové hry lze vždy najít řešení všech konečných antagonistických problémů. Věta 2. Základní věta maticových her Smíšené rozšíření každé maticové hry má řešení v rovnovážných strategiích. Tedy pro každou matici A existují dva vektory ˆx X s a ŷ Y s, tak že platí (převzato z [5]) x T Aŷ ˆx T Aŷ ˆx T Ay. (4.3) K důkazu této věty využijeme následující tvrzení, které má ovšem svůj význam i samo o sobě. Věta 3. Rovnovážné strategie smíšeného rozšíření hry se nemění, pokud přičteme ke každému prvku matice hry totéž kladné nebo záporné číslo c. Cena hry s takto pozměněnou maticí je v + c, kde v je cena původní hry. (převzato z [5]) Důkaz. Necht ˆx X s a ŷ Y s jsou rovnovážné strategie smíšeného rozšíření hry s maticí A. Pro tyto strategie platí x T Aŷ ˆx T Aŷ ˆx T Ay. Je-li E matice typu (m, n) složená ze samých jedniček, pak platí x T Ey = 1. Platí, že Ze vztahu (4.3) dostáváme: c = cx T Eŷ = cˆx T Eŷ = cˆx T Ey. x T Aŷ + c ˆx T Aŷ + c ˆx T Ay + c x T Aŷ + cx T Eŷ ˆx T Aŷ + cˆx T Eŷ ˆx T Ay + cˆx T Ey x T (A + ce)ŷ ˆx(A + ce)ŷ ˆx(A + ce)y. 29

30 Poslední nerovnosti jsou obdobou nerovností (4.3) pro matici A + ce. Tedy ˆx a ŷ jsou rovnovážnými strategiemi i ve hře s maticí A + ce. A tím je věta dokázána. (viz. [5]) Tato věta vlastně říká, že rozdíl mezi hrou s maticí A a A + ce je pouze v tom, že hráči ve druhém případě po skončení konfliktu dostanou případně zaplatí částku c, na což ovšem volba strategií nemá žádný vliv. Důkaz. (Základní věta maticových her) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že matice hry má všechny prvky kladné. Kdyby tomu tak nebylo, přičetli bychom k matici vzhledem k platnosti Věty 3 dostatečně velké kladné číslo a tím bychom kladnost prvků zajistili. Taková operace nemá vliv na strategické úvahy. Potom jistě existuje kladné číslo v tak, že pro libovolné pevné ˆx X s a všechna y Y s platí v ˆx T Ay. (4.4) Existence plyne z Weierstrassovy věty (lze najít v [1]), nebot funkce f(y) = ˆx T Ay je všude v Y s spojitá a kladná a Y s je kompaktní množina. K tomu, aby nerovnost (4.4) platila pro všechna y Y s, stačí, aby platila pro všechna ỹ Y s tvaru [1, 0,..., 0], [0, 1,..., 0],..., [0, 0,..., 1], tedy pro všechny ryzí strategie. Pro ověření stačí provést lineární kombinace nerovností, které vzniknou, když do nerovnosti (4.4) dosadíme uvedené ryzí strategie. Koeficienty lineární kombinace jsou složky obecné strategie y T = [y 1, y 2,..., y n ]: a 11ˆx 1 + a 21ˆx a m1ˆx m v (ỹ = [1, 0,..., 0]),. (4.5) a 1nˆx 1 + a 2nˆx a mnˆx m v (ỹ = [0, 0,..., 1]). Vektor x bude optimální strategií hráče 1 a v bude cenou, jestliže bude platit současně soustava (4.5) a ˆx 1 + ˆx ˆx m = 1, ˆx 0 (4.6) a jestliže se podaří určit ŷ tak, aby pro všechna x X s platila i druhá část podmínek (4.3), tj. x T Aŷ v. (4.7) 30

31 Vztah (4.6) bude platit, jestliže budou platit podmínky obdobné k (4.5) získané opět dosazením do ryzích strategií x X s do (4.7): a 11 ŷ 1 + a 12 ŷ a 1n ŷ n v ( x = [1, 0,..., 0]),. (4.8) a m1 ŷ 1 + a m2 ŷ a mn ŷ m v ( x = [0, 0,..., 1]). Aby y byla strategie musí zároveň platit ŷ 1 + ŷ ŷ n = 1, ŷ 0 (4.9) Kdyby bylo možné dokázat, že pro každou matici A má soustava podmínek (4.5),(4.6),(4.8),(4.9) řešení, důkaz by byl hotový. V uvedené soustavě je nežádoucí, že neznámá v se vyskytuje na druhé straně nerovností než zbývající neznámé. Tento problém lze odstranit zavedením nových nezáporných proměnných vztahy p i = ˆx i v q j = ŷj v Pak lze podmínky (4.5) přepsat do tvaru a podmínky (4.8) do tvaru pro i = 1, 2,..., m, (4.10) pro j = 1, 2,..., n. a 11 p 1 + a 21 p a m1 p m 1. (4.11) a 1n p 1 + a 2n p a mn p m 1 a 11 q 1 + a 12 q a 1n q n 1. (4.12) a m1 q 1 + a m2 q a mn q m 1. Nahlížejme nyní na soustavu (4.11) jako na omezení úlohy lineárního programování, která má účelovou funkci p 1 + p p m (= 1/v), (4.13) 31

32 kterou chceme minimalizovat. Na soustavu nerovností (4.12) se budeme dívat jako na omezení úlohy k soustavě (4.11), (4.13) duální. Aby šlo skutečně o duální úlohu, musí k ní příslušet účelová funkce tvaru a tuto funkci je třeba maximalizovat. q 1 + q q n (= 1/v) (4.14) Transformací (4.10) se zachovává nezápornost proměnných, a tedy i proměnné úloh ((4.11),(4.13)) a ((4.12),(4.14)) nezáporné. Vzhledem k tomu, že úlohy ((4.11),(4.13)) a ((4.12),(4.14)) jsou zkonstruovány z matice A, která má vesměs kladné prvky, mají zřejmě obě přípustná řešení. V omezeních (4.11) stačí vzít vektor p s dostatečně velkými složkami, v omezeních (4.12) je přípustné například řešení q = 0. Z teorie duality lineárního programování pak vyplývá, že obě úlohy mají i optimální řešení a optimální hodnoty obou účelových funkcí se navzájem rovnají. Je také vidět, že společná hodnota účelových funkcí není rovna nule, nebot řešení p 1 = p 2 =... = p m = 0 není přípustné pro (4.11). Jestliže mají řešení každé dvě úlohy typu ((4.11),(4.13)) a ((4.12),(4.14)), pak mají řešení i všechny úlohy typu ((4.5),(4.6)) a ((4.8),(4.9)), které již přímo dávají hledané rovnovážné strategie, což jsme chtěli dokázat. (viz. [5]) Z tohoto konstruktivního důkazu přímo získáváme metodu pro nalezení rovnovážných strategií maticových her. Po vyřešení úloh lineární programování ((4.11),(4.13)) a ((4.12),(4.14)) z nich pomocí transformace (4.10) vypočítáme rovnovážné strategie. Cenu hry pak obdržíme jako převrácenou optimální hodnotu účelové funkce. Poznámka: Má-li matice A jediný sedlový prvek, vyjde nám rovnovážná strategie typu [0, 0,..., 1,..., 0], tj. nějaká ryzí strategie. Pokud budeme k řešení úloh lineárního programování využívat simplexové metody, bude nám stačit vyřešení pouze jedné z dvojice úloh, protože tato metoda dává současně řešení primární i duální úlohy. Výhodnější je zabývat se řešením úlohy ((4.8),(4.9)), protože zde není nutné zavádět pomocné proměnné k zajištění výchozí jednotkové báze. Vyřešením této úlohy 32

33 a příslušnou transformací získáváme rovnovážné strategie hráče 2, rovnovážné strategie prvního hráče jsou pak řešením úlohy duální. Příklad: Výpočet rovnovážných strategií podle věty 2 Mějme hru s maticí ( ). (4.15) Tato hra nemá řešení v ryzích strategiích, ale lze jej vypočítat ze smíšeného rozšíření. Pomocí simplexové metody v základním tvaru získáme rovnovážné smíšené strategie hry následujícím způsobem. Pro výpočet potřebujeme, aby byly všechny prvky matice kladné. Využijeme tedy tvrzení věty 3 a přičtením téhož kladného čísla ke každému prvku matice tak, aby pak všechny byly kladné, dostaneme např. pro c = 5 ( ). (4.16) Maticová hra s maticí (4.16) má podle základní věty maticových her (věty 2) stejné rovnovážné strategie jako maticová hra s maticí (4.15). Úloha lineárního programování ((4.8),(4.9)) pro matici (4.16) má tvar 5q q 2 + 3q 3 1 4q 1 + 8q 2 + 3q 3 1 (4.17) q 1 0, q 2 0, q 3 0 q 1 + q 2 + q 3 max. Výpočet úlohy (4.17) začneme tím, že si ji převedeme do standardního tvaru: 5q q 2 + 3q 3 + q 4 = 1 4q 1 + 8q 2 + 3q 3 + q 5 = 1 q 1 0, q 2 0, q 3 0 q 1 + q 2 + q 3 max. Na tento tvar lze již aplikovat simplexový algoritmus a dostáváme řešení, které je uvedeno v následující tabulce: 33

34 q 1 q 2 q 3 q 4 q Tabulka 4.1: Simplex Z této tabulky lze vyčíst řešení úlohy (4.17): q 1 = 1 6, q 2 = 0, q 3 = 1 18, optimální hodnota účelové funkce je 2 9. Duální úloha k (4.17) má řešení: p 1 = 1 9, p 2 = 1 9. Optimální hodnota účelové funkce je i v tomto případě 2 9. Vzorce (4.10) lze upravit na tvar ˆx i = p i 1 v a ŷ j = q j 1, kde i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. v 34

35 Z těchto vzorců pak za platnosti tvrzení, že 1 je optimální hodnota účelové v funkce, získáme tyto rovnovážné strategie: Cena hry s maticí (4.16) je v = 9 2. ˆx 1 = 1 2, ˆx 2 = 1 2, ŷ 1 = 3 4, ŷ 2 = 0, ŷ 3 = 1 4. (4.18) Cílem této úlohy ale původně bylo zjistit řešení maticové hry s maticí (4.15). Původní hra má stejné rovnovážné strategie jako hra s maticí (4.16), tedy strategie (4.18). Cenu hry s maticí (4.15) zjistíme tak, že od ceny hry s maticí (4.16) odečteme číslo c (= 5), které jsme k matici (4.15) přičetli, abychom získali kladné všechny prvky matice. Cena hry s maticí (4.15) je tedy = 1 2. V maticové hře s maticí (4.15) budou tedy hráči jednat následovně: Hráč jedna před volbou své strategie provede náhodný pokus, který s pravděpodobností 1 vydá výsledek 1 a s pravděpodobností 1 vydá 2. Pak zvolí ryzí 2 2 strategii se stejným číslem, jako byl výsledek. Hráč 2, který volí v (4.15) strategie - sloupce, provede před volbou své strategie náhodný pokus, jehož výsledkem bude s pravděpodobností 3 číslo 1, s pravděpodobností 0 číslo 4 2 a s pravděpodobností 1 číslo 3. (Může například házet dvěma mincemi, 4 padne-li na obou orel vybere strategii číslo 3, v ostatních případech volí strategii 1, strategii 2 nevolí nikdy.) Svou ryzí strategii zvolí opět podle výsledku tohoto náhodného pokusu. Střední hodnota výhry hráče 1 je 1. Pokud by 2 jeden z hráčů zvolil jiný postup, může si jedině pohoršit. (převzato z [5]) Vzhledem k tomu, že matice hry může mít více sedlových prvků (všechny pak musí být stejné), rovnovážné strategie maticových her a jejich smíšených rozšíření nemusí být nutně jediné. Příkladem takové matice je (4.19) Množina všech rovnovážných strategií maticové hry je dána soustavou lineárních podmínek ((4.11),(4.13)), ((4.12),(4.14)) a podmínkami nezápornosti proměnných, proto je tato množina konvexní polyedr. Pokud má matice 35

36 hry více sedlových prvků, pak je nutně rovnovážnou strategií i každá jejich konvexní kombinace. Ve hře s maticí (4.19) získáme všechny rovnovážné strategie hráče 1 jakožto všechny konvexní kombinace vektorů [1, 0, 0] a [0, 0, 1]. Podobně pro hráče 2 představují jeho rovnovážné strategie všechny konvexní kombinace vektorů [0, 1, 0, 0] a [0, 0, 0, 1]. 4.3 Konečné antagonistické hry - příklady Příklad: Soutěž o zakázky Investor chce vybudovat dvě přehrady. Jedna se jmenuje Velká (V) a z realizace této zakázky se očekává zisk ve výši 15 miliónů. Druhá přehrada je nazvána Malá (M), z realizace zakázky na tuto přehradu se očekává zisk ve výši 9 miliónů. O získání zakázek usilují dvě firmy, které označíme jako firma 1 a firma 2. Ani jedna z firem nemá kapacitní možnosti na vybudování obou přehrad v plném rozsahu. Každá z firem se může u investora ucházet bud o stavbu jedné z přehrad nebo nabídnout spolupráci na obou přehradách. Investor musí prostřednictvím obou firem stavbu přehrad realizovat a podle nabídek rozdělí zakázky následujícím způsobem: 1. Jestliže se o jednu přehradu uchází pouze jedna firma, pak získá celou tuto zakázku. 2. Jestliže se o jednu přehradu ucházejí obě firmy a o druhou žádná, nabídne investor spolupráci oběma firmám na obou přehradách s tím, že se o provedení prací i zisky budou dělit stejným dílem. 3. Jestliže se jedna z firem uchází o stavbu celé jedné přehrady a druhá nabízí spolupráci na obou, získá firma, která nabízí realizaci celé stavby 60% a druhá 40%, jde-li o Velkou přehradu (dělení zisku 9 : 6 ). Jde-li o Malou přehradu, získá firma, která nabízí celou realizaci 80% a druhá 20% (dělení zisku 5, 4 : 3, 6 ). Na zbývající přehradě pak firmy spolupracují stejným dílem a o zisk se dělí napůl. 36