5. Na klasickou šachovnici (levý dolní roh má souřadnice A1) 8x8 umist ujeme kostičky 1x3, dokud

Transkript

1 1. Mějme tabulku, součet čísel v libovolném řádku, sloupci i úhlopříčce je stejný. Navíc čísla jsou kladná a neopakují se. Jaký je nejmenší možný součin čísel na hlavní diagonále v následující tabulce: Náhodně vybereme tři přirozená čísla od 1 do Jaká je převrácená hodnota pravděpodobnosti, že všechny tři čísla budou tvořit aritmetickou posloupnost. 3. Je dán čtyřstěn ABCD s objemem Uvnitř čtyřstěnu je bod P. Dále necht S A, S B, S C, S D jsou po řadě těžiště čtyřstěnů P BCD, P CDA, P DAB, P ABC. Určete objem čtyřstěnu S A S B S C S D 4. Najděte všechny dvojice celých čísel (x, y) splňující, že existuje prvočíslo p a pro které platí x 2 3xy + p 2 y 2 = 12p. (Výsledek zadejte jako součet všech x y ) 5. Na klasickou šachovnici (levý dolní roh má souřadnice A1) 8x8 umist ujeme kostičky 1x3, dokud nám nezbyde jedno políčko volné. Jaké souřadnice toto políčko může mít? Výsledek zadejte jako posloupnost dvojic písmenočíslo seřazených primárně podle abecedy a sekundárně číselně. Příklad odpovědi: A3A4B2D1D6 6. Alenka sedí v kolečku. Kolem sebe má 10 svých plyšáčků a přemýšlí s kterými může spát v náručí. Jedinou podmínkou je, že každá náruč plyšáčků musí být ňuňavá. Náruč plyšáčků je ňuňavá pokud v ní je alespoň jedna trojice plyšáčků, kteří seděly v kolečku vedle sebe. Kolik má Alenka možností, jak si vybrat plyšáčky? 7. Je dán čtyřuhelník ABCD takový, že DAB = 60, ABC = 90 a BCD = 120. Dále necht S je průsečík jeho úhlopříček a BS = 1, SD = 2. Najděte obsah ABCD. 8. Je zadána operace a b = a+ab 3b (POZOR, pokud a nebo b je ve tvaru c d, je třeba psát závorky, obecně totiž (a b) c a (b c)). Najděte způsob, jak zapsat číslo 18 pouze pomocí čísla 2, (, ) a, který obsahuje nejméně znaků. 9. Na kružnici umístíme náhodně dva body. Jaká je pravděpodobnost, že jejich vzdálenost nebude větší než poloměr této kružnice. 10. Najděte největšího společného dělitele všech čísel tvaru p 8 1, kde p je prvočíslo větší než V bodě A krychle ABCDEF GH o straně 6 svítí zdroj světla. Dále je v krychli čtverec s vrcholy ve středech svislých stěn. Najděte obsah stínu, který vrhá čtverec na stěny krychle. 12. Určete posledních šest číslic čísla Najděte největší přirozené číslo x splňující x xx < Je dána funkce f : R\{0} R splňující xf(x) + x 2 f( x) = x Určete f(100). 15. Vánoce se blíží a Kouma se rozhodl, že nakoupí dárky během následujících n dnů. První den koupil jeden dárek a jednu sedminu zbývajících dárků. Druhý den koupil dva dárky a jednu sedminu zbývajících dárků a pokračoval tímto způsobem. Poslední den koupil n zbývajících dárků. Kolik dárků Kouma nakoupil? 1

2 16. Operace + na mnoˇzinˇe p ısmen {M, A, T, H, R, C, E} je zad ana additivn ı tabulkou: S kaˇzdou operac ı a + b, je tˇreba ps at z avorky a jednoznaˇcnˇe tak urˇcit prvky operace, obecnˇe totiˇz (a + b) + c 6= a + (b + c). Jak e r uzn e v ysledky m uˇzeme dostat r uzn ymi uz avorkov an ımi v yrazu M + A + T + H + R + A + C + E? Zad avejte velk ymi p ısmeny seˇrazen ymi podle abecedy a bez mezer. 17. Na 3D hodin ach ob ıh a minutovka ve svisl e rovinˇe, hodinovka v rovinˇe rovnˇeˇz svisl e, ale kolm e k t e minutovkov e. (Perioda obˇehu ruˇciˇcek je jako u standardn ıch pˇresnˇejdouc ıch hodin.) Jak y je nejkratˇs ı (nenulov y) interval (v minut ach) mezi dvˇema okamˇziky, v nichˇz sv ıraj ı ruˇciˇcky u hel 60? 18. Najdˇete nejmenˇs ı ˇc ıslo, kter e zaˇc ın a jedniˇckou, a kdyˇz jedniˇcku pˇresuneme na konec tohoto ˇc ısla, zvˇetˇs ıme ho t ım tˇrikr at. 19. Mˇejme 4ABC a pro jeho u hly plat ı cos(3α) + cos(3β) + cos(3γ) = 1. Dvˇe strany troj uheln ıku maj ı d elku 10 a 13. Druh a mocnina maxim aln ı d elka posledn ı strany je pˇrirozen e ˇc ıslo, jak e? 20. Najdˇete ˇc ıslo 2016 (Ve formˇe uspoˇr adan e dvojice (ˇr adek.sloupec) ) v n asleduj ıc ım uspoˇr ad an ı pˇrirozen ych ˇc ısel Kruˇznice k o polomˇeru r m a dvˇe rovnobˇeˇzn e teˇcny s a t. Dot yk a se j ı kruˇznice l o polomˇeru 49, kter a se rovnˇeˇz dot yk a teˇcny t a kruˇznice m o polomˇeru 64, kter a se tak e dot yk a teˇcny s. K tomu se l a m dot ykaj ı. Vˇsechny dotyky jsou vnˇejˇs ı. Najdˇete r. 22. Karel, Luk aˇs a Marek ˇcekaj ı na v yplatu. Karel m a dostat 15 zlat ak u, Luk aˇs 10 a Marek 12. V yplatˇc ı rozdˇeluje zlat aky po jednom. N ahodnˇe si vybere jednoho z nich (kter y jeˇstˇe nedostal tolik, kolik ˇz ad a) a d a mu minci. Toto opakuje neˇz rozd a 30 zlat ak u, pot e usne. Jak a je pravdˇepodobnost, ˇze Karel nedostane zaplaceno celou ˇc astku? 23. M ame klasickou ˇsachovnici 8 8 s oˇc ıslovan ymi ˇradami 1 aˇz 8 a jednoho stˇrelce. Stˇrelec se pohybuje obvykl ym zp usobem s t ım rozd ılem, ˇze z ˇrady a mus ı t ahnout do ˇrady b < a. Kolik je moˇznost ı, 2

3 jakými se střelec dostane z libovolného bílého pole 8. řady (tj. sečtěte možnosti ze všech těchto polí) na jakékoliv bílé pole 1. řady? Nezapomeňte, že stejnou cestu je přitom možno projet více možnostmi. 24. Necht N je 3-ciferné přirozené číslo tvořené různými nenulovými číslicemi. Jaký nejmenší výsledek můžeme dostat, když N vydělíme jeho ciferným součtem? 25. Necht n N je sudé. Napište hodnotu součinu x 1 x 3... x n 1, kde x i je kořenem polynomu x n + 2x n 1 + 3x n x + 1 a x 1 x 2 x n, pro n = Je dán trojuhelník ABC a bod D jako průsečík osy úhlu BAC a úsečky BC. Pokud AD + AB = CD a AC + AD = BC, jaké jsou velikosti úhlů trojuhelníku ABC postupně při vrcholech A, B a C ve stupních? Řešení zadejte ve formě (úhel.úhel.úhel) 27. Číslo x a x 2 dávají stejný čtyřciferný zbytek po dělení číslem Jaký? 28. Toník se dívá na kouli o průměru 10 cm ze vzdálenosti 50 cm (měřeno od středu koule do středu úsečky spojující jeho oči, které mají zanedbatelnou velikost). Toníkovy oči jsou od sebe vzdáleny 8cm. Jak velkou plochu povrchu koule v centimetrech čtverečních celkem vidí (alespoň jedním okem)? 29. Kolika způsoby můžu zaplatit částku 2016 korun, pokud mám k dispozici neomezený počet jednokorun, pětikorun a desetikorun. 30. Najděte počet všech trojciferných čísel xyz takových, že 2019-ciferné číslo xyzxyzxyz... xyz je dělitelné číslem 91. 3

4 31. Určete objem tělesa s touto sítí, kde a = Uvažme číslo 0, a01ba01ba01..., kde a, b jsou nějaké číslice. Toto číslo lze vyjádřit ve tvaru 224/n, n N. Zapište součet a + b + n. 33. Mějme posloupnosti (a 0, a 1,...), (b 0, b 1,...) definované rekurentními vzorci a 0 = 1, a n+1 = 2 an, b 0 = 1, b n+1 = 6 bn. Najděte přirozené číslo n, pro které platí b n a 100 b n Uspořádaná dvojice (m, n) nezáporných celých čísel je pěkná, pokud sečtení čísel m a n v desítkové soustavě nevyžaduje přenos přes desítku. Najděte počet pěkných uspořádaných dvojic (m, n) takových, že m + n = Jsou dvě kružnice k a l s poloměry 8 a 6 v rovině se vzdáleností středů 12. V bodě A, jednom bodu z průsečíků k a l, vedeme přímku p tak, že tětivy QP a P R mají stejnou délku, kde Q leží na k a R na l. Najděte druhou mocninu délky QP. 36. Necht P 0 (x) = x x 2 77x 8 a P n (x) = P n 1 (x n) pro n N. Jakej je koeficient u členu x v polynomu P 20 (x). 37. Rozložte číslo abbcabbcabc = a b b + c na součin prvočísel a čísla, jehož cifry jsou a, b nebo c (logická disjunkce), pokud víte, že a+c = b. Součin napište ve tvaru p 1.p 2... p n.f(a, b, c), kde p 1 p 2 p n, n 1 a kde f(a, b, c) je číslo s ciframi a,b a c. 38. Náhodně vybereme ze šachovnice políčka, jaká je pravděpodobnost, že budou tvořit písmeno L. 39. Dva reálné kořeny p a q funkce f(x) = x 3 +ax+b, a p+4 a q 3 jsou kořeny g(x) = x 3 +ax+b+240. Jaký je součet všech přípustných hodnot b. 4

5 40. Najděte největší přirozené číslo n pro které lze n! vyjádřit jako součin n 3 po sobě jdoucích přirozených čísel. 41. Kolik uspořádaných čtveřic (x, y, z, w) přirozených čísel menších než 500 splňuje x + w = y + z a yz xw = 93? 42. Necht M = {a 1, a 2,..., a n } je podmnožina celých čísel a je zadána operace a b = a + ab 2b (POZOR, pokud a nebo b je ve tvaru c d, je třeba psát závorky, obecně totiž (a b) c a (b c)). Necht n je nejmenší přirozené číslo, pro které platí, že libovolné celé číslo se dá napsat pouze pomocí a 1, a 2,..., a n, (, ) a (příklad zápisu: 22 = (3 4) 3, kde 3 a 4 jsou prvky M). Najděte taková a 1, a 2,...a n, aby absolutní hodnota ze součinu a 1.a 2...a n byla co nejmenší. Prvky vypište od nejmenšího po největší ve tvaru a 1.a a n. 43. Postavme figurku na číslo 1 odpovídající kombinační číslu ( 0 0) v Pascalově trojúhelníku. Krokem rozumíme přesun figurky z čísla odpovídajícího ( ) ( n k na jedno z čísel odpovídajících n+1 ) ( k a n+1 k+1). Na jaké největší číslo se může figurka dostat po provedení m 20 kroků, přičemž čísla před a po jednotlivém kroku se mohou lišit maximální o (20 m) 2? 44. Pro přirozené číslo n necht f(n) je součin nenulových číslic desítkového zápisu čísla n (Pokud je n jednociferné, pak f(n) = n). Dále necht F = f(1) + f(2)... f(999). Jaký je největší prvočíselný dělitel čísla F? 45. V kartézské soustavě souřadnic body (0, 0), (x 1, 11) a (x 2, 37) jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníku. Najděte hodnotu čísla x 1 x 2. 5