BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimír Krásný Podmíněné hustoty Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Seidler, CSc., Ústav teorie informace a automatizace AV Studijní program: Matematika, Obecná matematika 2009

2 Rád bych poděkoval RNDr. Janu Seidlerovi, CSc. za shovívavost a pomoc při vypracovávání mé bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Jméno Příjmení 2

3 Obsah Kapitola Podmíněná střední hodnota... 5 Kapitola Podmíněná pravděpodobnost... 5 Tvrzení Lemma Poznámka Kapitola Podmíněná hustota... 9 Definice... 9 Tvrzení Kapitola Podmíněná hustota a motivace...10 Kapitola Podmíněná hustota a nezávislost...11 Lemma Kapitola Podmíněná hustota a náhodné míry...12 Kapitola Příklady...13 Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Literatura

4 Název práce: Podmíněné hustoty Autor: Vladimír Krásný Katedra (ústav): Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce RNDr. Jan Seidler, CSc., Ústav teorie informace a automatizace AV vedoucího: seidler@utia.cas.cz Abstrakt: Podmíněná hustota je hlavním nástrojem pro výpočet podmíněných pravděpodobností a zejména podmíněných středních hodnot. V teoretické části mé bakalářské práce jsem se soustředil na objasnění kroků, jež nás vedou k definici podmíněné hustoty, a to včetně jisté motivační úvahy. Převážná část této práce je však věnována příkladům, na kterých je možno pozorovat, jak s podmíněnou hustotou v praxi počítat. Klíčová slova: pravděpodobnostní prostor, měřitelný prostor, náhodná veličina, podmíněná hustota Title: Conditional density Author: Vladimír Krásný Department: Název katedry či ústavu v angličtině Supervisor: RNDr. Jan Seidler, CSc., Ústav teorie informace a automatizace AV ČR Supervisor's address: seidler@utia.cas.cz Abstract: Conditional density is the main tool for computing condintional probabilities, mostly conditional expected values. In theoretical part of my work I focused on introducing of reasons which lead us to definiton of conditional density function. In more than half of my work I am paying attention to practical examples of how to compute conditional density functions. Keywords: probability space, measurable space, random variable, conditional density function 4

5 Kapitola 1 Podmíněná střední hodnota Nechť je pravděpodobnostní prostor, je -algebra a náhodná veličina. Pakliže pro náhodnou veličinu platí, kde je zúžení na, pak tuto nazveme podmíněnou střední hodnotou náhodné veličiny za podmínky a budeme ji značit. Jelikož podmíněná střední hodnota není těmito podmínkami určena jednoznačně (nýbrž skoro jistě), budeme množinu všech náhodných veličin vyhovujících těmto podmínkám značit. Je-li náhodná veličina speciálně tvaru, pak náhodnou veličinu nazýváme podmíněnou pravděpodobností jevu za podmínky a značíme (ve smyslu předchozího budeme množinu takovýchto náhodných veličin značit. Úmluva: Bude-li se v práci hovořit o měřitelném zobrazení, automaticky se tím bude myslet, že prostory a jsou prostory měřitelné. Dále nechť je měřítelné zobrazení (neboli zobecněná náhodná veličina) a -algebra budiž generována náhodnou veličnou, tedy. Podmíněnou střední hodnotu budeme zkráceně značit a budeme ji nazývat podmíněnou střední hodnotou náhodné veličiny za podmínky. Když si navíc uvědomíme, že každá množina z je tvaru, kde (tedy ), jíž budeme pro jednoduchost značit, můžeme druhý požadavek z definice podmíněné střední hodnoty přepsat do následující podoby Kapitola 2 Podmíněná pravděpodobnost 5

6 Nechť jsou zobecněné náhodné veličiny a dále nechť, pak podle tvrzení I.4.9 [1] existuje funkce taková, že. Označíme-li rozdělení náhodné veličiny, dostaneme použitím předchozího tvrzení, rovnosti a věty o substituci II.2.5 [1] tento vztah Zatím však pouze víme, že takováto funkce existuje. Jakým způsobem ji sestrojit nicméně stále zůstává nejasné. Proto se v nadcházejících řádcích, za dodatečných předpokladů, pokusíme tuto funkci explicitně vyjádřit. Předpokládejme, že existují -konečné míry na a na takové, že rozdělení náhodného vektoru je absolutně spojité vůči součinové míře na. Pak víme, že existuje hustota míry vzhledem k míře. Bez újmy na obecnosti si přitom můžeme zvolit takovou funkci, která je nezáporná všude na a pro každé. Zároveň podle věty o marginální hustotě (věta III.7 [2]) víme, že hustota rozdělení náhodného veličiny má tento tvar Definujme nyní funkci následovně Z definice je patrné, že funkce je nezáporná -měřitelná funkce a je pro každé takové, že hustota nějaké pravděpodobnostní míry na. Vraťme se nyní k funkci, jíž bychom chtěli umět explicitně vyjádřit. Nechť je náhodný jev, pak víme, že existuje měřitelná funkce taková, že s.j. neboli také V následujícím tvrzení ukážeme, že funkci funkce. je možno reprezentovat pomocí Tvrzení 1 Nechť platí předpoklad. Pak pro funkce definována předpisem 6

7 vyhovuje vztahu, tedy je podmíněnou pravděpodobností jevu za podmínky Y. Ještě než se pustíme do důkazu, dokážeme si pomocné lemma. Lemma 1 Nechť platí předpoklad a budiž funkce definována vztahem, pak Důkaz: K vzhledem k definici pro -skoro všechna. platí dokazovaná rovnost triviálně pro. Předpokládejme nadále, že množina má nenulovou míru, (v opačném případě by bylo lemma již dokázáno), pak platí když jsme v první rovnosti použili Fubiniho větu. Protože však, znamená předchozí rovnost, že -skoro na, címž jsme lemma dokázali. Nyní již přistoupíme k důkazu samotného tvrzení. Naším úkolem je dokázat, že neboli Ve výpočtu využijeme fakt, že má hustotu, dále pak Fubiniho větu a nakonec právě dokázané lemma. čímž je tvrzení dokázáno. Poznámka 1 7

8 V tvrzení 1 jsme uvažovali pouze podmíněné pravděpodobnosti, přičemž by šlo dané trvzení zobecnit na podmíněné střední hodnoty, a to následovně: Nechť je splněn předpoklad, buď měřitelná funkce taková, že. Pak platí Důkaz: 1) Pro, kde, dostáváme přímo tvrzení 1, neboť 2) Nechť, kde, a 3) Nechť je nezáporná funkce, pak existuje rostoucí posloupnost jednoduchých funkcí, které konvergují s.j. k a podle Leviho věty pro podmíněné střední hodnoty (Věta 7.12 [4]) platí, že Podle (obyčejné) Leviho věty naopak dostáváme, že a tedy což podle již dokázaného a věty o jednoznačnosti limity znamená, že 4) Nechť je libovolná integrovatelná funkce, pak pomocí rozkladu a předchozího kroku je důkaz hotov. Nyní již máme vše připraveno pro samotnou definici podmíněné hustoty. 8

9 Kapitola 3 Podmíněná hustota Definice Nechť platí předpoklad. Řekneme, že -měřitelná funkce je podmíněná hustota náhodné veličiny za podmínky, jestliže Z tvrzení 1 víme, že této rovnosti vyhovuje, tedy že je podmíněnou hustotou náhodné veličiny za podmínky. V následujícím tvrzení ukážeme, že funkce je ovností určena jednoznačně, a tedy že každou funkci takovou můžeme označovat. Tvrzení 2 Nechť jsou dvě měřitelné funkce vyhovující předchozí definici, pak -skoro všude na. Důkaz: Při důkazu opět využijeme fakt, že má hustotu (vzhledem k míře ) a Fubiniho větu. Podle předpokladu platí, že kde. Platí tedy pro všechna, z čehož plyne, že pro všechna, čímž bylo tvrzení dokázáno. 9

10 Kapitola 4 Podmíněná hustota a motivace Na chvíli se vráťme ke vztahu, kterým je explicitně určen tvar podmíněné hustoty. K tomuto tvaru by šlo totiž dospět i následujícími (nepřesnými) úvahami. Vycházet budeme z dobře známého vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost jevu za podmínky, že nastal jev, tj. pokud platí, že. Od náhodných jevů přejdeme k náhodným veličinám. Nechť tedy a jsou dvě reálné náhodné veličiny, jejich sdružená hustota a marginální hustota náhodné veličiny. Dále předpokládejme, že pro interval platí, že. Pak platí což v řeči integrálů znamená V dalším kroku použijeme věty o střední hodnotě, k čemuž požadujeme, aby byla spojitá na a byla spojitá na pro každé. Pak totiž existují takové, že a a Po dosazení a zkrácení tak dostáváme vztah Při limitním přechodu, když přitom stále platí, dostaneme podmíněnou distribuční funkci a tak bychom mohli skutečně definovat podmíněnou hustotu vztahem 10

11 (převzato z kapitoly 3.5 [3], str. 54) Kapitola 5 Podmíněná hustota a nezávislost Pro potřeby výpočtu či rozhodování o nezávislosti náhodných veličin může mnohdy přijít vhod následující lemma dávající do souvislosti nezávislost náhodných veličin a jejich podmíněnou hustotu. Toto lemma dokážeme ještě před závěrečnou odbočkou k náhodným mírám a podmíněnému rozdělení (Definice 9.1 [4]). Lemma 2 Nechť je splněn předpoklad, pak jsou náhodné veličiny a nezávislé právě tehdy, když, pro -skoro všechna, kde je hustotou rozdělení náhodného vektoru a funkce je definovaná vztahem (a také jak již víme je podmíněnou hustotou náhodné veličiny za podmínky ). Důkaz: Za platnosti předpokladu víme, že pro -skoro všechna, a tak tedy po dosazení za dostaneme, pro -skoro všechna, a podle věty 2.5 [3] tak jsou náhodné veličiny a nezávislé. Jelikož jsou náhodné veličiny a nezávislé, pak pro jejich sdruženou hustotu platí, pro -skoro všechna. Víme, že definovaná předpisem vyhovuje vztahu, tomuto vztahu vyhovuje ale i, neboť 11

12 čímž bylo lemma dokázáno. Kapitola 6 Podmíněná hustota a náhodné míry V tvrzení 1 jsme tedy ukázali, že pomocí podmíněné hustoty lze reprezentovat podmíněné pravděpodobnosti. V následující části ukážeme, že má blízký vztah i k náhodné míře (resp. reglární verzi náhodné míry). Položme Pro funkci platí, že je -měřitelná pro, s.j. a pro je s.j., s.j. pro každou posloupnost po dvou disjunktních množin a je tak (podle Definice 8.1 [4]) -náhodnou pravděpodobnostní mírou. Není však obecně pravdou, že by byla pravděpodobnostní mírou pro pevná. Takové verzi, která tento požadavek splňuje, se říká regulární verze náhodné pravděpodobnostní míry. Podle věty VI.1.21 [1] taková regulární verze existuje (tj. a zároveň je pravděpodobnostní míra na ), a to pokud je úplný separabilní metrický prostor a je -algebra jeho borelovských množin. Avšak tato věta pouze zajišťuje existenci, už ale blíže neříká, jak takovou regulární verzi náhodné pravděpodobnostní míry explicitně vyjádřit. Nicméně my si můžeme všimnout, že za předpokladu nám tvrzení 1 návod na explixitní vyjádření dává. Nechť, a platí Definujme nyní následujícím předpisem kde je libovolná pevně zvolená pravděpodobnostní míra na. 12

13 Je snadné nahlednout, že je -měřitelná pro a je pravděpodobnostní mírou na, a tedy je skutečně regulární verzí -náhodné pravděpodobnostní míry. Dále si můžeme všimnout, že pravá strana je konstantní na množinách tvaru. Můžeme proto parametrizovat body. Pro a definujme kde je libovolná pevně zvolená pravděpodobnostní míra na. Pak je regulární verzí -náhodné pravděpodobnostní míry navíc splňující Takováto regulární verze je podle Definice 9.1 [4] podmíněným rozdělením náhodné veličiny za podmínky. Ještě na zavěr poznamenejme, že na volbě míry nezáleží, neboť podle je. Kapitola 7 Příklady První příklady budou lehčího typu a mají především sloužit k názorné ukázce, jak s podmíněnou hustotou pracovat, jak ji vypočítat. Obtížnost jednotlivých příkladů, kterých je celkem 12, bude postupně růst (náhodné vektory mající gaussovské rozdělení) s tím, že na závěr je uveden jeden příklad dokumentující, že vztah uvedený v tvrzení 1 lze použít i na diskrétní náhodné veličiny a dále jeden příklad obecnějšího rázu, který na rozdíl od předchozích příkladů nebude klást důraz na výpočet integrálů, nýbrž na šikovné zvolení transformace a kroků k ní vedoucím. Příklad 1 Nechť má rovnoměrné rozdělení na množině konečné Lebesqueovy míry. Ukažte, že a jsou rovnoměrná rozdělení na příslušnách řezech. Ze zadání víme, že, kde je konečná hodnota. Platí tedy, že 13

14 je hustota rozdělení. Jako první vypočteme. Označme si, tato množina je horizontálním řezem množiny procházející bodem. Marginální hustotu pak můžeme spočíst takto Podmíněnou hustotu již vypočteme jen dosazením do obecného vzorce Tedy hustota je hustotou rovnoměrného rozdělení na množině. Analogický provedeme výpočet pro podmíněnou hustotu. Označme tedy, což je v tomto případě vertikální řez množiny procházející bodem. Marginální hustota vyjde obdodně jako, a to Stejně jako v předchozím případě pak podmíněnou hustotu pouhým dosazením do obecného vzorce, címž dostaneme spočteme Opět je tak patrné, že vypočtená hustota je hustotou rovnoměrného rozdělení na množině. Od obecné množiny nyní přejdeme k dvěma speciálním volbám množiny. 1) Hustota náhodného vektoru mající rovnoměrného rozdělení na množině má tvar Množina je v tomto případě tvaru pro, pro jiná se jedná o prázdnou množinu. Marginální hustotu pro a pro spočteme následovně 14

15 a podmíněná hustota má tedy tvar Vzhledem k identickému výpočtu (včetně totožných hodnot) výpočet vynecháme. 2) Hustota náhodného vektoru mající rovnoměrného rozdělení na množině má tvar Pro výpočet budeme opět nejprve potřebovat určit množinu. Ta má pro tvar, pro jiná je prázdná množina. Pro marginální hustotua tak platí, že pro a pro lze spočíst Podle obecného vzorce pro podmíněnou hustotu tak dostáváme, že Pro výpočet budeme potřebovat určit tvar množiny. Pro je, pro jiná je množina prázdná. Pro je tedy, pro můžeme spočíst Dosazením do obecného vzorce pro výpočet podmíněné hustoty dostaneme 15

16 Příklad 2 Nechť má náhodný vektor v rovnoměrné rozdělení na množině. Najděte podmíněnou hustotu každé dvojice za podmínky zbývající náhodné veličiny, a dále pak podmíněnou hustotu každé náhodné veličiny za podmínky zbývajících dvou. Hustota je tvaru Nejprve spočteme marginální hustoty, a. Pro je, pro pak platí, že Pro je, pro pak platí, že Pro je, pro pak platí, že Po dosazení do obecného vzorce pro podmíněnou hustotu tak dostaneme a Pro druhou část příkladu potřebujeme spočíst marginální hustoty, a. Pro je, pro pak platí, že 16

17 Pro je, pro pak platí, že Pro je, pro pak platí, že Pouhým dosazením do vzorce pro podmíněnou hustotu dostaneme a Příklad 3 Nechť náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení na a nechť náhodná veličina za podmínky má rovnoměrné rozdělení na, určete sdruženou hustotu náhodného vektoru, hustotu a podmíněnou hustotu. Ze zadání víme, že a Použitím lemma 2 dostaneme, že 17

18 Nyní již také lze spočíst marginální hustotu a konečně i podmíněnou hustotu, kterou získame dosazením do obecného vzorce pro podmíněnou hustotu, tedy Příklad 4 Nechť má náhodný vektor rozdělení s hustotou, kde. Najděte a. Abychom mohli dané podmíněné hustoty vypočítat, potřebujeme marginální hustoty a. Pro platí, že pro, pro je a tedy Pro platí, že pro, pro je a tedy Příklad 5 Nechť má náhodný vektor v standardní normální rozdělení. Položme, pak 18

19 a tedy náhodná veličina za podmínky má rozdělení. Skutečně, definujme zobrazení, pak. Zobrazení t je prosté a regulární na celém, dále nechť je hustota rozdělení náhodného vektoru. Nyní můžeme použít větu III.6 [2], podle které je hustota náhodného vektoru dána vztahem kde značí Jakobián inverzního zobrazení. a Po dosazení tak dostaneme Dále potřebujeme určit marginální hustotu náhodné veličiny. To bychom mohli zajisté učinit výpočtem podle věty o marginální hustotě III.7 [2]. Druhým způsobem je použití věty V.4 [2], podle níž má náhodná veličina, která je součtem dvou nezávislých náhodných veličin majících standardní normální rozdělení, normální rozdělení, a tak hustota má tvar Určení je již jen otázkou dosazení dvou známých hustot do obecného vzorce pro výpočet podmíněné hustoty. Příklad 6 Nechť má náhodný vektor v standardní normální rozdělení. Položme, pak 19

20 Definujme zobrazení pak Označme a jsou otevřené množiny, nechť dále je hustotou rozdělení, pak jistě platí, že a že zobrazení restrikce na, kde, je regulární a prosté. Označme, přičemž platí, kde. Podle věty III.6 [2] lze pak hustotu vyjádřit ve tvaru kde značí jakobián inverzního zobrazení pro. Jednoduše vypočteme, že a pro, a tedy po dosazení dostaneme Z tvaru množiny je zřejmé, že pro a pro spočteme 20

21 když jsme v průběhu použili substituci. Po dosazení do obecného vzorce pro výpočet podmíněné hustoty získáme výsledek prezentovaný v úvodu příkladu. Příklad 7 Nechť má náhodný vektor v standardní normální rozdělení. Buď jeho vyjádření v polárních souřadnicích. Pak a Opravdu, definujme a nechť Restrikce zobrazení na je pak difeomorfismus na. 1 Označme inverzní zobrazení k, definujme pak Označíme-li hustotu rozdělení, pak platí a proto, tedy definice je korektní. Podle věty III.6 [2] tak můžeme hustotu náhodného vektoru spočíst následovně 1 Viz. např. [5] L.Zajíček: Vybrané partie z matematické analýzy pro 1. a 2.ročník, matfyzpress, Praha 2003, Příklad

22 kde značí Jakobián zobrazení, tedy Z tohoto dostáváme, že a že pro Analogicky pro platí, že a pro spočteme když v předposlední rovnosti jsme použili substituci. Dosazením do obecného vzorce pro výpočet podmíněné hustoty dostaneme tvrzení uvedené v úvodu tohoto příkladu. Příklad 8 Nechť má náhodný vektor v normální rozdělení s kovarianční maticí kde. Buď vyjádření tohoto náhodného vektoru v polárních souřadnicích. Pak a 22

23 kde je modifikovaná Besselova funkce indexu 0. Ukažme, že tomu tak skutečně je. Podobně jako v minulém příkladu definujme zobrazení a nechť opět Restrikce zobrazení na je pak difeomorfismus na. Při zachování značení z předchozí příkladu je inverzní zobrazení k, jež je předpisem definováno korektně. Označíme-li hustotu rozdělení, pak podle věty III.6 [A] můžeme hustotu náhodného vektoru spočíst následovně kde značí Jakobián zobrazení, který, jak jsme v minulém příkladě ukázali, je roven, a tak K výpočtu marginálních hustot (resp. jedné z nich) využijeme v úvodu již zmíněnou modifikovanou Besselovu funkci indexu 0. Protože je pravda, že můžeme spočíst a tak tedy platí, že Dále užitím goniometrických vzorců si můžeme vyjádřit způsobem následujícím 23

24 Hustotu lze proto upravit takto Odtud dostáváme, že pro a pro dostaneme když v předposlední rovnosti jsme využili -periodičnosti funkce a vztahu. Nyní přistoupíme k výpočtu marginální hustotu. Jistě platí, pro spočteme, že 24

25 když v předposlední rovnosti jsme použili substituci. Příklad 9 Nechť má náhodný vektor v standardní normální rozdělení buď jeho vyjádření v polárních (sférických) souřadnicích. Pak a Definujme zobrazení a budiž Restrikce zobrazení na množinu je difeomorfismus na. 2 Označme inverzní zobrazení k difeomorfismu a definujme Označíme-li hustotu míry, pak jistě platí a tedy, takže definice je korektní. Podle věty III.6 [2] je hustota náhodného vektoru dána výrazem kde je Jacobián zobrazení, 2 Viz. např. [5] L.Zajíček: Vybrané partie z matematické analýzy pro 1. a 2.ročník, matfyzpress, Praha 2003, Příklad

26 Protože a je Dále je potřeba spočíst marginální hustotu, pro kterou jistě platí, že pro, zatímco pro je Marginální hustota na a pro je když v poslední rovnosti jsme využili toho, že se jedná o druhý moment standardního normálního rozdělení, a tedy se daný integrál rovná 1. A jako poslední nám zbývá marginální hustota, pro kterou platí a pro lze spočítat, že 26

27 Dosazením do obecného vzorce pro podmíněné hustoty dostaneme naše tvrzení. Poznámka: Podobně lze spočíst i podmíněnou hustotu, kdy se podmiňuje pouze jednou souřadnicí, ukažme si to například na. Pro marginální hustotu náhodné veličiny platí, že a pro dostaneme Po dosazení do obecného vzorce pro podmíněnou hustotu bychom dospěli k tomuto výsledku Příklad 10 Nechť má náhodný vektor normální rozdělení kde. Buď vyjádření tohoto náhodného vektoru ve sférických (polárních) souřadnicích. Pak kde a kde 27

28 je modifikovaná Besselova funkce indexu 0. Obdobně jako v předchozím příkladě uvažujme zobrazení a položme Opět tedy budiž restrikcí na množinu, pak je difeomorfismus na. Již víme, že, inverzní zobrazení k, definováno tímto předpisem je definováno korektně. Nechť je hustotou míry pak podle věty III.6 [2] je hustota náhodného vektoru dána výrazem kde je Jacobián zobrazení, o němž jsme v minulém příkladě prokázali, že je roven. Díky a je Nyní spočteme marginální hustoty a. K tomuto účelu použijeme modifikovanou Besselovu funkci indexu 0, pro kterou podle příkladu 8 platí Také platí, že je možné vyjádřit následujícím způsobem Proto lze hustotu upravit následujícím způsobem 28

29 Tento zápis nám ulehčí výpočet, k němuž právě přistoupíme. Jistě pro, zatímco pro je 29

30 když v předposlední rovnosti jsme užili -periodičnost funkce a vztah. Analogicky, jistě na a pro je neboť integrál před poslední rovností je druhý moment normálního rozdělení, a rovná se tak. Naše tvrzení pak plynou pouhým dosazením do obecného vzorce pro výpočet podmíněné hustoty. Příklad 11 Nechť má náhodná veličina Poissonovo rozdělení s parametrem 1 a za podmínky má binomocké rozdělení s parametry a. Nalezněte rozdělení, rozdělení a podmíněné rozdělení za podmínky. Označme čítací míru, pak náhodná veličina má hustotu vzhledem k míře ve tvaru a náhodná veličina za podmínky má hustotu vzhledem k míře ve tvaru Nechť existuje sdružená hustota, pak lemma 1 říká, že neboli Marginální hustotu náhodné veličiny je nulová pro, pro získáme výpočtem integrálu 30

31 Náhodná veličina má tedy Poissonovo rozdělení s paramatrem. Při znalosti a již můžeme snadno dopočíst poslední neznámou hustotu, a tou je. Pro ni platí, že se rovná nule, je-li. V případě, kdy, lze spočíst jako podíl výše zmíněných hustot, tedy což znamená, že náhodná veličina za podmínky má stejné rozdělení jako náhodná veličiny, kde ma Poissonovo rozdělení s parametrem pro. Příklad 12 Nechť má v normální rozdělení, kde. Označme a. Ukažte, že. je hustotou normálního rozdělení Definujme. Protože existuje matice taková, že víme podle věty V.1 [2], že náhodný vektor. Navíc platí, že má normální rozdělení kam když dosadíme za 31

32 dostaneme, což podle věty V.8 [2] znamená, že náhodné vektory a jsou nezávislé. Pro další postup budeme potřebovat hustotu, pro jejíž určení si zjistíme střední hodnotu a rozptyl Náhodný vektor tak má hustotu Jak jsme výše ukázali, náhodné vektory a jsou nezávislé, proto se jejich sdružená hustota rovná součinu hustoty a. Definujme nyní zobrazení takové, že Nechť je inverzní zobrazení k, pak Jakobián tohoto zobrazení je roven 1, tedy podle věty III.6 [2] je sdružená hustota náhodného vektoru rovna Po dosazení do obecného vzorce pro podmíněnou hustotu nakonec dostaneme, že z čehož je již zřejmé, že je hustotou normálního rozdělení. Poznámka: Hlavní myšlenka, tj. definice, byla převzata z důkazu věty V.9 [2]. 32

33 Literatura [1] Prof. RNDr. Štěpán J., DrSc. (1987): Teorie Pravděpodobnosti. Academica Praha. [2] Doc. RNDr. Anděl J., DrSc. (1985): Matematická statistika. Nakladatelství technické literatury, Praha. [3] Doc. RNDr. Anděl J., DrSc. (2005): Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha. [4] Doc. RNDr. Lachout P., CSc. (2004): Teorie pravděpodobnosti. Nakladatelství Karolinum, Praha. [5] Prof. RNDr. Zajíček L., DrSc. (2003): Vybrané partie z matematické analýzy pro 1. a 2.ročník, Matfyzpress, Praha