VIZUÁLNÍ NELINEÁRNÍ REKURENTNÍ ANALÝZA A JEJÍ APLIKACE NA ČESKÝ AKCIOVÝ TRH*

Transkript

1 VIZUÁLÍ ELIEÁRÍ REKURETÍ AALÝZA A JEJÍ APLIKACE A ČESKÝ AKCIOVÝ TRH* Jan Kodera, Tran Van Quang, Centrum základního výzkumu pro dynamckou ekonom a ekonometr, Vysoká škola ekonomcká v Praze. Úvod Myšlenka, že složtý vývoj fnančních řad může být generován relatvně jednoduchým nelneárním dynamckým systémem, není přílš stará. Přblžně dvacet let se vědc snaží popsat složtý vývoj fnančních řad relatvně jednoduchým determnstckým systémy. To však neznamená, že se lneární stochastcké systémy přestaly používat pro pops složté dynamky fnančních časových řad (Trešl, Blatná, 2007). Oba přístupy mají rovnocenné místo v odborné lteratuře. U determnstckých nelneárních systémů bychom rád zdůraznl jednu jejch vlastnost. Touto důležtou vlastností je, že jsou schopny vytvářet složtější dynamku časových řad, která se vyznačuje aperodckým osclacem, tedy je to dynamka vytvářená relatvně jednoduchým determnstckým systémy (exstence nelneárních prvků je nezbytná). Tato dynamka bývá relatvně složtá (aperodcké osclace), takže spíše přpomíná časové řady generované stochastckým dynamckým systémy. Vznká tedy problém, jak odlšt případy, kdy řada s relatvně složtou dynamkou, je generována nelneárním determnstckým systémem a kdy se jedná o řadu stochastckou. Přspět k řešení tohoto problému je jedním z cílů tohoto článku. Objev, že dynamcké nelneární systémy mohou generovat aperodcké osclace podobné stochastckým procesům je přpsován meteorologov Edwardu Lorenzov (Lorenz 963), který vytvořl zjednodušený systém tří nelneárních dferencálních rovnc popsující pohyb vodních částc v atmosféře zahřívaných zezdola a ochlazovaných shora. Stopa, kterou tyto částce opsují v třírozměrném abstraktním prostoru, se ustálí na tzv. Lorenzově atraktoru. Záměrně používáme slovo abstraktní, protože se nejedná o prostor, ve kterém se pohybujeme, ale o prostor, kde jeden rozměr je vyhrazen rychlost rotace, druhý rozměr je rozdíl teploty klesající a stoupající částce a třetí rozměr zahrnuje dstorz od lnearty vertkálního teplotního proflu. ení to poprvé, kdy zásadní objev v oblast přírodních věd je aplkován a úspěšně rozvíjen v ekonom. Možnost analyzovat fnanční řady pomocí nelneárních metod se v současné době detalně zkoumá v řadě odborných článků v prestžních časopsech. Kdyby se v průběhu doby naplněné náročným zkoumáním možností determnstckého popsu fnančních časových řad skutečně prokázalo, že to možné je, pak by bylo možné dynamku časových řad krátkodobě předvídat. Z hledska dlouhodobého by to ovšem tak jednoduché nebylo. Důvodem je exponencální rozbíhavost dostatečně blízkých * Stať byla zpracována za fnanční podpory GAČR v rámc grantů č. 402/06/0209 a 402/06/0990. Centrum základního výzkumu pro dynamkou ekonom a ekonometr je zřízeno Mnsterstvem školství, mládeže a tělovýchovy České republky prostřednctvím projektu LC POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

2 trajektorí nelneárního dynamckého systému spolu s nepřesností měření. V některých případech je možno sestrojt atraktor a ten použít pro dlouhodobou předpověď. Modelování časových řad užtím nelneárních determnstckých modelů je poměrně složtý úkol, který navíc vyžaduje velké množství vstupních dat. V realtě tento požadavek není vždy splntelný. Určtým východskem z tohoto problém je technka rekurentních grafů, se kterou přšl Eckmann, Kamphorst a Ruelle (987). Tato technka nám umožní poměrně snadno a rychle rozhodnout, zda předmětná časová řada je generována určtým determnstckým procesem. Podstata této technky spočívá v tom, že rekurenční graf zkoumá, jestl jednotlvé stavy příslušného dynamckého systému rekonstruované z dané časové řady jsou sobě blízké případně od sebe vzdálené podle určtého předem zvoleného prahu. Grafckou nterpretac těchto vzdáleností nazýváme rekurenční graf. Výsledný vzor výskytu těchto stavů, charakterzovaných vzdálenostm a zaznamenaných na rekurenčním grafu, nám poskytuje důležté nformace o chování zkoumaného systému. Interpretace rekurenčního grafu se může mnohdy jevt jako přílš subjektvní. Proto Zblut a Webber (992) navrhl postup, kterým se snaží kvantfkovat nformace obsažené v rekurenčních grafech, aby získal přesnější výsledky. Jedná se o několk důležtých statstk, které podávají cenné nformace o charakteru generujícího procesu. V tomto případě hovoříme o kvanttatvní rekurentní analýze, která je hojně využívána v bomedcně a geofyzce. Aplkace tohoto postupu na fnančních datech je však poměrně vzácná. Lze s ní setkat v prác Antonoua a Vorlowa (2000), Fabrettho a Ausloose (2005) a Schwabeho (2007). V této prác bychom se rád pokusl o aplkac kvanttatvní rekurenční analýzy na datech získaných z českého akcového trhu jako alternatvní přístup na zjštění determnstckého chování fnančních řad k přístupu využtému v pracích Trana (2007) a Trešla (2008) 2. Determnace přítomnost případného determnstckého procesu bude ověřena na řadách akcového ndexu PX a nejlkvdnějších akcových ttulů. Jedná se o akce Komerční banky (KB), akce Českých energetckých závodů (ČEZ) a akce Telefonca O 2 (dřívější Český Telecom) v období cca 2 let od roku 995 do roku Struktura práce je následující. Po ukončení této úvodní část, zahájíme část druhou, kde se stručně věnujeme technce rekonstrukce fázového prostoru dynamckého systému. V další, třetí část bude vysvětlena podstata kvanttatvní rekurenční analýzy a ve čtvrté část budou prezentovány výsledky aplkace rekurenční analýzy na fnančních časových řadách z českého akcového trhu. V poslední část budou shrnuty závěry. 2. Rekonstrukce trajektore dynamckého systému ve fázovém prostoru Rekurenční graf je grafcký nástroj zkoumající dynamku systému a je založen na rekonstrukc jeho trajektore ve fázovém prostoru. a rekurenčním grafu nejsou znázorněny vzdálenost jednotlvých bodů z dané časové řady, ale jsou tam zaznamenány vzdálenost jednotlvých stavů zkoumaného systému ve fázovém prostoru. Protože 2 O využtí teore katastrof př modelování náhlých změn dynamky kurzů se pokusl Vošvrda a Baruník (2008). Dalším přístupem v této oblast je využtí waveletů, který můžeme nalézt např. v prác autorů Váchy a Vošvrdy (2007). 306 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

3 neznáme explctně celou soustavu řídících rovnc systému, je nutné z jedné zkoumané časové řady, která je vlastně jakous projekcí celé trajektore do jedné osy fázového prostoru, rekonstruovat celý původní systém v prostoru. ejčastější metodou rekonstrukce trajektore dynamckého systému ve fázovém prostoru je metoda časových zpoždění. V rekonstruovaném prostoru je stavový vektor y(t) vyjádřen v závslost na hodnotách analyzované řady x(t) následujícím způsobem: ( ) ( ) ( ), ( τ),..., ( ( 2 ) τ), ( ( ) τ) yt = xt xt xt m xt m. () V tomto vztahu fgurují dvě důležté konstanty: časové zpoždění τ a dmenze vnoření m, kde τ udává časovou vzdálenost mez sousedním prvky a m udává celkovou dmenz atraktoru. Velčny τ a m jsou tedy parametry vnoření, na kterém je rekonstrukce fázového prostoru založena (Takens, 985). Teore vnoření předpokládá nekonečně dlouhou řadou měřenou s absolutní přesností. Ve skutečnost však pracujeme s časovým řadam, které mají konečný počet pozorování a jsou zatíženy určtým chybam př jejch měření. Proto určení vhodných hodnot těchto parametrů je velce důležté pro rekonstrukc fázového prostoru, přčemž př rekonstrukc chceme vytvořt takovou strukturu, která popsuje úplně dynamku systému bez nadbytečných parametrů. Myšlenka úplného popsu systému s mnmálním počtem parametrů je velm důležtá. Podrobnější nformace o rekonstrukc fázového prostoru a jejích prncpech najdeme v publkacích Kantz (997), Sprott (2003) a Horák (2003). 2.. Volba vhodné délky časového zpoždění Pro zvolení správné délky časového zpoždění se doporučují v lteratuře různé přímé postupy (Horák, 2003) a zvolená hodnota má přímý vlv na následnou rekonstrukc fázového prostoru. Pokud je tato hodnota přílš malá, rozdíl mez jednotlvým stavy rekonstruovaného prostoru bude nepatrný a význam nformací získaných tímto způsobem je pak malý. a druhé straně, pokud tato hodnota je přílš velká, může se stát, že jednotlvé stavy rekonstruovaného systému budou vnímány jako nezávslé. Jnak řečeno, volbou dlouhé časové vzdálenost mez jednotlvým stavy systému se ztratí souvslost jeho dynamky a jako důsledek se takto rekonstruovaná trajektore jeví jako náhodný proces. Ve starší odborné lteratuře se doporučovalo, aby za délku časového zpoždění byla zvolena taková hodnota, kdy autokorelační funkce původní časové řady klesá poprvé pod určtou mez, např. /e, /0 nebo 0 (Horák, 2003). 3 Autokorelační funkce však zohledňuje pouze lneární závslost ve zkoumané časové řadě, což znamená, že nebere v úvahu možnost nelneárních procesů. Z tohoto důvodu vhodnější krtérum pro optmální hodnotu časového zpoždění je míra vzájemné nformace. Míra vzájemné nformace představuje průměrné množství nformace, kterou lze z hodnot náhodné velčny X získat o hodnotách náhodné velčny Y. Vyjádříme j následujícím vztahem 3 Kde e je Eulerovo číslo. POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

4 p( x, y ) I( XY, ) = px (, y) log 2 x, ( ) ( ) y p x p y kde I( XY, ) je míra vzájemné nformace dvou náhodných velčn X a Y, ( pravděpodobnost, že X = x, ( ) y a (, ), (2) p x je p y je pravděpodobnost, že Y = p x y je pravděpodobnost, že současně X = x a Y = y. Obdobně jako vztah autokorelačního koefcentu ke korelačnímu koefcentu můžeme defnovat časově zpožděnou míru vzájemné nformace k míře vzájemné nformace ve tvaru p( xt, x ) t+ τ ( ) ( + τ ) I( τ ) = p( xt, x ) log t+ τ 2, (3) xt, x p x t t p x + τ t kde τ je délka časového zpoždění. Pokud jednotlvá pozorování jsou navzájem nezávslá, hodnota míry vzájemné nformace mez nm je rovna nule. Jako vhodná délka časového zpoždění pro rekonstrukc fázového prostoru se doporučuje taková hodnota τ, kdy míra vzájemné nformace dosáhne prvního mnma. Toto mnmum znamená, že pozorování x( t + τ ) v čase t + τ přnáší v průměru nejvyšší nformační příspěvek k nformac, kterou máme k dspozc z pozorování x( t ) v čase t a redukuje redundanc na mnmum Volba vhodné dmenze vnoření Vhodnou dmenz vnoření př rekonstrukc fázového prostoru je možné volt několka způsoby. Jedním z nch je metoda nejblžších falešných sousedů (Kennel a kol., (992)). Podstata této metody spočívá v tom, že př projekc trajektore systému z orgnálního fázového prostoru do prostoru s nžší dmenzí dochází k tzv. překřížení této trajektore se sebou samou. Kvůl tomuto překřížení vznkají tzv. falešní sousedé. Př zvyšování dmenze vnoření se počet těchto falešných sousedů postupně snžuje. Zcela vymzí v případě, že dmenze vnoření použtá př rekonstrukc je rovna skutečné dmenz orgnálního fázového prostoru. Skuteční sousedé jsou blízko sebe př jakékol dmenz vnoření, samozřejmě v původním fázovém prostoru. Metoda falešných nejblžších sousedů je potom založena na detekc jejch počtu př zvýšení dmenze vnoření. Předpokládejme, že jsme v m-dmensonálním prostoru, kde je rekonstruován stav y t m( ) ym( t) xt ( ), xt ( τ),..., xt ( ( m 2 ) τ), xt ( ( m ) τ) kde τ je vhodná délka zpoždění. Ke stavu ( ) ( ) =. (4) y t je nejblžší soused označený jako ( ) ( ), ( τ),..., ( ( 2 ) τ), ( ( ) τ) m ( ) y t = x t x t x t m x t m. (5) m 308 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

5 ym t falešným sousedem, př zvýšení dmenze vnoření dojde ke zvětšení vzdálenost mez těmto stavy natolk, že jž nelze je považovat za sousedy. Zvýšení dmenze vnoření o jednu se souřadnce těchto dvou stavů změní na Pokud je ( ) ( ) ( τ ( τ) ( τ) ) ( ) ( ) ( τ) ( ( ) τ) ( τ) ym+ t = x t, x t,..., x t m, x t m a ( ) ( ) ( ) ( ) y + t = x t, x t,..., x t m, x t m. m Eukldovská vzdálenost těchto dvou stavů ve fázovém prostoru o dmenz vnoření m je: m m( ) = m( ) m ( ) = ( ( ( ) τ) ( ( ) τ) ), (6) k = d t y t y t x t k x t k a v (m+)-rozměrném fázovém prostoru je m m+ ( ) = m+ ( ) m+ ( ) = ( ( ( ) τ) ( ( ) τ) ) k = d t y t y t x t k x t k. (7) Tedy: ( ) dm ( t) dm( t) x( t mτ) x ( t mτ) Pro to, abychom mohl rozhodnout, zda ym( t) a m ( ) sousedé, defnujeme poměr d( t ) ve tvaru 2 2 d ( ) ( ) ( ) ( ) m t dm t x t mτ x t mτ + d( t ) 2 d ( t ) d ( t ) + = +. (8) m m y t jsou skuteční nebo falešní = =. (9) Jestlže jeho hodnota překročí určtou prahovou hodnotu, budou sousedé považovány za falešné sousedy. Za dostatečnou dmenz vnoření bereme hodnotu, která snžuje počet falešných sousedu na nulu. Další možnost je určt, zda přírůstek vzdálenost mez ym( t) a ym ( t ) př přechodu z dmenze vnoření m na dmenz m+ nepřekročí nějakou předem zvolenou prahovou hodnotu d, nebol kde d P volíme jako P ( τ) ( τ) P P x t m x t m d, (0) = ( ( ) ) a x x( t ) d = x t x = =. () Volba výše uvedené prahové hodnoty představuje určtý problém. Proto Cao (997) navrhoval následující zlepšení. Místo vztahů (9) a (0) defnuje poměr eukldovských vzdáleností dvou sousedních stavů v m- a (m+)-rozměrném prostoru POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

6 (, ) a t m = ( ) ( ) ( ) ( ) y t y t m+ m+ y t y t m m, (2) a zavádí velčnu E( m ) jako artmetcký průměr všech hodnot, přčemž mτ. (3) mτ ( ) = a( t, m) E m Př dostatečně velké hodnotě m nebude E( m) dále klesat, protože počet falešných sousedů bude redukován na mnmum. = 3. Rekurenční graf a kvanttatvní rekurenční analýza 3.. Rekurenční graf Fázový prostor daného systému obvykle nemusí být pouze dvojrozměrný nebo trojrozměrný, ale také vícerozměrný, což znemožňuje grafcké zobrazení. Vyšší dmenze lze vzualzovat pouze projekcí do dvoj- nebo trojrozměrného prostoru. Eckmann a kol. (987) vynalezl nový postup, jak vzualzovat rekurenc stavů ve fázovém prostoru a nazval jej rekurenční graf (recurrence plot). Tento postup umožňuje zkoumat trajektor m-rozměrného fázového prostoru prostřednctvím její rekurence ve dvojrozměrném zobrazení. Rekurence určtého stavu v čase v jném čase j je zaznamenána ve čtvercové matc jednčkou, jeho nerekurence nulou, v rekurenčním grafu tmavou a světlou barvou, kde obě osy jsou časové. Tento vztah můžeme formálně zapsat jako kde (.) ( ε ) R = Θ y y, pro, j =, 2,,, (4), j j Θ je Heavsdeova funkce, která nabývá hodnotu, když ε y yj > 0 a 0 v ostatních případech, ε je prahová vzdálenost,. je vzdálenost dvou stavů v m-rozměrném fázovém prostoru, (obvykle je to eukldovská vzdálenost, ale eukldovská nemusí být vždycky), y, y j jsou jednotlvé stavy a je celkový počet stavů. Rekurenční graf je z podstaty symetrcký podle dagonály, tedy lne se sklonem 45 o a každý rekurenční graf by obvykle měl zahrnovat jednu až všechny z těchto základních struktur: samostatné body, dagonální lne a horzontální nebo vertkální lne, přčemž tyto struktury mají následující význam: jednotlvé samostatné body znamenají, že stavy ve fázovém prostoru jsou jednečné, systém nesetrvává na nch dlouho nebo slně fluktuuje, dagonální lne L+ k, j+ k= l, pro k =, 2,, l, kde l je délka jedné dagonální lne se vyskytují v případě, když část trajektore běží paralelně s jnou částí trajektore, nebol trajektore se vrací do stejné oblast v různých časech. Tyto lne ndkují exstenc nestablních perodckých orbt a jsou tedy charakterstckým znakem přítomnost determnsmu. Pokud na rekurenčním grafu exstují pouze ty- 30 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

7 to dagonální lne, jedná se pak o perodcký sgnál (vzdálenost od jednoho stavu se pravdelně opakují). Délka tohoto úseku je určena dobou, jak dlouho jednotlvé část trajektore setrvává v těchto oblastech, vertkální nebo horzontální lne L, j+ k= l pro k =, 2,, l znamenají, že stavy setrvávají v jednom bodě nebo se jen málo mění z tohoto bodu, systém je tedy uvězněn v těchto bodech. U takto konstruovaného rekurenční grafu musí být vždy předem zvolena prahová hodnota ε. V poslední době díky pokroku ve výpočetní technce je možné obejít tento problém tím, že se používá barevný rekurenční graf, na kterém jsou zobrazeny všechny vzdálenost od jednoho stavu (který je na dagonále) a na pravé straně rekurenčního grafu je tzv. mapa barev, jež defnuje tyto vzdálenost v odpovídající barvě. Příklady rekurenčních grafů některých systémů jsou uvedeny na obrázku. Tyto příklady není bohužel možné na tomto místě uvést v barvách, pouze v odstínech, což poněkud ztěžuje orentac. Čtenáře, který se zajímá o barevnou podobu obrázku, odkazujeme na webové stránky Centra základního výzkumu pro dynamckou ekonom a ekonometr ( Obrázek Rekurenční grafy a) Lorenzova systému, b) perodckého snusodálního sgnálu, a c) bílého šumu a) b) c) POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

8 a rekurenčním grafu Lorenzova systému u snusodálního sgnálu je jasně vdět dagonální lne prokazující jeho perodctu a na rekurenčním grafu bílého šumu nelze pozorovat žádnou jasnou strukturu Kvanttatvní rekurenční analýza Rekurenční graf je poměrně užtečný nástroj pro rychlou detekc přítomnost možné determnstcké nelnearty ve zkoumaných časových řadách. Má však jednu nevýhodu. Jeho nterpretace závsí pouze na vzuální schopnost člověka rozlšovat různé vzory na těchto grafech a mohou exstovat určté vzory, které člověk nemusí být schopen rozlšt nebo může podléhat tzv. optckým klamům. Abychom předešl tento nedostatek a mohl dostávat z rekurenčních grafů jednoznačnou nterpretac výsledků analýzy, byla vytvořena tzv. kvanttatvní rekurenční analýza (Zblut a Webber (992), Marvan (2002)). Kvanttatvní rekurenční analýza kvantfkuje vlastnost rekurenčních grafů několka statstkam, které budou vymezeny níže. Dříve, než budeme defnovat tyto statstky, nadefnujeme některé pomocné statstky. Jsou to pokud stavy (, j) jsou rekurentní Rj = 0 jnak D V j j ( j ) ( j) ( + j+ ) pokud,,, a, jsou rekurentní = 0 jnak ( j ) ( j) ( + j+ ) pokud,,, a, jsou rekurentní = 0 jnak RR = R. Stavy a j jsou rekurentní, pokud vzdálenost mez nm je menší než prahová hodnota. Statstka R j určí, zda stavy a j jsou rekurentní, D j je délka dagonálního úseku složeného ze tří stavů a podobně V j je délka vertkálního úseku složeného ze tří stavů a RR je počet rekurentních stavů vzhledem ke stavu. echť d je délka jednoho dagonálního úseku a v je délka jednoho vertkálního úseku, pak nadefnujeme ještě dvě pomocné statstky respektve j= d ( ) = ( )( ) P d R R R, j +, j+ + k, j+ k, j= k = 0 v ( ) = (, j)(, j+ v), j+ k, P v R R R, j= k = 0 j 32 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

9 kde P(d) a P( v ) jsou pravděpodobnost výskytu dagonálního nebo vertkálního úseku délky d respektve v v rekurenčním grafu. Pro kvanttatvní rekurenční analýzu jsou vypočteny tyto statstky: rekurentní míra RR, která je defnována jako podíl rekurentních stavů v rekurenčním grafu a představuje pravděpodobnost, že se určtý stav znovu objeví. Je velm podobná korelačnímu ntegrálu s jedním rozdílem, že se u korelačního ntegrálu 4 nepočítá stav, kdy = j, nebol RR R 2 j, j= = míra determnsmu DET, která je defnována jako podíl stavů tvořících dagonální úseky na celkovém počtu rekurentních stavů. Míra determnsmu je spojena s předvídatelností dynamckého systému. Čím vyšší je hodnota míry determnsmu, tím vyšší je možnost předvídat chování systému. DET = d= dmn, j= j ( ) dp d lamnarta, která je defnována jako podíl stavů tvořících vertkální úseky na celkovém počtu rekurentních stavů. Lamnarta je spojena s počtem ojednělých stavů v celém systému, neboť LAM = v= vmn, j= R ( ) vp v R j (5) (6), (7) trend, 5 který je regresní koefcent lneárních závslostí mez hustotou rekurentních stavů v jedné ln paralelní s dagonálou a její vzdáleností k dagonále a poskytuje nformace o staconartě systému. Pro rekurentní míru v dagonální ln, která je para- 4 Korelační ntegrál (suma) nějakého dynamckého systému dmenz vnoření m se počítá vztahem (,, ε) ( ) ( ) ε j < j C m = Θ y y C( mε,, ) s pozorovaným stavy př kde ε je nějaké předem zvolené malé číslo, Θ (.) je Heavsdeova funkce, která nabývá hodnotu, když její argument je kladný a 0 když její argument je nekladný. Symbol. značí vzdálenost mez dvěma zvoleným stavy. Korelační ntegrál je tedy podíl stavů systému y a y takových, že jsou blízké sobě; blízkost znamená, j že vzdálenost mez nm je menší než předem zvolená malá hodnota ε. 5 TRED je tedy směrnce regresní přímky RR = ˆ β + ˆ β, a tudíž TRED = 0 ˆβ. ˆ 0, POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

10 lelní s dagonální lní se sklonem 45 ve vzdálenost, tedy RR, je TRED defnován vztahem TRED = = RR RR 2 = ( ) 2 2, (8) kde RR a jsou průměrné hodnoty všech RR a, kde <. Tato podmínka se vyžaduje, aby se vyloučly stavy s nžší hustotou, které se vyskytují na okraj rekurenčního grafu. Protože délka dagonálních lní je spojena s dobou, kdy část trajektore systému běží vedle sebe, považuje se (Marvan, 2002) převracená hodnota nejdelšího dagonálního úseku jako přblžný odhad nejvyššího Ljapunovova exponentu dynamckého systému. ejdelší dagonální úsek je defnován jako: ({ d} ) MAXLIE = max d ; =,..., (9) Pravděpodobnost, že dagonální úsek bude mít přesně délku d, je p( d ), kde P( d) p( d) =. Entrope, 6 která obecně poskytuje nformace o komplexnost P( d) determnstcké struktury tohoto systému, je defnována jako d= dmn ( ) ln ( ( )) ETR = p d p d doba v past TT (trappng tme) je defnována jako průměrná délka všech vertkálních lní a představuje průměrnou dobu, kterou se systém zdržuje v jednom ojednělém stavu, tj. TT = v= vmn v= vmn ( ) vp v ( ) p v (20). (2) 6 Exstuje několk typů entrope. Kolmogorovova entrope je důležtým kvantfkátorem determnsmu dynamckého systému a udává, jakou rychlostí ztrácíme nformace o chování našeho systému. Představuje tedy míru jeho předpovědtelnost a tato míra je úměrná převrácené hodnotě entrope. Pokud dynamcký systém má nulovou entrop, je perodcký. V případě, že má konečnou entrop, je chaotcký a je-l entrope nekonečná, systém je pak čstě náhodný. Zde se však jedná o Shannonovu entrop pocházející z oblast nformační teore aplkovanou na dynamcký systém, konkrétně na pravděpodobnost výskytu lne určtého typu. Je patrné, že se tento vztah velm podobá vztahu pro výpočet míry vzájemné nformace. Čím vyšší je hodnota entrope (6-8), tím je systém uspořádanější (perodčtější) a tím méně nformací se potřebuje k jeho rekonstrukc. aopak nžší hodnota entrope ndkuje větší chaotčnost a tudíž je potřeba více nformací k jeho rekonstrukc. 34 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

11 4. Aplkace vzuální rekurenční analýzy na datech z českého akcového trhu Pro aplkac kvanttatvní rekurenční analýzy jsme zvoll časové řady výnosností akcového ndexu PX a tří nejlkvdnějších akcových ttulů na českém akcovém trhu. Jsou to řady výnosností akcí Telefonca O 2 (O2), Komerční banky (KB) a Českých energetckých závodů (CEZ). Jedná se o řady denních uzavíracích cen v období od ledna 995 do lstopadu 2007, tj. období cca 2 let. Počet pozorování je tedy dostatečně velký. Vývoj denních kurzů zkoumaných akcových ttulů a ndexu PX je zobrazen v obrázku 2. a tomto obrázku je patrný slný pokles cen akcí Komerční banky, který se zastavl až u hodnoty 229 Kč na konc roku 998. Pak následoval prudký růstový trend, který trvá až do současnost. u kurzů akcového ndexu PX a akcí ČEZ lze pozorovat poměrně slný růstový trend v posledních letech. u hodnových kurzů, které byly zaznamenány až od toku 998, slný sestupný trend cen akcí Komerční banky jž nenastal a až na lokální maxma dosažená v roce 2000 je u všech akcí a ndexu PX patrný růstový trend. Data z výše vybraných časových řad byla následně transformována na odpovídající řady logartmckých výnosových měr. Touto transformací se odstraňuje vlastnost nezápornost cen akcí a ndexu a získáváme nové časové řady s relatvně symetrckým rozdělením s akceptovatelnou úrovní staconarty. a zkoumaných časových řadách denních kurzů akcí a akcového ndexu PX a na řadách jejch výnosností byla nejdříve provedena analýza jejch základních statstckých vlastností v programu Evews5. Základní deskrptvní statstky časových řad denních kurzů a výnosností zkoumaných akcových ttulů a ndexu PX jsou uvedeny v tabulce a 2. Obrázek 2: Vývoj denních kurzů ndexu PX a zkoumaných akcí POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

12 Tabulka Základní deskrptvní statstky zkoumaných časových řad PX KB O2 CEZ Průměr 742,88 960,42 42,03 263,69 Medán 523,40 80,42 386,75 00,09 Maxmum 936, ,00 967,30 40,00 Mnmum 36,00 229,7 84,80 38,55 Std odchylka 44,29 08,66 26,63 36,79 Škmost,30 0,4 0,85,7 Špčatost 3,23,97 3,67 4,64 Jarque-Bera 906,70 229,24 433,72 98,4 P-value 0,00 0,00 0,00 0,00 Počet pozorování Tabulka 2 Základní deskrptvní statstky časových řad výnosností PX KB CEZ O2CR Průměr 0,0004 0,0004 0,0007 0,0003 Medán 0,00 0,00 0,00 0,00 Maxmum 0,0705 0,2327 0,67 0,34 Mnmum -0,0708-0,2409-0,983-0,67 Std odchylka 0,09 0,0255 0,02 0,020 Škmost -0,29-0,42-0,28-0,9 Špčatost 5,79 3,93 9,74 7,56 Jarque-Bera 052, , ,23 278,77 P-value 0,00 0,00 0,00 0,00 Počet pozorování Z výsledků deskrptvních statstk řad denních výnosností zkoumaných akcí a akcového ndexu PX je možné pozorovat, že se v sledovaném období výnosnost akcového ndexu PX pohybují v mnohem užším ntervalu (-0,07, 0,07) než výnosnost ndvduálních akcí: u akcí Telefonca O 2 je to (-0,6, 0,), u akcí ČEZ je to (-0,20, 0,8) a u akcí Komerční banky je tento nterval nejšrší (-0,24, 0,23). Tomu odpovídají hodnoty standardních odchylek denních výnosností. Výsledky Jarqueova-Berova testu ukazují, že rozdělení výnosností není normální, protože hodnoty škmost a špčatost se statstcky značně lší od hodnot pro normální rozdělení (tabulka 2). Pro úplnost je třeba konstatovat, že se průměrná hodnota denních výnosností sledovaných akcí a akcového ndexu PX pouze nepatrně lší od 0 v sledovaném období. Abychom mohl rekonstruovat trajektor systému generujícího naše řady výnosností ve fázovém prostoru, je zapotřebí nejdříve zjstt vhodné hodnoty parametrů vnoření τ a d. Optmální hodnoty délky časového zpoždění jsou zvoleny na základě míry vzájemné nformace získané z řad denních výnosností zkoumaných akcových ttulů 36 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

13 a ndexu českého akcového trhu PX. Vhodné hodnoty dmenze vnoření jsou zvoleny podle metody nejblžších falešných sousedů. Tyto parametry jsou vypočteny v programovém balíku VRA 7 a výsledky jsou uvedeny na obrázcích 3, 4, 6 a 7. a těchto obrázcích nalevo jsou umístěny grafy závslost míry vzájemné nformace na délce časového zpoždění, kde na svslé ose je míra vzájemné nformace a na vodorovné ose je délka časového zpoždění. apravo jsou grafy znázorňující závslost podílu falešných sousedů na dmenz vnoření, kde na vertkální ose je podíl falešných sousedů (v %) a na horzontální ose je dmenze vnoření. Je na nch patrný pomalý pokles průměrné míry nformací získaných ze zpožděných pozorování. Vhodná délka časového zpoždění je zvolena hodnota, kdy vzájemná míra nformace dosahuje prvního mnma a v případě vhodné dmenze vnoření bude vždy zvolena hodnota, která snžuje počet falešných sousedů na mnmum 8 (vz výše uvedené obrázky). Obrázek 3 Časově zpožděná míra vzájemné nformace a závslost počtu falešných sousedů na dmenz vnoření řady výnosností akcového ndexu PX 7 Vsual Recurrence Analyss (VRA) je volně dostupný program vytvořený E. Korolovem v jazyku C++. VRA programový balík je řízen poměrně bohatou nabídkou různých funkcí pro lneární analýzu časových řad a je tedy velce užvatelsky komfortní. Lze jej využít jak ke kvaltatvní a kvanttatvní analýze, tak k predkc nelneárních časových řad. Exstuje rovněž komerční verze programu VRA, která na rozdíl od volně dostupné verze umožňuje užvatel ukládat predkované hodnoty. 8 Př zjštění, zda je nějaký stav falešný nebo ne, je třeba zvolt podle Kennelova postupu prahovou hodnotu. Ve VRA programovém balíku se tento problém obešel tímto postupem. V m-rozměrném prostoru ke každému stavu ym( t) = ( xt ( ), xt ( τ),..., xt ( ( m 2 ) τ), xt ( ( m ) τ) ) najdeme jeho nejblžšího souseda ym ( t) = ( x ( t), x ( t τ),..., x ( t ( m 2 ) τ), x ( t ( m ) τ) ). Obdobně postupujeme v (m+)-rozměrném prostoru a vypočítáme vzdálenost d = ym+ y. Tato vzdá- m+ 2 lenost současně je vzdálenost mez obrazy y a y. Když uvažujeme y m + jako predktor pro y m +, pak d je predkční chyba. Pokud je dmenze vnoření dostatečně velká, vzdálenost d mez (m+) složkam stavů y a y bude malá. Abychom určl, zda dva předmětní soused jsou falešní nebo ne, porovnáváme vzdálenost d s vzdáleností získanou trválním predktorem d t. Jako trvální predktor volíme jako y m pro y m +. Pokud d t < d, považujeme tento sousední stav za falešný. Formálně tedy: pokud y y y y, je nalezený soused považován za falešného. m+ m+ 2 m+ m 2 POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

14 Obrázek 4 Časově zpožděná míra vzájemné nformace a závslost počtu falešných sousedů na dmenz vnoření řady výnosností akcí Komerční banky KB a obrázcích 5 a 8 jsou uvedeny rekurenční grafy zkoumaných časových řad výnosností vytvořené programem VRA (Vsual Recurrence Analyss, Koronov, 2007). a všech obrázcích není patrná žádná dagonální struktura, což značí, že neexstuje perodcké chování v těchto řadách. a rozdíl od původního přístupu týkajícího se rekurenčního grafu, v současnost díky schopnost soudobé výpočetní technky na rekurenčním grafu lze zobrazovat vzdálenost jednoho stavu od ostatních a tyto vzdálenost na dagramu vyznačt barvou, v případě černobílého obrázku odstínem. Hodnoty těchto vzdáleností je možné vyčíst z mapy odstínů umístěné napravo vedle rekurenčního grafu. a získaných grafech jsou patrné svslé sloupce, což značí místa, kde se dané stavy systému odchylují od ostatních stavů na větší vzdálenost. Obrázek 5 Rekurenční graf řady výnosností a) akcového ndexu PX a b) Komerční banky KB. a) b) 38 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

15 Obrázek 6 Časově zpožděná míra vzájemné nformace a závslost počtu falešných sousedů na dmenz vnoření řady výnosností akcí Telefonca O2 Obrázek 7 Časově zpožděná míra vzájemné nformace a závslost počtu falešných sousedů na dmenz vnoření řady výnosností akcí ČEZu Obrázek 8 Rekurenční graf řady výnosností a) akcí Telefonca O2 a b) ČEZu. a) b) POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

16 a všech rekurenčních grafech zkoumaných časových řad běžným pohledem nelze najít žádnou pravdelnou strukturu an žádnou dagonální ln. Tyto rekurenční grafy se velm podobají rekurenčnímu grafu bílého šumu s vertkálním lnem různých barev. Jedná se o stavy, které se vzdalují od ostatních stavů s tím, že čím je barva těchto lní tmavší, tím je jejch vzdálenost větší. V původních časových řadách výnosností tomu odpovídají takové hodnoty výnosností, které slně vybočují z jejch průměru, a to na obou stranách hodnoty jejch průměru. Vzuálně je tedy možné vyloučt přítomnost determnsmu a perodcty ve zkoumaných řadách výnosností. Alternatvně bychom tedy mohl konstatovat, že výnosnost zkoumaných akcí a akcového ndexu PX se chovají spíše náhodně než determnstcky. V tabulce 3 jsou výsledky kvanttatvní rekurenční analýzy. Pro srovnání jsou tam také uvedeny výsledky kvanttatvní rekurenční analýzy pro Lorenzův systém. Kvanttatvní rekurenční analýza byla opět provedena v programu Vsual Recurrence Analyss (Koronov, 2007). Tabulka 3: Výsledky kvanttatvní rekurenční analýzy zkoumaných řad Index PX Akce KB Akce O2 Akce ČEZu Lorenzův systém RR ,003 0,039 DET ,648 LAM TRED ,002-0,023 MAXLIE ETR ,522 TT Výsledky kvanttatvní rekurenční analýzy potvrzují to, co pozorujeme na rekurenčních grafech zkoumaných řad výnosností. Rekurentní míry u všech řad výnosností našeho zájmu jsou nulové. To znamená, že každý stav v rekonstruovaném fázovém prostoru je jednečný a k němu se už nevrátí žádný další stav. Analýza také zjstla, že není přítomná v rekurentních grafech žádná dagonální lne an vertkální úsek, hodnoty míry determnsmu a lamnarty jsou nulové. To potvrzují také hodnoty délky největšího dagonálního úseku, které jsou ve všech případech je nulové. Další hodnoty, které jsou předmětem naší kvanttatvní rekurentní analýzy, jsou také nulové. aprot tomu, u Lorenzova systému hodnota rekurentní míry je 3,9 %, tedy pravděpodobnost, že se určtý stav opakuje, je 3,9 %. Také míra determnsmu je velm vysoká (9,65 %) a nejdelší dagonální lne má 689 pozorování (ze vzorku s 5000 pozorováním). ulová lamnarta a doba v past (trappng tme) svědčí o tom, že systém neuvízne v žádném ojednělém bodě. Hodnota entrope, která je 4,522, není tedy přílš vysoká, a to jednak potvrzuje determnstcký charakter Lorenzova systému, jednak také dokládá, že rekonstrukce Lorenzova systému je jednodušší a přesnější než rekonstrukce systémů, které generují nám zkoumané řady výnosností. Výsledky kvantta- 320 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009

17 tvní rekurenční analýzy vypovídají nejspíše o neexstenc determnstckého procesu generujícího výnosnost zkoumaných akcí a akcového ndexu PX na českém akcovém trhu. Pokud by byl v řadách výnosů přítomen determnstcký proces, muselo by se jednat o proces vysoké dmenze, kde modelování fnančních řad pomocí nelneárních metod není přílš efektvní. 5. Závěr Modelování fnanční časové řady tradčním lneárním metodam obvykle neposkytuje takové výsledky, které bychom potom mohl úspěšně využít k predkc jejch budoucího chování. Proto se snažíme aplkovat nové poznatky z jných vědních ds-cpln. elneární metody založené na určení přítomnost determnsmu je jedním z možných východsek. Tyto metody jsou však náročné na vstupní data, která nejsou vždy dostupná. Pro rychlá zjštění skrytého determnstckého procesu ve fnančních časových řadách se proto jeví jako vhodná technka rekurenčních grafů založená na grafckém znázornění vzdáleností jednotlvých stavů příslušného dynamckého systému zrekonstruovaného z dané časové řady, která na základě charakterstckých vzorů výskytu v rekurenčním grafu poskytuje relevantní nformace o chování zkoumaného systému. Aby se předešlo nejednoznačné nterpretac rekurenčního grafu, byla pozděj navržena kvanttatvní rekurenční analýza, která se snaží získat exaktnější nformace z rekurenčních grafů na základě několka statstk. Technka rekurenčních grafů a kvant-tatvní rekurenční analýza byla následně aplkována na denních datech získaných z českého akcového trhu k zjštění přítomnost případného determnstckého procesu. Pro tento účel byly vybrány kurzové řady akcového ndexu PX a akcí Komerční banky (KB), akcí Českých energetckých závodů (ČEZ) a akcí Telefonca O 2 (dřívější Český Telecom, O2) v období od roku 995 do roku Výsledky využtí technky rekurenčních grafů a kvanttatvní rekurenční analýzy ukazují, že v řadách výnosností akcového ndexu a jmenovaných akcí nebyla zjštěna přítomnost determnstckého procesu. Lteratura ATOIOU A.; VORLOW C Recurrence plot and fnancal tme seres analyss. eural etwork World, 0, s CAO, L Practcal method for determng the mnmum embeddng dmensons of scalar tme seres. Physca D, 997, 0. ECKMA, J.; KAMPHORST, S.; RUELLE, D Recurrence plot of dynamcal systém. Europhyscs Letters, 987, 4, s FABRETTI A.; AUSLOOSE M Recurrence plot and recurrence quantfcaton analyss technque for detectnga crtcal regme, example from fnancal market ndces. Internatonal Journal of Modern Physcs C, 2005, 6(5). HORÁK, J.; KRLÍ, L.; RAIDL, A Determnstcký chaos a jeho fyzkální aplkace. Praha : Academa, KATZ, H.; SCHREIBER, T onlnear Tme Seres Analyss. Cambrdge : Cambrdge Unversty Press, 997. KEEL, M.; BROW, R.; ABARBAEL, H Determnng embeddng dmenson for phasespace reconstructon usng a geometrcal constructon. Physcal Revew A, 45(6). KOROOV, E Vsual Recurrence Analyss. [software] The VRA package. POLITICKÁ EKOOMIE, 3,

18 LOREZ, E Determnstc nonperodc flow. Journal of Atmosphercal Scence, 963, 20, str MARVA,.; WESSEL,.; MEYERFELDT, U.; SCHIRDEWA, A.; KURTHS, J Recurrence plot based measures of complexty and ts applcaton to heart rate varablty data. Physcal Revew E, 2002, 66(2). SCHWABE, T Recurrence quantfcaton analyss of fnancal data. [Přednáška na semnář o ekonometr], Rezlern, ěmecko, červen SPROTT, J. C Chaos and Tme Seres Analyss. ew York : Oxford Unversty Press, TAKES, F On the numercal determnaton of the dmenson of and attractor. In BRAAKSMA, B. L. J.; BROER, H. W.; TAKES, F., Dynamcal Systems and Bfurcatons. Lecture otes n Math. Hedelberg ew York : Sprnger, 985. TRA, VA QUAG Testování slabé formy hypotézy efektvního trhu na českém akcovém trhu lneárním a nelneárním metodam. [Dsertační práce] VŠE, Praha, TREŠL, J Applcatons of Physcs n Fnance. In: Book of Abstracts of 7th Internatonal Confe-rence Aplmat Bratslava : Slovak Unversty of Technology, ISB TREŠL, J.; BLATÁ, D Dynamc Analyss of Selected European Stock Markets. Prague Economc Papers. 2007, roč. 6, č. 4, s VÁCHA, L.; VOŠVRDA, M Wavelet Decomposton of the Fnancal Markets. Prague Economc Papers. 2007, roč. 6, č., s VOŠVRDA, M.; BARUÍK, J Modelování krachů na kaptálových trzích: aplkace teore stochastckých katastrof. Poltcká ekonome. 2008, roč. 56, č. 6, s ZBILUT, J.; WEBBER, C Embeddngs and delays as derved from quantfcaton of recurrence plots. Physcs Letters, 7, str VISUAL RECURRECE AALYSIS AD ITS APPLICATIO O THE CZECH STOCK MARKET Jan Kodera, Tran Van Quang, Centre for Basc Research n Economc Dynamcs and Econometrcs, Unversty of Economcs Prague (kodera@vse.cz, tran@vse.cz) Abstract The am of the artcle s to answer the queston f the Czech stock market prce dynamcs s generated by non-lnear determnstc dynamc process. To solve ths complex problem requres usng sophstcated computatonal operatons to analyze huge amount of data nput. To overcome ths obstacle the vsual recurrence analyss s appled n ths artcle. Ths method enables vsualzaton of the state space reconstructed from a tme seres n the so called recurrent plot. Further, t quantfes varous geometrc structures occurred n recurrent plots and gves us more exact nformaton about the nature of the underlyng process generatng the tme seres. Ths analyss s then appled to the most lqud stock returns and the Czech stock market ndex PX seres. Keywords nonlnear determnstc dynamcs, Lorenz attractor, vsual recurrence analyss, recurrence plot, quanttatve recurrence analyss, fnance tme seres, Czech stock market JEL classfcaton C33, G9 322 POLITICKÁ EKOOMIE, 3, 2009