INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ

Transkript

1 Evroský olytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice INTEGRÁLNÍ POČET FUNKÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Učební tet Daniela Hricišáková Jitka Jablonická

2 EVROPSKÝ POLYTEHNIKÝ INSTITUT, s.r.o. KUNOVIE INTEGRÁLNÍ POČET FUNKÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ RNDr. Jitka JLONIKÁ Doc. RNDr. Daniela HRIIŠÁKOVÁ, Sc. Kunovice

3 utor: RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, Sc. Název: Integrální očet funkcí jedné roměnné Vydavatel: Evroský olytechnický institut, s.r.o. Kunovice, Jazyková redakce: Nerošlo jazykovou úravou ISN 988

4 Obsah ÚVOD... Primitivní funkce.... Pojem rimitivní funkce.... Základní vzorce ro rimitivní funkci Vzorce ro integrování oerací s funkcemi...8. Integrační metody..... Metoda er artes..... Metoda substituce..... Integrace racionální funkce Rozklad na arciální zlomky... Určitý integrál.... Pojem určitý integrál.... Výočet určitých integrálů..... Metoda er artes ro určité integrály Metoda substituce ro určité integrály.... Užití integrálního očtu..... Obsah rovinného útvaru určeného jednou funkcí..... Obsah rovinného útvaru určeného více funkcemi... ZÁVĚR...9 Literatura...

5 ÚVOD Matematika je jedním z nejméně oblíbených vyučovaných ředmětů ro většinu oulace. Přesto je tento ředmět, který řadíme mezi řírodní vědy, jedním z hlavních ilířů veškerého studia a eistence světa. Je základem každého technického směru. Logika, která je rovněž součástí matematiky, je důležitá ro všechny humanitní obory. I když se to nechce věřit, matematika nás rovází od útlého věku, ve škole, ři studiu na střední škole, na vysokých školách a také v raktickém životě. Jednoznačně se dá říct, že matematika s námi jde celým životem. Někomu stačí základní očty, které se učí na základních školách. Při studiu na střední škole se tyto základy rozšiřují o další oznatky. V dnešní době se matematika vyučuje na většině vysokých škol. Vysokoškolská matematika již žádá od studentů velké znalosti a klade velký důraz na ochoení mnohdy složitých situací. Ve studijním materiálu se snažíme na základě zkušeností jednoduchým zůsobem, bez množství složitých definic a vět, vysvětlit danou látku na říkladech a grafech. Současně uvádíme také u každé kaitoly říklady na rocvičení včetně výsledků, aby si studenti mohli vyzkoušet, zda danou látku ochoili. hceme, aby tento studijní tet byl raktickou omůckou ři studiu, a omohl studentům řekonat strach a obavy ři zkouškách. Studijní tet je rozdělen do kaitol. V kaitole rvní se čtenář seznámí se základními ojmy z integrálního očtu, s ojmem rimitivní funkce, základními vzorci ro rimitivní funkce a integračními metodami. V kaitole druhé je definován a vysvětlen ojem určitý integrál, včetně alikace jednotlivých metod integrace na určitý integrál a využití výočtu určitých integrálů v rai ro výočet loch. U všech definovaných ojmů jsou uvedeny vyřešené říklady a dále říklady na rocvičení. ílové znalosti: Studenti tohoto ředmětu získávají znalosti a dovednosti v oblasti základního kurzu matematiky. Nálň studia umožňuje rozšíření si matematických znalostí ze střední školy ředevším o diferenciální očet, který je základem integrální očtu a matematické analýzy důležité ro technické obory. ílové dovednosti: Student o absolvování tohoto ředmětu získá schonost efektivně využívat informace a znalosti. Dokáže využít vlastností funkce, limit, derivací ří růběhu funkce. ílové kometence: Matematika všeobecně rozvíjí logické myšlení a nachází ulatnění v mnoha oblastech lidské činnosti. Matematické znalosti lze ulatnit v oblasti logistiky, technické rae, statistického zracování dat a finančnictví či v oblasti matematické formulace reálných

6 roblémů. V rai se mohou matematické znalosti ulatnit v odnicích ři řešení manažerských roblémů a technických úkolů s matematickým oisem, ve sedičních a doravních firmách, v bankách, finančních institucích, úřadech a dalších místech, kde je otřebné zracování dat a ráce s P. Řešení rakticky jakéhokoliv technického roblému se neobejde bez výočtů. Výočtová řešení se většinou vedou s využitím aarátu vyšší matematiky, základním ředokladem jsou však solehlivé znalosti základních matematických oerací (algebra, trigonometrie, analytická geometrie, řešení soustavy rovnic) a mezi nezbytné znalosti otom atří ostuy vyšší matematiky (matematická analýza, diferenciální a integrální kalkulace, řešení diferenciálních rovnic, statistická analýza, teorie ravděodobnosti aj.). Zvláštní skuinu otom tvoří numerické matematické metody: jejich význam je zejména ve sojení se složitými a technicky náročnými výočty omocí moderní výočetní techniky. Za dodržení cílových znalostí, dovedností a kometencí odovídá student, za kontrolu odovídá vysoká škola. Součástí technologie jsou také cvičení v následujících tematických okruzích: Součástí technologie jsou také cvičení, která navazují na robíranou látku rocvičováním na raktických říkladech.

7 Primitivní funkce V diferenciálním očtu jsme se seznámili s derivováním funkcí. Jestliže známe derivace elementárních funkcí a ravidla ro derivování, jsme schoni derivovat libovolnou funkce. Oačnou oerací k derivování je integrování (anglické tety oužívají termín antiderivace). V této kaitole se seznámíme s ojmem rimitivní funkce. Množinu všech rimitivních funkcí k dané funkci nazveme neurčitým integrálem. Seznámíme se se základními metodami integrace (substituční metoda a metoda er artes). Pro danou funkci f ( ) dovedeme nalézt její derivaci f ( ) g( ) oačné úloze. Hledáme takovou funkci F ( ), aby daná funkce ( ) aby latilo F ( ) f ( ). Věnujme se nyní f byla její derivací tj.,. Tato funkce, okud eistuje, se nejen v matematice hledá velmi často a jmenuje se rimitivní funkce. Postu hledání se nazývá integrování (oačná oerace k derivování). ílové znalosti a dovednosti ílem. kaitoly je seznámit se se základními ojmy integrálního očtu, integrováním elementárních funkcí a integračními metodami. Klíčová slova Primitivní funkce, integrační znak, integrovaná funkce, diferenciál integrační roměnné, integrační konstanta, integrační metody, metoda er artes, substituční metoda, rozklad na arciální zlomky, ryze lomená racionální funkce, neryze lomená racionální funkce.. Pojem rimitivní funkce Definice Říkáme, že funkce F ( ) je v intervalu ( a; b) rimitivní funkcí k funkci f ( ) " ( a; b) vztah F ( ) f ( )., latíli Primitivní funkce Věta Jeli F ( ) rimitivní funkce k funkci f ( ) v intervalu ( b) F ( ), kde je libovolná konstanta, je rimitivní funkcí k funkci ( ) ( a; b). a;, ak také funkce f v intervalu Definice Množina všech rimitivních funkcí f ( ) na intervalu ( b) integrál této funkce. Píšeme: f d F. ( ) ( ) se nazývá integrační znak f je integrovaná funkce (integrand) d je diferenciál integrační roměnné je integrační konstanta ( ) a; se nazývá neurčitý Neurčitý integrál Integrační znak Integrand Diferenciál Integrační konstanta

8 Základní vzorce ro rimitivní funkci Současně latí ( F ( ) ) f ( ). To znamená, že okud derivujeme funkci, kterou jsme integrovali, dostaneme ůvodní funkci. Tato oerace slouží jako zkouška, jestli jsme integrování rovedli srávně.. Základní vzorce ro rimitivní funkci d, R d, R n n d, n d ln, sin d cos cos d sin cos ( ; ), n R { } d tg, k; k, k Z Ł ( k ; k ) k Z d cot g,, sin a a d, a >, a ln a e d e, ; f f ( ) ( ) ( ) d ln f ( ).. Vzorce ro integrování oerací s funkcemi Vzorce ro integrování oercí s funkcemi Řešený říklad Neučitý integrál U integrování eistují vzorce ouze ro násobení funkce konstantou, součet a rozdíl funkcí. Neeistuje součin a odíl funkcí integruje se omocí seciálních metod!!!!! cf d c f ( ) ( )d [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) Příklad d d Vyočtěte: ( ) d ( ) d d d d ( ) ro R Ł 8

9 Příklad Vyočtěte: ( ) ( ) d Řešený říklad Neučitý integrál Nejdříve umocníme a roznásobíme závorky a integrujeme odle výše uvedených vzorců. ( ) ( ) d ( ) d, R Příklad Vyočtěte: d Řešený říklad Neučitý integrál Funkci rozdělíme na jednotlivé zlomky a integrujeme odle výše uvedených vzorců. 8 d, Ł ( ;) d Ł d Příklad Vyočtěte: d Řešený říklad Neučitý integrál Funkci rozdělíme na jednotlivé zlomky a integrujeme odle výše uvedených vzorců. Ł d Ł d Ł d Ł, ( ; ) d Příklad Vyočtěte: ( sin ) d Řešený říklad Neučitý integrál ( sin ) d cos, R ro R ln Příklad Vyočtěte: ( sin ) d ( sin ) d cos, R ro R ln Řešený říklad Neučitý integrál 9

10 Řešený říklad Neučitý integrál Příklad Vyočtěte: tg d tg d sin cos d cos d cos k, k, k Z Ł Ł cos d tg, Příklady na rocvičení Neurčitý integrál Příklady na rocvičení: Vyočtěte integrál: a y d [ ] b y ( )d ] c y ( sin )d [ cos ] d y e d Ł [ e ln ] Uravte a vyočtěte integrál: a y ( ) d [ ] b y d [ ] c y d [ ] d y d [ ] e y d [ ] f y d g y ( ) d [ ] [ 9 ] h y ( )( ) d [ ] y [ ] i ( ) d j y d Ł [ 9 ]

11 k y d Ł [ ] Vyočtěte integrál: a y cot g d [ cot g ] b y sin d cos [ cos ] c y sin d sin [ sin ] d y cos d cos [ tg ] e y cos d sin [ cot g ] f y d sin cos [ tg cot g ] g y sin d [ ( sin ) ] h y cos d [ ( sin ) ] i y ( sin cos )d [ ] j y d [ ] k y d ] l y d m y d Ł [ ] ( ) [ ]. Integrační metody.. Metoda er artes Integrování metodou er artes integrace o částech, je založena na derivaci součinu u u, v v, ak ro derivaci součinu latí: dvou funkcí. Jsouli dány dvě funkce ( ) ( ) [ u( ) v( ) ] u ( ) v( ) u( ) v ( ). Z tohoto oznatku vylývá: Metoda er artes ro neurčitý integrál Věta Majíli funkce u ( ), v( ) v intervalu ( a; b) sojité derivace, ak v ( b) u( ) v ( ) d u( ) v( ) v( ) u ( ) d a; latí

12 Řešený říklad Metoda er artes ro neurčitý integrál Řešený říklad Metoda er artes ro neurčitý integrál Řešený říklad Metoda er artes ro neurčitý integrál Řešený říklad Metoda er artes ro neurčitý integrál Příklad Vyočtěte: sin d, ( ; ) Nejdříve rozhodneme, jakým zůsobem dosadíme do výše uvedeného vztahu. Ze dvou možností je zravidla vhodná ouze jedna. u( ) u ( ) sin d cos ( cos ) d v sin v cos cos Příklad ( ) ( ) cos d cos sin, R. Vyočtěte: ln d, ( ; ) V tomto říadě se nejedná o součin funkcí, ale můžeme oužít vztah ln ln a dále ostuujeme odle vzorce. u( ) ln u ( ) ln d ln d ln d ln v v ( ) ( ) ( ln ), ( ; ) Příklad Vyočtěte: e d, ( ; ) Zde je situace trochu složitější, rotože budeme muset oužít metodu er artes dvakrát o sobě. v e u u( ) u ( ) d v ( ) e v( ) ( ) u ( ) ( ) e v( ) e e e Příklad e e Vyočtěte: ln d, ( ; ) e e e ( e e d) e ( e e ) ( e ), R e d e e d Zde je situace trochu složitější, rotože budeme muset oužít metodu er artes dvakrát o sobě. u( ) ln u ( ) ln d ln d ln d v ( ) v( ) ln d ln ln Ł, ( ; )

13 Příklady k rocvičení: Pomocí metody er artes vyočtěte integrál: a cos d [ sin cos ] b d e [ e ( ) c sin d ] [ cos sin cos ] d e d ( ) e ] e ln d [ ( ln ) ] 9 f ln d [ ln ln ] Ł ln g d [ ( ln ) ] h ln d [ ( ln ) ln ] i d e sin [ e ( sin cos ) j d cos [ ( sin cos ) sin [ ( sin( ln ) cos( ln ) ) k ( ln )d l d e cos [ e ( sin cos ) ] ] ] ] Příklady na rocvičení Metoda er artes ro neurčitý integrál.. Metoda substituce Substituční metoda nám umožňuje zavedením nové roměnné řevést integrovanou funkci na funkci, kterou lze integrovat snadněji. Substituční metoda vychází z derivace složené funkce. Metoda substituce ro neurčitý integrál Věta Nechť F ( t) je rimitivní funkce ke sojité funkci f ( t) na intervalu ( b ) funkce g ( ) t derivaci g ( ) na intervalu ( a; b) a nechť ro každé ( a; b) g ( ) ( a; b ). Potom je funkce F ( g( ) ) rimitivní funkce k funkci f ( g( ) ) g ( ) intervalu ( a; b). Tedy latí f ( g( ) ) g ( ) d f ( t) dt F( t) F( g( ) ) Zavedli jsme substituci g ( ) t a;. Nechť má latí na

14 Řešený říklad Metoda substituce ro neurčitý integrál Příklad Vyočtěte: ( ) d Příklad by bylo možné řešit roznásobením závorek nebo umocněním odle binomické věty a ak integrováním jednotlivých sčítanců. Tento říklad by byl však velmi zdlouhavý, roto využijeme výše uvedené substituční metody. t 8 t t 8 8 ( ) d d dt dt t dt t ( ) 8 d dt Poznámka: Nejdříve jsme zavedli substituci, obě strany jsme zderivovali odle daných roměnných levá strana odle, ravá strana odle t, dosadili jsme do integrálu v integrálu se již nesmí objevit ůvodní roměnná, dále jsme integrovali odle nové roměnné a ak jsme do výsledku dosadili ůvodní substituci. Výsledek musí být vždy vyjádřen omocí ůvodních roměnných!!!!! Řešený říklad Metoda substituce ro neurčitý integrál Příklad Vyočtěte: ( ) d t d dt t t dt ( ) d dt t t ( ) R { }, Řešený říklad Metoda substituce ro neurčitý integrál Příklad Vyočtěte: d d t d dt dt d dt t dt ln t t ln ( ), R

15 Příklad Vyočtěte: d Řešený říklad Metoda substituce ro neurčitý integrál t t Ł dt d d dt t dt d t t tdt ( ) ( ), ( ;) t t Příklad Vyočtěte: tgd Řešený říklad Metoda substituce ro neurčitý integrál tgd sin cos cos t d sin d dt dt d sin k ; k, k Z Ł dt t dt ln t t ln cos, Příklady na rocvičení: Pomocí metody substituce vyočtěte integrál: a ( ) d [ ( ) ] b sin cos d [ cos ] c e d [ e ] d ln d [ ln ] e d [ ( ) ] f sin cos d [ sin sin ] g d [ ln ] h d [ ] ( ) ( ) Příklady na rocvičení Metoda substituce ro neurčitý integrál

16 i ( ) d [ ( ) 8 j 8 ( ) d [ ( ) k d Pomocí metody substituce vyočtěte integrál: a b c ( ) d d d 9 [ ( ) [ ] ( ) [ ln ] [ ln( ) d sin d [ cos ] 8 8 e cos d [ sin ] 8 f e d [ e ] g e d [ e ] h e d [ e ] i e d [ e ] j ln d [ ln ] k ln d [ ln ] l sin d [ cos cos m cos d [ sin sin sin ] n sin cos d [ sin sin ] o sin cos d [ sin sin ] ] ] ] ] ]

17 .. Integrace racionální funkce Rozklad na arciální zlomky Definice P( ) Funkci ve tvaru, kde P ( ) a Q ( ) jsou olynomy, nazýváme racionální Q( ) lomenou funkcí. Jeli stueň olynomu P ( ) menší než stueň olynomu Q ( ), mluvíme o ryze lomené racionální funkci. Jeli stueň olynomu P ( ) větší nebo roven stuni olynomu Q ( ), mluvíme o neryze lomené racionální funkci. Neryze lomenou funkci lze řevést na součet olynomu R ( ) a ryze racionální funkce stueň olynomu S ( ) je menší než stueň olynomu Q ( ) olynom P ( ) vydělíme olynomem Q ( ). Tedy: S Q ( ) ( ) (tj.. Toto docílíme tím, že Racionální lomená funkce P Q ( ) ( ) R ( ) S Q ( ) ( ) Poznámka: Polynom R ( ) je tedy odíl (beze zbytku), olynom ( ) dělení. ( ) ( ) ( ) ( ) d S je zbytek o P S Integrál d R( ) d, Q Q S řičemž sočítat ( ( ) R )d je snadné. Integrál Q( ) d vyočítáme tak, že jej řevedeme na součet integralů z tzv.arciálních zlomků, na jejichž součet ředtím S( ) S( ) funkci rozložíme. Tomuto rozkladu funkce obecně ředchází rozklad Q Q ( ) samotného jmenovatele ( ) ( ) Q na součin tzv. kořenových činitelů. Rozklady na arciální zlomky a integraci racionálních lomených funkcí si ukážeme na konkrétních říkladech. Příklad Vyočtěte: d Jedná se o ryze lomenou racionální funkci, roto nemusíme dělit mnohočleny a můžeme rozložit jmenovatele na součin kořenových činitelů. Řešený říklad Integrace Racionální lomené funkce ( ) ( ) Nyní rovedeme rozklad zlomku na součet dvou zlomků oačný ostu jako když řevádíme zlomky na solečného jmenovatele. Čitatele u obou zlomků si označíme jako neznámé konstanty, které budeme očítat.

18 8 řešíme jako rovnici, vynásobíme jmenovatelem ( ) ( ) roznásobíme ravou stranu seřadíme odle stuně olynomu ( ) orovnáme koeficienty levé a ravé strany, vytvoříme soustavu dvou rovnic a dvou neznámých Vyočítali jsme koeficienty a nyní můžeme okračovat ve výočti integrálu. Provedeme rozklad c d d d d d Ł Ł ln ln

19 Příklad Vyočtěte: d Polynom ve jmenovateli je vyššího stuně než olynom v čitateli, roto rovedeme dělení mnohočleů. Řešený říklad Integrace Racionální lomené funkce ( ) : ( ) Provedeme rozklad zlomku stejně jako v říkladě. 8 ( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 Ł ( )( ) 9

20 c d d d Ł Ł ln ln Příklad Vyočtěte ( )( )( ) d 8 Jedná se o ryze lomenou racionální funkci, roto nemusíme dělit mnohočleny, i jmenovatel je rozložen na součin kořenových činitelů, roto můžeme rozkládat na arciální zlomky. ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 8 * ** Řešený říklad Integrace Racionální lomené funkce

21 ( )( )( ) Ł c d d ln ln ln 8 ** Příklad Vyočtěte ( )( ) d Jedná se o ryze lomenou racionální funkci, roto nemusíme dělit mnohočleny, i jmenovatel je rozložen na součin kořenových činitelů, roto můžeme rozkládat na arciální zlomky. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * Ł Řešený říklad Integrace Racionální lomené funkce

22 d ( )( ) ln ln 8 d Ł c ln d Ł ln c ln c Při integraci jsme využili substituční metodu a v osledním kroku ravidla ro očítání s logaritmy. Eistují samozřejmě i mnohem složitější racionální lomené funkce, ale budeme se zabývat ouze výše uvedenými tyy. Příklady na rocvičení Integrace Racionální lomené funkce Příklady na rocvičení: Vyočítejte: a d [ ln c ] b d [ ln c ] c d ( )( ) [ ln ln c ] d d [ ln ln c ] ( )( ) e ( ) d [ ln ( )( )( ) 8 ( )( ) c] f d ( ) [ ln c ] g d [ ln ln c ] h d 8 [ ln ln c ] i 8 d [ ln c ] j d [ ln ln c ] k d [ ln c ] l d [ c ln ln ] m d [ ln c ] 9

23 n 8 d 8 [ ln ln ln c ] Kontrolní otázky. Definujte rimitivní funkci.. Jaký je vztah mezi derivací a integrací?. Proč se uvádí u rimitivní funkce o integraci konstanta?. Uveďte některé vzorce ro integraci elementárních funkcí a vysvětlete je.. o znamená ojem er artes?. Vysvětlete ostu ři integraci er artes.. Vysvětlete ojem substituce a její význam ři integrování. 8. Z čeho se skládá racionálně lomená funkce? 9. o znamená rozklad na arciální zlomky? Shrnutí V. kaitole jsme se seznámily s ojmem rimitivní funkce, vysvětlili jsme ojem integrál a naučili jsme se omocí vzorců řešit integrály. Při výočtu integrálů jsme využili i několik základních integračních metod.

24 Určitý integrál V ředcházející kaitole jsme se seznámili s ojmem neurčitý integrál, který dané funkci řiřazoval oět funkci (řesněji množinu funkcí). V této kaitole se budeme věnovat určitému integrálu, který dané funkci řiřazuje číslo. Určitý integrál má využití ve velkém množství alikací. Pomocí určitého integrálu můžeme očítat obsahy loch, délky křivek, objemy a láště rotačních těles, statické momenty rovinných obrazců, křivek a rotačních těles, souřadnice těžiště. Velké množství alikací nalezneme ve fyzice (výočet rychlosti, dráhy, ráce, Další alikace nalezneme v ekonomice, financích, ravděodobnosti a statistice av mnoha dalších oborech. ílové znalosti a dovednosti ílem. kaitoly je alikovat znalosti z. kaitoly v raktických řikladech. Jak jednoduché integrály elementárních funkcí, tak i jednotlivé integrační metody. Rovněž je zde uvedeno využití určitých integrálů v raktických úlohách ro výočet lochy. Klíčová slova Určitý integrál, dolní mez, horní mez, integrační obor, integrand.. Pojem určitý integrál Určitý integrál Historickou motivací ro vznik určitého integrálu byl výočet obsahů loch. Tento roblém řešeli již staří egyťané v souvislosti s určováním velikosti ozemků, jejichž velikost se měnila v důsledku zálav Nilu. Problém řešili tak, že danou lochu rozdělili na trojúhelníky, sočítali jejich obsahy a ty ak sečetli. Tyto metody ozději rozvinuli staří Řekové Mějme funkci f ( ), která je sojitá a nezáorná na intervalu a; b. Geometrický útvar ohraničený shora grafem f ( ), římkami a, b a osou. Obrázek č. 8 nazveme křivočarý lichoběžník. Naším úkolem je vyočítat obsah tohoto útvaru. Obr. č. 8: Graf křivočarého lichoběžníku Zdroj: []

25 Rozdělíme obrazec rovnoběžkami s osou y na roužky. Obrázek č. 8. Je zřejmé, že obsah obrazce dostaneme jako součet obsahů jednotlivých roužků. V uvedeném říadě P P P P P. Pokud bychom si lochy uravili na obdélníky a sočítali součet těchto loch odle uvedeného vzorce, byl by obsah lochy velmi neřesný. Obr. č. 8: Graf křivočarého lichoběžníku rozděleného na čtyři části Zdroj: [] Dá se ředokládat, že čím více bude obdélníků, tím řesnější bude výočet obsahu celkové lochy omocí součtu těchto jednotlivých loch. udemeli očet roužků neomezeně zvětšovat a současně zužovat, měla by se řibližná hodnota daná součtem obdélníčků stále řibližovat obsahu P daného obrazce. Tedy obsah dasoname jako limitu ro nekonečný očet obdélníčků. Obr. č. 8: Graf křivočarého lichoběžníku rozděleného na nekonečný očet částí Zdroj: [] Definice Nechť je funkce ( ) f integrovatelná na intervalu a; b. Pak číslo I nazýváme určitý (Reimannův) integrál funkce f na intervalu íšeme I b a f ( ) d Číslo a se nazývá dolní mez, číslo b horní mez, interval funkce f integrand. a; b a a; b integrační obor a Určitý integrál Dolní mez Horní mez Integrační obor Integrand

26 Věta (NewtonovaLeibnizova formule) f je sojitá na intervalu b Nechť funkce ( ) f ( ) v intervalu a; b, ak b a f b ( ) d [ F( ) ] F( b) F( a) a a; a ( ) F je rimitivní funkce k funkci Řešený říklad Určitý integrál Příklad Vyočtěte: d Ø ø d Œ œ º ß [ ] () 8 (). Výočet určitých integrálů 8 9 Při výočtu určitých integrálů latí stejná ravidla, vzorce a metody jako u neurčitých integrálů (součet, rozdíl, násobení konstantou, metoda er artes, metoda substituce). Řešený říklad Určitý integrál Příklad Vyočtěte integrál: ( ) d ( ) Ø ø Œ œ º ß d Ø ø Œ œ º ß d [] [ ] [ ] [] ( ) ( ) ( ) 8 d d d d d Řešený říklad Určitý integrál Příklad Vyočtěte integrál: d Ł Ø ø d d d d d Œ œ ln Ł º ß ( ) ( ln ln) ln ln [ ] ( ) [ ln ]

27 Definice Nechť je funkce ( ) b a f ( ) d f ( ) a b f integrovatelaná na intervalu a; b. Pak d Integrovatelná funkce Věta Nechť je funkce ( ) a < c < b. Pak je ( ) f integrovatelná na intervalu a; b a c je libovolné reálné číslo f integrovatelná na intervalech a ; c, c; b a latí b a c ( ) d f ( ) d f ( ) d, c ( a b) f ; b a c Příklad 8 Vyočtěte integrál: f ( ) d, jeli f ( ) ro ; a f( ) ro ; Řešení. Funkce f ( ) je sojitá oba intervaly jsou uzavřené v krajním bodě roto můžeme očítat odle výše uvedeného vzorce. Řešený říklad Určitý integrál Obr. č. 88: Graf k říkladu č. Zdroj: [] f ( ) d f ( ) d f ( ) d d d [ ] 8[ ln ] [ ] 8[ ln ln ] 8ln 8ln 8 Příklady na rocvičení: Vyočtěte určitý integrál: Příklady na rocvičení Určitý integrál a b ( ) d [] d []

28 c ( ) d ( ) e ( ) f ( ) d [8] d [ ] d [] d [] g ( ) d [ 8 ] h ( ) d [ ] i ( ) j k m d [ ] sin d [ ] cos d [] e d n ( e ) o e d d Ł Uravte a vyočtěte určitý integrál: a ( ) b c 8 [ ( e )] [ e ] [ e ] d [ ] d d d ( ) [ ] [ ] 9 d [ ] e ( ) f 8 d [ ] d [ 8 ] 8

29 g h i cos sin d d d j ( sin cos ) k l m [ ] d [ ] sin d cos cos d d [] [] [ ] [ ] [ ln ].. Metoda er artes ro určité integrály Věta Majíli funkce u ( ) a ( ) v v intervalu b b b [ ] u ( ) v( )d b u( ) v ( ) d u( ) v ( ) a a a a; sojité derivace u ( ) a v ( ), ak latí Metoda er artes ro určitý integrál Příklad Vyočtěte: sin d u( ) u ( ) sin d v ( ) sin v ( ) [ sin ] [ ()][ sin ] cos [ cos ] cos d [cos cos] Řešený říklad Metoda er artes ro určitý integrál 9

30 Řešený říklad Metoda er artes ro určitý integrál Příklad Vyočtěte integrál e ln d e u ln ln d v e e u v e e e [ ln ] d ( elneln) [] ( e) ( e) Příklady na rocvičení Metoda er artes ro určitý integrál Příklady na rocvičení: Vyočtěte určitý integrál omocí metody er artes: a ( ) b c d e f g h e ln d [ ln ] e ln d [ ] cos d [ ] sin d [ ] ln e d ( ln ) ] sin d [ ] e d [ e ] 9 cos d [ ] i ln( ) d [ ln ].. Metoda substituce ro určité integrály Metoda substituce ro určitý integrál Věta Nechť funkce f ( t) je sojitá na intervalu a; b. Nechť funkce g ( ) t derivaci g ( ) na intervalu b a g ( ) b, a g( a), b g( b) (tedy funkce g zobrazuje interval b a; b ). má sojitou a; a nechť " a; b latí a; na interval

31 Potom latí b a f ( g( ) ) g ( ) d F( g( b) ) F( g( a) ) F( b ) F( a ) f () t Je možné rovněž dosadit zět substituci, ale tento zůsob je zdlouhavější a složitější, roto je leší změnit hodnoty mezí. g g ( b) ( a) dt Příklad Vyočtěte integrál: sin cos d Řešený říklad metoda substituce ro určitý integrál sin Ł meze : sin t cos d cos d dt, sin t dt t dt d cos sin 8 [ ] Ø Œ Œº Ł ø œ œß Ł 8 Příklad Vyočtěte integrál: d Řešený říklad metoda substituce ro určitý integrál d t d dt dt d ( ) ( ) meze :, ( ) t dt t Ø ø Œt œ dt Œ œ Œ œ º ß [ t t ] Příklady na rocvičení: Vyočtěte omocí vhodné substituce: a cos sin d [ ] Řešený říklad metoda substituce ro určitý integrál

32 b c d e ( ) d e e d e ln d cos d sin f ( ) g h [ ] [ ln e ] [ ln ( ln) ] [ ln ] d [ ] d sin cos d [ ] [ ]. Užití integrálního očtu Užití určitého integrálu je velmi široké. Pomocí určitého integrálu je možné vyočítat obsahy některých rovinných útvarů, ale i objemy a ovrchy rotačních těles a délky rovinných křivek. Široké je užití integrálního očtu ve fyzice a fyzikální chemii. Při řešení geometrických a fyzikálních úloh ostuujeme vedvou krocích: Převedeme řešení úlohy na výočet určitého integrálu. Tento určitý integrál vyočítáme. Obsah rovinného útvaru určeného jednou funkcí.. Obsah rovinného útvaru určeného jednou funkcí Věta Nechť U U ( a, b, f ) grafem sojité funkce f ( ) útvaru latí: S b ( U ) f ( ) a je úvar, který je omezen osou, a dále římkami a, b a d y v uzavřeném intervalu a; b. Pak ro obsah tohoto Obsah daného útvaru očítáme omocí absolutní hodnoty, rotože se může stát, že integrovaná funkce nabývá na dané intervalu záorných hodnot. Není možné, aby obsah lochy bylo záorné číslo!!!!! bsolutní hodnotu můžeme uvádět vždy, roto absolutní hodnota z kladného čísla je číslo kladné a absolutní hodnota ze záorného čísla je číslo oačné.

33 Obr. č. 89: Grafy k větě... Zdroj: [] Pokud funkce nabývá na intervalu a; b kladných i záorných hodnot, rozdělíme interval na odintervaly a očítáme obsahy jednotlivých částí, odle výše uvedeného vzorce. Jednotlivé hodnoty ak sečteme. Obr. č. 9: Graf funkce nabývající nekladných a nezáorných hodnot na intervalu Zdroj: [] S b c d ( U ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( )d a a c d a c d c c d c Příklad Vyočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami: f : y, y,, Řešený říklad obsah lochy Provedeme náčrtek:

34 Obr. č. : Graf k říkladu č. Zdroj: [] S Ø Œ º ( U ) ( ) d ø œ ß 8 Řešený říklad obsah lochy Příklad Vyočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami: f : y, y,, Provedeme náčrtek: Obr. č. : Graf k říkladu č. Zdroj: [] S ( U ) ( ) d Ø Œ º ø œ ß Řešený říklad obsah lochy Příklad Vyočtěte obsah útvaru omezeného křivkami Provedeme náčrtek: y sin, y,, : Obr. č. : Graf k říkladu č. Zdroj: [] Graf funkce y sin rotíná osu v bodech,,, roto musíme očítat lochu rozdělení na odintervaly.

35 S ( U ) sin d sin d [ cos ] [ cos ] [ cos cos ] [ cos cos ] Příklady na rocvičení: Vyočtěte obsah rovinného útvaru, který je omezen osou a křivkou: Příklady na rocvičení obsah lochy a y [ S ] 9 b y [ S ] c y sin, ; [ S ] d y [ S ].. Obsah rovinného útvaru určeného více funkcemi Věta Nechť U U ( a, b, f, g) y f ( ) y g( ), a, b g ( ) f ( )," a; b S je úvar, který je ohraničený křivkami, funkce f, g jsou nezáorné, sojité a latí. Pak ro obsah tohoto útvaru latí: b ( U ) [ f ( ) g( ) ] Meze a d a, b mohou být rovněž ové souřadnice růsečíků funkcí. Obsah rovinného útvaru určeného více funkcemi Příklad Vyočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami Nejdříve určíme meze určitého integrálu. ( ) Provedeme náčrtek: y, y. Řešený říklad obsah lochy

36 Obr. č. : Grafy k říkladu č. Zdroj: [] ( ) ( ) œ ß ø Œ º Ø Ł Ł œ ß ø Œ º Ø d U S Když se odíváme na náčrtek, obsah odovídá řibližně obsahu čtverce o rozměrech. Příklad Vyočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami: y y, Určíme meze určitého integrálu: ( ),, Vyočítali jsme kořeny kvadratické rovnice odle vzorce a můžeme vyočítat obsah lochy. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 Ł Ł Ł œ ß ø Œ º Ø Ł Ł œ ß ø Œ º Ø d d U S Příklady na rocvičení: Vyočtěte obsah útvaru, který je ohraničen křivkami: Řešený říklad obsah lochy Příklady na rocvičení obsah lochy

37 a y, y,, [ S ln ] b y ln, y,, e [ S ( ln ) ] c y e, y,, [ S e ] e d y tg, y,, [ S ln ] e y, y, y [ S ] f y, y [ S ] g y, y [ S ] h y, y [ S ] i y, y [ S ] 9 j y, y [ S 9 ] k y, y, y, [ S ln ] l y e, y e, y e [ S ] m 9 y, y [ S ] n 9 y, 8 9y, y, y [ S ] o 8 y, y [ S ] y, y [ S ] q y ( ), y, y, ; [ S ] r y, y, y [ S ] Kontrolní otázky. Definujte určitý integrál.. Jaký význam mají horní a dolní mez?. Lze oužít ři výočtu určitého integrálu všechny integrační metody?. Vysvětlete, čím je secifická substituční metoda ro určitý integrál v říadě mezí.. Uveďte říady, které mohou nastat z hlediska grafického ro výočet lochy a jakým zůsobem se locha vyočítá.

38 Shrnutí Ve. kaitole jsme alikovali znalosti z. kaitoly v raktických řikladech. Jak jednoduché integrály elementárních funkcí, tak i jednotlivé integrační metody. Rovněž je zde uvedeno využití určitých integrálů v raktických úlohách ro výočet lochy. 8

39 ZÁVĚR Studijní tet Integrální očet byl vyracován jako studijní materiál ro studenty. ročníku EPI, s.r.o. KUNOVIE. Především však ro ty studenty, kteří se s danou roblematikou setkali na středních školách jen v malém měřítku nebo nesetkali vůbec. Jedná se naříklad o studenty středních škol s ekonomickým zaměřením. Je určen rovněž studentům distanční formy studia, kteří se s matematikou nesetkali od ukončení střední školy nebo matematika nebyla jejich maturitním ředmětem. To znamená, že bylo řihlédnuto k tomu, že studenti rvního ročníku jsou nesourodí z hlediska dosavadní úrovně matematického vzdělání s ohledem na různé dotace hodin jednotlivých tyů škol, které řed tímto studiem absolvovali. Tento materiál je účelovým sestručněním dané roblematiky a má řisět k zoakování, rohloubení a usořádání dosavadních matematických vědomostí, které budou dále využity v odborných ředmětech jak ekonomických, tak technických. ylo třeba řešit zásadní dilema z hlediska srozumitelnosti a toto nasat ve zjednodušené a srozumitelné formě, závoveň však aby byla zachována odbornost a matematická řesnost. 9

40 Literatura [] RTSH, H. J. Matematické vzorce. Praha : Mladá fronta,. ISN 8. [] REKTORYS, K. Přehled užité matematiky I. Praha : Prometheus,. ISN [] VRENSKÁ, H.; ĚLOHLÁVKOVÁ, J. Základy matematiky ro bakaláře I. Ostrava : Skritum VŠTU,. ISN: 889. [] PVELK, L.; PINK, P. Integrální očet funkcí jedné roměnné Matematika III. Ostrava : Skritum VŠTU, 999. ISN 88X. [] HRUÝ, D.; KUÁT, J. Matematika ro gymnázia, Diferenciální a integrální očet. Praha : Prometheus,. ISN 89. [] POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha : Prometheus,. ISN 899. [] Studijní oory vysoké školy báňské, Základy matematiky [online]. c8 [cit. 89]. Dostuná z WWW: htt: [8] Studijní oory vysoké školy báňské, Matematika I. [online]. c8 [cit. 8 9]. Dostuná z WWW: htt: [9] Studijní oory vysoké školy báňské, Matematika II. [online]. c8 [cit. 8 9]. Dostuná z WWW: htt:homen.vsb.cz~kreesfmat.

41 Název: Integrální očet utor: RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, Sc. Vydavatel, nositel autorských ráv, vyrobil: Evroský olytechnický institut, s.r.o., Osvobození 99, 8 Kunovice Náklad: ks Počet stran: Rok vydání: ISN 988

42