ELIPTICKÉ KRYPTOGRAFIE S VYBRANÝMI ALGORITMY,
|
|
- Kryštof Beneš
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kvaternion /014, ALGEBRAICKÉ A ČÍSELNĚ TEORETICKÉ POZADÍ ELIPTICKÉ KRYPTOGRAFIE S VYBRANÝMI ALGORITMY, ZEJMÉNA PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY MIROSLAV KUREŠ Abstrakt. Článek přináší především přehled vybraných výsledků z algebry (a částečně i z teorie čísel), které jsou nezbytné pro studium eliptických křivek nad konečnými poli. Motivací pro takové studium je kryptografie založená na eliptických křivkách (stručněji eliptická kryptografie nebo jen ECC), která se v posledních letech bouřlivě rozvíjí. Obsah článku vychází z autorových přednášek na Semináři z aplikované geometrie Ústavu matematiky FSI VUT v Brně v prvním pololetí roku 007, které pak byly dále upraveny a znovu předneseny studentům navštěvující nepovinný předmět Aplikovaná algebra pro inženýry (opět na FSI VUT v Brně). Článek obsahuje i vybrané algoritmy, zejména pro určení řádu eliptické křivky. Úvod Základními pojmy teorie eliptických křivek a jejich aplikací v kryptografii s veřejným klíčem se zabýval již autorův článek []; proto je zde připomeneme jen stručně. Eliptickou křivkou E nad polem F rozumíme algebraickou křivku třetího stupně s rovnicí y + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a x + a 4 x + a 6, kde a 1, a, a 3, a 4, a 6 F a kde tzv. diskriminant eliptické křivky E je nenulový. Přitom = d d 8 8d 3 4 7d 6 + 9d d 4 d 6, kde d = a 1 + 4a, d 4 = a 4 + a 1 a 3, d 6 = a 3 + 4a 6, d 8 = a 1a 6 + 4a a 6 a 1 a 3 a 4 + a a 3 + a 4. Je-li F q = F p n (p prvočíslo, n N konečné pole s charakteristikou různou od a 3), pak vhodnou změnou souřadnic lze Weierstrassovu rovnici transformovat na rovnici y = x 3 + ax + b, podobných zjednodušení lze dosáhnout i pro charakteristiky a 3. Bodem eliptické křivky E rozumíme každý bod [x, y] se souřadnicemi x, y F splňujícími její rovnici a dále bod. Nad body eliptické křivky (nadále již bereme E) lze zavést binární operaci značenou + (podrobněji v []), s touto operací pak křivka tvoří grupu. Řádem eliptické křivky E pak rozumíme řád této grupy čili počet bodů E; značíme ho #E. Je-li E eliptická křivka nad konečným polem F q, pro její řád #E(F q ) platí q +1 q #E(F q ) q +1+ q, tzn. řád je prvkem intervalu zvaného Hasseho interval. Řád bodu P eliptické křivky pak je obvyklý řád prvku z teorie grup čili nejmenší n N takové, že np =. Budeme ho značit P. U čtenáře předpokládáme jen znalosti základů teorie grup (opakovaně mj. využíváme Lagrangeův teorém, tedy že řád prvku dělí řád grupy). Uvádíme zde tedy 010 MSC. Primární 94A60, 11T71; Sekundární 14H5. Klíčová slova. Kryptografie založená na eliptických křivkách, algoritmy pro určení řádu eliptické křivky.
2 64 M. KUREŠ i některé dobře známé výsledky, jako Malou Fermatovu větu a Čínskou zbytkovou věty v kontextu, v jakém je potřebujeme. Článku je ponechána původní struktura přednášky s členěním na číslované odstavce. Text je doplněn řadou ilustrativních příkladů. 1. Vybraná tvrzení z algebry a teorie čísel z pohledu ECC 1 Pokud jde o generování náhodného bodu eliptické křivky E, můžeme vzít náhodný prvek F q, dosadit ho za x nebo za y a druhou souřadnici dopočítat z rovnice eliptické křivky. 1 Pokud neexistuje řešení pro druhou souřadnici, vezmeme jiný prvek F q. Toto se pokusíme zefektivnit (pro prvočíselná pole), a to i s ohledem na nalezení řádu E. Je-li n N a existuje-li pro 0 m < n řešení rovnice y m ( mod n) (pro neznámou y), řekneme, že m je kvadratickým reziduem (modulo n). Pro eliptickou křivku E(F p ) s rovnicí y = x 3 + ax + b musí pro každou nenulovou x-ovou souřadnici jejího bodu být výraz x 3 + ax + b kvadratickým reziduem (modulo p). 3 Kvadratická rezidua se pro přirozená n tabelují. Uvádíme přehled kvadratických reziduí modulo n =,..., 0 (a zvýrazňujeme prvočísla): n = : 1 n = 3 : 1 n = 4 : 1 n = 5 : 1, 4 n = 6 : 1, 3, 4 n = 7 : 1,, 4 n = 8 : 1, 4 n = 9 : 1, 4, 7 n = 10 : 1, 4, 5, 6, 9 n = 11 : 1, 3, 4, 5, 9 n = 1 : 1, 4, 9 n = 13 : 1, 3, 4, 9, 10, 1 n = 14 : 1,, 4, 7, 8, 9, 11 n = 15 : 1, 4, 6, 9, 10 n = 16 : 1, 4, 9 n = 17 : 1,, 4, 8, 9, 13, 15, 16 n = 18 : 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16 1 pochopitelně je výhodnější dosazování za x, neboť dosazení za y vede na kubickou rovnici
3 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY 65 n = 19 : 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 n = 0 : 1, 4, 5, 9, 16 a dále máme např. n = 357 : 1, 4, 6, 9, , 347, 348, 351, 353, 356 (celkem 1178 reziduí můžeme najít např. pomocí [3]). 4 Je-li m kvadratickým reziduem, pak vyhovující y, pro něž nazýváme odmocninou m (modulo n). y m ( mod n), 5 Pro eliptickou křivku E(F p ) s rovnicí y = x 3 + ax + b náhodně vybereme x a ověříme, zda x 3 + ax + b je kvadratickým reziduem. Pokud ano, spočteme y jako odmocninu x 3 +ax+b. Najdeme-li vyhovující y, je také y odmocninou x 3 +ax+b. (Pro p > a pro y 0 je y prvek různý od y.) Dále, předpokládejme, že také z je odmocninou x 3 + ax + b. To znamená z čehož y z ( mod p), y z = (y + z)(y z) 0 ( mod p) a vidíme, že z = y nebo z = y. Z uvedeného plyne, že je-li x 3 + ax + b kvadratickým reziduem a y jeho odmocninou, je jedinou další odmocninou téhož rezidua y. 6 Pro p > dávají nenulové prvky y a y totéž kvadratické reziduum y (a žádný jiný prvek již toto reziduum nedává). Takových dvojic (y, y) v F p ovšem je p 1, tedy také počet kvadratických reziduí v F p je roven p 1. Při náhodné volbě prvku F p máme tedy téměř padesátiprocentní pravděpodobnost, že jde o kvadratické reziduum. 7 Eulerovo kritérium. Pro prvočíselné pole s p > platí: m je nenulovým kvadratickým reziduem (modulo p) právě tehdy, když m p 1 1 ( mod p) a m je kvadratickým nereziduem 3 (modulo p) právě tehdy, když (Důkaz bude později.) m p 1 1 ( mod p). ovšem totéž kvadratické reziduum může vyjít pro různá x, některá kvadratická rezidua nemusíme obdržet a také x 3 +ax+b kvadratickým reziduem být nemusí proto z počtu kvadratických reziduí řád eliptické křivky jednoduše odhadnout nelze 3 tzn. je nenulové a není kvadratickým reziduem
4 66 M. KUREŠ 8 Nyní z Eulerova kritéria plyne, že součin dvou kvadratických reziduí je kvadratické reziduum, součin dvou nereziduí je reziduum, avšak součin rezidua a nerezidua je nereziduum. 9 Legendrův symbol ( ) m n se zavede následovně: ( m ) 1 je-li m kvadratickým reziduem (modulo n), = 0 je-li m nula (modulo n), n 1 je-li m kvadratickým nereziduem (modulo n). Potom řád eliptické křivky pomocí t a Legendrova symbolu vyjádříme takto: t = ( x 3 ) + ax + b. p x F p Přímé užití tohoto vztahu se někdy nazývá naivní algoritmus pro určení řádu eliptické křivky. 10 Malá Fermatova věta. Pro libovolné 0 y F p platí y p 1 1 ( mod p). Důkaz. F p {0} spolu s operací násobení tvoří grupu. Tato grupa má p 1 prvků čili řád p 1. Ovšem řád prvku m dělí řád grupy; tedy existuje k N takové, že y k 1 ( mod p), k p 1. Pak ovšem také y p 1 1 ( mod p). 11 Wilsonova věta. V F p platí (p 1)! 1 ( mod p). Důkaz. Nejdříve zjistíme, která y F p splňují y 1 ( mod p). Převedeme-li jedničku na levou stranu a provedeme-li rozklad rozdílu čtverců, máme (y + 1)(y 1) 0 ( mod p) a z toho máme y = 1 nebo y = 1 p 1. Tedy 1 a p 1 jsou jediné dva prvky rovné své multiplikativní inverzi. Všechny ostatní prvky sdružíme do dvojic tak, aby v dvojici byly právě k sobě inverzní prvky (pro násobení). Těchto dvojic je p 3 a součin každé z nich je 1. Stačí tedy přeměnit pořadí činitelů v (p 1)! takto (p 1)! = (p 1) 1 (součin první dvojice) (součin p 3 -té dvojice), }{{}} {{} 1 1 abychom viděli, že 4 (p 1)! p 1 1 ( mod p). 4 například pro F7 máme 6! = = 6 1 ( 4) (3 5) = = 6 1 (mod 7)
5 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY 67 1 Důkaz Eulerova kritéria. Především si uvědomme, že pro dané m F p existuje pro každé 0 y F p takové z F p, že yz m ( mod p). (Skutečně, z = y 1 m.) Předpokládejme nejprve, že m není kvadratickým reziduem, tedy rovnice y m ( mod p) nemá řešení pro žádné y F p. To znamená, že všech p 1 prvků F p je sdruženo do dvojic a součin každé takové dvojice je roven m. Současně součin všech součinů těchto p 1 dvojic je roven (p 1)!, tzn. (p 1)! = m p 1 a levá strana je rovna 1 (modulo p) podle Wilsonovy věty. Je-li m kvadratickým reziduem, pak m = y pro nějaké y F p, máme potom m p 1 = (y ) p 1 = y p 1 a tento výraz je roven 1 (modulo p) podle Malé Fermatovy věty. 13 Výpočet odmocniny v F q = F p n, p >, provedeme pomocí tzv. Smartova algoritmu 5. Vstup: Kvadratické reziduum x F q. 1. krok: Vyjádříme q 1 ve tvaru q 1 = T s, kde T je nezáporné celé číslo a s je liché přirozené číslo.. krok: Vezmeme libovolné kvadratické nereziduum y F q a spočteme A = y s. 3. krok: Spočteme B = x s 1 a položíme t 0 = 0, k = krok: Nyní pro k = 0,..., T 1 počítáme kde t k+1 = t k + k C k, 0 jestliže ( (A t k B) x ) T 1 k = 1, C k = 1 jestliže ( (A t k B) x ) T 1 k = krok: Položíme x = (A t T B)x. Výstup: Odmocnina x F q. (Poznamenejme, že čísla s, T a A mohou být připravena již při inicializaci pole F q.) 14 Příklad. V prvočíselném poli F 357 je x = 55 kvadratickým reziduem a y = nereziduem. (Dále počítáme samozřejmě modulo 357). Pak q = p 1 = = 1178 = Máme s = 589, T = 1 a A = 589 = 633. Spočteme B = = = 188. Nyní t 0 = 0 a protože ( ) 55) = 1, 5 efektivnější algoritmus než Smartův je anoncován např. v [6]
6 68 M. KUREŠ což je kvadratické reziduum, máme C 0 = 0. Odtud t 1 = 0. V závěrečném kroku vypočteme x = = 401. Dalším řešením je 401 = Řád eliptických křivek nad prvočíselnými poli 15 Známe-li některé body na křivce a jejich řády, může to postačit k určení řádu křivky. Najdeme-li totiž nejmenší společný násobek L řádů jednotlivých bodů, je řád křivky určitě jeho násobkem. Podaří-li se, aby pouze jediný násobek L ležel v Hasseho intervalu, je řád křivky nalezen. (Musíme ovšem mít efektivní metodu pro zjištění řádu bodu.) 16 Uvedeme Shanksův algoritmus, který vychází z 15 a řeší problém hledání řádu bodů eliptické křivky. Vstup: L = q + 1 q, H = q q, d = H L. 1. krok: Náhodně vybereme bod P (F q ).. krok: Spočteme P, P,..., (d 1)P. Je-li ip = pro nějaké i d, jdeme na 1. krok. Jinak vytvoříme posloupnost BS = {, P, P,..., (d 1)P }. (Prohledali jsme několik nejmenších násobků bodu P, udělali jsme tzv. baby step.) 3. krok: Položíme Q = dp a počítáme H j = LP + jq pro j = 1,,..., d. Z bodů H j vytvoříme posloupnost HS. (Nyní hledáme velké násobky bodu P s krokem d, to je tzv. giant step.) 4. krok: Je-li jediné H j prvkem BS 6, vezmeme odpovídající dvojici indexů 7 i, j, položíme #E(F q ) = L + jd i a jdeme na Výstup. Je-li více (řekněme M) prvků HS prvkem BS, uspořádáme dvojice indexů (i k, j k ), k = 1,..., M tak, aby j 1 > > j M ; potom vezmeme dvojici (i 1, j 1 ), (i, j ) a položíme P = (j 1 j )d (i 1 i ). 5. krok: Je-li P < q 1, jdeme zpět na 1. krok. 6. krok: Náhodně vybereme bod R E(F q ). 7. krok: Opakujeme. krok, 3. krok a 4. krok (pro bod R), spočte-li se #E(F q ), jdeme na Výstup, jinak jdeme na 8. krok. 8. krok: Stejně jako ve 4. kroku pro bod P, určíme nyní řád R. Dále určíme nejmenšího dělitele s řádu R tak, že sr je násobkem P. Je-li s P < 4 q, jdeme zpět na 5. krok. 9. krok: Určíme n takové, že ns P leží v Hasseho intervalu 8. Položíme #E(F q ) = ns P. Výstup: #E(F q ). 17 Příklad. Pro prvočíselné pole F 357 uvažujme eliptickou křivku E : y = x x alespoň jedno Hj prvkem BS být musí, plyne to z Lagrangeova teorému: povšimněme si totiž, že pomocí BS a HS efektivně hledáme, jaký násobek bodu P je roven 7 v BS je index i = 0, 1,..., d 1, v HS index j = 1,,..., d 8 takové n je jediné
7 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY 69 Hasseho interval zde je #E(F 357 ) , což prakticky znamená 61 #E(F 357 ) Příklad. Vezmeme-li bod P = [0, 1] s řádem 100, s přihlédnutím k Hasseho intervalu máme okamžitě spočten řád eliptické křivky; pouze jediný násobek 100, a sice 400, leží v Hasseho intervalu. Vezměme si proto nyní o něco méně pohodlnou situaci: předpokládejme, že známe bod P = [1471, 41], jehož řád je roven 50 a bod R = [36, 48] s řádem 30. Nejmenší společný násobek L řádů bodů Q a R je 150 a tedy řád eliptické křivky je nějaký násobek 150; v Hasseho intervalu je toto číslo opět jediné: Příklad. Vstupem pro Shanksův algoritmus v tomoto příkladě jsou čísla L = 60, H = 456, d = 14. Vybereme bod P = [0, 1]. Pak dostaneme a BS = {, [0, 1], [197, 315], [595, 1118], [161, 171], [171, 983], [1046, 08], [175, 61], [1601, 1419], [589, 1110], [171, 11], [35, 153], [651, 1950], [19, 300]} HS = {[565, 33], [154, 1835], [1595, 65], [1574, 58], [380, 75], [1753, 547], [833, 376], [966, 174], [1, 481],, [1, 1876], [966, 1083], [833, 1981], [1753, 1810]}. Zde je i = 0, j = 10 a odtud #E(F 357 ) = = Příklad. Pro další prověření Shanksova algoritmu se nabízí zvolit jiný počáteční bod P. Zkusme například P = [1471, 41]. Pak dostaneme a BS = {, [1471, 41], [590, 67], [1309, 169], [1844, 1753], [310, 915], [1633, 1835], [989, 670], [353, 1659], [19, 56], [003, 177], [856, 17], [110, 177], [19, 1958]} HS = {[1974, 1093], [110, 630], [590, 67], [1697, 1458], [1363, 916], [1633, 5], [353, 1659], [601, 630], [1530, 086],, [1530, 71], [601, 177], [353, 698], [1633, 1835]}. Máme i 1 = 6, j 1 = 14, dále i = 0, j = 10; i 3 = 8, j 3 = 7; i 4 =, j 4 = 3. Potom řád P = (14 10) 14 (6 0) = 50. Volíme náhodně další bod E, vezměme tedy R = [36, 48]. Pro tento bod dostaneme BS = {, [36, 48], [175, 360], [1453, 1391], [1535, 191], [1395, 48], [1363, 1441],
8 70 M. KUREŠ a [6, 858], [985, 1447], [10, 79], [73, 187], [647, 179], [003, 630], [1477, 1363]} HS = {[1363, 916], [985, 1447], [985, 910], [1363, 1441], [73, 530], [1535, 191], [003, 177], [175, 360], [1458, 579],, [1458, 1778], [175, 1997], [003, 630], [1535, 166]}. Máme i 1 = 1, j 1 = 13, dále i = 0, j = 10; i 3 =, j 3 = 8; i 4 = 4, j 4 = 6; i 5 = 6, j 5 = 4; i 6 = 8, j 6 = ; řád R = (13 10) 14 (1 0) = 30. Dělitelé R jsou 1,, 3, 5, 6, 10, 15 a 30. Zatímco R, R, 3R a 5R nejsou žádným násobkem P, 6R = 0P a tedy s = 6; s P > 4 q a určíme n = 8. Jako výsledek obdržíme #E(F q ) = ns P = = 400. Množina {0, 1,..., n 1} s operací sčítání modulo n představuje grupu, kterou značíme Z n. Dále, kartézský součin {0, 1,..., n 1 1} {0, 1,..., n 1} s operací indukovanou sčítáním modulo n 1 v první a modulo n v druhé složce je grupou, kterou značíme Z n1 Z n. Grupa E(F q ) je vždy izomorfní grupě Z n1 Z n, přičemž n dělí jak n 1, tak q 1 (a n 1, n jsou takto určeny jednoznačně). Pak ovšem #E(F q ) = n 1 n. V grupě E(F q ) musí také existovat bod řádu n 1. 3 Je-li n = 1 (v předchozím vyjádření #E(F q ) = n 1 n ), je grupa E(F q ) cyklická. Je-li n > 1 malé přirozené číslo (, 3, 4,... ), říkáme, že grupa E(F q ) je téměř cyklická. V cyklické grupě existuje bod, jehož řád je roven již přímo #E(F q ). Výhodné ale už také je, je-li grupa téměř cyklická, neboť v ní existují body dostatečně vysokého řádu, jejichž (patrně) jediný násobek patří do Hasseho intervalu. 4 Pro dané a, b uvažujme všechny eliptické křivky y = x 3 + ad x + bd 3, 0 d F p. ( ) d Platí: všechny křivky s p = 1 jsou vzájemně izomorfní (a tudíž mají týž řád) 9 ; ( ) d také ale všechny křivky s p = 1 jsou vzájemně izomorfní (a s tímž řádem). Tohoto výsledku užil dále Mestre a odvodil následující tvrzení. 5 Předpokládejme, že máme dvě eliptické křivky E, Ē vyjádřené pro nějaká d, d ve tvaru E : y = x 3 + ad x + bd 3 Ē : y = x 3 + a d x + b d 3, ( ) ( ) d přičemž p = 1 a d p = 1. Předpokládejme dále, že grupa E je izomorfní grupě Z n1 Z n a n dělí n 1 a grupa Ē je izomorfní grupě Z n 1 Z n a n dělí n 1. Pak pro p > 457 platí max{n 1, n 1 } > 4 p. Tento výsledek znamená, že alespoň jedna z křivek E, Ē má bod řádu většího než 4 p. 9 a protože vždy ( 1 p ) = 1, jsou především izomorfní s křivkou s d = 1
9 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY 71 6 Další důležitý Mestreho výsledek o řádu křivek E(F p ) a Ē(F p) je #E(F p ) + #Ē(F p) = p +. 7 Nabízí se tedy hledat bod (za předpokladu p > 457) dostatečně vysokého řádu dle 4 na jedné z křivek E, Ē a pomocí první části Shanksova algoritmu spočítat jeho řád. Provedeme tzv. Mestreho smyčku. Vstup: p, E(F p ), Ē(F p). 1. krok: Vybereme náhodně x F p.. krok: Spočteme σ = ( ). Je-li σ = 0, jdeme zpět na 1. krok. Je-li σ = 1, budeme pracovat s křivkou E w = E a souřadnicí x w = x, jinak E w = Ē a x w = dx. 3. krok: Dopočteme bod P = [x w, y w ] na E w (tedy najdeme y w ). Pro tento bod provedeme. krok, 3. krok a 4. krok Shanksova algoritmu. Pokud se ale ve 4. kroku Shanksova algoritmu nespočte přímo #E w 10, jdeme na 1. krok této (Mestreho) smyčky. 4. krok: Je-li E w = E, klademe #E = #E w, jinak #E = p + #E w. Výstup: #E(F p ). 8 Poznamenejme, že podstata oprávněnosti případného přepnutí na křivku Ē a náhradu souřadnice x souřadnicí dx tkví v tom, že (dx) 3 + ad (dx) + bd 3 = d 3 (x 3 + ax + b) je kvadratickým reziduem z důvodu popsaného v 8. 9 Příklad. Pro F 357 a křivku E s rovnicí y = x x + 1 při volbě x = 14 spočteme x x + 1 = 188 a 188 je kvadratickým reziduem, protože podle Eulerova kritéria máme ( mod 357). Odmocninou 188 modulo 357 je 138, dále ( mod 357), tedy [14, 138], [14, 19] E. Totéž kvadratické reziduum 188 dostaneme i při volbách x = 1040 a x = Proto také [1040, 138], [1040, 19], [1303, 138], [1303, 19] E. 30 Příklad. Protože 4 je kvadratickým reziduem modulo 357, je křivka s rovnicí y = x x = x x + 64 izomorfní s křivkou E : y = x x+1. Naopak, není kvadratickým reziduem modulo 357 a tedy křivku s rovnicí y = x x = x x + 8 bereme dále jako Ē. Náhodně vyberme x = ; potom = 1664 není kvadratickým reziduem modulo 357 čili σ = ( ) = 1. Tudíž naši křivkou Ew je křivka E w = Ē : y = x x + 8 a x w = = 4 a vezmeme například P = [4, 79]. Pro tento bod dá Shanksův algoritmus #E w = 316 a odtud #E = = tedy je-li více prvků HS prvkem BS
10 7 M. KUREŠ 3. Algebraický uzávěr konečného pole, Frobeniův endomorfismus a torzní grupy 31 Jsou-li F a G pole, pak každý okruhový homomorfismus h: F G je injektivní. Jsou-li F a G pole a existuje-li okruhový homomorfismus h: F G, pak G nazveme rozšířením pole F. Podpole h(f ) v G pak obvykle ztotožňujeme s F. 3 Rozšíření G pole F nazveme algebraické, jestliže G obsahuje pouze kořeny polynomů nad F Uvažujme algebru polynomů v jedné neurčité F [x] nad polem F. Jestliže nekonstantní polynom P F [x] jde vyjádřit jako součin (lineárních) kořenových součinitelů z F [x], tj. P = deg P i=1 (x r i ) (r i F jsou kořeny P ), řekneme, že P je úplně rozložitelný v F [x]. Jinými slovy, je-li polynom P stupně m N úplně rozložitelný v F [x], má m kořenů F (včetně násobnosti). 34 Steinitzova věta. Pro každé pole F existuje jediné jeho algebraické rozšíření G takové, že každý polynom P F [x] je úplně rozložitelný v G[x] a G je nejmenší pole s touto vlastností. Pole G se pak nazývá algebraický uzávěr F ; píšeme G = F. Pole, pro něž platí F = F se nazývá algebraicky uzavřené Algebraický uzávěr F q libovolného konečného pole F q má nekonečně mnoho prvků 13. Pole F q = F p n je pole charakteristiky p a kardinality ℵ Jako ilustraci si stačí uvědomit, že např. nad polem F je polynom x + x + 1 nerozložitelný. Označíme-li jeho kořen j, dostaneme rozšíření F o čtyřech prvcích: 0, 1, j, j+1. Toto pole je izomorfní 14 s F 4, s nímž ho dále ztotožníme. Nerozložitelný polynom je ovšem i nad F 4 a dostáváme nekonečnou posloupnost rozšíření F F 4 F 8 F 16..., přičemž žádné z konečných polí není algebraicky uzavřené. Tato konečná pole ovšem mají týž algebraický uzávěr, tedy F = F 4 = F 8 = F 16 = je třeba dobře známo, že C je algebraickým rozšířením R, avšak R není algebraickým rozšířením Q, neboť R obsahuje i čísla, která nejsou kořeny polynomů nad Q (čísla transcedentní vzhledem k Q) 1 příkladem algebraicky uzavřeného pole je C 13 nad konečným polem vždy existují nerozložitelné polynomy 14 dle Galoisova teorému
11 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY Nad polem F charakteristiky p (máme tedy na mysli buď F p n = F q nebo F q ) definujme jednoduchý Frobeniův endomorfismus předpisem φ: F F φ(x) = x p. 38 Vlastnosti jednoduchého Frobeniova endomorfismu: φ(xy) = φ(x)φ(y) (zřejmé); φ(x + y) = φ(x) + φ(y) (rozepíšeme φ(x + y) = (x + y) p = x p + ( ) p 1 x p 1 y =... ( p p 1) xy p 1 + y p, pro pole charakteristiky p ale máme ( ) ( p 1 = = p p 1) = 0). 39 Pro pole F p je přímým důsledkem malé Fermatovy věty vlastnost x p = x pro všechna x F p. To znamená, že F p s prvky 0, 1,..., p 1 představuje množinu pevných bodů jednoduchého Frobeniova endomorfismu φ: F F. Pevných bodů není více, protože polynom x p x může mít nejvýše p kořenů. 40 Aplikujeme-li dvakrát po sobě jednoduchý Frobeniův endomorfismus, dostaneme zobrazení φ = φ(φ): F F, pro něž φ (x) = x p. Pak množinou pevných bodů pro φ je F p. Obecně, iterací dostaneme φ n : F F, kde φ n (x) = x pn a množinou pevných bodů je F p n. Pro n z vyjádření q = p n pak zobrazení φ n označíme novým symbolem π a budeme ho nazývat Frobeniův endomorfismus. 41 Označme Ē eliptickou křivku na algebraickém uzávěru F q pole F q, která má stejnou rovnici y = x 3 +ax+b jako E. Na bod P = [x, y] Ē aplikujme Frobeniův endomorfismus takto: π(p ) = [π(x), π(y)] = [x q, y q ]. 4 Nyní platí: (i) je-li P Ē, pak také π(p ) Ē, (ii) pro P Ē nastane π(p ) = P právě tehdy, když P E, (iii) pro P, Q Ē je π(p + Q) = π(p ) + π(q).
12 74 M. KUREŠ (Vlastnost (i) není samozřejmá a zasluhuje důkaz. Vlastnost (ii) již dokázána byla, jde o výše uvedený popis pevných bodů Frobeniova endomorfismu. Vlastnost (iii) plyne z příjemných vlastností Frobeniova endomorfismu, srv. 38.) 43 Na E je Frobeniův endomorfismus π identickým zobrazením, což vyjádříme jeho charakteristickou rovnicí π 1 = 0. Otázkou nyní je, jakou charakteristickou rovnici má Frobeniův endomorfismus π pro Ē. Odpoveď je tato: charakteristická rovnice π pro Ē je π tπ + q = 0, kde Přesněji, pro π platí tzn. t = q + 1 #E(F q ). π(π([x, y])) tπ([x, y]) + q[x, y] = 0, [x q, y q ] + q[x, y] = t[x q, y q ]. 44 Bod P křivky Ē splňující np = nazýváme n-tý torzní bod. Množina všech n-tých torzních bodů se značí Ē[n], je podgrupou grupy Ē, kterou nazýváme n-tá torzní grupa. (Evidentně Ē[1] je triviální grupa obsahující jen bod.) 45 Pro body druhé torzní grupy platí P + P =, což je možné jen pro nulovou y-ovou souřadnici bodu P. Tedy jde o to, zda existuje kořen rovnice x 3 +ax+b = 0 (v F q ). Pokud ano, potom je řád #E(F q ) sudý a tedy t je sudé čili t 0( mod ). Neexistuje-li kořen x 3 + ax + b = 0 (v F q ), je t 1( mod ). Proveďme výpočet gcd(x 3 + ax + b, x q x). Je-li tento největší společný dělitel roven 1, tedy x 3 +ax+b a x q x jsou nesoudělné polynomy, kořen rovnice x 3 + ax + b = 0 v F q ) neexistuje, v opačném případě pak ano. Zdůvodnění této skutečnosti je následující: rovnice x 3 + ax + b = 0 má samozřejmě kořen v F q (dle definice algebraického uzávěru): ovšem F q = {x F q ; x = x q }, 15 tedy splňuje-li kořen v F q také rovnici x q x = 0, je kořen prvkem F q. 46 Je zřejmé, že je-li n libovolným násobkem řádu bodu P, pak P Ē[n]. 47 Příklad. Pro popis všech torzních grup křivky Ē y = x x + 1 nad F 357 nyní můžeme využít spočteného řádu #E = 400. Číslo 400 má dělitele 1,, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15, 16, 0, 4, 5, 30, 3, 40, 48, 50, 60, 75, 80, 96, 100, 10, 150, 160, 00, 40, 300, 400, 480, 600, 800, 100, 400. Například Ē[7] bude proto podobně jako Ē[1] triviální grupou. 15 viz 39, 40
13 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY Schoofův algoritmus (využití Čínské zbytkové věty) 48 Schoofův algoritmus publikovaný v roce 1985 počítá řád eliptické křivky v polynomiálním čase. Nechť q = p n, p > 3. Protože je řád #E(F q ) číslo z (Hasseho) intervalu délky 4 q, stačí pro určení #E(F q ) znát číslo kde N > 4 q. # N E(F q ) = #E(F q ) mod N, 49 Nyní N vyjádřeme pomocí prvočíselného rozkladu r N = l 1 l r = l i > 4 q (l i prvočísla předpokládejme, že jsou malá, navzájem různá, různá od i od p 16 ); pokud známe všechna # li E(F q ), i = 1,..., r, můžeme toho využít k výpočtu # N E(F q ). Aplikujeme přitom následující větu. 50 Čínská zbytková věta. Jsou-li čísla l 1,..., l r po dvou nesoudělná, má soustava i=1 x c 1 ( mod l 1 ), x c ( mod l ),... x c r ( mod l r ) jediné řešení modulo N = l 1... l r. Toto řešení x můžeme spočíst jako r x = c i N i M i, kde N i = N l i a M i = N 1 i i=1 mod l i (tzv. Gaussův algoritmus). 51 Pro eliptickou křivku E s rovnicí y = x 3 +ax+b nad polem s charakteristikou různou od definujme rekurentně posloupnost polynomů dvou proměnných takto: ψ 0 = 0, ψ 1 = 1, ψ = y, ψ 3 = 3x 4 + 6ax + 1bx a, ψ 4 = 4y(x 6 + 5ax 4 + 0bx 3 5a x 4abx 8b a 3 ),... ψ m+1 = ψ m+ ψ 3 m ψ m 1 ψ 3 m+1 pro m, ψ m = ψ m y (ψ m+ψ m 1 ψ m ψ m+1) pro m >. Polynom ψ n se nazývá n-tý dělící polynom. Budeme počítat l r + dělících polynomů (l r je největší prvočíslo z rozkladu 49 ). 16 obvykle se začíná od a berou se postupně různá prvočísla, až součin překročí 4 q; případ l = jsme ale zmínili v 45 a pro zjednodušení ho v tuto chvíli zde vypouštíme
14 76 M. KUREŠ 5 Základní vlastnost dělících polynomů je tato: Dělící polynom ψ n je polynom dvou neurčitých x, y nad F q, splňující pro každý bod P = [x, y] Ē[n] ψ n (x, y) = S využitím rovnice eliptické křivky y = x 3 + ax + b můžeme dělící polynomy upravit tak, aby pro liché n byl ψ n polynomem jediné proměnné x (tento polynom je stupně n 1 ) a pro sudé n měl ψ n tvar součinu y s polynomem proměnné x (tento polynom je stupně n 4 ). Pak lze ψn rovněž vyjádřit pro každé n jako polynom jedné proměnné x. Nakonec si uvědomme, že i ψ n 1 ψ n+1 je (opět s využitím rovnice eliptické křivky y = x 3 +ax+b) také pro každé n polynom proměnné x. 54 Je-li P = [x, y] bod Ē, lze jeho n-násobek a n-násobek (n kladné) vyjádřit pomocí dělících polynomů: [ np = x ψ n 1ψ n+1 ψn, ψ ] n ψn 4, [ np = x ψ n 1ψ n+1, ψ ] n. Nyní tedy vidíme, že pomocí uvedeného vztahu je první souřadnice np (resp. np ) vyjádřena jako racionální funkce souřadnice x a druhá souřadnice pak jako násobek souřadnice y a opět racionální funkce souřadnice x. 55 Uvažujme v 53 zmíněné polynomy proměnné x, tzn. pro liché n přímo f n = ψ n a pro sudé n f n = ψn y. Lze ukázat, že tyto polynomy nemají vícenásobné kořeny. Z toho pak plyne, že pro liché prvočíslo l má f l, který je stupně l 1, v F q právě l 1 kořenů, představujících x-ové souřadnice bodu torzní grupy Ē[l] a ke každé x-ové souřadnice lze najít dvě různé souřadnice y-ové (pracujeme nad algebraicky uzavřeným polem). Po započtení bodu, který rovněž patří do Ē[l], zjišťujeme, že počet bodů Ē[l] je l. ψ n 56 Pro prvočíslo l nyní vezměme číslo q takto: q q ( mod l), q < l ( q může být i záporné); podle předchozího nyní můžeme vyjádřit násobek qp = q[x, y]. 57 Nyní nepůjde o nic jiného než o aplikaci charakteristické rovnice Frobeniova endomorfismu uvedené v 43. Platí totiž: je-li P = [x, y] Ē[l], pak q[x, y] = q[x, y]. Označíme-li dále t = t mod l, potom také t[x q, y q ] = t[x q, y q ]. Charakteristickou rovnici máme pro [x, y] Ē[l] ve tvaru [x q, y q ] + q[x, y] = t[x q, y q ]. ψ 4 n
15 ALGORITMY PRO URČENÍ ŘÁDU ELIPTICKÉ KŘIVKY Poté, co vyjádříme x-ovou souřadnici q[x, y] = qp pomocí dělících polynomů, provedeme součet: x-ovou souřadnici součtu [x q, y q ] + q[x, y] označíme x a spočteme ji pomocí vzorce pro součet dvou bodů (pro něj je více variant 17 ). 59 Nyní tedy máme rovnici x = tx q neboli x tx q = 0, kterou vyřešíme pro neznámou t. 18 Hledané t l může nabývat hodnoty t nebo t. Na všechna nalezená t l aplikujeme 50, abychom obdrželi t. 60 Pro určení #E(F 357 ) stačí tedy znát číslo # N E(F 357 ), kde N > 154. Nabízí se zvolit například N = 165 = = l 1 l l 3. Budeme proto nejdříve počítat číslo # 3 E(F 357 ); l je tedy nejprve rovno Příklad. Pro prvočíselné pole F 357 uvažujme eliptickou křivku Dělící polynomy jsou ψ 1 = 1, ψ = y, ψ 3 = 3x x + 1x + 170, E : y = x x + 1. ψ 4 = 4x 6 y + 51x 4 y + 80x 3 y + 140x y + 90xy y, ψ 5 = 330x x x x x 7 + 3x 6 y x 6 +84x x 4 y x x 3 y x x y x +145xy x y Pomocí rovnice y = x x+1 jdou ψ 1, ψ 3 a ψ 5 vyjádřit jako funkce proměnné x, totéž platí pro ψ a ψ 4. ψ 1 = 1, ψ = 4x x + 4, ψ 3 = 3x x + 1x + 170, ψ 5 = 5x x x x x x x x x x x + 195, t = q + 1 #E(F q ), t = = zde se musíme rozhodovat, zda jde o obecný případ dvou různých bodů nebo o různé body se stejnou první souřadnicí nebo zda jde o týž bod 18 řešení této rovnice je ovšem třeba nějak efektivně (!) zvládnout; např. v [4] je uvedena metoda tzv. postupného umocňování
16 78 M. KUREŠ Reference [1] D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone: Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer, 004. [] M. Kureš: Weilovo párování na eliptických křivkách v kryptosystémech založených na totožnosti a kryptograficky randomizované odpovídací techniky, Kvaternion 01, [3] Výpočet kvadratických reziduí on-line, [4] G. Musiker: Schoof s algorithm for counting points on E(F q), 005, [5] S. Sundriyal: Independent Study Report: Point Counting on Elliptic Curves over Finite Fields, study/ec.pdf [6] F. Wang, Y. Nogami, Y. Morikawa: A high-speed square root computation in finite fields with application to elliptic curve cryptosystem, Memoirs of the Faculty of Engineering, Okayama University 39 (005), 8 9. [7] E. V. York, Elliptic Curves Over Finite Fields, Thesis, George Mason University, 199, Miroslav Kureš, Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně, Technická, Brno, Česká republika, kures@fme.vutbr.cz
Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice
O Weilově párování na eliptických křivkách Miroslav Kureš Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice Abstrakt. Pracovní seminární text,
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VícePředmluva k šestému číslu časopisu Kvaternion
Předmluva k šestému číslu časopisu Kvaternion Milé čtenářky, milí čtenáři, s jistým zpožděním se do vašich rukou dostává druhé číslo Kvaternionu ročníku 2014. Tématem čísla je Aplikovaná algebra pro inženýry,
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceJak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
Více