OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PÍRODOVDECKÁ FAKULTA VARIANÍ POET. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D.

Transkript

1 OSTAVSKÁ UNIVEZITA PÍODOVDECKÁ FAKUTA VAIANÍ POET Prof NDr Olg Kruková DrSc NDr Mrn Swczyn PhD OSTAVA 6

2 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe

3 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Vysvlvky k oužívným symbolm Prvodce sudem vsu uor do exu secfcký zsob kerým se sudenem komunkue ovzbuzue e dolue ex o dlší nformce Píkld obsnní nebo konkrezování roblemky n íkldu ze žvo z rxe ze soleenské rely od Pomy k zmování Shrnuí shrnuí edcházeící láky shrnuí koly erur oužá ve sudním merálu ro dolnní rozšíení oznk Konrolní oázky úkoly rovuí do ké míry suduící ex roblemku ochol zmovl s odsné dležé nformce zd e dokáže lkov ešení roblém Úkoly k exu e oeb e sln nerodlen nebo omáhí dobrému zvládnuí následuící láky Koresondenní úkoly ech lnní osuue suduící odle okyn s nonou dávkou vlsní ncvy Úkoly se rbžn evduí hodnoí v rbhu celého kurzu Úkoly k zmyšlení ás ro záemce náší láku úkoly rozšuící úrove zákldního kurzu Psáže úkoly sou dobrovolné Tesy oázky ke kerým ešení odovd výsledky suduící ndou v rámc sudní oory ešení odovd vážou se n konkréní úkoly zdání esy

4 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 4

5 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe OBSA Úvod 7 Informce o srukue obshu uebního exu 9 Z hsore vrního ou Úvodní oznámky oznení 5 VAIANÍ PINCIP PO KIVKY V EUKIDOV POSTOU 7 Kvky ech grfy 8 Funkce kce První vrní formule 4 Eulerovy-grngeovy rovnce 6 5 Vrní úlohy ro kvky v 9 6 Vrní úlohy ro kvky v 5 Konrolní úkoly 4 7 Trvální ekvvlenní grnány4 8 Úloh o brchysochron45 9 Pohybové rovnce mechnckého sysému49 Koresondenní úkol 5 EGUÁNÍ VAIANÍ POBÉMY 5 egulární grngány 54 mlonán mulzy 56 Zákony zchování energe mulzu 65 4 mlonovy rovnce 68 5 Vrní rnc ro mlonovy rovnce 74 6 Knoncké rnsformce76 7 mlonov-jcobho rovnce8 Koresondenní úkoly 89 ešení konrolních úkol 9 Použá dooruená lerur 9 5

6 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 6

7 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe ÚVOD V kždodenním žvo lovk neusále soí ed rozhodováním kdy zvžue ednu z nkolk možnosí keré v dné suc cházeí v úvhu Nkonec všnou zvolí u kerá se v dné suc v dném okmžku eví ko neleší nevhodnší neefekvnší nebo-l omální Movy ro o rozhodování sou rosé uše s uše eníze sníž soebu mxmlzov zsk mnmlzov zráy odobn To snh o mxmální efekvu vede v rzných odvvích ldské nnos k hledání omálních ešení Chceme-l ní omální z možnosí musíme eš úlohy n nlezení mxm nebo mnm o e nevších nebo nemenších hodno nkých veln Ob yo omy- mxmum mnmum- lze shrnou od eden ermín exrém Úlohy n nlezení mxm nebo mnm se k nzýví exremálním úlohm Mže í o neednodušší úlohy yu ur mxmum nebo mnmum nké kvnvní velny u nž e z dných okolnosí odsná závslos n nkolk rmerech romnných Ke zvládnuí kovýcho úloh vysíme se znlosm dferencálního ou funkcí edné nebo více romnných lneární lgebry V rx všk velny echž exrémy se mí urov závsí so n velkém ou rmer keré mohou bý nvíc nkým zsobem svázány edesným odmínkm V omo íd smoná relzce ešení e ž nd ldské síly robíhá odle edesných lgorm n oíích ešením exremálních úloh všk nemusí bý vždy en nká mxmální nebo mnmální hodno nebo soubor hodno so e úloh formulovná k že se má nvrhnou omální vr nkého les ur omální rekore ohybu nkého obeku snov efekvní model nkého rocesu nvrhnou omální lán dorvy odobn N exremální úlohy e roo nuné nhlíže v obecnších souvslosech Kždá exremální úloh musí bý nedíve esn ednoznn formulován Poom e nuné evés úlohu z osného zyk do formálního zyk memky Tkový evod se nzývá formlzce úlohy Pesn formlzovná exremální úloh musí obshov následuící rvky Jednk musí bý zdán množn všech íusných rvk zn množn všech možnosí keré cházeí v úvhu ze keré se k vybírá omální možnos nebo omální rvek nebo-l exrém Dále musí bý uveden omezení kerá e nuno brá v úvhu kerá musí slov hledný exrém To omezení se zdáví ve form odmnožny v množn všech íusných rvk nebo ve form dodených odmínek Klíovým rvkem exremální úlohy e zobrzení keré zue kždému rvku z množny íusných rvk sou hodnou z nkého oboru hodno kerým bývá nes odmnožn reálných ísel nebo obecn nký normovný vekorový rosor Too zobrzení se nzývá funkconál odnoy zdného funkconálu ro rzné rvky z množny íusných rvk se dí orovnáv lze edy rozhodnou n kerém rvku res ro kerou možnos nbývá zdný funkconál mxmální nebo mnmální hodnoy eš exremální úlohy edy obecn znmená nléz rvek z množny všech íusných rvk sluících zdná omezení n kerém se relzue exrémní hodno funkconálu Po formlzc úlohy následue vlsní ešení úlohy kerém se využíví rzné memcké rosedky meody Posu ešení nkerých úloh mže bý dos složý ky echncky nároný nvíc nkeré úlohy nemusí mí ešení vbec nkeré úlohy zse nok mohou mí z sých odmínek nekonen mnoho ešení U nkerých rkckých úloh vedoucích n hledání exrému máme sce zruenu exsenc ešení ovšem o dokážeme ur ouze blžn s sou chybou Dležá e ovšem ké srávná nerrece ešení o znmená dá do souvslos získné memcké ešení s formulovným exremálním roblémem zbýv se oázkou zd oo ešení má reálný smysl zd se ve skuenos nebo v rx mže relzov 7

8 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 8

9 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Informce o srukue obshu uebního exu Pedkládná výuková oor e omocným uebním exem ke kurzu Vrní oe kerý e vnován klsckému vrnímu ou Vrní oe e dnes neosrdelnou souásí neen smoné memky le nchází šroké ulnní v rzných oblsech ldské nnos n ve fyzce echnce nformce ekonom mnoh dlších hledání omálních ešení movovných snhou o mxmální efekvu Uební ex e uren ko omck ro sudeny dsnního kombnovného sud memky Teno ex v žádném íd nesulue uebnc n sbírku íkld má slouž ko zákldní rvodce uvem usnduící ochoení láky oskyuící dobrou orenc v dné roblemce má ké slouž ko merál ro konzulce keré se koní míso rvdelných ednášek v denním sudu K hlubšímu zvládnuí rocvení láky e nuné doln e dlší lerurou n nkerou z ch keré sou uvedeny v seznmu dooruené lerury n konc exu K úsšnému zvládnuí ohoo exu e nuné dobe zná dferencální oe funkcí edné více reálných romnných ovlád negrální oe funkcí edné romnné um eš obyené dferencální rovnce V cho exech se budeme zbýv vrním oem dferencovelných kvek v Eukldových rosorech zn že množn všech íusných rvk uvžovných exremálních úloh bude množn dferencovelných zobrzení c : m defnovných n oeveném nervlu I b Jelkož defnním obory kvek sou nervly ednorozmrné reálné osy mluvíme nkdy o ednorozmrném vrním ou ák obsžená v exu e rozdlen do dvou kol V rvní kole sou nedíve zvedeny zákldní omy vrního ou ko e grngn funkce kce vrce ezu vrce funkce kce oom e uvedená dokázán rvní vrní formule v dlším odsvc se suduí exremály funkce kce socovné s grngánem odvozuí se odmínky ro exremály zv Eulerovy-grngeovy rovnce defnuí se dskuuí se rvální ekvvlenní grngány nkonec se z rncu nemenší kce odvozuí ohybové rovnce mechnckého sysému Druhá kol e vnován regulárním vrním roblémm Nedíve se uvádí íkldy regulárních sngulárních grngán defnuí se mlonán mulzy zvádí se egendreov rnsformce omocí keré se rnsformuí Eulerovy-grngeovy rovnce n mlonovy knoncké rovnce dskuue se fyzkální význm mlonánu V odsvc se vyšeuí funkce keré sou konsnní odél exremál zv rvní negrály Eulerových-grngeových rovnc keré edsvuí zákony zchování Nkonec se suduí knoncké rnsformce keré lze využí ko negrní meodu ro ešení mlonových rovnc edy ko negrní meodu ro hledání exremál regulárních vrních roblém Píkldy uvedené v exu mí ednk lusrvní chrker n kerých se konkrezue ráv vyložená roblemk nebo se edvádí meod ešení ednk movní chrker v om íd n n bezrosedn nvzue dlší výkld so se edná o íkldy fyzkálního nebo hsorckého význmu Úkoly obsžené v exu sou roího druhu Jednk sou o Úkoly k exu keré nesou íslovné keré e oeb sln nerodlen nebo omáhí dobrému zvládnuí následuící láky Dále sou o Konrolní úkoly oznené dvm ísly rvní oznue íslo koly druhé e odové íslo konrolního úkolu v éo kole Tyo úkoly rovuí do ké míry suduící roblemku ochol zd í dokáže lkov ešení úloh Posu ešení cho úkol mže bý edmem dskuse n uorálu Srávnos ešení konrolních úkol e možné s ké ov orovnáním s výsledky uvedeným n konc uební oory Teím yem úkol sou Koresondenní úkoly keré e nuno zsl ke konrole dle hrmonogrmu sud 9

10 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe

11 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Po rosudování exu seznámíe se s zákldním omy vrního ou grngn funkce kce vrce ezu vrce funkce kce; budee zná nuné osuící odmínky ro exremály grngánu rvního ádu budee um eš vrní úlohy ro kvky v romnných m nuíe se hled exrémy funkcí více budee vd co sou rvální ekvvlenní grngány ký mí význm ochoíe význm vrního rncu v mechnce budee vd co e egendreov rnsformce mlonán mulzy budee um evád Eulerovy-grngeovy rovnce n knoncké rovnce mlonovy budee vd co sou knoncké rnsformce ký e ech význm ochoíe význm mlon-jcobho rovnce negrc mlonových knonckých rovnc budee um eš mlon-jcobho rovnc meodou serce romnných s oebný k rosudování exu: hodneore hodnešení úloh

12 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe

13 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Z hsore vrního ou Ohlédneme-l se do hsore zsíme že rzné úlohy n hledání nevších nebo nemenších hodno nké velny byly formulovány ž dávno ve srovku Nkdy kolem roku 85 n l vznkl legend o královn Ddó kerá sehrál význmnou rol formulc snd nesrší exremální úlohy zv klscké zoermercké úlohy egend vyráví o om že královn Ddó se rozhodl usídl se se svým oddílem n frckém obeží To se ílš nelíblo mísním obyvelm roo ech vdce rbos lehkomysln slíbl drov Ddó ouze kový kousek zem kerý e možné ohrn býí kží Ddó rozezl kž n úzké roužky svázl e v eden dlouhý emen ohrnl ím znné území n kerém k zložl mso Krágo V klscké zoermercké úloze de o o nléz mez všem rovnným uzveným kvkm edesné délky kovou kvku kerá ohrnue lochu s mxmálním obshem Anlogckou úlohu e k možné formulov v rosoru o znmená nléz mez lesy zdného ovrchu kové leso keré má mxmální obem ešení zoermercké úlohy bylo známo ž Arsoelov Mez rovnným obrzc o seném obvodu má nevší obsh kruh mez lesy o seném ovrchu má nevší obem koule Formulc klscké zoermercké úlohy lze rzn modfkov dos k rzné vrny éo úlohy Pozd se názvu zoermercká úloh zlo oužív v obecnším význmu ro omenování dleko šrší ídy exremálních úloh ve kerých se hledí exrémy negrálních funkconál s omezením v negrálním vru Obecné meody ešení zoermerckých úloh ozd rozrcovl Euler Z dlších srovkých exremálních úloh se obvykle uvádí eš níkld Eukldov úloh odle keré se do dného roúhelník má ves rovnobžník mxmálního obshu nebo Archmédov úloh kerá s zse klde z cíl ze všech kulových úseí seného ovrchu ur u kerá má mxmální obem nebo úloh k vés z dného bodu nekrší nedelší úseku ke kuželosece kerou formulovl ešl Aollonus Po zánku ncké cvlzce nsává dlouhé období sgnce vdecké nnos Terve v 6 soleí se obevuí rvní exremální úlohy lgebrckého chrkeru n Trgl formulue úlohu rozdl íslo osm n dv ás k by soun ech rozdílu ech sounu byl mxmální V 7 soleí ešl nkolk konkréních exremálních úloh Keler le v é dob eš nebyly známy žádné obecné meody ešení exremálních úloh k se kždá z nch ešl secáln vyrcovným osuem První obecnou meodu ro ešení exremálních úloh vyrcovl Ferm kerou k zobecnl ebnz Newon sousn k oložl zákldy memcké nlýzy Ferm ké formulovl rvní vrní rnc zv Fermv vrní rnc ro roblémy geomercké oky Podle ohoo rncu s svelný rsek ze všech možných rekorí mez dvm body vždy vybírá ráv u odél keré se dosne z výchozího bodu do cílového bodu z nekrší dobu Tomuo rncu se roo ké nkdy íká rnc nekrší doby Fermv rnc eorecky obsnl zákon lomu kerý ml dosud ouze emrckou ovhu Úschy s kým se sekl Fermv rnc v geomercké oce rozen vedly k oázkám zd-l odobný rnc lze formulov neen ro ohyby rsku le ké ro mechncké ohyby bod les V éo souvslos dležou rol sehrál úloh o brchysochron kerá e vlsn lkcí Fermov rncu v mechnce Úlohu zformulovl v roce 696 Johnn Bernoull V ods de o nlezení kové kvky souící dv zdné body by se ásce vyušná z výchozího bodu ohybuící se v íhovém ol o éo kvce dosl do koncového bodu v co nekrší dob Mez ešel éo úlohy byl krom Johnn Bernoullho ebnz Newon Jkob Bernoull l osl

14 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Teno roblém sce nenesl odov n oázku kerá mechncká veln má v rbhu ohybu nbýv exrémní hodnoy roože hlednou kvkou nerychlešího sesuu e cyklod om ve skuenos se ásce v íhovém ol z žádných odmínek o kové rekor nkdy neohybue všk nesl nový obecnší ohled n exremální úlohy Zímco doosud v exremálních úlohách množn íusných rvk závsel n ednom rmeru o znmená že v cho úlohách šlo o nlezení exrém funkcí edné romnné v úloze o brchysochron e množn íusných rvk o e množn všech kvek souících dv body nekonenrozmrná e edy eb ní exrém funkce nekoneného ou romnných Vývo memky zde edy zznmenl obrovský okrok od eore funkce edné romnné k eor úloh yu úlohy o brchysochron Brzy o om co byl rozešen úloh o brchysochron bylo vyešeno mnoho odobných úloh n úloh o nekrších rách zv geodekách n dné loše úloh o rovnováze žkého vlákn né V roce 744 vyšl Eulerov ráce Meod nlezení kvek mících vlsnos mnm nebo mxm nebol ešení zoermercké úlohy cháné v šrším smyslu ve keré byly oloženy zákldy nové memcké dsclíny - vrního ou Euler roxmovl kvky lomeným rm odvodl dferencální rovnc ro exremály zv Eulerovu rovnc O nkolk le ozd k grnge zvedl nové omy ko vrce kvky vrce funkconálu ro úlohy vrního ou s omezením zformulovl obecnou meodu ešení zv rvdlo mullkáor keré k lkovl n konenrozmrné úlohy Ve fyzce zse Fermv rnc nsrovl mnohé vdce k hyoéze odle keré kždý d v írod robíhá k že urá veln e bhem rocesu mnmální dlouho se všk nevdlo kerá veln o má esn bý Terve v roce 76 grnge orvé esn zformulovl rnc nemenší kce ro konzervvní mechncké sysémy vymezl lnos ohoo rncu grnge ochol význm zobecnných soudnc zl vrní oe lkov v nlycké mechnce odvodl ohybové rovnce z rncu nemenší kce zv grngeovy rovnce mlon ozd rnc nemenší kce zobecnl ro sysémy nekonzervvní rnsformovl grngeovy rovnce keré sou dferencálním rovncem druhého ádu n sousvu rvního ádu o dvonásobném ou rovnc zv mlonovy knoncké rovnce echž význm dleko eshue rámec klscké mechnky V mlonových rcích okrovl Jcob kerý rozvnul rnsformní eor knonckých rovnc odsrnl du obíží ech negrc Terve když se rnc nemenší kce osvdl v dlších oblsech fyzky ko níkld v hydrodynmce nebo v eor ružnos kde né meody selhávly byl uznán význm ohoo rncu neen ro mechnku le ro celou fyzku sem všn vdc dosl k esvdení že írod s vybírá skuený ohyb k ko by ešl nkou exremální úlohu Prnc nemenší kce dlší vrní rncy se ukázly bý neosrdelným ve všech oblsech fyzky sehrály rozhoduící rol v roxmvních vrních meodách význmn zsáhly do moderní eore rcálních dferencálních rovnc roszuí se v eor oeráor od V sousnos se vrní oe rozvíí k v obls eorecké k v obls lkní V obls eorecké se ve vrním ou oužíví moderní meody násroe dferencální geomere globální nlýzy mluvíme ž síše o vrní nlýze V obls lkní nchází vrní oe šroké ulnní v rzných odvvích ldské nnos ešení rzných fyzkálních echnckých ekonomckých orgnzních roblém movovných snhou o mxmální efekvu 4

15 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Úvodní oznámky oznení Všude v omo exu budeme uvžov rosor n usoádných n-c reálných ísel kde n s rozenou oologí s rozenou vekorovou srukurou Jk víme z kurzu memcké nlýzy o oologe e normovelná emž všechny normy n n sou ekvvlenní generuí ráv rozenou oolog Dále budeme so rcov se zobrzením z n do m Zsueme e ve vru f : n m x x x n f x x x n y y y m V usoádné m-c y y y m reálných ísel sou ednolvé složky y y y m reálné funkce n reálných romnných; oznueme e y f x x x n y f x x x n y m f m x x x n yo vzhy nzýváme rovnce zobrzení f : n m Pomeme s že zobrzení f : n m defnovné n oevené množn v n se nzývá ídy C r kde r e rozené íslo e-l n svém defnním oboru dferencovelné ž do ádu r eho r-á dervce e soá Zobrzení f : n m defnovné n oevené množn v n se nzývá ídy C nebo ké hldké eslže má n svém defnním oboru dervce všech ád V omo konexu se ké soé zobrzení nzývá zobrzení ídy C Plí že zobrzení f : n m e ídy C r r ráv ehdy když všechny eho složky f f f m sou funkce ídy C r Zobrzení f : n n defnovné n oevené množn U n se nzývá dfeomorfsmus ídy C r kde r e-l bekvní ob zobrzení f :U f U f : f U U sou dferencovelná ídy C r f se nzývá lokální dfeomorfsmus ídy C r eslže kždý bod x U má okolí n nmž e f dfeomorfsmus ídy C r Z Vy o nverzním zobrzení vylývá že e-l f zobrzení ídy C r e-l Jcobho mce zobrzení f regulární n U eslže de f x v kždém bod x množny U k f e lokální dfeomorfsmus ídy C r V om íd k funkce f f m sou soudnce n okolí bodu x Symbolem d M oznueme dencké zobrzení množny M n sebe Užíváme ké sumní symbolku o znmená kdykolv se ve výrzu vyskyne dvkrá sený ndex znmená o že se ve výrzu síá es všechny hodnoy kerých eno ndex nbývá om sumní znménko se vynechává Níkld výrz edsvue m m zkrácený zás výrzu m x 5

16 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 6

17 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe VAIANÍ PINCIP PO KIVKY V EUKIDOV POSTOU V éo kole vycházíme z omu kvky v m eího grfu kerý lze rerezenov lokálním ezem roekce krézského sounu m n rvní fkor Zvádíme zákldní omy vrního ou ko e rodloužení ezu grngán funkce kce kerá e defnovná n množn dferencovelných ez Zímí nás exrémy funkce kce Z ím úelem zvádíme vrc ezu sudueme chování funkce kce cho ednormerckých deformcích ez dosíváme k omu vrce funkce kce Vyádení rvní vrce funkce kce ve vru souu negrálního okrového" lenu se nzývá rvní vrní formule V dlším odsvc se odvozuí odmínky ro exremály zv Eulerovy-grngeovy rovnce echž ouží ešení vrních úloh ro kvky v v e lusrováno v odsvcích 5 6 Dále se defnuí rvální ekvvlenní grngány vysvlue se ech význm V odsvc 8 e odrobn rozebrán úloh o brchysochron kerá sehrál význmnou rol vznku vrního ou Nkonec se z rncu nemenší kce odvozuí ohybové rovnce mechnckého sysému Po rosudování éo koly seznámíe se s zákldním omy vrního ou grngn funkce kce vrce ezu vrce funkce kce; budee zná nuné osuící odmínky ro exremály grngánu rvního ádu budee um eš vrní úlohy ro kvky v romnných m nuíe se hled exrémy funkcí více budee vd co sou rvální ekvvlenní grngány ký mí význm ochoíe význm vrního rncu v mechnce Klíová slov: Kvk v m grf kvky ez roekce rodloužení ezu grngán funkce kce deformce ezu deformce ezu s evným konc s volným konc n uzveném nervlu vrce funkce kce rvní vrní formule exremál Eulerovy-grngeovy rovnce Eulerovy-grngeovy výrzy rvální grngán ekvvlenní grngány brchysochron knecká oencální energe mechnckého sysému Newonovy rovnce volná ásce rovnce ro geodeky s oebný k rosudování koly: 5 hodneore hodnešení úloh 7

18 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Kvky ech grfy Pomeme s že kvkou v m m rozumíme zobrzení c : m defnovné n oeveném nervlu I b Tkové zobrzení edy zue kždému bodu I bod c c c m m Promnná se nzývá rmer Kvk so osue dráhu nkého bodu nebo složšího fyzkálního sysému v závslos n se V om íd se rmer nzývá s íkáme že kvk c osue sový vývo uvžovného sysému Je-l kvk c dferencovelná v bod I exsue eí dervce Dc c což e lneární zobrzení m Zvolíme-l v m báze n knoncké lze oo lneární zobrzení zoožn s vekorem v m ; dervce c kvky c v bod se roo ké nzývá ený vekor ke kvce c v bod V íd že rmer má význm su má vekor c význm okmžé rychlos v se Pro kvku c : I m kerá e dferencovelná n nervlu I exsue v kždém bod I ený vekor c Podél kvky c k vznká vekorové ole voené eným vekory nzývá se ole rychlosí kvky c Podle defnce e edy vekorové ole rychlosí odél dferencovelné kvky c : I m zobrzení defnovné edsem c Dc : I dc d m dc d m m Je o rovnž kvk v keré udává rychlos obíhání o kvce c Je-l kvk c v bod I dvkrá dferencovelná e-l eí ole rychlosí dferencovelné v bod k eí druhá dervce D c c se nzývá vekor zrychlení v bod Podobn ko výše vdíme že okud e kvk c dvkrá dferencovelná v kždém bod svého defnního oboru vznká vekorové ole defnovné odél kvky c keré nzýváme ole zrychlení kvky c Pro hldké kvky lze nlogcky defnov ole vyšších dervcí lbovolného ádu V omo exu budeme s výhodou rcov ne ímo se smoným kvkm le s ech grfy Jk víme z memcké nlýzy grfem zobrzení f : n m rozumíme zobrzení Γ f : n n m keré kždému bodu x n dí usoádnou dvoc x f x n m Grfem kvky v m e edy kvk c : c m Γ c : c m v m Grf kvky znázorue sový vývo edy ké zchycue rychlos obíhání o kvce ozdíl mez kvkou eím grfem lusrue následuící íkld: Píkld Zobrzení e kvk v ovnce éo kvky mí vr c : c sn cos 8

19 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe x sn y cos Jelkož lí x y sn cos ro všechn e omo zobrzení obrzem ímky ednoková kružnce v rovn se sedem v oáku Zobrzení c má význm nvíení ímky n kružnc" Vz Obr y c x Obr Zcel sený obrz edy ednokovou kružnc v se sedem v oáku dosneme ro zobrzení c : c sn cos elkož ké x y sn cos ro všechn Obr y c x Obr Pom zobrzení c c sou rzná lší se rychlosí obíhání o kružnc edsvuí rznou rmerzc éže množny - kružnce Teno rozdíl mez obm zobrzením zchyí ech grfy: grfy zobrzení c c sou kvky Γ c : c sn cos Γ c : c sn cos v šroubovce keré sou rzné ychlos obíhání o kružnc e vyáden husoou záv" šroubovce - rychlešímu obíhání zem odovídá šroubovce s vší husoou záv vz Obr 9

20 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Γ c Γ c Obr Konrolní úkol S využím edchozího íkldu zdee rmerzc kružnce k by rychlos obíhání byl menší než u kružnce c Nše rovnce éo kvky nkreslee eí grf Funkce kce Uvžume rosor m kde m e rozené íslo oznme π roekc krézského sounu m n rvní fkor π e edy zobrzení keré kždé usoádné dvoc x m zue rvní složku Defnce Zobrzení γ : m defnovné n oeveném nervlu I se nzývá ez roekce π eslže slue odmínku π γ d I γ m π I Obr 4

21 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Vyšeeme odrobn odmínku ro ez Kždé zobrzení γ : m e vru γ : γ c kde rvní složk γ e kvk v druhá složk c e kvk v m Složené zobrzení π γ zue kždému bodu I bod π γ πγ πγ c γ edy lí π γ γ Je-l γ ez roekce π e ovšem odle defnce γ d I ným slovy rvní složk zobrzení γ e dencké zobrzení Vdíme k že ez e zobrzení γ : I m vru γ : c grf kvky c : I m Defnce Nech γ : c m e dferencovelný ez roekce π Zobrzení J γ : m m defnovné vzhem J γ c c kde c e dervce kvky c se nzývá rvní rodloužení ezu γ Je-l γ dvkrá dferencovelný ez roekce π k zobrzení J γ : m defnovné vzhem J γ c c c kde c e druhá dervce kvky c se nzývá druhé rodloužení ezu γ Anlogcky se defnue r-é rodloužení ezu kerý e dferencovelný ádu r Všmne s že zobrzení J γ e kvk v m m že e o ez roekce π : m Podobn zobrzení J γ e kvk v m e o ez roekce π : m Poznámk Neehlédne že ez J γ e secálním ídem ezu roekce π : m Obecný ez roekce π e ož zobrzení δ : m vru δ c f kde složky c f sou lbovolné kvky v m zímco rodloužení J γ ezu γ roekce π e kový ez δ : m ro nž eí složk f e dervcí druhé složky c Anlogcké závry lí ro vyšší rodloužení ez Píkld Zobrzení δ : m defnovné vzhem δ sn e ez roekceπ : m není le rodloužením žádného ezu roekce π : m Zobrzení δ : m defnovné vzhem δ e rvním rodloužením ezu γ : m kde γ edy lí δ J γ Druhé rodloužení ezu γ : m γ má vr J γ 6 Poznámk Ve fyzkálním konexu se rosor m nzývá konfgurní rosor rosor m rosor událosí Kvky c : m se nzýví rekore osuí ohyb mechnckého sysému v konfgurním rosoru Prosor m m se nzývá evoluní rosor

22 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Defnce grngánem rvního ádu nebo ké grngeovou funkcí rvního ádu rozumíme funkc :V defnovnou n oevené množn V m m Obecn grngánem r-ého ádu kde r e rozené íslo nzýváme funkc :W m r m defnovnou n oevené množn W V omo exu budeme rcov evážn s grngány rvního ádu; v om íd budeme slov rvního ádu" vynecháv budeme hovo ros en o grngánech" V J γ m m γ m π I Obr 5 Nech : m m e grngán defnovný n oevené množn V m m Množnu všech dferencovelných ez γ : I m roekce π kových že J γ I V budeme oznov Γπ Jeí odmnožnu voenou ezy defnovným n okolí uzveného nervlu [b] budeme oznov Γ [b ] π Je-l grngán soý k ro kždý ez γ Γ [b ] π e složená funkce J γ : I soá; o funkce edsvue grngán odél kvky J γ doszení rodloužení ezu γ kvky c eí dervce do grngánu Exsue edy negrál funkce J γ es nervl [b] Defnce 4 Zobrzení b S : Γ π γ J d [ b] γ se nzývá funkce kce grngánu n nervlu [b]

23 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Nším hlvním cílem bude sudum exrém funkce kce Ze zákldního kurzu memcké nlýzy e nám dobe známý roblém hledání exrém funkcí defnovných n oevených odmnožnách Eukldových rosor To úloh vede n sudum dervcí dné funkce: nunou odmínkou exsence exrému e nulovos rvní dervce vlsnos druhé dervce ídn vyšších dervcí k umožuí blíže chrkerzov ovhu exrému n mxmum mnmum V nší suc všk eno osu nelze ouží S e sce reálná funkce le defnovná n množn Γ [b ] π kerá zdlek nemá srukuru Eukldov rosoru nemusí mí dokonce n vekorovou srukuru okud má de o nekonenrozmrný vekorový rosor Poem dervce n kové množn nelze zvés; ouze ve secálních ídech kdy exsue vekorová srukur kerá e dosen rozumná" Bnchv rosor nebo o nco obecnší oologcký vekorový rosor zv ohodlný vekorový rosor lze defnov dervc vyšeování exrém funkce kce osuov meodm dferencálního ou Z éo suce ovšem exsue elegnní východsko nlezené grngem keré e unverzální bez ohledu n exsenc neexsenc nké vhodné" srukury n množn ez kerá e defnním oborem funkce kce Zhrub eeno míso dervcí budeme sudov vrce" funkce kce; roo se íslušná memcká dsclín nzývá vrní oe nebo modern ké vrní nlýz Zákldní grngeov myšlenk soívá v om že se nesuduí exrémy n celém defnním oboru funkce kce le ouze n eho ednormerckých odmnožnách ednormerckých sysémech kvek Jk uvdíme dále ím se roblém vlsn evede n hledání exrém reálné funkce edné reálné romnné První vrní formule Defnce 5 Nech γ e dferencovelný ez roekce π : m defnovný n oevené množn I oznme γ c Nech dále ϕ : I m e evn zvolená dferencovelná kvk u reálné íslo u εε kde ε > Vznká ednormercký sysém {γ u } u εε ez γ u : I m roekce π defnovný vzhem γ u c uϕ I Sysém ez {γ u } u εε se nzývá deformce nebo ké vrce ezu γ ndukovná deformním zobrzením ϕ Je-l ez γ defnován n okolí nervlu [b] lí-l ϕ ϕb íkáme že {γ u } u εε e deformce vrce s evným konc n nervlu [b]; v oném íd hovoíme o deformc vrc s volným konc n nervlu [b] Vz Obr 6 Podmínk evných konc" ϕ ϕb se dá bez úmy n obecnos nhrd oždvkem že zobrzení ϕ má komkní nos [b] Všmne s že odle uvedené defnce e γ γ edy ez γ e skuen obsžen v sysému {γ u } u εε ro hodnou rmeru u

24 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe m m γ u γ u b b Obr 6 Abychom se vyhnul roblémm s exsencí dervcí zobrzení kerá se dále budou vyskyov budeme v dlším exu edoklád okud nebude uvedeno nk že uvžovná zobrzení sou dferencovelná ídy C Uozorueme enáe že eno edokld ž nebudeme exlcn uvád! Defnce 6 Bu grngán defnovný n oevené množn V m m S : Γ [b ] π γ J γ d eho funkce kce n nervlu [b] Nech {γ u } u εε e deformce ezu γ ková že γ u Γ [b ] π ro všechn u εε Zobrzení εε u J γ u d e reálná funkce edné reálné romnné Jeí rvní dervce v bod u edy výrz d du b b J b γ d u se nzývá rvní vrce funkce kce S oznue se δs Jeí r-á dervce v bod u se nzývá r-á vrce funkce kce S oznue se δ r S u Oznme m krézské soudnce n m m m krézské soudnce n m m m m m krézské soudnce n m m m mme úmluvu že ro ednoduchos budeme dále oužív výhrdn zkrácené oznení Budeme rovnž dsledn oužív sumní symbolku - kdykolv se ve výrzu vyskyne dvkrá sený ndex znmená o že se ve výrzu síá v mezích ohoo ndexu keré sou zemé z konexu 4

25 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 5 Poznámk Jelkož e funkce n odmnožn m m mžeme vyád v romnných V om íd íšeme ez γ c k zsueme omocí složek kvky c zkrácen ve vru γ c nebo nemže-l doí k nedorozumní ve vru γ ; nezomee že eno zás znmená γ m Podobn rodloužení J γ ezu γ c k zsueme omocí složek kvky c eí dervce c zkrácen ve vru c c J γ nebo nemže-l doí k nedorozumní ve vru J γ Složenou funkc J γ mžeme zs ké ko c c V krézských soudncích k oužíváme vyádení Deformovný ez γ u c uϕ má odle oho soudncové vyádení γ u c uϕ kde ϕ m sou složky kvky ϕ Pro eho rodloužení máme u c u c J u ϕ ϕ γ kde ϕ e dervce kvky ϕ ; v soudncích u c u c J u ϕ ϕ γ což symbolcky zsueme ko S ímo oznením k ro grngán odél deformovného ezu edy funkc u c u c J u ϕ ϕ γ mžeme oužív zás V Vrce funkce kce grngánu n nervlu [b] ndukovná deformním zobrzením ϕ má vr b d d d S b ϕ ϕ ϕ δ Defnce 7 Výše uvedené vyádení vrce funkce kce ve vru souu negrálního okrového" lenu se nzývá rvní vrní formule Poznámk Neehlédne ouží sumní symbolky ve V N výrz ϕ znmená soue m m ϕ ϕ ϕ Dkz Vy Uríme vrc funkce kce S ímým výoem Podle vy o dervc negrálu vy o dervc složené funkce lí u b u u b u d J du d d J du d S γ γ δ d d d u b u b u b ϕ ϕ ϕ ϕ

26 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 6 b d d d d d d d d d d d d b b b b b b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ kde sme úrv druhého lenu osun využl negrc er res Newonovu formul o negrc rmvní funkce 4 Eulerovy-grngeovy rovnce Defnce 7 Bu grngán S eho funkce kce ez γ roekce π : m se nzývá exremál grngánu n nervlu [b] eslže δs ro kždé deformní zobrzení ϕ kové že ϕ ϕb Voln mžeme íc že ez γ se nzývá exremál grngánu n nervlu [b] eslže ro kždou deformc ezu γ s evným konc e rvní vrce funkce kce grngánu n nervlu [b] nulová ez γ roekce π : m se nzývá exremál grngánu eslže e exremál n kždém uzveném nervlu [b] Nyní ž mžeme vyslov zákldní vrzení udávící nunou osuící odmínku ro o by ez byl exremálou dného grngánu: V Eulerv-grngev eorém Nech e grngán defnovný n oevené množn v m m ez γ Γπ e exremál grngánu ráv ehdy když e ešením rovnc γ J d d m Defnce 8 ovnce ro exremály grngánu se nzýví Eulerovy- grngeovy rovnce Funkce d d E m vysuuící n levé srn Eulerových-grngeových rovnc se nzýví Eulerovy- grngeovy výrzy Než souíme k dkzu vy odíváme se n uvedené rovnce odrobn Jk víme defnním oborem grngánu e oevená množn v m m což znmená že ve

27 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe zvolených krézských soudncích e funkce romnných nezomee že m m oo e sruné oznení ro Vyšeíme nerve defnní obor Eulerových-grngeových výrz E m Vyádíme-l oální dervc odle dosneme: d E m d Vdíme že ro všechn E sou funkce romnných což znmená že ech defnním oborem e oevená množn v m m m Po doszení ezu γ kvky c : m eímž grfem e γ získáme funkce závslé n kvce c eí rvní druhé dervc funkce závslé n druhém rodloužení ezu γ ; roo mí levé srny rovnc vr E J γ Celkov zšueme že Eulerovy-grngeovy rovnce edsvuí sysém m edy olk kolk e romnných obyených dferencálních rovnc druhého ádu ro m složek c m neznámých kvek c : m so e srun zsueme ve vru d d m Všmnme s že závslos funkcí E n romnných A B m e fnní yu kde funkce A m B m ž závseí ouze n romnných m m V dsledku oho Eulerovy-grngeovy rovnce voí sysém obyených dferencálních rovnc druhého ádu fnních v druhých dervcích edy vru l l l l B A m Úkol: S využím výše uvedených výo vyádee funkce A B m omocí grngánu Ve zbývící ás ohoo odsvce se budeme vnov dkzu Eulerov-grngeov eorému Zneme omocným vrzením emm Fundmenální emm vrního ou Nech h : k e soá funkce defnovná n okolí nervlu [b] Jeslže b hϕ d ro kždou soou kvku ϕ : k s komkním nosem [b] k lí h n [b] Ve výše uvedeném lemmu oznue hϕ sndrdní sklární soun vekor v k edy 7

28 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe hϕ h ϕ h ϕ h k ϕ k kde h res ϕ k sou složky zobrzení h res ϕ Dkz emmu Budeme osuov sorem Pedokládeme že zobrzení h není n nervlu [b] nulové Exsue edy íslo [b] kové že h Pro složky zobrzení h o znmená že exsue ndex ro kerý h Proože e zobrzení h soé sou ké všechny eho složky soé Seceln funkce h e soá v bod roože h exsue okolí U bodu n nmž funkce h nemní znménko e n celém okolí bu kldná nebo záorná odle oho zd íslo h e kldné nebo záorné ze edoklád že U δ δ [b] kde δ > e vhodné íslo Zvolme zobrzení ϕ k by bylo soé by llo ϕ n \ U ϕ > n U ϕ n U ro Tko zvolené zobrzení ϕ má nos [b] Dosáváme ro n hϕ h ϕ h ϕ h k ϕ k h ϕ n U emž oo íslo e všude n U bu en kldné nebo en záorné Plí edy b hϕ d h ϕ d δ δ nebo negrueme funkc kerá n negrovné množn e všude rzná od nuly nemní znménko To e ovšem sor s edokldem že uvžovný negrál e nulový Nyní máme ž vše rveno ro dkz Eulerov-grngeov eorému Dkz Vy Tvrzení e ímým dsledkem rvní vrní formule Nerve edokládeme že ez γ Γπ e exremál grngánu Podle defnce e γ exremál n kždém nervlu [b] To znmená že ro kždou deformní funkc ϕ s evným konc n nervlu [b] e vrce funkce kce grngánu nulová o ro lbovolný nervl [b] Zvolme evn nervl [b] Podle Vy lí edy ké δs b d ϕ d b ϕ b ϕ d b d ϕ d d nebo ϕ ϕb Bez úmy n obecnos se lze omez n deformní funkce s nosem [b] Pk lze lkov Fundmenální emm vrního ou: dosneme d d ro [ b] m 8

29 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe nebol v esnším zásu d J γ ro [ b] m d Z lbovolnos nervlu [b] nyní vylývá že ez γ slue Eulerovy-grngeovy rovnce d J γ m d Obrácen edokládeme že ez γ slue Eulerovy-grngeovy rovnce Z rvní vrní formule k hned vylývá že ro kždou deformc s evným konc e δs n kždém nervlu [b] 5 Vrní úlohy ro kvky v V omo odsvc se budeme zbýv vrním úlohm ro kvky v o znmená ro zobrzení c : c kde c e dferencovelná funkce edné romnné Soudncové vyádení kvky c se zsue bu ve vru c : c ídn omocí krézské soudnce x ve vru c : c x Kvky v s lze názorn edsv ko ednorozmrné ohyby ásce Píkld Kvk c x v vydue rovnomrný ímorý ohyb ásce : o ose x konsnní rychlosí v V se ásce srue z olohy x rychlosí v z sené sové nervly vždy urzí sen dlouhé úseky Píkld 4 Kvk c : x vydue rovnomrn zrychlený ímorý ohyb ásce o ose x s konsnním zrychlením V se ásce srue z olohy x s nulovou oáení rychlosí délk uržených úsek z sené sové nervly všk rovnomrn nrsá s dobou kerá ulynul od záku ohybu Píkld 5 Kvk c : x Asn vydue hrmoncké kmání ásce o ose x kolem bodu x s erodou π s mxmální výchylkou x ±A ásce neusále erodcky rochází olohm z nervlu [ A A] Dleko názornší edsvu o kvkách v edy o ednorozmrných ohybech oskyue grf kvky kerý vydue závslos okmžé olohy ásce n se Pomeme s že grfem kvky c : c e zobrzení Γ : c keré kždému bodu kvk c dí usoádnou dvoc c c Grfem kvky c v e edy Γ v Soudncové vyádení grfu kvky c bude mí vr Γ : c nebo Γ : c x c c Úkol : Nrne grfy kvek c c c z edchozích íkld 4 5 9

30 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Grf Γ c kvky c lze vhodn rerezenov omocí lokálního ezu γ roekce π : o znmená omocí zobrzení γ : defnovné n oeveném nervlu I keré slue odmínku π γ d I V exremálních úlohách vysuuí ké dervce hledných kvek roo musíme ezy rodlužov Zobrzení J γ : defnovné vzhem J γ c c I kde c e dervce kvky c se nzývá rvní rodloužení ezu γ Jeslže ez γ rerezenuící grf Γ c nké kvky c má soudncové vyádení γ : c k eho rvní rodloužení má soudncové vyádení d J γ kde d Klíovým rvkem vrních úloh e grngán nebo-l grngeov funkce grngánem rvního ádu vrních úloh ro kvky v rozumíme funkc :V defnovnou n oevené množn V vru resekve vru x x Jelkož kvky v mí ouze ednu složku resekve x redukuí se nuné osuící odmínky ro exremály výše uvedených grngán edy Eulerovy- grngeovy rovnce ouze n ednou rovnc vru resekve vru x d d d d x což e obyená dferencální rovnce druhého ádu ro neznámou funkc resekve y x chrkerzuící hlednou kvku v ídn eí grf v Z eore dferencálních rovnc víme že obecné ešení obyené dferencální rovnce druhého ádu závsí n dvou negrních konsnách ným slovy množn exremál e dvourmercká K urení konkréní exremály e nuno dooí hodnoy cho negrních konsn K omu sou obvykle k dsozc dv dodené odmínky Všnou de o zdání bodu kerým má kvk grf kvky rocháze zdání eího eného vekoru v omo bod ným slovy v se e zdán hodno funkce hodno rychlos v hovoíme o zv oáeních odmínkách Píkld 6 Uvžume grngán : dný v knonckých soudncích vzhem m kde m e kldná konsn Teno grngán má význm knecké energe ásce o hmonos m kerá se ohybue v ednorozmrném konfgurním rosoru Ze zdání e zemé že defnue vrní roblém ro kvky v edy ro zobrzení c : c Eulerovy-grngeovy rovnce grngánu roo bude vo edná

31 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe obyená dferencální rovnce druhého ádu Jelkož funkce nezávsí exlcn n romnných lí má Eulerv-grngev výrz ednoduchý vr E d m d Eulerov-grngeov rovnce e m Po dvonásobné osuné negrc éo rovnce dosneme že ešením sou všechny lneární funkce c c kde c c sou negrní konsny Vdíme že exremály dného grngánu grfy výše uvedených kvek sou všechny ímky v rovn Kždé konkréní ešení k e ureno zdáním negrních konsn volbou bodu kerým ímk rochází eího smrového vekoru olohou rychlosí v se Uvedený vrní roblém osue ohyb volné ásce hmoného bodu n nž nesobí žádné vnší síly o hmonos m s edním sunm volnos Píkld 7 Uvžume grngán : dný v knonckých soudncích vzhem m mg kde mg sou kldné konsny Z edchozího íkldu víme že rvní len grngánu e knecké energe ásce o hmonos m ohybuící se o reálné ímce Druhý len edy výrz mg edsvue oencální energ ásce v íhovém ol ve výšce konsn g oznue íhové zrychlení Sesvíme Eulerovu-grngeovu rovnc ro eno vrní roblém o znmená vyoeme nedíve rcální dervce oální dervc mg d d d d m m m Eulerov-grngeov rovnce má v omo íd vr mg m g Jedná se o o ednoduchou dferencální rovnc druhého ádu eíž dvonásobnou osunou negrcí dosneme g c c kde c c sou negrní konsny Exremály dného grngánu grfy výše uvedených kvek sou uré rboly v rovn Konkréní ešení roblému získáme vyoením

32 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe negrních konsn c c n zákld zdných hodno oáení výšk ve keré se ásce nchází v oáení rychlos ásce Jeslže oáení rychlos ásce v dosáváme g což e kvk v osuící volný ád ásce s oáení výšky Z éo rovnce sndno uríme z k dlouho ásce dodne n vodorovnou rovnu zn sový okmžk kdy e dán známým vzhem g Píkld 8 Uvžume grngán : dný v knonckých soudncích vzhem m k kde mk sou kldné konsny O se edná o ásc ohybuící se v ednorozmrném konfgurním rosoru enokrá druhý len v grngánu edy výrz k edsvue oencální energ ružnos v oloze Eulerov-grngeov rovnce bude mí omo íd vr nebo o úrv k m ω k kde kldná konsn ω Zde se edná o lneární dferencální rovnc druhého ádu m s konsnním koefceny s nulovou rvou srnou Sesvíme chrkersckou rovnc λ ω eíž ešení voí dvoce komlexn sdružených vlsních ísel λ ± Báz množny všech ešení výše uvedené dferencální rovnce voí funkce ω ω e ω e ešením nší vrní úlohy všk má bý kvk v funkce všk nbýví komlexních hodno roo nesou vhodné ro zás ešení Z ohoo dvodu volíme nou báz množny všech ešení sce funkce e ω ω e e snω ω ω e cosω omocí kerých k má obecné ešení dferencální rovnce ω vr C snω C cosω

33 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Zvedeme-l míso negrních konsn C C vhodnší konsny A α omocí vzh C Acosα C Asnα lze obecné ešení zs užím vzorce ro snus souu rgumen ve vru Asn ω α π Exremály dného grngánu sou edy snusody v rovn s erodou Konkréní ω ešení roblému o získáme urením negrních konsn A α n zákld zdných hodno oáení oloh ásce v oáení rychlos ásce Uvedený vrní roblém osue ednorozmrné hrmoncké kmání ásce kolem π m bodu s erodou T π mludou A oáení fází α ω k Eulerov-grngeov rovnce což e obyená dferencální rovnce ádu se sndno eší v ídech kdy v grngánu se nkerá z romnných nevyskyue V kových ídech se dá ednoduše ur zv rvní negrál o znmená funkce kerá e konsnní odél ešení Eulerových-grngeových rovnc Pomocí rvního negrálu se k Eulerov-grngeov rovnce redukue n dferencální rovnc rvního ádu kerou ž k e možné eš rzným negrním meodm Mohou ns následuící význné ídy grngán nezávsí n romnné edy V omo íd Eulerov-grngeov rovnce se redukue n vr odud dosáváme rvní negrál d d C kde C e negrní konsn Z oslední rovnce lze rncáln vyoí zn d d následnou negrcí dosneme ešení f C grngán nezávsí exlcn n romnné edy Eulerov-grngeov rovnce zsává formáln nezmnn Vynásobíme-l í mžeme sá d d

34 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe což ž dává rvní negrál d d d d d d d d C V oslední rovnc všk odle edokldu nebude vysuov romnná mžeme roo vyoí ko funkc d d f C Jko dlší krok se zde nbízí serce romnných nebo vhodná subsuce grngán nezávsí exlcn n romnné n n romnné edy S ímo ídem sme se ž sekl ešení Píkldu 6 Pro grngán vru edy lí že Eulerov-grngeov rovnce získává ednoduchý vr d d Z edokldu že funkce g dosáváme neednodušší dferencální rovnc ádu eíž ešením sou všechny lneární funkce c c kde c c sou negrní konsny Píd kdy grngán nezávsí n romnné edy vede n nekorekn defnovné vrní úlohy ve kerých ešení obecn nemže sln oáení odmínky Skuen eslže k Eulerov-grngeov rovnce se redukue n vr což všk není dferencální rovnce nýbrž nlycká rovnce osuící nkou množnu bod v kerá obecn nemusí bý grfem kvky v už vbec nemusí slov oáení odmínky 4

35 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Konrolní úkol Nše Eulerovu-grngeovu rovnc grngánu kerý má vr M N kde M N sou dferencovelné funkce ídy C Dskuue zd ešení éo rovnce bude slov zdné oáení odmínky 6 Vrní úlohy ro kvky v Jeslže kvky v rerezenuí ohyby ásce v ednorozmrném konfgurním rosoru budou kvky v edy zobrzení c : c zem osov ohyby ásce ve dvorozmrném konfgurním rosoru o znmená ohyby v rovn Soudncové vyádení kvky c v bude zem vru c : c ídn v krézských soudncích x y vru c : c x y Grfem kvky c v k e kvk Γ c : c v eíž soudncové vyádení bude mí vr Γ : c nebo v krézských soudncích Γ : c x y c c grngánem rvního ádu ro yo vrní úlohy bude funkce :V defnovná n oevené množn V vru ídn vru x y x y Eulerovy-grngeovy rovnce ro exremály výše uvedených grngán budou dv rovnce ídn v krézských soudncích d d d d d x d x d y d y Jedná se o dv obyené dferencální rovnce druhého ádu ro dv neznámé funkce resekve x y keré uruí hlednou kvku v ídn eí grf v ešení kždé z cho dvou dferencálních rovnc bude závse n dvou negrních konsnách Celkov edy bude množn exremál e yrmercká K urení konkréní exremály zn k urení cho 4 negrních konsn oebueme 4 dodené odmínky Všnou de o zdání zv oáeních odmínek dv odmínky uruí olohu ásce v se dlší dv odmínky v vekoru oáení rychlos v uruí složky 5

36 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Úkol : Zokue s vu o mlcn urené funkc edné romnné ešením výše uvedených Eulerových-grngeových rovnc e edy urá kvk c v edy zobrzení c : c x y Nkdy nás všk zímá ouze obrz kvky c v nebo-l rekore ohybu osného zobrzením c což e množn bod Tr c { x y } ro kerou se vžl název rovnná kvk Množnu Tr c lze edy vyád n v krézských soudncích y rmerckých rovnc x x y y x v omocí Z cho rovnc lze so elmnov rmer vyád rovnnou kvku Tr c omocí edné rovnce Φ x y svzuící x-ové y-ové soudnce bod množny Tr c Z sých edokld e možné lokáln zn n okolí bod množny Tr c rovnnou kvku Tr c rerezenov grfem uré dferencovelné funkce y yx kerá e mlcn urená rovncí Φ x y x To ným slovy znmená že obrz Tr c kvky c v lze lokáln rerezenov omocí grfu Γ c : x c x x y x nké kvky c v Zdrznme ovšem že o suce e secfcká lí ouze ro rovnné kvky o znmená ro obrzy kvek v Prosorové kvky zn obrzy kvek v nelze obecn rerezenov omocí grf kvek v Poznmeneme že vylouíme-l z rmerckých rovnc rovnné kvky Tr c rmer zrácíme ím nformc o ohybu o kvce c Z oho dvodu vrní úlohy ro obrzy kvek v nkdy nzýváme vrní úlohy ro rekore v Ke vrním úlohám ro rekore v lze edy suov ko k vrním úlohám ro kvky v Obrzy Tr c kvek c v rerezenueme omocí grf Γ c : x c x x y x kvek c v grngánem rvního ádu ro yo úlohy bude dy funkce vru x y y kde y Eulerov-grngeov rovnce v cho ídech dx vydá d y dx y Poznámk: Je evdenní že ve vrních úlohách ro rekore v mí romnné x y y v omo odí zcel rovnocenné osvení ko romnné ve vrních úlohách ro kvky v Všechny vzhy uvedené v noc zvláš vr rvních negrál ve secálních ídech grngán lí ve seném vru ro íd noce x y y nhrdíme l v nch odovídící rovnocenné romnné Vždy všk musíme mí n m že znení dervcí odle romnné užíváme ekovnou noc znení dervcí odle romnné x užíváme árkovnou noc Tkže n oální dervce funkce f odle romnné se zsue 6

37 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe df d f f f zímco oální dervce funkce f x y y odle odovídící rovnocenné romnné x má vr df dx f f f y y x y y ešení Eulerovy-grngeovy rovnce zde dosáváme bu v exlcním vru y y x C C nebo v mlcním vru Φ x y C C nebo nkdy ké v rmerckém vru x x C C y y C C ešení zde edy sen ko ve vrních úlohách ro kvky v obshue dv negrní konsny N rozdíl od vrních úloh ro kvky v se všk v úlohách ro rekore v obvykle zdáví míso oáeních odmínek zv odmínky okrové Jde o zdání dvou bod kerým má rovnná kvk Tr c l rekore kvky c rocháze ným slovy sou zdány hodnoy funkce y x v krních bodech nervlu I b zn y y y b y Píkld 9 Mnmální roní loch Nech x y x e rovnná kvk kerá e grfem funkce y x Nech o kvk rochází body A ya B b yb Uvžume roní lochu vznklou rocí éo kvky kolem osy x Ze všech v úvhu cházeících kvek uree u ro kerou e obsh odovídící roní lochy mnmální y B A y yx O b x Obr7 ešení: Obsh roní lochy vznklé rocí grfu funkce y x kolem osy x v mezích x x b e uren negrálem 7

38 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe S b π y y dx kde y dx e nfnesmální elemen délky oblouku rovnné kvky y yx Teno negrál má edy rol funkce kce v éo úloze grngánem e zde funkce y y Množn všech v úvhu cházeících rovnných kvek e voen grfy dferencovelných funkcí ídy C rocházeících zdným body Ze srukury Eulerovy-grngeovy rovnce e zemé že konsnu π mžeme vyus res celou rovnc k vydl π grngn nezávsí exlcn n romnné x exsue edy rvní negrál Eulerovy-grngeovy rovnce ve vru což o doszení nšeho grngánu dává o úrv y C y yy y y y y C y C y Tuo dferencální rovnc budeme eš serc romnných ovnc nedíve umocníme n druhou vyádíme y y C Provedeme serc romnných negrueme Po negrc dosáváme rovnc y C dy y y C dx y C rgcosh x C C ze keré vyádíme exlcní závslos y yx x C cosh y x C C Kvky keré sou grfy kových funkcí se nzýví ezovky odnoy negrních konsn C C snovíme n zákld okrových odmínek y ya y b yb 8

39 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Poznámk: Název ezovk e odvozen od né vrní úlohy kerá vede ke senému ešení Jedná se o rovnováhu žkého vlákn zvšeného n dvou koncích Vlákno se vlvem vlsní íhy rohne ráv do vru ezovky Poznámk: ocí ezovek vznkí edné mnmální lochy keré se nzýví kenody Z geomerckého hledsk e kenod lochou nulové sední kvos o znmená že v kždém eím bod se olomry kvos dvou k sob kolmých normálových ez lší en znménkem Píkld Mez všem íusným rovnným kvkm keré rocházeí body A B nlezne u kerá e exremálou funkce kce S y x y dx ešení: grngn v omo íd nezávsí n romnné y zn y d grngeov rovnce e edy vru kže máme rvní negrál vru dx y C x y C nebol y y x následnou negrcí získáváme množnu exremál v exlcním vru C y x x C Eulerov- Z okrových odmínek y y dosáváme sousvu rovnc ro negrní konsny C C C C 4 C C eíž ešením sou hodnoy C 7 C lednou exremálou e grf funkce 4 y x edy hyerbol Nrne eí grf x Píkld Mez všem íusným rovnným kvkm keré rocházeí body A B π nlezne u kerá e exremálou funkce kce S π y y ešení: grngn e v omo íd vru x y y y y Sesvíme Eulerovu- grngeovu rovnc kerá bude mí vr y y res y y dx 9

40 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe Jedná o lneární dferencální rovnc druhého ádu s konsnním koefceny s nulovou rvou srnou Sesvíme chrkersckou rovnc λ eíž ešení voí dvoce komlexn sdružených vlsních ísel λ ± Báz množny všech ešení výše uvedené dferencální rovnce voí funkce y x x e x y x e ešením nší vrní úlohy všk má bý rovnná kvk v funkce y x y x všk nbýví komlexních hodno roo nesou vhodné ro zás ešení Z ohoo dvodu volíme nou báz množny všech ešení sce funkce x x y x e e sn x x x y x e e cos x omocí kerých k má obecné reálné ešení dferencální rovnce y y vr y x C sn x C cos x Z okrových odmínek y yπ obdržíme sousvu rovnc ro negrní konsny C C kerá bude mí v omo íd nekonen mnoho ešení Pro negrní konsnu C dosneme z obou rovnc že C zímco negrní konsn C nevysuue v žádné z cho rovnc mže bý edy zem lbovolná To vrní úloh edy má z dných okrových odmínek nekonen mnoho ešení vru kde C e lbovolné reálné íslo y x C sn x cos x Píkld Nlezne exremálu funkce kce S b y xy x e y dx zdných okrových odmínkách y y y b y A B y ešení: grngn e v omo íd vru x y y xy x e y Vyoeme rcální dervce x e y y y y y e d y e y dx y sesvíme Eulerovu-grngeovu rovnc kerá bude mí vr y y x e y e y Pímk x všk neslue okrové odmínky edy x Urvíme-l grngán x y y následuícím zsobem 4

41 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe x y y xy x y e y xy x y dy e xydx x dx y e dy zšueme že se edná dferencální formu M x y dx N x y dy v kde M x y xy y N x y x e kerá e uzvená nebo slue odmínku negrbly M x y N x y x y x okáln lze edy grngán x y y vyád ko oální dferencál nké funkce F x y Dsledkem oho e k fk že hodno funkce kce b y S xydx x e dy F b y F y e konsnní edy nezávsí n kvce B souící zdné body y b y To vrní úloh roo nemá smysl A B A Konrolní úkoly Konrolní úkol Nlezne exremálu funkce kce S y xy dx zdných okrových odmínkách y y Konrolní úkol 4 Nlezne exremálu funkce kce S y y dx zdných okrových odmínkách y y Konrolní úkol 5 Nlezne exremálu funkce kce S y y dx zdných okrových odmínkách y y 4

42 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 7 Trvální ekvvlenní grngány Píkld Uvžume grngány : kde m m Z Píkldu 6 víme že Eulerv-grngev výrz grngánu má vr E m Pro Eulerv-grngev výrz grngánu dosáváme d d E d d m m m E Vdíme že kol grngány sou rzné ech Eulerovy-grngeovy výrzy sou s rovny V dsledku oho ob grngány mí senou množnu exremál Všmnme s ké že ro ech rozdíl lí E edy Eulerv-grngev výrz grngánu e dencky nulový Uvedený íkld ukzue že exsuí nenulové grngány echž Eulerovy-grngeovy výrzy sou rovny nule rzné grngány mohou mí sené Eulerovy-grngeovy výrzy Všmneme s cho grngán blíže Defnce 9 grngán se nzývá rvální eslže E m eho Eulerovy-grngeovy výrzy sou rovny nule grngány se nzýví ekvvlenní eslže E E m ech Eulerovy-grngeovy výrzy sou s rovny elce grngány sou ekvvlenní" e evdenn relce ekvvlence Zsueme ve vru ~ Pímo z defnce e zemé že rvální ekvvlenní grngány mí yo vlsnos: Je-l rvální grngán k ro kždý grngán lí ~ Eulerovy-grngeovy rovnce rválního grgánu sou rvální - mí vr ech ešením e edy kždý ez γ roekce π : m Ekvvlenní grngány mí senou množnu exremál 4

43 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe 4 Dále sndno ukážeme že lí: V Dv grngány sou ekvvlenní ráv ehdy když ech rozdílem e rvální grngán Dkz Nech ~ edy E E ro m Pk ro všechny hodnoy ndexu E E d d d d d d d d d d E což znmená že e rvální grngán Obrácen e-l rvální grngán edy lí-l E ro m dosáváme seným výoem ko výše že E E E E ro m To le znmená že ~ V 4 grngán : m m e rvální ráv ehdy když exsue funkce f : m ková že e eí oální dervcí lí df d grngány : m m sou ekvvlenní ráv ehdy když exsue funkce f : m ková že df d Dkz Nech df d ro nkou funkc f : m Uríme Eulerovy- grngeovy výrzy ohoo grngánu Jelkož odle edokldu f e funkce romnných má eí oální dervce vr f f d df Proo lí ro všechn m f d df dále f d d f f f f d df

44 Olg Kruková Mrn Swczyn Vrní oe což znmená že ro všechn oeráory d d d d komuuí Doszením do Eulerových- grngeových výrz nyní sndno získáme E df d df d d d df d df d d f d m Tedy df d e rvální grngán Dkz obráceného vrzení e obížný vyždue znlos eshuící možnos ohoo exu Odložíme e do druhé ás ednášky kde se budeme zbýv vrní nlýzou n vreách Poznámk Všmnme s ký vr má funkce kce S ro rvální grngán Je-l df d k ro kždé γ Γ [b ] π S γ b d f b J γ d J γ f b df J γd d J γ b f b J γ d f J γ d d f J γ b f J γ edy Sγ závsí ouze n hodnoách keré ez γ esn eho rodloužení nbývá v koncových bodech nervlu [b] Proo ro kždou deformc {γ u } ezu γ s evným konc e složená funkce b u J γ u d f J γ u b f J γ u konsnní edy eí dervce v bod u což e vrce δs funkce kce S e rovn nule 8 Úloh o brchysochron Jk ž bylo zmínno v hsorckém ehledu zrodu vrního ou sál úloh o brchysochron Úlohu zformulovl v roce 696 Johnn Bernoull Šlo v ní o nlezení kové kvky souící dv zdné body A B o níž se leso nebo ásce sobením vlsní íhy dosne z výchozího bodu do koncového bodu v co nekrší dob Jedná se o ímou lkcí Fermov rncu nekrší doby v mechnce Je zemé že hlednou rou není úsek souící body A B esože e nekrší soncí dvou bod P ohybu o ímce se bude rychlos ásce sce zvšov le omrn omlu Soíme-l všk uvžovné body kvkou kerá e v orovnání s úsekou AB zoáku srmší rodlouží se sce dráh ásce všk robhne vší ás éo dráhy s vší rychlosí Mez ešel éo úlohy byl krom Johnn Bernoullho ebnz Newon Jkob Bernoull l osl V omo odsvc s nyní úlohu esn zformulueme vyešíme Ve svslé rovn nech e zveden krézský soudncový sysém Oxy emž os x nech e vodorovná os y nech smue svsle dol Nlezne kovou kvku souící zdné 44