KATEDRA KYBERNETIKY, Fakulta aplikovaných věd, ZČU Plzeň DECENTRALIZOVANÉ A HIERARCHICKÉ ŘÍZENÍ

Transkript

1 KAEDRA KYBERNEIKY Fkul plkovných věd ZČU Plzeň Doc. Ing. Jří Melchr Cc.: DECENRALIZOVANÉ A HIERARCHICKÉ ŘÍZENÍ (Učební ex KKY

2 DECENRALIZOVANÉ A HIERARCHICKÉ ŘÍZENÍ. ÚVOD.... REDUKCE ŘÁDU MODELŮ LD..5.. Prncp gregce Meod modální gregce Meod vyvážené reprezence Meod řeězových zlomků Meod řeězových zlomků př svovém popsu sysému Pddéův proxmn meod Momen mchng Meod sngulárních perurbcí čsová dekompozce sysému Využí redukovných modelů př synéze VÍCEROZMĚROVÉ YÉMY CENRALIZOVANÉ ŘÍZENÍ Memcké modely lneárních více-rozměrových dynmckých sysémů Mce přenosových funkcí mcový zlomek Mce přenosových funkcí póly nuly MIMO regulční obvod přenosové mce sbl regulčního obvodu Polynomální mce zákldní pomy mhov form polynomální mce mh Mc Mllnov form mce přenosových funkcí Rosenbrockov polynomální mce sysému Určení svové reprezence v mnmální relzc z dné mce přenosových funkcí Umíselnos pólů MIMO sysému lneárním svovým reguláorem Prmerzce sblzuících MIMO reguláorů pro sblní MIMO sysémy VÍCEMYČKOVÁ REGULACE MIMO YÉMŮ Inerkvní nenerkvní řízení Elmnce nerkcí návrh dynmckého rozvzbovcího reguláoru Elmnce nerkcí návrh svového rozvzbovcího reguláoru Polčení nerkcí Frekvenční pseudodgonlzce návrh kompenzáorů DECENRALIZOVANÉ ŘÍZENÍ ROZLEHLÝCH YÉMŮ Modely rozlehlých MIMO sysémů rukurální omezení př decenrlzovném řízení Umíselnos pólů př decenrlzovném řízení - decenrlzovné fxní módy Decenrlzovné řízení s dynmckým reguláorem u edné snce Dynmcké nedynmcké reguláory v decenrlzovném řízení Decenrlzovné sub-opmální řízení (LQ problém 6. HIERARCHICKÉ ŘÍZENÍ Modelová koordnční meod Cílová koordnční meod Dvouúrovňové herrchcké řízení: LQ problém modelová koordnční meod. 9 Použá doporučená lerur Rosenbrock H.: e-pce nd Mulvrble heory Nelson London 97 Jmshd: Lrge-scle ysems Norh Hollnd 983 rvé e l.: Lrge cle ysems:decenrlzon rucure Consrns nd Fxed Modes prnger- Verlg 989 Mceowsk J.M.: Mulvrble Feedbck Desgn Addson-Wesley 989 Vrdulks: Lner Mulvrble Conrol John Wley 99 Johnsson K.H. : he Qudruple-nk Process Conrol ysem echnology Vol.8 No. 3 Goodwn G.C. Grebe. lgdo M.: Conrol ysem Desgn Prence-Hll Dun G.R.: Prmerc Egensrucure Assgnmen v e Feedbck Proceedngs of he IV. World Congress on Inellgen Conrol nd Auomon hngh

3 . ÚVOD Učební ex není ucelenou eorí složých sysémů ech řízení sledue všk uo problemku ve formě vybrných sí snží se nlyzov důsledky někerých příznků složos sysémů pro návrh řídcích sysémů. Omezíme se n deermnscké lneární dynmcké sysémy z příznky složos budeme povžov zemén: vysoký řád modelu dynmckého sysému více-rozměrovos sysému (sysémy s více vsupy výsupy oznčovné ko MIMO sysémy rozlehlos sysému. Ukážeme že více-rozměrové rozlehlé sysémy nbízeí lernvní možnos ech řízení v podobě více-smyčkové regulce (pokud nesou klden srukurální omezení n řídcí nformční sysém nebo decenrlzovného řízení (pokud sou klden srukurální omezení n řídcí nformční sysém. Herrchcké řízení ve formě víceúrovňového herrchckého řízení povžueme z způsob koordnce decenrlzovného řízení kdy srukurální omezení n nformční řídcí sysémy vyšších herrchckých úrovní sou oslben č zrušen. / Vysoký řád modelu řízeného sysému. / Redukce řádu memckého modelu řízeného sysému Model řízeného sysému Redukovný model Redukovný reguláor red w R red u y u y y u n x R l z R l < n Redukovný reguláor e určen n zákldě určeného red le říd bude dný řízený sysém b/ Redukce řádu memckého modelu uzvřené regulční smyčky Uzvřená reg. smyčk Redukovná uzvřená reg. smyčk Redukovná uzvřená reg. smyčk w w w R zred R red y y? y z z red Redukovný reguláor e určen k by bylo docíleno redukovného modelu uzvřené reg. smyčky z red / Více-smyčková regulce MIMO sysémů ysém kerý má více vsupů výsupů (více-rozměrový sysém MIMO sysém může bý řízen edním reguláorem (cenrlzovné řízení nebo více reguláory. Pokud předpokládáme řízení více reguláory neexsuí srukurální omezení n řídcí nformční sysém (reguláory mohou bý propoeny s lbovolným vsupy výsupy mohou využív kerékolv složky vekoru svu budeme hovoř o více-smyčkové regulc. Chrkersckým rysem více-smyčkové regulce e nerkvnos regulčních smyček meody návrhu smyčkových reguláorů musí docíl elmnc č lespoň polčení vlvu nerkcí.

4 Více-smyčkové regulce x MIMO sysému (mce přenosových funkcí G( má dv vsupy dv výsupy w R ( g ( y g ( g ( R ( g ( y w Problémy: Návrh reguláorů pro nenerkvní řízení resp. pro polčení nerkcí. 3/ Decenrlzovné řízení MIMO sysému. MIMO sysém e rozlehlý e řízen více reguláory sou respekován srukurální omezení n řídcí nformční sysém. / Více-sncové řízení (N řídcích snc x &( Ax( + Bu ( y ( Cx ( N w u R y... w N u N R N y N N Řízený rozlehlý MIMO sysém Rozlehlý MIMO sysém e řízen z více řídcích snc model řízeného MIMO sysému není dekomponován n řízené subsysémy; řídcí snce reguláory mohou využí pouze mísně dosupné lokálně měřelné velčny keré oznčueme seným ndexy u dvoc (u y. b/ Více-sncové řízení se subsysémy v nerkcích x& ( A x ( + H y ( C x ( N x ( + B u ( w w w N R R R N y y y N... N Řízený rozlehlý MIMO sysém u (x u (x u N H. N H. (x N Rozlehlý MIMO sysém e opě řízen z více řídcích snc model řízeného MIMO sysému e v dekomponovném vru rozlehlý sysém vznkl nvázáním nerkcí mez subsysémy. 3

5 4/ Herrchcké víceúrovňové řízení - koordnce vícesncového řízení se subsysémy v nerkcích Koordnční řízení Koordnáor (II. herrchcká úroveň Informce z první R herrchcké úrovně R I. herrchcká úroveň u y y u Řízený MIMO sysém H H Nelze-l dnou úlohu vyřeš návrhem decenrlzovného řízení zvádí se II. č vyšší herrchcká úroveň řízení pro koordnc lokálních reguláorů n I. herrchcké úrovn. Needná se ž o ryze decenrlzovné řízení neboť koordnáor vyždue pro svou čnnos lespoň redukovnou nformc od lokálních reguláorů řízených subsysémů. 4

6 . REDUKCE ŘÁDU MODELŮ LD Hledáme meody pro určení modelu LD nžšího řádu než má výchozí model LD přčemž by měly bý zchovány důležé vlsnos ko sbl č nesbl řdelnos pozorovelnos ssmus mnmální č nemnmální fázovos. Dynmcké odezvy redukovného modelu by měly bý kcepovelnou proxmcí odezev výchozího modelu vysokého řádu. Použí redukovného modelu řízeného sysému nebo redukovného modelu ž nvržené regulční smyčky umožňue návrh ednodušších reguláorů snížení prcnos př nlýze synéze smulc... Prncp gregce Nechť e dný sysém vysokého řádu popsán svovým modelem n : x &( Ax( + Bu( x ( xo ; x R u y R (. y ( Cx( eno sysém se budeme snž pops redukovným svovým modelem red se svovým vekorem z( nžší dmenze z( R l l < n. Předpokládeme že svové vekory budou vázány rnsformcí z( x( resp. z & ( x( (. kde mce s konsnním prvky... lxn e prozím nespecfkovná gregční mce eí určení bude závse n hledsku keré budeme kcepov př vorbě redukovného modelu. Redukovný model red formálně popíšeme svovým modelem l red : z &( Fz( + Gu( z ( zo ; z R u y R (.3 ~ y ( Hz( Redukovný model může pops chování dného sysému en proxmvně neboť dm z < dm x. Výsupní velčnu ~ y ( povžueme z proxmc y (. rnsformční vzhy (. použeme pro získání zv. dynmckých podmínek gregce. Násobením svové rovnce zlev gregční mcí doszením (. do red obdržíme : x& ( Ax( + Bu( ; x( red : x& ( F x( + Gu( ; z( x( y ( Cx( ~ y( H x( (.4 Porovnáním dosáváme dynmcké podmínky gregce ( podmínky neúplné ekvvlence : F A G B H C (.5 Předpokládeme že sme gregční mc určl. Poom hledné mce FGH redukovného modelu red lze formálně urč ze vzhů F A + G B + H C (.6 kde & + oznčue zobecněnou (Penroseovu nverz obdélníkové gregční mce. Z podmínek dynmcké přesnos gregce vyplývá že hledáme kové F by pllo pro lbovolný sv x (. Opmální F určíme z podmínky mnm kvdrcké formy F ( F Po roznásobení úprvách dosneme rgmn x ( F A F A x ( F rg mn { F F ( A F F A F } F ; x( (.7 A 5

7 Z nuné podmínky opmly {.} F vyplývá F + A A Porovnáním dosáváme zobecněnou (Penroseovu nverz obdélníkové mce... lxn kerou pořebueme pro výpoče mc redukovného modelu (.5: + (Mlb: pnv (.8 Určení edné z možných gregčních mc ukážeme n meodě modální gregce... Meod modální gregce. Meod vychází ze snovení výběru l domnnních vlsních čísel mce dynmky výchozího sysému keré chceme zchov v redukovném modelu red. V úlohách regulce z domnnní vlsní čísl obvykle povžueme čísl s menší bsoluní hodnoou. Domnnním vlsním číslům odpovídí příslušné domnnní módy keré určuí průběh dynmckých odezev red. Meod vychází z rnsformce dného do ekvvlenní modální svové reprezence (Jordnov. Uvžume svový model sysému vysokého řádu podle (. n n : x &( Ax( + Bu( ; x ( xo ; x R ; u y R ; {λ ( A} vlsní čísl mce A (.9 y ( Cx( λ λ Pro převedení do Jordnovy ekvvlenní svové reprezence použeme modální rnsformční mc M (voří sloupce vlsních vekorů příslušných k λ λ. Pro rnsformc svu plí x( M x( z podmínek vsupně-výsupní ekvvlence dosáváme : x & n ( M AMx( + M Bu(; x M ; x( R u y R (. y ( CMx( M ( x AM Λ dg [ λ ] λ λ Mlb: [MD] eg(a Jordn(A Vlsní vekory (sloupce v modální mc M uspořádáme k by odpovídly zlev rosoucí posloupnos velkos bsoluních hodno vlsních čísel λ < λ < < λ n. Vlsní čísl s mlou bsoluní hodnoou povžueme z domnnní chceme e v redukovném modelu zchov. Předpokládeme že chceme urč redukovný model l - ého řádu l < n. Ml M Uspořádnou mc M rozdělíme n submce M M M M l l x l Vekor svu z( redukovného modelu defnueme výběrem l domnnních módů z modální svové reprezence pomocí výřezové mce P [ I ] lxn : l Dosáváme z( M Px( (. v původních svových proměnných z( M PM x( l l Porovnáním s defncí gregční mce z( x( dosneme hlednou gregční mc M l PM (. Mce F G H svové reprezence redukovného modelu (.3 určíme z dynmckých podmínek gregce (.5. Doszením modální rnsformce podmínky gregce F vlsním číslům λ... λ l : A MΛM gregční mce M l PM do A zsíme že vlsní čísl mce F odpovídí l zchovávným 6

8 F M ΛM FMlPM MPM l MΛM FMlPP MP l ΛP F MlΛ lm l Přenosová funkce redukovného modelu l ého řádu e dán vzhem F red H ( pi F G. Nevýhodou meody e že nerespekue k slně sou vybrné módy řdelné pozorovelné což může bý rozhoduící pro přenosové vlsnos redukovného modelu. uo nevýhodu odsrňue meod vyvážených reprezencí..3. Meod vyvážené reprezence Je zložen n převodu dného sysému n : x &( Ax( + Bu( ; x ( xo ; x R ; u y R y ( Cx( do ekvvlenní vyvážené svové reprezence chrkerzovné rovnosí grmánů řdelnos pozorovelnos uspořádáním složek vekoru svu dle míry řdelnos pozorovelnos což umožní obekvněší výběr l zchovávných módů v redukovném modelu. Defnce : (Vyvážená svová reprezence: ysém e ve vyvážené svové reprezenc eslže eho grmány řdelnos pozorovelnos dgonále W c resp. W o sou shodné rovné dgonální mc Σ se sngulárním čísly σ ěcho mc n W c W o Σ dg ( σ ; σ λ ( W c W c λ ( W ( W W o W o λ... n (.3 Pro nlezení rnsformční mce ekvvlence pro převod dného sysému do vyvážené svové reprezence vydeme z lernvní defnce řdelnos pozorovelnos pro sblní LD: Vě : (Řdelnos pozorovelnos blní LD e řdelný resp. pozorovelný eho grmán řdelnos c o W c resp. grmán pozorovelnos W sou konsnní symercké pozvně defnní mce. Grmány sou dány vzhy: W c o A ( τ A ( τ lm e BB e dτ o W A ( τ A ( τ lm e CCe dτ (.4 Poznmeneme že W c Wo vyhovuí Lpunovovým rovncím což vyplývá z použí Lebnzovy věy o dervc negrálu dle horní meze: d d f ( τ dτ f ( + f τ dτ d ( (.5 d Aplkcí Lebnzovy věy n (.4 dosneme Lpunovovy rovnce: AW + W A + BB A W + W A + C C (.6 c c Předpokládeme že sysém byl rnsformován do ekvvlenní vyvážené svové reprezence : x & ( Ax( + Bu( ; x ( x; x( x ( A A B B C C (.7 y ( Cx( určeme rnsformční mc ekvvlence. Ve vyvážené svové reprezenc musí W W vyhovov Lpunovovým rovncím: c o o o A W + c + Wc A BB A Wo Wo A + C C + (.8 Dosďme rnsformční vzhy z (.7 do (.8. Po úprvě porovnání rovnc s Lpunovským rovncem pro grmány nernsformovného sysému (.6 zšťueme že 7

9 W c Wc W o Wo (.9 zn. grmány obou reprezencí nesou vázány podobnosní rnsformcí nezchováví se n vlsní n sngulární čísl ěcho mc nelze udíž spln poždovnou rovnos dgonálních mc obou grmánů ve (.3. Grmány nesou nvrny vzhledem k rnsformc ekvvlence nelze e bezprosředně využí pro určení hledné rnsformce ekvvlence. Vyvoříme-l všk součn grmánů W zsíme že ech součn nvrnem e: W W c o W c o W c Wo W c W o (. Mce W W c o W W c o sou podobné mce zchováví se ech vlsní sngulární čísl po převedení n dgonální vr získáme poždovnou rovnos dgonálních mc. V dlším posupu př snovení rnsformční mce ekvvlence použeme věu o dekompozc čvercové mce n součn unárních mc dgonální mce se sngulárním čísly n dgonále. Vě.: (ngulární dekompozce mce Pro kždou čvercovou nečvercovou mc A lze provés dekompozc A UΣ V kde UV sou unární mce (U U I Σ e dgonální mce se sngulárním čísly σ n dgonále. Mlb: [U Σ V] svd(a Poznámk : ngulární číslσ sou n dgonále uspořádná sesupně dle velkos což e právě výhodné pro redukc řádu meodou vyvážených reprezencí neboť velkos sngulárních čísel e mírou řdelnos pozorovelnos příslušných módů ve vyvážené reprezenc. Uprvme nyní (. doszením z Wc Rc Rc Wo RR o o což sou Choleského rozkldy symerckých posvně defnních mc (grmánů určených z řešení Lpunovských rovnc (.6. Dosáváme W W c o Rc RRR c o o (. po plkc Věy n čvercovou mc RR c o respekování poždvku WC WO Σ určíme hlednou rnsformční mc ekvvlence pro převedení sysému do vyvážené reprezence: WW Σ Σ C O Rc U Σ Σ V R / Σ R UΣ I / / o c / ( RU c R U c / Σ Σ (. Nyní můžeme dný sysém převés do ekvvlenní vyvážené svové reprezence redukovný svový model zvoleného l ého řádu získáme prosým výřezem mc vekoru svu x ( : : A A B x & x u A A B ( ( + ( y ( ( C C x ( red : x& red ( A ~ y ( C x Přenos redukovného modelu F red : red x red ( ( + B u( F red C( pi A B l xred R (.3 (.4 8

10 hrneme posup pro určení redukovného modelu (Mlb: / sys ss(abcd % svová reprezence dného sysému / W grm( sys' c' W grm( sys' o' % výpoče grmánů řdelnos pozorovelnos c 3/ [ R p] chol( W [ R p] chol( W c 4/ [ U V] svd( R * c Ro c o o % Choleského rozkldy grmánů o Σ % sngulární dekompozce určení Σ 5/ nv( R * U*( Σ^( / % rnsformční mce do vyvážené reprezence 6/ c * * * A A B B C C* % mce sysému ve vyvážené reprezenc A B C 7/ Určení svové reprezence redukovného modelu red ( ( vz Mlb: BALREAL Chyb kerá vznkne návrhem redukovného modelu e omezená závsí n zvoleném řádu l. Ve frekvenční obls lze dokáz že plí: sup ω F n red l + ( ω F ( ω uo meodu bychom mohl modfkov s použím prncpu gregce z( P x ( resp. z( P x( kde P [ I l ] e výřezová mce lxn P e gregční mce. Výsledky budou obecně horší neboť sená mír řdelnos pozorovelnos bude porušen podmínkm dynmcké přesnos gregce σ Příkld.: p +.5p+ K dnému sysému s přenosem F určee redukovný model. řádu meodou vyvážených 3 p + 9.p + 9.8p+.6 reprezencí porovnee u obou sysémů Bodeho frekvenční chrkersky!.957p +.9 Uvedeným posupem byl určen redukovný model s přenosem: Fred p p+.697 Redukovný přenos nemá sené scké zesílení ko dný sysém e žádoucí eho korekce! Bodeho frekvenční chrkersky pro dný redukovný sysém sou zkresleny v ednom obrázku: Bode Dgrm Mgnude (db Phse (deg Frequency (rd/sec 9

11 .4. Meod řeězových zlomků Meod řeězových zlomků e frekvenční meod pro redukc řádu modelů vysokého řádu popsných přenosovým funkcem F. Vychází z rozvoe přenosové funkce F v ylorovu řdu v okolí kové frekvence kde poždueme dobrou proxmc chování modelem nžšího řádu. Redukovný model získáme respekováním příslušného poču členů rozvoe. Rozvo se obvykle provádí v okolí ω ( p což v čsové obls odpovídá. Pokud sysém nemá ssmus redukovný model zchovává scké zesílení. Meodu lze použí pro scké sysémy. Obecně nemusí zchov sblu redukovného modelu byť výchozí model byl sblní. Meodu lze převés n gregční meodu. Uvžume sysém vysokého řádu kerý e popsný přenosovou funkcí F n Y + p n p F n n U + p n p + p (.5 Vzhledem k možnému ssmu sysému ( by nebyl možný rozvo v okolí p vyádříme F pomocí nverzního přenosu sysému G : F n Y + p n p + p G n U G( + p p Rozvneme-l nyní přenosovou funkc G v řdu v okolí p dosneme pro F F( G( G G G( p + p ( p + p ( p +...!! Ukážeme že pro výpoče ednolvých členů rozvoe lze použí rekurenního výpoču: G p h G ( p... ( p... ( p... ( + p +... p ( p! ( + p +... G! p p ( p p h p 3 n p p h kde 3 h p ( p... výpočem dosneme 3 3 h 3 4 h3 n ( h h 3 (.6 (.7 Po výpoču dlších členů rozvoe doszení do (.7 zsíme že F lze vyádř ve vru řeězových zlomků F( (.8 G( p h + p h + p h3 + h

12 Všmněme s že zkrácený řeězový zlomek s prmery h...h 4 by poskyl přenos redukovného sysému. řádu (s relvním řádem což ké odpovídá fku že byl získán respekováním pouze příslušného poču členů rozvoe. Obecně plí že pro získání redukovného přenosu F( red l ého řádu l < n e nuno urč l prmerů h l redukovný přenos lze urč zpěným přepočem z (.8. Př určování prmerů h dle rekurenních vzhů používáme modfkovné Rouh-Hurwzovo pole: 3... n koefceny polynomu ve menovel dné F h 3... n koefceny polynomu v čel dné F h M M M n n (.9 Prmery h sou dány podílem / +... koefceny v dlších řádcích určíme podle schém: 3 h 3 3 h h Zpěné určení redukovného přenosu z (.8 není rozumně lgormzovelné proo byl vyprcován ekvvlenní meod pro Frobenovu svovou reprezenc dného sysému kerá vede n možnos převés meodu řeězových zlomků n výřezovou přípdně n gregční meodu redukce řádu..5. Meod řeězových zlomků př svovém popsu sysému Zákldní de: Redukovný přenos l -ého řádu byl určen pomocí l prmerů h.. respekováním příslušného poču členů v ylorově rozvo znedbáním členů vyšších řádů. Přenosu F ve vru řeězových zlomků musí odpovíd něká svová reprezence ve keré by právě volb l svových proměnných l < n znmenl poždovné oříznuí přenosu n redukovný přenos Posup: F red. / Abychom dodržel zvedené oznčení koefcenů v přenosu (.5 převedeme F do svové reprezence ( ABC ve Frobenově vru. / Z přenosu F ve vru řeězových zlomků určíme srukuru prmery hledné

13 (vsupně-výsupní ekvvlenní svové reprezence ( ekvvlence : x ( x(. ABC příslušnou rnsformční mc 3/ Vekor svu z ( redukovného sysému red určíme výběrem prvních l složek vekoru svu x ( z ( Px( resp. ( Px( I e výřezová mce lxn. z kde P [ ] l 4/ Mce F G H svové reprezence redukovného modelu určíme prosým výřezem mc v ekvvlenní reprezenc. (Pokud bychom využl gregční mc P dynmcké podmínky gregce pro odvození redukovného modelu byl by součsně použ dvě nesourodá krér! d/ Frobenov svová reprezence přenosu F dle (.5: : x &( Ax( + Bu( ; x ( xo ; y ( Cx( n x R ; u y R (.3 kde A L O L L n ; M B ; [ ] C L n d/ V přenosu F ve vru řeězových zlomků (.8 se vyskyuí pouze dv ypy přenosů subsysémů. řádu F F mž odpovídí příslušné zpěnovzební srukury. yo subsysémy mí přenosy h F ( p p p h4 ; F p hh p h3h4 h + + h3 + + h p h4 p ech zpěnovzební srukury sou znázorněny n obrázku. Z přenosu ve vru řeězových zlomků vdíme že všechny přenosy ypu F sou posupně vnořovány do F. p Zpěnovzební srukur subsysému F Zpěnovzební srukur subsysému F p p x u p h y ( x h 4 h 5 h 6. h x h3 p

14 V leruře bylo ukázáno že vhodnou volbou svových proměnných x(... xn ( (výsupy negráorů lze z ěcho blokových schém odvod hlednou ekvvlenní svovou reprezenc kerá e odvozen ze seného přenosu ko Frobenov reprezence. Obě svové reprezence sou vsupně-výsupně ekvvlenní musí bý vázány příslušnou rnsformční mcí ekvvlence. Ekvvlenní reprezenc nebudeme určov z blokových schém oznčíme pouze formálně : x & ( Ax( + Bu( ; A A B B C C (.3 y( C x( odkážeme se n leruru kde bylo dokázáno že hledná rnsformční mce ekvvlence pro převod sysému ve Frobenově reprezenc do éo reprezence má vr horní roúhelníkové mce eíž řádky sou koefceny redukovných polynomů menovele F. lché řádky v modfkovném Rouh Hurwzově pol (redukovné polynomy menovele keré končí koefcenem : 3 3 L 5 L (.3 M O M L d3/ Jk ž bylo řečeno ekvvlenní svová reprezence má vlsnos že zchování prvních l složek vekoru svu x( odpovídá oříznuí řeězového zlomku z prmerem h l udíž vekor svu z ( redukovného sysému red e dán vzhem z( x( I e výřezová mce lxn. P kde P [ ] l d4/ vovou reprezenc redukovného sysému red určíme odpovídícím výřezem mc v ekvvlenní svové reprezenc ( ABC. Poznámk: Je možné uvžov o použí gregční echnky s mcí gregce P urč mce FGHsvové reprezence redukovného modelu následně přenos redukovného modelu ( pi F G F red H ( Pddéův proxmn meod Momen mchng Určení redukovného přenosu F red n zákldě rozvoe dné přenosové funkce F v mocnnou řdu p př znedbání členů vyššího řádu souvsí s pomem Pddéův proxmn. Rozvneme-l uprvenou přenosovou funkc F v okolí p v nekonečnou mocnnou řdu eí koefceny c c... budou funkcem prmerů přenosu... n+... m+ n m F + p p m m+ n + p n+ p c + cp+ cp + + cp + (.34 k... k... Dále uvžume rconální funkc m p... m p F n + p p n m n < n m < m (.35 n + 3

15 Defnce. : (Pddéův proxmn ~ Rconální funkce F ( p e Pddéovým proxmnem řdy F( ehdy en ehdy když prvých ~ (m + n + členů rozvoe F ( p F( e shodných. ~ Jnk řečeno F ( p musí bý určelné pomocí koefcenů c c c... ck řdy (.34 pro k m + n neboť yo koefceny sou funkcem m+ n+ prmerů v přenosu sysému. ~ Ke zkrácené řdě pro k m + n ; m < m n < n m n lze opě urč Pddéův proxmn F ( p s polynomem supně m v čel supněm n ve menovel můžeme e povžov z redukovný přenos F red se zvoleným supn polynomů. Algormzce výpoču redukovného přenosu F red : Dnou přenosovou funkc F uvžueme ve vru Po eím rozvo v řdu v okolí p dosneme m + p m+ p F( ; n m (.36 n + p p n+ F F F p + p! ( p ( m+ n F ( m+ n! p ( m+ n ( p m + F n +..+ ( m + n! p ( p m+ n +... m+ n m+ n c cp cp cm+ np cm+ np zkrácenářdprofred (.37 Koefceny c m + n keré sou funkcem koefcenů polynomů přenosu F lze urč buď podle (.37 nebo porovnáním výrzů u sených mocnn p položíme-l rovnos mez dný přenos F eho řdu s ( m + n + členy. V obou přípdech získáme rekurenní vzhy: c + c - c + c - c - c (.38 c 3 - c - c 3 - c M M M Rekurenní vzhy zpíšeme (pro F s polynomy supně m n v mcovém vru c L L M L L c c L L M M M 3 c c c L M M M M M M M M c m cm cm L c M L L n+ + m + L L L L L L M L L L L L L c m+ cm cm L c c M M M M M c c L L L L M L L c c m+ n m+ n (.39 4

16 po zvedení úsporněšího oznčení submc dosáváme kde c C M L L L L L+ L (.4 c C C M c ( m+ x c nx sou subvekory vyvořené z m + n + koefcenů rozvoe (.37 resp. sou vekory vyvořené z koefcenů polynomu ve menovel resp. čel F ( p C. ( m + xn C. nxn C. nx( m+ Proože chceme urč redukovný přenos m + p m + p Fred ; n + p p m < m n < n m n (.4 n + sčí nám urč pouze prvních m + n + koefcenů c podle (.38 uprv dělení mc v (.39 resp. (.4 podle zvolených supňů polynomů m n v redukovném přenosu (.4. Mcový záps poom bude mí vr c C M L L L LL+ L c C M C (.4 kde vekory resp. sou nyní vyvořeny z hledných koefcenů polynomu menovele resp. čele redukovného přenosu (.4. Jech určení e ž ednoduché: c C + c C c C C c c C C c (.43 Není-l mce C regulární musíme zvol né supně polynomů m n. Meod Momen mchng (meod čsových momenů mpulsní funkce Meod e formálně shodná s předchozím posupem určení Pddéov proxmnu pro dnou F rozvnuou v řdu od předchozího posupu se lší pouze nou nerprecí koefcenů rozvoe c. Zpíšeme l přenos ko Lplceovu rnsformc mpulsní funkce g( dosneme po rozvo p e v okolí p p F g( e d ( p ( p 3 p F( g( d c + c p + c p + c3 p!! 3! Koefceny rozvoe c c! g( d mí význm čsových momenů mpulsní funkce

17 Příkld.: (sený přenos ko u meody vyvážených reprezencí - vz Příkld. p +.5p+ K dnému sysému s přenosem F 3 p + 9.p + 9.8p+.6 určee meodou Momen mchng redukovný model. řádu ( n s polynomem. supně v čel redukovného přenosu ( m. Porovnee u obou sysémů Bodeho frekvenční chrkersky! Řešení: / Dný přenos uprvíme n vr (.36: + p+ 3 p p+.65 p F 3 + p + p + p + 6.5p p +.65p / Výpoče n+ m+ koefcenů c rozvoové řdy F c + cp + cp + cp podle (.38: c +.65 c - c c - c - c c 3 - c - c 3 - c / Zpíšeme mcový vr rekurenních vzhů dle (.39 provedeme rozdělení mc podle volby supňů polynomu v čel menovel redukovného přenosu obdržíme mcový vr rekurenních vzhů dle (.4 kde.65 c.65 ( m + x.98 c nx C.65 C C C.65 4/ Podle (.43 určíme vekor koefcenů polynomu menovele redukovného přenosu: vekor koefcenů polynomu čele redukovného přenosu: / Dosáváme přenos poždovného redukovného modelu: + p.65+.7p.56p+.8 Fred + p+ p p+.8p p +.436p p +.5p+ Bodeho chrkersky pro dný přenos F 3 p + 9.p + 9.8p+.6.56p +.8 redukovný přenos Fred sou znázorněny n následuícím obrázku: p +.436p

18 Všmněme s že scké zesílení dného sysému K /.6.65 e zchováno v redukovném přenosu K.8/ proože rozvo v řdu byl proveden pro ω čemuž v čsové obls odpovídá. Meod dává dobrou proxmc frekvenčních chrkersk právě v okolí ω..7. Meod sngulárních perurbcí čsová dekompozce sysému Reálné sysémy sou čso složeny z mnoh subsysémů s výrzně odlšnou dynmkou e oázkou zd by pro ech řízení č sblzc bylo možné použí redukovný svový reguláor kerý by řízení odvozovl pouze od ěch měřelných složek vekoru svu keré sou pro dynmcké chování domnuící. o myšlenk ovšem předpokládá možnos kés čsové dekompozce modelu reálného sysému n dv nerguící subsysémy pomlý rychlý subsysém. Z domnnní složky vekoru svu budeme povžov složky vekoru svu pomlého subsysému. Uvžume reálný sysém se svovou reprezencí n :: χ& ( A χ ( + B u ( ; ( R y( C χ ( χ { } n λ vlsní čísl A (.44 Předpokládeme možnos dekompozce n dv nerguící subsysémy s výrzně odlšnou dynmkou dek př součsném zchování eho reálné svové reprezence. Problém kové dekompozce spočívá ve vhodném výběru pomlých rychlých složek χ ( proože z pohledu modální svové reprezence e kždá složk χ (..n lneární kombncí pomlých rychlých módů χ ( Mχ ( kde χ ( e vekor svu ekvvlenní modální svové reprezence M e mce vlsních vekorů příslušných k vlsním číslům λ mce A. Oznčíme-l vekor svu pomlého subsysému x ( rychlého subsysému z ( poom od čsové dekompozce poždueme dekompozc vekoru svu modelu reálného sysému eho mc dek x( l n l χ ( ; x ( R z( R l < n z( A A dek A B ; B dek A A ; C dek [ C C ] B 7

19 Proože ková dekompozce není ednoznčná (poče možných výběrů l složek x z vekoru ( n!/ l! ( n l! χ e pokusíme se zvedením někého prmeru ε prmerzov ím kvnfkov. Prozím předpokládeme že ková čsová dekompozce ž byl proveden nebo ž přímo reálně exsue že subsysémy lze pops rovncem: : x &( A x( + A z( + Bu( - pomlý subsysém (.45 : ε z &( Ax ( + Az ( + Bu ( - rychlý subsysém ε e mlé kldné číslo ε <<. Všmněme s že pokud by byly nerkce subsysémů nulové nebo ednosměrné bylo by l vlsních čísel mce A vlsním čísly mce A ( n l vlsních čísel mce A vlsním čísly mce A. Poom by prmer sngulární perurbce ε (vyskyue se sngulárně pouze v druhé rovnc mohl bý určen npř. ko λmx( A ε λ ( A mn Obecně nerkce nulové č ednosměrné nesou proo e nuné provés čsovou dekompozc k by vznklé nerkce přílš neovlvňovly rozdělení sysému n pomlý rychlý subsysém. Poznmeneme ešě že zvedený prmer ε << n pozc ε z &(... má vlsně význm mlé čsové konsny rychlého subsysému ehož sv z ( se udíž n krákém čsovém nervlu + δ dosne do zv. kvzusáleného svu z ( z ( kons pro > + δ εz & (. Kvzusálený sv z ( určíme z rovnce pro rychlý subsysém : z & ( A x ( Az ( Bu ( z A A x( A B u( (.46 : ε + + ( Nhrdíme-l nyní v rovnc pomlého subsysému (.45 sv rychlého subsysému z ( eho kvzusáleným svem z ( dosneme redukovný dynmcký model l ého řádu kerý odpovídá řádu pomlého subsysému: red : x& ( ( A A A A x( + ( B A A B u( Cx( y ~ A ~ B (.47 Přesněší proxmc lze získ ervně. Přpusťme že př náhrdě svu rychlého subsysému dopusl chyby η ( z( z(. Poom z eho kvzusáleným svem z ( sme se z( η ( + z( η( A Ax( A Bu( resp. z& ( η& ( A Ax& ( A Bu& ( (.48 Dosdíme-l nyní z z ( z& ( do (.45 dosneme pops subsysémů v nerkcích v souřdncích x ( η ( : : x& ( ( A A A A x( + Aη ( + ( B A A B u( ~ A ~ B ~ ~ : ε η& εa A ( A x( + A η( + B u( + εa B u& ( + A η( (.49 ( Provedeme ešě elmnc u& ( defnováním nové svové proměnné ξ ( η( A Bu(. Poom η ξ ( + A B u( resp. & & ξ( + A B u& η η& do (.3 ( η. Doszením z ( 8

20 dosneme po úprvě pops subsysémů v nerkcích v souřdncích x ( ξ ( : ~ : x &( A x( + Aξ ( + Bu( : & ~ ε ξ ( εa A A x( + ( A + εa A A ξ ( + ( B + εa AB u( ( ~ A ~ A ~ B Redukovný model po. erc red získáme opě uvžováním přechodu do kvzusáleného svu ξ ( ξ ( kons pro > + δ ε. ξ & (. Respekováním éo podmínky dosneme po úprvách kvzusálený sv ve vru ~ ~ ~ ~ ξ ( ( A Ax( ( A Bu( po eho doszení z ξ ( v pomlém subsysému (.5 dosneme redukovný svový model po. erc red : ~ ~ ~ ~ ~ red : x& ( A A ( A A x( + ( B A ( A B u( ( Cx( y (.5 ~ ~ ~ ~ kde A A A ; A + ε A A ; A ~ ε A A ; B + ε A A A A ~ Pokud bude A < A A A A B B vlv nerkcí se po první erc zmenšl e možné uvžov o dlší erc podle ž použého schém: Př náhrdě ξ ( ξ ( sme se dopusl chyby ξ ( ξ ( Přísupy k čsové dekompozc Prozím sme předpokládl že čsová dekompozce reálného sysému ž byl nlezen nebo reálně exsue. Obecně se poýkáme s následuícím problémy: / Jk vybr z vekoru svu χ ( reálného sysému l složek k by co nelépe reprezenovly vekor svu x ( pomlého subsysému? / Jk urč nevhodněší poče ěcho složek? 3/ Jk př dném výběru ěcho složek kvnfkov vlv vnklých nerkcí mez subsysémy? 4/ Jk urč prmer sngulární perurbce ε? A/ Dekompozce n zákldě rnsformce pomlých složek do rychlých složek vekoru svu. Uvžume opě reálný sysém ve svové reprezenc n : χ& ( A χ( + B u ( ; χ ( R (.5 y( C χ ( l χ( ednu z možných dekompozc vekoru svu χ ( dek l nl nl χ (... lx χ(...( n lx. χ( Dekompozce s vynucue dekompozc mc modelu reálného sysému ~ ~ ~ A A dek A B ~ ~ ; B dek ~ ; C dek ~ ~ [ C C ] A A B Chceme-l kždou kovou dekompozc povžov z čsovou dekompozc budeme předpoklád že ke kždé kové dekompozc lze nléz ekvvlenní svovou reprezenc ve vru subsysémů v nerkcích (.45: 9

21 l : x &( A x + A z + Bu x ( R vekor svu pomlého subsysému n l : ε z &( Ax ( + Az ( + Bu ( z ( R vekor svu rychlého subsysému (.53 Předpokládeme že pro kždou dekompozc plí rnsformční vzhy (s neurčenou mcí L x ( l nl χ ( z ( χ( + L l χ ( L...( n lxl (.54 keré lze zps mcově pomocí rnsformční mce ekvvlence l x( Ilxl χ( I lxl ; n l z( L I( n l x( nl χ( I lxl L I ( nl x( nl (.55 L I ( nl x( nl A A Mce dynmky A ekvvlenního sysému (.53 e dán rnsformcí A A % A A ~ ~ ~ A A A AL A ~ ~ ~ ~ ~ ~ A A LA A L LAL + A A + LA ( Položíme-l n pozc A příslušný výrz rovný nule vypočeme-l z éo rovnce mc L budou ~ ~ vlsní čísl mce A resp. A ím lépe odpovíd vlsním číslům mce A resp. A čím bude menší něká norm mce L. Mc L e ovšem nuno získ pro kždou dekompozc numerckým řešením. Z perurbční prmer ε povžueme normu éo mce ε L. B/ Využí modální rnsformce Uvžume opě svovou reprezenc reálného sysému (.5. N sv χ ( můžeme nhlíže ko n sv kerý vznkl rnsformcí svu modální svové reprezence χ( Mχ( kde M e mce vlsních vekorů příslušných k vlsním číslům λ mce A. / Uspořádáme vlsní vekory M vzesupně podle velkos příslušných λ... n l χ( pro kždou dekompozc χ ( dek rozdělíme modální mc M n submce n l χ( s oznčeným počem sloupců l n M [ M M l+ ] ; l... n (.57 zn. že koefceny v é řádce mce M... n předsvuí váhu zsoupení pomlých rychlých módů v é složce χ (. b/ Pro kždé dělení l určíme n c l čísel { } l { } r r... n row row M M l n l+ ( row... á řádk (.58 kerá kvnfkuí poměrné zsoupení pomlých rychlých módů χ ( ve složkách χ ( dné svové reprezence reálného sysému. c/ Uspořádáme-l n ce do rosoucí posloupnos lze získ pro kždé dělení příslušný výběr složek l nl vořících χ ( χ (. O nevhodněším dělení l můžeme rozhodnou npř. podle mxm dference rmx sousedících čísel v uspořádných n cích. ko určené číslo můžeme povžov z perurbční prmer ε.

22 .8. Využí redukovných modelů př synéze Jk ž bylo nznčeno v úvodu použí redukovných modelů řízených sysémů (nebo redukovných modelů uzvřených regulčních smyček by mělo vés n návrh ednodušších reguláorů. Ukážeme že pro synézu sou vhodné zemén gregční meody. Návrh ednoduššího reguláoru budeme demonsrov n deermnscké opmlzční úloze LQ (LD kvdrcké krérum opmly. Dáno: : x &( Ax( + Bu( ; x ( x ; x R n y ( Cx(... měřený výsup y ( H x( hodnocený výsup (v kréru opmly Krerum opmly: Ju ( x Qx + u Ru d ; Q Q > ; Q ; ( A pozorovelné R Cíl: Urč opmální zpěnovzební řízení u (x k by x ( J (u J (u u I Rekpulce řešení úlohy vlsnos řešení: Opmální řízení u (x generue lneární svový reguláor: Reg.: u (x - BKx( Uvžueme-l exerní sgnál ( popsán rovncem x ( A BB K x ( + Bu ex K K > e sblzuící řešení lgebrcké Rccovy rovnce u ex e z : & ( A BB K y ( Cx( AK KA KBB K Q + + (.59 u u (x + u ex ( uzvřený opmálně řízený sysém e e vždy sblní mcí! (.6 Mnmální hodno krér opmly: J ( u x Kx (.6 Robusnos ve sblě: Pro řešení LQ úlohy plí že frekvenční chrkersk oevřené smyčky U ( ω F ( ω B K( ωi A B (.6 U ex ( ω nkdy neprochází vnřkem ednokové kružnce se sředem (- zn. že ω plí: + F ( ω (.63 u ex u x y ( ωi A B C Im F o F ( ω o - Re F o B K F ( ω o u *

23 Z uvedeného obrázku vyplývá že e vždy zručen bezpečnos ve fáz γ 6 (průsečík dvou kružnc bezpečnos v zesílení / K v nervlu [ / (možnos pronuí reálné osy Předpokládeme nyní že nmíso modelu řízeného sysému použeme eho redukovný model red získný někou gregční meodou red : z &( Fz( + Gu( z ( zo ; ~ y ( Hz( l z R z ( x ( u y R (.64 kde FGH byly určeny z podmínek dynmcké přesnos gregce př známé gregční mc. V kréru opmly Jusou hodnoceny svové proměnné x (. Př použí redukovného modelu všk budou hodnoceny svové proměnné gregovného svu z ( krérum e nuné modfkov: Ju ( x Qx + u Ru d + + J( u ( z ( Q z+ uud z ( x ( x ( z ( x ( z (( + Qr Nyní lze urč opmální řízení pro redukovný model modfkovné krérum opmly. Dosneme lneární svový reguláor (s redukovným svem kde K r.lxl r K r (.65 u ( z GKz ( (.66 K > e sblzuící řešení lgebrcké Rccovy rovnce r F K + KF KGG K + Q (.67 r r r r r Reguláor použeme pro řízení původního ~ sysému le řízení ž bude pouze subopmální: u ( x G K x( (.68 Uzvřený sub-opmálně řízený sysém z bude popsán rovncem : x &( A BG K x ( + Bu (.69 z ( r ex y ( Cx( Mce ( A BG K r r ž nemusí bý sblní mcí hodno krér se zvýší ( ~ J u J ( u Frekvenční přenos oevřené smyčky má nyní vr U F ~ ( ω ( ω G K r ( ωi A B (.7 U ( ω ~ podmínk + F ( ω ω obecně ké neplí (vz obr.: ex

24 u ex u x y ( ω I A B C Im F o F% ( ω o - Re F o u ~ G K r F% ( ω o Dodek: Frekvenční nerprece Rccovy rovnce důsledek pro robusnos ve sblě. Návrh opmálního reguláoru pro LQ úlohu spočívá v nlezení řešení Rccovy rovnce Rovnc uprvíme vynásobením AK + KA KBB K + Q přčením ωk ωk ωk AK Kω KA KBB K + ( Q Rovnc rnsponueme vynásobíme zlev B ( ωi A zprv ( ω dosneme I A B po přčení + + B ( ωi A KB + B K ( ω + B ( ωi A I A B KB B K ( ω I A B + B ωi A ( ω I A B Oznčíme v rovnc defnovný přenos oevřené smyčky F ω BK ωi A B přenos n hodnocený výsup Dosneme F ω ωi A B H zn. že musí pl + F ( ω + F ( ω + F ( ω F ( ω + F ( ω F ( ω o ω o o o H H ω [ + F ( ω ] [ + F ( ω ] resp. + F ( ω edy ké + F ( ω o o Opmální řešení LQ úlohy k zručue zmíněnou robusnos ve sblě. o o. 3

25 3. VÍCE-ROZMĚROVÉ YÉMY CENRALIZOVANÉ ŘÍZENÍ Více-rozměrové sysémy (čso oznčovné ko MIMO sysémy mul-npu mul-oupu sou sysémy s více vsupy /nebo výsupy. Je důležé s uvědom že vsupy výsupy sou vekory keré mí svou velkos směr. Je edy zřemé že odezvy n seně velké vsupní sgnály mohou mí různou velkos. Pokud k dnému MIMO sysému nvrhueme edný reguláor hovoříme o cenrlzovném řízení pokud nvrhueme více reguláorů rozlšueme více-smyčkovou regulc - kždý smyčkový reguláor může bý spoen s lbovolnou dvocí vsupů výsupů decenrlzovné řízení kždý lokální reguláor může bý spoen en s dvocí vsupů výsupů (svů příslušných subsysému v dném mísě. Jedná se o více-smyčkovou regulc př srukurálním omezení n řídcí nformční sysém vyplývící z rozlehlos řízeného MIMO sysému. V obou přípdech se snžíme př návrhu reguláorů použí známé meody návrhu reguláorů pro ednorozměrové sysémy (IO. Lmuícím fkorem návrhu sou nerkce regulčních smyček resp. nerkce subsysémů v rozlehlém sysému. 3.. Memcké modely lneárních více-rozměrových dynmckých sysémů vový pops vový pops lneárního MIMO sysému n - ého řádu s r vsupy p výsupy předpokládáme ve vru n r p : x &( Ax( + Bu( x( R u( R y ( R pr n hb [ ] r hc [ ] p y ( Cx( + Du( (3. Mnmální nemnmální relzce Řdelný pozorovelný MIMO sysém e v mnmální relzc mce A má mnmální rozměr sysém popsue mnmální množn svů v mc přenosových funkcí nedochází ke krácení nul pólů. Nuly MIMO sysému v mnmální relzc nzýváme nlogcky k IO sysémům přenosovým nulm. yo nuly blokuí pro určý yp vsupního sgnálu eho odezvu n výsupu lze l urč příslušné počáeční podmínky e odezv n výsupu nulová. Defnce: (přenosová nul MIMO sysému v mnmální relzc Komplexní číslo p z sysému v mnmální relzc : ( ABCD e přenosovou nulou eslže exsuí počáeční podmínky x ξ vekor u z x &( Ax( + Bue ξ u kové že x ξ (3. z y ( Cx( + Due což lze s použím Lplceovy rnsformce vyádř podmínkou zi A B ξ ξ C D u u e zobecněný prvý vlsní vekor nuly z. Anlogcky lze urč zobecněný levý vlsní vekor nuly z kerý oznčíme η γ. U svového modelu v nemnmální relzc může docháze ke krácení nul pólů v mc přenosových funkcí edy ke zráě řdelnos (zv. krácení vsupní nuly /nebo pozorovelnos (zv. krácení výsupní nuly. 4

26 uce s krácením nul pólů e všk u MIMO sysémů komplkovněší než u IO sysémů proože kromě velkos nul pólů rozhoduí o možnos krácení směry příslušných vlsních vekorů. Uveďme (bez důkzu podmínky pro krácení nul pólů MIMO sysému: Má-l : ( ABCD něký pól λ k s prvým vlsním vekorem k v ( Av λ v nulu k k k z se k ξk zobecněným prvým vlsním vekorem u kové že λ k zk ξk αvk pro něké α R k poom dochází ke krácení výsupní nuly dochází ke zráě pozorovelnos. Má-l : ( ABCD něký pól λ k s levým vlsním vekorem w k ( wk A λkwk nulu z se k zobecněným levým vlsním vekorem η γ kové že λ k zk ηk βwk pro něké β R poom dochází ke krácení vsupní nuly dochází ke zráě řdelnos. Explcní řešení výsupní rovnce MIMO sysému lze s použím modální rnsformce A ( A ( τ ( A M M y ( Ce x + C e Bu( τ dτ + Du( (3.b Λ přeps do vru Λ( Λ( τ y ( CMe M x + CM e M Bu( τ dτ + Du( (3.c Oznčíme-l ešě v resp. mce A ( v sou sloupce M w sou řádky M vru ze kerého e zřemý vlv ednolvých módů n výsup w prvé resp. levé vlsní vekory příslušeící vlsním číslům λ... n můžeme výsupní rovnc zps v rozepsném n n λ( λ( τ ( τ τ (( ( (3.d9í y ( Cv e wx + Cv wb e u d + Du( Rychlos odezvy určuí vlsní čísl λ vr odezvy ovlvňuí vlsní vekory vový model mce přenosových funkcí Převedení e ednoznčné formálně se nelší od IO sysémů: Je-l výchozím modelem MIMO sysému mce přenosových funkcí F w v. F p C pi A B+ D. p eí převod n svovou reprezenc není ednoznčný může dá vznk nemnmální relzc svové reprezence. Aplkcí Lplceovy rnsformce n svovou reprezenc MIMO sysému (3. př nulových počáečních podmínkách lze sysém ké pops Rosenbrockovou polynomální mcí sysému P( p : pi A B X C D U Y P P p pi A B C D Uvžueme-l senou dmenz vekoru vsupu výsupu (čvercová mce přenosových funkcí lze odvod vzh pro určení nul pólů MIMO sysému. A B Proože pro deermnn složené mce plí: de de A C D de ( CA B + D (násobíme. řádek CA P p dosáváme přčeme k.řádku po plkc n polynomální mc de P p pi A F de dede F p de P de ( pi A (3. (3. 5

27 Nuly rxr MIMO sysému sou určeny polynomem de P( p póly sysému polynomem de ( pi A Mce přenosových funkcí F ( p Je složen z dílčích přenosů f ( p mez vsupy u (... r výsupy y (... p f p Y b p ; b sou polynomy s b s U V mcovém zápsu : Y F ( pu. b b r Y f f r p L L p r p L L U p U M M M M M M M (3.3 M M M M M M M Y bp bpr p p fp p fpr p Ur p L L Ur L L p pr F p e př neseném poču vsupů výsupů obdélníkovou mcí pxr Mce přenosových funkcí sysému př seném poču vsupů výsupů čvercovou mcí. U čvercové mce přenosových funkcí e vzhledem k (3. zřemé že póly MIMO sysému sou f p nuly MIMO sysému všk určeny polynomem de F p obshuí udíž póly dílčích přenosů s nulm dílčích přenosů nesouvsí. U obdélníkové mce přenosů určueme nuly póly MIMO sysému převodem mce přenosů do mh-mc Mllnovy formy (vz ods F p lze vyádř ko polynomální mc Uveďme ešě že kždou mc přenosových funkcí B( p dělenou nemenším společným násobkem menovelů dílčích přenosů: b F ( p b p p M M L L L L b b r r pr pr M M Mce frekvenčních přenosů MIMO sysému zesílení b% L L b% r M M B M M b% p L L b% pr p n.s.n{ } Pro mc frekvenčních přenosů plí nlogcky k (3.3 Y( ω F ( ω U( ω frekvenčních přenosů F ( ω e vyvořen z dílčích přenosů f ( ω mez vsupy výsupy Y ( ω... p. Pro kždou frekvenc [ ωω e F ω obecně mc komplexních čísel. (3.4 přčemž mce U ω... r Chceme-l urč u MIMO sysému zesílení př určé frekvenc e nuné s uvědom že opro IO sysémům sou u MIMO sysémů vsupní výsupní sgnály vekory velkos ednolvých složek vekorů e nuné neprve sečís pomocí něké normy (npř. Eukledovské normy ( ω ( ω U U. IO: ( ω ( ω Y ω F ω U ω F ( ω zesílení závsí n ω nezávsí n velkos vsupu. U U 6

28 MIMO: ( ω ( ω Y ω F s ω U ω zesílení závsí n ω n směru vsupu nezávsí n U U velkos vsupu. Mxmální resp. mnmální hodno zesílení pro všechny směry vsupu e dán mxmálním resp. mnmálním sngulárním číslem σ mx resp. mn σ mce F ( ω : σ λ F ( ω F ( ω. s Pro určení sngulárních čísel používáme sngulární dekompozc mce (vz ods..3. érové prlelní zpěnovzební spoení mc přenosových funkcí Omezení: můžeme spoov pouze velčny sených dmenzí násobení mc není komuvní. Nechť G ( p pxr G p pxr. Výsledný přenos spoení e oznčen G p. u y u y Y G G( U( G( U( G ( G ( 443 G dm u dm y (r p p u u G ( G ( y y Y [ G + G ]. ( U G( U G dm u dm u (r r dm y dm y (p p u y w u G ( G ( y dm y dm u (p r G p x r r x r dm y dm y (p r G p x r r x r Dvě vrny zpěnovzebního spoení: Y G W Y G W G / ( ( Y Y ( I + GG GW G ( I + GG G nverueme mc r x r y u / U W GGU Y G I + G G U ( I + GG W W G G ( I + G G nverueme mc r x r 3.. Mce přenosových funkcí mcový zlomek Pro pops MIMO sysémů se čso používá mce přenosových funkcí F ve fkorzovném vru levého nebo prvého mcového zlomku (chrkerscký polynom F nemusí bý mnmální. Levý mcový zlomek Uvžume MIMO sysém s r vsupy r výsupy popsný rxr mcí přenosových funkcí F ( p. 7

29 Oznčme p nemenší společné násobky menovelových polynomů v - é řádce nsn...{ }... r (3.5 nechť s ( p sou lbovolné sblní polynomy seného supně ko ( p ; s s ( p s Poom lze mc přenosových funkcí F ( p zps ve vru levého mcového zlomku kde F F FD FN O FN r r sr p. (3.6 b p br p L s s p s D M O M sou sblní mce b p brr L sr p sr b p b p sou čelové polynomy dílčích přenosů po přepoču respekuícím... rr společné řádkové menovele Prvý mcový zlomek Uvžume opě MIMO sysém s r vsupy r výsupy popsný rxr mcí přenosových funkcí F ( p. Oznčme nemenší společné násobky menovelových polynomů v - ém sloupc nsn...{ }... r (3.7 nechť s ( p sou lbovolné sblní polynomy seného supně ko ( p ; s s ( p s Poom lze mc přenosových funkcí F ( p zps ve vru prvého mcového zlomku kde F p. F FN p FD p (3.8 b p br p p L s p sr p s N M O M F D O sou sblní mce br brr r L s sr sr b p b p sou polynomy v čelích dílčích přenosů F ( p po přepoču respekuícím... rr společné sloupcové menovele Poznámk: Prvý mcový zlomek lze nerpreov př řešení úlohy sblzce MIMO sysému lneárním svovým reguláorem levý mcový zlomek př řešení úlohy rekonsrukce svu MIMO sysému. Řešení obou úloh e nlogcké s řešením úloh pro IO sysémy. A/ blzce řdelného MIMO sysému lneárním svovým reguláorem n r : x &( Ax( + Bu( x( R u ( y ( R AB e řdelná dvoce y ( Cx( ; r Re g.: u ( Kx( + u ( u ( R K... rxn mce zpěnovzebního řízení komp komp Předpokládeme že byl určen něký sblzuící reguláor určeme mce přenosových funkcí pro U p Y p U p U p U p Y p! přenosy komp komp 8

30 ysém s uzvřenou svovou zpěnou vzbou e popsán rovncem : x &( ( A BK x ( + Bu ( z y ( Cx( u ( Kx( + u ( komp komp Použím L-rnsformce dosáváme ze svové rovnce (př nulových počáečních podmínkách X ( pi A+ BK BUkomp po vyloučení X( p z výsupní rovnce z rovnce reguláoru určíme hledné mce přenosů ( + U I K( pi A+ BK BU Y p C pi A BK BUkomp p komp F p F p pro příslušné mce přenosových funkcí dosáváme Zvedeme-l oznčení N D Y FN ( pu komp U FD( pu komp U komp p FD p U Mce přenosových funkcí N D (3.9 F p F p sou sblní mce mce přenosových funkcí sysému se svovým reguláorem e popsán prvým mcovým zlomkem: N D F ( pu Y p F p F p U p ( B/ Rekonsrukce svu pozorovelného MIMO sysému návrh úplného lneárního sympockého rekonsrukoru svu : x &( Ax( + Bu( x n r ( R u ( y ( R ; ( AC e pozorovelná dvoce y ( Cx( x ˆ & ( Axˆ( + Bu( + κ y Cxˆ ˆ n x R κ...nxr mce novčního zsku y ( Cxˆ ( + ey( e ˆ y y y( výsupní chyb rekonsrukce svu Rek.: Předpokládeme že byl nvržen úplný lneární sympocký rekonsrukor svu určeme mce Y p p U p p U p Y p! přenosových funkcí pro přenosy Ε Ε Použím L-rnsformce dosáváme ze svové rovnce rekonsrukoru ˆX p pi A C + κ BU p + pi A+ κc κy p y po doszení do výsupní rovnce E ˆ y p Y p CX p I C pi A+ κc κy p C pi A+ κc BU p lme můžeme psá Proože sympocký rekonsrukor zručí y κ κ ( κ I C pi A+ C Y p C pi A+ C BU p F p F p pro příslušné mce přenosových funkcí dosáváme po zvedení oznčení N D FD( py FN ( pu Mce přenosových funkcí N D y (3. F p F p sou sblní mce mce přenosových funkcí sysému s rekonsrukorem svu e popsán levým mcovým zlomkem: F ( pu Y p F p F U p D N (3. 9

31 3.3. Mce přenosových funkcí póly nuly Př nlýze vlsnosí IO sysémů př ech řízení sme ukázl že dosželná kvl regulce závsí n umísění pólů nul neen uzvřené regulční smyčky le n umísění pólů nul řízeného sysému respekve oevřené regulční smyčky. Zásdní omezení n dosželnou kvlu regulce přom vyplýví z exsence nesblních nul /nebo pólů řízeného sysému keré nesmí bý z důvodu vnřní sbly regulčního obvodu kráceny musí zůs zchovány v oevřené regulční smyčce. Důsledkem e vznk podregulování nebo přeregulování v uzvřené regulční smyčce omezení n šířku pásm regulce dlouhá dob regulce pod. Lze přrozeně očekáv že s nlogckým problémy se sekáme př řízení MIMO sysémů. Zbýveme se nyní oázkou k defnov nuly póly u mce přenosových funkcí MIMO sysému (obecně e o obdélníková ve specálním přípdě čvercová mce přpomeňme že př znlos svového popsu sme uvedl pro určení nul pólů vzh (3. kerý plí pouze pro MIMO sysém se seným počem vsupů výsupů. Nuly MIMO sysému: Mce přenosových funkcí sysému F p ve vru mcových zlomků nbízí defnc nul MIMO sysému ko ková komplexní čísl p kerá nuluí polynomy v čelích mc F p - vz vzhy (3.6 resp. (3.8. kové nuly všk obecně nerespekuí F ( p resp. N N důležou vlsnos blokování přenosu k k o známe z přenosové funkce IO sysému. Nuly mce přenosových funkcí sysému sou defnovány ko ková komplexní čísl p kerá F p. způsobí snížení normální hodnos mce přenosových funkcí sysému Pro čvercové mce přenosových funkcí MIMO sysému můžeme defnov nuly ko ková komplexní čísl p kerá vyhovuí podmínce de F ( p Alernvní defnce nul MIMO sysému vychází z převedení mce přenosových funkcí F p do (kvz- dgonální mh-mc Mllnovy formy ve keré lze urč nuly MIMO sysému s nečvercovou mcí přenosových funkcí. Nuly sou defnovány ko kořeny nenulových polynomů v čelích (kvz- dgonální mce přenosových funkcí (podrobně v odsvc 3.7. Póly MIMO sysému: Mce přenosových funkcí sysému F p ve vru mcových zlomků nbízí defnov póly MIMO sysému ko ková komplexní čísl p kerá způsobí snížení normální hodnos mc F p - vz vzhy (3.6 resp. (3.8. Póly ovšem nemusí odpovíd mnmální F ( p resp. D D relzc sysému. Pro čvercové mce přenosových funkcí MIMO sysému můžeme defnov póly ko ková komplexní čísl p kerá nuluí polynom ve menovel de F. Alernvní defnce pólů MIMO sysému vychází z převedení mce přenosových funkcí F p do (kvz- dgonální mh-mc Mllnovy formy ve keré lze urč póly mnmální relzce MIMO sysému o s nečvercovou mcí přenosových funkcí. Póly sou defnovány ko kořeny polynomů ve menovelích (kvz- dgonální mce přenosových funkcí (podrobně v odsvc 3.7. Z uvedeného e zřemá symerčnos nul pólů u čvercové mce přenosových funkcí Nuly F ( p sou póly [ F ( p ] póly F ( p sou nuly [ F ( p ]. F p : 3

32 Příkld 3.: Určee přenosové nuly mce přenosových funkcí F N první pohled nelze zs zd s hodnosí což znmená že Vzhledem k čvercové de F 4 ( p+ ( p+ ( p+! ( p+ ( p+ p+ F p má přenosovou nulu č ne le dosdíme-l z p z 3 dosneme mc F z -3 e sblní přenosovou nulou: ( 3 4 F p F p můžeme urč přenosovou nulu ké z podmínky de 4 ( p+ ( p+ 3 ( p+ 3 ( p+ ( p+ ( p+ ( p+ ( p+ ( p+ ( p+ + p z 3 Vsupní výsupní vekor (směr nuly MIMO sysému blokování přenosu. Proože nulu z mce přenosových funkcí MIMO sysému F ( p lze defnov ko komplexní číslo p z F p (hodnos mce pro éměř všechn musí pro uo nulu exsov lespoň eden konsnní nenulový vekor v resp. w kový že plí: wf z (3.3 keré způsobí snížení normální hodnos Vekory v resp. F( z v resp. w sou čásí nulového prosoru generovného sloupc resp. řádky F z proo se vekory v resp. w používí ermíny vsupní resp. výsupní vekor nuly (npu resp. oupu zero vecor. Velkos složek ěcho vekorů určuí míru váznos nuly n ednolvé složky vekoru vsupu resp. výsupu MIMO sysému. Normueme-l vekory vv resp. ww můžeme nuly MIMO sysému chrkerzov ech hodnoou směrem používáme ermín vsupní resp. výsupní směr nuly MIMO sysému. Uvžume nyní že n MIMO sysém byl přveden specální vekorový vsup s Lobrzem U v (3.4 p z z ysém e buzen edným módem e konsnní vekor v vyhovue (3.3. Proože celková odezv sysému e dán součem přrozené vynucené složky y ( y ( + y ( dosáváme pro Lobrzy Y p Y p Y p Y p F z v Y p p v p p pz p v (3.5 z Odezv n budící mód e e sysémem blokován n výsupu se neobeví - hovoříme o přenosové nule sysému (vz ods nloge se svovým popsem. blní nesblní nuly MIMO sysému. Memcký pops MIMO sysému se sblní č nesblní nulou budeme lusrov n známém lbororním modelu čyř-nádržového sysému (K.H.Johnsson s qudruple-nk pprus. Lbororní model sesává ze dvou dvoc verkálně uspořádných vodních nádrží s volným odoky z horních nádrží do dolních přčemž nádrže sou křížově npáeny dvěm čerpdly přes poměrové venly (vz níže uvedené schém. Zímvé e že lnerzovný model ohoo dvou-rozměrového MIMO sysému má dvě reálné nuly echž umísění lze ovlvn nsvením poměrových venlů. Jedn 3

33 nul e vždy umísěn v levé sblní polorovně (mnmálně fázový sysém druhá nul může bý umísěn v levé nebo v prvé nesblní polorovně (vznkne nemnmálně fázový sysém. Model umožňue demonsrc chování mnmálně fázového nemnmálně fázového MIMO sysému přípdně obíže omezení n kvlu regulce spoené s řízením nemnmálně fázových sysémů. γ 3 4 γ γ γ u u Čerp. Čerp. h h Memcký model čyř-nádržového MIMO sysému e popsán sousvou čyř nelneárních dferencálních rovnc. řádu: dh γ ku gh + gh + 3 ( ( 3 d A A A ( ( 4 4 d A A A dh γ ku gh + gh + ( d A3 A3 dh ( γ gh + ku ( d A4 A4 dh ( γ gh + ku (3.6 h sou výšky hldn v nádržích A resp. sou průřezy nádrží resp. odoků...4 u u sou npěí přváděná n moory čerpdel dodávná množsví sou úměrná npěí: ku ku γ γ ( sou nsvení poměrových venlů: množsví vody proudící do. nádrže e γ ku 3