17 Křivky v rovině a prostoru
|
|
- Bedřich Vlček
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ, ψ] se nzývá prmetrizce křivky. 2. Body A : [ϕ(), ψ()], B : [ϕ(b), ψ(b)] nzýváme koncové body křivky. Křivk se nzývá uzvřená, je-li A B. 3. Křivk se nzývá jednoduchá, je-li F prostá n, b. Geometricky to znmená, že křivk se nikde neprotíná. 4. Křivk se nzývá jednoduchá uzvřená (jordnovská), je-li uzvřená F je prostá n (, b). 5. Křivk se nzývá hldká, je-li jednoduchá F má spojitou derivci n, b (tj. funkce ϕ ψ mjí spojité derivce n, b ). 6. Křivk se nzývá po částech hldká, je-li spojením konečně mnoh hldkých křivek, přičemž toto spojení je pouze skrz koncové body. 7. Je-li hldká křivk pro nějké t 0, b je F (t 0 ) [0, 0], pk bod P [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )] nzveme singulárním bodem křivky, v opčném přípdě regulárním bodem. 8. Hldká křivk se nzývá regulární, jsou-li všechny její body regulární, npř. křivk [t 2, t 3 ], t 1, 1 není regulární, má singulární bod [0, 0] (pro t 0). 9. Křivk se nzývá po částech regulární, vznikne-li spojením konečně mnoh regulárních křivek (npojení je opět pouze v koncových bodech jednotlivých křivek). Poznámk. ) Kždá jednoduchá ( jednoduchá uzvřená křivk) má nekonečně mnoho prmetrizcí, npř. jednotková kružnice se středem v počátku má prmetrizci [cos t, sin t], t 0, 2π, nebo [cos 2t, sin 2t], t 0, π, nebo [sin t, cos t], t 0, 2π. b) Je-li f funkce spojitá n, b, pk její grf je křivk s prmetrizcí ϕ(t) t, ψ(t) f(t), t, b. c) Derivce F (t 0 ) předstvuje tečný vektor ke křivce v bodě F (t 0 ) [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )]. d) áme-li dvě různé prmetrizce téže křivky, může se stát, že některý bod je regulární v jedné prmetrizci singulární v druhé. Pk mluvíme o nepodsttně (odstrnitelném) singulárním bodu křivky. Je-li bod singulární ve všech prmetrizcích křivky, mluvíme o podsttně (neodstrnitelném) singulárním bodu křivky. Pro přípd křivkového integrálu II. druhu je nvíc potřeb zvést pojem orientce křivky. Orientovt křivku znmená určit směr, ve kterém jsou body křivky procházeny (to lze dvěm způsoby). Definice 17.2 (souhlsné nesouhlsné orientce jednoduché (uzvřené) křivky). 1. Buď {[ϕ(t), ψ(t)] : t, b } jednoduchá křivk zvolme n ní dv různé body P 1 [ϕ(t 1 ), ψ(t 1 )] P 2 [ϕ(t 2 ), ψ(t 2 )]. Orientujme křivku tk, že se pohybujeme od bodu P 1 směrem k bodu P 2 (říkáme tké, že bod P 1 je před bodem P 2, zpisujeme P 1 P 2 ). Je-li t 1 < t 2, řekneme, že křivk je orientován souhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. Je-li nopk t 1 > t 2, řekneme, že křivk je orientován nesouhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. 2. V přípdě jednoduché uzvřené křivky ji orientujme pomocí tří bodů P 1, P 2 P 3 tk, že se po křivce pohybujeme z bodu P 1 do P 2 z P 2 do P 3 (bodu P i odpovídá prmetr t i, i 1, 2, 3). Je-li t 1 < t 2 < t 3 nebo t 3 < t 1 < t 2 nebo t 2 < t 3 < t 1, pk řekneme, že křivk je orientován souhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ] je-li t 1 > t 2 > t 3 nebo t 2 > t 3 > t 1 nebo t 3 > t 1 > t 2, pk řekneme, že křivk je orientován nesouhlsně s prmetrizcí [ϕ, ψ]. Příkld Jednotková kružnice se středem v počátku orientovná proti oběhu hodinových ručiček je orientován souhlsně vzhledem k prmetrizci [cos t, sin t], le nesouhlsně vzhledem k prmetrizci [sin t, cos t]. Prostorovou křivku bychom definovli jko množinu {[ϕ(t), ψ(t), χ(t)] : t, b } R 3, kde 3-funkce F [ϕ, ψ, χ] je spojitá n, b. Osttní pojmy jko jednoduchá nebo hldká křivk by se zvedly nlogicky. Pozor, křivku v prostoru nelze zdt explicitně pomocí funkce! 18 Křivkový integrál Definice 18.1 (křivkového integrálu I. druhu ze spojité funkce). Nechť je regulární křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] f : R 2 R je spojitá funkce n nějké otevřené množině obshující křivku. Potom definujeme křivkový integrál I. druhu jko f(x, y) ds : b f(ϕ(t), ψ(t)) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt 41 ( )
2 Ukžme, co nás vedlo ke vzorci v předchozí definici. Jko motivci uvžujme úlohu určit obsh plochy τ {[x, y, z] R 3 : [x, y], 0 z f(x, y)}. Proveďme nějké dělení intervlu t 0 < t 1 < < t n b intervlu, b. Tímto dělením je určeno tké dělení A P 0 P 1 P 2 P n B křivky (P k [ϕ(t k ), ψ(t k )], k 0, 1,..., n). Potom je přirozené proximovt hledný obsh číslem S n : f(ϕ(t k ), ψ(t k )) ([ϕ(t k ) ϕ(t k 1 )] 2 + [ψ(t k ) ψ(t k 1 )] 2. Potřebujeme ukázt, že S n konverguje k hodnotě n prvé strně ( ) pro kždou nulovou posloupnost dělení intervlu, b (připomeňme, že se jedná o posloupnost dělení, ve které norm dělení mx k {1,2,...,n} t k t k 1 jde s rostoucím n k nule). Podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě (viz vět 16.2 v SA1) existují čísl ξ k, η k (t k 1, t k ) tková, že ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ) ϕ (ξ k )(t k t k 1 ) ψ(t k ) ψ(t k 1 ) ψ (η k )(t k t k 1 ). Hodnotu S n tedy můžeme přepst S n f(ϕ(t k ), ψ(t k )) [ϕ (ξ k )] 2 + [ψ (η k )] 2 (t k t k 1 ). Kdyby pod odmocninou byly hodnoty derivcí v bodě t k (nmísto ξ k η k ), pk by S n předstvovl přímo integrální součet (s výběrem reprezentntů Ξ {t k : k 1, 2,..., n}) v limitě bychom ihned dostli poždovný integrál (protože f je spojitá nd křivkou výrz ϕ 2 + ψ 2 je tké spojitá funkce díky regulritě ). Jko poslední krok je tedy potřeb ukázt, že lim S n lim n n f(ϕ(t k ), ψ(t k )) [ϕ (t k )] 2 + [ψ (t k )] 2 (t k t k 1 ). Důkz tohoto kroku využívá Heineho Cntorovy věty (viz vět v SA1), která říká, že spojitá funkce n uzvřeném intervlu je již stejnoměrně spojitá. Poznámk. ) Předpokld regulárnosti křivky v definici křivkového integrálu lze i oslbit, zejmén lze připustit, by hldká křivk měl konečný počet singulárních bodů. Z jistých důvodů se le regulárnost obvykle předpokládá již v definici integrálu (čsto se dokonce přidává do definice hldké křivky to pk i lépe odpovídá intuitivní předstvě o hldkosti křivky). b) Hldkost křivky zručí, že je tto křivk tzv. rektifikovtelná. To znmená, že délk lomené čáry při zjemňování dělení neroste nde všechny meze, tedy křivk má konečnou délku (délk křivky je právě tkto definován jko supremum délek lomených čr přes všechn možná dělení). Příkldem nerektifikovtelné křivky je křivk o prmetrizci { 0 pro t 0 ϕ(t) t, ψ(t) t sin 1 t pro t > 0., t 0, 1, ψ není spojitá v bodě 0. Pro délku rektifikovtelné křivky pltí l() c) Lze ukázt, že hodnot integrálu nezávisí n zvolené prmetrizci dné křivky. d) Křivkový integrál je možné definovt obecněji než v definici 18.1, kdy vycházíme z ohrničené funkce n oblsti obshující křivku zvedeme podobně jko u stndrdního Riemnnov integrálu horní dolní součty funkce nd křivkou, přípdně integrální součty. e) Křivkový integrál přes po částech regulární křivku bychom definovli jko součet integrálů přes jednotlivé části. Příkld (x + y) ds, kde je obvod trojúhelník ABC, A [0, 0], B [0, 2], C [1, 0]. [ 1 2 ( ) ] Příkld rctg y x ds. ds, kde je část Archimédovy spirály ρ ϕ ležící v kruhu o poloměru π/2. [ 1 3( (1 + π 2 /4) 3/2 1 )] Poznámk. V přípdě prostorové křivky by se z nlogických předpokldů vzorec definice 18.1 modifikovl n b f(x, y, z) ds f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 + [χ (t)] 2 dt. 42
3 Příkld y2 + z 2 ds, kde {[x, y, z] R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, x y, x 0, z 0}. [2π] V přípdě křivkového integrálu druhého druhu přes rovinnou křivku budeme hodnoty 2-funkce dvou proměnných interpretovt jko vektory, budeme tedy hovořit o vektorovém poli znčit ho f(x, y) (P (x, y), Q(x, y)). Definice 18.5 (křivkového integrálu II. druhu ze spojitého vektorového pole). Nechť je orientovná regulární křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] f je vektorové pole spojité n nějké otevřené množině obshující křivku. Pk definujeme křivkový integrál II. druhu f(x, y) ds P (x, y) dx + Q(x, y) dy : ± b [P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t)] dt, ( ) kde znménko + bereme v přípdě souhlsné orientce křivky s prmetrizcí F znménko v přípdě nesouhlsné. otivce pro vzorec ( ) je následující. Buď AB orientovná úsečk s počátečním bodem A koncovým bodem B. Uvžujeme-li konstntní silové pole f, pk z fyziky je známo, že práce, kterou vykoná silové pole f po úsečce AB, je dán sklárním součinem f (B A). Je-li tento sklární součin kldný, jedná se o vykonnou práci, je-li záporný, jedná se o spotřebovnou práci. Opčná orientce úsečky by znmenl práci s opčným znménkem. Jká bude práce, kterou vykoná/spotřebuje silové pole f(x, y) po orientovné křivce? Uvžujme opět nějké dělení t 0 < t 1 < < t n b intervlu, b (to opět určí dělení A P 0 P 1 P n B křivky ). Nhrdíme-li orientovné křivky k : {[ϕ(t), ψ(t)] : t t k 1, t k } (k 1, 2,..., n) orientovnými úsečkmi P k 1 P k n kždé z nich silové pole f konstntním silovým polem s hodnotou f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )), pk získáme proximci vykonné práce W n : f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (P k P k 1 ) f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ), ψ(t k ) ψ(t k 1 )). Přepíšeme-li rozdíly ϕ(t k ) ϕ(t k 1 ) ψ(t k ) ψ(t k 1 ) pomocí Lgrngeovy věty o střední hodnotě, dostneme W n : f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ (ξ k ), ψ (η k ))(t k t k 1 ). Pomocí Heineho Cntorovy věty lze opět ukázt, že lim W n lim n n f(ϕ(t k 1 ), ψ(t k 1 )) (ϕ (t k 1 ), ψ (t k 1 ))(t k t k 1 ). Sum z znkem limity n prvé strně předchozího vzthu předstvuje integrální součet spojité funkce, tkže v lim n W n dává prvou strnu vzorce ( ) pro libovolnou nulovou posloupnost dělení intervlu, b. Příkld Určete (xy, 0) ds, kde je část prboly x y 2 jdoucí z bodu [1, 1] do počátku [0, 0]. [ 2 5 ] Poznámk. Vzth mezi křivkovým integrálem I. II. druhu je následující. Je-li rovinná křivk s prmetrizcí F [ϕ, ψ] regulární, tk tečný vektor F (t) (ϕ (t), ψ (t)) je nenulový pro t, b. Potom vektor F 1(t) F (t)/ F (t) je jednotkový ( je eukleidovská velikost vektoru). Uvžujeme-li spojité vektorové pole f v nějké oblsti obshující křivku, pk pltí f ds ± f F 1 ds ( + v přípdě souhlsné orientce křivky s prmetrizcí F v přípdě nesouhlsné). Následující tvrzení dává do souvislosti dvojný integrál přes množinu s křivkovým integrálem II. druhu přes hrnici množiny. Řekneme, že hrnice množiny je orientován kldně, jestliže množin při pohybu po zůstává po levé ruce. Vět 18.7 (Greenov přes normální množinu vzhledem k ose x, George Green , Angličn). Nechť je normální množin vzhledem k ose x (tj. {[x, y] R 2 : x b, y ψ(x)} její hrnice je kldně orientovná křivk, přičemž předpokládáme, že funkce ϕ, ψ mjí spojitou derivci n, b. Nechť dále vektorové pole f (P, Q) je spojité n má zde spojité prciální derivce P y Q x. Pk pltí (Q x P y) dxdy (P, Q) ds. 43
4 Důkz. Protože je normální vzhledem k ose x, její hrnici lze složit ze čtyř částí l : x, y ϕ(), ψ(), d : y, x, b, p : x b, y ϕ(b), ψ(b) h : y ψ(x), x, b. Části hrnice l p jsou zřejmě regulární díky předpokldu spojitosti derivcí funkcí ϕ, ψ jsou i části hrnice d h regulární křivky. Pltnost tvrzení bude prokázán, pokud ukážeme, že P y(x, y) dxdy P (x, y) dx Q x(x, y) dxdy Q(x, y) dy. Pltí tj. P (x, y) dx l P (x, y) dx }{{} 0, protože ϕ (t)0 + P (x, y) dx + d P (x, y) dx P (x, y) dx + d P (x, y) dx h b N druhou strnu, podle Fubiniovy věty P y(x, y) dxdy [P (x, ) P (t, ψ(x))] dx. b ( ψ(x) b p P (x, y) dx }{{} 0, protože ϕ (t)0 P (x, ) dx ) P y(x, y) dy dx b b + P (x, y) dx, h b P (x, ψ(x)) dx [P (x, y)] ψ(x) dx [P (x, ) P (x, ψ(x))]dx, tj. pltí P (x, y) dxdy P (x, y)dx. Důkz druhé rovnosti Q(x, y) dxdy Q(x, y) dx je trochu obtížnější, opírá se o následující vlstnost integrálu závislého n prmetru: Nechť f : R 2 R je spojitá n nějké otevřené množině Ω obshující normální množinu {[x, y] R 2 : x b, y ψ(x)}. Potom integrál F (x) : ψ(x) f(x, y) dy je spojitá funkce n, b. á-li nvíc f spojitou prciální derivci f x n Ω ϕ, ψ jsou spojité n, b, pk F má derivci n, b pltí F (x) ψ(x) f x(x, y) dy + f(x, ψ(x))ψ (x) f(x, )ϕ (x). ( ) Rovnost ( ) využijeme při výpočtu Q x(x, y) dxdy. Fubiniov vět dává Položíme-li f Q v rovnosti ( ), pk tedy ψ(b) ϕ(b) ψ(x) Q x(x, y) dxdy b ( ψ(x) ) Q x(x, y) dy dx. Q x(x, y) dy F (x) Q(x, ψ(x))ψ (x) + Q(x, )ϕ (x) Q x(x, y) dxdy [F (x)] b f(b, y) dy ψ() ϕ() f(, y) dy b b b b Q(x, )ϕ (x) dx Q(x, )ϕ (x) dx. Zároveň všk pltí Q(x, y) dy p l h Q(x, y) dy d ψ(b) ϕ(b) f(b, y) dy ψ() ϕ() tj. Q(x, y) dxdy Q(x, y) dx. f(, y) dy b b Q(x, )ϕ (x) dx, 44
5 Poznámk. ) Anlogicky by se tvrzení dokázlo pro normální množinu vzhledem k ose y. b) Tvrzení zůstne v pltnosti, i když části hrnice d h budou po částech regulární křivky. c) Tvrzení dále bude pltit i v přípdě, kdy je regulární množin (připomeňme, že to je množin, kterou lze rozřezt n konečný počet normálních množin). d) Pltnost tvrzení lze rozšířit i n přípd ještě komplikovnějších množin než jsou regulární množiny (npř. typu řez ementálem s nepříliš pěknými oky ). Zejmén lze (z určitých dlších předpokldů) připustit hrnice, které obshují konečný počet singulárních bodů. e) Obsh ohrničené množiny lze pomocí Greenovy věty počítt jko S() 1 x dy y dx. 2 Příkld Určete obsh eliptické výseče mezi body A [ϕ(t 1 ), ψ(t 1 )] B [ϕ(t 1 ), ψ(t 2 )], kde [[ϕ(t), ψ(t)] [ cos t, b sin t],, b > 0, t 1, t 2 0, 2π, t 1 < t b(t 2 t 1 ) ] 45
je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Na vyřešení tohoto úkolu zavedeme tzv. křivkové integrály. Mám rád hezké křivky...
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceKapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku
x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceKřivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy
Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceNeřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE Komplexní integrce je do určité míry vrchol klsické nlýzy. Jádrem komplexní integrce je uchyov vět, což je komplexní form zákonu zchování, v podsttě jde o zákldní věty nlýzy. KŘIVKOVÝ
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.
2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více