Využití logaritmů při řešení exponenciálních závislostí a exponenciálních rovnic

Transkript

1 .9.7 Vužií logrimů ři řešení eonenciálních závislosí eonenciálních rovnic Předokld: 9 Logrim jsme objevili, roože jsme nedokázli řeši někeré úloh. Zkusíme, zd s jejich omocí roblém vřešíme. Př. : Inenzi rengenových rsků se sníží n olovinu ři růchodu vrsvou olov o loušťce,5 mm. Urči loušťku olověné desk, kerá zeslbí inenziu rengenových rsků n deseinu ůvodní hodno.,5 = I0 Pro inenziu rengenových rsků ři růchodu olovem lí: I Pokud se rsk zeslbí n deseinu ůvodní inenzi, lí: I = I0. 0 Dosdíme: I,5 = I 0 0 0,5. = Td jsme skončili, neuměli jsme shodi z eonenu. 0 s Teď známe vzorec log r = s log r. Sčí, b rvá srn bl logrimus, neznámou dosneme dolů z eonenu. Jk zjisi, b n ráce srně rovnice bl ké logrimus? Rovnice - dvě čísl, kerá se rovnjí, okud čísl nhrdíme jejich logrim, musí se rovn ké (ob logrim dělám ze sejného čísl, logrimus je funkce musí k ze sejných vrobi sejná ) - rovnici jsme zlogrimovli. 0, = ( 0,5),5 - čísl, kerá se rovnjí.,5 log 0, = log 0,5 - jejich logrim se rovnjí ké.,5 log 0, = log 0,5 /,5 log 0,5,5 log 0, = cm 44,8mm log 0,5 Rengenové rsk zeslbí n jednu deseinu olověná desk o loušťce 44,8 mm.. Při řešení ředchozího říkldu jsme oužili zlogrimování rovnice. Rovnici ve vru výrz výrz log výrz = log výrz (rovnos čísel jsme = jsme nhrdili rovnicí ( ) ( ) řevedli n rovnos jejich logrimů). To úrv je ro hodno výrzu ovolené ři

2 doszení do logrimů ekvivlenní oužívá se zejmén v řídech, kd ořebujeme neznámou sund z eonenu. Zkusíme říkld o soření. V žádném z říkldů jsme nezjišťovli dobu, o kerou musíme soři. Př. : Do bnk jsi uložil n úrok % čásku Kč. Z kolik le budeš mí k disozici Kč? n = n = = 50,0 ( ) log 75 = log 50,0 - logrimujeme celou rvou srnu, je o jediné číslo. log 75 = log 50 + log,0 - nemůžeme srči řed celý logrimus, musíme logrimus nejdříve rozděli, roože 50 není umocněno n. log 75 log 50 = log, 0 log 75 log50 = =,7 = 4le log, nšeříme z uvedených odmínek z 4 le. Pedgogická oznámk: Čás sudenů řeší říkld obrněji: = + 00,5 =,0 Mjí k smozřejmě jednoduší logrimování rovnice. Přeso si o vočení ukzujeme řešení uvedené v učebnici, roože všichni, keří rovnici zcel nezkráí očíjí smi, mjí výsledek šně. Ješě zkusíme sočí, jký b musel bý úrok, bchom nšeřili z dnou dobu dné množsví eněz. Př. : Do bnk chceš uloži čásku Kč. Jký musí bnk osknou úrok, b si z 0 le nšeřil Kč? n = n = =

3 75 = ,5 = ,5 = ,5 = ,5 = 00 0 ( ) - odmocníme rovnici. 0 = 00, 5 = 4,4 Bnk b musel nbídnou úrok více než 4,4 rocen. Pedgogická oznámk: K řešení osledního říkldu nejsou logrim smozřejmě ořeb. Je zde ouze jko odověď n oslední zjímvou oázku ohledně složeného úrokování. Pedgogická oznámk: Pokud budee očí následující říkld, zůsne málo čsu n očíání rovnic v závěru hodin. Př. 4: Rdiouhlíková meod určování sáří orgnických meriálů vužívá rozd rdiokivního uhlíku 4 4 C. Rdiokivní uhlík C má oločs rozdu 570 le, roože všk neusále vzniká kvůli dodu kosmického záření, jeho obsh v mosféře se nemění. Proože suchozemské živé orgnism čerjí uhlík z mosfér, je z jejich živo obsh rdiokivního uhlíku 4 C v jejich ělech sejný jko v mosféře. Jkmile všk zemřou, řesne se rdiokivní uhlík v jejich ělech dolňov kvůli rozdu jeho množsví eonenciálně klesá. Z odílu rdiokivního uhlíku k můžeme zjisi, jk dlouhá dob ulnul od okmžiku, kd orgnismus uhnul. Při vkoávkách bl nlezen kosr, kerá obshovl 78,% rdiokivního uhlíku živého orgnismu. Urči, keré význmné hisorické osobnosi mohl kosr náleže. Obsh uhlíku o: 0 le 570 le 570 le le 570 Dosdíme: 0, 78 = 0,5 log 0, 78 = log 0,

4 log 0,78 = log 0,5 570 log 0,78 = 570 = 990 le log 0,5 Člověk, kerému řil nlezená kosr, zemřel řibližně řed 990 le, ed okolo roku 0 nšeho leooču. Dodek: Možní mjielé kosr (rok úmrí 0 ± 5 le): Ježíš Krisus (0-) Gius Ocvinus Augusus (4) rvní římský císř Publius Vrus (9) římský vojevůdce oržený v bivě v Teuoburském lese, kde Germáni zsvili osu Římnů n sever. Mrcus Viruvius (0) rchiek, uor jediné dochovné nické říručk o rchiekuře Tius Livius (7) římský hisorik Publius Ovidius Nso (7) římský básník Gius Julius Germnikus (9) římský vojevůdce, víěz nd Germán Srbón () řecký zeměisec Wng Mng () jediný novník čínské dnsie Sin, svržen ovsáním Rudých obočí Přesuneme se k rovnicím. Kdž se učiel nerefí: Př. 5: + + = 9 Vřeš rovnici =. + = 9 Subsiuce: = + = 9 = 9 = Návr k ůvodní roměnné: = = = Ješě řed ýdnem bchom bli nmdlení, n co máme umocni, b všlo? To je oázk o logrimu: řece n log = log. K = { log } Rdši zkusíme zkoušku: log log + log L = + = + = + = 9 P = 9 L = P Pedgogická oznámk: Po vřešení říkldu se určiě někeří sudeni budou zlobi, že jko srávný výsledek není uvedeno číslo,584950, keré jim ukzuje klkulčk se kerým n klkulčce vjde zkoušk ( log řece není žádné číslo ). Je dobré jim omocí memického rogrmu, kerý očíá n věší oče lných číslic ukáz, že jejich deseinné vjádření rozhodně není řesná hodno, se kerou 4

5 zkoušk vjde (ři výoču n 0 mís vjde výrz n levé srně ). Př. : Vřeš rovnici + =. 5 + = 5 Problém: Pořebovli bchom subsiuci získli. + = 5 + = 5 + = 5 Subsiuce: = + = 5 / - můžeme násobi, = > 0 + = = 0 ( )( ) = 0 = = Návr k ůvodní roměnné: = = = = =, musíme urvi výrz = =, k bchom = Neumíme ns jko mocninu rojk (ři n něco), o le neznmená, že rovnice = nemá řešení. Nkreslíme grf funkcí = funkce = Číslo, keré b blo řešením eisuje, lí ro něj 0 < <, je o číslo, n keré musíme umocni rojku, b všl dvojk, Teď už hledné číslo známe, hned z definice víme, že = log ( číslo, n keré musíme umocni rojku, b všl dvojk) Můžeme osuov i jink: = - zlogrimujeme ři zákldu (zákld 5

6 K = { log ;} si můžeme vbr, ohle bude nejjednodušší) log log = log = log ( log =, už je jsné, roč jsme vbrli rojku) = log Problém je vřešen. Př. 7: Vřeš rovnici = = 0 / = 0 Subsiuce: = = 0 ( )( ) 4 = 0 = 4 = Návr k ůvodní roměnné: = 7 = 4 7 = 4 log 7 = log log 7 = log = log 4 7 K = { log7 ;log 7 4} = = 7 7 = Hledáme číslo, n keré musíme umocni sedmičku, b všl dvojk, Teď už hledné číslo známe, hned z definice víme, že = log7. Př. 8: Peáková: srn 4/cvičení c) d) srn 4/cvičení 7 c) d) Shrnuí: Logrimováním dosneme neznámou z eonenu.