I. MECHANIKA 1. Kinematika hmotného bodu

Transkript

1 I. MECHANIKA. Knemk hmoného bodu

2 Obsh prosor, čs, hmoný bod zžná sous, rekore, dráh, průměrná okmžá rychlos, zrychlení pomy derce negrálu složky ekoru, polohoý ekor, skládání rychlos ečná normáloá složk zrychlení, dosředé zrychlení klsfkce pohybu přímočrý křočrý, ronoměrný neronoměrný ronoměrný kruhoý pohyb hrmoncký pohyb po přímce

3 Výo zákldních pomů knemky kné = pohyb hmoné obeky esuí prosoru čsu, zbírí určou čás prosoru, polohy se s čsem mění prosor ncká předs Arsoeles obls s různým zákonosm prosor okolo Země obls pohybu nebeských ěles emprcká pozoroání epermeny eore grce + Kepleroy zákony n Zem e esmíru sené zákonos pohybu bsoluní prosor nezáslý n hmoných obekech ech pohybech Newon om Newon : Absoluní prosor e zhledem ke sé podsě bez ohledu n něší obeky sále ýž nepohyblý. prosor rorozměrné 3 nezáslé úde konnuum spoá změn zdálenos čs odozen od doby rání obekně esuících procesů, pozdě pohyb Slunce po obloze, pk pohyb hězd, měření čsu kuálně odozeno od kmů kryslu om Newon : Absoluní, skuečný memcký čs plyne sám od sebe díky sé poze ronoměrně bez ohledu n něší obeky. čs spoý prmer společný šem obekům nezásle n ech pohybu rychlos l obeků n prosor čs ěles pohybem hmonosí působí n geomer prosoročsu Ensen - eore rely 3

4 Zákldní memcké bsrkce prosor čs nezáslé n hmoných obekech prosor e rorozměrné konnuum Eukledoský prosor čs e ednorozměrné konnuum hmoný bod hodněší by bylo bodoá hmonos nlogcky k bodoému nábo bezrozměrný nekonečně mlý nemůže se n deformo n roo bsrkní přeso lze ko s dosečnou přesnosí popso řdu obeků subomární čásce, resp. omy e sronání s elkosí ěles, plney e sronání s elkosí sluneční sousy reálná ěles lze popso ko sousy hmoných bodů pozdě zžná sous zžný sysém, sous souřdná sous souřdnc, ůč níž se snoue poloh hmoného bodu 4

5 Trekore Sklární chrkersky pohybu Trekore geomercká křk prosoru, kerou hmoný bod př pohybu opsue dle ru rekore rozlšueme pohyb přímočrý křočrý kruhoý,... Dráh s délk rekore, kerou hmoný bod proběhne z čs Prmerzce polohy s prmerzce čsem hodná pro zkoumání rychlos ychlos ýznmy, zde e ýznmu speed sklární elčn úd n chomeru nezáleží n směru lze pro uzřenou rekor křeček bubínku, díě n kolooč 5

6 Sklární chrkersky pohybu ychlos délk dráhy s s s uržené z určý čs s s s přesně: zedl sme průměrnou rychlos nerlu s s s měl bychom psá zkrcoáním nerlu dosneme okmžou rychlos musíme zná s pro šechn nebol dále předpokládáme znlos fce s s ds lm zedl sme symbol derce d 6

7 Derce f Měme funkc y f defnonou bodě. f f Dercí rozumíme lm, oznčueme f. f f Podle obrázku ýrz g e směrnce sečny. f f f Lm pro e směrnce ečny bodě. Má-l funkce f derc kždém bodě, b, říkáme, že má, b df dy d d derc. Oznčueme f, y,,, f, y, y, f, f. d d d d dy Zednodušení zápsu přípdě, kdy nemůže doí k omylu y, pokud d ds y y. Podobně s, pokud s s. Too zedl I. Newon díle d Phlosophe Nurls Prncp Mhemc 7

8 Sklární chrkersky pohybu s ds ychlos lm lze zps e ru s, přesně s d onoměrný pohyb s kons nezáleží n směru pohybu příkldem může bý pohyb po kružnc s konsnní úhloou rychlosí s. Neronoměrný pohyb s kons opčná úloh k deroání hledání prmní funkce známe chceme zná s : s d 8

9 Prmní funkce neurčý negrál Funkce F e nerlu, b prmní funkce k funkc f, eslže pro, b plí F f. Víme, že C C kons f g f g F C F C F f To znmená, že pokud F e prmní funkce F C e ké prmní funkce. Symbolcký záps: f d F C 9

10 Sklární chrkersky pohybu Zrychlení zkoumáme změnu rychlos čse změn rychlos dosžená z určý čs nlogcky de o průměrné zrychlení nerlu měl bychom psá okmžé zrychlení zedeme dercí d d ds d s s d d d d s derce prmnífunkce derce prmní funkce

11 Příkld pohyb ronoměrně zrychlený Známe zh pro dráhu deroáním ypočeme rychlos s s Známe derce: n y n n y f C y f C y g f y g f y Tedy s s s Známe rychlos deroáním ypočeme zrychlení

12 Příkld pohyb ronoměrně zrychlený 3 Známe zh pro rychlos dráhu ypočeme pomocí prmní funkce Známe prmní funkce: n f n F n g C f G C F h g f H G F Tedy n n.kons s s d d d d s 4 Známe zrychlení rychlos hledáme ko prmní funkc n n.kons d d d

13 Příkld olný pád souřdncoá os h orenoná směrem dolů šechny ekory nenuloé en sslé složky možno uží sklární zhy čse h grční zrychlení g rychlos gd g g dráh ýšk h gd g h h g h zrychlení záslos n ýšce době pádu g yloučení prmeru rychlos záslos n ýšce pádu g h g g g gh 3

14 Souřdnce bodu řídmenzonálním prosoru,, ] nebo [, y, z] [ 3 ypy souřdnc roně krézské polární ypy souřdnc prosoru krézské cylndrcké sfércké polární cylndrcké sfércké 4

15 Směroé kosny r... zdálenos bodu od počáku krézských souřdnc r cos y r cos z r cos čso pohodlněší ndeoné souřdnce úhly: r cos 5

16 Směroé kosny rnsformce 3 3 přechod mez záemně pooočeným krézským sousm souřdnc,, 3,, mce roce prky mce roce = směroé kosny rnsformce,. směroé kosny úhlů, keré sírí osy s osm cos 3 6

17 Obecná rnsformce souřdnc oce rnslce přechod mez krézským sousm souřdnc,, 3,, 3 mce roce cos roce přímá sčící konence přes nde, kerý se yskyue součnu práě dkrá, se sčíá od do 3 rnslce určen konsnm c obecná rnsformce zhrnue roc rnslc: rnsformce přímá rnsformce nerzní 3 c c,,3 c, kde c c Poznámky: přímé rnsformc se sčíá přes druhý nde, nerzní přes prní nde! pro prky mce plí podmínky oronormly: kk k k celkem 9 ronc Kroneckerů symbol 7

18 Sčící konence Kroneckerů symbol Bez sčící konence Kroneckero symbolu by se podmínky oronormly k k k k musely zps následuícím roncem: ,,,,,,,,, 8

19 Vekoroé chrkersky pohybu ekoroý prosor defnoány operce sčíání násobení číslem ýsledek musí př do éhož prosoru obeky různých ypů ekory, funkce ekor, ekoroá fyzkální elčn elkos směr orence umísěný ekor rozšíření memcké defnce ednoznčně umísěn prosoru zprdl olbou počáečního bodu 9

20 Souřdnce ekoru krézská sous souřdnc ednokoé směroé ekory e směrech os e, e, e3 souřdncoé osy záemně kolmé ekory e oronormální,. oronormální báze proočá 3 e e e 3 ekory e konec počáek umísěné souřdnce ekoru A ekory Ae, Ae, A3e 3 oznčueme složky ekoru ekor A A, A, A3 lneární kombnce směroých ekorů A A e A e A e noselem fyzkální ednoky ekoru e souřdnce e 3 3 Ae

21 Operce s ekory lsnos báze ekoroé elčny A, B, C souřdnce ekorů krézské sousě souřdnc A, B, C sklární součn ekorů oronormální báze e e Kroneckerů symbol Leopold Kronecker Německo ekoroý součn ekorů báze e e ke k plí seně proočé leoočé sousě, orence součnu se určí podle prdl přčné ruky Le-Ců symbol sudá permuce lchá permuce k k k k k Tullo Le-C Iále

22 Operce s ekory sčíání násobení operndy A A e, B B e sčíání A B Ae Be A B e násobení sklárem ka k Ae ka e násobení ekorů A B sklární součn A B A e A B B e A B 3 A B 3 e e A B ekoroý součn A B Ae B e AB e e k ke k A B e A B 3 A 3 B e A 3 B A 3 B e A B A B e 3 k

23 Trnsformce ekoru přechod mez krézským sousm souřdnc,, 3,, 3 souřdnce ekoru A, A, A3 A, A, A 3 souřdnce se př pouhé rnslc nemění užueme en roce mce roce rnsformce přímá rnsformce nerzní Vekory musí př rnsformc zcho elkos splněno díky podmínkám oronormly k k cos A A AA k k A A A k A k k A A Poznámky: přímé rnsformc se sčíá přes druhý nde, nerzní přes prní nde slng: ekory různých elčn znázorňueme do sené krézské s.s. společné směroé ekory, osy ždy cechoány příslušných ednokách k k A 3 A

24 Polohoý ekor krézská sous souřdnc, osy sou cechoné délkoých ednokách souřdnce bodu P prosoru,, 3 sponce počáku O zžné sousy s bodem P ekor peně umísěný počáku r e e e e 3 3 polohoý ekor rdus ekor r,, užíáme pro pops souřdnc 3 bodu prosoru pošmněme s: př posunuí počáku zžné sousy smozřemě očekááme změnu polohoých ekorů šech obeků práě sme s řekl, že ekory se př rnslc nemění polohoý ekor není běžný ekor ko ekor se choá ž rozdíl polohoých ekorů 4

25 Prmerzce ekorů Prmerzce polohy,, prmerzce čsem 3 r e hodná pro zkoumání rychlos s s, s, prmerzce dráhou r s 3 s s e hodná npř. pro zkoumání ru rekore Vyloučení prmeru získáme ronc dráhy rekore,, 3 5

26 Dferencál funkce Dferencál funkce y f bodě e dy df f d, kde d e nfnezmální přírůsek nezásle proměnné; nlogcky ho nzýáme dferencálem nezásle proměnné. Symbol pro oznčení derce ychází z oho, že derce skuečně e podílem dferencálu funkce dferencálu nezásle proměnné d 6

27 Vekoroá elčn nlogcká k s dráh s polohoý ekor r e,, 3 Alernní posup: Dráhu s chápeme ko zdálenos mez body A A. Pk nlogckou ekoroou elčnu předsue změn polohoého ekoru r r r. Výhod: Změn polohoého ekoru má šechny lsnos ekoru. 7

28 Vekoroé elčny nlogcké k rychlos ekoroá rychlos e ýznmu elocy dr r d r d d dr d Plí nopk neplí dr r dr r! e,, 3 Alernní posup: Zároeň plí r, proože d d r r r e r e r d d zrychlení ekoroé zrychlení r e,, 3 8

29 Prdl pro derce d d derce složené funkce f g f g g derce součnu funkcí Lebnz fg f g f g nlogcky pro dferencály d fg g df f dg 9

30 Vzh ekoroé sklární rychlos Užueme r s s e s s, edy ko složenou funkc r s s e ychlos yádříme d d d d ds s rs s e e s e s d d d ds d dr ds dr ds edy s, kde ds d ds... elkos rychlos d dr dr... ečný ekor rekore ds dr o ednokoý ekor o dr d dr Záěr: 3

31 d Vlsnos ekoru ds d ds d ds derce konsny derce součnu funkcí d d ds ds d, resp. d ds d ds Splněno e dou přípdech: d ds kons d ds ekor d d, resp. d kolmý ke směru rychlos ds přímočrý pohyb obecný křočrý pohyb 3

32 Křočrý pohyb roně d Ukážeme, že ekor směřue do sředu okmžého oblouku elkos ohoo ds ekoru e sázán s poloměrem okmžého oblouku. on pohybu určen ekory, d, d. Ukázl sme, že d. d Zedeme ekor n. Musí pl n. d n d Plí: Vekor n leží roně pohybu. n V obrázku díme podobné roúhelníky, ds d proo. Pk d ds ds r r d Vynásobíme obě srny ekorem n n d n dosneme d. ds ds d 3 d

33 Křos rekore Pro křočrý pohyb roně sme ododl d ds n. d Vekor edy e kolmý k okmžé rychlos má elkos ds poloměr okmžého oblouku oskulční kružnce., kde e Velčn se nzýá křos křky dném bodě. V roně mí konsnní křos o přímk o kružnce r V přípdě prosoroého pohybu lze kždým bodem rekore prolož ronu okmžého pohybu, kže kždém okmžku lze obecný křočrý pohyb pops ko pohyb roně kerá se s čsem mění. 33

34 Vzh ekoroého sklárního zrychlení d d Užume obecný neronoměrný křočrý pohyb: d d Zeďme prmerzc d n s, pk d ds d ds d Celkoé zrychlení lze rozděl n dě složky: d d d d d d d d d n d n d... ečná složk zrychlení e směru ečného ekoru d n n... normáloá složk e směru normáloého ekoru, kerý směřue do sředu okmžého oblouku dráhy poloměru oskulční kružnce; eí sřed poloměr se přípdě obecného křočrého pohybu můžou neusále měn 34

35 Aom skládání rychlosí klscký om předpokládá lneární skládání rychlosí nezásle n pohybu ěles ychází z pozoroání Glleho Newon byl edním z ýchodsek pro posuloání bsoluního prosoru čsu om e souldu s dříe zedeným rnsformčním zhy: zžná sous O se pohybue rychlosí u zhledem k sousě O zhledem k O rychlos pohybu ěles zhledem k O rychlos pohybu ěles doszením z. Glleho rnsformce zh mez rychlosm deroáním r r u r r r r r r u u 35

36 Příkldy pohybů prosoru obecný křočrý pohyb prosoru 3 prmercké ronce ronný pohyb prosoru prmercké ronce př hodné olbě sousy souřdnc přímočrý pohyb prosoru prmercká ronce př hodné olbě sousy souřdnc 36

37 onoměrný kruhoý pohyb cos sn... poloměr dráhy... počáeční fáze,... souřdnce sředu f T... frekence oběžná dob perod f... T úhloá kruhoá frekence T, f... dlší zhy 37

38 onoměrný kruhoý pohyb ronce rekore yloučení čsu: sn cos sn cos sn cos 38

39 onoměrný kruhoý pohyb rychlos: cos sn cos sn ekor e směru pohybu obodoá rychlos zrychlení: sn cos sn cos ekor míří do sředu oáčení dosředé zrychlení 39

40 Neronoměrný kruhoý pohyb cos sn... poloměr dráhy... čsoě proměnný fázoý úhel,... souřdnce sředu 4

41 Hrmoncký pohyb průmě ročního pohybu do D Asn A... mplud... kruhoá úhloá frekence... počáeční fáze... ýchozí poloh T... perod oběžná dob f T... frekence f... frekence rychlos zrychlení: Acos Asn... zrychlení úměrné ýchylce 4

42 Zedení úhloých ekorů průodč leží roně roce hmoného bodu míří ze sředu roce k h.b. D:, 3D: ýhodněší užo polohu h.b. zhledem k penému bodu n ose oáčení polohoé ekory ednolých h.b. opsuí kužele se společným rcholem průodč ednolého h.b. e průmě polohoého ekoru do rony roce h.b. úhloé oočení = úhel, kerý sírí d různé průodče pohybuícího se bodu úhloá dráh = úhel, kerý sírí kuální průodč eho ýchozí poloh ekor úhloého oočení o, kde o e ednokoý ekor e směru osy oáčení; orence zásí n očos použé báze pokud bod roue kldném smyslu e odoroné roně, bude proočé sousě ekor o směřo zhůru prdlo pré ruky 4

43 Vekory úhloé rychlos úhloého zrychlení ekor úhloé rychlos d d o o d d ekor úhloého zrychlení d d d o d d d íme: o ds d s ds d d d podle obrázku: r sn r sn r pořdí čnelů souldu s prdlem pré ruky O r 43

44 Polární ální ekory př zrcdlení souřdnc: e e proočá s.s. leoočá s.s. polární prý ekor A e e A A A změní znménko zůsne n mísě skuečná fyzkální elčn e e e ekoroý součn polárních ekorů: e ální ekor pseudoekor A B e b e e b e nemění znménko zrcdlí se není skuečná fyzkální elčn A B 44

45 Uží ekoru úhloé rychlos ekpulce zhů: s ds d dr d ds d dr d d d d d sn r r r sn r Vypočěme zrychlení působící n h.b. Derueme rychlos: d d d dr r r r r r d d d d n n r... r r... ečná složk zrychlení n... n, n n... normáloá složk zrychlení r... normáloá složk míří pro průodč dosředé zrychlení n 45

46 Výpoče zrychlení ročního pohybu Použí ekorů úhloé rychlos úhloého zrychlení spolu s ekoroým násobením ede n kompkní záps: n n r r r d dr r d d r d d d d Poroneme s ýsledkem lernního posupu: n n d ds n ds d d ds ds d d d d d d d d d Pro odsrnění proměnné délk průodče poslouží zhy sn r r n r r n r r n n sn sn sn 46