V PROGRAMU GEOGEBRA. Software dynamické geometrie GeoGebra [6] je v současné době mezi vyučujícími

Transkript

1 South Bohemia Mathematical Letters Volume 22, (2014), No. 1, SPECIÁLNÍ PŘÍPAD ROUTHOVY VĚTY A JEHO DŮKAZ V PROGRAMU GEOGEBRA IRENA ŠTRAUSOVÁ Abstrakt. Matematický program dynamické geometrie GeoGebra nám díky svým vzájemně propojeným prostředím pro provádění symbolických i numerických výpočtů, záznamu údajů do tabulky a znázornění rovinných i prostorových konstrukcí dovoluje nahlížet na rozličné matematické problémy z více stran a přirozeným způsobem tak využívat při jejich řešení vícenásobnou matematickou reprezentaci. V článku si ukážeme takovéto využití programu GeoGebra k důkazu jedné pozoruhodné geometrické vlastnosti a to tzv. Feynmanova trojúhelníku, který je speciálním případem Routhovy věty. Úvod Software dynamické geometrie GeoGebra [6] je v současné době mezi vyučujícími matematiky poměrně známý a využívaný. Důvodem není určitě jenom to, že je k dispozici zcela zdarma, ale mezi jeho přednosti patří také přehledné prostředí, intuitivní ovládání a široké spektrum funkcí. Ačkoliv je implementace GeoGebry do hodin matematiky spojována především s výukou planimetrie a funkcí, díky zmíněné rozmanitosti jsou možnosti jejího využití daleko širší. Jednou z oblastí matematiky, které by využití GeoGebry mohlo pomoci k její popularizaci a širšímu využití ve školské matematice, je dokazování matematických vět. Z mnoha nástrojů, které GeoGebra nabízí, můžeme využít například Vztah mezi objekty k verifikaci nějakého matematického tvrzení, které později dokážeme. Co se týče možností různých prostředí, které jsou v GeoGebře k dispozici, tak například prostředí CAS lze využít k počítačovému algebraickému důkazu a prostředí Nákresny k tvorbě dynamického vizuálního důkazu. Protože jsou všechna prostředí v GeoGebře vzájemně propojena, můžeme také algebraický důkaz z prostředí CAS propojit s Nákresnou a algebraické vyjádření reprezentovat i graficky. Konkrétní využití GeoGebry při dokazování si ukážeme na problému Routhovy věty a na tzv. Feynmanově trojúhelníku, který je jejím speciálním případem. 1. Routhova věta Routhovou větou [10] rozumíme následující tvrzení, které ve své knize Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples [9] poprvé vydané v roce 1891 publikoval (na str. 82) anglický matematik Edward John Routh [8]. Received by the editors datum odevzdani redakci casopisu Mathematics Subject Classification. cislo nebo cisla systemu Mathematics Subject Classification. Key words and phrases. důkaz, vizuální dynamický důkaz, Feynmanův trojúhelník, Routhova věta, GeoGebra.

2 66 IRENA ŠTRAUSOVÁ Věta 1.1. Necht D, E, F jsou v uvedeném pořadí vnitřní body stran BC, CA a AB trojúhelníku ABC (viz obr. 1). Poměry jejich vzdáleností od krajních bodů příslušných stran nazvěme CD BD = x, AE CE = y, BF AF = z. Dále označíme P, Q, R průsečíky dvojic úseček AD, BE a CF (tzv. ceviány) takto: P AD CF, Q AD BE, R BE CF. Potom poměr obsahů trojúhelníků P QR a ABC je dán výrazem: (1.1) (xyz 1) 2 (xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1) Obrázek 1. Routhova věta Věta je v [9] uvedena bez důkazu. Vzhledem k jejímu atraktivnímu obsahu a speciálním případům (mimo tzv. Feynmanova trojúhelníku, kterému je věnována další kapitola, zmiňme ještě, že speciálním případem Routhovy věty je Cevova věta, která říká, že přímky AD, BE, CF (obr. 1) mají společný právě jeden bod, jestliže xyz = 1) jí však byla věnována další pozornost a do současnosti byla publikována řada jejích důkazů. Například Coxeter uvádí v [5] důkaz využívající barycentrické souřadnice nebo na stránce [10] je uveden důkaz využívající Menelaovu větu. Zde si uvedeme symbolický důkaz, k jehož realizaci výhodně využijeme prostředí CAS programu GeoGebra. Důkaz je svou podstatou založen na středoškolském učivu analytické geometrie, konkrétně využívá parametrické vyjádření a obecnou rovnici přímky dané dvěma body, výpočet průsečíku dvou přímek a výpočet obsahu trojúhelníku ze souřadnic jeho vrcholů. Samotné provedení důkazu je však pro středoškolského studenta neúměrně náročné. Také proto, že neovládá efektivní postupy realizace potřebných výpočtů, například využití determinantu. Ukážeme si, že program GeoGebra může být vhodným nástrojem, jehož použití tuto náročnost eliminuje a dovoluje studentům soustředit se na geometrickou podstatu důkazu. Důkaz provedeme pro trojúhelník ABC, který umístíme do soustavy souřadné tak jako na obrázku 2. Pak můžeme vyjádřit souřadnice jeho vrcholů A = [0, 0], B = [k, 0], C = [l, m], viz řádky 1 až 4 v zápisu kódu řešení v prostředí CAS programu GeoGebra na obr. 3.

3 DŮKAZ ROUTHOVY VĚTY V GEOGEBŘE 67 Obrázek 2. Obrázek k důkazu v prostředí CAS v GeoGebře Obrázek 3. Routhova věta - důkaz v CAS (1. část) Označíme-li BF CD CE = p, = q, = r (pro potřeby zpracování v programu AF BD AE GeoGebra jsme místo proměnných x, y a z z věty 1.1 použili proměnné p, q a r), můžeme body F, D, E zapsat s pomocí vrcholů trojúhelníku ABC a vektorů jeho stran F = A (B A), D = (B A)+ (C B), E = (C A)+ p + 1 q + 1 r + 1 (A C), viz řádky 5 až 7 v zápisu kódu řešení v prostředí CAS programu GeoGebra na obr. 4. Obrázek 4. Routhova věta - důkaz v CAS (2. část) V dalším kroku, jehož záznam vidíme na řádcích 8 až 10 na obr. 5, vypočítáme obecné rovnice přímek AD, BE a CF (vzhledem k jejich roli v Cevově větě se obvykle nazývají ceviány ). Využijeme při tom determinanty, tak, že například

4 68 IRENA ŠTRAUSOVÁ přímka AD, kde A = [a 1, a 2 ], D = [d 1, d 2 ], má obecnou rovnici x a 1 y a 2 d 1 a 1 d 2 a 2 = 0. Obrázek 5. Routhova věta - důkaz v CAS (3. část) Vrcholy P, Q a R vnitřního trojúhelníku (viz obr. 1) pak vypočítáme jako průsečíky těchto ceviánů. V prostředí CAS programu GeoGebra k tomu použijeme příkaz Vyresit. Abychom získali výsledky řešení příslušných soustav lineárních rovnic jako souřadnice bodů, musíme na výstup příkazu Vyresit aplikovat ještě příkaz Substituce, jak je provedeno na řádcích 11 až 13 kódu řešení na obr. 6. Obrázek 6. Routhova věta - důkaz v CAS (4. část) Nyní vyjádříme obsahy trojúhelníků ABC a P QR. Využijeme k tomu opět determinant. Tak, že například obsah trojúhelníku ABC, kde A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ] a C = [c 1, c 2 ], je dán hodnotou výrazu S ABC = b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2. V kódu řešení v GeoGebře nejprve definujeme příslušné matice ABC a PQR (viz řádky 14 až 15 na obr. 7), potom spočítáme jejich determinanty (viz řádky 16 až 17). Nakonec vypočítáme podíl obsahů trojúhelníků P QR a ABC. Po úpravě výsledku příkazem Rozklad dostáváme výraz (viz řádek 19 na obr. 8), který je (až na použité proměnné) identický s výrazem 1.1 v Routhově větě. Tím je tato věta dokázána. Když do výsledného výrazu dosadíme za p, q a r stejný parametr, například f, jak vidíme na řádku 20 na obr. 9, dostaneme zobecnění Feynmanova trojúhelníku, kterým se zabývá následující kapitola. Pro f = 2 pak dostáváme hodnotu 1 7, která odpovídá přímo tvrzení o Feynmanově trojúhelníku (viz řádek 21 na obr. 9).

5 DŮKAZ ROUTHOVY VĚTY V GEOGEBŘE 69 Obrázek 7. Routhova věta - důkaz v CAS (5. část) Obrázek 8. Routhova věta - důkaz v CAS (6. část) Obrázek 9. Routhova věta - důkaz v CAS (7. část) 2. Feynmanův trojúhelník Jak již bylo zmíněno, speciální případ Routhovy věty, který si vysloužil zvláštní pozornost, dostaneme, když do výrazu 1.1 za x, y i z dosadíme 2. Hodnota výrazu 1.1 je pak rovna 1 7. Routhovu větu pak můžeme přeformulovat následovně: Věta 2.1. Mějme libovolný trojúhelník v rovině. Jestliže každý jeho vrchol spojíme s bodem, který leží v jedné třetině protilehlé strany, pak trojúhelník tvořený těmito spojnicemi má obsah o velikosti jedné sedminy obsahu původního trojúhelníku (obrázek 10). Tuto větu lze nalézt v různých publikacích, například v [5, 11]. Nejvíce ji však asi proslavil držitel Nobelovy ceny za fyziku Richard Feynman, který se dle historky uvedené v [2] během jedné společenské večeře seznámil s tvrzením uvedeným ve větě 2.1 a pokoušel se jeho pravdivost celý večer vyvrátit. Místo toho se mu však podařilo dokázat jeho pravdivost pro rovnostranný trojúhelník. Avšak díky tomu, že každý obecný trojúhelník lze uvažovat jako afinní obraz nějakého rovnostranného trojúhelníku [14], už pak nebylo těžké větu dokázat pro trojúhelník obecný. Díky

6 70 IRENA ŠTRAUSOVÁ Obrázek 10. Feynmanův trojúhelník v obecném trojúhelníku této historce se pro příslušný vnitřní trojúhelník UV W z obrázku 10 ujalo označení Feynmanův trojúhelník. Důkaz. věty 2.1 (důkaz dle Feynmana [2]) Necht trojúhelník ABC je rovnostranný a platí, že AB = BC = AC = 3. Pak C B = 1 (obrázek 11). Dle kosinové věty platí CC 2 = cos 60 = 7. Trojúhelníky CBC a BUC jsou podobné dle věty uuu, protože mají jeden společný úhel ( UC B = BC C) a zároveň UBC = BCC. Pak tedy C U = 1 7, BU(= CV ) = 3 7 a také V U = = 3 7. Ze symetrie pak vyplývá, že UV W je také rovnostranný trojúhelník se stranami o délce 1 7 délky stran trojúhelníku ABC. Proto S UV W = 1 7 S ABC. Obrázek 11. Rovnostranný trojúhelník s Feynmanovým trojúhelníkem Tento Feymanův důkaz využívá pouze kosinové věty a podobnosti trojúhelníků, což jsou znalosti, které jsou běžně součástí středoškolského učiva. Proto by jistě bylo možné použít tento speciální případ věty 2.1 pro rovnostranný trojúhelník včetně jejího důkazu při výuce matematiky na střední škole a seznámit tak žáky s další zajímavou vlastností týkající se trojúhelníku. Navíc bychom této znalosti mohli využít při důkazu tvrzení, že těžnice se protínají právě v jednom společném bodě. V tom případě bychom postupovali deduktivně a odvodili, že jestliže body A, B, C leží ve středech stran trojúhelníku ABC, pak velikost obsahu trojúhelníku UV W je rovna nule. Několik důkazů věty 2.1 je uvedeno ve článku [2]. Jedním z nich je následující analytický důkaz, který je zajímavý tím, že zvolený trojúhelník není zasazen do

7 DŮKAZ ROUTHOVY VĚTY V GEOGEBŘE 71 soustavy souřadné, ale je zde využito vektorů a barycetrických souřadnic [1]. Barycentrické souřadnice bodu M vzhledem k bodům K, L jsou taková čísla α a β, že pro bod M, který leží na přímce KL platí, M = α K +β L a zároveň α+β = 1. To samé samozřejmě platí, když uvažujeme místo bodů K, L jejich polohové vektory k, l. Důkaz. věty 2.1 (analytický důkaz dle [2]) Uvažujme trojúhelník ABC z obrázku 10. Bod A leží na straně BC tak, že platí CA = 1 3 CB a podobně jsou definovány i body B, C. Body U, V, W jsou pak po řadě průsečíky úseček BB, CC a AA. Necht a je polohový vektor bodu A, b je polohový vektor bodu B a c je polohový vektor bodu C. Pak platí, že b = 1 3 c a a c = 1 3 a b. Protože U je průsečík BB a CC, tak platí, že u = λ b + (1 λ) b = 2 3 λ a + (1 λ) b λ c = µ c + (1 µ) c = 1 3 µ a µ b + (1 µ) c. Jelikož body A, B, C nejsou kolineární, platí, že µ = 2λ a 1 λ = 2 3 µ. Pak tedy λ = 3 7, µ = 6 7, u = 2 7 a+ 4 7 b+ 1 7 c. Podobně v = 1 7 a+ 2 7 b+ 4 7 c, takže u v = 1 7 a+ 2 7 b 3 7 c = 1 7 ( a b)+ 3 7 ( b c). Podobně v w = 3 7 a b c = 3 7 ( a b) 2 7 ( b c). UV W = 1 ( u v) ( v w) 2 = ( a b) ( b c) 9 49 ( b c) ( a b) = ( a b) ( b c) = 1 7 ABC Dále si ukážeme, jak lze do dokazování věty 2.1 zapojit software GeoGebra. V předchozí kapitole jsme využili prostředí CAS pro symbolický důkaz Routhovy věty. Protože tvrzení o Feynmanově trojúhelníku je speciálním případem Routhovy věty, vyplývá jeho pravdivost přímo z důkazu této věty, jak vidíme na obr. 9. Aplet s tímto důkazem je publikován na [15]. Nyní si ukážeme další vynikající vlastnost GeoGebry a to tu, že umožňuje propojit prostředí CAS s Nákresnou. Lze tedy tímto způsobem algebraické vyjádření zároveň reprezentovat i graficky. Konkrétně u prezentovaného příkladu můžeme parametry k, l, m, reprezentovat jako posuvníky, měnit tak jejich hodnoty a sledovat na nákresně, jak se příslušné geometrické objekty mění v závislosti na změnách těchto hodnot (viz obr. 12). Jistěže v tomto případě už nelze hovořit přímo o matematickém důkazu v pravém slova smyslu, jelikož zde parametry nabývají pouze určitých hodnot, ale hlavní přínos zde tkví právě v propojení algebraické a vizuální reprezentace matematického problému. Kromě prostředí CAS můžeme v GeoGebře využít k podpoře dokazování matematických vět i Nákresnu. Nejprve si ukážeme, jak lze verifikovat tvrzení o Feynmanově trojúhelníku. Sestrojíme v Nákresně dle věty 2.1 oba trojúhelníky a necháme GeoGebru (numericky) určit poměr jejich obsahů. V tomto případě jsou pak důležité dvě věci: vysvětlit studentům, že verifikace není to samé jako matematický důkaz. Dále pak je také dobré, aby si aplet s verifikací vytvořili sami, aby pochopili, na jakém principu je založen. Výhodou GeoGebry je, že jestliže vytvoříme trojúhelník (respektive jakýkoliv mnohoúhelník), automaticky je mu přiřazen název a hodnota udávající velikost

8 72 IRENA ŠTRAUSOVÁ Obrázek 12. Důkaz v CAS a v Nákresně [16] jeho obsahu. S tímto údajem můžeme dále pracovat jako s proměnnou. Jestliže si pojmenujeme trojúhelník ABC (obr. 13) názvem velky a trojúhelník U V W názvem maly a vytvoříme si pomocnou proměnnou pomer, které přiřadíme hodnotu maly/velky, pak text, který bude nad trojúhelníkem (viz žlutý rámeček na obrázku 13), zadáme do okna Úpravy, které se nám otevře při výběru nástroje Text, příkazem \frac{s {UVW}}{S {ABC}}=\frac{maly}{velky}=IracionalniText[pomer]. Obrázek 13. Verifikace Feynmanova trojúhelníku v GeoGebře [19]

9 DŮKAZ ROUTHOVY VĚTY V GEOGEBŘE 73 Jak již bylo zmíněno, verifikaci nelze považovat za důkaz, ale můžeme na jejím základě vyslovit domněnku, kterou následně dokážeme, či vyvrátíme. Poslední dva uvedené důkazy věty 2.1 jsou tzv. dynamické vizuální důkazy. Tyto dynamické figury [13] vycházejí z tzv. důkazů beze slov. Jejich dynamický charakter však pomáhá lépe pochopit tok myšlenek vedoucích k samotnému důkazu. Už samotný proces tvorby dynamických vizuálních důkazů v GeoGebře nabízí mnoho možností, jak využít jejích rozličných nástrojů a také jak uplatnit znalosti z oblasti planimetrie. Nebudeme zde podrobně rozebírat princip jejich tvorby, techniky, které se při jejich vytváření používají jsou popsány například v [12]. První zde uvedený dynamický vizuální důkaz Feynmanova trojúhelnkíku 14 je založen na důkazu beze slov, který je uveden na straně 17 v knize Rogera Nelsena Proofs without Words II: More Exercisesin Visual Thinking [7]. Zde je velice hezky vidět výhoda dynamického prostředí. To, co musí být ve statické podobě zachyceno několika obrázky (jak je vidět ve zmiňované knize [7] nebo i na obrázku 14) lze v softwaru dynamické geometrie zachytit v jediném apletu [17]. (a) (b) (c) (d) Obrázek 14. Dynamický vizuální důkaz Feynmanova trojúhelníku [17]. Druhý dynamický vizuální důkaz (obr. 17) je založen na zakreslení celého problému Feynmanova trojúhelníku do trojúhelníkové sítě (obr. 15). Základním stavebním kamenem této sítě je právě ten vnitřní (Feynmanův) trojúhelník, jehož velikost obsahu vzhledem k celému trojúhelníku chceme dokázat. Přímky tvořící tuto sít rozdělí trojúhelník na několik částí, které když vhodně přesuneme, tak jak je to naznačeno na obrázku 16 z knihy [11], dostaneme sedm trojúhelníků, které jsou shodné a mají stejnou velikost jako vnitřní (Feynmanův) trojúhelník. Tím je dokázáno, že jeho obsah je roven jedné sedmině obsahu původního trojúhelníku. Stejně tak jako u předchozího důkazu, i zde je vidět, jak dynamika pomáhá k lepšímu pochopení vizuálního důkazu. 3. Zobecnění Feynmanova trojúhelníku Problém Feynmanova trojúhelníku můžeme zobecnit, a to z více pohledů. Například když body A, B, C nebudou umístěny vždy v jedné třetině příslušné strany trojúhelníku ABC, ale obecně tak, že ji budou dělit na část 1 p a 1 1 p.

10 74 IRENA ŠTRAUSOVÁ Obrázek 15. Feynmanův trojúhelník v trojúhelníkové síti Obrázek 16. Vizuální důkaz Feynmanova trojúhelníku [11] (a) (b) (c) (d) (e) (f) Obrázek 17. Dynamický vizuální důkaz Feynmanova trojúhelníku [18]. Věta 3.1. Mějme libovolný trojúhelník v rovině. Jestliže každý jeho vrchol spojíme s bodem, který dělí protilehlou stranu na dvě části o velikostech 1 p a 1 1 p, (p > 2), pak

11 DŮKAZ ROUTHOVY VĚTY V GEOGEBŘE 75 trojúhelník tvořený těmito spojnicemi má obsah o velikosti (p 2)2 p 2 p+1 obsahu původního trojúhelníku. Důkaz. věty 3.1 [4] Uvažujme rovnostranný trojúhelník ABC, kde AB = BC = CA = p a tedy AC = BA = CB = 1. Pak podle kosinové věty platí, že AA 2 = p p cos 60 = p 2 p + 1. Odtud pak AA = p 2 p + 1. Trojúhelníky ABA a BV A jsou podobné, protože BAA = V A B a A AB = A BV. Proto V A 1 p =, BV = AU = a tedy V U = p 2 p + 1 p2 p+1 1 p2 p+1 p2 p+1 UV W je rovnostranný se stranou p = p(p 2). Z cyklické záměny pak plyne, že i trojúhelník p2 p+1 p2 p+1 p(p 2) 1 p2 p+1 p = p 2 délky strany trojúhelníku p2 p+1 ABC. Proto obsah trojúhelníku UV W je (p 2)2 p 2 p+1 obsahu trojúhelníku ABC. Vzhledem k tomu, že věta obsahuje pouze vlastnosti, které se při afinních zobrazeních zachovávají, jako jsou poměry stran a obsahů, a každý trojúhelník je afinní s rovnostranným trojúhelníkem, jak je vidět například na apletu [14], lze tento důkaz zobecnit na libovolný trojúhelník. Další možností je zobecnění tohoto problému na rovnoběžník (obrázek 18). Věta 3.2. Pro každý rovnoběžník v rovině platí, jestliže každý jeho vrchol spojíme s bodem, jež leží v 1 p (p 2) protilehlé strany, pak rovnoběžník EF GH, který vytvoří tyto spojnice má obsah roven p2 2p+1 p 2 +1 obsahu původního rovnoběžníku ABCD. Obrázek 18. Zobecnění Feynmanova trojúhelníku na rovnoběžník Při dokazování věty 3.2 je asi nejjednodušší postupovat podobným způsobem, jako u důkazu věty 3.1 uvedeného výše. Nejprve uvažovat speciální případ, kterým tentokrát bude čtverec, a potom využít toho, že každý čtverec lze v afinitě zobrazit na rovnoběžník. Závěr Jak zde bylo ukázáno, využití počítače, v tomto případě programu GeoGebra, nám dává mnoho možností, jak přistupovat k důkazům matematických vět. Toto široké spektrum možností jistě může pomoci k většímu rozšíření důkazů do výuky matematiky na středních školách. Díky matematickému software jsou dnes žákům

12 76 IRENA ŠTRAUSOVÁ přístupné i důkazy, které byly dříve doménou pouze géniů formátu Richarda Feynmana. Acknowledgment. Chtěla bych poděkovat Mgr. Romanu Haškovi, Ph.D. za odbornou pomoc a cenné připomínky při psaní tohoto článku. Reference [1] BUDINSKÝ, Bruno. Analytická a diferenciální geometrie. Vyd. 1. Praha: SNTL, 1983, 296 s. [2] COOK, R. J. a G. V. WOOD. Note 88.46: Feynman s triangle. The Mathematical Gazette, červenec 2004, roč. 88, č. 512, s [3] De VILLIERS, M. Feedback: Feynman s triangle. The Mathematical Gazette, březen 2005, roč. 89, č. 514, s [4] De VILLIERS, M. Feynman s Triangle: Some Feedback and More. [online]. [cit ]. Dostupné z: [5] COXETER, H. S. M. Introduction to geometry. 2nd ed., New York: John Wiley, 1989, xvi, 469 s. Wiley classics library. ISBN [6] GeoGebra. Dostupné z [7] NELSEN, Roger B. Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking. The Mathematical Association of America, ISBN [8] O CONNOR, John J. a Edmund F. ROBERTSON. Edward John Routh. The MacTutor History of Mathematics archive [online]. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland: JOC/EFR, 2003 [cit ]. Dostupné z: history/biographies/routh.html [9] ROUTH, E. J. (1909) Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples. 2nd ed., Cambridge: at the University Press. Dostupné z [10] Routh s theorem. Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2014 [cit ]. theorem [11] STEINHAUS, Hugo. Mathematical snapshots. New York: Oxford University Press, 1983, 311 s. ISBN [12] ŠTRAUSOVÁ Irena., Dynamický důkaz v GeoGebře, Sborník příspěvků 34. konference o geometrii a grafice, , Jihočeská univerzita v Č. B., České Budějovice, 2014, str ISBN [13] VANÍČEK, Jiří. Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, ISBN Doplňkové elektronické materiály [14] ŠTRAUSOVÁ I., Afinní zobrazení trojúhelníku na rovnostranný troúhelník, GeoGebra soubor, Dostupné z [15] ŠTRAUSOVÁ I., Feynmanův trojúhelník - CAS, GeoGebra soubor, Dostupné z [16] ŠTRAUSOVÁ I., Feynmanův trojúhelník - CAS a Nákresna, GeoGebra soubor, Dostupné z [17] ŠTRAUSOVÁ I., Feynmanův trojúhelník - dynamický důkaz 1, GeoGebra soubor, Dostupné z [18] ŠTRAUSOVÁ I., Feynmanův trojúhelník - dynamický důkaz 2, GeoGebra soubor, Dostupné z [19] ŠTRAUSOVÁ I., Feynmanův trojúhelník - verifikace, GeoGebra soubor, Dostupné z Gymnázium, České Budějovice, Česká 64 address: istrausova@gymceska.cz