Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
|
|
- Patrik Kadlec
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
2 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými členy Násobení nekonečných řad a odhad zbytku 2 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Fourierovy řady Fourierovy řady vzhledem k {1, sin x, cos x,... } c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 2 / 183
3 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Definice 1 Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme s n = a a n. Tuto posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady n=1 a n, přičemž symbolem n=1 a n rozumíme nekonečný součet a a n +, jehož hodnotu definujeme takto: Jestliže existuje konečná limita s = lim n s n, definujeme a n = s n=1 ( ) = lim s n n a řekneme, že nekonečná řada n=1 a n konverguje. Jestliže limita neexistuje, nebo je rovna nekonečnu, řekneme, že tato řada diverguje, a to k ± v případě nevlastní limity (píšeme n=1 a n = ± ), resp. řekneme, že osciluje, když lim n s n neexistuje. Číslo a n se nazývá n tý člen, číslo s n se nazývá n tý částečný součet řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 4 / 183
4 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 1 Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq 2 + aq aq n + = aq n 1 = n=1 aq n, kde a, q R jsou pevně zvolená čísla. Tedy je to nekonečná řada, kde a n := aq n 1 pro n N. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné. Posloupnost částečných součtů pro geometrickou řadu odvodíme snadno: s n = a+aq+aq 2 + +aq n 1 +aq n, qs n = aq+aq 2 +aq 3 + +aq n +aq n+1. Odečtením druhé rovnice od první dostaneme n=0 s n qs n = a aq n+1 s n (1 q) = a (1 q n+1 ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 5 / 183
5 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Je-li q = 1, potom je zřejmě s n = na. Je-li q 1, potom je Ihned tedy dostáváme s n = a 1 qn+1 1 q. Geometrická řada s a = 0 (a q R libovolným) konverguje (k 0), protože v tomto případě jsou s n = 0. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě diverguje (k ± podle znaménka čísla a), protože v tomto případě jsou s n = na. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě osciluje, protože je v tomto případě s n = {a, 0, a, 0, a, 0,... } a limita této posloupnosti neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 6 / 183
6 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 1 Necht a 0. Potom geometrická řada n=1 aqn 1 konverguje právě tehdy když q < 1. V tomto případě (a také v případě a = 0) je pak její součet aq n 1 = n=1 a, q < 1. 1 q c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 7 / 183
7 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 2 n=1 1 2 n = ( 1 ) n 1 n=1 2 = = 1 (a = 1 2, q = 1 2 ) Plocha Sierpinského koberce (o straně 1 jednotka) P = 1 n=1 8 n 1 9 n = n=1 ( ) 8 n = = 1 1 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 8 / 183
8 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 3 n=1 1 n 2 +2n = n=1 A n + B n+2 = n=1 1 2 n 1 2 n+2 s n = 1 ( n 2 1 n + 1 n 1 1 n n 1 ) n + 2 = 1 ( n ) n + 2 lim n s n = 3 4 n=1 1 n 2 +2n = 3 4 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 9 / 183
9 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 4 n=1 ( 1)n (Grandiho řada) s n = a a n = Limita s n neexistuje, řada osciluje. n=1 1 n (harmonická řada) { 1 n liché 0 n sudé s 2 n, 1 + n 1 2 n=1 1 n = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 10 / 183
10 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Poznámka 1 an... rozumí se n=1 a n 2 Charakter chování řady (konvergence, divergence, oscilace) zachováme, jestliže změníme konečný počet členů posloupnosti a n. (Zvláště vynecháme-li konečný počet prvků např. na začátku.) 3 Často nás spíše než součet řady zajímá, zda řada konverguje, resp. diverguje, aniž nás zajímá konkrétní hodnota součtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 11 / 183
11 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 2 (Nutná podmínka konvergence) Jestliže řada a n konverguje, pak limita lim a n = 0. Důkaz. Když s = lim s n = lim(a a n ) existuje a je konečná, pak a n = s n s n 1, tedy lim a n = lim s n lim s n 1 = s s = 0. Poznámka Opačné tvrzení neplatí viz harmonickou řadu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 12 / 183
12 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 5 ( 1) n asociativní zákon neplatí! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 13 / 183 Věta 3 (Asociativní zákon pro nekonečné řady) Necht a n = a je konvergentní. Necht n k je libovolná rostoucí posloupnost přirozených čísel, n 0 = 0 a b k = a nk a nk. Pak řada k=1 b k konverguje se stejným součtem jako původní řada, tj. bk = a. Důkaz. a a n1 + a n a n2 + = an = a }{{}}{{} b 1 b 2 Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j t 1 = s n1, t 2 = b 1 + b 2 = s n2,..., t k = s nk. Protože limita s n je a, pak lim k s nk = lim n t k = a, tedy b k = a. (Posloupnost {t i } je vybraná podposloupnost {s j }.)
13 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 4 (Cauchyovo Bolzanovo kritérium konvergence) Řada a n je konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n je cauchyovská, tj. ε > 0 n 0, n > n 0 a m N : s n+m s n = a n a n+m < ε. Důkaz. {s n } je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská (R je úplný metrický prostor). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 14 / 183
14 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 5 Necht a n = a a b n = b jsou konvergentní řady a α, β R. Pak i řada (αa n + βb n ) je konvergentní a platí (αan + βb n ) = αa + βb. Důkaz. Vlastnosti limit samostatné procvičení. Poznámka an = a a b n =, pak (a n + b n ) = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 15 / 183
15 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Řadami s nezápornými členy rozumíme řady n=1 a n, pro které a n 0 pro každé n N. (Často budemem uvažovat i řady s kladnými členy, tedy a n > 0, n N.) Je zřejmé, že součet nemůže být záporný (nekladný) a nemůže nastat oscilace. Tj. limita částečných součtů existuje a platí 0 lim s n, přičemž lim s n = 0 pouze pokud a n = 0, n N. Věta 6 (Prosté srovnávací kritérium) Necht a n, b n 0 a necht a n b n platí pro velká n, tj. n 0 N : a n b n n n 0. Je-li b n <, pak a n <. Naopak, je-li a n =, pak b n =. Poznámka Řada b n ja majorantní řadou k řadě a n a řada a n ja minorantní řadou k řadě b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 17 / 183
16 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že a n b n n N. Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j s n t n, n N. Je-li b n <, pak posloupnost {t n } konverguje, tedy je shora ohraničená. Potom je také posloupnost {s n } shora ohraničená. Protože je navíc neklesající, musí konvergovat. Sporem předpokládejme, že a n = a b n <. Dle výše dokázaného plyne z konvergence řady b n konvergence řady a n. Spor. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 18 / 183
17 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 6 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady 1 n 2. Pro n 2 máme 1 1 n 2 n(n 1). Pokud dokážeme, že majorantní řada konverguje, lze použít předchozí větu. Pro velká m N máme m n=2 1 m n(n 1) = tedy 1 n 2 n=2 1 n + 1 n 1 = m m 2 1 m + 1 m 1 = pro m, m konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 19 / 183
18 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 7 (Integrální kritérium) Necht n=1 a n je nekonečná řada s nezápornými členy. Necht f (x) je funkce definovaná na intervalu [N, ) pro nějaké N [0, ), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f (n) = a n pro všechna n N. Potom a n konverguje n=1 a n diverguje k n=1 N N f (x) dx f (x) dx =. konverguje, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 20 / 183
19 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že N = 1. Vzhledem k monotonii funkce f je tato integrovatelná na libovolném intervalu [1, t], 1 t R a funkce horní meze F (t) = x 1 f (x)dx je neklesající. i=1 a i, Jistě platí n i=2 a i n 1 f (x)dx n 1 tedy s n a 1 F (n) s n n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 21 / 183
20 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Jestliže n=1 a n konverguje, pak je posloupnost {s n } shora ohraničená a tedy k R : F (n) k n N. Funkce F je neklesající, tedy F (t) k t [1, ). Limita lim t F (t) tedy konverguje, což znamená konvergenci 1 f (x) dx. Jestliže 1 f (x) dx konverguje, pak je F shora ohraničená. Z nerovnosti s n a 1 F (n) plyne ohraničenost posloupnosti částečných součtů {s n }, která je neklesající a ohraničená, tedy konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 22 / 183
21 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 7 Pomocí integrálního kritéria snadno dokážeme, že { 1 n α = diverguje pro α 1, konverguje pro α > 1. n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 23 / 183
22 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 8 (Limitní srovnávácí kritérium) a Necht a n, b n 0 a existuje limita lim n n b n = L (vlastní nebo nevlastní). Je-li b n < a L <, pak a n <. Důkaz. Je-li b n = a L > 0, pak a n =. Předpokládejme, že b n < a L <, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n < L + ε. Odtud b } n {{} a n < (L + ε)b n a n (L + ε)b n a n (L + ε) b n <. Tedy a n konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 24 / 183
23 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Předpokládejme, že b n = a L > 0 a uvažujme dva případy. Jestliže L <, pak ε > 0 a n 0 N, n n 0 : 0 < L ε < an b n. Tedy (L ε)b n < a n < a n. Jestliže L =, pak k > 0, k R, a n 0 N, n n 0 : k < an b n. Tedy kb n < a n < a n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 25 / 183
24 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 8 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 arctg 1 n. arctg 1 n lim n 1 n = lim n n 2 1 n 2 tj. b n = 1 n =, L > 0 arctg 1 n =. Příklad 9 = 1 > 0, 1 n 2 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 ln ( ) n. 2 ( ln lim n ( ln lim n ) 1+ 1 n 2 1 n 1+ 1 n 2 ) 1 = lim n 2 n 1+ 1 n n 2 = lim n 1 = 0, (nelze použít) n 2 = 1, tj. b n <, L < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 26 / 183
25 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 9 (Podílové (d Alambertovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : a n+1 a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže a n+1 a n 1, n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim a n+1 a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Pro a n = 1 n 2 diverguje. i pro a n = 1 n je L = 1, přitom jedna řada konverguje a druhá c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 27 / 183
26 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Dokážeme limitní podílové kritérium (první část podobně). Jestliže lim a n+1 a n = L, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n+1 L + ε (L ε)a n < a n+1 < (L + ε)a n. a n < L < 1: Necht ε > 0 je takové, že L + ε = q < 1 a n+1 qa n a n0 +1 qa n0, a n0 +2 q 2 a n0,..., a n0 +k q k a n0, pak n 0 n 0 a n = a n + a n0 +k n=1 n=1 k=1 tedy řada a n konverguje. n=1 a n }{{} číslo +a n0 q k = číslo + k=1 L > 1: Porovnání s geometrickou řadou s q = L ε > 1. q 1 q, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 28 / 183
27 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 10 (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : n a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže n a n 1 pro nekonečně mnoho n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim n a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Opět např. pro a n = 1 i pro a n 2 n = 1 n konverguje a druhá diverguje. je L = 1, přitom jedna řada Důkaz. Opět dokážeme limitní kritérium (první část podobně). Jestliže lim n a n = L L ε < n a n < L + ε, pro velká n. Tedy (L ε) n < a n < (L + ε) n a postupujeme obdobně jako v předchozím důkazu porovnání s geometrickou řadou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 29 / 183
28 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka Lze ukázat, že platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n. a Tedy pokud existuje limita lim n+1 n a n = L, potom existuje i limita lim n n a n a tyto dvě limity si jsou rovny. Navíc, jestliže je podílové kritérium nerozhodnutelné ( a n+1 a n 1), potom je také odmocninové kritérium nerozhodnutelné ( n a n 1). Říkáme, že odmocninové kritérium je silnější, než podílové kritérium (každý problém, který lze vyřešit podílovým kritériem, lze vyřešit i odmocninovým kritériem, ale ne naopak). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 30 / 183
29 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 10 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n n n! a n+1 a n = (n+1)n+1 (n+1)! n! n n n (3+ 1 n )n lim n n = lim n n (3+ 1 n )n 3+ 1 n = (n+1)n n n = 1 3 = ( n ) n n e > 1 řada diverguje < 1 řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 31 / 183
30 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 11 (Raabeovo kritérium) Necht a n > 0 a necht existuje limita lim n n ( 1 a n+1 a n ) = L, L R Pro L < 1 řada diverguje, pro L > 1 řada konverguje a pro L = 1 nelze rozhodnout. Poznámka Raabeovo kritérium je zesílením podílového kritéria. (Přibližování k 1 zespoda či shora.) V literatuře lze najít (či odvodit) další zobecnění, tedy další silnější kritéria. Jediné univerzální je ale Cauchyovo Bolzanovo kritérium (věta 4). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 32 / 183
31 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 11 n=1 n! ( 2+1)( 2+2) ( 2+n) lim a n+1 a n = lim (n+1)!( 2+1)( 2+2) ( 2+n) ( ) lim n 1 a n+1 a n = lim n ( 2+1)( 2+2) ( 2+n)( 2+n+1)n! = lim n+1 2+n+1 = 1 ( 1 n+1 2+n+1 ) = lim n( 2+n+1 n 1) 2+n+1 = lim n 2 2+n+1 = 2 > 1, tedy řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 33 / 183
32 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka an, a n > 0 a člen a n má n v exponentu, nebo obsahuje faktoriál. Pak je obvykle výhodné zkusit podílové nebo odmocninové kritérium. Není-li tomu tak, pak zkusíme podílové srovnávací kritérium s 1/n α. Dále je k dispozici integrální kritérium. Např. 1 n(ln n) α e dx x(ln x) α = ln x = t, dx x n=2 =dt = 1 dt t α = { konv. α > 1 div. α 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 34 / 183
33 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 2 Necht a n > 0. Pak řada n=1 ( 1)n 1 a n se nazývá alternující řada. Poznámka Alternující řada je také řada n=1 ( 1)n a n a obecně řada splňující sgn f n = sgn f n+1, n N. n=1 f n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 36 / 183
34 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 12 (Leibnizovo kritérium) Necht a n > 0 je nerostoucí posloupnost. Jestliže lim n a n = 0, pak alternující řada n=1 ( 1)n 1 a n konverguje. Poznámka Vzhledem k platnosti nutné podmínky konvergence lze větu 12 formulovat i s ekvivalencí. Důkaz. s 2n = a 1 a }{{} a 2n 2 a 2n 1, s }{{} 2n+2 = s 2n + a 2n+1 a 2n+2, }{{} tedy posloupnost {s 2n } je neklesající. Podobně s 2n 1 = a 1 (a 2 a 3 ) (a 2n 2 a 2n 1 ), s 2n+1 = s 2n 1 (a 2n a 2n+1 ), tedy {s 2n+1 } je nerostoucí. s 2 = a 1 a 2 s 2n s 2n + a 2n+1 = s 2n+1 s 1 = a 1 {s 2n }, {s 2n+1 } jsou ohraničené, obě mají konečnou limitu lim(s 2n+1 s 2n ) = lim a 2n+1 = 0 lim s 2n+1 = lim s 2n = s = lim s n n=1 ( 1)n 1 a n = s konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 37 / 183
35 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 12 n=1 ( 1) n 1 n ( 1 n 0, 1 n+1 < 1 n Příklad 13 = 1 ) (Leibnizova řada) ( 1) n 1 konverguje n n=2 ( 1) n 1 n + ( 1) n lim a n = 0, kdyby řada konvergovala, pak bychom mohli aplikovat asociativní zákon (věta 3). Pro n liché máme 1 1 n 1 n+1+1 = n+1+1 n+1 ( n 1)( n+1+1) = n+1 n+2 ( n 1)( n+1+1) 1 n. Uzávorkovaná řada diverguje, tedy ve větě 12 nelze vynechat předpoklad monotonie. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 38 / 183
36 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 3 Řekneme, že řada a n konverguje absolutně, pokud konverguje řada an. Řekneme, že řada konverguje neabsolutně (relativně), jestliže řada an konverguje, ale řada a n diverguje. Příklad 14 ( 1) n 1 n je neabsolutně konvergentní sama konverguje, ale absolutní hodnotou dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. ( 1) n 1 n 2 je absolutně konvergentní, nebot ( 1) n 1 n 2 = 1 n 2 <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 39 / 183
37 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 13 Je-li řada a n absolutně konvergentní, pak je konvergentní. (Tedy z absolutní konvergence plyne konvergence.) Důkaz. Podle Cauchyova Bolzanova kritéria (věta 4) je řada a n konvergentní právě tehdy, když posloupnost a a n je cauchyovská, tj. }{{} s n ε > 0 n 0 N n n 0, m N : s n+m s n = a n+m + + a n+1 < ε a n+m + + a n+1 < ε. tedy posloupnost částečných součtů řady a n je cauchyovská, tedy řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 40 / 183
38 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Poznámka Opak neplatí viz Leibnizovu řadu. Poznámka Při rozhodování o konvergenci/divergenci je někdy výhodné otestovat nejprve a n pomocí kritéríı o řadách s nezápornými členy. Je-li an < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 41 / 183
39 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 14 (Abelovo kritérium) Necht a n je konvergentní a {b n } je ohraničená a monotónní posloupnost. Pak (a n b n ) je konvergentní. Věta 15 (Dirichletovo kritérium) Necht a n má ohraničenou posloupnost částečných součtů a {b n } je monotónní posloupnost s limitou nula (b n 0). Pak (a n b n ) je konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 42 / 183
40 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 15 Otestujme konvergenci řady sin nx n, x R. Pokud je x celočíselný násobek π, řada konverguje. Dále postupujme pro všechna ostatní x. Zvoĺıme a n = sin nx, b n = 1 n, tedy b n 0 a je ohraničená. s n = sin x + + sin nx / i c n = cos x + + cos nx n k=1 (cos kx + i sin kx) = n k=1 eikx c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 43 / 183
41 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy n k=1 e ikx = e ix + e 2ix + + e nix = e ix eix(n+1) 1 e ix 1 n+1 eix( 2 ) ( n+1 e ix( 2 ) e ix( n+1 2 ) ) ix = e ( ) = e iα e iα = 2i sin α e ix 2 e ix 2 e ix 2 = e ix 2 e ix n+1 sin ( n x) sin x = 2 [ cos ( n x ) ( )] ( n + 2 sin n+1 + i sin 2 x 2 x) sin x 2. Imaginární část dává ( ) ( n + 2 sin n+1 sin x + + sin nx = sin 2 x 2 x) sin x, 2 což je ohraničené, tedy řada konverguje podle Dirichletova kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 44 / 183
42 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Konverguje absolutně? Pokud je x celočíselný násobek π, pak ano. Pokud x není celočíselný násobek π, pak sin nx n sin 2 nx n = 1 cos 2 nx n = 1 }{{ n} = Řada sin nx n Poznámka diverguje, tedy řada sin nx n cos 2 nx n }{{} konv. dle DK konverguje neabsolutně. Leibnizovo kritérium je speciálním případem Dirichletova pro ( 1) n a n. ( 1) n má ohraničené částečné součty a a n 0 (shora) hraje roli b n v Dirichletově kritériu.. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 45 / 183
43 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 4 Necht f : N N je bijekce. Řekneme, že řada b n, kde b n = a f (n), je přeřazením řady a n. Řekneme, že pro řadu a n platí komutativní zákon, jestliže pro libovolnou bijekci f : N N platí a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 46 / 183
44 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 16 (Komutativní zákon pro nekonečné řady) Necht řada a n konverguje absolutně, tj. a n <. Pak pro tuto řadu platí komutativní zákon. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 47 / 183
45 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Označme b n = a f (n) a necht t n = b b n = a f (1) + a f (n) je posloupnost částečných součtů b n a necht s n = a a n je posloupnost částečných součtů a n. Protože a n konverguje absolutně, pak a n konverguje, tedy existuje konečná limita s = lim s n. Dokážeme, že t n s. Platí s n t n = a a n (a f (1) + + a f (n) ). Necht ε > 0 je libovolné. Protože a n je konvergentní, tak podle Cauchyova Bolzanova kritéria n 0 N : n n 0, m N : a n a n+m < ε. Zejména máme a n a n0 +m < ε. Protože n n 0, máme a a n (a f (1) + + a f (n) ) = a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 48 / 183
46 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Necht n 1 N je takové, že {1,..., n 0 } {f (1),..., f (n 1 )}, pak pro n max{n 0, n 1 } platí a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ) a n a n0 +q }{{} <ε (q je největší zbývající index ). Tedy s n t n 0 a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 49 / 183
47 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 5 Pro posloupnost a n označme { a n + a n a n 0 = 0 a n < 0 a a n = { a n a n 0 0 a n > 0. Potom {a + n } nazýváme kladná část a {a n } záporná část posloupnosti {a n }. Poznámka Zřejmě platí a + n = an+ an 2 = max{a n, 0}, resp. a n = an an 2 = min{a n, 0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 50 / 183
48 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 17 Necht a n je neabsolutně konvergentní, pak a + n = + a a n =. Důkaz a + n < a a n > a + n = a an > a + n < a an = a + n = a an = Kdyby platilo 1, pak a n = a n + an konverguje podle věty o konvergenci součtu dvou konvergentních řad spor, nebot a n =. Kdyby platilo 2 nebo 3, pak a n = a n + + an a součet bude (případ 2) nebo (případ 3) spor s a n <. Tedy nutně a n + = a an =. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 51 / 183
49 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 18 (Riemannova věta o přeřazení, velká věta o přeřazení) Necht řada a n je neabsolutně konvergentní a L 1, L 2 R, L 1 L 2. Pak existuje permutace množiny N taková, že pro posloupnost částečných součtů t n přeřazení řady a f (n) (tj. t n = a f (1) + + a f (n) ) platí lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. Zejména neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat tak, že diverguje k ± nebo osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 52 / 183
50 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Předpokládejme, že L 1, L 2 R, L 1 < L 2 a L 2 > 0 (pro ostatní případy je modifikace důkazu zřejmá). Platí a + n = a a n =. Existuje n 1 : a a+ n 1 > L 2 a necht n 1 je nejmenší takový index. Necht n 2 je takový index, že a a+ n 1 + a 1 + a n 2 < L 1 a necht je nejmenším indexem s takovou vlastností. Důležité je, že a n 0 (což je nutná podmínka konvergence a n ) a n 0 a tedy velikost přelezení/podlezení hodnot L 1, L 2 se bĺıží k nule. Z konstrukce plyne, že lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. (Např. pro L 1 =, L 2 = budeme součty rozkmitávat.) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 53 / 183
51 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka Konečné řady: (a a n )(b b m ) = a 1 b a n b m. Nekonečné řady: ( ) ( ) an bn =? a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n... a n b 1 a n b 2 a n b n... c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 55 / 183
52 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 19 Necht řady a n, b n jsou absolutně konvergentní a necht c n je libovolná nekonečná řada, v níž posloupnost {c n } je permutací posloupnosti {a i b j } (tj. {c n } je libovolná posloupnost obsahující permutaci prvků z uvedené tabulky). Pak c n konverguje také absolutně a platí cn = c = a b, kde a n = a, b n = b. Důkaz. Pro i m = min{i 1,..., i n }, j m = min{j 1,..., j n }, i M = max{i 1,..., i n }, j M = max{j 1,..., j n } máme c c n = a i1 b j1 + + a in b jn ( a im + + a im )( b jm + + b jm ) A B, kde }{{}}{{} a(i M ) b(j M ) A = a n, B = b n. Tedy posloupnost částečných součtů c n je shora omezená, tedy c n <, tedy c n je absolutně konvergentní a platí pro ni komutativní zákon. n 2 k=1 c k = a 1 b 1 +(a 1 b 2 +a 2 b 2 +a 2 b 1 )+ +(a 1 b n + +a n b n + +a n b 1 )+ = (a a n )(b b n ) = s n t n ab n=1 c n = ab. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 56 / 183
53 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka (a 1 x + a 2 x a n x n )(b 1 x + b 2 x b n x n ) = x 2 (a 1 b 1 ) + x 3 (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + x 4 (a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b 1 ) + (Postupujeme po diagonálách.) Definice 6 Uvažujme nekonečné řady a n, b n. Necht c n = a 1 b n + + a n b n + + a n b 1 (po elkách ), pak se řada cn nazývá Dirichletův součin řad a n, b n. Je-li c n = a 1 b n + a 2 b n a n 1 b 2 + a n b 1 (po diagonálách), pak se řada c n nazývá Cauchyův součin řad a n, b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 57 / 183
54 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 20 Necht a n, b n jsou konvergentní řady, a n = a, b n = b. Pak jejich Dirichletův součin c n také konverguje a c n = ab. (Mertensova věta) Necht a n, b n jsou konvergentní řady, an = a, b n = b a alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Pak konverguje i jejich Cauchyův součin a c n = ab. Poznámka V Mertensově větě o Cauchyově součinu nelze vypustit předpoklad absolutní konvergence alespoň jedné řady. Např. pro [( ( 1) n 1 n ) ( ( 1) n 1 n )] Cauchy máme c n = n + 2 n n 1 1 n + 1 n n = 1, lim c n 0, není splněna nutná podmínka konvergence a tedy Cauchyův součin řady ( 1) n 1 n se sebou nemůže konvergovat. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 58 / 183
55 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Definice 7 Předpokládejme, že řada a n je konvergentní. Výraz R n = k=n+1 a k se nazývá zbytek po n-tém členu, tj. a n = s n + R n. Věta 21 Uvažujme nekonečnou řadu a n se zbytkem R n. Necht b n je konvergentní řada se nezápornými členy, pro niž platí a n b n. Pak řada an konverguje absolutně a pro její zbytek platí R n R n, kde R n je zbytek po n-tém členu řady b n. Důkaz. R n = k=n+1 a k k=n+1 a k k=n+1 b k = R n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 59 / 183
56 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 22 Necht a n je nerostoucí posloupnost kladných čísel a lim a n = 0. Pak pro zbytek alternující řady ( 1) n 1 a n platí R n a n+1. Navíc sgn R n = ( 1) n. Důkaz. Dle Leibnizova kritéria je řada ( 1) n 1 a n konvergentní. Dále postupujeme jako v důkazu Leibnizova kritéria pro řadu R n = k=n+1 ( 1)k 1 a k, tedy R n = ( 1) n a n+1 + ( 1) n+1 a n+2 + ( 1) n+2 a n+3 + = ( 1) n (a n+1 a n+2 + a n+3 a n+4 + ) }{{} =:r a odtud 0 < a n+1 a n+2 < r < a n+1. Tedy ihned R n = ( 1) n r. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 60 / 183
57 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 23 Necht a n je monotónní posloupnost nezáporných čísel, řada a n konverguje a f : [1, ) R je monotónní a pro n N : f (n) = a n. Pak R n n f (x)dx. Důkaz. Plyne ze stejného obrázku jako důkaz integrálního kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 61 / 183
58 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Příklad 16 Kolik členů řady n=1 1 musíme vzít, aby chyba (zbytek) byla menší než n 2 0,01? R n n 1 x 2 dx = [ 1 x ] n = 1 n n 100. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 62 / 183
59 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 17 (Motivace) Uvažujme funkce s n (x) = x n pro x [0, 1] a n N. Jedná se tedy o posloupnost částečných součtů funkcí s 1 (x) = x, s 2 (x) = x 2, s 3 (x) = x 3, s 4 (x) = x 4,... f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 x, f 3 (x) = x 3 x 2,... f n (x) = x n x n 1,... Všechny tyto funkce f n (x) jsou spojité na intervalu [0, 1] pro každé n N. Dále jsou všechny funkce s n (x) spojité na intervalu [0, 1]. Přitom { x n n 0 x [0, 1), s n (x) = 1 n n. 1 x = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 64 / 183
60 Posloupnosti a řady funkcí Tedy posloupnost s n (x) konverguje pro každé x [0, 1] k funkci { 0, pro x [0, 1), f n (x) = lim s n(x) = s(x) = n 1, pro x = 1, n=1 přičemž tato funkce s(x) je nespojitá (konverguje pouze bodově). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 65 / 183
61 Posloupnosti a řady funkcí Definice 8 Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje bodově na tomto intervalu k funkci f (x), jestliže x I číselná posloupnost {f n ( x)} konverguje k číslu f ( x), píšeme f n f, tj. Definice 9 ε > 0, x I, n 0 = n 0 (ε, x) n n 0 : f n (x) f (x) < ε. Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje na intervalu I stejnoměrně k funkci f (x), jestliže píšeme f n f. ε > 0 n 0 = n 0 (ε) : x I, n n 0 : f n (x) f (x) < ε, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 66 / 183
62 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Konvergence posloupnosti f n (x) = x n, x [0, 1] není na [0, 1] stejnoměrná. P = C[a, b], ρ C (f, g) = max x [a,b] f (x) g(x) metrika stejnoměrné konvergence. Ze stejnoměrné konvergence plyne bodová konvergence. Naopak to neplatí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 67 / 183
63 Posloupnosti a řady funkcí Věta 24 Necht posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I k funkci f, označme r n = sup f n (x) f (x). x I Pak posloupnost f n konverguje na I k funkci f stejnoměrně právě tehdy, když r n 0. Důkaz. ( ) lim r n = 0 ε > 0 n 0 N, n n 0 : r n < ε sup x I f n (x) f (x) < ε x I : f n (x) f (x) < ε ( ) triviální modifikace předchozí implikace c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 68 / 183
64 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 18 Rozhodněte, zda posloupnost f n (x) = stejnoměrně. 2nx 1+n 2 x 2 konverguje na I = [0, 1] Vyřešíme bodovou konvergenci a pak podle věty 24 rozhodneme, je-li 2nx stejnoměrná nebo ne. Protože lim n = 0, konverguje posloupnost 1+n 2 x 2 bodově na I k funkci f (x) 0. Dále r n = sup f n (x) f (x) = sup x I x [0,1] 2nx 1 + n 2 x 2 0 2nx = max x [0,1] 1 + n 2 = 1, n N. x 2 Posloupnost nekonverguje stejnoměrně k nule na intervalu [0, 1]. ( ) 2nx 1+n 2 x = 2n(1+n 2 x 2 ) 2nx(n 2 2x) = 0 2n(1 + n 2 x 2 ) = 2nx(n 2 2x) 2 (1+n 2 x 2 ) n 2 x 2 = 2n 2 x 2 1= n 2 x 2 x = 1 n, f n(0) = 0, f n (1) = 2n, f 1+n 2 n ( 1 n ) = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 69 / 183
65 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 19 f n (x) = sin nx n, I = R f n 0, r n = 1 n f n(x) 0 na R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 70 / 183
66 Posloupnosti a řady funkcí Definice 10 Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje (bodově) k funkci f (x), jestliže posloupnost částečných součtů s n (x) = f 1 (x) + + f n (x) konverguje (bodově) k funkci f (x) na intervalu I, tj. s n (x) f (x) na I. Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci f (x), píšeme n=1 f n(x) = f (x) stejnoměrně, pokud s n f (x) na I. Příklad 20 e x = 1 + x + x 2 2! + = konverguje stejnoměrně na R (ukážeme později). n=0 x n n! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 71 / 183
67 Posloupnosti a řady funkcí Lemma 1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence) Posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I stejnoměrně právě tehdy, když ε > 0 n 0 N x I m, n n 0 (m, n N) : f m (x) f n (x) < ε. Důkaz. Viz skripta. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 72 / 183
68 Posloupnosti a řady funkcí Věta 25 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí) Řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská, tj. ε > 0 n 0 N x I n n 0 m N : s n+m (x) s n (x) = f n+1 (x) + + f n+m (x) < ε. Důkaz. Řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x), právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x). Nyní stačí využít Lemma 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 73 / 183
69 Posloupnosti a řady funkcí Věta 26 (Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) Necht posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, splňuje na intervalu I nerovnost f n (x) a n a číselná řada a n je konvergentní. Pak řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Důkaz. Podle předchozí věty stačí dokázat, že posloupnost částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská. Protože řada a n konverguje, pak podle Cauchyova Bolzanova kritéria je číselná posloupnost jejích částečných součtů cauchyovská, tzn. tedy ε n 0 N, n n 0, m N : a n a n+m < ε, f n+1 (x) + + f n+m (x) f n+1 (x) + + f n+m (x) a n a n+m < ε n n 0, m N, x I. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 74 / 183
70 Posloupnosti a řady funkcí Věta 27 (Abelovo kritérium) Necht f n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a posloupnost {g n (x)} je na I stejnoměrně ohraničená a monotónní. Pak f n (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Věta 28 (Dirichletovo kritérium) Necht f n (x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost částečných součtů, posloupnost {g n (x)} je na I monotónní a g n 0 na I. Pak fn (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Posloupnost {f n (x)} je na I neklesající (nerostoucí), jestliže má tuto vlastnost každá číselná posloupnost {f n (x 0 )}, x 0 I. Jestliže k R, k > 0 : n N, x I : f n (x) k, nazýváme posloupnost {f n (x)} stejnoměrně ohraničenou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 75 / 183
71 Posloupnosti a řady funkcí Věta 29 Necht funkce f n jsou na intervalu I spojité a f n (x) f (x) na intervalu I. Pak je na intervalu I spojitá i limitní funkce f. Důkaz. Potřebujeme dokázat, že lim x x0 f (x) = f (x 0 ) x 0 I. f (x) f (x 0 ) = f (x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ) f (x) f n (x) + f }{{} n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ). }{{} < ε < ε 3 3 Necht ε > 0 je libovolné, protože f n (x) f (x) na I, k ε 3 n 0, n n 0, x I : f n (x) f (x) < ε 3. Protože f n jsou spojité, pak k ε 3 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f n (x) f n (x 0 ) < ε 3. Tedy ε > 0 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f (x) f (x 0 ) < ε a funkce f je spojitá v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 76 / 183
72 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Předchozí Věta 29 v podstatě dokazuje, že prostor spojitých funkcí s metrikou stejnoměrné konvergence je úplný metrický prostor, a tedy lze aplikovat (na kontraktivní zobrazení) Banachovu větu o pevném bodě. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 77 / 183
73 Posloupnosti a řady funkcí Věta 30 Necht n=1 f n(x) = f (x) konverguje stejnoměrně na intervalu I, tj. s n (x) = n f k (x) f (x) na I. k=1 Je-li každá z funkcí f n spojitá na I, je i součet f spojitou funkcí na intervalu I. Důkaz. Aplikace Věty 29 na posloupnost s n (x) = f 1 (x) + + f n (x), což je spojitá funkce, protože je konečným součtem spojitých funkcí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 78 / 183
74 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Derivace a integrace součtu dvou funkcí platí pro libovolný konečný počet sčítanců. Věta 31 Necht {f n } je posloupnost integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] a tato posloupnost na [a, b] konverguje stejnoměrně k funkci f. Pak i limitní funkce je na [a, b] integrovatelná a platí b a b f (x)dx = lim f n (x)dx, n a tj. b a lim n f n (x)dx = lim n b a f n(x)dx. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 79 / 183
75 Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Funkce f je integrovatelná na [a, b] právě tehdy, když ε > 0 δ > 0, D(dělení intervalu [a, b]) : ν(d) < δ : S(D, f ) s(d, f ) < ε. Máme S(D, f ) s(d, f ) = = S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) n S(D, f ) S(D, f n ) = [M i (f )(x i x i 1 ) M i (f n )(x i x i 1 )] i=1 n M i (f ) M i (f n ) (x i x i 1 ) i=1 ε 3(b a) n (x i x i 1 ) ε 3 a analogicky pro dolní součty (M i (f ) značí supremum funkce f na intervalu [x i 1, x i, ].) Pro dostatečně jemné dělení je i S(D, f n ) s(d, f n ) ε 3. i=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 80 / 183
76 Posloupnosti a řady funkcí Dále potřebujeme dokázat, že b a f n(x)dx b a f (x)dx < ε pro dostatečně velké n. b b b f n (x)dx f (x)dx f n (x) f (x) dx < ε a a a pro n taková, že f n (x) f (x) < ε b a na intervalu [a, b]. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 81 / 183
77 Posloupnosti a řady funkcí Poznámka b Za předpokladu lim n a f n(x)dx = b a f (x)dx, kde f n(x) f (x) na [a, b] máme x [a, b] lim n x f n (t)dt = a } {{ } F n(x) (F n(x) = f n (x), F (x) = f (x), F n (a) = F (a).) }{{}}{{} =0 =0 x f (t)dt. a } {{ } F (x) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 82 / 183
78 Posloupnosti a řady funkcí Věta 32 Necht {f n (x)} je posloupnost funkcí majících na intervalu I = (a, b) derivaci a necht tato posloupnost na I konverguje k funkci f a posloupnost {f n(x)} na I konverguje stejnoměrně. Pak i limitní funkce f má na I derivaci a platí tj. [lim n f n (x)] = lim n f n(x). Důkaz. Viz skripta. f (x) = lim f n n(x), c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 83 / 183
79 Posloupnosti a řady funkcí Věta 33 Necht posloupnost {f n } je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a ke každé z těchto funkcí existuje na intervalu I primitivní funkce F n. Jestliže f je stejnoměrná limita funkcí na I, tj. f n f na I, pak k funkci f také existuje primitivní funkce. Jestliže pro nějaké c I platí, že lim n F n (c) = F (c), pak i posloupnost primitivních funkcí F n konverguje stejnoměrně na intervalu I, a to k funkci F, tj. F n F na I. Věta 34 Necht f n (x) = f (x) stejnoměrně na intervalu [a, b] a každá z funkcí f n je na [a, b] integrovatelná. Pak je na [a, b] integrovatelný i součet f a platí b a f (x)dx = b n=1 a f n(x)dx, tj. b a n=1 f n(x)dx = b n=1 a f n(x)dx. Důkaz. Aplikace Věty 32 na částečné součty řady n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 84 / 183
80 Posloupnosti a řady funkcí Příklad 21 Vypočítejte ln 3 ln 2 n=1 n e nx dx. Chtěli bychom n e nx dx. To lze pokud řada stejnoměrně konverguje na intervalu [ln 2, ln 3], použijeme Weierstrassovo kritérium f n (x) a n, a n < f n f : n e nx n e n ln 2 = n 2, n+1 n 2 2 n 2n n = n+1 2n 1 2 < 1 n 2 <, tedy n řada konverguje stejnoměrně a lze počítat [ e nx ] ln ln 3 2 = ( 1 2 n 1 ) n = n=1 = = 1 2. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 85 / 183
81 Posloupnosti a řady funkcí Věta 35 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I a řada n=1 f n(x) na I konverguje. Pak součet n=1 f n(x) = f (x) má na I derivaci a platí f (x) = g(x), tj. Důkaz. ( f n (x)) = n=1 n=1 f n(x). Označme {s n } a {s n} posloupnosti částečných součtů řad f n (x) a f n(x). (Zřejmě platí, že s n je derivací s n.) Z předpokladů věty na I {s n } konverguje a {s n} konverguje stejnoměrně. Dle Věty 32 má funkce fn (x) = f (x) derivaci a platí f [ (x) = lim n s n(x) = lim f n 1(x) + + f n(x) ] = n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 86 / 183
82 Posloupnosti a řady funkcí Věta 36 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I. Jestliže řada n=1 f n(x) konverguje alespoň v jednom čísle c I, pak tato řada konverguje stejnoměrně a pro její součet n=1 f n(x) = f (x) platí f (x) = g(x), tj. ( n=1 f n(x)) = n=1 f n(x). Poznámka Lze sestrojit příklady, kde se ukáže, že nelze nahradit stejnoměrnou konvergenci bodovou konvergencí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 87 / 183
83 Mocninné řady Definice 11 Necht a n je posloupnost reálných čísel a x 0 R, pak nekonečná řada funkcí n=0 a n(x x 0 ) n se nazývá mocninná řada se středem x 0 a koeficienty a n, n N 0. Poznámka Substitucí y = x x 0 a n y n lze každou řadu převést na řadu se středem y 0 = 0. Můžeme proto uvažovat řady n=0 a nx n. Mocninná řada vždy konverguje ve svém středu. Konvence: a n x n = n=0 a nx n. N 0 := N {0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 89 / 183
84 Mocninné řady Věta 37 Necht a := lim sup n a n. Je-li a = 0, pak mocninná řada a n x n konverguje x R. Je-li a =, pak řada konverguje pouze ve svém středu x 0 = 0. Je-li 0 < a <, pak řada konverguje x R : x < R := 1 a a diverguje pro x R : x > R. Číslo R se nazývá poloměr konvergence mocninné řady a n x n. Poznámka Interval I takový, že pro x I příslušná řada (absolutně) konverguje nazýváme intervalem (absolutní) kovergence této řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 90 / 183
85 Mocninné řady Důkaz. Předpokládejme pro jednoduchost, že existuje limita lim n a n = a. Pro nějaké x R aplikujeme na řadu a n x n odmocninové kritérium < 1 konverguje lim n a n x n = x lim n a n = a x > 1 diverguje = 1 nevíme { x < 1 a = R řada konv. x > 1 a = R řada div. Pokud limita lim n a n neexistuje, pak lim sup n a n charakterizuje jak velká čísla a n se v posloupnosti vyskytují a čím větší jsou a n, tím menší je interval pro x, pro něž řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 91 / 183
86 Mocninné řady Poznámka Protože platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n, lze v případě existence limity podílu použít pro určení poloměru konvergence ji. Protože ve zmíněných limitách jsou absolutní hodnoty, získáváme uvnitř intervalu konvergence přímo absolutní konvergenci. Pro hodnoty x, kde limity vychází jedna (krajní body intervalu konvergence) tyto hodnoty dosadíme a řešíme konvergenci příslušných číselných řad. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 92 / 183
87 Mocninné řady Příklad 22 1 x n, a = lim n 1 = 1 R = 1 pro x = 1 řada osciluje, pro x = 1 řada diverguje, řada konverguje (absolutně) pro x ( 1, 1) 2 x n n, a n = 1 n lim a n+1 a n = lim n n+1 = 1 R = 1 pro x = 1 máme 1 n, která diverguje (harmonická řada), pro x = 1 máme ( 1) n n, která konverguje (Leibnizova řada), řada konverguje pro x [ 1, 1), absolutně konverguje pro x ( 1, 1) 3 4 ( 1) n x n n, R = 1, konverguje pro x ( 1, 1], absolutně konverguje pro x ( 1, 1) x n, R = 1, lim a n 2 n+1 a n = 1, x = 1 1 konverguje absolutně, n 2 x = 1 ( 1) n konverguje absolutně, řada konverguje absolutně n 2 pro x [ 1, 1] c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 93 / 183
88 Mocninné řady Příklad 23 R =? 1 2 x n n! a n = 1 n!, R = lim 1 n! (n+1)n! 1 = lim(n + 1) = řada konverguje pro x R n!x n a n = n!, R = 0, řada konverguje pouze pro x = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 94 / 183
89 Mocninné řady Poznámka Proč se říká poloměr konvergence? Často se uvažuje řada a n z n, z C, a n C, kde pak místo intervalu konvergence pracujeme s kružnicemi o poloměru z. Tedy hledáme takové číslo R, kdy daná řada konverguje pro všechny z C, z < R a diverguje pro všechny z C, z > R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 95 / 183
90 Mocninné řady Věta 38 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak r : 0 < r < R řada konverguje na intervalu [ r, r] stejnoměrně (a absolutně). Důkaz. Necht 0 < r < R je libovolné. Použijeme Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence, tj. a n x n a n x n = a n x n a n r n pro x [ r, r], řada a n r n konverguje, nebot r < R, tedy a n x n konverguje na [ r, r] stejnoměrně. Absolutní konvergence plyne z faktu, že v nerovnosti a n x n a n r n vystupuje absolutní hodnota. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 96 / 183
91 Mocninné řady Věta 39 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí x 0 an t n dt = a n x n+1 n + 1, přičemž řada na pravé straně rovnosti má poloměr konvergence opět R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 97 / 183
92 Mocninné řady Důkaz. x 0 an t n dt st.konv. = a n x 0 t n dt = a n [ t n+1 n + 1 Předpokládejme, že existuje limita lim n a n = a = 1 R, potom lim n an ( 1 = a lim n + 1 n + 1 = lim n ( 1 a n lim ) 1 n ] x 0 = a n n + 1 x n+1 n + 1 ) 1 n = 0 0 = a lim e 1 ln( 1 ln(n+1) n n+1) = a lim e n = a e 0 = a, tedy poloměr konvergence řady a n n+1 x n+1 je R. Protože a n n+1 x n+1 = x a n n+1 x n mohli jsme použít n-tou odmocninu místo (n + 1)-ní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 98 / 183
93 Mocninné řady Věta 40 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí ( ) a n x n = n=1 na n x n 1, n=1 přičemž derivováním se poloměr konvergence nemění. Důkaz. Opět plyne ze stejnoměrné konvergence a jednoduchého výpočtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 99 / 183
94 Mocninné řady Věta 41 (Abelova věta) Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence 0 < R < a předpokládejme, že pro x = R je tato řada konvergentní. Pak její součet f (x) = a n x n je funkce, která je v x = R zleva spojitá, tj. an R n = f (R) = lim f (x). x R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 100 / 183
95 Mocninné řady Důkaz. Pro důkaz využijeme Abelovo kritérium (věta 27). Pro x [0, R] je číselná řada a n R n konvergentní, tedy je pro libovolné x konvergentní stejnoměrně (jako funkce vystupují konstanty). Přepišme řadu z tvrzení věty takto an x n = ( a n R n x ) n. R Pro použití Abelova kritéria musí být posloupnost funkcí {( ) x n } R nerostoucí a stejnoměrně ohraničená, což je pro x [0, R] splněno. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 101 / 183
96 Mocninné řady Příklad 24 Určete součet řady n=1 n 2 n. lim n+1 2n 2n 2 n pokračovat. = lim n+1 2n = 1 2 < 1 řada konverguje a má tedy smysl Využijeme mocninnou řadu n=0 n x n. Ihned máme n R = lim n+1 = 1, tedy pro x = 1 2 absolutně konverguje. [ n x n = x n x n 1 = x n n=0 n=1 [ ] = x x n = x n=1 ( x 1 x n=1 x = 1 2 n=1 n 2 n = 1/2 (1 1/2) 2 = = 2 x n 1 dx ] ) = x 1 x + x (1 x) 2 = x (1 x) 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 102 / 183
97 Mocninné řady Využijeme Cauchyův součin (absolutně konvergentní) řady n=1 1 2 = 1 se sebou. Tedy n 1 1 = ( ) ( 1 ) 1 2 n 2 n = n 1 + 2n+1 odkud ihned n=1 n 2 n = 2. Přímo pomocí částečných součtů máme = n=1 n 2 n+1 = 1 2 n=1 s n = n 2 n, s n 2 = n 2 n+1. Odkud odečtením získáme s n 2 = n n 2 n = 2. n 2 n, n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 103 / 183
98 Mocninné řady Příklad 25 Určete součet řady n=1 1 n2 n. Využijeme mocninnou řadu pro x = 1 2 absolutně konverguje. n=1 x n n = n=1 n=1 x 0 t n 1 dt = 1 n2 n = n=1 = ( 1 2) n n n=1 xn n x 0 n=1 x 0 n+1. Ihned máme R = lim n = 1, tedy t n 1 dt 1 1 t dt = [ ln 1 t ]x 0 = ln(1 x) ( = ln 1 1 ) = ln = ln 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 104 / 183
99 Mocninné řady Příklad 26 Určete poloměr konvergence a součet řady n=0 n(n + 2)x n. R = lim a n n(n + 2) = lim (n + 1)(n + 3) = 1 a n+1 Pro x ( 1, 1) máme n=0 x n = 1 1 x. Protože pro x = 0 máme ihned n=0 n(n + 2)x n = 0, budeme předpokládat, že x 0. x n = 1 / d 1 x dx n=0 [ ] 1 / nx n 1 = x 3 1 x nx n+2 x 3 / d = (1 x) 2 dx n=0 n=0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 105 / 183
100 Mocninné řady n=0 n(n + 2)x n+1 = 3x 2 x 3 / (1 x) 3 1 x n=0 n(n + 2)x n = 3x x 2 (1 x) 3 Výsledný vztah platí i pro x = 0, tedy lze ho použít pro všechna x ( 1, 1). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 106 / 183
101 Mocninné řady Definice 12 Necht funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů, pak se mocninná řada n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazývá Taylorova řada dunkce f. Je-li x 0 = 0, pak se řada nazývá Maclaurinova řada. Poznámka f n=0 f (n) (0) x n n! Problém platí (a kde) f (x) = f (n) (0) n=0 n! x n? c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 107 / 183
102 Mocninné řady Příklad 27 Uvažujme funkci f (x) = f f (x) f (0) (0) = lim = lim x 0 x 0 Podobně f (0) = lim x 0 což znamená {e 1 x 2 x 0, 0 x = 0. Potom a 0 = 0, a n = f (n) (0) n!,n N. x x 0 e (e 1 x 2 ) f (0) x 0 1 x 2 = lim x 0 = x = 1 t = lim t ± (t e t2 ) = lim t ± (e 1 x 2 ) f (n) (0) = 0 n N 0, f (x) 0 x n = 0 f (x). x t e t2 = lim t ± 1 2t e t2 = 0 1 x 2 2 e = lim x 0 x 3 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 108 / 183
103 Mocninné řady Poznámka f (x) = T n (x) + R n (x), R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! x n+1, kde ξ je mezi 0 a x, T n (x) je (n + 1)-ní částečný součet n Platí T n (x) f (x), pokud R n (x) 0. k=0 f (k) (0) k! x k. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 109 / 183
104 Mocninné řady Věta 42 Necht funkce f má na intervalu I = [ r, r] derivace všech řádů a existuje konstanta K > 0 taková, že f (n) (x) K x I, n N. Pak Maclaurinova řada funkce f konverguje na intervalu I = [ r, r] stejnoměrně k funkci f. Důkaz. R n (x) = f (n+1) (ξ) (n+1)! x n+1 K r n+1 (n+1)! 0, nebot řada r n n! ( konverguje. ) r n n! : r n+1 n! r = r n n+1 0 (n+1)! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 110 / 183
105 Mocninné řady Příklad 28 e x n=0 xn n! r R, n N : (e x ) (n) = e x e x e r x [ r, r] R n (x) er (n+1)! 0 x n n! = ex na [ r, r] e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +, x R pro sin x, cos x platí r > 0, n N : (sin x) (n) 1, (cos x) (n) 1 x [ r, r] sin x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + ( 1)n x 2n+1 +, x R (2n + 1)! cos x = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + + ( 1)n x 2n +, x R (2n)! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 111 / 183
106 Mocninné řady Příklad 29 ln(1 + x) x x2 2 + x3 3 + ( 1)n+1 x n n +, R = 1, 1 pro [ r, r] ( 1, 1) : R n (x) (1 r) n+1 (n+1) 0 ( 1) n+1 x n ln(1 + x) =, x ( 1, 1] n n=1 Pro x = 1 konverguje podle Abelovy věty 41. (Tedy známe součet Leibnizovy řady = ln 2.) ( ) ( ) ( ) α α α (1 + x) α = + x + + x n +, x ( 1, 1) 0 1 n α R, R = 1, ( α n n činitelů {}}{ ) = α(α 1) (α n + 1) n! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 112 / 183
107 Mocninné řady Příklad 30 Určete součet číselné řady n=1 Maclaurinova řada funkce sin x x sin x x pro x R, x 0. 1 n 2 = je = 1 ( x x 1 3! x ! x 5 1 7! x 7 + = 1 1 3! x ! x 4 1 7! x 6 + = n=0 ) ( 1) n (2n + 1)! x 2n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 113 / 183
108 Mocninné řady Kořeny funkce sin x x jsou zřejmě v bodech ±π, ±2π, ±3π, ±4π, atd. a tedy tuto funkci lze rozložit na (nekonečný) součin kořenových činitelů ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 x ) ( 1 + x ) π π 2π 2π 3π 3π = (1 x 2 π 2 ) (1 x 2 4π 2 ) (1 x 2 9π 2 ) (1 x 2 16π 2 ) Porovnáním koeficientů u mocniny x 2 s příslušným koeficientem v rozvoji funkce sin x x dostaneme 1 3! = 1 π 2 1 4π 2 1 9π π 2, čili po vynásobení číslem π 2 dostaneme π 2 6 = = 1 n 2. n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 114 / 183
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3
VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Více(verze 12. května 2015)
Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VíceKapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.
Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceReálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti
Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceMA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
VíceMatematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceKapitola 1. Funkční posloupnosti a řady
1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceKonvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePosloupnosti a řady. 4. kapitola. Absolutní a neabsolutní konvergence
Posloupnosti a řady 4. kapitola. Absolutní a neabsolutní konvergence In: Jiří Jarník (author): Posloupnosti a řady. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1979. pp. 90 113. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403939
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceMatematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceMATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více