Elementární modely v matematické biologii
|
|
- Marta Bednářová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Elementární modely v matematické biologii Dalibor Pražák, MA MFF U Abstrakt Cílem tohoto textu je odvození některých jednoduchých ODR modelů s aplikacemi nejen v biologii. Všimneme si jak matematických vlastností rovnic, tak jejich shody s reálnými daty a v neposlední řadě i abstraktnějších teoretických důsledků. 1. Základní růstový model Předpokládejme, že velikost populace je vyjádřena neznámou funkcí x = xt časové proměnné t. Nejjednodušší růstový model předpokládá, že za jednotku času přibude na jednotku populace r-nových jedinců, tj. matematicky zapsáno xt + 1 = xt + rxt = 1 + rxt Budeme dále předpokládat, že reprodukce se neděje takto ve skocích, nýbrž je v čase rozložena spojitě. To lze jednoduše modelovat tak, že během krátkého okamžiku dt se reprodukuje jen dtprocent jedinců, zatímco zbylých 1 dt se nemění, tedy xt + dt = 1 dtxt + dt1 + rxt Odsud snadno vyjádříme xt + dt xt = rxt dt Nyní si představíme, že dt je nekonečně malé. Podíl na levé straně je pak okamžitá změna velikosti, neboli derivace funkce xt. Dostáváme základní růstový model v diferenciálním tvaru, neboli ve tvaru diferenciální rovnice x t = rxt 1 Obrázek 1: Řešením rovnice 1, jak známo, je exponenciální funkce xt = x exprt, kde x = x je hodnota populace v čase t =, neboli počáteční podmínka. Ukazuje se, že pro malé hodnoty xt, přesněji řečeno po dobu, kdy růst není omezován nedostatkem zdrojů a následným bojem o ně, se mnoho nejen biologických veličin zvětšuje právě exponenciální rychlostí. 1
2 Obrázek 2: Téměř dokonale lineární růst počtu vědeckých časopisů na úsvitu novověku ovšem vzhledem k logaritmické ose! Jde tedy opět o příklad exponenciálního růstu v situaci, která není zatím omezena vnějšími podmínkami. Malá obměna předchozí úvahy ukazuje, že podobná rovnice může naopak modelovat přirozený pokles vymírání populace v čase. Předpokládejme, že h, 1 je procento úbytku za jednotku času, tedy xt + 1 = xt hxt = 1 hxt V případě spojitého času předpokládáme, že úbytek zasáhne pouze dt-procent populace, tedy xt + dt = 1 dtxt + dt1 hxt a odsud vyjádříme podobně jako výše pro dt nekonečně malé xt + dt xt = hxt dt 2 x t = hxt 3 Pokusme se vyjádřit střední průměrnou dobu života jedince P, řídí-li se celková populace právě odvozenou funkcí xt = exp ht. Pomůžeme si následující infinitezimální úvahou: v čase mezi t a t + dt uhyne poměrná část populace e ht e ht+dt, tedy k počítanému průměru je nutno přidat člen e ht e ht+dt t = d e ht t Tuto veličinu musíme vysčítat přes všechny nekonečně malé intervaly t, t + dt od nuly do nekonečna, což se tradičně značí symbolem. Dostaneme P = d e ht t Nyní využijeme formuli pro integraci per-partes, podle níž df g + f dg = f g f g V našem případě volíme f = e ht a g = t; protože součin těchto funkcí se jak pro t =, tak pro t = anuluje, dostáváme d e ht t = e ht dt = 1 h Tedy střední doba života P je nepřímo úměrná jednotkové rychlosti úhynu h. 2
3 Obrázek 3: Řešením rovnice x t = hxt je opět exponenciála, ovšem klesající, tedy xt = x exp ht, a opět jde o chování pozorovatelné v mnoha situacích náhodného ubývání mj. též radioaktivního rozpadu. 2. Verhulstův též logistický model V předchozí sekci jsme odvodili základní růstový model x t = axt 4 kde x = xt je neznámá velikost populace v čase a konstanta a je bud kladná růst nebo záporná pokles. Hraničním případem je a =, kdy x t =, a tedy velikost populace se nemění stacionární stav. Možná zobecnění tohoto modelu dostaneme tak, že a již nebude konstantní, nýbrž bude záviset na dalších veličinách. Jedním z nejjednodušších případů je model, v němž míru růst lineárně klesá s velikostí populace: a = r 1 xt 5 Hodnotu můžeme chápat jako přirozenou kapacitu prostředí, tj. hodnotu, pro níž další růst není možný v důsledku vzájemné konkurence. Dostáváme tzv. logistickou rovnici zvanou též někdy Verhulstův model x t = r 1 xt xt 6 Jak se tato rovnice chová? Vidíme, že pro xt < je a >, tedy populace roste, naopak pro xt > je a <, tedy pokles. Hodnota xt = implikuje a = : stacionární bod. Rovnice tedy přirozeně stabilizuje xt k hodnotě, kterou jsme nazvali kapacitou prostředí. Zkusme rovnici analyzovat podrobněji: roznásobíme x t = rxt r x2 t 7 Pro xt > velmi malé můžeme člen x 2 t zanedbat, a máme tedy rovnici 1 s exponenciálním růstem. Rychlý růst xt ovšem znamená, že člen x 2 t přestává být zanedbatelný, vidíme, že xt roste, ale koeficient růstu a se zmenšuje, viz rovnice 5. Rychlost,,růstu růstu můžeme vyšetřit přesněji pomocí další derivace: x t = x t = rx t r 2xtx t 8 = r 1 xt xt r 2xt 1 xt xt 9 = r 2 xt 1 xt 1 2xt Odsud snadno plyne: pokud xt je mezi a, je x t > pokud < xt < /2, tj. funkce xt je konvexní růst se zrychluje. Naopak x t < pro /2 < xt <, tedy růst se zpomaluje 3 1
4 Obrázek 4: Řešení logistického modelu 6 s omezením kapacity mají pro < xt < typický S-tvar; růst se nejprve zrychluje, je maximální pro xt = /2, poté opět klesá. funkce je konkávní. Při hodnotě xt = /2 je x t =, inflexní bod. Rychlost růstu je tedy maximální přesně v okamžiku, kdy je dosažena polovina celkové kapacity prostředí /2. V režimu xt > je naopak stále x t >, tedy xt je konvexní. 4
5 Obrázek 5: Relativní nárůst podílu dravých ryb ve Středozemním moři v důsledku snížení rybolovu v letech Svislá stupnice je v procentech. 3. Volterrův princip Počátkem 2. let minulého století pozoroval italský biolog Umberto D Ancona zajímavý jev: ze záznamů rybářských lodí vyplývá, že v letech znatelně narostl podíl dravých ryb ve Středozemním moři. D Ancona věděl, že v letech se v důsledku války výrazně snížil objem rybolovu, a šlo by tedy chápat, že se zvýší množství ryb v moři absolutně. Proč však roste relativní zastoupení určitých druhů? D Ancona správně vytušil, že řešení spočívá v pochopení dynamiky vztahu dravce a kořisti, a požádal o radu matematika Vita Volterru. Ten uvažoval zhruba následovně: rozdělme rybí populaci na dvě skupiny: dravé ryby yt a jejich kořist xt. Základní růstový model vede na systém x t = axt 11 y t = byt 12 Jak máme stanovit koeficienty růstu a a b? Volterra navrhl velmi jednoduchý model: a = r kyt 13 b = h + pxt 14 Názorně: kořist má přirozenou míru růstu r >, která je však korigována tím, že se stává úlovkem dravců úměrně jejich počtu: člen kyt. Naproti tomu dravci sami o sobě hynou rychlostí h, ledaže jsou schopni obstarat si potravu lovem, což je úměrné velikosti populace kořisti: člen pxt. Celkově tedy dostáváme následující systém rovnic obvykle zvaný Lotka-Volterrův model x t = r kyt xt y t = h + pxt yt 15 Pokusme se nyní tento model matematicky analyzovat. Omezíme se na první kvadrant x >, y >. Prvním úkolem je nalézt podmínky stacionarity, tj. podmínky, za nichž nastává x t = resp. y t =. To je zřejmě právě tehdy, když se anulují závorky na pravé straně soustavy 15, neboli α : y = r k β : x = h 16 p 5
6 Obrázek 6: Řešení Lotka-Volterrova systému v prvním kvadrantu. Šipky naznačují směr pohybu řešení, šedé čáry jsou podmínky stacionarity, jejich průnikem je pak stacionární bod. Jejich průnikem je pak stacionární bod x, y = h/p, r/k. Dále není těžké si rozmyslet znaménka x t a y t: xt < x = y t <... yt roste 17 xt > x = y t >... yt klesá 18 yt < y = x t <... xt klesá 19 yt > y = x t >... xt roste 2 Lokální charakter dynamiky v prvním kvadrantu tedy vypadá cca jako na obrázku 6. V tomto případě však lze získat jednoduše i globální informaci: řešení se spojí do uzavřených křivek, tedy vznikají periodická řešení. Vskutku dělíme-li druhou rovnici první, máme y dy t x t = dt dx dt = dy ypx h = dx xr ky Poslední rovnici pak upravíme a integrujeme r/y k dy + h/x p dx = 21 r ln y ky + h ln x px = c 22 Všimněme si ještě jedné věci: necht například y = yt je takovéto periodické řešení druhé rovnice, necht T > je čas periody. Potom máme dy y = px h dt 23 Integrujme 23 podél času periody. Na levé straně je ovšem dy/y = d ln y, čehož integrál dává ln yt ln y =. Na pravé straně dostaneme p T xt dt T h Vidíme, že průměrná hodnota populace xt v čase periody, neboli 1 T xt dt, je rovna h/p, tedy stacionární hodnotě x. Analogicky bychom dostali, že průměrná hodnota yt je rovna y. 6 T
7 Obrázek 7: Řešení zůstávají konstantní podél vrstevnic funkce V x, y = r ln y ky + h ln x px; musí to být tedy uzavřené křivky řešení jsou periodická. Shrňme: systém má sice obecně různá periodická řešení s obecně různými periodami, ale průměrná velikost populace zůstává vzdor kolísání stále stejná, a to přesně taková, jaká je ve stacionárním bodě. Vrat me se však k původnímu D Anconovu problému. Představme si, do systému zasáhneme zvenčí způsobem, který celkově zhorší životní podmínky obou populací. Tedy speciálně růst kořisti r se zmenší, zatímco míra úhonu dravců h se zvětší. Ovšem ze vztahů 16 ihned vidíme, že x poroste, zatímco y klesá. Z předchozí úvahy plyne, že i průměrná velikost populace kořisti bude větší, naproti tomu střední počet dravců se sníží. A pochopitelně naopak: zlepšení životních podmínek v moři tj. například omezení rybolovu prospěje dravcům, zatímco populaci kořisti může paradoxně zmenšit. Lotka-Volterrův model je ve skutečnosti příliš jednoduchý; reálné hodnoty dat popisovat nemůže. Vystihuje vlastně jen základní skutečnost negativní zpětné vazby mezi dravcem a kořistí. Přesto však zachycuje jev, který pozoroval d Ancona a který nazveme Volterrovým principem: V systémech s negativní zpětnou vazbou typu,,dravec-kořist vede zhoršení prostředí k relativnímu poklesu počtu dravců a k relativnímu nárůstu počtu kořisti. 4. Holling-Tannerův model Již jsme říkali, že Lotka-Volterrův model je příliš jednoduchý. Problém spočívá v členech zpětné vazby kxtyt a pxtyt v rovnicích 15 1 resp. 15 2, a to v tom, že tyto členy rostou kvadraticky s velikostí populací, což jistě není reálné. Ve druhé půli 2. století se v pracích C.S. Hollinga a J.T. Tannera objevuje výrazně komplikovanější model x t = r 1 xt myt xt 24 y t = s 1 P yt xt A + xt yt 25 7
8 Obrázek 8: Dynamika Holling-Tannerova modelu. Šipky naznačují směr pohybu řešení, šedé křivky opět vyznačují podmínky stacionarity. Rovnice jsou však komplikované jenom na první pohled ve skutečnosti se jedná opět o variace předchozích základních modelů. První člen na pravé straně 24 není nic jiného než starý známý logistický Verhulstův model růstu. Druhý člen popisuje požírání kořisti dravcem, na rozdíl od Lotka-Volterrova modelu se zde dělí veličinou A + xt, která modeluje,,nasycení dravce. Pro naše úvahy o Volterrově principu je však klíčová druhá rovnice 25, kterou můžeme přepsat jako y t = s 1 yt, kde L = xt L P Vidíme, že populace dravce y = yt se řídí vlastně logistickým modelem s přirozenou rychlostí růstu s a kapacitou prostředí L = xt/p. onstantu P zde interpretujeme jako množství kořisti, která je nutná k uživení jednoho dravce, tedy celá populace xt uživí právě xt/p dravců a již víme, že rovnice bude mít tendenci stabilizovat yt právě k této hodnotě. Podrobná analýza Holling-Tannerova modelu je obtížná. Nám však postačí všimnout si podmínek stacionarity a jejich závislosti na parametrech modelu. Rovnice x t = a y t = dávají α : β : y = r m y = x P x 1 A + x Geometricky se jedná o parabolu obrácenou dolů a přímku se směrnicí 1/P, viz obrázek. Platí zde Volterrův princip? Představme si, že dojde k celkovému zhoršení životního prostředí. To jistě znamená, že veličina P poroste - dravci budou potřebovat více kořisti, aby se uživili - at už proto, že kořist bude méně výživná, nebo proto, že dravcům se bude hůře lovit. Tedy 1/P poklesne, neboli podíl y/x se sníží, přesně jak očekáváme! Volterrův princip závěrečná úvaha Předložili jsme dva modely, jeden velmi jednoduchý Lotka-Volterrův, druhý podstatně složitější a realističtějsí Holling-Tannerův. Pro oba modely Volterrův princip platí: zhoršení celkového prostředí vede k relativními snížení počtu dravců a relativnímu zvýšení počtu kořisti. Mohli bychom analyzovat rozličné další modely a zjišt ovat, zda Volterrův princip platí či ne. Pokusme se ale nyní o něco jiného: o jakýsi obecnější či abstraktnější pohled, který se pokusí postihnout společný rys obou modelů, stojící za Volterrovým principem. 8
9 Připomeňme, že α, β značí podmínky stacionarity pro xt, yt, tedy množiny bodů zde křivky, pro něž nastává x t = resp. y t =. Tyto podmínky stacionarity se zhoršením prostředí posouvají do α, β. Stacionární bod S se posouvá do S. Co mají oba obrázky společného? řivka β je strmější a zhoršením prostředí se odklání pryč od osy y. Naopak křivka α je spíše vodorovná a při zhoršení prostředí se posouvá dolů. Stacionární bod coby průsečík křivek α, β se tedy posouvá vpravo dolů, což odpovídá poklesu podílu y/x. Obecné pochopení Volterrova principu by znamenalo přesnější pochopení, proč platí fakta naznačená v předchozím odstavci, tj. například relativně větší strmost křivky β či naopak plochost křivky α, a proč se tyto křivky při zhoršení prostředí posouvají naznačeným způsobem. To je jistě možné matematicky přesněji vyjádřit, přesahuje to však rámec našeho textu. Určitě by se však jednalo o zajímavé téma např. pro bakalářskou práci v oboru matematická analýza! 9 verze 7. ledna 218
časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Diferenciální rovnice a dynamické modely
Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
Q(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Logaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1.
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1. Monotonie (1) Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. (2) Když si funkci
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Matematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Matematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematika pro kombinované studium BOZO Konzultace pátá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/ Obsah konzultace:
KMA/MM. Lotka-Volterra Model Predátor Kořist
KMA/MM Lotka-Volterra Model Predátor Kořist Kamila Matoušková V Plzni, 2009 1 Obsah 1 Lotka-Voltera model... 3 2 Vznik modelu... 3 3 Formulace modelu... 3 4 Koeficienty modelu... 4 4.1 Stanovení koeficientů...
14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Management rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Konvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Základní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Číslo a proměnná Gradovaný řetězec úloh Téma: soustava rovnic, parametry Autor: Stanislav Trávníček
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice