Konvergence kuncova/

Transkript

1 Konvergence kuncova/ Příklady d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu [, ) srovnáme s funkcí e. arcctg a b d Integrand f je nezáporná funkce, stačí tedy vyšetřovat absolutní konvergenci. K tomu použijeme itní srovnávací kritérium a rozklad arccotg a arccotg a + arccotg a b d = b d + b d Má-li totiž (absolutně) konvergovat integrál vpravo, pak také konvergují (absolutně) oba integrály vlevo (integrujeme přes menší množinu). Naopak, pokud (absolutně) konvergují integrály vpravo, pak také konverguje (absolutně) integrál vlevo (eistencí integrálů je zaručena eistence zobecněné primitivní funkce na celém intervalu i konečnost integrálu). Vyšetřujme nyní (absolutní) konvergenci integrálu arccotg a b d Funkce arccotg a b je spojitá a nezáporná na (, ], a protože + arccotg a b b = + arccotg a = (π/) a je (absolutní) konvergence vyšetřovaného integrálu ekvivalentní (absolutní) konvergenci integrálu b d ) Tento krok v následujících příkladech již nebudeme komentovat

2 Přímým výpočtem se přesvědčíme, že tento integrál konverguje pro b <. Vyšetřujme nyní (absolutní) konvergenci integrálu arccotg a b d Funkce arccotg a b je spojitá a nezáporná na [, + ), a protože platí také, že + arccotg =, + arccotg a b a+b = + a arccotg a =, a tudíž je (absolutní) konvergence vyšetřovaného integrálu ekvivalentní (absolutní) konvergenci integrálu d a+b Přímým výpočtem se přesvědčíme, že tento integrál konverguje pro a + b > a diverguje jinak. Závěr: Integrál konverguje (absolutně), pokud > b > a. Jinak diverguje. 4. arctan + lna d Integrand je nezáporný, stačí vyšetřovat absolutní konvergenci. Na pravém okolí jedničky je arctan +, ln = ln( + ( )) ( ) (jak dostaneme použitím Taylorova rozvoje logaritmu v nule). Odtud plyne, že konvergence integrálu f() d je podle itního srovnávacího kritéria ekvivalentní konvergenci integrálu ( ) a d a použitím substituce y = dostaneme, že tento je ekvivalentní integrálu y a dy

3 5. 6. Poslední integrál konverguje, a to absolutně, pro a >. Naopak na okolí nekonečna je arctan + a podle itního srovnávacího kritéria je konvergence integrálu ekvivalentní konvergenci integrálu f() d ln a U tohoto integrálu ale umíme přímo určit primitivní funkci. Na intervalu (, + ) platí, že ln a d = y a dy = ya+ a + + C = lna+ a + + C pro a. Odtud přímo vyplývá, že integrál konverguje pro a + <, tedy pro a <. Hodnotu a = lze také vyloučit přímým výpočtem, ale vzhledem k podmínce u jedničky to není nutné. sin 4 d Integrál konverguje absolutně, neb sin a d, a R d sin 4 4. Použijeme itní srovnávací kritérium. Platí, že a proto platí sin + =, + sin a a =, tudíž platí, že integrál (a) konverguje (absolutně), právě když konverguje integrál a d = d a o kterém víme, že konverguje (absolutně) pro a <, tudíž pro a <. 3

4 7. cos a d, a R Použijeme itní srovnávací kritérium. Platí, že cos =, + a proto platí cos a + =, a tudíž platí, že integrál (b) konverguje (absolutně), právě když konverguje integrál a d o kterém víme, že konverguje (absolutně) pro a <. 8. ( 4 )arccotg d Označme f integrand. Integrál rozdělíme na dvě části f() d, f() d Použijeme dvakrát srovnávací kritérium, poprvé u jedničky a po druhé u nekonečna. Protože arccotg = π/4 a platí, že 4 = ( + )( + )( ), můžeme u jedničky srovnávat s funkcí /, nebot máme + ( 4 )arccotg = + ( + )( + )arccotg = π Protože f je spojitá a nezáporná funkce na (, ], dostáváme podle itního srovnávacího kritéria, že konvergence integrálu f je ekvivalentní s konvergencí integrálu d který konverguje, což ověříme přímým výpočtem: d = [ ] =. 4

5 9. Pojd me na druhou část integrálu f. Jistě f je spojitá a nezáporná na [, + ), a protože platí, že můžeme srovnat integrand s funkcí Přesněji: platí, že + arccotg =, + ( 4 )arccotg 4 (/) = 3/. ( 4 )arccotg 3/ = + 4 arccotg =. Tudíž konvergence integrálu f je ekvivalentní konvergenci integrálu 3/ d který konverguje, o čemž se lze přesvědčit přímým výpočtem. Závěr: Integrál konverguje (absolutně). arctan α sin β d Integrál roztrhneme na dva kusy. Protože pro > je / β < (vzhledem k tomu, že podle zadání je β > ), je integrand na [, + ) nezáporný a spojitý. Použijeme tedy na tomto intervalu srovávací kritérium: na okolí nekonečna platí, že arctan α sin ( π ) α β β, přesněji platí, že + arctan α sin ( π β ) α β =. Podle itního srovnávacího kritéria tedy f konverguje (absolutně), právě když β >. Na intervalu [, ] je ale integrand pro α, β > omezený a na (, ] spojitý. Podle srovnávacího kritéria a odhadu arctan α sin πα integrál na tomto intervalu konverguje absolutně. Z toho vyplývá, že integrál konverguje absolutně pro β >, jinak diverguje. ) nebot eponent 3/ je menší než. β 5

6 .. sin 3 π ln d Integrand f má spojité rozšíření do nuly, nebot sin 3 π ln = sin π π π sin π ln = π =. Integrand tedy můžeme považovat za funkci spojitou na [, + ). Z toho plyne, že f() d konverguje absolutně, nebot jde o spojitou (a tedy omezenou) funkci na uzavřeném omezeném intervalu. Nyní použijeme odhad f() ln d Protože integrál napravo konverguje, jak se můžeme přesvědčit přímým výpočtem pomocí substituce t = ln + [ ] ln d = + ln t dt = = t ln dostáváme, že vyšetřovaný integrál konverguje absolutně. π/ cotg a cos b ln π d Integrand nemění znaménko, stačí vyšetřovat absolutní konvergenci. Na malém pravém δ-okolí nuly je ln cos, cotg sin a tudíž podle itního srovnávacího kritéria stačí na tomto okolí vyšetřovat konvergenci integrálu δ ln(/π) a d Tento integrál konverguje absolutně pro a < (jak plyne z tvaru ( a)/ ln(π/) (+a)/, který lze v dostatečné blízkosti nuly odhadnout seshora druhým členem). Na malém levém ε-okolí π/ zase platí cotg cos = sin(π/ ) (π/ ), 6 ln ( ) ( π ) π π

7 . odkud plyne podle itního srovnávacího kritéria, že stačí vyšetřovat integrál π/ π/ ε ( π ) a b+ d který substitucí y = π/ převedeme na integrál ε který konverguje pro a b + >. y a b+ dy Závěr: integrál konverguje pro > a > b, a to navíc absolutně. Jinak diverguje. arccos α sin β π γ ( ) γ d Na intervalu (, ) je integrand spojitá omezená funkce, na jakémkoliv uzavřeném podintervalu tedy konverguje absolutně. U nuly použijte odhady arccos π/,, sin(π) π a tudíž stačí vyšetřovat (neměnnost znaménka, itní srovnávací kritérium) δ β γ d odkud máme podmínku β > γ (pro absolutní i neabsolutní konvergenci). U jedničky použijte odhady sin(π) = sin(π π) π( ) = π( ) arccos = ( + )( ) a proto stačí vyšetřovat integrál δ ( ) β+α/ γ d odkud máme podmínku β > γ α/ (pro absolutní i neabsolutní konvergenci). Závěr: pro β > γ integrál konverguje, navíc absolutně. Jinak diverguje. 3. sin(arccotg α β ) d 7

8 Na okolí nuly má integrand spojité rozšíření, nebot arccotg = arccotg = π = arccotg α β = (arccotg ) α = ( π ) α a funkce sinus je ve všech bodech spojitá. Na okolí nekonečna platí, že integrand nemění znaménko a 4. arccotg = arccotg β β = arccotg α β αβ = sin(arccotg α β ) αβ odkud podle itního srovnávacího kritéria vyplývá, že integrál konverguje tehdy a jen tehdy, pokud αβ > a to navíc absolutně. Jinak diverguje. a ln + arctan 3 d U jedničky použijeme srovnání ln ( )( + ) = ln + ln( ) + a, arctan 3 π Tudíž na okolí jedničky se integrand chová obdobně, jako ln y na pravém okolí nuly; přitom platí, že ln y dy je absolutně konvergentní (lze ověřit přímým výpočtem integrací per partes). Na okolí nekonečna platí, že ( ln + = ln ) arctan 3 arctan odkud vyplývá, že na okolí nekonečna se integrand chová přibližně jako funkce. Protože na vhodném okolí nekonečna nemění znaménko, stačí vyšetřovat a+4 jeho absolutní konvergenci. Z výše uvedeného srovnání použitím itní verze srovnávacího kritéria dostanene, že integrál konverguje pro a + 4 >, tedy pro a > 3. arccos a ( 4 ) cos Uvědomme si nejprve, že je d arccos = π 8

9 a podle l Hopitalova pravidla platí, že arccos y = y y y y y y Odtud plyne, že na dostatečně malém pravém prstencovém okolí nuly je integrand nezáporný a jeho první člen se chová přibližně jako arccos a ( ( ) a 4 ) ( 4 ) = a odkud pomocí itního srovnávacího kritéria plyne, že integrál může konvergovat pouze pro a >. Uvědomme si dále, že na intervalu (δ, ) pro δ > je integrand spojitá a omezená funkce, a tudíž δ f() d konverguje absolutně. Závěr: integrál konverguje pro a > / a to navíc absolutně. Jinak diverguje. = 6. a e (b+c) d Integrand je nezáporný, stačí vyšetřovat absolutní konvergenci. Na okolí nuly je e b c a tudíž f() a, odkud podle itního srovnávacího kritéria vyplývá, že integrand na vhodném pravém okolí nuly, např. [, ], konverguje, právě když a >. Na okolí nekonečna [, + ) rozlišíme následující případy:. c >. Potom integrál konverguje absolutně podle srovnávacího kritéria srovnáním s integrálem e (c/). Platí totiž, že a e b c e (c/) a tudíž pro nějaké a > musí platit, že pro > a je a e b c e (c/) e (c/). Poslední odhad plyne z toho, že pro > je > a funkce e y je klesající v proměnné y. Konvergenci integrálu e (c/) d lze snadno ověřit přímým výpočtem.. c <. Integrál diverguje podle srovnávacího kritéria srovnáním f() e (c/) e (c/). 3. c = a b >. Integrál konverguje srovnáním a e b e (b/), která platí pro > b >, kde b je reálné číslo (které závisí na hodnotě konstanty b). Odhad se odvodí pomocí ity obdobně jako v bodě. 9

10 4. c = a b <. Integrál diverguje srovnáním a e b e (b/). 5. c = a b =. Potom (připomeňme, že jsme na okolí nekonečna) integrál konverguje pro a <. Závěr: porovnáním podmínky na okolí nuly (a > ) a podmínek v bodech -5 dostaneme, že integrál konverguje pro a > c > nebo pro a > b > c =. Pak konverguje navíc absolutně. Jinak diverguje.